高一数学《函数模型及其应用》练习题及答案
12、函数模型及其应用(含答案)
12函数模型及其应用1.七类常见函数模型(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：4.判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．5．解函数应用题的一般步骤第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论；第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．2．建模的基本原则(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．(2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．练习一1.有一组试验数据如表所示：A．y＝2x＋1－1 B．y＝x2－1C．y＝2log2x D．y＝x3答案 B解析根据表中数据可知，能体现这组数据关系的函数模型是y＝x2－1.2.物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，某部门为尽快稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )答案 B解析B中，Q的值随t的变化越来越快．故选B.3.有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m2.(围墙厚度不计)答案2500解析设围成的矩形的长为x m，则宽为200－x4m，则S＝x·200－x4＝14(－x2＋200x)＝－14(x－100)2＋2500.当x＝100时，S max＝2500 m2.4．高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是( )答案 B解析当h＝H时，体积为V，故排除A，C；由H→0过程中，减少相同高度的水，水的体积从开始减少的越来越快到越来越慢，故选B.5．如图，矩形ABCD的周长为8，设AB＝x(1≤x≤3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN＝1，当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G围成的区域的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致为( )答案 D解析 由题意可知点P 的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为12的扇形．因为矩形ABCD 的周长为8，AB ＝x ， 则AD ＝8－2x2＝4－x ， 所以y ＝x (4－x )－π4＝－(x －2)2＋4－π4(1≤x ≤3)， 显然该函数的图象是二次函数图象的一部分， 且当x ＝2时，y ＝4－π4∈(3,4)，故选D. 6.某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．设f (t )表示学生注意力指标．该小组发现f (t )随时间t (分钟)的变化规律(f (t )越大，表明学生的注意力越集中)如下：f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧100a t10－600≤t ≤10，34010<t ≤20，－15t ＋64020<t ≤40(a >0且a ≠1)．若上课后第5分钟时的注意力指标为140，回答下列问题： (1)求a 的值；(2)上课后第5分钟和下课前第5分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由；(3)在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？ 解 (1)由题意得，当t ＝5时，f (t )＝140， 即100·a510－60＝140，解得a ＝4. (2)因为f (5)＝140，f (35)＝－15×35＋640＝115， 所以f (5)>f (35)，故上课后第5分钟时比下课前第5分钟时注意力更集中． (3)①当0<t ≤10时，由(1)知，f (t )＝100·4t 10－60≥140，解得5≤t ≤10；②当10<t ≤20时，f (t )＝340>140恒成立； ③当20<t ≤40时，f (t )＝－15t ＋640≥140， 解得20<t ≤1003. 综上所述，5≤t ≤1003. 故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持1003－5＝853分钟． 7．某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎨⎧C ，0<x ≤A ，C ＋B x －A ，x >A .已知某家庭2019年前三个月的煤气费如下表：月份 用气量 煤气费 一月份 4 m 3 4元 二月份 25 m 3 14元 三月份35 m 319元A ．11.5元B ．11元C ．10.5元D ．10元答案 A解析 根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎨⎧4，0<x ≤5，4＋12x －5，x >5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5，故选A.8．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．答案 24解析 由题意得⎩⎨⎧e b＝192，e22k ＋b＝48，即⎩⎨⎧e b ＝192，e11k＝12，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24(小时)．9．如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，并求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM 面积的最大值．解 (1)如图，作PQ ⊥AF 于点Q ，所以PQ ＝8－y ，EQ ＝x －4， 在△EDF 中，EQ PQ ＝EF FD， 所以x －48－y ＝42，所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}． (2)设矩形BNPM 的面积为S ，则S (x )＝xy ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50，所以S (x )是关于x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x ＝10，所以当x ∈[4,8]时，S (x )单调递增，所以当x ＝8时，矩形BNPM 的面积取得最大值，最大值为48平方米．10．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年 D ．2021年答案 B解析 根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n }，其中首项a 1＝130，公比q ＝1＋12%＝1.12，所以a n ＝130×1.12n －1.由130×1.12n －1>200，两边同时取对数，得n －1>lg 2－lg 1.3lg 1.12，又lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，则n >4.8，即a 5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.11．已知一容器中有A ，B 两种菌，且在任何时刻A ，B 两种菌的个数乘积均为定值1010，为了简单起见，科学家用P A ＝lg n A 来记录A 菌个数的资料，其中n A 为A 菌的个数，现有以下几种说法：①P A ≥1；②若今天的P A 值比昨天的P A 值增加1，则今天的A 菌个数比昨天的A 菌个数多10；③假设科学家将B 菌的个数控制为5万，则此时5<P A <5.5(注：lg 2≈0.3)． 则正确的说法为________．(写出所有正确说法的序号)答案 ③解析 当n A ＝1时，P A ＝0，故①错误；若P A ＝1，则n A ＝10，若P A ＝2，则n A ＝100，故②错误；设B 菌的个数为n B ＝5×104，∴n A ＝10105×104＝2×105，∴P A＝lg n A ＝lg 2＋5.又lg 2≈0.3，∴P A ≈5.3，则5<P A <5.5，即③正确．12．某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 解 (1)当x ≤6时，y ＝50x －115， 令50x －115>0，解得x >2.3， ∵x 为整数，∴3≤x ≤6，x ∈Z .当x >6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115.令－3x 2＋68x －115>0，有3x 2－68x ＋115<0，结合x 为整数得6<x ≤20，x ∈Z .∴y ＝⎩⎨⎧50x －1153≤x ≤6，x ∈Z ，－3x 2＋68x －1156<x ≤20，x ∈Z .(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )， 显然当x ＝6时，y max ＝185； 对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113(6<x ≤20，x ∈Z )，当x ＝11时，y max ＝270.∵270>185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．13.用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是(参考数据：lg 2≈0.3010)( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析 设至少要洗x 次，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34x ≤1100，∴x ≥1lg 2≈3.322，因此至少需要洗4次，故选B.14．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100答案 C解析 对于A 中的函数，当x ＝3或4时，误差较大．对于B 中的函数，当x ＝4时误差较大．对于C 中的函数，当x ＝1,2,3时，误差为0，x ＝4时，误差为10，误差很小．对于D 中的函数，当x ＝4时，据函数式得到的结果为300，与实际值790相差很远．综上，只有C 中的函数误差最小．15．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y (只)与时间x (年)近似地满足关系y ＝a log 3(x ＋2)，观察发现2014年(作为第1年)到该湿地公园越冬的白鹤数量为3000只，估计到2020年到该湿地公园越冬的白鹤的数量为( )A ．4000只B ．5000只C ．6000只D ．7000只答案 C 解析 当x ＝1时，由3000＝a log 3(1＋2)，得a ＝3000，所以到2020年冬，即第7年，y ＝3000×log 3(7＋2)＝6000，故选C.15.某位股民买入某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A ．略有盈利B ．无法判断盈亏情况C ．没有盈利也没有亏损D ．略有亏损答案 D解析 由题意可得(1＋10%)3(1－10%)3＝0.993≈0.97<1.因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损．16．某地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，经过x 年后，绿化面积与原绿化面积之比为y ，则y ＝f (x )的图象大致为( )答案 D解析 设某地区起始年的绿化面积为a ，因为该地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，所以经过x 年后，绿化面积g (x )＝a (1＋18%)x ，因为绿化面积与原绿化面积的比值为y ，则y ＝f (x )＝g x a＝(1＋18%)x ＝1.18x ，因为y ＝1.18x 为底数大于1的指数函数，故可排除A ，C ，当x ＝0时，y ＝1，可排除B ，故选D.17．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t (单位：min)后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )⎝ ⎛⎭⎪⎫12t h，其中T a 称为环境温度，h 称为半衰期，现有一杯用85 ℃热水冲的速溶咖啡，放在21 ℃的房间中，如果咖啡降到37 ℃需要16 min ，那么这杯咖啡要从37 ℃降到29 ℃，还需要________ min.答案 8解析 由题意知T a ＝21 ℃.令T 0＝85 ℃，T ＝37 ℃，得37－21＝(85－21)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1216h ，∴h ＝8.令T 0＝37 ℃，T ＝29 ℃，则29－21＝(37－21)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 8，∴t ＝8.18．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q 10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0. 当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1. 解方程组⎩⎨⎧ a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎨⎧ a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q 10≥2， 即log 3Q 10≥3，解得Q 10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．19．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14a ＋120.设甲大棚的投入为x (单位：万元)，每年两个大棚的总收入为f (x )(单位：万元)．(1)求f (50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入f (x )最大？ 解 (1)若投入甲大棚50万元，则投入乙大棚150万元，所以f (50)＝80＋42×50＋14×150＋120＝277.5. (2)由题知，f (x )＝80＋42x ＋14(200－x )＋120＝－14x ＋42x ＋250， 依题意得⎩⎨⎧ x ≥20，200－x ≥20，解得20≤x ≤180，故f (x )＝－14x ＋42x ＋250(20≤x ≤180)． 令t ＝x ，则t 2＝x ，t ∈[25，65]， y ＝－14t 2＋42t ＋250＝－14(t －82)2＋282，当t ＝82，即x ＝128时，y 取得最大值282，所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大，且最大收入为282万元．。
高一必修一数学函数模型的应用实例测试题(带答案)
高一必修一数学函数模型的应用实例测试题（带答案）高一必修一数学函数模型的应用实例测试题（带答案）函数与方程是考试重点，快来做一些同步练习吧!精品小编为你准备了高一必修一数学函数模型的应用实例测试题，具体请看以下内容。
高一数学函数模型的应用实例测试题(带答案新人教A版必修1)一、选择题1.随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y(g/m3)与大气压强x(kPa)成正比例函数关系. 当x=36 kPa时，y=108 g/m3，则y与x的函数解析式为()A.y=3x(x≥0)B.y=3xC.y=13x(x≥0)D.y=13x[答案] A2.某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y=5x+4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本日产手套量至少为()A.200副B.400副C.600副D.800副[答案] D[解析] 由10x-y=10x-(5x+4000)≥0，得x≥800.[解析] 由表知自变量x变化1个单位时，函数值y变化2个单位，所以为一次函数模型.6.一天，亮亮发烧了，早晨6时他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午12时亮亮的体温基本正常，但是下午18时他的体温又开始上升，直到半夜24时亮亮才感觉身上不那么发烫了.则下列各图能基本上反映出亮亮一天(0～24时)体温的变化情况的是()[答案] C[解析] 从0时到6时，体温上升，图象是上升的，排除选项A;从6时到12时，体温下降，图象是下降的，排除选项B;从12时到18时，体温上升，图象是上升的，排除选项D.高一必修一数学函数模型的应用实例测试题就介绍到这，更多内容请关注查字典数学网!。
(10)函数模型及其应用 Word版含答案
寒假作业（10）函数模型及其应用1、根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010.则下列各数中与M N 最接近的是( )(参考数据:lg30.48≈) A.3310 B.5310 C.7310 D.93102、一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽 车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么（ ）A.人可在7秒内追上汽车B.人可在10秒内追t 汽车C.人追不上汽车，其间距最少为5米D.人追不上汽车，其间距最少为7米3、某市原来的民用电价为0.52元()/kW h ⋅,换装分时电表后,峰时段的电价为0.55元()/kW h ⋅,谷时段的电价为0.30元()/kW h ⋅.对于一个平均每天用电量为15kW h ⋅的家庭,要使节省的电费不少于原来电费的20%,则这个家庭每天在峰时段的平均用电量至多为( )A. 6.5kW h ⋅B. 6.96kW h ⋅C. 7.5kW h ⋅D. 8kW h ⋅4、据调査，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普 通车存车数为x 辆次，存车费总收人为y 元，则y 关于的x 函数关系式为( )A.0.1800(04000)y x x =+≤≤B.0.11200(04000)y x x =+≤≤C.0.1800(04000)y x x =-+≤≤D.0.11200(04000)y x x =-+≤≤5、生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为1()2202C x x x 2=++ (万元).一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月生产该商品数量应为( ) A.18万件 B.20万件 C.16万件 D.8万件6、某厂日产手套总成本y (元)与手套日产量x (双)的函数解析式为540000y x =+,而手套出厂价格为每双10元,则该厂为了不亏本,日产手套至少为( )A.2000双B.4000双C.6000双D.8000双7、某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位:万元)分别为21 5.06 1.5L x x =-，22L x =， 其中x 为销售量（单位：辆).若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（ ）A.45. 606万元B.45. 6万元C.46. 8 万元D.46. 806 万元8、某乡镇企业有一个蔬菜生产基地共有8位工人，过去每人年薪为1万元，从今年起，计划每人每年的工资比上一年增加20%，并且每年新招3位工人，每位新工人第一年年薪为8千元，第二年开始拿与老工人一样数额的年薪，那么第n 年付给工人的工资总额y (万元)表示成n 的函数为( )A.(35) 1.2 2.4n y n =+⨯+B.8 1.2 2.4n y n =⨯+C.(38) 1.2 2.4n y n =+⨯+D.1(35) 1.2 2.4n y n -=+⨯+9、乙从A 地到B 地，途中前一半时间的行驶速度为1v ，后一半时间的行驶速度是2v （12v v <），则乙从A 地到B 地所走过的路程s 与时间t 的关系图示为( )A. B. C. D.10、某水果批发市场规定，批发苹果不少于100千克时，批发价为每千克2.5元，小王携带现金3000元到市场采购苹果，并以每千克2.5元买进，如果购买的苹果为x 千克，小王付款后的剩余现金为y 元，则y 与x 之间的函数解析式为( )A.3000 2.5(1001200)y x x =-≤≤B.3000 2.5(1001200)y x x =-<<C.3000 2.5(01200)y x x =-<<D.3000 2.5(01200)y x x =-≤≤11、已知某工厂生产某种产品的月产量 y 与月份x 满足关系()0.5x y a b =⋅+,现已知该厂今年1月2月生产该产品分别为1万件、1.5万件,则此厂3 月份该产品产量为__________。
2024-2025年北师大版数学必修第一册5.2.2用函数模型解决实际问题(带答案)
2．2 用函数模型解决实际问题必备知识基础练知识点一已知函数模型的实际应用1．商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(6－x)，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定当销售价格x为多少时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．知识点二未知函数模型的实际应用2．我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完．这样，每天剩下的部分都是前一天的一半，如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么x 天后剩下的部分y 与x 的函数关系式为( )A ．y ＝12x (x ∈N *) B ．y ＝x 12 (x ∈N *)C ．y ＝2x (x ∈N *)D ．y ＝12x (x ∈N *)3．有l 米长的钢材，要做成如图所示的窗框：上半部分为半圆，下半部分为四个全等的小矩形组成的矩形，则小矩形的长与宽之比为多少时，窗户所通过的光线最多？并求出窗户面积的最大值．知识点三 分段函数模型的实际应用4．北京冬奥会举世瞩目，树立了中国形象，同时也带动了中国冰雪运动器械的蓬勃发展，张家口某冰上运动器械生产企业生产某种产品的年固定成本为100万元，每生产x 千件，需另投入成本C (x )万元．当年产量低于30千件时，C (x )＝14 x 2＋10x ；当年产量不低于30千件时，C (x )＝50x ＋4 500x －15 －1 300.每千件产品的售价为30万元，且生产的产品能全部售完．(1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式．(2)当年产量为多少千件时，该企业所获年利润最大？最大年利润是多少？关键能力综合练1．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y万公顷关于年数x的函数关系较为近似的是( )A．y＝0.2x B．y＝110(x2＋2x)C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x2．冈珀茨模型(y＝kk k k)是由冈珀茨(Gompertz)提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律．已知某珍稀物种t年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：y＝k0·e1.4e－0.125k (当t＝0时，表示2020年初的种群数量)，请预测从哪一年年初开始，该物种的种群数量将不足2022年初种群数量的一半( )(ln 2≈0.7)A．2031 B．2020C．2029 D．20283．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m 和a m(0＜a＜12)，不考虑树的粗细．现用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u(单位：m2)，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u＝f(a)的图象大致是( )4．赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品．赣南脐橙年产量达百万吨，原产地江西省赣州市已经成为脐橙种植面积世界第一，年产量世界第三，全国最大的脐橙主产区．假设某赣南脐橙种植区的脐橙产量平均每年比上一年增长20%，若要求该种植区的脐橙产量高于当前脐橙产量的6倍，则至少需要经过的年数为( )(参考数据：取lg 2＝0.3，lg 3＝0.48)A．9 B．10C．11 D．125．如图，有四个平面图形分别是三角形、平面四边形、直角梯形、圆，垂直于x轴的直线l：x＝t(0≤t≤a)，经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y(图中阴影部分)，若函数y＝f(x)的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是( )6.有一批材料可以建成360 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________m2.(围墙厚度不计)7．(探究题)如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系．有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5 h 后追上了骑自行车者；④骑摩托车者在出发1.5 h 后与骑自行车者速度一样．其中正确信息的序号是________． 8．(易错题)如图，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB ＝a (a ＞2)，BC ＝2，且AE ＝AH ＝CF ＝CG ，设AE ＝x ，绿地面积为y .(1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域． (2)当AE 为何值时，绿地面积y 最大？核心素养升级练1．(多选题)某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系式t ＝⎩⎪⎨⎪⎧64，x ≤0，2kx ＋6，x ＞0， 且该食品在4 ℃的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．以下结论正确的是( )A．该食品在6 ℃的保鲜时间是8小时B．当x∈[－6，6]时，该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少C．到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内D．到了此日15时，甲所购买的食品已过了保鲜时间2．(情境命题—生活情境)在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200 m2的矩形区域(如图所示)，按规划要求：在矩形内的四周安排2 m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m2，设矩形的长为x(m)，总造价为y(元).(1)将y表示为关于x的函数；(2)当x取何值时，总造价最低．2．2 用函数模型解决实际问题必备知识基础练1．解析：(1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2 ＋10＝11，解得a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(6－x ). 设商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )元， 则f (x )＝(x －3)[2x －3＋10(6－x )]＝2＋10(x －3)(6－x )＝－10x 2＋90x －178 ＝－10(x －92 )2＋492(3＜x ＜6).当x ＝92 时，函数f (x )在定义域(3，6)上取得最大值，最大值为492 ，即当销售价格为4.5元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 2．答案：D解析：由题意可得，剩下的部分依次为12 ，14 ，18，…，因此x 天后剩下的部分y 与x 的函数关系式为y ＝12x (x ∈N *)，故选D.3．解析：设小矩形的长为x ，宽为y ，窗户的面积为S ， 则由图可得9x ＋πx ＋6y ＝l ， 所以6y ＝l －(9＋π)·x ，所以S ＝π2 x 2＋4xy ＝π2 x 2＋23x ·[l －(9＋π)·x ]＝－36＋π6 x 2＋23 lx ＝－36＋π6 ·(x －2l 36＋π )2＋2l23（36＋π） .要使窗户所通过的光线最多，只需窗户的面积S 最大． 由6y ＞0，得0＜x ＜l9＋π.因为0＜2l 36＋π ＜l9＋π ，所以当x ＝2l 36＋π ，y ＝l －（9＋π）x 6 ＝l （18－π）6（36＋π）， 即x y ＝1218－π 时，窗户的面积S 有最大值，且S max ＝2l 23（36＋π）.4．解析：(1)当0<x <30时，L ＝30x －14 x 2－10x －100＝－14 x 2＋20x －100；当x ≥30时，L ＝30x －⎝ ⎛⎭⎪⎫50x ＋4 500x －15－1 300 －100＝－20x －4 500x －15 ＋1 200. 所以L ＝⎩⎪⎨⎪⎧－14x 2＋20x －100，0<x <30，－20x －4 500x －15＋1 200，x ≥30.(2)当0<x <30时，函数的对称轴为x ＝40，所以此时该函数是单调递增函数，因此有L <－14×900＋20×30－100＝275，当x ≥30时，L ＝－20x －4 500x －15 ＋1 200＝－20×⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15＋225x －15＋15 ＋1 200≤－20()2225＋15 ＋1 200＝300，当且仅当x ＝30时，等号成立．因为300>275，所以当年产量为30千件时，该企业所获年利润最大为300万元．关键能力综合练1．答案：C解析：当x ＝1时，否定B ；当x ＝2时，否定D ；当x ＝3时，否定A ，故选C. 2．答案：D 解析：∵y ＝k 0·e 1.4e－0.125k，当t ＝0时，y ＝k 0·e 1.4， ∴当t ＝m 时，y ＝k 0·e 1.4e－0.125k，∵m (m ∈N )年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半， ∴k 0·e 1.4e－0.125k<12k 0·e 1.4， 由题可知，k 0是大于0的常数，即2·e1.4e－0.125m<e 1.4，两边取对数可得，ln 2＋1.4e－0.125m<1.4， ∵ln 2≈0.7， ∴e－0.125m<12，两边取对数可得，－0.125m <－ln 2≈－0.7，解得m >5.6，m ∈N *， 故m 的最小值为6.故选D. 3．答案：B解析：设AD 长为x ，则CD 长为16－x ，又∵要将点P 围在矩形ABCD 内，∴a ≤x ≤12. 则矩形ABCD 的面积S ＝x (16－x )＝－(x －8)2＋64. 若0＜a ＜8，当且仅当x ＝8时，S max ＝u ＝64； 若8≤a ＜12，S max ＝u ＝a (16－a ).故函数u ＝f (a )的解析式为u ＝⎩⎪⎨⎪⎧64，0＜a ＜8，a （16－a ），8≤a ＜12， 画出函数图象可得其形状与B 接近，故选B.4．答案：B解析：假设当前该种植区的脐橙产量为1，经过x 年该种植区的脐橙产量为(1＋20%)x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫65 x ，由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫65 x≥6，得到x ≥log 656，又因为log 656＝lg 6lg 65＝lg 6lg 6－lg 5 ＝lg 2＋lg 3lg 2＋lg 3－()1－lg 2 ＝lg 2＋lg 32lg 2＋lg 3－1 ＝0.3＋0.480.6＋0.48－1 ＝0.780.08＝9.75，所以x >9.75，故至少需要经过的年数为10.故选B. 5．答案：C解析：由函数的图象可知，几何图形具有对称性．选项A ，B ，D 由左向右移动过程中面积增加的先慢后快，然后相反，选项C ，后面是直线增加，不满足题意，故选C.6．答案：8 100解析：如图，设每个小矩形的长为a m ，则宽为b ＝13(360－4a )m ，记面积为S m 2.则S ＝3ab ＝a (360－4a )＝－4a 2＋360a (0＜a ＜90). ∴当a ＝45时，S max ＝8 100(m 2). ∴围成场地的最大面积为8 100 m 2. 7．答案：①②③解析：看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应4.5，故③正确，④错误．8．易错分析：实际问题中涉及函数的解析式中含参数的函数最值问题，求解时要注意参数对函数最值的影响．本题中的函数解析式中含参数，因此求解其最值时，应根据参数与所给区间的关系分类讨论后求最值．解析：(1)由题可得S △AEH ＝S △CFG ＝12 x 2，S △DGH ＝S △BEF ＝12 (a －x )(2－x )，∴y ＝S 矩形ABCD －2S △AEH －2S △BEF ＝2a －x 2－(a －x )(2－x ) ＝－2x 2＋(a ＋2)x .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，a －x ＞0，2－x ＞0，a ＞2，得0＜x ＜2.当x ＝2时，点H ，F 分别与点D ，B 重合，y ＝2a －4，满足y ＝－2x 2＋(a ＋2)x .综上，y ＝－2x 2＋(a ＋2)x ，定义域为(0，2].(2)由(1)得y ＝－2(x －a ＋24)2＋（a ＋2）28，0＜x ≤2.当a ＋24 ＜2，即2＜a ＜6时，最大值在x ＝a ＋24 时取得，即y max ＝（a ＋2）28；当a ＋24≥2，即a ≥6时，y ＝－2x 2＋(a ＋2)x 在(0，2]上是增函数，则x ＝2时，y max＝2a －4.综上所述，当2＜a ＜6，AE ＝a ＋24 时，绿地面积取最大值（a ＋2）28 ；当a ≥6，AE ＝2时，绿地面积取最大值2a －4.核心素养升级练1．答案：AD解析：由题意知当x ＝4时，t ＝16，∴24k ＋6＝16＝24，∴4k ＋6＝4，∴k ＝－12，∴当x ＞0时，t ＝2－x2＋6，故当x ＝6时，t ＝23＝8，故A 正确． 由题知当x ≤0时，t ＝64，故B 不正确． 由题图知此日13时，室外温度为10 ℃，当x ＝10时，t ＝2，故此日13时甲所购买的食品已过保鲜时间，故C 不正确，D 正确．故选A 、D.2．解析：(1)因为矩形区域的面积为200 m 2，故矩形的宽为200x，绿化的面积为2×2×x ＋2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫200x －4 ＝4x ＋800x －16， 中间区域硬化地面的面积为(x －4)⎝ ⎛⎭⎪⎫200x －4 ＝216－4x －800x ， 故y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋800x －16 ×200＋⎝⎛⎭⎪⎫216－4x －800x ×100， 整理得到y ＝400x ＋80 000x ＋18 400，由⎩⎪⎨⎪⎧x －4>0200x－4>0 可得4<x <50， 故y ＝400x ＋80 000x＋18 400，4<x <50. (2)由基本不等式可得400x ＋80 000x＋18 400≥400×2200 ＋18 400＝8 0002 ＋18 400， 当且仅当x ＝102 时等号成立，故当x ＝102 时，总造价最低．。
函数模型及其应用Word版含答案
函数模型及其应用【课前回顾】1．几类函数模型(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；(3)解模：求解函数模型，得出数学结论；(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题．以上过程用框图表示如下：【课前快练】1．一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (h)的函数关系用图象表示为图中的( )答案：B2．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )A ．36万件B ．18万件C ．22万件D ．9万件解析：选B 设利润为L (x )，则利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是( )A ．减少7.84%B ．增加7.84%C ．减少9.5%D ．不增不减解析：选A 设某商品原来价格为a ，依题意得： a (1＋0.2)2(1－0.2)2＝a ×1.22×0.82＝0.921 6a ， 所以(0.921 6－1)a ＝－0.078 4a ，所以四年后的价格与原来价格比较，减少7.84%.4．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，票价是0.5元/km ，如果超过100 km ，超过100 km 的部分按0.4元/km 定价，则客运票价y (元)与行程千米数x (km)之间的函数关系式是____________．解析：由题意可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0＜x ≤100，0.4x ＋10，x ＞100.答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0＜x ≤100，0.4x ＋10，x ＞1005.有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m 2.(围墙厚度不计)解析：设围成的矩形场地的长为x m ，则宽为200－x4 m ，则S ＝x ·200－x 4＝14(－x 2＋200x )．当x ＝100时，S max ＝2 500 (m 2)． 答案：2 500考点一 一次、二次函数模型及分段函数模型的应用1．解题入口——准确构建函数模型(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．(2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．2．解题过程——谨防3种失误(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．(2)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(3)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏．【典型例题】牧场中羊群的最大畜养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y 只和实际畜养量x 只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k ＞0)．(1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； (2)求羊群年增长量的最大值；(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k 的取值范围．[学审题]①空闲率是指“1－xm ”；②利用(1)的函数关系求羊群年增长量的最大值；③构造一个关于k 的含参数m 的不等式，解不等式后即可求出k 的取值范围．解：(1)根据题意，由于最大畜养量为m 只，实际畜养量为x 只，则畜养率为xm ，故空闲率为1－xm ，由此可得y ＝kx ⎝⎛⎭⎫1－x m (0＜x ＜m )． (2)由(1)知y ＝kx ⎝⎛⎭⎫1－x m ＝－km (x 2－mx ) ＝－k m ⎝⎛⎭⎫x －m 22＋km4. 即当x ＝m 2时，y 取得最大值km4.(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0＜x ＋y ＜m .因为当x ＝m 2时，y max ＝km4，所以0＜m 2＋km4＜m ，解得－2＜k ＜2.又因为k ＞0，所以0＜k ＜2. 故k 的取值范围为(0,2)．【针对训练】为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y 关于x 的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？解：(1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115＞0.解得x ≥2.3，∵x 为整数，∴3≤x ≤6. 当x ＞6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115.令－3x 2＋68x －115＞0，有3x 2－68x ＋115＜0，结合x 为整数得6＜x ≤20.故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )，－3x 2＋68x －115(6＜x ≤20，x ∈Z ). (2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z)， 显然当x ＝6时，y max ＝185.对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎫x －3432＋8113(6＜x ≤20，x ∈Z)，当x ＝11时，y max ＝270.∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．考点二 函数y ＝ax ＋bx 模型的应用1．应用函数y ＝ax ＋bx模型的2个关键点(1)明确对勾函数是由正比例函数f (x )＝ax 与反比例函数f (x )＝bx 叠加而成的． (2)解决实际问题时一般可以直接建立f (x )＝ax ＋bx 的模型，有时可以将所列函数解析式转化为f (x )＝ax ＋bx的形式．2．谨防2种失误(1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域．(2)利用模型f (x )＝ax ＋bx 求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件．【典型例题】某养殖场需定期购买饲料，已知该养殖场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．[构建模型]因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x 天饲料的保管费与其他费用共是6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6＝(3x 2－3x )元．从而有y ＝1x (3x 2－3x ＋300)＋200×1.8＝300x ＋3x ＋357≥2300x ·3x ＋357＝417， 当且仅当300x ＝3x ，即x ＝10时，y 有最小值．故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．【针对训练】某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 3 平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝__________米．解析：设横段面的高为h ， 根据题意知，93＝12(AD ＋BC )h ，其中AD ＝BC ＋2·x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ，所以93＝12(2BC ＋x )·32x ，得BC ＝18x －x2，由⎩⎨⎧h ＝32x ≥3，BC ＝18x －x2＞0，得2≤x ＜6.所以y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x2(2≤x ＜6)， y ＝18x ＋3x 2≥218x ·3x2＝63，当且仅当18x ＝3x2，即x ＝23时取等号．故所求防洪堤的腰长为23米． 答案：2 3考点三 指数、对数函数模型的应用1．谨记解决这类问题的2个关键(1)准确理解题意(有时为了叙述背景的需要，这类问题的题干有点长，因而认真审题，准确理解题意显得尤为重要)．(2)根据具体情境确定相关解题策略(如解决给出函数图象的实际应用问题，关键在于准确识图；而对于典题领悟这类指数函数、对数函数模型的实际应用问题，关键在于充分利用幂与对数的运算，以及指数函数、对数函数的图象与性质分析、解决问题)．2．掌握2种函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．【典型例题】候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ 解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位， 故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ， 故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2， 所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．【针对训练】某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．解：(1)由题图，设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －a ，t >1，当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4，由⎝⎛⎭⎫121－a＝4，得a ＝3.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －3，t >1.(2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧t >1，⎝⎛⎭⎫12t －3≥0.25，解得116≤t ≤5. 故服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)． 【课后演练】1．下列函数中，随x 的增大，y 的增大速度最快的是( ) A ．y ＝0.001e x B ．y ＝1 000ln x C ．y ＝x 1 000D ．y ＝1 000·2x解析：选A 在对数函数，幂函数，指数函数中，指数函数的增长速度最快，故排除B 、C ；指数函数中，底数越大，函数增大速度越快，故选A.2．用长度为24米的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )A ．3米B ．4米C ．6米D ．12米解析：选A 设隔墙的长为x (0＜x ＜6)米，矩形的面积为y 平方米，则y ＝x ×24－4x2＝2x (6－x )＝－2(x －3)2＋18，所以当x ＝3时，y 取得最大值．故选A.3．在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：则对x ，y A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x解析：选D 将x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；将x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B 、C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．故选D.4．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量为( )A ．240吨B ．200吨C ．180吨D ．160吨解析：选B 依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4 000x －30，则yx ≥2x 10·4 000x －30＝10，当且仅当x 10＝4 000x ，即x ＝200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．5．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数)．公司决定从原有员工中分流x (0<x <100，x ∈N *)人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x %.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( )A ．15B ．16C ．17D ．18解析：选B 由题意，分流前每年创造的产值为100t (万元)，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x )(1＋1.2x %)t ，则由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <100，x ∈N *，(100－x )(1＋1.2x %)t ≥100t ，解得0<x ≤503. 因为x ∈N *，所以x 的最大值为16.6．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 解析：选D 根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A 错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B 错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C 错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D 对．7．(2018·西安八校联考)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.解析：设矩形花园的宽为y m ，则x 40＝40－y40，即y ＝40－x ，矩形花园的面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400，当x ＝20 m 时，面积最大．答案：208．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.解析：设出租车行驶x km 时，付费y 元， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0＜x ≤3，8＋2.15(x －3)＋1，3＜x ≤8，8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1，x ＞8，由y ＝22.6，解得x ＝9. 答案：99.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x＝6时，y ＝1909.答案：190910．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则经过5小时，1个病毒能繁殖为______个．解析：当t ＝0.5时，y ＝2，所以2＝e 12k ，所以k ＝2ln 2，所以y ＝e 2t ln 2， 当t ＝5时，y ＝e 10ln 2＝210＝1 024. 答案：1 02411．我们定义函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)为“下整函数”；定义y ＝{x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x 小时，则李刚应付费为(单位：元)( )A ．2[x ＋1]B ．2([x ]＋1)C ．2{x }D ．{2x }解析：选C 如x ＝1时，应付费2元， 此时2[x ＋1]＝4,2([x ]＋1)＝4，排除A 、B ；当x ＝0.5时，付费为2元，此时{2x }＝1，排除D ，故选C.12．(2018·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：选C 设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n (n ∈N *)个“半衰期”后的含量为⎝⎛⎭⎫12n ，由⎝⎛⎭⎫12n ＜11 000得n ≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.13.如图，矩形ABCD 的周长为8，设AB ＝x (1≤x ≤3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN ＝1，当N 沿A →D →C →B →A 在矩形的边上滑动一周时，线段MN 的中点P 所形成的轨迹为G ，记G 围成的区域的面积为y ，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )解析：选D 由题意可知点P 的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为12的扇形．因为矩形ABCD 的周长为8，AB ＝x ，则AD ＝8－2x2＝4－x ， 所以y ＝x (4－x )－π4＝－(x －2)2＋4－π4(1≤x ≤3)，显然该函数的图象是二次函数图象的一部分， 且当x ＝2时，y ＝4－π4∈(3,4)，故选D.14．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：Q 与上市时间t 的变化关系．Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t . 利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________； (2)最低种植成本是________(元/100 kg)．解析：根据表中数据可知函数不单调，所以Q ＝at 2＋bt ＋c ，且开口向上，对称轴t ＝－b 2a ＝60＋1802＝120， 代入数据⎩⎪⎨⎪⎧3 600a ＋60b ＋c ＝116，10 000a ＋100b ＋c ＝84，32 400a ＋180b ＋c ＝116，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2.4，c ＝224，a ＝0.01.所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120，最低种植成本是14 400a ＋120b ＋c ＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80. 答案：(1)120 (2)8015．已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套公寓房月租金定为3 000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为________元．解析：由题意，设利润为y 元，每套房月租金定为3 000＋50x 元(0≤x ≤70，x ∈N)．则y ＝(3 000＋50x )(70－x )－100(70－x )＝(2 900＋50x )(70－x )＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝⎛⎭⎫58＋x ＋70－x 22＝204 800，当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故当每套房月租金定为3 000＋50×6＝3 300元时，可使公司获得最大利润．答案：3 30016．某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x (百台)，其总成本为g (x )万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入r (x )满足r (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋7x －10.5，0≤x ≤7，13.5，x ＞7，假设该产品产销平衡，根据上述统计数据规律求：(1)要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么范围？ (2)工厂生产多少台产品时盈利最大？ 解：依题意得g (x )＝x ＋3，设利润函数为f (x )，则f (x )＝r (x )－g (x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋6x －13.5，0≤x ≤7，10.5－x ，x ＞7，(1)要使工厂有盈利，则有f (x )＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤7，－0.5x 2＋6x －13.5＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞7，10.5－x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤7，x 2－12x ＋27＜0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞7，10.5－x ＞0，解得3＜x ＜10.5. 所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1 050台的范围内． (2)当3＜x ≤7时，f (x )＝－0.5(x －6)2＋4.5， 故当x ＝6时，f (x )有最大值4.5. 而当x ＞7时，f (x )＜10.5－7＝3.5.所以当工厂生产600台产品时，盈利最大．17．某厂为巴西奥运会生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )(万元)．当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x ；当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450.每件商品售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解：(1)由题意可得，当0＜x ＜80时，L (x )＝0.05×1 000x －⎝⎛⎭⎫13x 2＋10x ＋250，当x ≥80时，L (x )＝0.05×1 000x －⎝⎛⎭⎫51x ＋10 000x －1 450＋250， 即L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250，0＜x ＜80，1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ，x ≥80.(2)当0＜x ＜80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950，∴当x ＝60时，L (x )取得最大值，为950.当x ≥80时，L (x )＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ≤1 200－2 x ·10 000x ＝1 200－200＝1 000，∴当且仅当x ＝10 000x ，即x ＝100时，L (x )取得最大值，为1 000.综上所述，当x ＝100时，L (x )取得最大值1 000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．18. (2017 ·辽宁抚顺一模)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14a ＋120，设甲大棚的投入为x (单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f (x )(单位：万元)．(1)求f (50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f (x )最大？ 解：(1)由题意知甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元， 故f (50)＝80＋42×50＋14×150＋120＝277.5(万元)．(2)f (x )＝80＋42x ＋14(200－x )＋120＝－14x ＋42x ＋250，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥20，200－x ≥20⇒20≤x ≤180，故f (x )＝－14x ＋42x ＋250(20≤x ≤180)．令t ＝x ，则t ∈[25，65]，y ＝－14t 2＋42t ＋250＝－14(t －82)2＋282，当t ＝82，即x ＝128时，f (x )取得最大值，f (x )max ＝282.所以甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元．。
高一数学函数模型及其应用试题
高一数学函数模型及其应用试题1.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：()A．y＝2x－1 B．y＝x2－1C．y＝2x－1 D．y＝1.5x2－2.5x＋2【答案】D【解析】画散点图或代入数值，选择拟合效果最好的函数，故选D.2.今有一组数据，如表所示：()A．指数函数 B．反比例函数C．一次函数 D．二次函数【答案】C【解析】画出散点图，结合图象(图略)可知各个点接近于一条直线，所以可用一次函数表示．3.某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格相比，变化情况是()A．增加7.84%B．减少7.84%C．减少9.5%D．不增不减【答案】B【解析】设该商品原价为a，四年后价格为a(1＋0.2)2·(1－0.2)2＝0.9216a.所以(1－0.9216)a＝0.0784a＝7.84%a，即比原来减少了7.84%.4.如图，△ABC为等腰直角三角形，直线l与AB相交且l⊥AB，直线l截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y，点A到直线l的距离为x，则y＝f(x)的图象大致为四个选项中的()【答案】C【解析】设AB＝a，则y＝a2－x2＝－x2＋a2，其图象为抛物线的一段，开口向下，顶点在y轴上方．故选C.5.现测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1；乙：y＝3x－1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为拟合模型较好．【答案】甲【解析】图象法，即描出已知的三个点的坐标并画出两个函数的图象(图略)，比较发现选甲更好．6.某工厂8年来某产品年产量y与时间t年的函数关系如图，则：①前3年总产量增长速度越来越快；②前3年中总产量增长速度越来越慢；③第3年后，这种产品停止生产；④第3年后，这种产品年产量保持不变．以上说法中正确的是________．【答案】①④【解析】观察图中单位时间内产品产量y变化量快慢可知①④.7.某公司试销一种成本单价为500元的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元．经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似看作一次函数y＝kx＋b(k≠0)，函数图象如图所示．(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b(k≠0)的表达式；(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元．试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？【答案】(1) y＝－x＋1000(500≤x≤800)(2) 销售单价定为750元时，可获得最大毛利润62500元，此时销售量为250件【解析】解：(1)由图象知，当x＝600时，y＝400；当x＝700时，y＝300，代入y＝kx＋b(k≠0)中，得解得所以，y＝－x＋1000(500≤x≤800)．(2)销售总价＝销售单价×销售量＝xy，成本总价＝成本单价×销售量＝500y代入求毛利润的公式，得S＝xy－500y＝x(－x＋1000)－500(－x＋1000)＝－x2＋1500x－500000＝－(x－750)2＋62500(500≤x≤800)．所以，当销售单价定为750元时，可获得最大毛利润62500元，此时销售量为250件．8.某厂原来月产量为a，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b，则()A．a＞b B．a＜bC．a＝b D．无法判断【答案】A【解析】∵b＝a(1＋10%)(1－10%)＝a(1－)，∴b＝a×，∴b＜a.(x＋1)，设第一年有100只，则到第七年它们9.某动物数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2发展到()A．300只B．400只C．500只D．600只【答案】A(x＋1)，得y＝300.【解析】由已知第一年有100只，得a＝100，将a＝100，x＝7代入y＝alog210.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过10 m3，按每立方米x元收取水费；每月用水超过10 m3，超过部分加倍收费，某职工某月缴费16x元，则该职工这个月实际用水为()A．13 m3B．14 m3C．18 m3D．26 m3【答案】A【解析】设用水量为a m3，则有10x＋2x(a－10)＝16x，解得a＝13.。
函数模型及其应用高一数学总结练习含答案解析C
3.4.2 函数模型及其应用一、解决实际问题的程序实际问题→①建立 →②得到 →解决实际问题.其中 ③ 是关键. 二、常见几类函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型 f(x)=kx+b(k,b 为常数,k≠0) 二次函数模型 f(x)=ax 2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0) 指数函数模型f(x)=ba x +c(a,b,c 为常数,a>0且a≠1,b≠0)分段函数模型f(x)={f 1(x ),x ∈D 1f 2(x ),x ∈D 2…f n (x ),x ∈D n建立函数模型解决实际问题的方法:(1)根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系; (2)利用待定系数法确定具体的函数模型;(3)对选定的函数模型进行适当的评价、比较,并选择最恰当的模型; (4)根据实际问题对模型进行适当的修正.函数模型的应用1.(2014江苏海门中学检测,★☆☆)某公司是一家专做产品A 国内外销售的企业,每一批产品A 上市销售40天内全部售完.该公司对第一批产品A 上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查,调查结果如图所示,其中图(1)中的折线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系;图(2)中的抛物线表示国外市场的日销售量与上市时间的关系;图(3)中的折线表示每件产品A 的销售利润与上市时间的关系(国内外市场相同).(1)分别写出国内市场的日销售量f(t)(万件)、国外市场的日销售量g(t)(万件)与第一批产品A 的上市时间t 的关系式;(2)第一批产品A上市后,求日销售利润Q(t)(万元)的解析式.思路点拨(1)根据函数图象即可求出函数解析式;(2)日销售利润就是日销售量和每件产品销售利润的乘积,日销售量是国内外市场日销售量的总和.2.(2014江苏扬州大学附中单元检测,★★☆)在一条直线形的工艺流水线上有3个工作台,将工艺流水线用如图所示的数轴表示,各工作台的坐标分别为x1,x2,x3,每个工作台上有若干名工人.现要在x1与x3之间修建一个零件供应站,使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短.(1)若每个工作台上只有一名工人,试确定供应站的位置;(2)设工作台从左到右的人数依次为2,1,3,试确定供应站的位置,并求所有工人到供应站的距离之和的最小值.思路点拨设供应站的坐标为x,将各工作台上所有工人到供应站的距离之和用含x的式子表示,并求函数的最小值.3.(2014江苏常州中学检测,★★☆)我们知道:人们对声音有不同的感觉,这与它的强度有关系.声音的强度I用瓦/米2(W/m2)表示,但在实际测量时,常用声音的强度水平LI 表示,满足以下公式:LI=10·lg II0(单位为分贝,LI ≥0,其中I=1×10-12 W/m2,这是人们平均能听到的最小强度,是听觉的开端).回答以下问题:(1)树叶沙沙声的强度是1×10-12 W/m2,耳语的强度是1×10-10 W/m2,恬静的无线电广播的强度是1×10-8 W/m2,试分别求出它们的强度水平;(2)在某一新建的安静小区规定:小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下(不包括50分贝),试求声音强度I的范围是多少.思路点拨准确审题后,把握函数模型,解决问题.一、填空题1.如下图,某人骑自行车沿直线匀速行驶,先前进了a千米,休息了一段时间,又沿原路返回b千米(b<a),再前进c千米,则此人离起点的距离s与时间t的关系的示意图是.(填序号)2.某企业各年总产值预计以10%的速度增长,若2012年该企业总产值为1 000万元,则预计2015年该企业总产值为.3.一等腰三角形的周长是20,底边长y是关于腰长x的函数,则它的解析式是.4.某商人购货,进价已按原价a元扣去25%,他希望对货物定一新价,以便按新价让利20%销售后仍可获得售价的25%的纯利,则此商人卖出这种货物的件数x与按新价让利总额y元之间的函数关系式是.5.一种商品的成本原来是a元,今后几年内,预计可使成本平均每年比上一年降低p%,成本y是年数x的函数(0<x<m),其函数关系式是.6.某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘,根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒,则不同的选购方式共有种.7.以墙为一边,用篱笆围成一个长方形的场地,如下图,已知篱笆的总长为定值l,则这块场地面积y与场地一边长x的关系式为.8.某单位计划用围墙围出一块矩形场地,现有可筑墙的某种材料,其总长度为l米.如果要使围出的场地面积最大,则场地的最大面积为平方米.9.在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差,使得n次测量分别得到a1,a2,…,an共n个数据,我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”a是这样一个量:与其他近似值比较,a与各数据差的平方和最小.依此规定,从a1,a2,…,an推出的a= .10.把长为12 cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值为.11.某工厂生产甲、乙两种成本不同的产品,原来按成本价出售,由于市场销售发生变化,甲产品连续两次提价,每次提价都是20%;同时乙产品连续两次降价,每次降价都是20%,结果都以92.16元出售,此时厂家同时出售甲、乙产品各一件盈亏的情况是.12.光线通过一块玻璃,其强度要损失10%,把几块这样的玻璃重叠起来,设光线原来的强度为a,通过x块玻璃后强度为y,则y关于x的函数关系式为;至少通过块玻璃后,光线强度减弱到原来的13以下.(lg 3≈0.477 1)二、解答题13.一个自来水厂的蓄水池中有450吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水80吨,同时蓄水池又向居民小区供水,t小时内供水量为160√5t吨,现在开始向水池中注水并同时向居民小区供水.(1)问多少小时后蓄水池中水量最少?(2)当蓄水池中水量少于150吨时,就会出现供水紧张现象,问每天有几小时供水紧张?14.中国移动通信公司拥有“全球通”“神州行”“动感地带”三大著名客户品牌.某地“全球通”收费标准是月租费50元,通话1分钟话费为0.4元;“神州行”不交月租费,本地接听和主叫均为0.6元/分钟,长途为0.8元/分钟;“动感地带”的最大卖点在于其短信套餐,分别为每月支付20元可发300条短信或者每月支付30元可发500条短信(假设选择第一种套餐),一条不到一毛钱,拨打本地电话为0.4元/分钟,拨打长途为0.6元/分钟,免交月租.若一个月通话x分钟(仅考虑均拨打本地电话的情况),三种方式的费用分别为y1元、y2元和y3元.(1)一个月内通话多少分钟时,“全球通”与“神州行”的通信费用相同?(2)某人估计一个月内通话300分钟,应选择哪种通信方式合算?15.某地投资建印染厂,为了保护环境,需制订治污方案.甲方案为永久性治污方案,需一次投入100万元;乙方案为分期治污方案,需每月投资5万元.若投资额按复利计算,月利率为1%,试比较投产几个月后甲方案与乙方案的优势.(必要时可用以下数据:lg 1.010≈0.004 3,lg 1.253≈0.098,lg 1.250≈0.096 9,lg 1.235≈0.091 7)注:1+q+q2+…+q n=1-q n+11-q(q≠1).16.某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元,但每生产100台,需要增加可变成本(即另增加投入)0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台,销售收入的函数为R(x)=5x-x 22(万元)(0≤x≤5),其中x是年生产机器的数量(单位:百台).(1)把利润表示为年产量的函数;(2)年产量是多少时,工厂所得的利润最大?(3)年产量是多少时,工厂才不会亏本?一、填空题1.(2015江苏淮阴中学检测,★☆☆)一个水池每小时注入的水量是全池的110,水池还没有注水部分的总量y随时间x变化的关系式为.2.(2015江苏海门中学训练,★★☆)某学校要装备一个实验室,需要购置实验设备若干套,与厂家协商后厂家同意按出厂价结算,若超过50套就可以每套比出厂价低30元给予优惠.如果按出厂价购买应付a元,但再多买11套就可以按优惠价结算,恰好也付a元(价格为整数),则a的值为.3.(2014江苏姜堰期中,★★☆)某人定做了一批地砖,每块地砖(如图1所示)是边长为40 cm的正方形ABCD,点E,F分别在边BC和CD上,△CFE,△ABE和四边形AEFD分别由单一材料制成,且制成△CFE,△ABE 和四边形AEFD的三种材料的每平方厘米价格依次为3元,2元,1元.若将此种地砖按图2所示的方式铺设,能使中间的深色阴影部分构成四边形EFGH,则当CE= cm时,定做这批地砖所需的材料费用最少.图1 图2二、解答题4.(2015江苏无锡期末检测,★☆☆)某IT企业上年度生产某种型号的电脑,每台所需成本为4 000元,每台售价为4 500元,年销量为2 000台.根据市场调研反馈,本年度计划生产一种升级版的电脑,需要适度增加投入.若每台电脑成本增加的比例为x(0<x<1),则每台电脑的售价相应提高的比例为0.8x,同时年销量增加的比例为1.1x.(1)写出本年度预计的年利润y(万元)与x的函数关系式;(2)为了使本年度预计的年利润比上一年度有所增加,问x应控制在什么范围内?5.(2015江苏苏州期末测试,★★☆)某厂生产某种产品x百台,总成本为C(x)万元,其中固定成本为2万元,每生产1百台,成本增加1万元,销售收入函数为R(x)={4x-12x2-12,0≤x≤4,7.5,x>4.假定该产品产销平衡.(1)若要该厂不亏本,产量x应控制在什么范围内?(2)该厂年产多少台时,可使利润最大?(3)求该厂利润最大时产品的售价.6.(2014江苏阜宁中学调研,★★☆)某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段,已知跳水板AB长为2 m,跳水板距水面CD的高BC为3 m,CE=5 m,CF=6 m,为保证安全和使空中姿态优美,训练时跳水曲线应在离起跳点h m(h≥1)时达到距水面的最大高度4 m.以直线CD为横轴,直线CB为纵轴建立直角坐标系.(1)当h=1时,求跳水曲线所在的抛物线方程;(2)若跳水运动员在区域EF内入水才能达到压水花的训练要求,求达到压水花的训练要求时h的取值范围.7.(2014江苏扬州期末,★★☆)我国加入WTO后,根据达成的协议,若干年内某产品关税与市场供应量P的关系允许近似地满足y=P(x)=2(1-kt)(x-b)2其中t为关税的税率,且t∈[0,12),x为市场价格,b、k为正常数,当t=18时的市场供应量曲线如图所示.(1)根据图象求b、k的值;(2)若市场需求量为Q,它近似满足Q(x)=211-x2.当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格,为使市场平衡价格不低于9元,求税率t的最小值.8.(2013江苏江浦中学期末,★★☆)经市场调查,某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数,且销售量近似地满足f(t)=-2t+200(1≤t≤50,t∈N).前30天的价格为t+30(1≤t≤30,t∈N),后20天的价格为g(t)=45(31≤t≤50,t∈N).g(t)=12(1)写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系式;(2)求日销售额S的最大值.知识清单一、①数学模型②数学结果③建立数学模型链接高考1.解析(1)当0≤t≤30时,设f(t)=kt,由60=30k解得k=2,则f(t)=2t.当30<t≤40时,设f(t)=at+b,由解得则f(t)=-6t+240.所以,国内市场的日销售量(单位:万件)f(t)=设g(t)=mt(t-40),由60=20m(20-40)解得m=-.所以,国外市场的日销售量(单位:万件)g(t)=-t2+6t(0≤t≤40).(2)设每件产品A的销售利润为q(t)元,由题图(3)易得q(t)=从而这家公司的日销售利润Q(t)(万元)的解析式为Q(t)=q(t)·[f(t)+g(t)]=2.解析设供应站的坐标为x,各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为d(x).(1)由题设知,x1≤x≤x3,所以d(x)=x-x1+|x-x2|+x3-x=|x-x2|-x1+x3,故当x=x2时,d(x)取最小值,此时供应站的位置为x=x2.(2)由题设知,x1≤x≤x3,所以d(x)=2(x-x1)+|x-x2| +3(x3-x)=因此,函数d(x)在区间[x1,x2)上是减函数,在区间[x2,x3]上是常数函数,且易知d(x)在[x1,x3]上的图象连续,故供应站的位置位于区间[x2,x3]上任意一点时,均能使函数d(x)取得最小值,且最小值为3x3-x2-2x1.3.解析(1)∵树叶沙沙声的强度是I1=1×10-12 W/m2,∴=1,∴=10lg 1=0(分贝), 即树叶沙沙声的强度水平为0分贝;耳语的强度是I2=1×10-10 W/m2,则=102,∴=10lg 102=20(分贝),即耳语的强度水平为20分贝;恬静的无线电广播的强度是I3=1×10-8 W/m2,则=104,∴=10lg 104=40(分贝),即恬静的无线电广播的强度水平为40分贝.(2)由题意知:0≤LI<50,即0≤10lg<50,∴1≤<105,即10-12≤I<10-7.∴新建的安静小区的声音强度I大于或等于10-12 W/m2,同时应小于10-7 W/m2.基础过关一、填空题1.答案③解析由于有“休息一段时间”,所以图象①不符;图象②在沿原路返回时没有花费时间(体现在平行于s轴的那一段),也不符合现实;图象④没有“原路返回”.2.答案 1 331万元解析预计2015年该企业总产值为1 000×(1+10%)3=1 331(万元).3.答案y=20-2x(5<x<10)解析三角形的周长等于三角形三边长之和,故y=20-2x.由2x>y得2x>20-2x,所以x>5.由20-2x>0得x<10,故填y=20-2x(5<x<10).4.答案y=x(x∈N*)解析设新价为b元,则售价为b(1-20%)元,因为原价为a元,所以进价为a(1-25%)元,依题意得b(1-20%)-a(1-25%)=b(1-20%)·25%,化简得b=a,所以y=b·20%x=x(x∈N*).5.答案y=a(1-p%)x(0<x<m)解析每年成本=上一年成本×(1-p%),故得y=a(1-p%)x(0<x<m).6.答案7解析设购买软件x片,磁盘y盒,依题意得60x+70y≤500,其中x∈N且x≥3,y∈N且y≥2,则有共7种选购方式.7.答案y=x·(l-2x)解析长方形的面积=长×宽.8.答案解析设矩形场地的长为x米,则宽为(l-2x)米,所以矩形场地的面积(单位:平方米)为S=x·=-x2+x=-+.因为所以0<x<,当x=时,Smax=.此时这个矩形场地的宽为×=米,故当这个矩形场地是边长为米的正方形场地时,场地的面积最大.9.答案(a1+a2+…+an)解析此题应排除物理因素的干扰,抓准题中的数量关系,将问题转化成函数求最值问题.由题意可知所求a应使y=(a-a1)2+(a-a2)2+…+(a-an)2最小,由于y=na2-2(a1+a2+…+an)a+(++…+),若把a看成自变量,则y是关于a的二次函数,于是问题转化为求二次函数的最小值.因为n>0,所以二次函数的图象开口方向向上,当a=×(a1+a2+…+an)时,y取最小值,所以a=(a1+a2+…+an)即为所求.10.答案 2 cm2解析设其中一个正三角形的边长为a cm,则另一个正三角形的边长为(4-a)cm(0<a<4),所以S=[a2+(4-a)2]=(2a2-8a+16)=(a2-4a+8)=[(a-2)2+4],所以Smin=×4=2(cm2).11.答案亏损23.68元解析设甲产品原价为a元,则a(1+20%)2=92.16,∴a=64.设乙产品原价为b元,则b(1-20%)2=92.16,∴b=144.由2×92.16-(a+b)=-23.68知,如果厂家同时出售甲、乙产品各一件,则亏损23.68元.12.答案y=a·0.9x(x∈N*);11解析由题意得y=a(1-10%)x=a·0.9x(x∈N*).因为y<a,所以a·0.9x<a,所以0.9x<,x>log0.9=≈10.4,又x∈N*,所以x≥11.二、解答题13.解析(1)设t小时后蓄水池中水量为y吨,则y=450+80t-160.设x=,则t=,则y=16x2-160x+450=16(x-5)2+50.当x=5,即t=5时,y取最小值,所以5小时后蓄水池中水量最少.(2)依题意得450+80t-160<150,由(1)得16x2-160x+450<150,即4x2-40x+75<0,解得<x<,即<t<,-=10,所以每天有10小时供水紧张.14.解析(1)y1=50+0.4x,y2=0.6x,y3=20+0.4x,由y1=y2解得x=250,所以一个月内通话250分钟时,“全球通”与“神州行”的通信费用相同.(2)当x=300时,y1=170,y2=180,y3=140,所以使用“动感地带”合算些.15.解析设经过x个月后,甲、乙两方案的本息和分别为y万元、z万元,则y=100(1+1%)x, z=5[1+(1+1%)+(1+1%)2+…+(1+1%)x-1]==500(1.01x-1).令100(1+1%)x<500(1.01x-1),得1.01x>,两边取常用对数得x>≈≈22.53.故工厂投产23个月后甲方案优于乙方案,而投产1至22个月时,乙方案优于甲方案.16.解析(1)当0≤x≤5时,产品能售出x百台;当x>5时,只能售出5百台,设成本函数为C(x),故利润函数为L(x)=R(x)-C(x)==(2)当0≤x≤5时,L(x)=4.75x-0.5x2-0.5=-0.5(x-4.75)2+10.781 25,当x=4.75时,L(x)max=10.781 25,当x>5时,L(x)=12-0.25x为减函数,此时L(x)<10.75,∴年生产475台时利润最大.(3)由或得5≥x≥4.75-≈0.11或5<x≤48,∴0.11≤x≤48,∴产品年产量在11台至4 800台时,工厂才不会亏本.三年模拟一、填空题1.答案y=1-,x∈[0,10]解析设满池为1,则有水的部分为1-y,于是1-y=·x,即y=1-,x∈[0,10].2.答案 6 600解析设按出厂价y元购买x(x≤50)套应付a元,则a=xy.再多买11套就可以按优惠价结算,恰好也付a元,则a=(x+11)(y-30)(x+11>50).∴xy=(x+11)(y-30)(39<x≤50).∴x=y-30,39<x≤50.又由已知得x∈N,y∈N,∴x=44,y=150,∴a=44×150=6 600.3.答案10解析设CE=x cm,则FC=x cm,BE=(40-x)cm(0<x<40),设△CFE,△ABE和四边形AEFD的面积分别为S1cm2,S2 cm2,S3cm2,地砖的总费用为y元,则y=3S1+2S2+S3=x2+402-40x+402-x2-20×40+20x=x2-20x+2 400,二次函数图象开口向上,其对称轴为x=10,所以当x=10,即CE=10 cm时,费用最少.二、解答题4.解析(1)本年度生产每台电脑的成本为0.4(1+x)万元, 每台售价为0.45(1+0.8x)万元,年销量为2 000(1+1.1x)台, 由题意得y=2 000(1+1.1x)[0.45(1+0.8x)-0.4(1+x)]=2 000(1+1.1x)(0.05-0.04x)=2(10+11x)(5-4x)=-88x2+30x+100(0<x<1).(2)由题意得-88x2+30x+100>(0.45-0.4)×2 000,∴-88x2+30x>0,又0<x<1,∴0<x<.所以x应在内.5.解析由题意得,成本函数为C(x)=2+x,从而利润函数L(x)=R(x)-C(x)=(1)要使该厂不亏本,只要L(x)≥0即可,当0≤x≤4时,L(x)≥0⇒3x-0.5x2-2.5≥0⇒1≤x≤5,又0≤x≤4,∴1≤x≤4.当x>4时,L(x)≥0⇒5.5-x≥0⇒x≤5.5,∴4<x≤5.5.综上,1≤x≤5.5.所以若要该厂不亏本,则产量x应控制在100台到550台之间.(2)当0≤x≤4时,L(x)=-0.5(x-3)2+2,=2(万元).故当x=3时,L(x)max当x>4时,L(x)<1.5<2.综上,当年产300台时,可使利润最大,(3)由(2)知x=3时,利润最大,此时的售价为P==≈2.33(万元/百台)=233元/台.6.解析(1)由题意知最高点坐标为(2+h,4),h≥1,设抛物线方程为y=a[x-(2+h)]2+4,当h=1时,最高点坐标为(3,4),方程为y=a(x-3)2+4,将(2,3)代入,得3=a(2-3)2+4,解得a=-1.∴当h=1时,跳水曲线所在的抛物线方程为y=-(x-3)2+4.(2)将(2,3)代入y=a[x-(2+h)]2+4,得ah2=-1,所以a=-.由题意知方程a[x-(2+h)]2+4=0在区间[5,6]内有一解.令f(x)=a[x-(2+h)]2+4=-[x-(2+h)]2+4,则f(5)=-(3-h)2+4≥0,且f(6)=-·(4-h)2+4≤0.又h≥1,解得1≤h≤.故达到压水花的训练要求时h的取值范围为.7.解析(1)∵函数图象过点(5,1),(7,2),∴∴解得(2)当P=Q时,=,即(1-6t)·(x-5)2=11-,化简得1-6t==·=·,令m=(x≥9),∴m∈,设f(m)=17m2-m,m∈,则其图象的对称轴为直线m=,=f=,∴当m=时,1-6t取到最大值,最大值为×,即1-6t≤×,解得t≥,即市场平衡价格不低于9∴f(m)max元时,税率t的最小值为.8.解析(1)根据题意,得S==(2)①当1≤t≤30,t∈N时,S=-(t-20)2+6 400,∴当t=20时,S取最大值6 400;②当31≤t≤50,t∈N时,S=-90t+9 000为减函数,∴当t=31时,S取最大值6 210.∵6 210<6 400,∴当t=20时,日销售额S取最大值6 400.。
人教版数学高一单元测试卷第30课时函数模型应用举例含解析
课时目标解析：设隔墙的长为x
·－4x 2
的蓄水量如图丙所示．给出以下4个说法，正确的是( )
点只进水不出水
点不进水只出水
点不进水不出水
＋x－2＝
上，即2<x≤3
AP2＝AD2＋DP
＋－x2＝
上，即3<x≤4时，有
所以所求的函数关系式为
)
，在两地之间距A城市
两城市的生活垃圾和工业垃圾．为保证不影响两城市的环境，垃圾处理厂与市区距离不得少于已知垃圾处理费用和距离的平方与垃圾量之积的和成正比，比例系数为
10 t.
30x－t
e x
(25≤
时，y 100e30x－
e x
＝
＝x－y＝e x－26的图象(如图所示)．
的解为x＝26，
26元时，该工厂的利润为100e4元．
能力提升
某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠的增加值分别为万公顷，则下列选项中与沙漠增加数y(公顷)关于年数。
【高一】高一数学《函数模型及其应用》练习题及答案
【高一】高一数学《函数模型及其应用》练习题及答案【导语】以下是逍遥右脑为大家推荐的有关高一数学《函数模型及其应用》练习题及答案，如果觉得很不错，欢迎分享～感谢你的阅读与支持！1.为了满足市场需求，a公司在调整后对产品结构进行了重大调整，初始利润增长迅速，然后增长越来越慢。
如果你想建立一个适当的函数模型来反映公司调整后的利润y和产出X之间的关系，你可以选择（）a.一次函数b.二次函数c、指数函数D.对数函数解析：选d.一次函数保持均匀的增长，不符合题意;二次函数在对称轴两侧增加和减少；而指数函数是爆炸式增长，不符合“增长越来越慢”;因此，只有对数函数最符合问题的含义，先是快速增长，然后变得越来越慢2.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：x123…y138…在下面的函数关系中，可以表达这种关系的是（）a.y=2x-1b.y=x2-1c、 y=2x-1d。
y=1.5x2-2.5x+2解析：选d.画散点图或代入数值，选择拟合效果最好的函数，故选d.3.图中显示了一名自行车手和一名摩托车手在相距80公里的两个城镇之间行驶的功能图像。
从图中可以看出，骑自行车的人花了6个小时，一路上休息了1个小时，骑摩托车的人花了2个小时。
根据该功能图，导出了关于两个旅行者的以下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时;② 骑自行车的人以可变速度移动，而骑摩托车的人以恒定速度移动；③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者.正确信息的序列号为（）a.①②③b.①③C②③D①②解析：选a.由图象可得：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时，正确;②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动，正确;③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者，正确.4.当长度增加X，宽度减少x2时，长度为4，宽度为3的矩形的面积最大。
此时，x=______;，面积s=____解析：依题意得：s=(4+x)(3-x2)=-12x2+x+12=-12（x-1）2+1212，当x=1时，Smax=1212答案：11212。
高一数学 上册第三章 函数模型及其应用知识点及练习题(含答案)
函数模型及其应用重难点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型的函数增长的含义．考纲要求：①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；②了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用．当堂练习：1．某物体一天中的温度T是时间t的函数: T(t)=t3-3t+60,时间单位是小时,温度单位是,当t=0表示中午12:00,其后t值取为正,则上午8时的温度是（）A．8 B．112C．58 D．182.某商店卖A、B两种价格不同的商品，由于商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以每件23.04元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升、不降的情况相比较，商店盈利的情况是：（）A．多赚5.92元B．少赚5.92元C．多赚28.92元D．盈利相同3．某厂生产中所需一些配件可以外购,也可以自己生产,如外购,每个价格是1.10元;如果自己生产,则每月的固定成本将增加800元,并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元,则决定此配件外购或自产的转折点是（）件(即生产多少件以上自产合算)A．1000 B．1200 C．1400 D．16004．在一次数学实验中, 运用图形计算器采集到如下一组数据．x -2.0 -1.0 0 1.00 2.00 3.00y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02则x,y的函数关系与下列哪类函数最接近?(其中a,b为待定系数) （）A．y=a+bX B．y=a+bx C．y=a+logbx D．y=a+b/x5．某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y=3000+20x－0.1x2（0<x<240，x∈N），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（）A．100台B．120台C．150台D．180台6．购买手机的“全球通”卡，使用须付“基本月租费”(每月需交的固定费用)50元，在市内通话时每分钟另收话费0.40元；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，但在市内通话时每分钟话费为0.60元．若某用户每月手机费预算为120元，则它购买_________卡才合算．8．某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路.该产品的广告效应应该是产品的销售额与广告费之间的差.如果销售额与广告费的算术平方根成正比,根据对市场进行抽样调查显示:每付出100元的广告费,所得的销售额是1000元.问该企业应该投入-----------------------________广告费,才能获得最大的广告效应．9．商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价为20元，茶杯每只定价5元，该店制定了两种优惠办法：（1）买一只茶壶送一只茶杯；（2）按总价的92%付款；某顾客需购茶壶4只，茶杯若干只（不少于4只）.则当购买茶杯数_______时, 按（2）方法更省钱．10．一块形状为直角三角形的铁皮,直角边长分别为40cm和60cm,现要将它剪成一个矩形,并以此三角形的直角为矩形的一个角,则矩形的最大面积是_________．11．某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y 与时间t之间近似满足如图所示的曲线．（1）写出服药后y与t之间的函数关系式；（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为上午7:00，问一天中怎样安排服药的时间（共4次）效果最佳．12．某省两个相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为公共交通车，已知如果该列火车每次拖4节车厢，能来回16次;如果每次拖7节车厢，则能来回10次.每日来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，问：这列火车每天来回多少次，每次应拖挂多少节车厢才能使营运人数最多?并求出每天最多的营运人数．13．市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析，发现有如下规律:该商品的价格每上涨x%(x＞0)，销售数量就减少kx% (其中k为正常数)．目前，该商品定价为a元，统计其销售数量为b个．(1)当k=时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大．(2)在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时k的取值范围．14．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为l万件，1.2万件，1.3万件．为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据．用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数(其中a，b，c为常数)．已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好．并说明理由．参考答案：当堂练习：1.A ;2. C ;3. D ;4. A ;5. C ;6. 神州行;7. y= -10x+560,31, 6250;8. 2500;9. 大于34; 10. 600;11. (1)依题得，(2)设第二次服药时在第一次服药后t1小时，则,因而第二次服药应在11:00；设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有解得t2=9小时，故第三次服药应在16:00；设第四次服药在第一次后t3小时（t3>10），则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和，解得t3=13.5小时，故第四次服药应在20:30．12.设每日来回y次，每次挂x节车厢，由题意，y=kx+b，且当x=4时，y=16;当x=7时，y=10.解得：k=－2，b=24，∴y=－2x+24. 由题意，每次挂车厢最多时，营运人数最多，设每日拖挂W节车厢，则W=2xy=2x（－2x+24）=－4x2+48x=－4（x－6）2+144，∴当x=6时，Wmax=144，此时，y=12，最多营运15840人．13.解:依题意，价格上涨x%后，销售总金额为: y=a(1+x%)· b(1－kx%)=［－kx2+100(1－k)x+10000］.(1)取k=，y=［－x2+50x+10000］,∴x = 50，即商品价格上涨50%时，y最大为ab.(2)因为y=［－kx2+100(1－k)x+10000］，此二次函数开口向下，对称轴为x=，在适当涨价过程中，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x在{x|x＞0}的一个子集中增大时，y也增大.所以＞0，解之0＜k＜1．14.设二次函数为y=px2+qx+r，则,所以,当x=4时, y=1.3;对于函数,由,所以,当x=4时, y=1.35,显然,用函数作为模拟函数较好．。
2024年新高一数学初升高衔接《函数模型的应用》含答案解析
第20讲 函数模型的应用模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．会利用已知函数模型解决实际问题；2．能建立函数模型解决实际问题；3．了解拟合函数模型并解决实际问题.知识点 1 函数模型的选择与建立1、几种常见的函数模型（1）一次函数模型：=+y kx b （k ，b 为常数，0≠k ）（2）二次函数模型：2=++y ax bx c （,,a b c 为常数，0≠a ）（3）指数函数模型：=+xy ba c （,,a b c 为常数，0≠b ，0>a 且1≠a ）（4）对数函数模型：log =+a y m x n （,,m a n 为常数，0≠m ，0>a 且1≠a ）（5）幂函数模型：=+ny axb （,a b 为常数，0≠a ）（6）分段函数模型：,,+<⎧=⎨+≥⎩ax b x my cx d x m ．2、建立函数模型时，求函数解析式的方法（1）待定系数法：已知条件中给出了含参数的函数解析式或根据已知条件可确定函数的模型，这种情况下，运用待定系数法求出解析式中的相关参数，就可以确定函数的解析式．（2）归纳法：先给自变量一些特殊值，计算出相应函数值，从中发现规律，在推广到一般情形，从而得到函数的解析式．（3）方程法：用x表示自变量或其他相关量，根据问题的实际意义，运用已掌握的数学、物理的方面的知识，列出函数的解析式，此种方法形式上与列方程解应用题相仿，故称为方程法，实际上函数的解析式就是关于,x y的方程．3、用函数模型求解应用问题的四个步骤（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；（2）建模：将自然语言化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得出数学模型；（4）还原：将数学结论还原为实际问题．知识点 2 拟合函数模型的建立与求解1、数学建模：研究实际问题时，要深入调查，了解对象信息，给出简化假设，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子（也就是数学模型），然后计算得到模型的结果，并进行检验，最后解释实际问题．这个建立数学模型的全过程就成为数学建模．2、函数拟合：根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合、比较，从而选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合（或数据拟合）．3、函数拟合与预测的一般步骤（1）通过原始数据、表格，绘出散点图；（2）通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线；（3）求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；（4）根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数；（5）利用选取的拟合函数进行预测；（6）利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．考点一：指数型函数模型的应用例1．（23-24高一上·河北唐山·月考）某灭活疫苗的有效保存时间T （单位：h ）与储藏的温度t （单位：C ︒）满足的函数关系为e kt b T +=（k ,b 为常数），超过有效保存时间，疫苗将不能使用．若在0C ︒时的有效保存时间是1080h ，在10C ︒时的有效保存时间是120h ，则该疫苗在15C ︒时的有效保存时间是（ ）A ．15hB ．30hC ．40hD ．60h【变式1-1】（23-24高一下·河北石家庄·月考）某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，已知第n 次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量n r （3g/m ）满足函数模型()0.2512.250.043n n r -=-⨯（n *∈N ），其中n 为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过30.25g/m 时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（ ）（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈）A ．14次B ．15次C ．16次D ．17次【变式1-2】（23-24高一下·湖北·月考）把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是1θ℃，空气的温度是0θ℃，则t min 后该物体的温度θ℃可由公式4010()e tθθθθ-=+-求得．若将温度分别为100℃和40℃的两块物体放入温度是20℃的空气中冷却，要使得这两块物体的温度之差不超过10℃，至少要经过（ ）（取：ln 20.69=，ln 3 1.10=）A ．4.14minB ．5.52minC ．6.60minD ．7.16min【变式1-3】（23-24高一下·海南·月考）指数函数模型在生活生产中应用广泛，如在疾病控制与统计､物理学､生物学､人口预测等问题上都可以应用其进行解决.研究发现，某传染病传播累计感染人数I 随时间x （单位：天）的变化规律近似有如下的函数关系：0e kxI I =，其中0,I k 为常数，0I 为初始感染人数.若前3天感染人数累计增加了21%，则感染人数累计增加80%需要的时间大约为（ ）（参考数据：ln3 1.1,ln5 1.6,ln10 2.3≈≈≈，ln11 2.4≈）A ．10.5天B ．9天C ．8天D ．6天考点二：对数型函数模型的应用例2.（23-24高一上·北京顺义·期末）燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬.专家发现两岁燕子的飞行速度v （单位：m /s ）可以表示为25log 10Qv =，其中Q 表示燕子耗氧量的单位数.某只两岁燕子耗氧量的单位数为1Q 时的飞行速度为1v ，耗氧量的单位数为2Q 时的飞行速度为2v ，若()217.5m /s v v -=，则12Q Q 的值为（ ）A B C ．D 【变式2-1】（23-24高一下·广东茂名·月考）中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信通带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽W 在原来的基础上增加20%，信噪比SN从1000提升至5000，则C 大约增加了（ ）（附：lg 20.3010≈）A ．48%B ．37%C ．28%D ．15%【变式2-2】（23-24高一下·贵州遵义·月考）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020lg p pL p =⨯，其中常数 (0)p p > 是听觉下限阈值，p 是实际声压.下表为不同声源的声压级.声源与声源的距离/m声压级/dB 燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ，则（ ）A ．12p p <B ．2310p p >C ．30100p p =D ．12100p p >【变式2-3】（23-24高一上·山东菏泽·月考）里氏震级M 的计算公式：0lg lg M A A =-，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，0A 是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_______倍．（ ）A ．6，1000B ．4，1000C ．6，10000D ．4，10000考点三：根据增长率选择函数模型例3.（23-24高一上·江苏苏州·月考）在一次物理实验中，某同学采集到如下一组数据：x 0.50.99 2.01 3.98y﹣0.990.010.982.00在四个函数模型中，最能反映x ，y 函数关系的是（ ）A ．2y x =B ．21y x =-C ．22y x =-D ．2log y x =【变式3-1】（23-24高一上·陕西西安·月考）2006年至2018年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，无法近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是（ ）A ．2()f x ax bx c =++B ．()e x f x a b =+C ．()e ax bf x +=D ．()ln f x a x b=+【变式3-2】（23-24高一上·江苏·月考）若三个变量1y 、2y 、3y ，随着变量x 的变化情况如下表.x13579111y 51356251715364566552y 52924521892196851771493y 56.10 6.616.9857.27.4则关于x 分别呈函数模型：log a y m x n =+、x y pa q =+、a y t kx =+变化的变量依次是（ ）A ．1y 、2y 、3y B ．3y 、2y 、1y C ．1y 、3y 、2y D ．3y 、1y 、2y 【变式3-3】（22-23高一上·广东揭阳·期末）某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：x 1.0 2.0 4.08.0y0.010.992.023现欲从理论上对这些数据进行分析并预测，则下列模拟函数合适的是（ ）A ．2log y x=B ．2xy =C ．223y x x =+-D ．23y x =-考点四：拟合函数模型的建立例4.（23-24高一上·河南南阳·月考）数据显示，某IT 公司2023年2月—6月的月收入情况如下表所示：月份23456月收入（万元）1.42.565.311121.3根据上述数据，在建立该公司2023年月收入y （万元）与月份x 的函数模型时，给出两个函数模型12y x =与23xy =供选择.(1)你认为哪个函数模型较好，并简单说明理由；(2)试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几月份开始，该公司的月收入会超过100万元？（参考数据：lg20.3010≈，lg30.4771≈）【变式4-1】（23-24高一上·江苏·月考）2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．某科研机构对某变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间T 进行一次记录，用x 表示经过单位时间的个数，用y 表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：()x T 123456⋯(y 万个)⋯10⋯50⋯250⋯若该变异毒株的数量(y 单位：万个)与经过()*x x N ∈个单位时间T 的关系有两个函数模型2y px q =+与)01(x y ka k a =>>，可供选择．(2.236≈ 2.449≈，lg 20.301≈，lg 60.778.≈(1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；(2)求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于1亿个．【变式4-2】（22-23高一上·福建南安·月考）在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y （单位：百万个）与培养时间x （单位：小时）的关系为：x234568y3.53.844.164.34.5根据表格中的数据画出散点图如下：为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择：①2log y a x b =+，②y b =，③2x a y b -=+．(1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；(2)利用()4,4和()8,4.5这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第2小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到5百万个．【变式4-3】（22-23高一上·贵州黔东南·期末）1766年人类已经发现太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星．科学家在研究了各行星离太阳的距离（单位：AU ，AU 是天文学中计量天体之间距离的一种单位）的排列规律后，预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星（后被命名为谷神星）存在，并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据：行星编号()x 1（金星）2（地球）3（火星）4（ ）5（木星）6（土星）离太阳的距离()y 0.7 1.0 1.6 5.2110.01(1)为了描述行星离太阳的距离y 与行星编号x 之间的关系，根据表中已有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型（直接给出结论）；①y ax b =+；②2x y a b =⨯+；③2log y a x b =+．(2)根据你的选择，依表中前三组数据求出函数解析式，并用剩下的两组数据检验模型的吻合情况；（误差小于0.2的为吻合）(3)请用你求得的模型，计算谷神星离太阳的距离．一、单选题1．（23-24高一下·云南·月考）在一个空房间中大声讲话会产生回音，这个现象叫做“混响”．用声强来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为0W ，则经过t 秒后这段声音的声强变为()0e tW t W τ-=，其中τ是一个常数．把混响时间R T 定义为声音的声强衰减到原来的610-所需的时间，则R T 约为（参考数据：ln20.7,ln5 1.6≈≈）（ ）A ．6.72τB ．8.3τC ．13.8τD ．148τ2．（23-24高一下·湖南衡阳·月考）某企业2018年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长8%，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.080.033lg 20.301lg 30.477≈≈≈，，）A ．2021B ．2022C ．2023D ．20243．（23-24高一下·安徽芜湖·月考）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是95%100%~，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：()0e KtS t S =描述血氧饱和度()S t 随给氧时间t （单位：时）的变化规律，其中0S 为初始血氧饱和度，K 为参数.已知060%S =，给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ）（精确到0.1，参考数据：ln20.69,ln3 1.10≈≈）A ．0.3B ．0.5C ．0.7D ．1.54．（23-24高一上·湖南邵阳·月考）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足lg L a b V =+（其中a ，b 为常数），已知某同学视力的五分记录法的数据为3.0时小数记录法的数据为0.01，五分记录法的数据为4.0时小数记录法的数据为0.1，则（ ）A ．5a =，b lge =B ．5a =，1b =C ．5a =，ln10b =D ．1a =，5b =5．（23-24高一上·北京·月考）在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v （单位：km /s 与燃料的质量M （单位：kg ），火箭（除燃料外）的质量m （单位：kg ）的函数关系是2000ln 1M v m ⎫⎛=+ ⎪⎝⎭．当燃料质量与火箭质量的比值为0t 时，火箭的最大速度可达到0km /s v ．若要使火箭的最大速度达到02km /s v ，则燃料质量与火箭质量的比值应为（ ）A ．22t B ．2002t t +C ．02t D ．2002t t +6．（23-24高一上·全国·月考）有一组实验数据如下:t 1.993.004.005.106.12V1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）A ．2log V t=B ．12log V t=C ．212t V -=D ．22V t =-二、多选题7．（23-24高三下·江西·月考）土壤是自然界中最大的生态系统，具有十分重要的作用.利用绿色化学药剂来降低土壤中的重金属含量是改善土壤环境的一项重要工作，若在使用绿色化学药剂降低土壤中重金属含量的过程中，重金属含量m (单位:mg /L)与时间t (单位:h )满足关系式()e btam t =，已知处理1h 后，重金属含量减少20%，则（ ）(lg 20.301≈)A ．a 表示未经处理时土壤中的重金属含量B ．b 的值为ln 0.8C ．使土壤中的重金属含量减少一半需要处理约2hD ．函数()m t 为减函数8．（22-23高一下·广西柳州·月考）如图，某池塘里浮萍的面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）的关系为t y a =（0a >，且1a ≠）.下列说法正确的是（ ）A ．浮萍每月的增长率为2B ．第5个月时，浮萍面积就会超过230mC ．浮萍每月增加的面积都相等D ．若浮萍蔓延到22m ，23m ，26m 所经过的时间分别是1t ，2t ，3t ，则123t t t +=三、填空题9．（22-23高一上·浙江台州·月考）声强级（单位：dB ）由公式11210lg 10I L -⎛⎫= ⎪⎝⎭给出，其中I 为声强（单位：2W/m ）.平时常人交谈时声强约为6210W/m -，则其声强级是 dB .10．（23-24高三上·云南楚雄·期中）生物学家为了了解某药品对土壤的影响，常通过检测进行判断.已知土壤中某药品的残留量y （mg ）与时间t （年）近似满足关系式212log 1y a t =+（0a ≠），其中a 是残留系数，则大约经过 年后土壤中该药品的残留量是2年后残留量的14. 1.41≈，答案保留一位小数）11．（23-24高一下·安徽·开学考试）中国茶文化源远流长，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至50℃时饮用，可以产生最佳口感.为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是0T ，经过min t 后的温度是T ，则()()0ee 2.71828thT T T T αα--=-≈ ，其中T α表示环境温度，h 为常数.该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是90℃，放在10℃的室温中，10min 以后茶水的温度是70℃，在上述条件下，大约需要再放置 min 能达到最佳饮用口感.（结果精确到0.1，参考数据：ln 20.7≈，ln 3 1.1≈）四、解答题12．（22-23高一上·重庆·月考）为了迎接中国共产党第二十次全国代表大会胜利召开，某商场决定将一批进价为40元/件的商品降价出售，在市场试销中发现，此商品的销售单价x （单位：元）与日销售量y （单位：件）之间有如下表所示的关系.xL 40505560L yL603015L(1)根据表中提供的数据描出实数对(),x y 的对应点，确定y 与x 的一个函数关式()y f x =(2)设经营此商品的日销售利润为()L x （单位：元），根据上述关系，写出()L x 关于x 的函数解析式，并求日销售利润的最大值.13．（22-23高一上·山东济南·期末）“宸宸”“琮琮”“莲莲”是2023年杭州亚运会吉祥物，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文､自然生态和创新基因.某中国企业可以生产杭州亚运会吉祥物“宸宸”“琮踪”“莲莲”，根据市场调查与预测，投资成本x （百万元）与利润y （百万元）的关系如下表：x （百万元）L 2L 4L 12L y （百万元）L0.4L0.8L12.8L当投资成本x 不高于12（百万元）时，利润y （百万元）与投资成本x （百万元）的关系有两个函数模型2(0)y Ax B A =+>与(0,1)x y Ta T a =>>可供选择.(1)当投资成本x 不高于12（百万元）时，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；(2)当投资成本x 高于12（百万元）时，利润y （百万元）与投资成本x （百万元）满足关系()()0.2121712.8y x x =---+，结合第（1）问的结果，要想获得不少于一千万元的利润，投资成本x （百万元）应该控制在什么范围.（结果保留到小数点后一位）（参考数据：lg20.30≈）第20讲 函数模型的应用模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．会利用已知函数模型解决实际问题；2．能建立函数模型解决实际问题；3．了解拟合函数模型并解决实际问题.知识点 1 函数模型的选择与建立1、几种常见的函数模型（1）一次函数模型：=+y kx b （k ，b 为常数，0≠k ）（2）二次函数模型：2=++y ax bx c （,,a b c 为常数，0≠a ）（3）指数函数模型：=+xy ba c （,,a b c 为常数，0≠b ，0>a 且1≠a ）（4）对数函数模型：log =+a y m x n （,,m a n 为常数，0≠m ，0>a 且1≠a ）（5）幂函数模型：=+ny axb （,a b 为常数，0≠a ）（6）分段函数模型：,,+<⎧=⎨+≥⎩ax b x my cx d x m ．2、建立函数模型时，求函数解析式的方法（1）待定系数法：已知条件中给出了含参数的函数解析式或根据已知条件可确定函数的模型，这种情况下，运用待定系数法求出解析式中的相关参数，就可以确定函数的解析式．（2）归纳法：先给自变量一些特殊值，计算出相应函数值，从中发现规律，在推广到一般情形，从而得到函数的解析式．（3）方程法：用x表示自变量或其他相关量，根据问题的实际意义，运用已掌握的数学、物理的方面的知识，列出函数的解析式，此种方法形式上与列方程解应用题相仿，故称为方程法，实际上函数的解析式就是关于,x y的方程．3、用函数模型求解应用问题的四个步骤（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；（2）建模：将自然语言化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得出数学模型；（4）还原：将数学结论还原为实际问题．知识点 2 拟合函数模型的建立与求解1、数学建模：研究实际问题时，要深入调查，了解对象信息，给出简化假设，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子（也就是数学模型），然后计算得到模型的结果，并进行检验，最后解释实际问题．这个建立数学模型的全过程就成为数学建模．2、函数拟合：根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合、比较，从而选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合（或数据拟合）．3、函数拟合与预测的一般步骤（1）通过原始数据、表格，绘出散点图；（2）通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线；（3）求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；（4）根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数；（5）利用选取的拟合函数进行预测；（6）利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．考点一：指数型函数模型的应用例1．（23-24高一上·河北唐山·月考）某灭活疫苗的有效保存时间T （单位：h ）与储藏的温度t （单位：C ︒）满足的函数关系为e kt b T +=（k ,b 为常数），超过有效保存时间，疫苗将不能使用．若在0C ︒时的有效保存时间是1080h ，在10C ︒时的有效保存时间是120h ，则该疫苗在15C ︒时的有效保存时间是（ ）A ．15hB ．30hC ．40hD ．60h【答案】C【解析】由题意知1080e b =，1010120e e e k b k b +==⋅，所以()21051201ee 10809kk===，所以51e 3k =，所以151e 27k=，所以15151ee e 10804027k b k b +=⋅=⨯=.故选：C ．【变式1-1】（23-24高一下·河北石家庄·月考）某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，已知第n 次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量n r （3g/m ）满足函数模型()0.2512.250.043n n r -=-⨯（n *∈N ），其中n 为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过30.25g/m 时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（ ）（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈）A ．14次B ．15次C ．16次D ．17次【答案】C【解析】()0.2512.250.043n n r -=-⨯，由0.25n r ≤，得()0.251350n -≥，即()lg500.251lg3n -≥，得()42lg2115.17lg3n -≥+≈，又*n ∈N ，所以16n ≥，故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要16次.故选：C【变式1-2】（23-24高一下·湖北·月考）把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是1θ℃，空气的温度是0θ℃，则t min 后该物体的温度θ℃可由公式4010()e tθθθθ-=+-求得．若将温度分别为100℃和40℃的两块物体放入温度是20℃的空气中冷却，要使得这两块物体的温度之差不超过10℃，至少要经过（ ）（取：ln 20.69=，ln 3 1.10=）A ．4.14minB ．5.52minC ．6.60minD ．7.16min【答案】D【解析】100℃的物体放入20℃的空气中冷却t min 后的温度是422080e tθ-=+，40℃的物体放入20℃的空气中冷却t min 后的温度是432020e tθ-=+，要使得这两块物体的温度之差不超过10℃，则42360e 10tθθ--=≤，解得4ln 64(ln 2ln 3)7.16t ≥=+=，所以至少要经过7.16min.故选：D【变式1-3】（23-24高一下·海南·月考）指数函数模型在生活生产中应用广泛，如在疾病控制与统计､物理学､生物学､人口预测等问题上都可以应用其进行解决.研究发现，某传染病传播累计感染人数I 随时间x （单位：天）的变化规律近似有如下的函数关系：0e kxI I =，其中0,I k 为常数，0I 为初始感染人数.若前3天感染人数累计增加了21%，则感染人数累计增加80%需要的时间大约为（ ）（参考数据：ln3 1.1,ln5 1.6,ln10 2.3≈≈≈，ln11 2.4≈）A ．10.5天B ．9天C ．8天D ．6天【答案】B【解析】当3x =时，感染人数累计增加了21%，则()300e 10.21kI I I ==+，所以3e 1.21k =，则3ln1.212ln1.1k ==，所以2ln1.13k =，所以感染人数累计增加80%可得()00e 10.8kx I I I ==+，则2ln1.13e 1.8x⎛⎫⎪⎝⎭=，此时2ln1.1ln1.83x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以9ln3ln1.8332ln 3ln 532 1.1 1.659112ln1.122ln11ln102 2.4 2.3ln 10x -⨯-=⋅=⋅=⋅≈⨯=--，故感染人数累计增加80%需要的时间大约为9天.故选：B.考点二：对数型函数模型的应用例2.（23-24高一上·北京顺义·期末）燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬.专家发现两岁燕子的飞行速度v （单位：m /s ）可以表示为25log 10Qv =，其中Q 表示燕子耗氧量的单位数.某只两岁燕子耗氧量的单位数为1Q 时的飞行速度为1v ，耗氧量的单位数为2Q 时的飞行速度为2v ，若()217.5m /s v v -=，则12Q Q 的值为（ ）ABC．D【答案】D【解析】因为217.5v v -=，所以127.5v v -=-所以3121122222235log 5log 7.5log 210102Q Q Q Q Q Q --=-⇒=-⇒===，故选：D 【变式2-1】（23-24高一下·广东茂名·月考）中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信通带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽W 在原来的基础上增加20%，信噪比SN从1000提升至5000，则C 大约增加了（ ）（附：lg 20.3010≈）A ．48%B ．37%C ．28%D ．15%【答案】A【解析】由题意可得，当1000SN=时，12log 1000C W =，当5000SN=时，221.2log 5000C W =，所以()2221226lg1000lg 51.2log 50006log 50006lg 5000log 10005log 10005lg100015C W C W +====()231lg 282lg 2820.30101.48555+---⨯==≈≈，所以C 的增长率约为0048.故选：A【变式2-2】（23-24高一下·贵州遵义·月考）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020lg p pL p =⨯，其中常数 (0)p p > 是听觉下限阈值，p 是实际声压.下表为不同声源的声压级.声源与声源的距离/m声压级/dB 燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ，则（ ）A ．12p p <B ．2310p p >C ．30100p p =D ．12100p p >【答案】C【解析】对于燃油汽车，得106020lg90p p ≤⨯≤，则92010100010p p p ≤≤，对于混合动力汽车，有25020lg60p p ≤⨯≤，则52020101000p p p ≤≤，则12p p ≥，A错误；对于电动汽车，有320lg40p p ⨯=，即30100p p =，C 正确；由以上可知2310p p ≤，B 错误；又5922220011001010p p p p +≥=≥，D 错误，故选：C【变式2-3】（23-24高一上·山东菏泽·月考）里氏震级M 的计算公式：0lg lg M A A =-，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，0A 是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_______倍．（ ）A ．6，1000B ．4，1000C ．6，10000D ．4，10000【答案】C【解析】根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则()0lg lg lg1000lg0.001=336M A A =-=---=； 设9级地震的最大的振幅是x ，5级地震最大振幅是y ，则有9lg lg 0.001,5lg lg 0.001x y =-=-，解得6210,10x y ==，所以62101000010x y ==，故选：C.考点三：根据增长率选择函数模型例3.（23-24高一上·江苏苏州·月考）在一次物理实验中，某同学采集到如下一组数据：x 0.50.99 2.01 3.98y﹣0.990.010.982.00在四个函数模型中，最能反映x ，y 函数关系的是（ ）A ．2y x =B ．21y x =-C ．22y x =-D ．2log y x =【答案】D【解析】对于A ，当0.5x =时，1y =，与表格相差过大，故排除，对于B ，当 2.01x =时，y =3.0401，与表格相差过大，故排除，对于C ，当 2.01x =时，y =2.02，与表格相差过大，故排除，对于D ，由对数函数性质知，表格里的数与2log y x =上的点相差较小，故正确.故选：D【变式3-1】（23-24高一上·陕西西安·月考）2006年至2018年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，无法近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是（ ）A ．2()f x ax bx c =++B ．()e x f x a b =+C ．()e ax bf x +=D ．()ln f x a x b=+【答案】D【解析】由图知：电影放映场次逐年递增，且增速有变快的趋势，。
函数模型及其应用-2018-2019学年高一数学人教版必修1必刷题
函数模型及其应用-2018-2019学年高一数学人教版必修1必刷题1．一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是A．m11B．m12C． 1 D． 1【答案】D2．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为A．y＝0.2x（0≤x≤4 000）B．y＝0.5x（0≤x≤4 000）C．y＝－0.1x＋1 200（0≤x≤4 000）D．y＝0.1x＋1 200（0≤x≤4 000）【答案】C【解析】由题意得y＝0.3（4 000－x）＋0.2x＝－0.1x＋1 200．故选C．3．某城市出租汽车的收费标准是：起步价为6元，行程不超过2千米者均按此价收费；行程超过2千米，超过部分按3元/千米收费（不足1千米按1千米计价）；另外，遇到堵车或等候时，汽车虽没有行驶，但仍按6分钟折算1千米计算（不足1千米按1千米计价）．陈先生坐了一趟这种出租车，车费24元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程的取值范围是A．[5,6）B．（5,6]C．[6,7）D．（6,7]【答案】B【解析】若按x千米（x∈Z）计价，则6＋（x－2）×3＋2×3＝24，得x＝6．故实际行程应属于区间（5,6]．故选B．4．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<x<4时，有A．y1>y2>y3B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2D．y2>y3>y1【答案】B【解析】在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象（图略），在区间（2,4）内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.故选B．5．有一组实验数据如下表所示：下列所给函数模型较适合的是A．y＝log a x（a>1）B．y＝ax＋b（a>1）C．y＝ax2＋b（a>0）D．y＝log a x＋b（a>1）【答案】C6．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f（x）的图象大致为【答案】D【解析】设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a（1＋0.104）y，故y＝log1.104x（x≥1），函数为对数函数，所以函数y＝f（x）的图象大致为D中图象，故选D．7．某厂日产手套总成本y（元）与手套日产量x（副）的函数解析式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为A．200副B．400副C．600副D．800副【答案】D【解析】由5x＋4 000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本．故选D．8．四人赛跑，假设他们跑过的路程f i（x）（其中i∈{1,2,3,4}）和时间x（x>1）的函数关系分别是f1（x）＝x2，f2（x）＝4x，f3（x）＝log2x，f4（x）＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是A．f1（x）＝x2B．f2（x）＝4xC．f3（x）＝log2x D．f4（x）＝2x【答案】D9．下列函数中随x 的增大而增大且速度最快的是 A ．y ＝1100e xB ．y ＝100ln xC ．y ＝x 100D ．y ＝100·2x【答案】A【解析】指数爆炸式形如指数函数．又e>2，∴1100e x 比100·2x增大速度快．10．下列函数中，随着x 的增大，增长速度最快的是A ．y ＝50B ．y ＝1 000xC ．y ＝2x －1D ．y ＝11 000ln x 【答案】C【解析】指数函数模型增长速度最快，故选C ．11．已知A ，B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，则汽车离开A 地的距离x 关于时间t （小时）的函数解析式是 A ．x ＝60tB ．x ＝150－50tC ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5150－50t ，t >3.5D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5150，2.5＜t ≤3.5150－t －，3.5＜t ≤6.5【答案】D【解析】显然出发、停留、返回三个过程中行车速度是不同的，故应分三段表示函数．故选D ． 12．以下是三个变量y 1，y 2，y 3随变量x 变化的函数值表：其中，关于x 呈指数函数变化的函数是________． 【答案】y 113．某工厂8年来某种产品的总产量C 与时间t （年）的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快； ②前三年产量增长的速度越来越慢； ③第三年后这种产品停止生产； ④第三年后产量保持不变． 其中说法正确的序号是________． 【答案】②③【解析】由t ∈[0,3]的图象联想到幂函数y ＝x α（0<α<1），反映了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t ∈[3,8]的图象可知，总产量C 没有变化，即第三年后停产，所以②③正确． 14．若a >1，n >0，那么当x 足够大时，a x ，x n，log a x 的大小关系是________．【答案】a x >x n>log a x【解析】∵a >1，n >0，∴函数y 1＝a x ，y 2＝x n，y 3＝log a x 都是增函数．由指数函数、对数函数、幂函数的变化规律可知，当x 足够大时，a x >x n >log xa ．15．函数y ＝x 2与函数y ＝x ln x 在区间（1，＋∞）上增长较快的一个是________．【答案】y ＝x 2【解析】当x 变大时，x 比ln x 增长要快，∴x 2要比x ln x 增长的要快．16．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v 米/秒和燃料的质量M 千克、火箭（除燃料外）的质量m 千克的函数关系式是v ＝2 000·ln（1＋Mm）．当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒． 【答案】e 6－1【解析】当v ＝12 000时，2 000·ln（1＋M m ）＝12 000，∴ln （1＋M m ）＝6，∴M m＝e 6－1．17．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低13，则现在价格为8100元的计算机15年后的价格应降为________元．18．如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y （元）与通话时间t （分钟）之间的函数关系图象，根据图象填空：（1）通话2分钟，需付的电话费为________元； （2）通话5分钟，需付的电话费为________元；（3）如果t ≥3，则电话费y （元）与通话时间t （分钟）之间的函数关系式为________． 【答案】（1）3.6 （2）6 （3）y ＝1.2t （t ≥3） 【解析】（1）由图象可知，当t ≤3时，电话费都是3.6元． （2）由图象可知，当t ＝5时，y ＝6，即需付电话费6元．（3）当t ≥3时，y 关于x 的图象是一条直线，且经过（3，3.6）和（5,6）两点，故设函数关系式为y ＝kt ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝3.6，5k ＋b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1.2，b ＝0.故y 关于t 的函数关系式为y ＝1.2t （t ≥3）．19．今有一组实验数据如下：现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是A ．v ＝log 2tB ．v ＝log 12tC ．v ＝t 2－12D ．v ＝2t －2【答案】C【解析】从表格中看到此函数为单调增函数，排除B ，增长速度越来越快，排除A 和D ，故选C ． 20．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么 A ．人可在7秒内追上汽车B ．人可在10秒内追上汽车C ．人追不上汽车，其间距最少为5米D ．人追不上汽车，其间距最少为7米21．三个变量y 1，y 2，y 3，随着变量x 的变化情况如下表：则关于x 分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为 A ．y 1，y 2，y 3 B ．y 2，y 1，y 3 C ．y 3，y 2，y 1 D ．y 1，y 3，y 2【答案】C22．下面对函数f （x ）＝12log x 、g （x ）＝1()2x ，与h （x ）＝x －12在区间（0，＋∞）上的衰减情况说法正确的是A ．f （x ）衰减速度越来越慢，g （x ）衰减速度越来越快，h （x ）衰减速度越来越慢B ．f （x ）衰减速度越来越快，g （x ）衰减速度越来越慢，h （x ）衰减速度越来越快C ．f （x ）衰减速度越来越慢，g （x ）衰减速度越来越慢，h （x ）衰减速度越来越慢D ．f （x ）衰减速度越来越快，g （x ）衰减速度越来越快，h （x ）衰减速度越来越快 【答案】C【解析】观察函数f （x ）＝12log x 、g （x ）＝1()2x 与h （x ）＝x －12在区间（0，＋∞）上的图象如图.可知：函数f （x ）的图象在区间（0,1）上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间（1，＋∞）上，递减较慢，且越来越慢；同样，函数g （x ）的图象在区间（0，＋∞）上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h （x ）的图象在区间（0,1）上递减较快，但递减速度变慢；在区间（1，＋∞）上，递减较慢，且越来越慢．故选C ．23．若x ∈（0,1），则下列结论正确的是A ．2x>12x >lg x B ．2x>lg x >12xC ．12x >2x>lg xD ．lg x >12x >2x【答案】A【解析】结合y ＝2x，y ＝12x 及y ＝lg x 的图象易知，当x ∈（0,1）时，2x>12x >lg x .故选A ．24．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f （n ）＝12n （n ＋1）（2n ＋1）吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年． 【答案】7【解析】由题意知，第一年产量为a 1＝12×1×2×3＝3；以后各年产量分别为a n ＝f （n ）－f （n －1）＝12n （n ＋1）（2n ＋1）－12n （n －1）（2n －1）＝3n 2（n ∈N *），令3n 2≤150，得1≤n ≤52⇒1≤n ≤7，故生产期限最长为7年．25．表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km 的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者；④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样．其中，正确信息的序号是________．【答案】①②③26．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：关于x呈指数函数变化的变量是________．【答案】y227．一水池有2个进水口，1个出水口，两个进水口的进水速度如图甲、乙所示，出水口的排水速度如图丙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丁所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．其中一定正确的论断序号是________．【答案】①②【解析】从0点到3点，两个进水口的进水量为9，故①正确；由排水速度知②正确；4点到6点可以是不进水，不出水，也可以是开一个进水口（速度快的）、一个排水口，故③不正确．28．已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50 km/h的速度返回A地，汽车离开A地的距离x随时间t变化的关系式是__________．【答案】x=600 2.51502.5 3.5 503253.5 6.5t ttt t≤≤⎧⎪<≤⎨⎪-+<≤⎩，，，29．（2016•四川）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年 D ．2021年【答案】B【解析】设从2015年开始第n 年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得()11200130112%200, 1.12130n n --⨯+>∴>， 两边取常用对数得200(1)lg1.12lg,130n ->lg 2lg1.30.30.111 3.8,5lg1.120.05n n --∴->==∴≥， 故从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，故选B ．。
高一数学函数模型及其应用试题答案及解析
高一数学函数模型及其应用试题答案及解析1.已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】方程有两个不相等的实根，两个函数图像有两个不同的交点，函数的最小值是1，此时，当,时，此时，两个函数图像有一个交点.当时，图像与图像有一个交点，要使两个图像交点个数为个，【考点】函数的交点个数2.用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用一个单位的水可洗掉蔬菜上残留农药的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数．⑴试规定的值，并解释其实际意义；⑵试根据假定写出函数应满足的条件和具有的性质；⑶设，现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成两份后清洗两次．试问用那种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．【答案】⑴表示没有用水洗时，蔬菜上的农药将保持原样；⑵函数应满足的条件：，；具有的性质：在上单调递减，且；⑶当时，清洗两次后残留的农药量较少；当时，两种清洗方法具有相同的效果；当时，清洗一次后残留的农药量较少．【解析】(1)表示没有用水洗时，蔬菜上的农药将保持原样；⑵函数应满足的条件：，；具有的性质：在上单调递减，且；⑶由,若用单位量的水，清洗一次，则清洗后蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为：；若用单位量的水，平均分成两份后清洗两次，则清洗后蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为：,然后用比差法比较的大小即可．试题解析：(1)表示没有用水洗时，蔬菜上的农药将保持原样；⑵函数应满足的条件：，；具有的性质：在上单调递减，且；⑶设清洗前蔬菜上的农药量为1，由,若用单位量的水，清洗一次，则清洗后蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为：；若用单位量的水，平均分成两份后清洗两次，则清洗后蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为：,然后用比差法比较的大小：．当时，，因此把a单位的水平均分成2份后，清洗两次，残留的农药量较少；当时，，因此两种清洗方法具有相同的效果；当时，，因此清洗一次后残留的农药量较少．【考点】１．函数的应用；２．比较大小:作差法;3.分类讨论．3.某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年需维护费用为1万元，以后每年增加2万元，若把写字楼出租，每年收入租金30万元．（1）开发商最早在第几年获取纯利润？（2）若干年后开发商为了投资其它项目，有两种处理方案：①纯利润最大时，以10万元出售该楼；②年平均利润最大时以46万元出售该楼．问哪种方案更优？并说明理由？【答案】（1）开发商最早在第4年获取纯利润；（2）两种方案获利一样多，而方案②时间比较短，所以选择方案②．【解析】（1）根据题意列出利润与年数的函数，令利润大于0，即可知开发商最早在第4年获取纯利润；（2）按照两种处理方案分别求出各自利润，结合年限可知哪种方案更优．（1）设第n年获取利润为y万元n年共收入租金30n万元，付出装修费构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，共2分因此利润，令 3分解得：，．4分所以从第4年开始获取纯利润．5分（2）纯利润所以15后共获利润：144+ 10="154" （万元） 8分年平均利润．．10分（当且仅当，即n=9时取等号）所以9年后共获利润：12=154（万元）．12分两种方案获利一样多，而方案②时间比较短，所以选择方案② 13分:学,科【考点】二次不等式的解法、函数思想．4.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．（1）当时，求函数的表达式；（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）【答案】（1）,（2）100辆/千米,3333辆/千米【解析】（1）解实际问题，关键在于正确理解题意.本题为求函数关系式，是一个分段函数. 当车流密度不超过20辆/千米时，是一个常函数，当车流密度满足时，车流速度是车流密度的一次函数，这需要利用待定系数法求解，所以，（2）求分段函数最值，需先分段求最值，再比较大小得原函数最值. 当时，为增函数，故当时，其最大值为；当时，时，取得最大值，所以当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．试题解析：（1）（2）依题意并由（Ⅰ）可得当时，为增函数，故当时，其最大值为；当时，时，在取得最大值．即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．【考点】分段函数解析式及其最值5.若定义在区间上的函数满足：对于任意的，都有，且时，有，的最大值、最小值分别为，则的值为( )A．2012B．2013C．4024D．4026【答案】C【解析】设,,,,即所以是单调递增函数，其最大值和最小值是,,令代入得：,得,所以，,故选C.【考点】抽象函数6.已知函数．（1）判断函数在的单调性并用定义证明；（2）令，求在区间的最大值的表达式．【答案】（1）函数在递增；证明详见答案解析.（2）当时，；当时，．【解析】（1）先根据已知条件求出，再根据单调性的定义证明即可；（2）由（1）先求出的表达式，再根据单调性求得各个区间的最大值，综上即可求出在区间的最大值的表达式．试题解析：（1）在递增；证明如下：在区间上任取则而，所以，>0所以，即函数在的单调递增；（6分）（2）若，，在递增，，若，）在递减，，（9分）若，则（11分）当时，函数递增，，当时，函数递减，；（13分），当时，，当时，．综上：时，，当时，．（15分）【考点】函数的单调性、分段函数求值域问题.7.某林场现有木材30000，如果每年平均增长5﹪，经过年，树林中有木材，(1)写出木材储量（）与之间的函数关系式。
函数模型及其应用 2018-2019学年上学期高一数学人教版(必修1)Word版含解析
10月26日 函数模型及其应用高考频度：★★☆☆☆ 难易程度：★★★☆☆学霸推荐1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，之后增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系，可选用 A ．一次函数 B ．二次函数 C ．指数型函数D ．对数型函数2．我国工农业总产值计划从2000年到2020年翻两番，设平均每年的增长率为x ，则 A ．(1＋x )19＝4 B ．(1＋x )20＝3 C ．(1＋x )20＝2D ．(1＋x )20＝43．某种新药服用x 小时后血液中的残留量为y 毫克，如图所示为函数()y f x =的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效.设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为A ．午10：00B ．中午12：00C ．下午4：00D ．下午6：004．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表高峰月用电量 （单位：千瓦时） 高峰电价 （单位：元/千瓦时）50及以下的部分0.568超过50至200的部分 0.598 超过200的部分0.668低谷时间段用电价格表低谷月用电量 (单位：千瓦时) 低谷电价 （单位：元/千瓦时）50及以下的部分 0.288 超过50至200的部分 0.318 超过200的部分0.388若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式，该家庭本月应付的电费为 元（用数字作答）5．某种出口产品的关税税率t ，市场价格x （单位:千元）与市场供应量p （单位：万件）之间近似满足关系式：2(1)()2kt x b p --=，其中k 、b 均为常数.当关税税率为75﹪时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件. （1）试确定k 、b 的值；（2）市场需求量q （单位：万件）与市场价格x 近似满足关系式：2x q -=.当p q =时，市场价格称为市场平衡价格.当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值.6．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施.方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗为30000元；方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费.问：（1）工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明.（2）若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？7．某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从2月1日起的300天内,西红柿市场售价P(单位:元/102 kg)与上市时间t(单位:天)的关系符合图1中的折线表示的函数关系,西红柿种植成本Q(单位:元/102kg)与上市时间t(单位:天)的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系.（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t)，图2表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；（2）若市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的纯收益最大?2．【答案】D【解析】设2000年的工农业总产值为a ，到2020年翻两番，则工农业总产值为4a ，即(1＋x )20＝4．故选D ． 3．【答案】C【解析】当[]0,4x ∈时,设1y k x =,把()4,320代入,得180k =,∴80y x =.当[]4,20x ∈时,设2y k x b =+，把()()4,320,20,0代入，得224320200k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得220400k b =-⎧⎨=⎩，∴400y =-20x .。
高一数学人教A版必修1课后训练：3-2-2 函数模型的应用
课后训练1．电讯费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟，收费0.2元；超过3分钟以后，每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟按1分钟计算，则通话费S(元)与通话时间t(分钟)的函数图象可表示为()2．某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2 km者均按此价收费，行程超过2 km，超过部分按3元/km收费(不足1 km按1 km计价)，另外，遇到堵车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1 km计算(不足1 km按1 km计价)．陈先生坐了一趟出租车，车费24元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程的取值范围是()A．[5,6) B．(5,6]C．[6,7) D．(6,7]3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()A．45.606万元B．45.6万元C．45.56万元D．45.51万元4A．y＝log a x(a＞1)B．y＝ax＋b(a＞1)C．y＝ax2＋b(a＞0)D．y＝log a x＋b(a＞1)5．为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格a与其前三个月的市场收购价格有关，且使a与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小．若下表列出的是该产品前6则7A．69元B．70元C．71元D．72元6．已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以每小时60 km的速度从A地到达B地，在B地停留1 h后再以每小时50 km的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示成时间t的函数，表达式是________．7．光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的110，要使通过玻璃的光线强度为原来的13以下，至少需要重叠这样的玻璃块数是______(lg 3≈0.477 1)．8．将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每涨价1元，则日销售量依次减少10个．为获得最大利润，则此商品日销售价应定为每个________元．9．渔场中鱼群的最大养殖量为m (m ＞0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x 应小于m ，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y 和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k (k ＞0)．(1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出该函数的定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值．10．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f (x )表示学生掌握和接受概念的能力(f (x )值越大，表示接受的能力越强)，x 表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下公式：20.1 2.643,010,()59,1016,3107,1630.x x x f x x x x ⎧-++<≤⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？(2)开讲后5 min 与开讲后20 min 比较，学生的接受能力何时强一些？11．在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x )．某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x 台(x ∈N *)的收入函数为R (x )＝3 000x －20x 2(单位：元)，其成本函数为C (x )＝500x ＋4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差．(1)求利润函数P (x )及边际利润函数MP (x )；(2)利润函数P (x )与边际利润函数MP (x )是否具有相同的最大值？参考答案1答案：B2答案：B3答案：B4答案：C5答案：C6答案：[](](]60,0,2.5150, 2.5,3.532550, 3.5,6.5x t t t t t ⎧=∈⎪∈⎨⎪-∈⎩7答案：118答案：149答案：解：(1)根据题意知，空闲率是m x m -，故y 关于x 的函数关系式是m x y kx m-=⋅，0＜x ＜m . (2)由(1)知，22+()24m x k k m mk y kx x kx x m m m -=⋅=-=--+，0＜x ＜m . 则当2m x =时，max 4mk y =.所以，鱼群年增长量的最大值为4mk . 10答案：解：(1)当0＜x ≤10时，f (x )＝－0.1x 2＋2.6x ＋43＝－0.1(x －13)2＋59.9，故f (x )递增，最大值为f (10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59；当16＜x ≤30时，f (x )递减，f (x )＜－3×16＋107＝59.因此，开讲后10 min ，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6 min.(2) f (5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝59.9－6.4＝53.5，f (20)＝－3×20＋107＝47＜53.5＝f (5)，因此开讲后5 min 学生的接受能力比开讲后20 min 强一些．11答案：解：由题意知，x ∈[1,100]，且x ∈N *.(1)P (x )＝R (x )－C (x )＝3 000x －20x 2－(500x ＋4 000)＝－20x 2＋2 500x －4 000， MP (x )＝P (x ＋1)－P (x )＝－20(x ＋1)2＋2 500(x ＋1)－4 000－[－20x 2＋2 500x －4 000]＝2 480－40x .(2) 2125()20+74 1252P x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当x ＝62或x ＝63时，P (x )的最大值为74 120(元)． 因为MP (x )＝2 480－40x 是减函数，所以当x ＝1时，MP (x )的最大值为2 440(元)． 因此，利润函数P (x )与边际利润函数MP (x )不具有相同的最大值．。
2021-2022学年新教材湘教版高中数学必修第一册4.5函数模型及其应用 课时练习题
4.5 函数模型及其应用1、几种函数增长快慢的比较 ................................................................................. 1 2、形形色色的函数模型 .. (7)1、几种函数增长快慢的比较1．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( ) A ．y ＝2x －2 B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC ．y ＝log 2xD ．y ＝12(x 2－1)解析：选D 法一：相邻的自变量之差从左到右依次大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5，3.5，4.5，6，基本上是逐渐增加的，抛物线拟合程度最好，故选D.法二：可以采用特殊值代入法，取某个x 的值代入，再比较函数值是否与表中数据相符．可取x ＝4，经检验易知选D.2．有甲、乙、丙、丁四种不同品牌的自驾车，其跑车时间均为x 小时，跑过的路程分别满足关系式：f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 3(x ＋1)，f 4(x )＝2x －1，则5个小时以后跑在最前面的为( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：选D 法一：分别作出四个函数的图象(图略)，利用数形结合，知5个小时后丁车在最前面．法二：由于4个函数均为增函数，且f 1(5)＝52＝25，f 2(5)＝20，f 3(5)＝log 3(5＋1)＝1＋log 32，f 4(5)＝25－1＝31，f 4(5)最大，所以5个小时后丁车在最前面，故选D.3．(2021·安徽省级示范高中高一期中)若x ∈(0，1)，则下列结论正确的是( )A ．2x >x 12>lg x B ．2x >lg x >x 12 C ．x 12>2x >lg xD ．lg x >x 12>2x解析：选A 如图所示，结合y ＝2x ，y ＝x 12及y ＝lg x 的图象易知，当x ∈(0，1)时，2x >x 12>lg x ，故选A.4．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份( )A ．甲食堂的营业额较高B ．乙食堂的营业额较高C ．甲、乙两食堂的营业额相同D ．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高解析：选A 设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m ，甲食堂的营业额每月增加a (a >0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x ，由题意可知，m ＋8a ＝m ×(1＋x )8，则5月份甲食堂的营业额y 1＝m ＋4a ，乙食堂的营业额y 2＝m ×(1＋x )4＝m （m ＋8a ）.因为y 21－y 22＝(m ＋4a )2－m (m ＋8a )＝16a 2>0，所以y 1>y 2.故本年5月份甲食堂的营业额较高．5．某企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元．从今年起，计划每人的年薪比上一年增加10%，另外每年新招3名工人，每名新工人的第一年年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，那么第x 年企业付给工人的工资总额y(万元)表示成x的函数，其表达式为() A．y＝(3x＋5)1.1x＋2.4B．y＝8×1.1x＋2.4xC．y＝(3x＋8)1.1x＋2.4D．y＝(3x＋5)1.1x－1＋2.4解析：选A第一年企业付给工人的工资总额为8×1.1＋3×0.8(万元)，第二年企业付给工人的工资总额为(8＋3)×1.12＋3×0.8(万元)，…，以此类推，第x年企业付给工人的工资总额应为y＝[8＋3(x－1)]×1.1x＋2.4＝(3x＋5)1.1x＋2.4(万元)．6．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．解析：当x变大时，x比ln x增长要快，∴x2要比x ln x增长的要快．答案：y＝x27．一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过________分钟，该病毒占据64 MB内存(1 MB＝210 KB)．解析：设开机后经过n个3分钟后，该病毒占据64 MB内存，则2×2n＝64×210＝216，∴n＝15，故时间为15×3＝45(分)．答案：458．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应______；B对应_____；C对应______；D对应______．解析：A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器水高度变化快，与(3)对应，D容器水高度变化慢，与(2)对应．答案：(4)(1)(3)(2)9．画出函数f(x)＝x与函数g(x)＝14x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．解：函数f(x)与g(x)的图象如图所示．根据图象易得：当0≤x＜4时，f(x)＞g(x)；当x＝4时，f(x)＝g(x)；当x＞4时，f(x)＜g(x)．10．每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式、各种规模的义务植树活动，某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，有两种方案如下：方案一：每年植树1万平方米；方案二：每年树木面积比上一年增加9%.你觉得哪种方案较好．(参考数据：(1＋9%)5≈1.538 6)解：方案一：5年后树木面积是10＋1×5＝15(万平方米)．方案二：5年后树木面积是10×(1＋9%)5≈15.386(万平方米)．∵15.386>15，∴方案二较好．11．当0<x<1时，f(x)＝x2，g(x)＝x 12，h(x)＝x－2的大小关系是()A．h(x)<g(x)<f(x)B．h(x)<f(x)<g(x) C．g(x)<h(x)<f(x) D．f(x)<g(x)<h(x)解析：选D在同一坐标下作出函数f(x)＝x2，g(x)＝x 12，h(x)＝x－2的图象．由图象知，D正确．12．某地发生地震后，地震专家对该地区发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：地震强度(J)1.6×10193.2×10194.5×1019 6.4×1019震级(里氏) 5.0 5.2 5.3 5.4地震强度x(×1019)和震级y的模拟函数关系可以选用y＝a lg x＋b(其中a，b 为常数)．利用散点图可得a＝________，b＝________．(取lg 2＝0.3进行计算)解析：由模拟函数及散点图得a lg 1.6＋b＝5，a lg 3.2＋b＝5.2，两式相减得a(lg 3.2－lg 1.6)＝0.2，所以a lg 2＝0.2，解得a＝2 3，所以b＝5－23lg 1.6＝5－23(4lg 2－1)＝5－23×15＝7315.答案：23731513．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝log a(t＋1)来拟合h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度．t(年)12345 6h(米)0.61 1.3 1.5 1.6 1.7解：在坐标轴上标出t (年)与h (米)之间的关系如图所示．由图象可以看出增长的速度越来越慢，用一次函数模型拟合不合适，则选用对数函数模型比较合理．不妨将(2，1)代入h ＝log a (t ＋1)中，得1＝log a 3，解得a ＝3. 故可用函数h ＝log 3(t ＋1)来拟合这个实际问题．当t ＝8时，求得h ＝log 3(8＋1)＝2，故可预测第8年松树的高度为2米． 14．假设有一套住房的房价从2011年的20万元上涨到2021年的40万元．下表给出了两种价格增长方式，其中P 1是按直线上升的房价，P 2是按指数增长的房价，t 是2011年以来经过的年数.t 0 5 10 15 20 P 1/万元 20 40 P 2/万元2040(1)求函数P 1＝f (t )的解析式； (2)求函数P 2＝g (t )的解析式；(3)完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种价格增长方式的差异．解：(1)设f (t )＝kt ＋b (k ≠0)， 则⎩⎨⎧b ＝20，10k ＋b ＝40⇒⎩⎨⎧b ＝20，k ＝2. ∴P 1＝f (t )＝2t ＋20.(2)设g (t )＝ma t (a >0，且a ≠1)， 则⎩⎨⎧m ＝20，ma 10＝40⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝20，a ＝102.∴P 2＝g (t )＝20×(102)t ＝20×2t 10.(3)图象如图．表格中的数据如下表所示：t 05101520P1/万元2030405060P2/万元20202404028012增长的价格，但10年后，P2价格增长速度很快，远远超出P1的价格并且时间越长，差别越大．2、形形色色的函数模型1．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N ＋)，该产品的产量y满足()A．y＝a(1＋5%x)B．y＝a＋5%C．y＝a(1＋5%)x－1D．y＝a(1＋5%)x解析：选D经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年，y＝a(1＋5%)2，…，经过x年，y＝a(1＋5%)x.2．某种放射性元素，每年在前一年的基础上按相同比例衰减，100年后只剩原来的一半，现有这种元素1克，3年后剩下()A．0.015克B．(1－0.5%)3克C．0.925克D．1000.125 克解析：选D设每年减少的比例为x，因此1克这种放射性元素，经过100年后剩余1×(1－x)100克，依题意得(1－x)100＝0.5，所以x＝1－1000.5，3年后剩余为(1－x)3，将x的值代入，得结果为1000.125，故选D.3．某商场2020年在销售某种空调旺季的4天内的利润如下表所示，时间t 123 4利润y(千元)2 3.988.0115.99现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的()A．y＝log2t B．y＝2tC．y＝t2D．y＝2t解析：选B作出散点图如图所示．由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；把t＝1，2，3，4代入B，C选项的函数中，函数y＝2t的函数值最接近表格中的对应值，故选B.4.(多选)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝a t.关于下列说法正确的是()A．浮萍每月的增长率为1B．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2C．浮萍每月增加的面积都相等D．若浮萍蔓延到2 m2，3m2，6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3解析：选ABD图象过(1，2)点，∴2＝a1，即a＝2，∴y＝2t.∵2t＋1－2t2t＝2t（2－1）2t＝1，∴每月的增长率为1，A正确．当t＝5时，y＝25＝32＞30，∴B正确．∵第二个月比第一个月增加y 2－y 1＝22－2＝2(m 2)，第三个月比第二个月增加y 3－y 2＝23－22＝4(m 2)≠y 2－y 1，∴C 不正确．∵2＝2t 1，3＝2t 2，6＝2t 3， ∴t 1＝log 22，t 2＝log 23，t 3＝log 26，∴t 1＋t 2＝log 22＋log 23＝log 26＝t 3，D 正确．故选A 、B 、D.5．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·lg I I 0(其中I 0是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设η1＝70 dB的声音强度为I 1，η2＝60 dB 的声音强度为I 2，则I 1是I 2的( )A.76倍 B ．10倍 C ．1076倍D ．ln 76倍解析：选B 依题意可知，η1＝10·lg I 1I 0，η2＝10·lg I 2I 0，所以η1－η2＝10·lg I 1I 0－10·lg I 2I 0，则1＝lg I 1－lg I 2，所以I 1I 2＝10.故选B.6．在一场足球比赛中，一球员从球门正前方10 m 处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6 m 时，球到达最高点，此时球高3 m ，已知球门高2.44 m 并且球按抛物线飞行，球________踢进球门(填“能”或“不能”)．解析：建立如图所示的坐标系，抛物线经过点(0，0)，顶点为(6，3)． 设其解析式为y ＝a (x －6)2＋3，把x ＝0，y ＝0代入，得a ＝－112， ∴y ＝－112(x －6)2＋3.当x ＝10时，y ＝－112(10－6)2＋3＝53<2.44. ∴球能踢进球门． 答案：能7．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s 和燃料的质量M kg ，火箭(除燃料外)的质量m kg 的函数关系式是v ＝2 000·ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m .当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.解析：当v ＝12 000 m/s 时，2 000·ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m ＝12 000，所以ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m ＝6，所以Mm ＝e 6－1.答案：e 6－18．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞往南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解：(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，代入函数关系式可得0＝5log 2Q10，解得Q ＝10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位． (2)将耗氧量Q ＝80代入函数关系式，得 y ＝5log 28010＝5log 28＝15.即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.9．某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2015年为第1年，且前4年中，第x 年与年产量f (x )(万件)之间的关系如下表所示：若f (x )近似符合以下三种函数模型之一：f (x )＝ax ＋b ，f (x )＝2x ＋a ，f (x )＝log 12x ＋a .(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2015年和2017年的数据求出相应的解析式；(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2021年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2021年的年产量．解：(1)符合条件的是f (x )＝ax ＋b ， 若模型为f (x )＝2x ＋a ， 则由f (1)＝21＋a ＝4，得a ＝2， 即f (x )＝2x ＋2，此时f (2)＝6，f (3)＝10，f (4)＝18，与已知相差太大，不符合． 若模型为f (x )＝log 12x ＋a ，则f (x )是减函数，与已知不符合． 由已知得⎩⎨⎧a ＋b ＝4，3a ＋b ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝52.所以f (x )＝32x ＋52，x ∈N .故最适合的函数模型解析式为f (x )＝32x ＋52，x ∈N . (2)2021年预计年产量为f (7)＝32×7＋52＝13， 2021年实际年产量为13×(1－30%)＝9.1. 故2021年的年产量为9.1万件．10.某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (单位：μg)与时间t (单位：h)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后每毫升血液中的含药量y 与时间t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25 μg 时，对治疗疾病有效，求服药一次治疗疾病的有效时间．解：(1)当0≤t <1时，y ＝kt ，由点M (1，4)在直线上，得4＝k ，故y ＝4t ； 当t ≥1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a ，由点M (1，4)在曲线上，得4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a，解得a ＝3，即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3.故y ＝f (t )＝⎩⎨⎧4t ，0≤t <1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t ≥1.(2)由题意知f (t )≥0.25，则⎩⎨⎧4t ≥0.25，0≤t <1或⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3≥0.25，t ≥1，解得116≤t ≤5. 所以服药一次治疗疾病的有效时间为5－116＝7916(h)．11．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题．实践证明，声音强度D (分贝)由公式D ＝a lg I ＋b (a ，b 为非零常数)给出，其中I (W/cm 2)为声音能量．(1)当声音强度D 1，D 2，D 3满足D 1＋2D 2＝3D 3时，求对应的声音能量I 1，I 2，I 3满足的等量关系式；(2)当人们低声说话，声音能量为10－13 W/cm 2时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为10－12 W/cm 2时，声音强度为40分贝．当声音强度大于60分贝时属于噪音，一般人在100～120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪．问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪．解：(1)∵D 1＋2D 2＝3D 3，∴a lg I 1＋b ＋2(a lg I 2＋b )＝3(a lg I 3＋b )， ∴lg I 1＋2lg I 2＝3lg I 3，∴I 1·I 22＝I 33.(2)由题意得⎩⎨⎧－13a ＋b ＝30，－12a ＋b ＝40，⎩⎨⎧a ＝10，b ＝160，∴100<10lg I ＋160<120， ∴10－6<I <10－4.故当声音能量I ∈(10－6，10－4)时，人会暂时性失聪．12．中国的钨矿资源储量丰富，在全球已经探明的钨矿产资源储量中占比近70%，居全球首位．中国又属赣州钨矿资源最为丰富，其素有“世界钨都”之称．某科研单位在研发钨合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y 与这种新合金材料的含量x (单位：克)的关系为：当0≤x <6时，y 是x 的二次函数；当x ≥6时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －t.测得数据如表(部分).(1)求y 关于x 的函数关系式y ＝f (x )； (2)求函数f (x )的最大值． 解：(1)当0≤x <6时，由题意， 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题中表格数据可得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝c ＝0，f （1）＝a ＋b ＋c ＝74，f （2）＝4a ＋2b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－14 ，b ＝2，c ＝0.所以当0≤x <6时，f (x )＝－14x 2＋2x . 当x ≥6时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －t，由题中表格数据可得，f (9)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫139－t ＝19，解得t ＝7，所以当x ≥6时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －7.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－14x 2＋2x ，0≤x <6，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －7，x ≥6.(2)当0≤x <6时，f (x )＝－14x 2＋2x ＝－14(x －4)2＋4， 所以当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，为4；当x ≥6时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －7单调递减，所以f (x )的最大值为f (6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫136－7＝3，因为4>3，所以函数f (x )的最大值为4.。
2019—2020年最新北师大版高一数学函数模型及其应用同步练习(精品试题)
函数模型及其应用一、选择题1．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元D.403元 解析：设A 种方式对应的函数解析式为S ＝k 1t ＋20 B 种方式对应的函数解析式为S ＝k 2t当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15，t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.答案：A2．在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据：则x 、y 的函数关系与下列哪类函数最接近(其中a 、b 为待定系数)？( ) A ．y ＝a ＋bx B ．y ＝a ＋b x C ．y ＝ax 2＋bD ．y ＝a ＋bx解析：解法一：作散点图，由散点图可知，应选B.解法二：从表中发现0在函数的定义域内而否定D ；函数不具奇偶性，从而否定C ；自变量的改变量相同而函数值的改变量不同而否定A.故选B.答案：B3．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )解析：根据汽车加速行驶s ＝12at 2(a >0)，匀速行驶s ＝vt ，减速行驶s ＝12at 2(a <0)结合函数图象可知选A.答案：A4．若一根蜡烛长20cm ，点燃后每小时燃烧5cm ，则燃烧剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (小时)的函数关系用图象表示为( )解析：根据题意得解析式h ＝20－5t (0≤t ≤4)， 其图象为B. 答案：B5．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设原信息为a 0a 1a 2，a i ∈{0,1}(i ＝0,1,2)，传输信息为h 0a 0a 1a 2h 1，其中h 0＝a 0⊕a 1，h 1＝h 0⊕a 2.⊕运算规则为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.例如原信息为111，则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是( )A ．11010B ．01100C ．10111D ．00011解析：根据题目所给的信息可知，解决本题的关键是根据接收的信息中的5个数字的中间3个数字来推断前后两个数字．选项A 的信息中3个数字101可推出前面的数字h 0＝1⊕0＝1，最后面的数字为h 1＝1⊕1＝0，故A 正确，同理可知B 、D 也正确；而选项C 根据中间3个数字可推出的信息应该为10110，故选C.答案：C6．北京电视台每星期六晚播出的一档节目中有这样一道抢答题：小蜥蜴体长15 cm ，体重15 g ，已知小蜥蜴的体积与体长的立方成正比，问：当小蜥蜴长到体长为20 cm 时，它的体重大约是( )A ．20 gB ．25 gC ．35 gD ．40 g解析：假设小蜥蜴从15 cm 长到20 cm ，体形是相似的．这时蜥蜴的体重正比于它的体积，而体积与体长的立方成正比．记体长为l 的蜥蜴的体重为w t ，因此有w 20＝w 15×203153≈35.56(g)，合理的答案应该是35 g ，选C.答案：C 二、填空题7．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为________元．答案：958．现有含盐7%的食盐水为200g ，需将它制成工业生产上需要的含盐5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水，设需要加入4%的食盐水x g ，则x 的取值范围是________．解析：根据已知条件：设y ＝200×7%＋x 4%200＋x ，令5%<y <6%，即(200＋x )5%<200×7%＋x ·4%<(200＋x )6%，解得100<x <400.答案：(100,400)9．（2011年湖北高考） 里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．解析：由M ＝lg A －lg A 0知，M ＝lg1000－lg0.001＝6，所以此次地震的级数为6级．设9级地震的最大振幅为A 1,5级地震的最大振幅为A 2，则lgA 1A 2＝lg A 1－lg A 2＝()lg A 1－lg A 0－()lg A 2－lg A 0＝9－5＝4.所以A 1A 2＝104＝10000.所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍．答案：6 10000 三、解答题10．某种商品定价为每件60元，不加收附加税时每年大约销售80万件，若政府征收附加税，每销售100元要征税p 元(即税率为p %)，因此每年销售量将减少203p 万件．(1)将政府每年对该商品征收的总税金y (万元)，表示成p 的函数，并指出这个函数的定义域；(2)要使政府在此项经营中每年收取的税金不少于128万元，问税率p %应怎样确定？ (3)在所收税金不少于128万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则应如何确定p 值？解：(1)由题意，该商品年销售量为(80－203p )万件，年销售收入为60(80－203p )万元，故所求函数为y ＝60(80－203p )·p %.由80－203p >0，且p >0得，定义域为(0,12)．(2)由y ≥128，得60(80－203p )·p %≥128，化简得p 2－12p ＋32≤0，(p －4)(p －8)≤0，解得4≤p ≤8.故当税率在[4%,8%]内时，政府收取税金将不少于128万元．(3)当政府收取的税金不少于128万元时，厂家的销售收入为g (p )＝60(80－203p )(4≤p ≤8)．∴g (p )为减函数，∴[g (p )]max ＝g (4)＝3200(万元)．故当税率为4%时，厂家销售金额最大，且国家所收税金又不少于128万元． 11．某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是P (亿元)和Q (亿元)，它们与投资额t (亿元)的关系有经验公式P ＝163t ，Q ＝18t .今该公司将5亿元投资这两个项目，其中对甲项目投资x (亿元)，投资这两个项目所获得的总利润为y (亿元)．求：(1)y 关于x 的函数表达式； (2)总利润的最大值． 解：(1)根据题意，得y ＝163x ＋18(5－x )，x ∈[0,5]．(2)令t ＝3x ，t ∈[0，15]，则x ＝t 23，y ＝－t 224＋16t ＋58＝－124(t －2)2＋1924.因为2∈[0，15]，所以当3x ＝2，即x ＝43时，y 最大值＝1924.所以总利润的最大值是1924亿元． 12．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解：(1)每吨平均成本为yx (万元)．则y x ＝x 5＋8000x－48≥2x 5·8000x－48＝32， 当且仅当x 5＝8000x，即x ＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元． (2)设年获得总利润为R (x )万元， 则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8000＝－x 25＋88x －8000＝－15(x －220)2＋1680(0≤x ≤210)．∵R (x )在[0,210]上是增函数， ∴x ＝210时，R (x )有最大值为－15(210－220)2＋1680＝1660.∴年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元．。
【高一数学《函数模型及其应用》练习题及答案】高中函数题
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【导语】以下是大范文网为大家推荐的有关高一数学《函数模型及其应用》练习题及答案，如果觉得很不错，欢迎分享～感谢你的阅读与支持！1.某公司为了适应市场需求，对产品结构做了重大调整.调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用()A.一次函数B.二次函数C.指数型函数D.对数型函数解析：选D.一次函数保持均匀的增长，不符合题意;二次函数在对称轴的两侧有增也有降;而指数函数是爆炸式增长，不符合“增长越来越慢”;因此，只有对数函数最符合题意，先快速增长，后来越来越慢.2.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：x123…y138…则下面的函数关系式中，能表达这种关系的是()A.y=2x-1B.y=x2-1C.y=2x-1D.y=1.5x2-2.5x+2解析：选D.画散点图或代入数值，选择拟合效果最好的函数，故选D.3.如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80km的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6小时，沿途休息了1小时，骑摩托车者用了2小时，根据这个函数图象，推出关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时;②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动;③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者.其中正确信息的序号是()A.①②③B.①③C.②③D.①②解析：选A.由图象可得：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时，正确;②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动，正确;③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者，正确.4.长为4，宽为3的矩形，当长增加x，且宽减少x2时面积最大，此时x=________，面积S=________.解析：依题意得：S=(4+x)(3-x2)=-12x2+x+12=-12(x-1)2+1212，∴当x=1时，Smax=1212.答案：11212。
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1.某公司为了适应市场需求，对产品结构做了重大调整.调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用()
A.一次函数
B.二次函数
C.指数型函数
D.对数型函数
解析：选D.一次函数保持均匀的增长，不符合题意;
二次函数在对称轴的两侧有增也有降;
而指数函数是爆炸式增长，不符合“增长越来越慢”;
因此，只有对数函数最符合题意，先快速增长，后来越来越慢.
2.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
x123…
y138…
则下面的函数关系式中，能表达这种关系的是()
A.y=2x-1
B.y=x2-1
C.y=2x-1
D.y=1.5x2-2.5x+2
解析：选D.画散点图或代入数值，选择拟合效果的函数，故选D.
3.如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80km的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6小时，沿途休息了1小时，骑摩托车者用了2小时，根据这个函数图象，推出关于这两个旅行者的如下信息：
①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时;
②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动;
③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者.
其中正确信息的序号是()
A.①②③
B.①③
C.②③
D.①②
解析：选A.由图象可得：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时，正确;②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动，正确;③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者，正确.
4.长为4，宽为3的矩形，当长增加x，且宽减少x2时面积，此时
x=________，面积S=________.
解析：依题意得：S=(4+x)(3-x2)=-12x2+x+12
=-12(x-1)2+1212，∴当x=1时，Smax=1212.
答案：1 1212。