数学解题方法与技巧

数学解题方法与技巧一、换元法“换元”的思想和方法，在数学中有着广泛的应用，灵活运用换元法解题，有助于数量关系明朗化，变繁为简，化难为易，给出简便、巧妙的解答。

在解题过程中，把题中某一式子如f(x)，作为新的变量y 或者把题中某一变量如x ，用新变量t 的式子如g(t)替换，即通过令f(x)=y 或x=g(t)进行变量代换，得到结构简单便于求解的新解题方法，通常称为换元法或变量代换法。

用换元法解题，关键在于根据问题的结构特征，选择能以简驭繁，化难为易的代换f(x)=y 或x=g(t)。

就换元的具体形式而论，是多种多样的，常用的有有理式代换，根式代换，指数式代换，对数式代换，三角式代换，反三角式代换，复变量代换等，宜在解题实践中不断总结经验，掌握有关的技巧。

例如，用于求解代数问题的三角代换，在具体设计时，宜遵循以下原则：（1）全面考虑三角函数的定义域、值域和有关的公式、性质；（2）力求减少变量的个数，使问题结构简单化；（3）便于借助已知三角公式，建立变量间的内在联系。

只有全面考虑以上原则，才能谋取恰当的三角代换。

换元法是一种重要的数学方法，在多项式的因式分解，代数式的化简计算，恒等式、条件等式或不等式的证明，方程、方程组、不等式、不等式组或混合组的求解，函数表达式、定义域、值域或最值的推求，以及解析几何中的坐标替换，普通方程与参数方程、极坐标方程的互化等问题中，都有着广泛的应用。

例1 分解因式：(x 2-x-3)(x 2-x-5)-3例2 在实数集上解方程：4141433=-++x x例3 设sinx+siny=1，求cosx+cosy 的取值范围.例4 设x,y ∈R ，且1422=+y x ，求函数f(x,y)=x 2+2xy+y 2+x+2y 的最小值和最大值。

二、消元法对于含有多个变数的问题，有时可以利用题设条件和某些已知恒等式（代数恒等式或三角恒等式），通过适当的变形，消去一部分变数，使问题得以解决，这种解题方法，通常称为消元法，又称消去法。

消元法是解方程组的基本方法，在推证条件等式和把参数方程化成普通方程等问题中，也有着重要的应用。

用消元法解题，具有较强的技巧性，常常需要根据题目的特点，灵活选择合适的消元方法。

例1 解方程组： 11514=+--y x x+1=yx-y-z=6例2 解方程组： y-z-x=0z-x-y= -12例3、设a,b,c 均为不等于1的正数，若 a x =b y =c z ①0111=++zy x ② 求证： abc=1三、待定系数法按照一定规律，先写出问题的解的形式（一般是指一个算式、表达式或方程），其中含有若干尚待确定的未知系数的值，从而得到问题的解。

这种解题方法，通常称为待定系数法；其中尚待确定的未知系数，称为待定系数。

确定待定系数的值，有两种常用方法：比较系数法和特殊值法。

一、 比较系数法比较系数法，是指通过比较恒等式两边多项式的对应项系数，得到关于待定系数的若干关系式（通常是多元方程组），由此求得待定系数的值。

比较系数法的理论根据，是多项式的恒等定理：两个多项式恒等的充分必要条件是对应项系数相等，即a 0x n +a 1x n-1+ …+a n ≡b 0x n +b 1x n-1+… +b n 的充分必要条件是 a 0=b 0, a 1=b 1,……a n =b n 。

二、 特殊值法特殊值法，是指通过取字母的一些特定数据值代入恒等式，由左右两边数值相等得到关于待定系数的若干关系式，由此求得待定系数的值。

特殊值法的理论根据，是表达式恒等的定义：两个表达式恒等，是指用字母容许值集内的任意值代替表达式中的字母，恒等式左右两边的值总是相等的。

待定系数法是一种常用的数学方法，主要用于处理涉及多项式恒等变形问题，如分解因式、证明恒等式、解方程、将分式表示为部分分式、确定函数的解析式和圆锥曲线的方程等。

例1 设二次函数的图象通过点A （-1，0），B （7，0），C （3，-8），求此二次函数的解析式。

例2 以x-1的幂表示多项式 x 3-x 2+2x+2。

例3 分解因式：6x 2+xy-2y 2+x+10y-12.四、判别式法实系数一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0) ①的判别式△=b 2-4ac 具有以下性质：＞0，当且仅当方程①有两个不相等的实数根△ ＝0，当且仅当方程①有两个相等的实数根；＜0，当且仅当方程②没有实数根。

对于二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)②它的判别式△=b 2-4ac 具有以下性质：＞0，当且仅当抛物线②与x 轴有两个公共点；△ ＝0，当且仅当抛物线②与x 轴有一个公共点；＜0，当且仅当抛物线②与x 轴没有公共点。

利用判别式是中学数学的一种重要方法，在探求某些实变数之间的关系，研究方程的根和函数的性质，证明不等式，以及研究圆锥曲线与直线的关系等方面，都有着广泛的应用。

在具体运用判别式时，①②中的系数都可以是含有参数的代数式。

例1 已知关于x 的二次方程x 2+px+q=0有两正根求证：对于一切实数r ≥0，方程qx 2+(p-2rq)x+1-p=0也必有两正根。

例2、 x,y,z ∈R, a ∈R +，且x+y+z=a, x 2+y 2+z 2=21a 2 试确定x,y,z 的取值范围。

例3、 已知a,x 为实数，|a|<2,求函数 y=f(x)=12+--ax x a x 的最大值与最小值。

从总体上说，解答数学题，即需要富有普适性的策略作宏观指导，也需要各种具体的方法和技巧进行微观处理，只有把策略、方法、技巧和谐地结合起来，创造性地加以运用，才能成功地解决面临的问题，获取良好的效果。

五、 分析法与综合法分析法和综合法源于分析和综合，是思维方向相反的两种思考方法，在解题过程中具有十分重要的作用。

在数学中，又把分析看作从结果追溯到产生这一结果的原因的一种思维方法，而综合被看成是从原因推导到由原因产生的结果的另一种思维方法。

通常把前者称为分析法，后者称为综合法。

具体的说，分析法是从题目的等证结论或需求问题出发，一步一步的探索下去，最后达到题设的已知条件；综合法则是从题目的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证的结论或需求问题。

例1：设a,b ∈R +，且a ≠b ，求证：a 3+b 3＞a 2b+ab2 例2：已知A 1,A 2,…,A n 为凸多边形A 1A 2…A n 的内角，且lgsinA 1+lgsinA 2+…+lgsinA n =0 ， 试确定凸多边形的形状。

例3：设α，β∈(0,2π)，x 的一元二次方程f(x)=x 2+4ax+3a+1=0的两个根为tg 2α,tg 2β，求a 的取值范围。

六、 数学模型法例（哥尼斯堡七桥问题）18世纪东普鲁士哥尼斯堡有条普莱格河，这条河有两个支流，在城中心汇合后流入波罗的海。

市内办有七座各具特色的大桥，连接岛区和两岸。

每到傍晚或节假日，许多居民来这里散步，观赏美丽的风光。

年长日久，有人提出这样的问题：能否从某地出发，经过每一座桥一次且仅一次，然后返回出发地？数学模型法，是指把所考察的实际问题，进行数学抽象，构造相应的数学模型，通过对数学模型的研究，使实际问题得以解决的一种数学方法。

利用数学模型法解答实际问题（包括数学应用题），一般要做好三方面的工作：（1） 建模。

根据实际问题的特点，建立恰当的数学模型。

从总体上说，建模的基本手段，是数学抽象方法。

建模的具体过程，大体包括以下几个步骤：1o 考察实际问题的基本情形。

分析问题所及的量的关系，弄清哪些是常量，哪些是变量，哪些是已知量，哪些是未知量；了解其对象与关系结构的本质属性，确定问题所及的具体系统。

2o 分析系统的矛盾关系。

从实际问题的特定关系和具体要求出发，根据有关学科理论，抓住主要矛盾，考察主要因素和量的关系。

3o 进行数学抽象。

对事物对象及诸对象间的关系进行抽象，并用有关的数学概念、符号和表达式去刻画事物对象及其关系。

如果现有的数学工具不够用，可以根据实际情况，建立新的数学概念和数学方法去表现数学模型。

（2）推理、演算。

在所得到的数学模型上，进行逻辑推理或数学演算，求出相应的数学结果。

（3） 评价、解释。

对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价和解释，返回到原来的实际问题中去，形成最终的解答。

例1：把一根直径为的圆木，加工成横截面为矩形的柱子，问何锯法可使废弃的木料最少？ 例2：有一隧道处于交通拥挤、事故易发地段，为了保证安全，交通部门规定，隧道内的车距d 正比于车速v （千米/时）的平方与车身长（米）的积，且车距不得小于半个车身长。

假定车身长为l （米），当车速为60（千米/时）时，车距为1.44个车身长，在交通繁忙时，应规定臬的车速成，可使隧道的车流量最大？例3、（1998年保送生综合试题）渔场中鱼群的最大养殖为m 吨。

为保证鱼群生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量。

已知鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量x 吨与空闲的乘积成正比，比例系数为K （K>0）（1） 写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域。

（2） 求鱼群年增长量的最大值。

例4：某公司有资金100万元，董事会决定全部投资到甲、乙两工厂，投资甲厂可获得的利润为投资额的20%；投资乙厂可获得的利润由公式M=19516 x (M 为利润额，x 为投资额，单位均为万元)确定，问公司如何分配100万元资金投资这两个工厂，使获得利润最大？最大利润是多少？作业：1、 设x 的二次方程x 2-2x+lg(2a 2-a)=0有一正根和一负根，求a 的范围。

2、（1994年高考题）在测量某物理的过程中，因仪器和观察的误差，使得n 次测量分别得到a 1,a 2,……, a n 共n 个数据。

我们规定所测物理量的“最佳近似值”a 是这样一个量：与其它近似值比较，a 与各数据的差的平方和最小，依此规定，从a 1 ,a 2 , ……a n ，推出的a 的值。

3、 塑料厂销售科计划出售一种塑料鞋，经营人员不是仅仅根据估计的生产成本来确定塑料鞋的销售价格，而是通过对经营塑料鞋的零售商进行调查，看看在不同的价格下会进多少货。

通过一番调查，确定的需求关系是p=-750x+15000（p 为零售商进货的总数量，x 为每双鞋的出厂价）， 并求得工厂生产塑料鞋固定成本是7000元，估计生产每双塑料鞋的材料和劳动生产费用为4元，为了获得最大利润，工厂应把每双鞋的出厂价定为多少元？4、建筑一个容积为2400米3，深为6米的长方体蓄水池，池壁每平方米的造价为a 元，池底每平方米粉的造价为2a 元，则如何建造才能使总造价为最小。

4、 某一信托公司，考虑投资1600万元建造一座涉外宾馆。