高中数学解析几何题型
高中数学解析几何大题(附有答案及详解)
47． 已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，其短轴为2．（1）求椭圆E 的方程；（2）设椭圆E 的右焦点为F ，过点()2,0G 作斜率不为0的直线交椭圆E 于M ，N 两点，设直线FM 和FN 的斜率为1k ，2k ，试判断12k k +是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．48． 如图，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>⎛ ⎝⎭，P 为椭圆上的一动点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设圆224:5O x y +=，过点P 作圆O 的两条切线1l ，2l ，两切线的斜率分别为1k ，2k . ①求12k k 的值；①若1l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，与圆O 切于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，且满足OPA OQB S S =△△，求1l 的方程.49． 已知椭圆E ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分別为12,F F ，离心率为e =左焦点1F 作直线1l 交椭圆E 于A ，B 两点，2ABF 的周长为8. （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线2l ：y =kx +m (km <0)与圆O ：221x y +=相切，且与椭圆E 交于M ，N 两点，22MF NF +是否存在最小值？若存在，求出22MF NF +的最小值和此时直线2l 的方程.50． 已知动点M 与两个定点()0,0O ，()3,0A 的距离的比为12，动点M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的轨迹方程，并说明其形状；（2）过直线3x =上的动点()()3,0P p p ≠分别作C 的两条切线PQ 、PR （Q 、R 为切点），N 为弦QR 的中点，直线l ：346x y +=分别与x 轴、y 轴交于点E 、F ，求NEF 的面积S的取值范围.51． 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：20x y ++=和圆O ：221x y +=，P 是直线l 上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B . （1）若PA PB ⊥，求点P 的坐标； （2）求线段PA 长的最小值；（3）设线段AB 的中点为Q ，是否存在点T ，使得线段TQ 长为定值？若存在，求出点T ；若不存在，请说明理由.52． 已知以1C 为圆心的圆221:1C x y +=.（1）若圆222:(1)(1)4C x y -+-=与圆1C 交于,M N 两点，求||MN 的值；（2）若直线:l y x m =+和圆1C 交于,P Q 两点，若132PC PQ ⋅=，求m 的值. 53． 已知圆()22:21M x y +-=，点P 是直线:20l x y +=上的一动点，过点P 作圆M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ．（1）当切线P A P 的坐标；（2）若PAM △的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）求线段AB 长度的最小值．54． 已知圆22:2O x y +=，直线:2l y kx =-．（1）若直线l 与圆O 交于不同的两点,A B ，当90AOB ∠=︒时，求实数k 的值；（2）若1,k P =是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC 、PD ，切点为C 、D ，试探究：直CD 是否过定点．若存在，请求出定点的坐标；否则，说明理由．55． 在平面直角坐标系xOy中，(A，B ，C 是满足π3ACB ∠=的一个动点． （1）求ABC 垂心H 的轨迹方程；（2）记ABC 垂心H 的轨迹为Γ，若直线l ：y kx m =+（0km ≠）与Γ交于D ，E 两点，与椭圆T ：2221x y +=交于P ，Q 两点，且||2||DE PQ =，求证：||k > 56． 平面上一动点C的坐标为),sin θθ.（1）求点C 轨迹E 的方程；（2）过点()11,0F -的直线l 与曲线E 相交于不同的两点,M N ，线段MN 的中垂线与直线l 相交于点P ，与直线2x =-相交于点Q .当MN PQ =时，求直线l 的方程.答案及解析47．（1）2212x y +=；（2）是定值，该定值为0．【分析】（1）依题意求得,a b ，进而可得椭圆E 的方程；（2）设直线MN 的方程为()()20y k x k =-≠，与椭圆E 方程联立，利用韦达定理和斜率公式即可求得12k k +的值. 【详解】（1）由题意可知：22b =，1b =，椭圆的离心率c e a ==a =①椭圆E 的标准方程：2212x y +=；（2）设直线MN 的方程为()()20y k x k =-≠．22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得：()2222128820k x k x k +-+-=．设()11,M x y ，()22,N x y ， 则2122812k x x k +=+，21228212k x x k -=+，()()()1212121212121212222211111k x k x y y x x k k k x x x x x x x x ⎡⎤--+-+=+=+=-⎢⎥-----++⎢⎥⎣⎦222222228242122208282111212k k k k k k k k k k ⎡⎤-⎢⎥⎛⎫-+=-=-=⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥-+⎢⎥++⎣⎦． ①120k k +=为定值．【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键点是：得出()12121212221x x k k k x x x x ⎡⎤+-+=-⎢⎥-++⎢⎥⎣⎦.48．（1）2214x y +=；（2）①14- ；①yy =+【分析】（1）根据已知条件结合222c a b =-列关于,a b 的方程，解方程即可求解；（2）①设()00,P x y ，切线:l 00()y y k x x -=-，利用圆心到切线的距离列方程，整理为关于k 的二次方程，计算两根之积结合点P 在椭圆上即可求12k k ；①由OPA OQB S S =△△可得PA BQ =，可转化为A B P Q x x x x +=+，设1l ：y kx m =+，与椭圆联立可得P Q x x +，再求出A x 、B x ，即可求出k 的值，进而可得出m 的值，以及1l 的方程. 【详解】（1）因为22222234c a b e a a -===，所以2a b =，因为点⎛ ⎝⎭在椭圆上，所以221314a b +=即2213144b b +=， 解得：1b =，2a =，所以椭圆方程为：2214x y +=；（2）①设()00,P x y ，切线:l 00()y y k x x -=-即000kx y y kx -+-= 圆心()0,0O到切线的距离d r ==整理可得：2220000442055x k x y k y ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭，所以2020122200441451544455x y k k x x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭===---，①因为OPA OQB S S =△△所以PA BQ =，所以A P Q B x x x x -=-，所以A B P Q x x x x +=+， 设切线为1:l y kx m =+，由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得：()222418440k x kmx m +++-= 所以2841P Q kmx x k -+=+， 令0y =可得B mx k=-，设(),A A A x kx m +， 则1A OA A kx m k x k +==-，所以21A km x k -=+， 所以228411P Q km m kmx x k k k --+==-+++， 整理可得：()()()2222814121k k k k +=++，所以221k =，解得：k =， 因为圆心()0,0O 到1:l y kx m =+距离d ，所以mm =，因为0B mx k=->，所以当k =m =k =时，m =；所以所求1l的方程为y =或y = 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中解决定值、定点的方法（1）从特殊入手，求出定值、定点、定线，再证明定值、定点、定线与变量无关； （2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量是此类问题的特点，设而不求的方法、整体思想和消元思想的运用可以有效的简化运算.49．（1）2214x y +=；（2）最小值为2，0x =或0x +-=.【分析】(1)由椭圆定义结合已知求出a ，半焦距c 即可得解；(2)由直线2l 与圆O 相切得221m k =+，联立直线2l 与椭圆E 的方程消去y ，借助韦达定理表示出22MF NF +，利用函数思想方法即可作答. 【详解】（1）依题意，结合椭圆定义知2ABF 的周长为4a ，则有4a =8，即a =2，又椭圆的离心率为c e a =c =2221b a c =-=， 所以椭圆E 的方程为2214x y +=；（2）因直线2l ：y =kx +m (km <0)与圆O ：221x y +=1=，即221m k =+，设()()()112212,,,,2,2M x y N x y x x ≤≤，而点M 在椭圆E 上，则221114x y +=，即221114x y =-，又2F ，21|2|MF x =-=12x -，同理222NF x =，于是得)22124MF NF x x +=+， 由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：()222148440k x kmx m +++-=，显然Δ0>，则122814km x x k +=-+， 又km <0，且221m k =+，因此得1228||14km x x k +=+令2411t k =+≥，则12x x +=113t =，即t =3时等号成立，于是得22MF NF +存在最小值，且)221242MF NF x x +=+≥，22MF NF +的最小值为2，由2221413m k k ⎧=+⎨+=⎩，且km <0，解得k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 所以所求直线2l的方程为y x =y x =0x =或0x +=.【点睛】关键点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 50．（1）()2214x y ++=，曲线C 是以1,0为圆心，半径为2的圆；（2）5542⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【分析】（1）设出动点M 坐标，代入距离比关系式，化简方程可得；（2）先求切点弦方程，再根据切点弦过定点及弦中点性质得出N 点轨迹，然后求出动点N 到定直线EF 的距离最值，最后求出面积最值.切点弦方程的求法可用以下两种方法.法一：由两切点即为两圆公共点，利用两圆相交弦方程（两圆方程作差）求出切点弦方程；法二：先分别求过Q 、R 两点的切线方程，再代入点P 坐标，得到Q 、R 两点都适合的同一直线方程，即切点弦方程. 【详解】解：（1）设(),M x y ，由12MO MA =12=. 化简得22230x y x ++-=，即()2214x y ++=. 故曲线C 是以1,0为圆心，半径为2的圆.（2）法一(由两圆相交弦方程求切点弦方程)：由题意知,PQ 、PR 与圆相切，Q 、R 为切点，则DQ PQ ⊥，DR PR ⊥，则D 、R 、P 、Q 四点共圆，Q 、R 在以DP 为直径的圆上(如图).设()1,0D -，又()()3,0P p p ≠，则DP 的中点为1,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，DP .以线段DP 为直径的圆的方程为()22212p x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得22230x y x py +---=①(也可用圆的直径式方程()()()()1300x x y y p +-+--=化简得. ) 又Q 、R 在C ：22230x y x ++-=①上， 由两圆方程作差即①-①得：40x py +=. 所以，切点弦QR 所在直线的方程为40x py +=. 法二(求Q 、R 均满足的同一直线方程即切点弦方程)： 设()1,0D -，()11,Q x y ，()22,R x y .由DQ PQ ⊥，可得Q 处的切线上任一点(,)T x y 满足0QT DQ ⋅=(如图)， 即切线PQ 方程为()()()()1111100x x x y y y -++--=.整理得()221111110x x y y x y x ++---=.又22111230x y x ++-=，整理得()111130x x y y x +++-=.同理，可得R 处的切线PR 方程为()222130x x y y x +++-=. 又()3,P p 既在切线PQ 上，又在切线PR 上，所以()()11122231303130x py x x py x ⎧+++-=⎪⎨+++-=⎪⎩，整理得11224040x py x py +=⎧⎨+=⎩. 显然，()11,Q x y ，()22,R x y 的坐标都满足直线40x py +=的方程. 而两点确定一条直线，所以切点弦QR 所在直线的方程为40x py +=. 则QR 恒过坐标原点()0,0O .由()2240,14x py x y +=⎧⎪⎨++=⎪⎩消去x 并整理得()22168480p y py +--=. 设()11,Q x y ，()22,R x y ，则122816py y p +=+.点N 纵坐标1224216N y y py p +==+. 因为0p ≠，显然0N y ≠，所以点N 与点()1,0D -，()0,0O 均不重合.(或者由对称性可知，QR 的中点N 点在x 轴上当且仅当点P 在x 轴上，因为0p ≠，点P 不在x 轴上，则点N 也不在x 轴上，所以点N 与D 、O 均不重合.) 因为N 为弦QR 的中点，且()1,0D -为圆心，由圆的性质，可得DN QR ⊥，即DN ON ⊥(如图).所以点N 在以OD 为直径的圆上，圆心为1,02G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径12r =.因为直线346x y +=分别与x 轴、y 轴交于点E 、F ，所以()2,0E ，30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，52EF =.又圆心1,02G ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线3460x y +-=的距离32d ==. 设NEF 的边EF 上的高为h ，则点N 到直线346x y +=的距离h 的最小值为31122d r -=-=； 点N 到直线346x y +=的距离h 的最大值为31222d r +=+=(如图).则S 的最小值min 1551224S =⨯⨯=，最大值max 1552222S =⨯⨯=.因此，NEF 的面积S 的取值范围是5542⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【点睛】设00(,)P x y 是圆锥曲线外一点，过点P 作曲线的两条切线，切点为A 、B 两点，则 A 、B 两点所在的直线方程为切点弦方程.常见圆锥曲线的切点弦方程有以下结论： 圆222()()x a y b r -+-=的切点弦方程：200()()()()x a x a y b y b r --+--=， 圆220x y Dx Ey F ++++=的切点弦方程： 0000022x x y yx x y y D E F ++++++= 椭圆22221x y a b+=的切点弦方程：00221x x y y a b +=；双曲线22221x y a b-=的切点弦方程：00221x x y y a b -=；抛物线22y px =的切点弦方程为：00()y y p x x =+.特别地，当00(,)P x y 为圆锥曲线上一点时，可看作两切线重合，两切点A 、B 重合，以上切点弦方程即曲线在P 处的切线方程.51．（1）()1,1P --；（2）1；（3）存在点11,44T ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，使得线段TQ 长为定值.理由见解析.【分析】（1）依题意可得四边形PAOB 为正方形，设(),2P x x --，利用平面直角坐标系上两点的距离公式得到方程，计算可得；（2）由221PA PO =-可知当线段PO 长最小时，线段PA 长最小，利用点到线的距离公式求出PO 的最小值，即可得解；（3）设()00,2P x x --，求出以OP 为直径的圆的方程，即可求出公共弦AB 所在直线方程，从而求出动点Q 的轨迹方程，即可得解； 【详解】解：（1）若PA PB ⊥，则四边形PAOB 为正方形， 则P①P 在直线20x y ++=上，设(),2P x x --，则OP =，解得1x =-，故()1,1P --.（2）由221PA PO =-可知当线段PO 长最小时，线段PA 长最小. 线段PO 长最小值即点O 到直线l的距离，故min PO ==所以min 1PA =.（3）设()00,2P x x --，则以OP 为直径的圆的方程为()2222000022224x x x x x y +----⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得()220020x x x x y y -+++=，与221x y +=联立，可得AB 所在直线方程为()0021x x x y -+=，联立()002221,1,x x x y x y ⎧-+=⎨+=⎩得()222000002443024x x x x x x x ++----=， ①Q 的坐标为002200002,244244x x x x x x --++++⎛⎫⎪⎝⎭，可得Q 点轨迹为22111448x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，圆心11,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径R =.其中原点()0,0为极限点（也可以去掉）.故存在点11,44T ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，使得线段TQ 长为定值.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、方程思想、数形结合方法、转化方法，考查运算求解能力和应用意识．52．（1；（2）m = 【分析】（1）由两个圆相交，可将两个圆的方程相减求得直线MN 的方程.利用圆心到直线的距离，结合垂径定理即可求得||MN 的值.（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，利用向量的坐标运算表示出1,PC PQ .将直线方程与圆的方程联立，化简后由>0∆求得m 的取值范围，并表示出12x x +，12x x ，进而由直线方程表示出12y y .根据平面向量数量积的坐标运算，代入化简计算即可求得m 的值. 【详解】（1）直线MN 的方程为2222(1)(1)410x y x y -+----+=， 即2 2 10x y ++=；故圆1C 的圆心到2210x y ++=的距离d =故||MN == （2）设()()1122,,,P x y Q x y ，则()()1112121,,,PC x y PQ x x y y =--=--，由22,1,y x m x y =+⎧⎨+=⎩化简可得222210x mx m ++-=， 故()222481840,m m m ∆=--=->解得m < 12x x m +=-，2121,2m x x -=所以()()()212121212y y x m x m x x m x x m =++=+++，又()()2211121211212113,,2PC PQ x y x x y y x x y y x y ⋅=--⋅--=--++=， 又22111x y +=故121212x x y y +=-，故()21212122x x m x x m +++=-， 将12x x m +=-，2121,2m x x -=代入可得222112m m m --+=-，解得m =又因为m <所以2m =± 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系及公共弦长度的求法，直线与圆位置关系的综合应用，由韦达定理求参数的值，平面向量数量积的运算，综合性强，计算量大，属于难题.53．（1）()0,0P 或84,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）圆过定点()0,2，42,55⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）当25b =时，AB 有最小【分析】（1）设()2,P b b -，由MP b ，得出结果；（2）因为A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径，所以圆N 的方程为()()222242224b b b x b y +-+⎛⎫++-=⎪⎝⎭，化简为()()222220x y b x y y -+++-=，由方程恒成立可知2222020x y x y y -+=⎧⎨+-=⎩，即可求得动圆所过的定点； （3）由圆M 和圆N 方程作差可得直线AB 方程，设点()0,2M 到直线AB 的距离d ，则AB =.【详解】（1）由题可知，圆M 的半径1r =，设()2,P b b -， 因为P A 是圆M 的一条切线，所以90MAP ∠=︒，所以2MP ==，解得0b =或45b =， 所以点P 的坐标为()0,0P 或84,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）设()2,P b b -，因为90MAP ∠=︒， 所以经过A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径， 其方程为()()222242224b b b x b y +-+⎛⎫++-=⎪⎝⎭， 即()()222220x y b x y y -+++-=，由2222020x y x y y -+=⎧⎨+-=⎩， 解得02x y =⎧⎨=⎩或4525x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以圆过定点()0,2，42,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（3）因为圆N 方程为()()222242224b b b x b y +-+⎛⎫++-=⎪⎝⎭， 即()222220x y bx b y b ++-++=①又圆22:430M x y y +-+=①①-①得圆M 方程与圆N 相交弦AB 所在直线方程为 ()22230bx b y b --+-=．点()0,2M 到直线AB的距离d =所以相交弦长AB == 所以当25b =时，AB【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，考查定点问题和距离的最值问题，难度较难. 54．（1）k =（2）直线CD 过定点(1,1)- 【分析】（1）由已知结合垂径定理求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k ； （2）解法1：设切点11(,)C x y ，22(,)D x y ，动点00(,)P x y ，求出两条切线方程，计算出直线CD 的方程，从而得到定点坐标；解法2：由题意可知，O 、P 、C 、D 四点共圆且在以OP为直径的圆上，求出公共弦所在直线方程，再由直线系方程求得定点坐标. 【详解】（1）2AOB π∠=，∴点O 到l 的距离2d r =，k = （2）解法1：设切点11(,)C x y ，22(,)D x y ，动点00(,)P x y ，则圆在点C 处的切线方程为 1111()()0y y y x x x -+-=，所以221111x x y y x y +=+，即112x x y y +=同理，圆在点D 处的切线方程为222x x y y += 又点00(,)P x y 是两条切线的交点， 10102x x y y ∴+=，20202x x y y +=，所以点()11,C x y ，()22,D x y 的坐标都适合方程002x x y y +=， 上述方程表示一条直线，而过C 、D 两点的直线是唯一的， 所以直线CD 的方程为：002x x y y +=. 设(,2)P t t -，则直线CD 的方程为(2)2tx t y +-=， 即()(22)0x y t y +-+=， ∴0220x y y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，故直线CD 过定点(1,1)-.解法2：由题意可知：O 、P 、C 、D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上， 设(,2)P t t -，则此圆的方程为：()(2)0x x t y y t -+-+=， 即：22(2)0x tx y t y -+--=， 又C 、D 在圆22:2O x y +=上，两圆方程相减得():220CD l tx t y +--=， 即()(22)0x y t y +-+=， ∴0220x y y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，故直线CD 过定点(1,1)-. 【点睛】本题考查了直线与圆的相交问题，由弦长求直线斜率，只需结合弦长公式计算圆心到直线的距离，然后求得结果，在求直线恒过定点坐标时，一定要先表示出直线方程，然后在求解. 55．（1）22(1)4x y ++=（2y ≠-）；（2）证明见解析． 【分析】（1）由题可求出顶点C 的轨迹方程，再利用相关点法可求垂心H 的轨迹方程；（2）利用弦长公式可求||DE ，再利用韦达定理法求||PQ ，由||2||DE PQ =得出2221m k ≥+，然后结合判别式大于零即可证. 【详解】设ABC 的外心为1O ，半径为R ，则有22sin ABR ACB==∠，所以1πcos 13OO R ==即1(0,1)O ，设(,)C x y ，()00,H x y ，有1O C R =，即有22(1)4x y +-=（0y ≠）， 由CH AB ⊥，则有0x x =，由AH BC ⊥，则有(00(0AH BC x x y y ⋅=+=，所以有(220(3(1)12x x x y y y yy y---=-===-，则有()220014x y ++=（02y ≠-），所以ABC 垂心H 的轨迹方程为22(1)4x y ++=（2y ≠-）； （2）记点(0,1)-到直线l 的距离为d ，则有d =所以||DE==，设()11,P x y，()22,Q x y，联立2221y kx mx y=+⎧⎨+=⎩，有()2222210k x kmx m+++-=，所以()224220k m∆=+->，||PQ==由||2||DE PQ=，可得()()()()()2222222222222418141(1)8412222k m k km mk k kk k++++-=-≤-+++++，所以()22222248(1)212m mk kk++≤+++，即有()()()22222224181(1)22k k mmk k+++≤+++，所以()()()22222222418122(1)22k k mm mk k+++--≥-++，即22222222222221(1)101222k k m k mm mk k k k⎛⎫-=-⇒-≥⇒≥+⎪+++⎝⎭又0∆>，可得2212km<+，所以222112kk+<+，解得22k>，故||k>56．（1）2212xy+=；（2）10x y±-=.【分析】（1）利用22sin cos1θθ+=求得点C的轨迹E的方程.（2）设直线l的方程为1x my=-，联立直线l的方程和曲线E的方程，化简写出根与系数关系，求得MN、PQ,由1PQMN=求得m的值，从而求得直线l的方程.【详解】 （1）设(),C x y ，则,sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即cos sin yθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以2212x y +=，所以E 的方程为2212x y +=.（2）由题意知，直线l 的斜率不为0，设直线:1l x my =-，()()()1122,,,,,p p M x y N x y P x y .联立2221,1x y x my ⎧+=⎨=-⎩，消去x ，得()22+2210m y my --=，此时()281m ∆=+0>，且12222m y y m +=+，12212y y m =-+又由弦长公式得MN =整理得2212m MN m ++. 又122+=22p y y m y m =+，所以2212p p x my m -=-=+，所以222222p m PQ x m ++=+，所以1PQMN =， 所以21m =，即1m =±.综上，当1m =±，即直线l 的斜率为±1时，MN PQ =， 此时直线l 为10x y ±-=. 【点睛】求解直线和圆锥曲线相交所得弦长，往往采用设而不求，整体代入的方法来求解.。
高中数学平面解析几何的常见题型及解答方法
高中数学平面解析几何的常见题型及解答方法在高中数学学习中，平面解析几何是一个重要的内容，也是考试中的重点。
平面解析几何主要研究平面上的点、直线、圆等几何图形的性质和关系，通过坐标系和代数方法进行分析和解决问题。
下面我们将介绍一些常见的平面解析几何题型及解答方法，希望能给同学们提供一些帮助。
一、直线方程的求解直线方程的求解是平面解析几何中的基础内容。
常见的题型有已知直线上的两点，求直线方程；已知直线的斜率和一点，求直线方程等。
这里我们以已知直线上的两点，求直线方程为例进行说明。
例如，已知直线上的两点为A(2,3)和B(4,5)，求直线方程。
解题思路：设直线的方程为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
根据已知条件，我们可以列出方程组：3 = 2k + b5 = 4k + b解方程组，得到k和b的值，从而得到直线方程。
解题步骤：1.将方程组改写为矩阵形式：| 2 1 | | k | | 3 || 4 1 | | b | = | 5 |2.利用矩阵的逆运算，求出k和b的值。
3.将k和b的值代入直线方程y = kx + b，即可得到直线方程。
通过这个例子，我们可以看到求解直线方程的方法是通过已知条件列方程组，然后通过矩阵运算求解出未知数的值，最后将值代入直线方程得到结果。
二、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系是平面解析几何中的一个重要内容。
常见的题型有直线与圆的切线问题、直线与圆的交点问题等。
这里我们以直线与圆的切线问题为例进行说明。
例如，已知圆的方程为x^2 + y^2 = 4，直线的方程为y = 2x - 1，求直线与圆的切点坐标。
解题思路：首先，我们需要确定直线与圆是否有交点。
当直线与圆有交点时，我们可以通过求解方程组得到交点坐标。
当直线与圆没有交点时，我们需要判断直线与圆的位置关系，进而确定是否有切点。
解题步骤：1.将直线方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。
2.求解二次方程，得到x的值。
高中解析几何典型题
高中解析几何典型题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一、直线和平面的关系题目题目1：设直线L经过平面α和β两个平面的交点A和B，问直线L在平面α和平面β之间的位置关系是怎样的？解析：直线L在平面α和平面β之间的位置关系有三种情况，分别是直线L既不垂直于平面α，也不垂直于平面β；直线L既垂直于平面α，也垂直于平面β；直线L既不垂直于平面α，但垂直于平面β。
具体位置可根据直线和平面的垂直关系来确定。
解析：点P在平面α和平面β之间的位置关系根据两个平面的相交线和点P所在位置的具体情况来确定。
如果直线L和点P的位置不同，点P在两个平面之间；如果直线L和点P的位置相同，点P在两个平面外部；如果直线L和点P的位置重合，点P在两个平面上。
题目3：已知平面α和平面β相交于直线m，直线n与直线m相交于点A，平面α和平面β的交线分别为l1和l2，求证：∠l1An=∠l2An。
解析：根据已知条件可得到∠l1An=∠mAn，∠l2An=∠mAn，即∠l1An=∠l2An。
解析：根据已知条件可得到∠A和∠B垂直于直线m，因此∠A和∠B所成的角度为90度。
通过以上的几个典型题目及其解析，我们不难看出解析几何题目的解题思路主要是根据已知条件，运用几何知识和性质来推导出结论。
在解析几何的学习过程中，学生应该注重培养逻辑思维能力和数学运算能力，多进行几何图形的分析和推理，提高解题的能力和速度。
在解析几何的学习过程中，还需要注意以下几点：1、熟练掌握基本几何知识和性质，包括直线、角、三角形、四边形等几何图形的性质和计算方法。
2、善于画图分析，对于解析几何题目一定要画出清晰准确的图形，以便更直观地理解题意和计算。
3、多练习典型题目，通过多做题目来积累经验，查漏补缺，加深对解析几何知识的理解。
4、注意总结归纳，将解析几何的各种题目和性质进行分类和总结，形成自己的知识体系。
高中解析几何是一个非常重要的学科，学生在学习过程中要认真对待，多加练习，提高理解能力和解题能力，从而取得更好的学习成绩。
高中数学解析几何专题及典型例题
解析几何专题高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识, 这点值得考生在复课时强化.例1 已知点T 是半圆O 的直径AB 上一点，AB=2、OT=t (0<t<1)，以AB 为直腰作直角梯形B B A A ''，使A A '垂直且等于AT ，使B B '垂直且等于BT ，B A ''交半圆于P 、Q 两点，建立如图所示的直角坐标系.(1)写出直线B A ''的方程； （2）计算出点P 、Q 的坐标；（3）证明：由点P 发出的光线，经AB 反射后，反射光线通过点Q.讲解: 通过读图, 看出'',B A 点的坐标.(1 ) 显然()t A -1,1', ()，，‘t B +-11 于是 直线B A '' 的方程为1+-=tx y ；（2）由方程组⎩⎨⎧+-==+,1,122tx y y x解出 ),(10P 、),(2221112t t t tQ +-+；（3）tt k PT 1001-=--=,t t t t tt t t t k QT1111201122222=--=-+-+-=)(. 由直线PT 的斜率和直线QT 的斜率互为相反数知，由点P 发出的光线经点T 反射，反射光线通过点Q.需要注意的是, Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?例2 已知直线l 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 有且仅有一个交点Q ，且与x 轴、y 轴分别交于R 、S ，求以线段SR 为对角线的矩形ORPS 的一个顶点P 的轨迹方程．讲解：从直线l 所处的位置, 设出直线l 的方程,由已知，直线l 不过椭圆的四个顶点，所以设直线l 的方程为).0(≠+=k m kx y 代入椭圆方程，222222b a y a x b =+ 得.)2(22222222b a m kmx x k a x b =+++ 化简后，得关于x 的一元二次方程.02)(222222222=-+++b a m a mx ka x b k a于是其判别式).(4))((4)2(222222222222222m b k a b a b a m a b k a m ka -+=-+-=∆ 由已知，得△=0．即.2222m b k a =+ ①在直线方程m kx y +=中，分别令y=0，x =0，求得).,0(),0,(m S kmR -令顶点P 的坐标为（x ，y ）， 由已知，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.,.,y m x y k m y k m x 解得 代入①式并整理，得 12222=+yb x a , 即为所求顶点P 的轨迹方程．方程12222=+yb xa 形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗?例3已知双曲线12222=-by a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.23（1）求双曲线的方程；（2）已知直线)0(5≠+=k kx y 交双曲线于不同的点C ，D 且C ，D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值. 讲解：∵（1）,332=a c 原点到直线AB ：1=-by a x 的距离.3,1.2322==∴==+=a b c abb a ab d .故所求双曲线方程为 .1322=-y x（2）把33522=-+=y x kx y 代入中消去y ，整理得 07830)31(22=---kx x k . 设CD y x D y x C ),,(),,(2211的中点是),(00y x E ，则.11,315531152002002210kx y k k kx y k k x x x BE-=+=-=+=⋅-=+= ,000=++∴k ky x即7,0,03153115222=∴≠=+-+-k k k kk k k 又 故所求k=±7.为了求出k 的值, 需要通过消元, 想法设法建构k 的方程.例4 已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，点P 为椭圆上的一个动点，且∠F 1PF 2的最大值为90°，直线l 过左焦点F 1与椭圆交于A 、B 两点，△ABF 2的面积最大值为12． （1）求椭圆C 的离心率； （2）求椭圆C 的方程．讲解：（1）设 112212||,||,||2PF r PF r F F c ===对,21F PF ∆ 由余弦定理, 得1)2(2441244242)(24cos 22122212221221221212221121-+-≥--=--+=-+=∠r r c a r r c a r r c r r r r r r c r r PF F0212=-=e ， 解出 .22=e（2）考虑直线l 的斜率的存在性，可分两种情况：i) 当k 存在时，设l 的方程为)(c x k y +=………………① 椭圆方程为),(),,(,122112222y x B y x A by a x =+由.22=e 得 2222,2c b c a ==.于是椭圆方程可转化为 222220x y c +-=………………②将①代入②，消去y 得 02)(22222=-++c c x k x ,整理为x 的一元二次方程，得 0)1(24)21(22222=-+++k c x ck x k . 则x 1、x 2是上述方程的两根．且221221122||k k c x x ++=-，2212221)1(22||1||k k c x x k AB ++=-+=，AB 边上的高,1||2sin ||22121k k c F BF F F h +⨯=∠=c kk k k c S 21||)211(2221222+++=.2141224412221||122224242422222c k k c k k k k c k k k c<++=+++=++=ii) 当k 不存在时，把直线c x -=代入椭圆方程得2,||,2y c AB S =±== 由①②知S 的最大值为22c 由题意得22c =12 所以2226b c == 2122=a故当△ABF 2面积最大时椭圆的方程为： .12621222=+y x下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣： 设过左焦点的直线方程为：c my x -=…………① （这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.）也可这样求解：椭圆的方程为：),(),,(,122112222y x B y x A by a x =+由.22=e 得：,,22222c b c a ==于是椭圆方程可化为：022222=-+c y x ……② 把①代入②并整理得：02)2(222=---c mcy y m于是21,y y 是上述方程的两根.21|||AB y y ==-2)2(441222222++++=m m c c m m2)1(2222++=m m c , AB 边上的高212mc h +=,从而222222)2(122122)1(2221||21++=+⨯++⨯==m m cm c m m c h AB S.221111222222c m m c ≤++++=当且仅当m=0取等号，即.22max c S =由题意知1222=c , 于是 212,26222===a c b .故当△ABF 2面积最大时椭圆的方程为： .12621222=+y x例 5 已知直线1+-=x y 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线02:=-y x l 上.（１）求此椭圆的离心率；（2 ）若椭圆的右焦点关于直线l 的对称点的在圆422=+y x 上，求此椭圆的方程.讲解:（1）设A 、B 两点的坐标分别为⎪⎩⎪⎨⎧=++-=11).,(),,(22222211b y ax x y y x B y x A ，则由 得 02)(2222222=-+-+b a a x a x b a ,根据韦达定理，得,22)(,2222212122221ba b x x y y b a a x x +=++-=++=+ ∴线段AB 的中点坐标为（222222,b a b b a a ++）.由已知得2222222222222)(22,02c a c a b a ba b b a a =∴-==∴=+-+故椭圆的离心率为22=e . （2）由（1）知,c b =从而椭圆的右焦点坐标为),0,(b F 设)0,(b F 关于直线02:=-y x l 的对称点为,02221210),,(000000=⨯-+-=⋅--yb x b x y y x 且则解得 b y b x 545300==且 由已知得 4,4)54()53(,42222020=∴=+∴=+b b b y x故所求的椭圆方程为14822=+y x .例6 已知⊙M ：x Q y x 是,1)2(22=-+轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点，（1）如果324||=AB ，求直线MQ 的方程； （2）求动弦AB 的中点P 的轨迹方程.讲解:（1）由324||=AB ，可得,31)322(1)2||(||||2222=-=-=AB MA MP 由射影定理，得,3|||,|||||2=⋅=MQ MQ MP MB 得 在Rt △MOQ 中，523||||||2222=-=-=MO MQ OQ ，故55-==a a 或，所以直线AB 方程是;0525205252=+-=-+y x y x 或（2）连接MB ，MQ ，设),0,(),,(a Q y x P 由 点M ，P ，Q 在一直线上，得(*),22xy a -=-由射影定理得|,|||||2MQ MP MB ⋅= 即(**),14)2(222=+⋅-+a y x 把（*）及（**）消去a ，并注意到2<y ，可得).2(161)47(22≠=-+y y x适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙.例7 直线l 过抛物线)0(22≠=p px y 的焦点，且与抛物线相交于A ),(),(2211y x B y x 和两点. （1）求证：2214p x x =;（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD ，直线l 不是CD 的垂直平分线.讲解: （1）易求得抛物线的焦点)0,2(P F .若l ⊥x 轴，则l 的方程为4,2221P x x P x ==显然.若l 不垂直于x 轴，可设)2(P x k y -=,代入抛物线方程整理得 4,04)21(221222P x x P x k P P x ==++-则. 综上可知 2214p x x =.（2）设d c d p d D c p c C ≠且),2(),,2(22，则CD 的垂直平分线l '的方程为)4(2222p d c x p d c d c y +-+-=+- 假设l '过F ，则)42(22022pd c p p d c d c +-+-=+-整理得0)2)((222=+++d c p d c 0≠p02222≠++∴d c p ，0=+∴dc .这时l '的方程为y=0，从而l '与抛物线px y 22=只相交于原点. 而l 与抛物线有两个不同的交点，因此l '与l 不重合，l 不是CD 的垂直平分线. 此题是课本题的深化，你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累，能力在联想中提升. 课本是高考试题的生长点，复课切忌忘掉课本！例8 某工程要将直线公路l 一侧的土石，通过公路上的两个道口A 和B ，沿着道路AP 、BP 运往公路另一侧的P 处，PA=100m ，PB=150m ，∠APB=60°，试说明怎样运土石最省工？讲解: 以直线l 为x 轴，线段AB 的中点为原点对立直角坐标系，则在l 一侧必存在经A 到P 和经B 到P 路程相等的点，设这样的点为M ，则 |MA|+|AP|=|MB|+|BP|, 即 |MA|－|MB|=|BP|－|AP|=50,750||=AB ,∴M 在双曲线1625252222=⨯-y x 的右支上. 故曲线右侧的土石层经道口B 沿BP 运往P 处，曲线左侧的土石层经道口A 沿AP 运往P 处，按这种方法运土石最省工.相关解析几何的实际应用性试题在高考中似乎还未涉及，其实在课本中还可找到典型的范例，你知道吗？ 解析几何解答题在历年的高考中常考常新, 体现在重视能力立意, 强调思维空间, 是用活题考死知识的典范. 考题求解时考查了等价转化, 数形结合, 分类讨论, 函数与方程等数学思想, 以及定义法, 配方法, 待定系数法, 参数法, 判别式法等数学通法.习题：1. 双曲线的实轴长是 （A ）2 (B) (C) 4x y 222-=82. 在极坐标系中，点到圆 的圆心的距离为 （A ）2 (B) (C)（D)3. 若直线过圆的圆心,则a 的值为 （A ） 1 (B) 1 (C) 3 (D) 34. 直线（I ）证明与相交；（II ）证明与的交点在椭圆5. .已知椭圆G ：，过点（m ，0）作圆的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点。
高中数学解析几何深度练习题及答案
高中数学解析几何深度练习题及答案1. 平面几何题目一：已知平面上三点A(1, -2)，B(3, 4)，C(7, 1)，求证：三角形ABC为等腰三角形。
解答：首先计算AB、AC、BC的长度，分别利用两点之间的距离公式：AB = √[(3-1)^2 + (4-(-2))^2] = √[4 + 36] = √40AC = √[(7-1)^2 + (1-(-2))^2] = √[36 + 9] = √45BC = √[(7-3)^2 + (1-4)^2] = √[16 + 9] = √25由于AB的平方等于BC的平方，即AB^2 = BC^2，可以得出AB = BC。
因此，三角形ABC为等腰三角形。
题目二：已知平面上直线L1过点A(2, -1)，斜率为k，与直线L2：3x + ky + 5 = 0 互相垂直，求k的值。
解答：首先计算直线L2的斜率：L2: 3x + ky + 5 = 0化简得：ky = -3x - 5因此，L2的斜率k2为 -3/k。
由于L1与L2互相垂直，根据垂直直线的特性可知斜率k1与k2之积为 -1。
即 k * (-3/k) = -1。
解上述方程可以得出：k^2 = 3，因此k的两个解为k = √3 和 k = -√3。
题目三：已知直线L1：4x + 3y - 2 = 0 与直线L2垂直，并且直线L2通过点A(5,-1)，求直线L2的方程式。
解答：由于L1与L2垂直，它们的斜率之积为 -1。
L1的斜率为 -4/3，所以L2的斜率为 3/4。
通过点斜式可以得到L2的方程式：y - (-1) = (3/4)(x - 5)化简得到：y = (3/4)x + 2因此，直线L2的方程式为：y = (3/4)x + 2。
2. 空间几何题目一：已知直线L1：x = 3 - 2t，y = 5 + 3t，z = -1 + 4t，求直线L1的参数方程。
解答：直线的参数方程为x = x0 + at，y = y0 + bt，z = z0 + ct，其中(a, b, c)为直线的方向向量。
解析几何 高中数学试题解析版
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若椭圆x2+y2a =1(a>0)的离心率为√ 22，则a的值为( )A. 2B. 12C. 2或√ 22D. 2或12【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的性质的应用及分类讨论的思想，属于基础题．考虑a>1和0<a<1两种情况，根据离心率的公式计算得到答案．【解答】解：当a>1时，离心率为√ a−1√ a =√ 22，解得a=2；当0<a<1时，离心率为√ 1−a=√ 22，解得a=12．综上所述：a=2或a=12．故选：D2.把一个圆心角为120°的扇形卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥底面圆的半径与这个圆锥的高之比是( )A. 1∶4B. √ 2∶2C. √ 2∶√ 3D. √ 2∶4【答案】D【解析】【分析】本题考查圆锥的计算，理解圆锥的展开图中扇形的弧长等于圆锥的底面周长是关键．设母线为l，半径为r，利用圆锥的展开图中扇形的弧长等于圆锥的底面周长得到半径与母线的关系，再根据勾股地理得到高，从而可以得出结果．【解答】解：设圆锥的母线为l，底面半径为r，高为ℎ则扇形的弧长为120180π×l=23πl，由圆锥的展开图中扇形的弧长等于圆锥的底面周长，得2πr=23πl，则r=13l，再由勾股定理得ℎ=√ l2−r2=2√ 23l，故r ℎ=13l 2√ 23l =√ 24，故选D ．3.已知原点到直线l 的距离为1，圆(x −2)2+(y −√ 5)2=4与直线l 相切，则满足条件的直线l 有 ( ) A. 1条 B. 2条C. 3条D. 4条【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查点到直线的距离，圆与圆位置关系，先求出两圆的圆心和半径，判断两个圆的位置关系，从而确定公切线的直线条数． 【解答】解：∵(x −2)2+(y −√ 5 )2=4， ∴圆心坐标(2,√ 5)，半径为2， ∵以坐标原点为圆心，以1为半径， ∴圆方程x 2+y 2=1， ∴两圆圆心距√ 5+22=3， ∴两圆相外切，∴两圆有三条公切线，(两条外公切线，一条内公切线)． 故选C ．4.已知PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,−3)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,3)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(7,6,λ)，若P ，A ，B ，C 四点共面，则λ=( ) A. 9 B. −9C. −3D. 3【答案】B 【解析】【分析】由共面向量定理得PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而(7,6,λ)=x(2,1,−3)+y(−1,2,3)，由此能求出λ的值． 本题考查实数值的求法，考查共面向量定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 【解答】解：∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,−3)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,3)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(7,6,λ)， P ，A ，B ，C 四点共面，∴存在一对实数x ，y ，PC⃗⃗⃗⃗⃗ =x PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(7,6,λ)=x(2,1,−3)+y(−1,2,3)，∴{7=2x−y6=x+2yλ=−3x+3y，解得λ=−9．故选：B．5.已知点A为圆(x+3)2+(y−2)2=1上的动点，点B的坐标为(1,1)，P为x轴上一动点，则|AP|+|BP|的最小值是( )A. 3B. 4C. 5D.6【答案】B【解析】【分析】本题考查到圆上点的距离的最值及点关于线的对称点的求法，属于拔高题．根据三角形三边关系以及两点间距离公式求解即可．【解答】解：设圆心M(−3,2)，半径为1，B关于x轴的对称点B1(1,−1)，连接MB1交x轴于N点，则N即是P，因为这时|NB|=|NB1|，|NB|+|MN|=|MB1|，当P在x轴的其它位置F时，|FB|=|FB1|，借助图形可得|FB|+|FM|>|MB1|(三角形的两边和大于第三边)，所以|AP|+|BP|的最小值是为|MB1|−1=√ 42+32−1=5−1=4，此时A为线段MB1与圆的交点．故选B.6.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点，若AB的中点坐标为(1,−1)，则E的方程为( )A. x245+y236=1 B. x236+y227=1 C. x227+y218=1 D. x218+y29=1【答案】D【解析】【分析】本题考查求椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入椭圆的方程，两式相减，根据线段AB的中点坐标为(1,−1)，进而可得a，b的关系，根据右焦点为F(3,0)，求出a，b的值，即可得出椭圆的方程．【解答】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，代入椭圆方程得{x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b2=1， 相减得x 12−x 22a 2+y 12−y 22b2=0， ∴x 1+x 2a 2+y 1−y 2x 1−x 2⋅y 1+y 2b2=0，∵x 1+x 2=2，y 1+y 2=−2，k AB =y 1−y2x 1−x 2=−1−01−3=12，∴2a 2+12×−2b2=0，化为a 2=2b 2，又c =3=√ a 2−b 2，解得a 2=18，b 2=9． ∴椭圆E 的方程为x 218+y 29=1．故选D ．7.已知圆C:x 2+y 2=1，直线l:x +y +2=0，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过定点 ( ) A. (−12,−12)B. (−1,−1)C. (−12,12)D. (12,−12)【答案】A 【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆方程的综合应用，属于中档题．根据题意，设P 的坐标为(t,−2−t)，由圆的切线性质可得PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，则有点A 、B 在以PC 为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆C 的方程联立可得直线AB 的方程，将其变形分析可得答案． 【解答】解：根据题意，P 为直线l ：x +y +2=0上的动点，设P 的坐标为(t,−2−t)， 过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA ⊥AC ，PB ⊥BC ， 则点A 、B 在以PC 为直径的圆上，又由C(0,0)，P(t,−2−t)，则以PC 为直径的圆的方程为x(x −t)+y(y +2+t)=0， 变形可得：x 2+y 2−tx +(t +2)y =0，则有{x 2+y 2=1x 2+y 2−tx +(t +2)y =0，联立可得：1−tx +(t +2)y =0，变形可得：1+2y −t(x −y)=0， 即直线AB 的方程为1+2y −t(x −y)=0，则有{1+2y =0x −y =0，解可得{x =−12y =−12，故直线AB 过定点(−12,−12)， 故选：A ．8.已知F 1，F 2是椭圆与x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，过左焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，且满足|AF 1|=2|BF 1|，|AB|=|BF 2|，则该椭圆的离心率是( ) A. 12B. √ 33C. √ 32D. √ 53【答案】B 【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，属于中档题． 利用已知条件，画出图形，通过三角形的边长关系，结合余弦定理，求解椭圆的离心率即可． 【解答】解：作出图形，如下：由题意可得：|F 1B|+|BF 2|=2a ，|AB|=|BF 2|，可得|AF 1|=a ，|AF 2|=a ，|AB|=|BF 2|=32a ，|F 1F 2|=2c ， 在△ABF 2中，由余弦定理得cos∠BAF 2=94a 2+a 2−94a 22×32a×a=13，在△AF 1F 2中，由余弦定理得cos∠BAF 2=a 2+a 2−4c 22×a×a =1−2(c a)2，所以13=1−2(ca )2，即e =c a =√ 33． 故选：B ．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
高中数学解析几何测试题(答案版)
解析几何练习题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行，则实数a 等于（ ）A 、12B 、12- C 、13D 、13-3．若直线32:1+=x y l ，直线2l 与1l 关于直线x y -=对称，则直线2l 的斜率为 （ ）A ．21B ．21- C ．2 D ．2- 4.在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)5.直线02032=+-=+-y x y x 关于直线对称的直线方程是 （ ） A ．032=+-y xB ．032=--y xC ．210x y ++=D ．210x y +-=6.若直线()1:4l y k x =-与直线2l 关于点)1,2(对称，则直线2l 恒过定点( )A ．0,4B ．0,2C ．2,4D ．4,27．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距为31，则m ，n 的值分别为A.4和3B.-4和3C.- 4和-3D.4和-3 8．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（ ） A 相切 B 直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 9．圆x 2+y 2－2y －1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是（ ）A.（x －2)2+(y+3)2=12B.（x －2)2+(y+3)2=2C.（x ＋2)2+(y －3)2=12D.（x ＋2)2+(y －3)2=210．已知点(,)P x y 在直线23x y +=上移动，当24x y +取得最小值时，过点(,)P x y 引圆22111()()242x y -++=的切线，则此切线段的长度为( )A ．2B ．32C ．12D ．211．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则弦AB 所在直线方程为（ ） A ．50x y --=B ．50x y -+=C ．50x y ++=D ．50x y +-=12．直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M,N 两点，若MN ≥则k 的取值范围是（ ）A. 304⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B.[]304⎡⎤-∞-+∞⎢⎥⎣⎦，，C. ⎡⎢⎣⎦ D. 203⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 二填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.）13.已知点()1,1A -，点()3,5B ，点P 是直线y x =上动点，当||||PA PB +的值最小时，点P 的坐标是 。
高中数学解析几何典型例题
高三数学单元测试—解析几何注意事项：1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。
2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。
考试结束，试题和答题卡一并收回。
3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD ）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案。
第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。
1．已知椭圆的离心率为21，焦点是(-3,0)，(3,0)，则椭圆方程为 （ ）A ．1273622=+y x B ．1273622=-y x C ．1362722=+y x D ．1362722=-y x 2．当a 为任意实数时，直线024)32(=+-++a y x a 恒过定点P ，则过点P 的抛物线的标 准方程是（ ）A ．y x 322=或x y 212-= B ．y x 322-=或x y 212=C ．x y 322=或y x 212-=D ．x y 322-=或y x 212=3．设双曲线x 2 –y 2=1的两条渐近线与直线围成的三角形区域（包含边界）为E,P(x,y) 为该区域内的一个动点，则目标函数y x z 23-=的取值范围为（ ）A ．[22,0] B ．[223,22] C ．[225,22] D ． [225,0] 4．短轴长为2，离心率e=3的双曲线两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线于A 、B 两点， 且|AB|=8,则△ABF 2的周长为 （ ） A ．3 B ．6 C ．12 D ．245．已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B 两点，若△ ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ）A ．3B ．3C ．2D ．26．如果AC ＜0,且BC ＜0,那么直线Ax+By+C=0不通过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知抛物线mx 2=2(0)y nx n = <(0<m )与椭圆n y x 229+=1有一个相同的焦点，则动点),(n m 的轨 迹是（ ）A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分D ．直线的一部分 8．如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面为正方 形，侧面PAD 与底面ABCD 垂直，M 为底面内的一个动点，且满 足MP=MC ，则动点M 的轨迹为 （ ） A ．椭圆 B ．抛物线 C ．双曲线 D ．直线9．若直线mx- ny = 4与⊙O: x 2+y 2= 4没有交点，则过点P(m,n)的直线与椭圆22194x y +=的 交点个数是（ ）A ．至多为1B ．2C ．1D ．010．若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的渐近线方程是 （ ）A ．20x y ±=B ．20x y ±=C ．30x ±=D 30x y ±=11．过点P(x,y)的直线分别与x 轴和y 轴的正半轴交于A,B 两点,点Q 与点P 关于y 轴对称，O为坐标原点，若2BP PA =且OQ AB ⋅=1，则点P 的轨迹方程是 （ ） A ．22331(0,0)2x y x y +=>> B ．22331(0,0)2x y x y -=>>C ．22331(0,0)2x y x y -=>> D ．22331(0,0)2x y x y +=>> 12．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是 （ ） A ．4a B ．2()a c - C ．2()a c + D ．以上答案均有可能第Ⅱ卷二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。
高考解析几何大题题型归纳
高考解析几何大题题型归纳高考解析几何大题题型归纳一、三角形的性质与判定在高中数学中，三角形是一个重要的图形。
学生在高考中常常会遇到与三角形性质与判定相关的大题。
在这一题型中，常见的题目包括用三角形的边长、角度或者特殊性质来判断三角形的形状、大小或者其他性质。
二、直线与线段的相交问题直线和线段是解析几何题目中常见的图形。
学生在高考中常常会遇到关于直线和线段相交问题的大题。
在这一题型中，学生需要根据已知条件求解未知的角度、线段长度或者其他相关问题。
三、圆的性质与判定圆是解析几何题目中一个重要的图形。
学生在高考中经常会遇到与圆的性质与判定相关的大题。
在这一题型中，学生需要利用已知条件来判断圆的位置，或者通过已知条件求解未知物品与圆的关系。
四、平行线与垂直线的判定平行线与垂线也是高考解析几何题目中常见的考点。
在这一题型中，学生需要利用已知条件来判定两条线是否平行或者垂直，或者根据已知条件求解未知的线段长度或者角度。
五、多边形的性质与判定在解析几何题中，多边形也是一个重要的图形。
学生在高考中常常会遇到与多边形的性质与判定相关的大题。
在这一题型中，学生需要利用已知条件来判断多边形的形状、大小或者其他性质，或者求解未知的角度或者线段长度。
六、空间几何问题空间几何问题在高考中也是一个重要的考点。
在这一题型中，学生需要利用已知条件来求解空间中的角度、线段长度或者其他相关问题。
这类题目常常需要学生运用立体几何知识和空间想像力来进行推理和求解。
七、向量的应用在解析几何题目中，向量是一个重要的工具。
学生在高考中常常会遇到与向量的应用相关的大题。
在这一题型中，学生需要利用向量的性质来求解角度、线段长度或者其他相关问题。
总结：解析几何题目涉及到的题型很多，常见的包括三角形的性质与判定、直线与线段相交问题、圆的性质与判定、平行线与垂直线的判定、多边形的性质与判定、空间几何问题以及向量的应用等。
针对这些题型，学生在备考中应该重点复习相关知识，并且多进行一些练习题，以加深对题型的理解和应用能力。
高中数学解析几何题型
高中数学解析几何题型概述解析几何是高中数学的一个重要组成部分，也是高考的重点和难点之一。
解析几何涉及到直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的性质和应用，以及立体几何中的解析几何应用等方面。
下面将对高中数学解析几何的主要题型进行概述。
1. 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系是解析几何中最基本的问题之一。
主要涉及到直线与圆的相交、相切、相离等位置关系，以及相关的应用问题。
例如，直线与圆的位置关系可以用来解决与圆相关的问题，如圆与圆的位置关系、圆的切线等问题。
2. 椭圆、双曲线与抛物线的性质椭圆、双曲线与抛物线是高中数学解析几何中最重要的三种曲线。
这三种曲线的性质和应用是高考的重点和难点之一。
例如，椭圆的性质可以用来解决与椭圆相关的问题，如椭圆的焦点、离心率等问题；双曲线的性质可以用来解决与双曲线相关的问题，如双曲线的渐近线、离心率等问题；抛物线的性质可以用来解决与抛物线相关的问题，如抛物线的焦点、准线等问题。
3. 立体几何中解析几何的应用立体几何是高中数学的一个重要组成部分，而解析几何在立体几何中的应用也是高考的重点和难点之一。
例如，利用解析几何的方法可以解决立体几何中的距离、角度等问题；利用解析几何的方法还可以解决立体几何中的面积、体积等问题。
4. 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何中比较复杂的问题之一。
主要涉及到直线与椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的相交、相切、相离等位置关系，以及相关的应用问题。
例如，利用直线与圆锥曲线的位置关系可以解决与圆锥曲线相关的问题，如圆锥曲线的焦点、离心率等问题。
5. 圆锥曲线的参数方程圆锥曲线的参数方程是解析几何中比较特殊的问题之一。
主要涉及到圆锥曲线的一种特殊的方程形式，以及相关的应用问题。
例如，利用圆锥曲线的参数方程可以解决一些与圆锥曲线相关的问题，如圆锥曲线的极坐标方程等问题。
6. 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系是解析几何中比较重要的问题之一。
高中数学解析几何题型(基础篇)讲课教案
高中数学解析几何题型(基础篇)第七讲 解析几何新题型【考点透视】 一．直线和圆的方程1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． 3．了解二元一次不等式表示平面区域． 4．了解线性规划的意义，并会简单的应用． 5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法．6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程． 二．圆锥曲线方程1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质． 2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． 3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． 4．了解圆锥曲线的初步应用．【例题解析】 考点1.求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之.例1．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162xy +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质.解答过程：椭圆22162x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D. 考点2. 求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之.例2．已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于A.3B.4C.32D.42考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用. 解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x b⎧=-+⇒++-=⇒+=-⎨=+⎩，进而可求出AB 的中点11(,)22M b --+，又由11(,)22M b --+在直线0x y +=上可求出1b =，∴220x x +-=，由弦长公式可求出221114(2)32AB =+-⨯-= 故选C例3．如图，把椭圆2212516xy +=的长轴 AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点， 则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用. 解答过程：由椭圆2212516xy +=的方程知225, 5.a a =∴=∴12345677277535.2aPFP F P F P F P F P F P F a ⨯++++++==⨯=⨯= 故填35.考点3. 曲线的离心率曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用: (1)椭圆的离心率e ＝ac ∈(0,1) (e 越大则椭圆越扁);(2) 双曲线的离心率e ＝ac ∈(1, ＋∞) (e 越大则双曲线开口越大).结合有关知识来解题.例4．已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)-，(4,0)，则双曲线方程为A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．221106x y -= D ．221610x y -=考查意图:本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念.解答过程： 2,4,c e c a===Q 所以22,12.a b ∴==故选(A).小结: 对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念，要注意认真掌握.尤其对双曲线的焦点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要认真体会. 例5．已知双曲线9322=-y x ,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ） A. 2 B.332C. 2D.4考查意图: 本题主要考查双曲线的性质和离心率e ＝ac ∈(1, ＋∞) 的有关知识的应用能力.解答过程：依题意可知 3293,322=+=+==b a c a ．考点4.求最大(小)值求最大(小)值, 是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大(小)值:特别是,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.例6．已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 .考查意图: 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小)值的方法.解:设过点P (4,0)的直线为()()224,8164,y k x k x x x =-∴-+=()()122222222122284160,8414416232.k x k x k k y y x x k k ∴-++=+⎛⎫∴+=+=⨯=+≥ ⎪⎝⎭故填32.考点5 圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心. 例7．在平面直角坐标系xOy 中,已知圆心在第二象限、半径为22的圆C 与直线y =x相切于坐标原点O .椭圆9222y ax+=1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.（1）求圆C 的方程；（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长.若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. [考查目的]本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力． [解答过程] (1) 设圆C 的圆心为 (m, n)则,m n n =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 解得2,2.m n =-⎧⎨=⎩所求的圆的方程为 22(2)(2)8x y ++-= (2) 由已知可得 210a = ， 5a =． 椭圆的方程为 221259xy += , 右焦点为 F( 4, 0) ; 假设存在Q 点()222cos ,222sin θθ-++使QF OF =,()()22222cos 4222sin 4θθ-+-++=．整理得 sin 3cos 22θθ=+， 代入 22sin cos 1θθ+=．得:210cos 122cos 70θθ++= , 122812222cos 1θ-±-±==<-．因此不存在符合题意的Q 点. 例8．如图,曲线G 的方程为)0(22≥=y x y .以原点为圆心，以)0(>t t 为半径的圆分别与曲线G 和y 轴的 正半轴相交于 A 与点B .直线AB 与 x 轴相交于点C .（Ⅰ）求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标c 的关系式；（Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2+a ,求证：直线CD 的斜率为定值. [考查目的]本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标素中的 两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系 ，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力.[解答过程]（I ）由题意知，).2,(a a A 因为.2,||22t a a t OA =+=所以 由于.2,02a a t t +=>故有 （1）由点B （0，t ），C （c ，0）的坐标知，直线BC 的方程为.1=+tyc x 又因点A 在直线BC 上，故有,12=+taca将（1）代入上式，得,1)2(2=++a a a ca 解得 )2(22+++=a a c .（II ）因为))2(22(++a a D ，所以直线CD 的斜率为1)2(2)2(2))2(22(2)2(22)2(2-=+-+=+++-++=-++=a a a a a a c a a k CD ，所以直线CD 的斜率为定值.例9．已知椭圆2222x y E :1(a b 0)a b+=>>，AB 是它的一条弦，M(2,1)是弦AB 的中点，若以点M(2,1)为焦点，椭圆E 的右准线为相应准线的双曲线C 和直线AB 交于点N(4,1)-，若椭圆离心率e 和双曲线离心率1e 之间满足1ee 1=，求：（1）椭圆E 的离心率；（2）双曲线C 的方程. 解答过程：（1）设A 、B 坐标分别为1122A(x ,y ),B(x ,y )，则221122x y 1ab+=，222222x y 1ab+=，二式相减得： 21212AB 21212y y (x x )b k x x (y y )a-+==-=-+2MN 22b 1(1)k 1a24---===--，所以2222a 2b 2(a c )==-，22a 2c =，则c e a==（2）椭圆E的右准线为2a x 2c c ===，双曲线的离心率11e e== 设P(x,y)是双曲线上任一点，则：|PM ||x 2c |=-两端平方且将N(4,1)-代入得：c 1=或c 3=，当c 1=时，双曲线方程为：22(x 2)(y 1)0---=，不合题意，舍去； 当c 3=时，双曲线方程为：22(x 10)(y 1)32---=，即为所求. 小结：（1）“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法； （2）求解圆锥曲线时，若有焦点、准线，则通常会用到第二定义. 考点6 利用向量求曲线方程和解决相关问题利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算. 典型例题：例10．双曲线C 与椭圆22184x y +=有相同的焦点，直线y =x 3为C 的一条渐近线.(1)求双曲线C 的方程；(2)过点P (0,4)的直线l ，交双曲线C 于A,B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 的顶点不重合）.当12PQ QA QB λλ==u u u r u u u r u u u r，且3821-=+λλ时，求Q 点的坐标.考查意图: 本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力. 解答过程：（Ⅰ）设双曲线方程为22221x y ab-=,由椭圆22184xy +=,求得两焦点为(2,0),(2,0)-， ∴对于双曲线:2C c =，又3y x =为双曲线C 的一条渐近线 ∴3b a= 解得 221,3a b ==，∴双曲线C 的方程为2213y x -=（Ⅱ）解法一：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零. 设l 的方程：114,(,)y kx A x y =+，22(,)B x y ,则4(,0)Q k-.1PQ QA λ=u u u r u u u rQ ,11144(,4)(,)x y kkλ∴--=+.111111114444()44x k k x k k y y λλλλ⎧=--⎧⎪-=+⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪-==-⎩⎪⎩Q 11(,)A x y 在双曲线C 上， ∴2121111616()10kλλλ+--=.∴222211161632160.3k k λλλ++--=∴2221116(16)32160.3k k λλ-++-=同理有：2222216(16)32160.3k k λλ-++-=若2160,k -=则直线l 过顶点，不合题意.2160,k ∴-≠12,λλ∴是二次方程22216(16)32160.3k x x k -++-=的两根.122328163k λλ∴+==--,24k ∴=，此时0,2k ∆>∴=±.∴所求Q 的坐标为(2,0)±.解法二：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零 设l 的方程，11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4(,0)Q k-.1PQ QAλ=u u u r u u u r Q ， Q ∴分PA uu u r 的比为1λ. 由定比分点坐标公式得1111111111144(1)14401x x k k y y λλλλλλλ⎧⎧-==-+⎪⎪+⎪⎪→⎨⎨+⎪⎪=-=⎪⎪+⎩⎩下同解法一解法三：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零 设l 的方程：11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4(,0)Q k-.12PQ QA QB λλ==u u u r u u u r u u u rQ ， 111222444(,4)(,)(,)x y x y kkkλλ∴--=+=+.11224y y λλ∴-==， 114y λ∴=-，224y λ=-，又1283λλ+=-， 121123y y ∴+=,即12123()2y y y y +=. 将4y kx =+代入2213y x -=得222(3)244830k y y k --+-=.230k -≠Q ，否则l 与渐近线平行.212122224483,33k y y y y k k -∴+==--.222244833233k k k -∴⨯=⨯--.2k ∴=± (2,0)Q ∴±.解法四：由题意知直线l 得斜率k 存在且不等于零，设l 的方程：4y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ,则4(,0)Q k-1PQ QA λ=u u u v u u u v Q ,11144(,4)(,)x y k kλ∴--=+.∴1114444k kx x kλ-==-++.同理 1244kx λ=-+. 1212448443kx kx λλ+=--=-++. 即 2121225()80k x x k x x +++=.（*）又22413y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 得22(3)8190k x kx ---=.当230k -=时，则直线l 与双曲线得渐近线平行，不合题意，230k -≠.由韦达定理有： 12212283193k x x k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩代入（*）式得24,2k k ==±.∴所求Q 点的坐标为(2,0)±.例11．设动点P 到点A (－l ，0)和B (1，0)的距离分别为d 1和d 2， ∠APB ＝2θ,且存在常数λ(0＜λ＜1＝,使得d 1d 2 sin 2θ＝λ． （1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程； （2）过点B 作直线交双曲线C 的右支于M 、N 两点,试确定λ的范围,使OM ·ON ＝0,其中点O 为坐标原点．[考查目的]本小题主要考查直线、双曲线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．[解答过程]解法1：（1）在PAB △中，2AB =，即222121222cos 2d d d d θ=+-，2212124()4sin d d d d θ=-+，即122d d -==（常数），点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点，实轴长2a =方程为：2211x y λλ-=-． （2）设11()M x y ，，22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上．即2111101λλλλλ-=⇒+-=⇒=-，因为01λ<<，所以λ=．②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．由2211(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩得：2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ⎡⎤--+---+=⎣⎦， 由题意知：2(1)0k λλ⎡⎤--≠⎣⎦，所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--，2122(1)()(1)k x x k λλλλ--+=--． 于是：22212122(1)(1)(1)k y y k x x k λλλ=--=--．因为0=⋅ONOM ，且M N ，在双曲线右支上，所以2121222122212(1)0(1)2101131001x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+=⎧-⎧=⎪>⎪⎪⎪+-+>⇒⇒<<+--⎨⎨⎨⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎪-⎩．23λ<．解法2：（1）同解法1（2）设11()M x y ，，22()N x y ，，MN 的中点为00()E x y ，． ①当121x x ==时，221101MB λλλλλ=-=⇒+-=-，CA oyx因为01λ<<，所以λ ②当12x x ≠时，002222212111111y x k y x y x MN ⋅-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--λλλλλλ．又001MN BE y k k x ==-．所以22000(1)y x x λλλ-=-；由2MON π=∠得222002MN x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由第二定义得2212()222MN e x x a ⎛⎫+-⎡⎤= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭220001(1)21x x λλ==+---． 所以222000(1)2(1)(1)y x x λλλλ-=--+-．于是由22000222000(1),(1)2(1)(1),y x x y x x λλλλλλλ⎧-=-⎪⎨-=--+-⎪⎩得20(1).23x λλ-=-因为01x >，所以2(1)123λλ->-，又01λ<<，23λ<23λ<． 考点7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值，要比只利用解析几何知识建立等量关系容易.例12．设椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在xC(1,0)-的直线交椭圆E 于A 、B 两点，且CA 2BC =u u u r u u u r，求当AOB ∆的面积达到最大值时直线和椭圆E 的方程.222x 3y t(t 0)+=>，直线方程为my x 1=+，由222x 3y t my x 1⎧+=⎨=+⎩得：22(2m 3)y 4my 2t 0+-+-=，设1122A(x ,y ),B(x ,y )， 则1224m y y 2m 3+=+…………①又CA 2BC =u u u r u u u r，故1122(x 1,y )2(1x ,y )+=---，即12y 2y =-…………② 由①②得：128my 2m 3=+，224m y 2m 3-=+， 则AOB 1221mS |y y |6||22m 3∆=-=+＝632|m ||m |≤+， 当23m 2=，即m =AOB ∆面积取最大值，此时2122222t 32my y 2m 3(2m 3)-==-++，即t 10=，所以，直线方程为x 10+=，椭圆方程为222x 3y 10+=. 小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易.例13．已知PA (x y)=u u u r，PB (x y)=u u u r ，且|PA ||PB |6+=u u u r u u u r， 求|2x 3y 12|--的最大值和最小值.解答过程：设P(x,y)，A(，0)，因为|PA ||PB |6+=u u u r u u u r，且|AB |6=<，所以，动点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，长轴长为6的椭圆， 椭圆方程为22xy 194+=，令x 3cos ,y 2sin =θ=θ，则|2x 3y 12|--＝|)12|4πθ+-，当cos()14πθ+=-时，|2x 3y 12|--取最大值12+当cos()14πθ+=时，|2x 3y 12|--取最小值12-小结：利用椭圆的参数方程，可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算. 考点8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题解析几何中求变量的范围，一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题.例14．（2006年福建卷） 已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点.（I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；（II ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 考查意图:查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力. 解答过程：（I ）222,1,1,(1,0),: 2.a b c F l x ==∴=-=-QQ 圆过点O 、F ， ∴圆心M 在直线12x =-上.设1(,),2M t -则圆半径13()(2).22r =---=由,OM r =3,2解得t =∴所求圆的方程为2219()(.24x y ++=（II ）设直线AB 的方程为(1)(0),y k x k =+≠ 代入221,2x y +=整理得2222(12)4220.k x k x k +++-=Q 直线AB 过椭圆的左焦点F ，∴方程有两个不等实根.记1122(,),(,),A x y B x y AB 中点00(,),N x y 则21224,21k x x k +=-+ AB ∴的垂直平分线NG 的方程为001().y y x x k-=--令0,y =得222002222211.21212124210,0,2G G k k k x x ky k k k k k x =+=-+=-=-+++++≠∴-<<Q ∴点G 横坐标的取值范围为1(,0).2-例15．已知双曲线C ：2222x y 1(a 0,b 0)a b -=>>，B 是右顶点，F 是右焦点，点A 在x 轴正半轴上，且满足|OA |,|OB |,|OF |u u u r u u u r u u u r成等比数列，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P ， （1）求证：PA OP PA FP ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u r；（2）若l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于点D,E ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围.解答过程：（1）因|OA |,|OB |,|OF |u u u r u u u r u u u r 成等比数列，故22|OB |a |OA |c|OF |==u u u ru u u r u u u r ，即2a A(,0)c， 直线l ：a y (x c)b=--，由2a y (x c)a ab bP(,)b c c y x a ⎧=--⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩， 故：22ab a ab b ab PA (0,),OP (,),FP (,)c c c c c=-==-u u u r u u u r u u r ，则：222a b PA OP PA FP c⋅=-=⋅u u u r u u u r u u ur u u r ，即PA OP PA FP ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u r ；（或PA (OP FP)PA (PF PO)PA OF 0⋅-=⋅-=⋅=u u u r u u u r u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r，即PA OP PA FP ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u r ）（2）由44422222222222222a y (x c)a a a c (b )x 2cx (a b )0bb b b b x a y a b ⎧=--⎪⇒-+-+=⎨⎪-=⎩，由4222212422a c (ab )b x x 0a b b -+=<-得：4422222b a b c a a e 2e >⇒=->⇒>⇒> （或由DF DO k k >⇒a bb a ->-⇒22222b c a a e 2e =->⇒>⇒>小结：向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重，而要运用数量积，必须先恰当地求出各个点的坐标.例16．已知a (x,0)=r ，b (1,y)=r，(a (a ⊥r r ，（1）求点P(x,y)的轨迹C 的方程；（2）若直线y kx m(m 0)=+≠与曲线C 交于A 、B 两点，D(0,1)-，且|AD ||BD |=，试求m 的取值范围.解答过程：（1）a r＝(x,0)y)(x =+，a r＝(x,0)y)(x =，因(a (a +⊥r r，故(a (a 0⋅-=r r ，即22(x (x x 3y 30+⋅=--=，故P 点的轨迹方程为22x y 13-=.（2）由22y kx m x 3y 3=+⎧⎨-=⎩得：222(13k )x 6kmx 3m 30----=， 设1122A(x ,y ),B(x ,y )，A 、B 的中点为00M(x ,y ) 则22222(6km)4(13k )(3m 3)12(m 13k )0∆=----=+->，1226km x x 13k +=-，1202x x 3km x 213k +==-，002my kx m 13k =+=-， 即A 、B 的中点为223km m(,)13k 13k --，则线段AB 的垂直平分线为：22m 13kmy ()(x )13k k 13k-=----，PQCBA xy O将D(0,1)-的坐标代入，化简得：24m 3k 1=-，则由222m 13k 04m 3k 1⎧+->⎪⎨=-⎪⎩得：2m 4m 0->，解之得m 0<或m 4>， 又24m 3k 11=->-，所以1m 4>-，故m 的取值范围是1(,0)(4,)4-+∞U .小结：求变量的范围，要注意式子的隐含条件，否则会产生增根现象. 考点9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题存在性问题，其一般解法是先假设命题存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成立，否则，不成立.例17．已知A,B,C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的中心O ，且AC BC 0⋅=u u u r u u u r ，|BC |2|AC |=u u u r u u u r， （1）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上的两点P,Q 使PCQ ∠的平分线垂直于OA ，是否总存在实数λ，使得PQ λAB =u u u r u u u r？请说明理由；解答过程：（1）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立 平面直角坐标系，则A(2,0)，设椭圆方程为222x y 14b +=，不妨设C 在x 轴上方，由椭圆的对称性，|BC |2|AC |2|OC ||AC ||OC |==⇒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，又AC BC 0⋅=u u u r u u u rAC OC ⇒⊥，即ΔOCA 为等腰直角三角形， 由A(2,0)得：C(1,1)，代入椭圆方程得：24b 3=， 即，椭圆方程为22x 3y 144+=；（2）假设总存在实数λ，使得PQ λAB =u u u r u u u r，即AB//PQ ，由C(1,1)得B(1,1)--，则AB 0(1)1k 2(1)3--==--，若设CP ：y k(x 1)1=-+，则CQ ：y k(x 1)1=--+，由22222x 3y 1(13k )x 6k(k 1)x 3k 6k 1044y k(x 1)1⎧+=⎪⇒+--+--=⎨⎪=-+⎩， 由C(1,1)得x 1=是方程222(13k )x 6k(k 1)x 3k 6k 10+--+--=的一个根，由韦达定理得：2P P 23k 6k 1x x 113k --=⋅=+，以k -代k 得2Q 23k 6k 1x 13k +-=+，故P Q P Q PQ P QP Qy y k(x x )2k1k x x x x 3-+-===--，故AB//PQ ， 即总存在实数λ，使得PQ λAB =u u u r u u u r.评注：此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线及探索性问题的处理方法等，是一道很好的综合题. 考点10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题直线和圆锥曲线的关系问题，一般情况下，是把直线的方程和曲线的方程组成方程组，进一步来判断方程组的解的情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围.例18．设G 、M 分别是ABC ∆的重心和外心，A(0,a)-，B(0,a)(a 0)>，且GM AB =λu u u u r u u u r ，（1）求点C 的轨迹方程；（2）是否存在直线m ，使m 过点(a,0)并且与点C 的轨迹交于P 、Q 两点，且OP OQ 0⋅=u u u r u u u r？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由.解答过程：（1）设C(x,y)，则x yG(,)33，因为GM AB =λu u u u r u u u r ，所以GM//AB ，则xM(,0)3，由M 为ABC ∆的外心，则|MA ||MC |==整理得：2222x y 1(x 0)3a a+=≠；（2）假设直线m 存在，设方程为y k(x a)=-，由2222y k(x a)x y 1(x 0)3a a =-⎧⎪⎨+=≠⎪⎩得：22222(13k )x 6k ax 3a (k 1)0+++-=，设1122P(x ,y ),Q(x ,y )，则21226k a x x 13k +=+，221223a (k 1)x x 13k -=+，22212121212y y k (x a)(x a)k [x x a(x x )a ]=--=-++＝2222k a 13k-+， 由OP OQ 0⋅=u u u r u u u r 得：1212x x y y 0+=， 即2222223a (k 1)2k a 013k 13k--+=++，解之得k = 又点(a,0)在椭圆的内部，直线m 过点(a,0)， 故存在直线m，其方程为y a)=-.小结：（1）解答存在性的探索问题，一般思路是先假设命题存在，再推出合理或不合理的结果，然后做出正确的判断；（2）直线和圆锥曲线的关系问题，一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组成的方程组的求解问题. 【专题训练与高考预测】 一、选择题1．如果双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是1y x 3=±，那么双曲线方程是（）A ．22x y 1369-= B ．22x y 1819-= C ．22x y 19-= D ．22x y 1183-= 2．已知椭圆2222x y 13m 5n +=和双曲线2222x y 12m 3n-=有公共的焦点，那么双曲线的的渐近线方程为（ ）A.x =B. y =C. x =D. y =3．已知12F ,F 为椭圆2222x y 1(a b 0)ab+=>>的焦点，M 为椭圆上一点，1MF 垂直于x轴，且12FMF 60∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）A.12B.24．二次曲线22x y 14m+=，当m [2,1]∈--时，该曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A. B. C. D.5．直线m 的方程为y kx 1=-，双曲线C 的方程为22x y 1-=，若直线m 与双曲线C 的右支相交于不重合的两点，则实数k 的取值范围是（ ） A.( B. C.[ D.6．已知圆的方程为22x y 4+=，若抛物线过点A(1,0)-，B(1,0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程为（ ） A. 22x y 1(y 0)34+=≠ B. 22x y 1(y 0)43+=≠C. 22x y 1(x 0)34-=≠D. 22x y 1(x 0)43-=≠二、填空题7．已知P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，若021=⋅PF PF21tan 21=∠F PF ，则椭圆的离心率为 ______________ . 8．已知椭圆x 2+2y 2=12，A 是x 轴正方向上的一定点，若过点A ，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为3134，点A 的坐标是______________ .9．P 是椭圆22x y 143+=上的点，12F ,F 是椭圆的左右焦点，设12|PF ||PF |k ⋅=，则k的最大值与最小值之差是______________ . 10．给出下列命题：①圆22(x 2)(y 1)1++-=关于点M(1,2)-对称的圆的方程是22(x 3)(y 3)1++-=；②双曲线22x y 1169-=右支上一点P 到左准线的距离为18，那么该点到右焦点的距离为292；③顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点(4,3)--的抛物线方程只能是29y x 4=-；④P 、Q 是椭圆22x 4y 16+=上的两个动点，O 为原点，直线OP,OQ 的斜率之积为14-，则22|OP ||OQ |+等于定值20 .把你认为正确的命题的序号填在横线上_________________ . 三、解答题11．已知两点，B(0)，动点P 在y 轴上的射影为Q ，2PA PB 2PQ ⋅=u u u u r u u u r u u u r，（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）设直线m 过点A ，斜率为k ，当0k 1<<时，曲线E 的上支上有且仅有一点C 到直线mk 的值及此时点C 的坐标.FQoyx12．如图，1F (3,0)-，2F (3,0)是双曲线C 的两焦点，直线4x 3=是双曲线C 的右准线，12A ,A 是双曲线C 的两个顶点，点P 是双曲线C 右支上异于2A 的一动M,N点，直线1A P 、2A P 交双曲线C 的两点，（1）求双曲线C 的方程； （2）求证：12FM F N ⋅u u u u r u u u u r是定值.13．已知OFQ ∆的面积为S ，且OF FQ 1⋅=u u u r u u u r，建立如图所示坐标系， （1）若1S 2=，|OF |2=u u u r，求直线FQ 的方程；（2）设|OF |c(c 2)=≥u u u r，3S c 4=，若以O 为中心，F 为焦点的椭圆过点Q ，求当|OQ |u u u r取得最小值时的椭圆方程.14．已知点H(3,0)-，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足HP PM 0⋅=u u u r u u u r，3PM MQ 2=-u u u r u u u u r，（1）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ；（2）过点T(1,0)-作直线m 与轨迹C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点0E(x ,0)，使得ABE ∆为等边三角形，求0x 的值.15．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，向量与OM 是共线向量．（1）求椭圆的离心率e ；（2）设Q 是椭圆上任意一点， 1F 、2F 分别是左、右焦点，求∠21QF F 的取值范围；16．已知两点M （-1，0），N （1，0）且点P 使NP NM PN PM MN MP ⋅⋅⋅,,成公差小于零的等差数列， （Ⅰ）点P 的轨迹是什么曲线？（Ⅱ）若点P 坐标为),(00y x ，θ为PN PM 与的夹角，求tan θ．【参考答案】一. 1．C .提示，设双曲线方程为11(x y)(x y)33+-=λ，将点代入求出λ即可.2．D .因为双曲线的焦点在x轴上，故椭圆焦点为，双曲线焦点为，由22223m 5n 2m 3n -=+得|m |n |=，所以，双曲线的渐近线为y == .3．C .设1|MF |d =，则2|MF |2d =，12|FF |=，1212|FF |c 2c e a 2a |MF ||MF |===+4.C .1>，故选C ；或用2a 4=，2b m =-来计算.5．B .将两方程组成方程组，利用判别式及根与系数的关系建立不等式组. 6．B .数形结合，利用梯形中位线和椭圆的定义.二.7．解：设c 为为椭圆半焦距，∵021=⋅PF PF ，∴21PF PF ⊥ .又21tan 21=∠F PF ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=+212)2(122122221PF PF a PF PF c PF PF解得：25()9,c c e a a === ． 选D ．8． 解：设A （x 0，0）（x 0＞0），则直线l 的方程为y=x-x 0，设直线l 与椭圆相交于P （x 1，y 1），Q （x 2、y 2），由 y=x-x 0 可得3x 2-4x 0x+2x 02-12=0，x 2+2y 2=12 34021xx x =+，3122221-=⋅x x x ，则 2202021221212363234889164)(||x x x x x x x x x -=--=-+=-．∴||13144212x x x -⋅+=，即202363223144x -⋅⋅=．∴x 02=4，又x 0＞0，∴x 0=2，∴A （2，0）．9．1；22212k |PF ||PF |(a ex)(a ex)a e x =⋅=+-=- . 10．②④.三. 11．解（1）设动点P 的坐标为(x,y)，则点Q(0,y)，PQ (x,0)=-u u u r，PA x,y)=-u u u r，PB (x,y)=-u u u r ，22PA PB x 2y ⋅=-+u u u r u u u r，因为2PA PB 2PQ ⋅=u u u u r u u u r u u u r，所以222x 2y 2x -+=， 即动点P 的轨迹方程为：22y x 2-=；（2）设直线m ：y k(x k 1)=<<，依题意，点C 在与直线m 平行，且与m设此直线为1m :y kx b =+2b 2+=，……①把y kx b =+代入22y x 2-=，整理得：222(k 1)x 2kbx (b 2)0-++-=， 则22224k b 4(k 1)(b 2)0∆=---=，即22b 2k 2+=，…………②由①②得：k =b =，此时，由方程组22y y x 2⎧=⎪⎨⎪-=⎩.12．解：（1）依题意得：c 3=，2a 4c 3=，所以a 2=，2b 5=，所求双曲线C 的方程为22x y 145-=； （2）设00P(x ,y )，11M(x ,y )，22N(x ,y )，则1A (2,0)-，2A (2,0)，100A P (x 2,y )=+u u u u r ，200A P (x 2,y )=-u u u u r ，1110A M (,y )3=u u u u r ，222A N (,y )3=-u u u u r ，因为1A P u u u u r 与1A M u u u u r 共线，故01010(x 2)y y 3+=，01010y y 3(x 2)=+，同理：202y y 3(x 2)=--，则1113FM (,y )3=u u u u r ，225F N (,y )3=-u u u u r ， 所以12FM F N ⋅u u u u r u u u u r ＝1265y y 9-+＝202020y 6599(x 4)---＝20205(x 4)206541099(x 4)-⨯--=-- .13．解：（1）因为|OF |2=u u u r ，则F(2,0)，OF (2,0)=u u u r，设00Q(x ,y )，则00FQ (x 2,y )=-u u u r，0OF FQ 2(x 2)1⋅=-=u u u r u u u r ，解得05x 2=，由0011S |OF ||y ||y |22=⋅==u u u r ，得01y 2=±，故51Q(,)22±，所以，PQ 所在直线方程为y x 2=-或y x 2=-+；（2）设00Q(x ,y )，因为|OF |c(c 2)=≥u u u r，则00FQ (x c,y )=-u u u r ， 由0OF FQ c(x c)1⋅=-=u u u r u u u r 得：01x c c=+，又013S c |y |c 24==，则03y 2=±，13Q(c ,)c 2+±，2219|OQ |(c )c 4=++u u u r ，易知，当c 2=时，|OQ |u u u r 最小，此时53Q(,)22±，设椭圆方程为2222x y 1,(a b 0)a b +=>>，则2222a b 425914a 4b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得22a 10b 6⎧=⎪⎨=⎪⎩， 所以，椭圆方程为22x y 1106+= . 14．解：（1）设M(x,y)，由3PM MQ 2=-u u u r u u u u r 得：y P(0,)2-，xQ(,0)3，由HP PM 0⋅=u u u r u u u r 得：y 3y(3,)(x,)022-=，即2y 4x =，由点Q 在x 轴的正半轴上，故x 0>，即动点M 的轨迹C 是以(0,0)为顶点，以(1,0)为焦点的抛物线，除去原点； （2）设m :y k(x 1)(k 0)=+≠，代入2y 4x =得：2222k x 2(k 2)x k 0+-+=…………①设11A(x ,y )，22B(x ,y )，则12x ,x 是方程①的两个实根，则21222(k 2)x x k -+=-，12x x 1=，所以线段AB 的中点为222k 2(,)k k-， 线段AB 的垂直平分线方程为22212k y (x )kkk--=--，令y 0=，022x 1k=+，得22E(1,0)k+，因为ABE ∆为正三角形，则点E 到直线ABAB |，又|AB|k =011x 3= . 15．解：（1）∵ab yc x c F M M 21,),0,(=-=-则，∴acb k OM 2-= .∵OM a b k AB 与,-=是共线向量，∴a b ac b -=-2，∴b=c,故22=e .（2）设1122121212,,,2,2,FQr F Q r F QF r r a F F c θ==∠=∴+==22222221212122121212124()24cos 11022()2r r c r r r r c a a r r r r r r r r θ+-+--===-≥-=+当且仅当21r r =时，cos θ=0，∴θ]2,0[π∈ .16．解：（Ⅰ）记P （x,y ），由M （-1，0）N （1，0）得 (1,),PM MP x y =-=---u u u u r u u u r),1(y x ---=-=， )0,2(=-=NM MN .所以 )1(2x MN MP +=⋅ . 122-+=⋅y x ， )1(2x NP NM -=⋅ . 于是， ⋅⋅⋅,,是公差小于零的等差数列等价于⎪⎩⎪⎨⎧<+---++=-+0)1(2)1(2)]1(2)1(2[21122x x x x y x 即 ⎩⎨⎧>=+0322x y x . 所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆. （Ⅱ）点P 的坐标为),(00y x 。
高中数学 解析几何(解析版)
热点07 解析几何解析几何一直是高考数学中的计算量代名词，在高考中所占的比例一直是2+1+1模式.即两道填空，一道选择，一道解答题.高考中选择部分，一道圆锥曲线相关的简单概念以及简单性质，另外一道是圆锥曲线的性质会与直线、圆等结合考查一道综合题目，一般难度中等.填空题目也是综合题目，难度中等.大题部分一般是以椭圆抛物线性质为主，加之直线与圆的相关性子相结合，常见题型为定值、定点、对应变量的取值范围问题、面积问题等.双曲线一般不出现在解答题中，一般出现在小题中.即复习解答题时也应是以椭圆、抛物线为主.本专题主要通过对高考中解析几何的知识点的统计，整理了高考中常见的解析几何的题型进行详细的分析与总结，通过本专题的学习，能够掌握高考中解析几何出题的脉略，从而能够对于高考中这一重难点有一个比较详细的认知，对于解析几何的题目的做法能够有一定的理解与应用. 【满分技巧】定点问题：采用逆推方法，先计算出结果.即一般会求直线过定点，或者是其他曲线过定点.对于此类题目一般采用特殊点求出两组直线，或者是曲线然后求出两组直线或者是曲线的交点即是所要求的的定点.算出结果以后，再去写出一般情况下的步骤.定值问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.先求结果一般会也是采用满足条件的特殊点进行带入求值（最好是原点或是（1.0）此类的点）.所得答案即是要求的定值.然后再利用答案，写出一般情况下的过程即可.注：过程中比较复杂的解答过程可以不求，因为已经知道答案，直接往答案上凑即可.关于取值范围问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.对于答案的求解，一般利用边界点进行求解，答案即是在边界点范围内.知道答案以后再写出一般情况下的步骤比较好写.一般情况下的步骤对于复杂的计算可以不算.【考查题型】选择，填空，解答题 【限时检测】（建议用时：120分钟） 一、单选题1．（2020·上海闵行区·高三一模）已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点，点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，点I 是12PF F △的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有12123IPF IPF IF F S S -=△△△，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．y x =±B ．2y x =±C ．y =D ．y x = 【答案】D【分析】根据三角形的面积关系寻求,a c 等量关系，再推导出,a b 关系即可.【详解】1212IPF IPF IF F S S -=△△△，且I 是12PF F △的内心，设内切圆的半径为r ，则121112222PF r PF r c r ⋅-⋅=⨯⨯，∴12PF PF -=，即2a =，2222213b c a a a -∴==，即b a =，∴渐近线方程是3y x =±.故选：D.【点睛】求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.2．（2020·上海嘉定区·高三一模）过双曲线2222:1x y C a b-=的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于点A ，若以C 的右焦点为圆心，以2为半径的圆经过A ､O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2213x y -=B ．2213y x -=C ．22122x y -=D ．22126x y -=【答案】B【分析】2FO =，故2c =，不妨设渐近线方程为by x a=，则(),A a b ，根据2AF =，计算得到答案. 【详解】连接AF ，2FO =，故2c =，不妨设渐近线方程为by x a=，则(),A a b .故()22222b a =+-，解得1,3a b ==，故双曲线方程为2213y x -=故选：B3．（2020·上海高三一模）抛物线28y x =的准线方程是（ ）A ．4x =B ．2x =C ．2x =-D ．4x =-【答案】C【分析】由抛物线的知识直接可得答案. 【详解】抛物线28y x =的准线方程是2x =- 故选：C4．（2020·上海徐汇区·位育中学高三月考）若直线:2l y kx =+与曲线22:6(0)C x y x -=>交于不同的两点，则k 的取值范围是（ ）A ．151533⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．150,3⎛ ⎝⎭C ．15,03⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．151⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据题意，得到22:6(0)C x y x -=>表示双曲线226x y -=的右支，联立直线与曲线方程，设两交点为()11,x y ，()22,x y ，结合韦达定理，以及判别式，即可得出结果.【详解】因为22:6(0)C x y x -=>表示双曲线226x y -=的右支，由2226y kx x y =+⎧⎨-=⎩消去y 得()2226x kx -+=，整理得()2214100k x kx ---=， 设直线:2l y kx =+与曲线22:6(0)C x y x -=>的两交点为()11,x y ，()22,x y ，其中1>0x ，20x >，则1221221001401x x k k x x k ⎧=->⎪⎪-⎨⎪+=>⎪-⎩，解得1k <-，又()22164010k k∆=+->，解得33k -<<，综上，13k -<<-.故选：D. 【点睛】本题主要考查由直线与双曲线位置关系求参数，属于常考题型.5．（2020·上海市新场中学高三月考）若直线()10a x y a ---=不通过第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．(1,)+∞C ．()[),01,-∞+∞D ．0,1【答案】A【分析】由直线不过第二象限，讨论10a -=、10a ->、10a -<求a 的取值范围即可. 【详解】由直线()10a x y a ---=不通过第二象限，知： 当10a -=，1a =时，1y =-符合题意；当10a ->，1a >时，直线上的点(0,)a -一定不在y 轴上半部分，所以0a ≥，即1a >； 当10a -<时，直线定过第二象限，不合题意； ∴综上有：[1,)a ∈+∞故选：A【点睛】本题考查了由直线方程求参数范围，理解辨析直线不过某个象限时需要满足的条件，应用了分类讨论，属于简单题.6．（2020·上海市七宝中学高三月考）椭圆221168x y +=上有10个不同的点1210,,,P P P ，若点T 坐标为(1,0)，数列{}(1,2,,10)=n TP n 是公差为d 的等差数列，则d 的最大值为（ ）A ．29B ．89C．59- D．59+ 【答案】C【分析】设椭圆上一点(,)P x y ，可知[4,4]x ∈-，则可求出||∈TP ，即可求出d 的最大值为max min||||101TP TP --.【详解】设椭圆上一点(,)P x y ，其中221168x y +=且[4,4]x ∈-，则2222221||(1)(1)81(2)7[7,25]162⎛⎫=-+=-+-=-+∈ ⎪⎝⎭x TP x y x x ，∴||∈TP ，∴max min max ||||101-==-TP TP d .故选：C . 【点睛】本题考查椭圆上点到定点距离的取值范围，考查等差数列的性质，属于中档题.7．（2020·上海市七宝中学高三月考）若动点A ､B 分别在直线1:70l x y +-=和2:50l x y +-=上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值为（ ）A ．B ．2C ．D ．2【答案】C【分析】M 点的轨迹是两直线1l 与2l 之间与它们平行且距离相等的直线，由原点到直线的距离公式可得． 【详解】∵A 在直线1l 上，B 在直线2l 上，M 是AB 中点，∴M 点在到两直线1l 与2l 距离相等的平行线上， 直线1:70l x y +-=和2:50l x y +-=，因此M 点所在直线为60x y +-=，则MO 的最小值为d ==故选：C ．【点睛】本题考查点到直线的距离公式，解题关键是确定点M 的轨迹． 二、填空题8．（2020·上海市松江二中高三期中）已知点1,0A ，直线l ：1x =-，两个动圆均过点A 且与l 相切，其圆心分别为1C 、2C ，若动点M 满足22122C M C C C A =+，则M 的轨迹方程为______. 【答案】221y x =-【分析】由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹方程24y x =，设()1,C a b ，()2,C m n ，(),M x y ，根据22122C M C C C A =+可得21a x =-，2b y =，利用24b a =可求得结果.【详解】由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹是以1,0A 为焦点，直线l ：1x =-为准线的抛物线，其方程为24y x =，设()1,C a b ，()2,C m n ，(),M x y ，因为动点M 满足22122C M C C C A =+， 所以()()()2,,1,x m y n a m b n m n --=--+--，即21x a =+，2y b =， 所以21a x =-，2b y =，因为24b a =，所以()()22421y x =-， 所以221y x =-，即M 的轨迹方程为221y x =-. 故答案为：221y x =-【点睛】关键点点睛：由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹方程24y x =是解题关键.9．（2020·上海市松江二中高三期中）双曲线221169x y -=的左､右焦点为1F 、2F ，若点P 在双曲线上，120PF PF ⋅=，则12PF PF +=______.【答案】10【分析】连接PO ，则可得1222PF PF PO c +==，从而可得正确的答案.【详解】连接PO ，因为O 为12,F F 的中点，故12=2PF PF PO +，所以122PF PF PO +=， 而120PF PF ⋅=，故21PF F 是以P 为直角顶点的直角三角形，故1212210PF PF PO FO +===， 故答案为：10.10．（2020·上海高三专题练习）已知F 1，F 2是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥，若12PF F △的面积为9，则b =________． 【答案】3【分析】设1122,PF r PF r ==，由椭圆的定义得到122r r a +=，根据12PF PF ⊥，得到222124r r c +=， 进而求得2122r r b =，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】设1122,PF r PF r ==，由椭圆的定义可得12122PF PF r r a +=+=，又由12PF PF ⊥，可得222124r r c +=，可得2222221212122()()444r r r r r r a c b =+-+=-=，即2122r r b =，所以12PF F △的面积为12221211222PF F Sr r b b ==⨯=， 又因为12PF F △的面积为9，即29b =，解得3b =.故答案为：311．（2020·上海虹口区·高三一模）设1F ､2F 分别是双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的左､右焦点，点P 在双曲线右支上且满足212||||PF F F =，双曲线的渐近线方程为430x y ±=，则12cos PF F ∠=___________. 【答案】45【分析】设双曲线的半焦距为c ，求得双曲线的渐近线方程可得a ，b ，c 的关系，求出12PF F 的三条边，运用余弦定理可求12cos PF F ∠值． 【详解】设双曲线的半焦距为c ， 由双曲线的渐近线方程，可得43b a =，则53c a ===，在12PF F 中，212||||2PF F F c ==，1||22PF c a =+，由余弦定理可得22212(2)(22)(2)cos 22(22)c c a c PF F c c a ++-∠=⨯+54310253a aa c c a ++===．故答案为：45． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是看到双曲线的焦半径，要马上联想到双曲线的定义解题.这是圆锥曲线的一个解题技巧，要注意熟练运用.12．（2020·上海虹口区·高三一模）过抛物线22y px =(0p >)的焦点作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A ､B 两点，且||4AB =，则p =___________. 【答案】2【分析】根据抛物线的焦半径公式表示出AB ，再根据AB 4=可直接求解出p 的值. 【详解】设抛物线的焦点坐标为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，由条件可知2A B F p x x x ===，所以222A B p pAB AF BF x x p =+=+++=，又AB 4=，所以2p =， 故答案为：2.【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF x =+； （2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF x =-+；（3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF y =+；（4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF y =-+.13．（2020·上海青浦区·高三一模）点A 是椭圆221:12516x y C +=与双曲线222:145x y C -=的一个交点，点12,F F 是椭圆1C 的两个焦点，则12||||AF AF ⋅的值为___________.【答案】21【分析】先判断出椭圆与双曲线有相同的焦点坐标，设12||,||AF m AF n ==，不妨设0n m <<，利用椭圆与双曲线的定义，求出,m n 即可.【详解】对于椭圆1C ：焦点在x 轴上，22225169c a b =-=-=； 对于双曲线2C ：焦点在x 轴上，222459c a b =+=+=；则椭圆与双曲线有相同的焦点坐标，设12||,||AF m AF n ==，不妨设0n m <<，利用椭圆与双曲线的定义，得到104m n m n +=⎧⎨-=⎩，则73m n =⎧⎨=⎩，所以21mn =，则12||||AF AF ⋅的值为21；故答案为：21.14．（2020·上海高三一模）若圆C 以椭圆2211612x y +=的右焦点为圆心、长半轴为半径，则圆C 的方程为__________．【答案】22(2)16x y -+=【分析】根据椭圆的方程，可求出椭圆的右焦点和长半轴，椭圆的右焦点和长半轴是圆的圆心和半径，故可写出圆的方程.【详解】由椭圆方程可知221612a b ==，则24c =，所以椭圆右焦点为()2,0长半轴为4. 根据题意可知，()2,0为圆心，4为圆的半径.则圆的方程为()22216x y -+=.故答案为：()22216x y -+=.15．（2020·上海长宁区·高三一模）设F 为双曲线()222:10y x b bΓ-=>的右焦点，O 为坐标原点，P ､Q 是以OF 为直径的圆与双曲线Γ渐近线的两个交点.若PQ OF =，则b =___________. 【答案】1【分析】由已知得出点p 坐标，代入渐近线方程即可． 【详解】由已知PQ OF =可得(,)22c cp ，又点p 在渐近线b y x a = 上，22c b ca b a ∴=⋅⇒= 又1a = ，1b ∴=16．（2020·上海长宁区·高三一模）若直线1201x y k-+=的法向量与直线10x y +-=的方向向量垂直，则实数k =___________.【答案】1-【分析】写出直线的法向量和方向向量，由向量垂直的坐标运算求出k ． 【详解】直线方程1201x y k-+=即为(1)(2)0k x y --+=，其法向量为(,1)k -，直线10x y +-=的方向向量为(1,1)-， 由题意(,1)(1,1)10k k -⋅-=+=，解得1k =-． 故答案为：1-．17．（2020·上海市七宝中学高三期中）函数211()1,22f x x x =--≤≤的图象绕着原点旋转弧度θ(0)θπ≤≤，若得到的图象仍是函数图象，则θ可取值的集合为_________.【答案】20,,33πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【分析】先画出211()1,22f x x x =--≤≤的图象，在旋转过程依据函数的定义可得θ可取值的集合. 【详解】()f x 的图象为如图（1）所示的一段弧，弧所在的圆的方程为：221x y +=，其中1,22A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1,22B ⎛ ⎝⎭.在图象绕原点旋转的过程中，当B 从图（1）的位置旋转到()1,0，如图（2）所示，根据函数的定义，在这个旋转过程所得的图形均为函数的图象，故03πθ≤≤.在图象绕原点旋转的过程中，当B 从图（2）的()1,0位置旋转到x 轴下方，而A 在x 轴上，如图（3）所示，根据函数的定义，在这个旋转过程所得的图形不是函数的图象， 故233ππθ<<不符合. 在图象绕原点旋转的过程中， A 在x 轴下方，如图（4）所示，根据函数的定义，在这个旋转过程所得的图形是函数的图象，故23πθπ≤≤符合. 故答案为：20,,33πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 【点睛】关键点点睛：在图象旋转的过程中，依据函数的定义来判断是关键.三、解答题18．（2020·上海市松江二中高三期中）在平面直角坐标系xOy 中，若在曲线1C 的方程(),0F x y =中，以(),x y λλ（λ为非零的正实数）代替(),x y 得到曲线2C 的方程(),0F x y λλ=，则称曲线1C 、2C 关于原点“伸缩”，变换()(),,x y x y λλ→称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比.（1）已知1C 的方程为22194x y -=，伸缩比2λ=，求1C 关于原点“伸缩变换”所得曲线2C 的方程；（2）射线l 的方程2y x =（0x ≥），如果椭圆1C ：221164x y +=经“伸缩变换”后得到椭圆2C ，若射线l 与椭圆1C 、2C 分别交于两点A ､B ，且AB =2C 的方程；（3）对抛物线1C ：212y p x =，作变换()()11,,x y x y λλ→，得抛物线2C ：222y p x =；对2C 作变换()()22,,x y x y λλ→得抛物线3C ：232y p x =，如此进行下去，对抛物线n C ：22n y p x =作变换()(),,n n x y x y λλ→，得1n C +：212n y p x +=⋅⋅⋅若11p =，12nn λ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求数列{}n p 的通项公式n p .【答案】（1）22194x y -=；（2）2214x y +=或221369x y +=；（3）()1122n n np -=. 【分析】（1）根据伸缩变换的定义将22194x y -=的,x y 分别变为2,2x y 后可得所求的曲线方程.（2）设伸缩变换比为λ，则可得曲线2C 的方程，联立直线方程和1C 的方程可求A 的坐标，同理可求B 的坐标，结合AB 的长度可得λ的值. （3）根据伸缩变换的定义可得12n n np p +=，利用累乘法可求{}n p 的通项公式. 【详解】（1）由条件得()()2222194x y -=，得2C ：22194x y -=； （2）∵2C 、1C 关于原点“伸缩变换”，对1C 作变换()(),,x y x y λλ→（0λ>），得到222221164x y C λλ+=，解方程组()22021164y x x x y ⎧=≥⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得点A的坐标为⎝⎭；解方程组()2222021164y x x x y λλ⎧=≥⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得B点的坐标为⎝⎭；AB ===， 化简后得23840λλ-+=，解得12λ=，223λ=，因此椭圆2C 的方程为2214x y +=或221369x y +=. （3）对n C ：22n y p x =作变换()(),,n n x y x y λλ→得抛物线1n C +：()22n n n y p x λλ=，得22nnp y x λ=，又∵212n y p x +=，∴1nn np p λ+=，即112n n n np p λ+==， 2313124123212222n n n n n p p p p p p p p p p ----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则()()1112312122n n n n p p -+++⋅⋅⋅+-==，∵11p =，∴()1122n n np -=.【点睛】关键点点睛：（1）依据定义求出变换后的曲线方程，再结合题设条件从而可得参数的大小或关系；（2）数列通项的求法应依据递推关系的形式，如对形如()1nn a f n a -=这样的递推关系，可用累乘法. 19．（2020·上海市松江二中高三期中）已知向量()21,a x x =+-，(21,2b n =（n 为正整数），函数()f x a b =⋅，设()f x 在()0,∞+上取最小值时的自变量x 取值为n a .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数n ，都有()2451n n b a ⋅-=成立，设n S 为数列{}n b 的前n 项和，求lim n n S →∞； （3）在点列()111,A a ，()222,A a ，()333,A a ，⋅⋅⋅()1,nnA a ⋅⋅⋅一中是否存在两点iA ，jA （i ，j 为正整数）使直线i j A A 的斜率为1？若存在，则求出所有的数对(),i j ；若不存在，请你写出理由.【答案】（1）n a =（2）12；（3）不存在；答案见解析. 【分析】（1）由题得()f x =21x-+，当x时函数取得最小值，所以n a =（2）利用裂项相消法求出11(1)221n S n =-+，即得lim n n S →∞； （3）任取i A 、j A （i 、j *∈N ，i j ≠），设i j A A 所在直线的斜率为ij k ，则ij k=1<，即得解.【详解】（1）()()(21,f x a b x x =⋅=+-⋅21x =-+，抛物线的顶点横坐标为0x =>，开口向上，在()0,∞+上， 当x时函数取得最小值，所以n a =（2）()()()2211111141212122121415n b n n n n n n ⎡⎤====-⎢⎥-+--++-⎣⎦.111111111(1)23352121221n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以111lim lim12212n n n S n →∞→∞⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭. （3）任取i A 、j A （i 、j *∈N ，i j ≠），设i j A A 所在直线的斜率为ij k ，则2211i jij a a i j k i j i j-+-+==--()()22222211111i j i j i j i j i j -+==<+++-+++，∴不存在两点i A ，j A （i ，j 为正整数）使直线i j A A 的斜率为1.【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法.要根据数列的通项特征，灵活选择合适的方法求和.20．（2020·上海市三林中学高三期中）已知倾斜角为45︒的直线l 过点()1,2A -和点B ，B 在第一象限，32AB =.（1）求点B 的坐标；（2）若直线l 与双曲线C ：2221(0)x y a a-=>相交于E 、F 两点，且线段EF 的中点坐标为()4,1，求a 的值；（3）对于平面上任一点P ，当点Q 在线段AB 上运动时，称PQ 的最小值为P 与线段AB 的距离，已知点P 在x 轴上运动，写出点(),0P t 到线段AB 的距离h 关于t 的函数关系式.【答案】（1）()4,1；（2）2a =；（3）()()()221413152415t t t h t t t t -+<--⎪=-≤≤⎨-+>. 【分析】（1）由题意可得直线AB 方程为3y x =-，由32AB =，列方程组可求出点B 的坐标； （2）设()11,E x y ，()22,F x y ，直线方程与双曲线方程联立方程组，消去y 后，再利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可求出a 的值；（3）设线段AB 上任意一点Q 坐标为(),3Q x x -，则22()(3)PQ t x x =-+-()4)f x t==≤≤，然后分3142t+≤≤，342t+>，312t+<讨论可求得结果，或过A、B两点分别作线段AB的垂线，交x轴于()'1,0A-，()'5,0B，然后分点P在线段''A B上，点P在点'A的左边，点P在点'B的右边三种情况利用距离公式求解【详解】解：（1）直线AB方程为3y x=-，设点(),B x y，由223(1)(2)18y xx y=-⎧⎨-++=⎩及0x>，0y>得4x=，1y=，点B的坐标为()4,1.（2）由22231y xxya=-⎧⎪⎨-=⎪⎩得22116100x xa⎛⎫-+-=⎪⎝⎭，设()11,E x y，()22,F x y，则2122641ax xa+=-=-，得2a=.（3）（解法一）设线段AB上任意一点Q坐标为(),3Q x x-，PQ=记()4)f x t==≤≤.当3142t+≤≤时，即15t-≤≤时，min3322ttQ fP-+⎛⎫==⎪⎝⎭，当342t+>，即5t>时，()f x在[]1,4上单调递减，()min4PQ f==当312t+<，即1t<-时，()f x在[]1,4上单调递增，()min1PQ f==.综上所述，()131525tth t tt<-⎪-⎪=-≤≤⎨>.（解法二）过A、B两点分别作线段AB的垂线，交x轴于()'1,0A-，()'5,0B，当点P在线段''A B上，即15t-≤≤时，由点到直线的距离公式得：minPQ=；当点P在点'A的左边，1t<-时，minPQ PA==当点P在点'B的右边，5t>时，minPQ PB==综上所述，()()()221413152415t t t h t t t t ⎧-+<-⎪⎪-⎪=-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩.【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系、中点坐标公式、两点间的距离公式，在第（3）问的解答中关键是将PQ 表示出来，即22()(3)PQ t x x =-+-，然后构造关于x 的函数22223(3)()()(3)2(14)22t t f x t x x x t +-⎛⎫=-+-=-+≤≤ ⎪⎝⎭，再利用二次函数支轴定区间进行讨论即可，考查分类讨论思想，属于中档题21．（2020·上海虹口区·高三一模）已知点(1,0)A -､(1,0)B ，直线:0l ax by c ++=(其中,,a b c ∈R )，点P 在直线l 上.（1）若a ､b ､c 是常数列，求||PB 的最小值；（2）若a ､b ､c 是成等差数列，且PA l ⊥，求||PB 的最大值； （3）若a ､b ､c 是成等比数列，且PA l ⊥，求||PB 的取值范围. 【答案】（12；（2）22（3）(1,)+∞.【分析】（1）若a ､b ､c 是常数列，直线:10l x y ++=，PB 的最小值即为点()10B ,到10x y ++=的距离；（2）若a ､b ､c 是成等差数列，()():220l x y a y c +++=直线恒过点()1,2M -，PA PM ⊥，点P 在以AM 为直径的圆上，利用圆的性质即可求最值； （3）若a ､b ､c 是成等比数列，则2b ac =，即0a c x y b b ++=，设0b c q a b==≠，则20x qy q ++=，0q ≠，设()00,P x y ，利用PA l ⊥，00111AP l y k k x q ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪+⎝⎭，可得()001y q x =+，点P 在l 上可得2000x qy q ++=，联立两式可得20221q x q =-+，()()()2222220000111PB x y x q x =-+=-++将20221q x q=-+代入整理求最值即可. 【详解】（1）若a ､b ､c 是常数列，则a b c ==,且不等于0， 此时直线:0l ax by c ++=即10x y ++=，PB 的最小值即为点(1,0)B 到10x y ++=的距离，min PB ==（2）若a ､b ､c 是成等差数列，则2b a c =+，所以直线:0l ax by c ++=即():220l ax a c y c +++=， 整理得：()():220l x y a y c +++=所以2020x y y +=⎧⎨+=⎩ 可得12x y =⎧⎨=-⎩，此时直线恒过点()1,2M -，又因为PA l ⊥即PA PM ⊥， 所以点P 在以AM 为直径的圆上，因为(1,0)A -，()1,2M -，所以圆心为()0,1-，半径r ==圆的方程为()2212x y ++=，PB 最大值即为点(1,0)B 到圆心()0,1-的距离再加半径，所以max PB =（3）若a ､b ､c 是成等比数列，则2b ac =，且0a ≠，0b ≠，0c ≠， 将0ax by c两边同时除以b 得：0a cx y b b++=，设0b cq a b==≠，所以10x y q q ++=，所以20x qy q ++=，0q ≠，设()00,P x y ， (1,0)A -､(1,0)B ，001AP y k x =+，1l k q=-，因为PA l ⊥，所以00111AP l y k k x q ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪+⎝⎭，可得()001y q x =+①， 又因为点P 在l 上，所以2000x qy q ++=②，将①代入②可得()220010q x x q +++=，即()202120q x q ++=，所以20221q x q =-+，所以()()()2222220000111PB x y x q x =-+=-++2222222222222222311111111q q q q q q q q q q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=------+ ⎪+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 令211q t +=>，21q t =-，所以()22322232244414t t t t t PB t t t t t t --+-⎛⎫⎛⎫=+-==-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为44y t t =-+在()1,+∞上单调递增，所以4441411y t t =-+>-+=，所以1PB >， 所以||PB 的取值范围是(1,)+∞.【点睛】关键点点睛：若a ､b ､c 是常数列，则10x y ++=，PB 的最小值即为点(1,0)B 到10x y ++=的距离，若a ､b ､c 是成等差数列可得直线l 恒过点()1,2M -，可得PA PM ⊥，点P 在以AM为直径的圆上，利用圆的性质即可求最值，第三问属于难题，设0b cq a b==≠，已知方程可化为20x qy q ++=，0q ≠，点P 在l 上可得2000x qy q ++=利用PA l ⊥，斜率成积为1-，可得()001y q x =+，联立两式可得20221q x q =-+，将20221q x q=-+代入()()()2222220000111PB x y x q x =-+=-++可得 222222231111q q q q q ⎛⎫⎛⎫=+---+ ⎪ ⎝+⎪⎝⎭⎭，令211q t +=>，21q t =-，将2PB 用t 表示，求最值即可.22．（2020·上海虹口区·高三一模）如图所示，A ､B 两处各有一个垃圾中转站，B 在A 的正东方向16km 处，AB 的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB 的北面P 处建一个发电厂，利用垃圾发电，要求发电厂到两个垃圾中转站的距离(单位：km )与它们每天集中的生活垃圾量(单位：吨)成反比，现估测得A ､B 两处中转站每天集中的生活垃圾量分别为约为30吨和50吨.（1）当15km AP =时，求APB ∠的值；（2）发电厂尽量远离居民区，要求PAB △的面积最大，问此时发电厂与两个垃圾中转站的距离各为多少？ 【答案】（1）5arccos27；（2）534PA =，334PB =【分析】（1）根据已知条件先计算出BP 的长度，然后利用余弦定理求解出cos APB ∠的值，从而APB ∠的值可求；（2）建立平面直角坐标系，根据条件分析得到P 的轨迹，由此确定出PAB △的面积最大值，从而可求解出发电厂与两个垃圾中转站的距离.【详解】（1）根据条件可知：3050AP BP ⋅=⋅，所以9BP km =，所以222225812565cos 2215927AP BP AB APB AP BP +-+-∠===⋅⨯⨯，所以5arccos 27APB ∠=； （2）以AB 中点为坐标原点，垂直于AB 方向为y 轴，建立坐标系如图所示： 设(),P x y ，()()8,0,8,0A B -，因为3050AP BP ⋅=⋅，所以53AP BP =， ()()22225883x y x y ++=-+22165441024160x x y -++=，所以2234640x x y -++=，所以()2217225x y -+=， 所以P 的轨迹是圆心为()17,0，半径为15的位于x 轴上方的圆， 所以当PAB △的面积最大时，此时P 的坐标为()17,15， 所以()()2217815534AP =--+=()2217815334BP =-+=【点睛】结论点睛：平面上给定两个定点,A B ，设P 点在同一平面上且满足()0,1PAPBλλλ=>≠，则P 的轨迹是个圆.23．（2020·上海闵行区·高三一模）已知椭圆2222 1(0)x y a b a b Γ+=>>：过点(0 2)，，其长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，直线l 与x 轴的正半轴和y 轴分别交于点 Q P 、，与椭圆Γ相交于两点 M N 、，各点互不重合，且满足12 PM MQ PN NQ λλ==，. （1）求椭圆Γ的标准方程； （2）若直线l 的方程为1y x =+，求1211λλ+的值；（3）若123，试证明直线l 恒过定点，并求此定点的坐标.【答案】（1）221124x y +=；（2）83-；（3）证明见解析，(2,0). 【分析】（1）由题意，得到2b =和222(2)(2)2(2)a b c +=，结合222a b c =+，求得2a 的值，即可求得椭圆Γ的标准方程；（2）由直线l 的方程为1y x =+，根据12PM MQ PN NQ λλ==，，求得12121211x xx x λλ==--，，得到121212112x x x x λλ++=-，联立方程组，结合根与系数的关系，即可求解； （3）设直线l 的方程为()()0y k x m m =->，由1PM MQ ，得到111x m x λ=-和222xm xλ=-，联立方程组，结合根与系数的关系和123，求得2m =，得到直线l 的方程，即可求解.【详解】（1）由题意，因为椭圆22221(0)x y a b a bΓ+=>>：过点(02)，，可得2b =， 设焦距为2c ，又由长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，可得222(2)(2)2(2)a b c +=，即2222a b c += 又因为222a b c =+，解得212a =，所以椭圆Γ的标准方程为221124x y +=.（2）由直线l 的方程为1y x =+，可得而(01)(10)P Q ，，，， 设1122()()M x y N x y ，，，，因为12PM MQ PN NQ λλ==，，可得1111122222(1)(1)(1)(1)x y x y x y x y λλ-=---=--，，，，，， 从而111222(1)(1)x x x x λλ=-=-，， 于是12121211x x x x λλ==--，，所以12121212111122x x x x x x λλ++=+-=-，由2211241x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，整理得24690x x --=，可得12123924x x x x +==-，，所以1212121211118223x x x x x x λλ++=+-=-=-. （3）显然直线l 的斜率k 存在且不为零，设直线l 的方程为()()0y k x m m =->，1122()()M x y N x y ，，，， 可得(0,)(,0)P km Q m -，， 由1PMMQ ，可得11111()()x y km m x y λ+=--，，， 所以()111x x m λ=-，从而111x m x λ=-，同理222x m x λ=-，又123，∴212122()30x x m x x m -++=①，联立221124()x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得22222(13)63120k x k mx k m +-+-=， 则()42222222364(13)(312)121240k m k k m k k m -∆=+-=+->②，且2221212226312,1313k m k m x x x x k k -+==++③③代入①得2222222231263122300131313k m k m m m m k k k ---⋅+=⇒=+++，∴2m =，(满足②) 故直线l 的方程为()2y k x =-，所以直线l 恒过定点(20)，. 【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.24．（2020·上海青浦区·高三一模）已知动点M 到直线20x +=的距离比到点(1,0)F 的距离大1. （1）求动点M 所在的曲线C 的方程；（2）已知点(1,2)P ，A B 、是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，证明直线AB 的斜率为定值，并求出这个定值；（3）已知点(1,2)P ，A B 、是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点.【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析，定值1-；（3）证明见解析.【分析】（1）根据题意转化为动点M 到直线1x =-的距离和到点(1,0)F 的距离相等，结合抛物线的定义，即可求得曲线C 的方程；（2）由:2(1)PA l y k x -=-和2(1)PB l y k x -=--:，分别联立方程组，求得()22242,k k A k k ⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭和()22242,k k B k k ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭，结合斜率公式，即可求解； （3）由：:2(1)PA l y k x -=-，2(1)PB l y k x -=--:，分别联立方程组()22242,k k A k k ⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭和()222,22k k B k k ⎛⎫ ⎪ ⎪--⎝⎭，求得2(2)22AB k k k k k -=-+，求得直线AB l 的方程，即可求解. 【详解】（1）已知动点M 到直线20x +=的距离比到点(1,0)F 的距离大1， 等价于动点M 到直线1x =-的距离和到点(1,0)F 的距离相等，由抛物线的定义可得曲线C 的轨迹时以(1,0)F 为焦点，以直线1x =-为准线的方程，且2p =，所以曲线C 的方程为24y x =.（2）设直线PA 的斜率为k ，因为直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，所以直线PB 的斜率为k -， 则:2(1)PA l y k x -=-，2(1)PB l y k x -=--:联立方程组22(1)4y k x y x-=-⎧⎨=⎩，整理得24480ky y k --+=， 即()()2420ky k y +--=⎡⎤⎣⎦，可得()22242,k k A k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭联立方程组22(1)4y k x y x-=--⎧⎨=⎩，整理得24480ky y k +--=， 即()()2+420ky k y +-=⎡⎤⎣⎦，可得()22242,k k B k k ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭所以()()22224242122ABk kk k k k k k k ----==-+--，即直线AB 的斜率为定值1-. （3）设直线PA 的斜率为k ，所以直线PB 的斜率为2k -， 则2(1)PA l y k x -=-：，2(1)PB l y k x -=--： 两类方程组22(1)4y k x y x-=-⎧⎨=⎩，整理得24480ky y k --+=， 即()()2420ky k y +--=⎡⎤⎣⎦，可得()22242,k k A k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， 联立方程组()222(1)4y k x y x⎧-=--⎨=⎩，可得()22440k y y k --+=，即()()2220k y k y ---=⎡⎤⎣⎦，可得()222,22k k B k k ⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭所以()()22222242(2)22222ABk kk k k k k k k k k k k ----==-+---， 所以()2222(2)2222AB k k k k l y x k k k k ⎛⎫--=- ⎪ ⎪--+-⎝⎭:，整理得()2(2)122k k y x k k -=+-+ 所以直线AB 恒过()1,0-.【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.25．（2020·徐汇区·上海中学高三期中）设()f x 是定义在()0,∞+上的函数，且()0f x >，对任意0a >，0b >，若经过点()(),a f a 、()(),b f b -的直线与x 轴的交点是(),0c ，则称c 为a 、b 关于函数()f x 的平均数，记为(),f M a b . （1）若()()10f x x =>，求(),f M a b 的表达式；（2）若(),f M a b =()f x 的解析式；（3）若对任意0a >，0b >，且a b ，都有()2,f abM a b a b<+成立，求证：()()()f a b f a f b +>+. 【答案】（1）(),2f a bM a b +=；（2）()f x =（0x >，k 为常数且0k >）；（3）证明见解析. 【分析】（1）利用(),1a 、(),1b -、(),0c 三点共线，结合斜率公式可求得c 的表达式，即为所求； （2）利用点()(),a f a 、()(),b f b -、)=，进而可得出函数()f x 的解析式；（3）利用点斜式可求得经过点()(),a f a 、()(),b f b -的直线方程，可求得()()()()b a f ac af a f b -=++，由()2,f abM a b a b <+可推导出函数()f x y x =在()0,∞+上为增函数，进而可得出()()af a b f a a b+<+，()()bf a b f b a b+<+，然后利用不等式的基本性质可证得结论成立. 【详解】 （1）()()10f x x =>，由于点()(),A a f a 、()(),B b f b -、(),0C c 三点共线，即点(),1A a 、(),1B b -、(),0C c 三点共线，由斜率公式可得10012a bc a c c b --+=⇒=--， 因此，(),2f a bM a b +=；（2）(),f c M a b ==，由已知，()(),a f a 、()(),b f b -、)三点共线，00f a f b-+=f a f b -=，f a f b=，对任意的正实数a 、b 且ab f a f b=成立，即对任意的0x >f x由于()0f x >f x k=（其中k 为常数且0k >），所以，()f x =0x >，k 为常数且0k >）； （3）记点()(),A a f a 、()(),B b f b -、(),0C c ， 直线AB 的方程为()()()()()0f a f b y f a x a x a b+-=->-，直线AB 与x 轴的交点是(),0c ，可得()()()()f a f b f a c a a b+-=--，所以，()()()()b a f ac af a f b -=++，对任意0a >，0b >，且ab 都有()2,f abc M a b a b=<+. 则()()()()2b a f a aba f a fb a b -+<++，即()()()()2bf a af b ab f a f b a b+<++，整理可得()()()()220a f b abf a abf b b f a --+<，即()()()0a b bf a af b -->⎡⎤⎣⎦，则()()()0f a f b ab a b a b ⎡⎤-->⎢⎥⎣⎦，设a b >，则()()f a f b a b>，所以，函数()f x y x =在()0,∞+上为增函数， 所以，()()f a b f a a b a +>+，可得()()af a b f a a b +<+，同理可得()()bf a b f b a b+<+， 由不等式的基本性质可得()()()()()af a b bf a b f a f b f a b a b a b+++<+=+++.因此，对任意0a >，0b >，且ab 都有()2,f abM a b a b<+成立，()()()f a b f a f b +>+. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义问题，解本题的关键在于利用三点共线结合斜率公式求出c 关于a 、b 的表达式，在求解本题的第（3）问，要充分结合条件()2,f abM a b a b <+推导出函数()f x y x=在()0,∞+上为增函数，进而结合函数的单调性与不等式的基本性质来证明结论.26.（2020•上海卷）椭圆22143x y +=，过右焦点F 作直线l 交椭圆于P 、Q 两点，P 在第二象限已知()(),,'','Q Q Q Q Q x y Q x y 都在椭圆上，且y'0Q Q y +=，'FQ PQ ⊥，则直线l 的方程为【答案】10x y +-=27.（2020•上海卷）双曲线22122:14x y C b-=，圆2222:4(0)C x y b b +=+>在第一象限交点为A ，(,)A A A x y ，曲线2222221,44,A A x y x x b x y b x x ⎧-=>⎪Γ⎨⎪+=+>⎩。
高二数学解析几何练习题及答案
高二数学解析几何练习题及答案解析几何是高中数学的重要内容之一，是数学中的一个分支，它主要研究几何图形的性质及其相互之间的关系。
对于高二学生来说，解析几何练习题的掌握与理解是非常关键的。
下面将介绍一些高二数学解析几何的典型练习题及其答案，希望能够帮助到广大学生。
练习题一：已知点A(3,4)，B(7,8)，C(5,2)，D(x,y)为AB的中点，求点D的坐标。
解答：若D为AB的中点，则有以下关系：x = (x1 + x2)/2y = (y1 + y2)/2带入坐标值可得：x = (3 + 7)/2 = 5y = (4 + 8)/2 = 6因此，点D的坐标为(5,6)。
练习题二：已知直线L过点A(2,3)，B(5,7)，求直线L的斜率和方程。
解答：直线的斜率可以通过两点间的坐标差来计算，即：斜率 k = (y2 - y1)/(x2 - x1)带入坐标值可得：k = (7 - 3)/(5 - 2) = 4/3直线经过点A(2,3)，可以得到直线的方程为：y - y1 = k(x - x1)y - 3 = (4/3)(x - 2)3y - 9 = 4x - 84x - 3y = 1因此，直线L的斜率为4/3，方程为4x - 3y = 1。
练习题三：已知点A(3,4)，B(7,8)，C(5,2)，判断三角形ABC是否为等腰三角形。
解答：要判断三角形ABC是否为等腰三角形，需要比较两边的长度是否相等。
我们可以利用两点间的距离公式来计算各边的长度。
已知点A(3,4)，B(7,8)，C(5,2)，则有：AB的长度为：√[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2] = √[(7 - 3)^2 + (8 - 4)^2] = √32AC的长度为：√[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2] = √[(5 - 3)^2 + (2 - 4)^2] = √8BC的长度为：√[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2] = √[(5 - 7)^2 + (2 - 8)^2] = √36因为√32≠√8≠√36，所以三角形ABC不是等腰三角形。
高中数学平面解析几何真题(解析版)
专题09平面解析几何真题汇编1．设A，B为椭圆的长轴顶点，E，F为的两个焦点，|ABl=4，，P为上一点，满足，则△PEF的面积为.【答案】1【解析】由题意知该椭圆可设为.由余弦定理，.所以.2．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别是，椭圆C的弦ST与UV分别平行于x轴与y轴，且相交于点P.已知线段PU，PS，PV，PT的长分别为1，2，3，6，则的面积为【答案】【解析】由对称性，不妨设在第一象限，则由条件知.即P(2，1).进而由得U(2，2))，S(4，1)，代入椭圆C的方程知，解得a2=20，b2=5.从而.3．在平面直角坐标系中,椭圆C的方程为,F、A分别为椭圆C的上焦点、右顶点.若P为椭圆C上位于第一象限内的动点，则四边形面积的最大值为___________。
【答案】【解析】易知,，设则其中，当时，四边形OAPF面积的最大值为.故答案为：4．在平面直角坐标系中，点集，在点集K中随机取出三个点,则这三点中存在两点之间距离为的概率为___________。
【答案】【解析】易知,点集K中有9个点,故在点集K中随机取出三个点的种数为。
将点集K中的点按图标记为其中有8对点之间的距离为。
由对称性,考虑取两点的情形.则剩下的一个点有7种取法，这样有个三点组(不计每组中三点的次序)。
对每个,点集中恰有两点与距离为,因而，恰有这8个三点组被计算了两次。
故满足条件的三点组个数为从而所求概率为.故答案为：5．已知双曲线C：，左、右焦点分别为F1、F2.过点F2作一直线与双曲线C的右半支交于点P、Q，使得.则的内切圆半径为________.【答案】【解析】如图所示.由双曲线的性质知:.由.从而，的内切圆半径为:.6．设椭圆的两个焦点为，过点的直线与椭圆交于点P、Q.若，且，则椭圆的短轴与长轴的比值为__________.【答案】【解析】不妨设.设椭圆的长轴、短轴的长度分别为，焦距为.则，且由椭圆的定义知.故.如图所示，设H为线段的中点.则，且.由勾股定理知：7．抛物线的焦点为，准线为是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点上的投影为，则的最大值是_______.【答案】1【解析】根据抛物线的定义可知，，故，在三角形中，根据余弦定理有，由于，所以，即，故.点睛：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查基本不等式求最值的方法，考查化归与转化的数学思想方法.抛物线的定义是：动点到定点的距离等于到定直线的距离，这是在有关抛物线的小题中常考考知识点.本题中利用抛物线的定义，进行转化后，利用余弦定理和基本不等式来求解最值.8．直线与抛物线交于两点，为抛物线上的一点，.则点的坐标为______.【答案】【解析】设.由.则①又，则②因为，所以，.故.将方程组①、②代入上式并整理得.显然，.否则，.于是，点在直线上，即点重合.所以，.故所求点.故答案为：9．双曲线的右半支与直线围成的区域内部(不含边界)整点(横纵坐标均为整数的点)的个数是________. 【答案】9800 【解析】由对称性知，只需先考虑轴上方的情况. 设与双曲线右半支交于点，与直线交于点.则线段内部的整点的个数为.从而，在轴上方区域内部整点的个数为. 又轴上有98个整点，则所求整点的个数为.10．已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ．【答案】[]36，【解析】设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =︒，由直线AC 与圆M 相交，得342d ≤． 解得36a ≤≤． 11．椭圆上任意两点，若，则乘积的最小值为 ．【答案】【解析】 设，．由在椭圆上，有①②得．于是当时，达到最小值．12．在平面直角坐标系xOy中，圆与抛物线:y2=4x恰有一个公共点，且圆与x轴相切于的焦点F.求圆的半径.【答案】【解析】设圆的半径为R，圆心为(1，R)(-1，R)，则圆的方程可写作.不妨设圆与抛物线相切于点，则过该切点的切线方程：以圆为对象，得以抛物线为对象，得.于是可得①②又切点在抛物线y2=4x上，③由①得，由②得.解得：.故圆半径为.13．如图，在锐角△ABC中，M是BC边的中点.点P在△A BC内，使得AP平分∠BAC.直线MP与△ABP，△ACP的外接圆分别相交于不同于点P的两点D，E.证明：若DE=MP，则BC=2BP.【答案】证明见解析【解析】如图：只要证明两小黄全等△DBP，△EMC。
高中数学平面解析几何练习题(含解析)
高中数学平面解析几何练习题（含解析）一、单选题1．若曲线C ：2224100x y ax ay a ++--=表示圆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()2,0- B ．()(),20,-∞-⋃+∞ C ．[]2,0-D ．(][),20,-∞-+∞2．过点1,2，且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是（ ） A ．24y x =B ．24y x =-C ．212=-x yD ．212x y =3．过 ()()1320A B --，，，两点的直线的倾斜角是（ ）A ．45︒B ．60︒C ．120D ．1354．已知()3,3,3A ，()6,6,6B ，O 为原点，则OA 与BO 的夹角是（ ） A ．0B ．πC ．π2D ．2π35．已知抛物线2:4C y x =与圆22:(1)4E x y -+=交于A ，B 两点，则||AB =（ ）A ．2B ．C ．4D ．6．已知抛物线2x my =焦点的坐标为(0,1)F ，P 为抛物线上的任意一点，(2,2)B ，则||||PB PF +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．1127．动点P ，Q 分别在抛物线24x y =和圆228130+-+=x y y 上，则||PQ 的最小值为（ ）A ．B C D 8．直线2360x y +-=关于点(1,1)对称的直线方程为（ ） A ．3220x y -+= B ．2370x y ++= C ．32120x y --=D ．2340x y +-=9．已知椭圆2222:1()0x c bb y a a +>>=的上顶点为A ，左､右焦点分别为12,F F ，连接2AF 并延长交椭圆C 于另一点B ，若12:7:3F B F B =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．14B ．13C ．12D 10．“1m =”是“直线1l ：()410m x my -++=与直线2l ：()220mx m y ++-=互相垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题11．直线2310x y -+=与5100x y +-=的夹角为________．12．已知圆:C 2220x y x ++=，若直线y kx =被圆C 截得的弦长为1，则k =_______. 13．过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为____________． 14．写出与圆221x y +=和圆()()224316x y -++=都相切的一条切线方程___________.三、解答题15．已知△ABC 底边两端点(0,6)B 、(0,6)C -，若这个三角形另外两边所在直线的斜率之积为49-，求点A 的轨迹方程．16．已知1F 、2F 是椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥．若12PF F △的面积为9，求实数b 的值．17．已知圆C ：22120x y Dx Ey +++-=关于直线x ＋2y －4＝0对称，且圆心在y 轴上，求圆C 的标准方程．18．已知椭圆C ：22142x y +=，()0,1A ，过点A 的动直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点.(1)求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；(2)是否存在常数，使得AP AQ OP OQ λ⋅+⋅为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.参考答案：1．B【分析】根据圆的一般式变形为标准式，进而可得参数范围. 【详解】由2224100x y ax ay a ++--=， 得()()2222510x a y a a a ++-=+， 由该曲线表示圆， 可知25100a a +>， 解得0a >或2a <-， 故选：B. 2．C【分析】设抛物线方程为2x my =，代入点的坐标，即可求出m 的值，即可得解； 【详解】解：依题意设抛物线方程为2x my =，因为抛物线过点1,2， 所以()212m =⨯-，解得12m =-，所以抛物线方程为212=-x y ；故选：C 3．D【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，结合直线倾斜角的范围即可得出结果. 【详解】由已知直线的斜率为 ()03tan 1018021k αα--===-≤<--，，所以倾斜角135α=． 故选：D. 4．B【分析】求出OA 和BO ，利用向量关系即可求出.【详解】因为()3,3,3A ，()6,6,6B ，则()3,3,3OA =，()6,6,6BO =---， 则3cos ,1OA BO OA BO OA BO⨯⋅<>===-⋅，所以OA 与BO 的夹角是π. 故选：B. 5．C【分析】先联立抛物线与圆求出A ，B 横坐标，再代入抛物线求出纵坐标即可求解.【详解】由对称性易得A ，B 横坐标相等且大于0，联立()222414y xx y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩得2230x x +-=，解得123,1x x =-=，则1A B x x ==，将1x =代入24y x =可得2y =±，则||4AB =. 故选：C. 6．A【分析】先根据焦点坐标求出m ，结合抛物线的定义可求答案. 【详解】因为抛物线2x my =焦点的坐标为()0,1，所以14m=，解得4m =． 记抛物线的准线为l ，作PN l ⊥于N ，作BAl 于A ，则由抛物线的定义得||||||||||3PB PF PB PN BA +=+=，当且仅当P 为BA 与抛物线的交点时，等号成立．故选：A. 7．B【分析】设2001,4P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，根据两点间距离公式，先求得P 到圆心的最小距离，根据圆的几何性质，即可得答案.【详解】设2001,4P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，圆化简为22(4)3x y +-=，即圆心为（0,4）所以点P 到圆心的距离d = 令20t x =，则0t ≥， 令21()1616f t t t =-+，0t ≥，为开口向上，对称轴为8t =的抛物线， 所以()f t 的最小值为()812f =，所以min d所以||PQ的最小值为min d =故选：B 8．D【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，,则其关于点()1,1对称的点的坐标为(2,2)x y --,代入已知直线即可求得结果.【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，,则其关于点()1,1对称的点的坐标为(2,2)x y --，以(2,2)x y --代换原直线方程中的(,)x y 得()()223260x y -+--=，即2340x y +-=.故选：D. 9．C【分析】根据椭圆的定义求得12,F B F B ，在1ABF 中，利用余弦定理求得22cos F AF ∠，在12AF F △中，再次利用余弦定理即可得解.【详解】解：由题意可得122F B F B a +=， 因为12:7:3F B F B =， 所以1273,55F B a F B a ==， 因为A 为椭圆的上顶点，所以12AF AF a ==，则85AB a =，在1ABF 中，22222211221644912525cos 82225a a a AF AB BF F AF AF ABa a +-+-∠===⨯⨯，在12AF F △中，122212121222cos F F AF AF A F A F A F F =+∠-， 即222224c a a a a =+-=，所以12c a =，即椭圆C 的离心率为12. 故选：C.10．A【分析】根据给定直线方程求出12l l ⊥的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】依题意，12(4)(2)0l l m m m m ⊥⇔-++=，解得0m =或1m =，所以“1m =”是“直线1l ：()410m x my -++=与直线2l ：()220mx m y ++-=互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A 11．4π##45︒ 【分析】根据直线方程可得各直线斜率，进而可得倾斜角之间的关系，从而得夹角. 【详解】直线2310x y -+=的斜率123k ，即倾斜角α满足2tan 3α=， 直线5100x y +-=的斜率215k =-，即倾斜角β满足1tan 5β=-，所以()12tan tan 53tan 1121tan tan 153βαβαβα----===-+⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭， 所以34βαπ-=，又两直线夹角的范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以两直线夹角为4π，故答案为：4π. 12．【分析】将圆C 一般方程化为标准方程，先求圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式即可解出k 的值.【详解】解：将2220x y x ++=化为标准式得()2211x y ++=，故半径为1；圆心()1,0-到直线y kx =，由弦长为1可得1=，解得k =故答案为：13．()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． 【分析】方法一：设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；【详解】[方法一]：圆的一般方程依题意设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，（1）若过()0,0，()4,0，()1,1-，则01640110F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+-++=⎩，解得046F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22460x y x y +--=，即()()222313x y -+-=；（2）若过()0,0，()4,0，()4,2，则01640164420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得042F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22420x y x y +--=，即()()22215x y -+-=；（3）若过()0,0，()4,2，()1,1-，则0110164420F D E F D E F =⎧⎪+-++=⎨⎪++++=⎩，解得083143F D E ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以圆的方程为22814033x y x y +--=，即224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）若过()1,1-，()4,0，()4,2，则1101640164420D E F D F D E F +-++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得1651652F D E ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，所以圆的方程为2216162055x y x y +---=，即()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；故答案为：()()222313x y -+-=或 ()()22215x y -+-=或 224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． [方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心） 设()()()()0,04,01,14,2A B C D -点，，，（1）若圆过、、A B C 三点，圆心在直线2x =，设圆心坐标为(2,)a ，则()224913,a a a r +=+-⇒===22(2)(3)13x y -+-=； （2）若圆过A B D 、、三点， 设圆心坐标为(2,)a，则2244(2)1,a a a r +=+-⇒==22(2)(1)5x y -+-=；（3）若圆过 A C D 、、三点，则线段AC 的中垂线方程为1y x =+，线段AD 的中垂线方程 为25y x =-+，联立得47,33x y r ==⇒，所以圆的方程为224765()()339x y -+-=；（4）若圆过B C D 、、三点，则线段BD 的中垂线方程为1y =， 线段BC 中垂线方程为57y x =-，联立得813,155x y r ==⇒=，所以圆的方程为()228169()1525x -y +-=． 故答案为：()()222313x y -+-=或 ()()22215x y -+-=或 224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． 【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．14．1y =或247250x y ++=或4350x y --=【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1；圆()()224316x y -++=的圆心为()4,3C -，半径为4，圆心距为5OC =，所以两圆外切，如图，有三条切线123,,l l l ， 易得切线1l 的方程为1y =，因为3l OC ⊥，且34OC k =-，所以343l k =，设34:3l y x b =+，即4330x y b -+=，则()0,0O 到3l 的距离315b =，解得53b =（舍去）或53-，所以343:50x y l --=，可知1l 和2l 关于3:4OC y x =-对称，联立341y x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭在2l 上， 在1l 上任取一点()0,1，设其关于OC 的对称点为()00,x y ， 则0000132421314y x y x +⎧=-⨯⎪⎪⎨-⎛⎫⎪⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得002425725x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则27124252447253l k --==--+，所以直线2244:173l y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即247250x y ++=， 综上，切线方程为1y =或247250x y ++=或4350x y --=. 故答案为：1y =或247250x y ++=或4350x y --=.15．()22108136x y x +=≠【分析】设(,)A x y ，利用斜率的两点式列方程并整理可得轨迹方程，注意0x ≠. 【详解】设(,)A x y 且0x ≠，则22663649AB ACy y y k k x x x -+-=⋅==-， 整理得：A 的轨迹方程()22108136x y x +=≠. 16．3b =【分析】由题意以及椭圆的几何性质列方程即可求解. 【详解】因为12PF PF ⊥，所以1290F PF ∠=︒， 所以12F PF △为直角三角形，22212(2)PF PF c +=，122PF PF a +=， ()2221212122PF PF PF PF PF PF +=+-⋅，即()()221212242c a PF PF =-⨯⋅， 1212192F PF S PF PF =⋅=△， 所以2244490c a =-⨯=，所以2449b =⨯．所以3b =； 综上，b =3.17．22(2)16x y +-=. 【分析】由题设知圆心(,)22D EC --，且在已知直线和y 轴上，列方程求参数D 、E ，写出一般方程，进而可得其标准方程. 【详解】由题意知：圆心(,)22D EC --在直线x ＋2y －4＝0上，即－2D －E －4＝0. 又圆心C 在y 轴上，所以－2D＝0. 由以上两式得：D ＝0, E ＝－4，则224120x y y +--=， 故圆C 的标准方程为22(2)16x y +-=.18．(1)2211222x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ (2)存在，1λ=【分析】(1)①当直线l 存在斜率时，设()11,P x y 、()22,Q x y 、()00,M x y ，00x ≠，利用点差法求解； ②当直线l 不存在斜率时，易知()0,0M ，验证即可；（2）①当直线l 存在斜率时，设直线l 的方程为：1y kx =+，与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用数量积运算求解； ②当直线l 不存在斜率时，直线l 的方程为：0x =，易得(P、(0,Q ，验证即可.【详解】（1）解：①当直线l 存在斜率时，设()11,P x y 、()22,Q x y 、()00,M x y ，00x ≠，则应用点差法：22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式联立作差得：12121212()()()()042x x x x y y y y -+-++=， ∴()()()()121200121212121212002122PQ PQ PQ OM y y y y y y y y y y k k k k x x x x x x x x x x -+-+=⋅=⋅=⋅=⋅=--+-+， 又∵001PQ MA y k k x -==， ∴0000112y y x x -⋅=-，化简得22000220x y y +-=（00x ≠）， ②当直线l 不存在斜率时，()0,0M ，综上，无论直线是否有斜率，M 的轨迹方程为2211222x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；（2）①当直线l 存在斜率时，设直线l 的方程为：1y kx =+，联立221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩并化简得：22(21)420k x kx ++-=，∴0∆>恒成立，∴122421k x x k +=-+，122221x x k ⋅=-+，又AP ()11,x k x =⋅，AQ ()22,x k x =⋅，OP ()11,1x k x =⋅+，OQ ()22,1x k x =⋅+，∴AP AQ OP OQ λ⋅+⋅()()()22121212111k x x k x x k x x λ=+⋅⋅++⋅⋅+++，()()()222222211222141212121k k k k k k λλλ-+++++=-+=-+++， 若使AP AQ OP OQ λ⋅+⋅为定值， 只需()222121λλ++=，即1λ=，其定值为3-， ②当直线l 不存在斜率时，直线l 的方程为：0x =，则有(P、(0,Q ， 又AP ()1=，AQ ()0,1=，OP (=，OQ (0,=， ∴2λλ⋅+⋅=--AP AQ OP OQ ，当1λ=时，AP AQ OP OQ λ⋅+⋅也为定值3-， 综上，无论直线是否有斜率，一定存在一个常数1λ=， 使AP AQ OP OQ λ⋅+⋅为定值3-.。
高中数学解析几何题型
解析几何题型考点 1.求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手 ,构造方程解之 .例 1．假设抛物线 y 22 px 的焦点与椭圆 x 2 y 2 p 的值为〔〕 6 1的右焦点重合，那么2A ． 2B ． 2C ． 4D ． 4考查意图 : 此题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的根本几何性质 .解答过程：椭圆 x 2y 21的右焦点为 (2,0)，所以抛物线 y 22 px 的焦点为 (2,0)，那么 p 4，62考点 2. 求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一 ,其解法为从曲线的性质入手 ,找出点的坐标 ,利用距离公式解之 .例 2．抛物线 y-x 2+3 上存在关于直线x+y=0 对称的相异两点 A 、B ，那么 |AB| 等于22考查意图 : 此题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用.解：设直线 AB 的方程为 yx b ，由 yx 2 3 x 2 x b 3 0x 1 x 2 1，yx b进而可求出 AB 的中点 M ( 1 ,1 b) ，又由 M ( 1 , 1 b) 在直线 x y 0 上可求出22 2 2b 1 ，∴ x 2x2 0 ，由弦长公式可求出 AB1 12 12 4 ( 2)3 2 ．22例 3．如图，把椭圆x y1 的长轴25 16AB 分成 8 等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 1 23 45 67七个点， F 是椭圆的一个焦点，P ,P , P , P , P , P , P那么PF 1P 2 F P 3F P 4F P 5F P 6 F P 7 F ____________.考查意图 : 此题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用. 解答过程：由椭圆 x 2y 2 1 的方程知 a 2 25, a 5.25 16∴PF 1PF 2 P 3FP 4F P 5F P 6 F P 7 F 7 2a7 a 7 5 35.2考点 3. 曲线的离心率曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用 :(1)椭圆的离心率 e＝c∈(0,1) (e 越大那么椭圆越扁 );a (2) 双曲线的离心率 e＝c∈(1, ＋∞ ) (e 越大那么双曲线开口越大). a例 4．双曲线的离心率为 2 ，焦点是 ( 4,0) ， (4,0) ，那么双曲线方程为A． x2 y2 1 B． x2 y 2 1 C． x2 y2 1 D． x2 y 2 14 12 12 4 10 6 6 10考查意图 :此题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等根本概念.解答过程：Q e c 2,c 4, 所以a 2, b2 12. 应选(A).a例 5．双曲线3x 2 y 2 9 ,那么双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于〔〕A. 2B. 2 3C. 2 3考查意图 : 此题主要考查双曲线的性质和离心率 e＝c∈ (1, ＋∞ ) 的有关知识的应用能力 . a解答过程：依题意可知 a 3, c a2 b 2 3 9 2 3．考点 4.求最大 (小 )值求最大 (小 )值 , 是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大 (小 )值 :特别是 ,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.例 6．抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，那么 y12+y22的最小值是.考查意图 : 此题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小 )值的方法 . 解: 设过点 P(4,0)的直线为y k x 4 , k 2 x2 8x 16 4x,k 2 x2 8k 2 4 x 16 k2 0,y 2 y 2 4 x1 x2 4 8k 2 4 16 2 1 32.1 2k2 k2故填 32.考点 5 圆锥曲线的根本概念和性质例 7．在平面直角坐标系xOy 中 ,圆心在第二象限、半径为 2 2的圆 C 与直线 y=x 相切于坐标原点 O.椭圆x2 y2 =1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.a2 9〔1〕求圆 C 的方程；〔2〕试探究圆 C 上是否存在异于原点的点Q，使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段OF 的长.假设存在，请求出点Q 的坐标；假设不存在，请说明理由.[解答过程 ] (1) 设圆 C 的圆心为(m, n)那么mn, 解得m2,n 2 2 2, n 2.所求的圆的方程为(x 2) 2 ( y 2) 2 8 (2) 由可得2a 10 ， a 5 ．椭圆的方程为x2 y2右焦点为F( 4, 0) ;251 ,9假设存在 Q 点 2 2 2 cos ,2 2 2 sin 使QF OF ,2 2 2 cos22 2 2 sin2．4 4整理得sin 3cos 2 2 ，代入 sin2 cos2 1 ．212 2 cos 7 0 , cos 12 2 8 12 2 2 2得:10cos 10 10 1．因此不存在符合题意的Q 点 .例 8．如图 ,曲线 G 的方程为y2 2 x( y 0) .以原点为圆心，以t (t 0)为半径的圆分别与曲线G 和 y 轴的正半轴相交于 A 与点 B.直线 AB 与 x 轴相交于点 C.〔Ⅰ〕求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标 c 的关系式；〔Ⅱ〕设曲线G 上点 D 的横坐标为 a 2 ,求证：直线CD的斜率为定值. [ 解答过程 ] 〔 I〕由题意知，A(a, 2a).因为 | OA | t,所以 a 2 2a t 2 .由于t 0,故有t a 2 2a . 〔1〕由点 B〔0， t 〕， C〔 c，0〕的坐标知，直线BC的方程为xy 1.c t又因点 A 在直线 BC上，故有a2a 1, c t将〔 1〕代入上式，得 a 2a 1,解得c a 2 2( a 2) .c a(a 2)（I I〕因为D(a 2 2(a 2) )，所以直线 CD 的斜率为kCD 2( a 2)2(a2)2(a 2)a 2 ca 2 ( a 22(a2) )2(a1，2)所以直线 CD 的斜率为定值 .22例 9．椭圆 E :x2y 21(ab 0) ，AB 是它的一条弦，M(2,1) 是弦 AB 的中点，假设以ab点 M(2,1) 为焦点，椭圆 E 的右准线为相应准线的双曲线C 和直线 AB 交于点 N(4, 1) ，假设椭圆离心率e 和双曲线离心率 e 1 之间满足 ee 1 1 ，求：〔1〕椭圆 E 的离心率；〔 2〕双曲线 C 的方程 .解答过程：〔 1〕设 A 、 B 坐标分别为 A(x 1 , y 1 ), B(x 2 , y 2 ) ， 那么x 12 y 121 ，x 22y 22 1 ，二式相减得：a2b2a 2b2ky 1 y 2 (x 1x 2 )b 2 2b 2 kMN1 ( 1)ABx 1 x 2(y 1y 2 )a 2a 21，2 4所以 a 22b 2 2(a 2 c 2 ) ， a 2 2c 2 ，那么ec2 ；a2〔2〕椭圆 E 的右准线为 xa 2 ( 2c) 22c ，双曲线的离心率 e 11 2 ，cce设 P(x, y) 是双曲线上任一点，那么：| PM | (x 2)2 (y 1)22，| x 2c || x 2c |两端平方且将 N(4, 1) 代入得： c 1或 c 3 ，当 c 1时，双曲线方程为： (x 2) 2 (y 1)20 ，不合题意，舍去；当 c 3时，双曲线方程为：(x 10)2 (y1) 2 32 ，即为所求 .考点 6利用向量求曲线方程和解决相关问题例 10．双曲线 C 与椭圆x 2y 21有相同的焦点，直线 y=3x 为 C 的一条渐近线 .8 4(1)求双曲线 C 的方程；(2)过点 P(0,4)的直线 l ，交双曲线C 于 A,B 两点，交 x 轴于 Q 点〔 Q 点与 C 的顶点不重合〕 .uuuruuuruuur8时，求 Q 点的坐标 .当PQ1QA2 QB，且123考查意图 : 此题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力 ,以及运用数形结合思想 ,方程和转化的思想解决问题的能力. 解答过程：〔Ⅰ〕设双曲线方程为x 2 y 2 1 ,a2b 2由椭圆 x2y 2 1,求得两焦点为 ( 2,0),(2,0) ，8 4对于双曲线 C : c 2 ，又 y3x 为双曲线 C 的一条渐近线b 3 解得 a 21,b 23 ，a双曲线 C 的方程为 x 2 y 2 13〔Ⅱ〕解法一：由题意知直线 l 的斜率 k 存在且不等于零 .设 l 的方程： y kx 4, A( x , y ) ， B( x 2 , y 2 ) ,那么Q( 4,0) .11kuuuruuur 4 4Q PQ1 QA, ( 1( x 1, 4) , y 1).k k 44 )x 14 41 (x 1 k k1kk 44 1y 1 y 11Q A( x 1 , y 1) 在双曲线 C 上，162 (11 )216 10 .k1116 32 1 16 1216 k2k220.(16 k 2) 1232 11616k 2 0.33同理有： (16 k 2)2232 216 16 k 2 0.3假设16k 20, 那么直线l过顶点，不合题意 .16 k 20,1, 2 是二次方程(16k 2 )x 2 32x 16 16 k 2 0.的两根 .8 , 31232k 4 ，此时 0, k 2 .2k 2 163所求 Q 的坐标为 ( 2,0) .解法二：由题意知直线l 的斜率 k 存在且不等于零设 l 的方程， y kx 4, A( x , y ), B(x 2, y ) ，那么Q( 4,0) .112kuuuruuurQ uur1 . Q PQ1QA，分 PA 的比为由定比分点坐标公式得4 1x 1 x 14(1 1 ) k 1 1k 14 1y 14y 1111下同解法一解法三：由题意知直线l 的斜率 k 存在且不等于零设 l 的方程： y kx4, A( x 1, y 1 ), B( x 2 , y 2 ) ，那么Q(4,0) .kuuuruuuruuur( 4, 4)1( x 1 4, y 1)4, y 2 ) .Q PQ1 QA2QB ，2(x 2k kk41y1 2 y 2，14，24 ，y 1y 2又 128 ， 1 1 2,即 3( y 1 y 2 ) 2 y 1 y 2 .3y 1 y 23将 y kx 4 代入 x2y 2 1得 (3 k 2 )y 224 y 48 3k 20 .3Q 3 k 20 ，否那么l与渐近线平行 .y 1 y 23 24 , y 1y 2 48 3k 2 .k 2 3 k 22448 3k 2 . k 2 3 3 k 2 23 k 2Q( 2,0) .解法四： 由题意知直线 l 得斜率 k 存在且不等于零， 设 l 的方程： y kx 4 ， A( x 1 , y 1 ), B( x 2, y 2 ) ,那么Q(4 k ,0)uuuvuuuv(x 14, y 1 ) .Q PQ1 QA, ( 4, 4)1kk4 441k.同理1.4 kx 1 4kx 2 4x 1k12 44 8 .kx 1 4kx 2 43即2k 2 x x25k( xx ) 8.〔 * 〕1 1 2y kx 4又x2y 213消去 y 得 (3k 2 ) x 2 8kx 190 .当 3 k 20 时，那么直线 l 与双曲线得渐近线平行，不合题意，3 k 20 .x 1x 28kk 2由韦达定理有：319x 1 x 23 k 2代入〔 * 〕式得k 2 4, k2 .所求 Q 点的坐标为 ( 2,0) .例 11．设动点 P 到点 A(－ l ，0)和 B(1， 0)的距离分别为 d 1 和 d 2，∠APB ＝ 2θ,且存在常数λ (0＜λ＜ 1＝ ,使得 d 1 d 2 sin 2θ＝λ．（ 1〕证明：动点 P 的轨迹 C 为双曲线，并求出 C 的方程；（ 2〕过点 B 作直线交双曲线 C 的右支于 M 、 N 两点 ,试确定λ的范围 ,使 OM · ON ＝ 0,其中点 O 为坐标原点．[解答过程 ] 解法 1：〔 1〕在 △PAB 中， AB2 ，即 22d 12 d 22 2d 1d 2 cos 2 ，4 (d 1 d 2 ) 2 4d 1d 2 sin 2，即d 1 d 244d 1d 2 sin 22 12 〔常数〕，点 P 的轨迹 C 是以 A ，B 为焦点，实轴长 2a2 1 的双曲线．方程为： x 2y 211．（2〕设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)①当 MN 垂直于 x 轴时， MN 的方程为 x 1 ， M (11)， ， N (1， 1) 在双曲线上．即11 1115，因为 01 ，所以5 1 ．2122②当 MN 不垂直于 x 轴时，设 MN 的方程为 y k( x1) ．x 2 y 21 得：(1 )k 2 x22(1 )k 2x (1)( k2)，由1yk( x 1)由题意知：(1)k 2，所以x 1x 2 2k 2 (1) ，x 1x 2(1 )( k 2) ．(1 )k 2(1 )k 2于是：y 1 y 2k 2 (x 1 1)(x 2 1)k 2 2．(1) k 2因为 OM ON0，且 M ，N 在双曲线右支上，所以x 1x 2x 1x 1x 2y 1y 2 0 k 22(1 )(1 )5 1 2．x 2 012 1 12223k1 01由①②知，5 12 ．2≤3解法 2：〔 1〕同解法 1（2〕M ( x1，y1)，N( x2，y2)，MN的中点E(x0，y0)．①当 x1 x22121 0，1，MB 1因 0 1 ，所以 5 1 ；2x 2 y 21 1 1②当 x1 x2， 1 x0 ．kMNx22 y22 1 y011又k MN kBE y0 ．所以(1 ) y02 x02 x 0；x0 1MN 2MN2 2由∠ MON 得x02 y02 ，由第二定得e(x1 x2 ) 2a22 2 2121x0 1 x02 (1 ) 2x0．1 1所以 (1 ) y02 x02 2(1 ) x0 (1 ) 2．于是由(1 ) y02 x02 x0, 得x (1 ) 2 .(1 ) y02 x02 2(1 )x0 (1 ) 2, 0 2 3因 x0 1，所以(1)2 1，又0 1，2 3解得： 5 1 2．由①②知 5 1 ≤ 2 ．2 3 2 3 考点 7 利用向量理曲中的最例 12． E 的中心在坐原点O，焦点在 x 上，离心率3，点 C( 1,0) 的直3uuur uuurAOB 的面到达最大直和 E 的方交 E 于 A、 B 两点，且 CA 2BC ，求当程.解答程：因的离心率3，故可方程2x 2 3y 2 t(t 0) ，直方程3my x 1，由2x2 3y2 t得： (2m 2 3)y 2 4my 2 t 0 ，A(x1, y1), B(x2, y2)，my x 1y4my1 y2 ⋯⋯⋯⋯① A 2m 2 3CoxBuuur uuury 2) ，即 y 1 2y 2 ⋯⋯⋯⋯②又 CA2BC ，故 (x 1 1,y 1)2( 1 x 2,由①②得： y 18m，y 24m ，2m 22m 233S AOB1| y 1 y 2 | 6 | m 3 |＝66 ，22m 2322| m || m |当 m 23，即m6，AOB 面 取最大 ，22此y 1y 22 t32m 2 ，即 t 10 ，2m 2 3(2m 2 3)2所以，直 方程 x6 y 1 0 ， 方程 2x23y 210 .2uuur(xuuur(xuuuruuur6 ，求| 2x 3y 12 |的最大例 13． PA 5, y) ， PB5, y) ，且 | PA | | PB |和最小 .解答 程：P(x, y) ，A( 5,0) ， B( 5, 0) ， uuur uuur6 ，且 | AB | 2 5 6 ， 因 | PA | | PB |所以， 点 P 的 迹是以 A 、 B 焦点，6 的 ，方程 x 2y 2 1，令 x3cos , y 2sin，94| 2x3y 12 |＝ | 6 2 cos(4) 12 |，当cos() 1 ， | 2x3y 12 |取最大4当cos() 1 ， | 2x 3y 12 |取最小412 6 2 ，12 6 2 .考点 8 利用向量 理 曲 中的取 范例 14．〔 2006 年福建卷〕x 2y 21的左焦点 F ，2O 坐 原点 .y〔I 〕求 点 O 、 F ，并且与 的左准l 相切的 的方程；B〔II 〕 点 F 且不与坐 垂直的直 交 于 A 、 B 两点，FGOx段 AB 的垂直平分 与x 交于点 G ，求点 G 横坐 的取 范.lA考 意 :本小 主要考 直 、 、 和不等式等根本知 ，考平面解析几何的根本方法，考 运算能力和 合解 能力.解答 程：〔I 〕Q a 2 2,b 2 1, c 1,F ( 1,0), l : x2.Q 圆过点 O 、 F ，圆心 M 在直线 x1上 .2设M (1,t), 那么圆半径 r (1 ) ( 2)3 .222由OMr,得( 1 )2 t 2 3 ,2 2 解得 t2.所求圆的方程为 (x1)2 (y2) 2 9 .24 〔II 〕设直线 AB 的方程为 y k( x 1)(k 0),代入 x 2y 21,整理得(1 2k 2 )x 2 4k 2 x 2k 2 2 0.2Q 直线 AB 过椭圆的左焦点 F ， 方程有两个不等实根 .记A( x 1, y 1), B( x 2, y 2), AB 中点 N (x 0, y 0),那么x 1x 24 k 2,2k 21AB 的垂直平分线 NG 的方程为 y y 01(x x 0 ).k令 y 0,得x G x 0ky 02k 2 k 2k 2 1 1.1 2k 212k 212 4k22k 22Q k 0,1 0,x G2点 G 横坐标的取值范围为 (1,0).222例 15．双曲线 C ： x2y 21(a 0,b0) ， B 是右顶点， F 是右焦点，点A 在 x 轴正半abuuuruuur uuur轴上， 且满足 | OA |,| OB |,| OF | 成等比数列， 过 F 作双曲线 C 在第一、 三象限的渐近线的垂线l ，垂足为 P ，uuur uuuruuur uur〔1〕求证： PA OP PA FP ；〔2〕假设 l 与双曲线 C 的左、右两支分别相交于点D,E ，求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围 .uuur uuuruuuruuur uuura2a2解答过程：〔 1〕因| OB |2,0) ，| OA |,| OB |,| OF |成等比数列，故| OA |uuur，即 A(|OF |cc直线 l ： ya(x c) ，ybDO PE FBx A由y a(x c) a2 abbP(，b x, )y c cauuur(0,ab uuur a2,ab uur b2 ab，故：PAc),OP ( ), FP (c, )c c c uuur uuur a2 b2 uuur uur uuur uuur uuur uur那么： PA OP c2 PA FP ，即PA OP PA FP ；uuur uuur uur uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur 〔或 PA (OP FP) PA (PF PO) PA OF 0 ，即PA OP PA FP 〕y a c) 4 4 4 2(x (b 2 a )x 2 2 a cx (a c a2 b2 ) 0 ，〔2〕由 bb2x 2 a2 y 2 a2 b2 b2 b2 b2( a4 c2 a2b2 )b2由 x1 x 22 a4bb2〔或由k DF k DO a br r 例 16．a (x,0) ， b0 得： b4 a4 b2 c2 a2 a2 e2 2 e 2.b b2 c2 a2 a2 e2 2 e 2 〕ar r r r(1,y) ， (a 3b) (a 3b) ，〔 1〕求点P(x, y) 的轨迹C的方程；〔 2〕假设直线y kx m(m 0) 与曲线 C 交于 A、 B 两点，D(0, 1) ，且 | AD | | BD | ，试求 m 的取值范围 .r r ，解答过程：〔〕 a 3b ＝(x,0) 3(1,y) (x 3, 3y)1r r(x,0) 3(1, y) (x 3, 3y)a 3b ＝，r r r r r r r r0 ，因 (a 3b) (a 3b) ，故 (a 3b) (a 3b)即 (x 3, 3y) (x 3, 3y) x 2 3y 2 3 0 ，故 P 点的轨迹方程为x2 y 2 1.3y kx m得： (1 3k 2 )x 2 6kmx 3m2 3 0 ，〔2〕由3y2 3x 2设 A(x 1 , y 1), B(x 2 , y 2 ) ， A 、 B 的中点为 M(x 0 , y 0 )那么 (6km)24(1 3k 2 )( 3m 2 3) 12(m 2 1 3k 2 ) 0 ，x 1 x 26km ， x 0 x 1 x 2 3km ， y 0 kx 0 mm ，1 3k 22 1 3k 21 3k 2即 A 、 B 的中点为 (3km2 ,m 2 ) ，1 3k 1 3k m1)(x3km2 ) ，那么线段 AB 的垂直平分线为： y1 2(3kk 1 3k将 D(0, 1) 的坐标代入，化简得： 4m 3k 2 1 ，那么由m 2 1 3k 2得：m24m 0 ，解之得 m0 或 m 4 ，4m 3k 2 1又 4m3k 21 1，所以 m1 ，14 故 m 的取值范围是 () .,0) U (4,4考点 9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题例 17． A,B,C 是长轴长为4 的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点， BC 过椭圆的中uuur uuur uuur uuur心 O ，且 AC BC 0 ， | BC | 2 | AC |，〔1〕求椭圆的方程；〔 2 〕如果椭圆上的两点P,Q 使PCQ 的平分线垂直于 OA ，是否总存在实数，使得λuuur uuurPQ λAB ？请说明理由；yC解答过程：〔 1〕以 O 为原点， OA 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，那么A(2,0) ，OAxx 2 y 2 BQ设椭圆方程为1，不妨设 C 在 x 轴上方，P4b2uuur uuur uuur uuur uuur由椭圆的对称性， | BC | 2 | AC | 2 | OC | | AC | | OC | ，uuur uuur AC OC ，即 OCA 为等腰直角三角形，又 AC BC 0由 A(2,0) 得： C(1,1) ，代入椭圆方程得：b 24，3即，椭圆方程为x 23y 241；42λuuuruuurAB// PQ〕假设总存在实数λAB ，即 ，〔 ，使得 PQ由 C(1,1) 得 B( 1, 1) ，那么 kAB0 ( 1) 1 ，2 ( 1) 3假设设 CP ： y k(x 1) 1，那么 CQ ：yk(x 1) 1 ，x 23y 21(1 3k 2 )x 2 3k 2 由 44 6k(k 1)x 6k 10 ，y k(x 1) 1由 C(1,1)得 x1 是方程 (1 3k2 )x 2 6k(k 1)x 3k 2 6k 1 0 的一个根，由韦达定理得： x Px P 1 3k 2 6k 1 ，以 k 代 k 得 x Q 3k26k 1 ，1 3k2 1 3k 2故k PQ y P y Qk(x Px Q ) 2k1，故 AB// PQ ，x P x Qx Px Q3uuur uuur即总存在实数 λ，使得 PQ λAB .考点 10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题例 18．设 G 、M 分别是 ABC 的重心和外心， A(0, a) ， B(0,a)(auuuur uuur0) ，且 GM AB ，〔 1〕求点 C 的轨迹方程；uuur uuur？〔 2〕是否存在直线 m ，使 m 过点 (a,0) 并且与点 C 的轨迹交于 P 、Q 两点，且 OP OQ 假设存在，求出直线 m 的方程；假设不存在，请说明理由. 解答过程：〔 1〕设 C(x, y) ，那么 G( x,y) ，uuuuruuur3 3因为 GMAB ，所以 GM// AB ，那么 M( x,0) ，3由 M 为 ABC 的外心，那么 |MA| | MC | ，即( x )2a2(xx) 2 y 2 ，33整理得：x 2 y 2 1(x0) ；3a2a2〔2〕假设直线 m 存在，设方程为y k(x a) ，y k(x a)由 x 2y 2 1(x得： (1 3k 2 )x 2 6k 2 ax 3a 2 (k 2 1)0 ，3a 2 a 20)设 P(x 1, y 1 ),Q(x 2 , y 2 ) ，那么x 1x 26k 2 a ，x 1x 23a 2 (k 2 1) ，1 3k2 1 3k 2y 1 y 2 k 2 (x 1 a)(x 2 a) k 2[x 1 x 2a(x 1 x 2 ) a 2] ＝2k 2a 2，1 3k 2uuur uuur0 得： x 1x 2 y 1y 2 0 ，由 OP OQ3a 2 (k 2 1)2k 2a 2 0 ，解之得 k3 ， 即1 3k21 3k2又点 (a,0) 在椭圆的内部，直线 m 过点 (a,0) ，故存在直线 m ，其方程为 y 3(xa) . 【专题训练与高考预测】 一、选择题1．如果双曲线经过点 (6, 3) ，且它的两条渐近线方程是y1x ，那么双曲线方程是〔〕3A ． x 2y 2 1B ． x 2y 21C ． x 2y 2 1D ． x 2y 2 136 981 9918 32．椭圆x 2y 2 1 和双曲线 x 2 y 21 有公共的焦点，那么双曲线的的渐近线方 5n 22m 2 3n 23m 2程为〔 〕A. x15 yB. y15 x C. x3 yD. y3 x42243．F, F为椭圆x 2 y 2的焦点， M 为椭圆上一点，MF12 a 2 b 2 1(a b 0)1 垂直于 x 轴，且 FMF 1 2 60 ，那么椭圆的离心率为〔 〕A.1B.2 C. 3D. 322324．二次曲线x 2y 2 1，当 m [ 2, 1] 时，该曲线的离心率 e 的取值范围是〔〕4mA. [ 2 , 3]B. [ 3 , 5]C.[ 5 , 6]D. [ 3 , 6 ]2 222 2 2 2 25．直线 m 的方程为 y kx1 ，双曲线 C 的方程为2 y 2 1，假设直线 m 与双曲线 C 的右支 x相交于不重合的两点，那么实数 k 的取值范围是〔 〕A. ( 2, 2)B. (1, 2)C.[ 2, 2)D.[1, 2)6．圆的方程为x 2 y 2 4 ，假设抛物线过点 A( 1,0) ， B(1,0) ，且以圆的切线为准线，那么抛物线的焦点的轨迹方程为〔 〕A. x 2 y 21(y0)B. x 2y 2 1(y 0)3 44 3C. x 2 y 2 1(x0)D. x 2y 2 1(x 0)344 3二、填空题7 ． 已 知 P 是 以 F 1 、 F 2 为 焦 点 的 椭 圆x 2y 21(a b 0) 上 一 点 ， 假设 PF 1 PF 2a 2b 2tan PF 1 F 21，那么椭圆的离心率为______________ .28． 椭圆 x 2 +2y 2=12，A 是 x 轴正方向上的一定点，假设过点 A ，斜率为 1 的直线被椭圆截得的弦长为4 13，点 A 的坐标是 ______________ .39．P 是椭圆x 2y 21 上的点， F 1, F2 是椭圆的左右焦点，设 | PF | | PF | k ，那么 k 的最大值4 3 1 2与最小值之差是 ______________ . 10．给出以下命题：①圆 (x2) 2 (y 1)2 1关于点 M(1,2) 对称的圆的方程是 (x 3) 2(y3)2 1 ；②双曲线 x2y 2 1 右支上一点 P 到左准线的距离为 18，那么该点到右焦点的距离为29 ；16 92③顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点( 4, 3) 的抛物线方程只能是y29x ；4④ P 、 Q 是椭圆 x 2 4y 216 上的两个动点， O 为原点，直线 OP,OQ 的斜率之积为1，那么4|OP |2 | OQ|2 等于定值 20 .把你认为正确的命题的序号填在横线上 _________________ .三、解答题11．两点 A( 2,0)， B(2, 0) ，动点 P 在 y 轴上的射影为uuur uuur uuuur，Q ， PA PB2PQ 2〔 1〕求动点 P 的轨迹 E 的方程；〔 2〕设直线 m 过点 A ，斜率为 k ，当 0 k 1时，曲线 E 的上支上有且仅有一点 C 到直线 m 的距离为2 ，试求 k 的值及此时点 C 的坐标 .12．如图， F ( 3,0) ，F2 (3,0) 是双曲线 C 的两焦点，直线x 4是双曲线 C的右准线，A1, A21 3是双曲线 C 的两个顶点，点P 是双曲线 C 右支上异于A2 的一动点，直线 A 1 P 、 A 2P 交双曲线 C 的右准线分别于 M,N 两点，y〔1〕求双曲线 C 的方程；MP〔2〕求证：uuuur uuuur是定值 .F1 F 2 FM F N A 1 o A 2x1 2N13．uuur uuurOFQ 的面积为 S，且OF FQ 1 ，建立如下图坐标系，y〔1〕假设S 1 ，uuur2 ，求直线FQ的方程；Q | OF |2uuur，S 3c，假设以 O 为中心， F 为焦点的椭圆过点uuurF〔2〕设| OF | c(c 2) Q，求当| OQ |取ox4得最小值时的椭圆方程 .14．点H( 3,0) ，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M 在直线 PQ 上，且满足uuur uuur uuur 3 uuuurHP PM 0 ， PM MQ ，2〔1〕当点 P 在 y 轴上移动时，求点M 的轨迹 C；y〔2〕过点T( 1,0)作直线 m 与轨迹 C 交于 A、 B 两点，假设在 x 轴上存在一点PE(x 0 ,0) ，使得ABE 为等边三角形，求x0的值.o Q EHT M xAB15．椭圆x2 y 21(a b 0)的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M 向 x 轴a 2 b2作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，向量AB与OM是共线向量．〔 1〕求椭圆的离心率e；〔 2〕设 Q 是椭圆上任意一点，F1、 F2分别是左、右焦点，求∠F1 QF2的取值范围；16．两点M〔 -1，0〕， N〔 1， 0〕且点 P 使MP MN , PM PN , NM NP 成公差小于零的等差数列，〔Ⅰ〕点 P 的轨迹是什么曲线？〔Ⅱ〕假设点P 坐标为 ( x 0 , y 0 ) ，为 PM 与 PN 的夹角，求tan θ ．【参考答案】一. 1． C .提示，设双曲线方程为 ( 1 1x y)，将点 (6, 3) 代入求出 即可 .x y)( 3 32 ． D . 因 为双 曲线的 焦点 在 x 轴上 ， 故椭 圆焦 点 为 ( 3m 22， 双 曲 线焦点 为5n ,0) ( 2m 23n 2 ,0) ， 由 3m 25n 2 2m 2 3n 2 得 | m | 2 2 | n | ， 所 以 ， 双 曲 线 的 渐 近 线 为y6 | n | 3x .2 | m |43．C .设 | MF 1 | d ，那么 | MF 2 |2d ，1 2|3d ，| FFe c 2c| FF 12 | d 3d 3 .a 2a |MF 1 | | MF 2 |2d3曲线为双曲线，且 51，应选 C ；或用 a 2 4 ， b 2m 来计算.4.C .25．B .将两方程组成方程组，利用判别式及根与系数的关系建立不等式组.6．B .数形结合，利用梯形中位线和椭圆的定义 .二.7． 解： 设 c 为为椭圆半焦距，∵PFPF 0 ，∴ PFPF.12122PF 2221 PF 1(2c) ∴又tan PF 1 F 2PF 2 2a2PF 1PF 2 1PF 12c 2 5c 5解得： ( a)9 ,ea3 ．选 D ．8． 解： 设 A 〔x ， 0〕〔 x ＞ 0〕，那么直线 l 的方程为 y=x-x ，设直线l 与椭圆相交于 P 〔 x ，1y 〕， Q 〔 x 、y 〕，由 y=x-x可得 3x 2 -4x x+2x2，1220 0 0x 2+2y 2=12x 1x 24x 0，x 1x 22x 02 12 ，那么33| x 1 x 2 | ( x 1 x 2 ) 24x 1 x 2 16x 0 2 8x 0 2 48 22．9336 2 x 03∴ 4 141 x2 | x 1x 2 |，即4 142236 2 x 02 ．333∴ x 02=4，又 x 0 ＞ 0，∴ x 0=2，∴ A 〔2， 0〕．9．1； k | PF 1 | | PF 2 | (a ex)(a ex) a 2 e 2x 2.10．②④ .uuuruuur( 2 x,y) ，三. 11．解〔 1〕 点 P 的坐 (x, y) ， 点 Q(0, y) ， PQ (x,0) ，PAuuur (2 x,uuur uuurx 2 2y 2 ， PB y) ， PA PBuuur uuuruuuur2 y 22x 2 ，因 PA PB2PQ2，所以 x 2即 点 P 的 迹方程 ： y 2 x 22 ；〔 2〕 直 m ： yk(x2)(0 k 1) ，依 意，点 C 在与直 m 平行，且与m 之 的距离2 的直 上，此直 m : y kxb ，由|2k b | 2 ，即 b 22 2kb 2 ，⋯⋯①1k21把 ykx b 代入 y 2 x 22 ，整理得： (k 2 1)x 2 2kbx (b 22) 0 ，4k 2b 24(k 2 1)(b 2 2) 0 ，即 b 2 2k 22 ，⋯⋯⋯⋯②由①②得： k25， b10 ， 55此 ，由方程y2 5 x1010).5 5C(2 2,y 2 x 2 212．解：〔 1〕依 意得： ca 24a 225 ，3 ，，所以， bc 3所求双曲C 的方程x 2 y 21 ；45〔2〕 P(x 0 , y 0 ) ， M(x 1 , y 1 ) ， N(x 2 , y 2 ) ， A 1 (2,0) ， A 2 (2,0) ，uuuur2,y uuuur(x2, y)， uuuur 10， uuuur2 ，A P (x) ，A P0 A 1M ( , y 1)A 2N ( , y 2 )1233uuuur uuuur(x 02)y 110y 0 ，y 110y 0，同理： y 22y 0 因 A 1P 与 A 1M 共 ，故3(x 03(x 0 ，32)2)uuuur 13 uuuur ( 5 2 )FM 1 ( , y 1 ) ，F 2 N , y ，3 3uuuuruuuur 656520y 0265 205(x 02 4)y 1y 2 ＝＝410.所以 FM 1F 2 N ＝9924) 99(x 0 9(x 024)uuuruuuruuur13．解：〔 1〕因 | OF | 2， F(2,0) ， OF (2,0)， Q(x 0 , y 0 ) ， FQ(x 0 2,y 0 ) ，uuur uuur 5 ， OF FQ 2(x 0 2) 1，解得 x 01 uuur12 151由 S|，得 y 0| OF | | y 0 | | y 02，故 Q( , ) ，22 2 2所以， PQ 所在直 方程y x 2 或 yx2 ；uuuruuur〔 2〕 Q(x 0 , y 0 ) ，因 | OF |c(c2)， FQ(x 0 c,y 0 )，uuur uuur 1由 OF FQ c(x 0 c) 1 得： x 0 c ，c又 S1c | y 0 |3c ， y 03 ，242Q(c1 3 uuur2 (c1 2 9，,) ，| OQ |)4c2uuurc3) ，易知，当 c2， | OQ | 最小，此 Q( 5,22方程x22a 2b 2 4210 ，y 1,(a b 0) ，259 ，解得 aa2b 21 b 264a 24b 2所以， 方程x 2y 2 1 .10614．解：〔 1〕 M(x,uuur3 uuuuryx，y) ，由 PMMQ 得： P(0,) ， Q(,0)uuur uuur223得： (3, y )(x, 3y ) 0 ，即 y 2 4x由 HP PM ，22由点 Q 在 x 的正半 上，故 x 0 ，即 点 M 的 迹 C 是以 (0,0) 点，以 (1,0)焦点的抛物 ，除去原点；〔2〕 m : yk(x 1)(k0) ，代入 y 2 4x 得：k 2x 2 2(k 2 2)x k 20 ⋯⋯⋯⋯①A(x 1 , y 1) ， B(x 2 , y 2 ) ， x 1 , x 2 是方程①的两个 根，x 1 x 22(k 22) ， x 1x 21，所以 段AB 的中点 (2 k2 , 2) ， k 2k 2k线段 AB 的垂直平分线方程为y21 2 k 2k(xk 2)，k令 y0 ，x 02 1，得E( 2 1,0)，k 2k 2因为 ABE 为正三角形，那么点E 到直线 AB 的距离等于3| AB | ，2又| AB|(x 1 x 2 )2(y 1 y2 )2＝41 k 2k 2，k 21所以，23 1 k 421 k 2，解得： k3， x 011 .k 2| k |2315．解：〔 1〕∵ F ( c,0), 那么 xMc, yMb 2 ，∴ k OMb 2 .1a ac∵ k ABb,OM 与 AB 是共线向量，∴b 2b，∴ b=c,故 e2 .aaca2〔 2〕设 FQr 1, F 2Q r 2 , F 1 QF 2,1r 1 r 2 2a, F 1 F 2 2c,cosr 12 r 22 4c 2(r 1 r 2 )2 2r 1r 2 4c 2a 2 1a 21 02r 1r 22r 1r 2r 1r 2( r 1 r 2 ) 22当且仅当 r 1r 2 时， cos θ =0，∴θ [ 0, ] .216． 解：〔Ⅰ〕记 P 〔 x,y 〕，由 M 〔 -1， 0〕N 〔1 ，0〕得uuuuruuur( 1 x, y), PN NP ( 1 x, y) ， MNNM (2,0) .PMMP 所以 MP MN2(1 x) . PM PN x 2 y 21， NM NP 2(1 x) .于是， MP MN , PM PN , NMNP 是公差小于零的等差数列等价于x 2 y 2 1 1 [2(1 x) 2(1 x)]即x 2y 23.2x 02(1 x) 2(1 x) 0所以，点 P 的轨迹是以原点为圆心，3 为半径的右半圆 .〔Ⅱ〕点 P 的坐标为 ( x , y ) 。
解析几何八大题型
解析几何八大题型
解析几何是高中数学中的一个重要内容，常常涉及到几何图形的性质、定理以及相关计算和推理问题。
在解析几何中，有八大常见的题型，它们分别是：
1. 直线方程与位置关系题型：这类题目通常要求确定直线的方程，或者求出直线与其他几何图形的位置关系，如与圆的切线、过点的垂线等。
2. 圆的性质与位置关系题型：这类题目主要考察圆的性质和位置关系，如判定两个圆是否相交、求出两个圆的公共切线等。
3. 角的性质与计算题型：这类题目主要考察角的性质和计算，如相邻角、对顶角、同旁内角等的计算和证明。
4. 三角形的性质与计算题型：这类题目主要考察三角形的性质和计算，如三角形的内角和、外角和、面积计算等。
5. 四边形的性质与计算题型：这类题目主要考察四边形的性质和计算，如平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的性质等。
6. 空间几何题型：这类题目通常考察空间几何图形的性质和计算，如棱柱、棱锥、球体的性质、体积计算等。
7. 合成图形题型：这类题目要求将几何图形进行合并或分解，再进行计算或推理，如将三角形拼接成平行四边形、将圆拆分成扇形等。
8. 坐标几何题型：这类题目通常利用坐标系进行计算和推理，如平面直角坐标系、极坐标系等。
以上八大题型覆盖了解析几何中的常见题目类型，掌握了这些题型的解题方法和技巧，对于解析几何的学习和应用都会有很大帮助。
同时，解析几何的学习也需要多做题、多练习，通过不断的实践来提高解题能力和理解能力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解析几何题型考点1.求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之.例1．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．4考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质.解答过程：椭圆22162x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，考点2. 求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之.例2．已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于2 2考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用.解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x b⎧=-+⇒++-=⇒+=-⎨=+⎩，进而可求出AB 的中点11(,)22M b --+，又由11(,)22M b --+在直线0x y +=上可求出1b =，∴220x x +-=，由弦长公式可求出221114(2)32AB =+-⨯-=．例3．如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点， 则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用.解答过程：由椭圆2212516x y +=的方程知225, 5.a a =∴=∴12345677277535.2a PF P F P F P F P F P F P F a ⨯++++++==⨯=⨯= 考点3. 曲线的离心率曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用: (1)椭圆的离心率e ＝ac ∈(0,1) (e 越大则椭圆越扁);(2) 双曲线的离心率e ＝ac ∈(1, ＋∞) (e 越大则双曲线开口越大).例4．已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)-，(4,0)，则双曲线方程为A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．221106x y -=D ．221610x y -=考查意图:本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念. 解答过程：2,4,c e c a===所以22,12.a b ∴==故选(A). 例5．已知双曲线9322=-y x ,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ）A. 2B.332 C. 2考查意图: 本题主要考查双曲线的性质和离心率e ＝a c ∈(1, ＋∞) 的有关知识的应用能力.解答过程：依题意可知 3293,322=+=+==b a c a ． 考点4.求最大(小)值求最大(小)值, 是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大(小)值:特别是,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.例6．已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 .考查意图: 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小)值的方法. 解:设过点P (4,0)的直线为()()224,8164,y k x k x x x =-∴-+=()()122222222122284160,8414416232.k x k x k k y y x x k k ∴-++=+⎛⎫∴+=+=⨯=+≥ ⎪⎝⎭故填32.考点5 圆锥曲线的基本概念和性质例7． 在平面直角坐标系xOy 中,已知圆心在第二象限、半径为22的圆C 与直线y =x 相切于坐标原点O .椭圆9222y ax +=1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.（1）求圆C 的方程；（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长.若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. [解答过程] (1) 设圆C 的圆心为 (m, n)则,222,m n n =-⎧⎪⎨⋅=⎪⎩ 解得2,2.m n =-⎧⎨=⎩ 所求的圆的方程为 22(2)(2)8x y ++-= (2) 由已知可得 210a = ， 5a =．椭圆的方程为 221259x y += , 右焦点为 F( 4, 0) ;假设存在Q 点()222cos ,222sin θθ-++使QF OF =,()()22222cos 4222sin 4θθ-+-++=．整理得 sin 3cos 22θθ=+， 代入 22sin cos 1θθ+=．得:210cos 122cos 70θθ++= , 122812222cos 1θ-±-±==<-．因此不存在符合题意的Q 点. 例8．如图,曲线G 的方程为)0(22≥=y x y .以原点为圆心，以)0(>t t 为半径的圆分别与曲线G 和y 轴的 正半轴相交于 A 与点B . 直线AB 与 x 轴相交于点C .（Ⅰ）求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标c 的关系式；（Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2+a ,求证：直线CD 的斜率为定值. [解答过程]（I ）由题意知，).2,(a a A 因为.2,||22t a a t OA =+=所以 由于.2,02a a t t +=>故有 （1）由点B （0，t ），C （c ，0）的坐标知，直线BC 的方程为.1=+tyc x 又因点A 在直线BC 上，故有,12=+ta ca将（1）代入上式，得,1)2(2=++a a a ca 解得 )2(22+++=a a c .（II ）因为))2(22(++a a D ，所以直线CD 的斜率为1)2(2)2(2))2(22(2)2(22)2(2-=+-+=+++-++=-++=a a a a a a c a a k CD ，所以直线CD 的斜率为定值.例9．已知椭圆2222x y E :1(a b 0)a b +=>>，AB 是它的一条弦，M(2,1)是弦AB 的中点，若以点M(2,1)为焦点，椭圆E 的右准线为相应准线的双曲线C 和直线AB 交于点N(4,1)-，若椭圆离心率e 和双曲线离心率1e 之间满足1ee 1=，求： （1）椭圆E 的离心率；（2）双曲线C 的方程.解答过程：（1）设A 、B 坐标分别为1122A(x ,y ),B(x ,y )， 则221122x y 1a b +=，222222x y 1a b+=，二式相减得： 21212AB21212y y (x x )b kx x (y y )a-+==-=-+2MN 22b 1(1)k 1a 24---===--， 所以2222a 2b 2(a c )==-，22a 2c =，则c e a==（2）椭圆E的右准线为2a x 2c c ===，双曲线的离心率11e e==设P(x,y)是双曲线上任一点，则：|PM ||x 2c |=-两端平方且将N(4,1)-代入得：c 1=或c 3=，当c 1=时，双曲线方程为：22(x 2)(y 1)0---=，不合题意，舍去； 当c 3=时，双曲线方程为：22(x 10)(y 1)32---=，即为所求. 考点6 利用向量求曲线方程和解决相关问题例10．双曲线C 与椭圆22184x y +=有相同的焦点，直线y =x 3为C 的一条渐近线.(1)求双曲线C 的方程；(2)过点P (0,4)的直线l ，交双曲线C 于A,B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 的顶点不重合）.当12PQ QA QB λλ==，且3821-=+λλ时，求Q 点的坐标.考查意图: 本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力.解答过程：（Ⅰ）设双曲线方程为22221x y a b-=,由椭圆22184x y +=,求得两焦点为(2,0),(2,0)-，∴对于双曲线:2C c =，又3y x =为双曲线C 的一条渐近线 ∴3b a= 解得 221,3a b ==，∴双曲线C 的方程为2213y x -=（Ⅱ）解法一：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零.设l 的方程：114,(,)y kx A x y =+，22(,)B x y ,则4(,0)Q k-.1PQ QA λ=,11144(,4)(,)x y kkλ∴--=+.111111114444()44x k k x k k y y λλλλ⎧=--⎧⎪-=+⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪-==-⎩⎪⎩11(,)A x y 在双曲线C 上， ∴2121111616()10k λλλ+--=.∴222211161632160.3k k λλλ++--=∴2221116(16)32160.3k k λλ-++-=同理有：2222216(16)32160.3k k λλ-++-=若2160,k -=则直线l 过顶点，不合题意.2160,k ∴-≠12,λλ∴是二次方程22216(16)32160.3k x x k -++-=的两根.122328163k λλ∴+==--,24k ∴=，此时0,2k ∆>∴=±.∴所求Q 的坐标为(2,0)±.解法二：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零 设l 的方程，11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4(,0)Q k-.1PQ QA λ=， Q ∴分PA 的比为1λ.由定比分点坐标公式得1111111111144(1)14401x x k k y y λλλλλλλ⎧⎧-==-+⎪⎪+⎪⎪→⎨⎨+⎪⎪=-=⎪⎪+⎩⎩下同解法一解法三：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零 设l 的方程：11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4(,0)Q k-.12PQ QA QB λλ==， 111222444(,4)(,)(,)x y x y kkkλλ∴--=+=+.11224y y λλ∴-==， 114y λ∴=-，224y λ=-，又1283λλ+=-， 121123y y ∴+=,即12123()2y y y y +=.将4y kx =+代入2213y x -=得222(3)244830k y y k --+-=.230k -≠，否则l 与渐近线平行.212122224483,33k y y y y k k -∴+==--.222244833233k k k -∴⨯=⨯--.2k ∴=±(2,0)Q ∴±.解法四：由题意知直线l 得斜率k 存在且不等于零，设l 的方程：4y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ,则4(,0)Q k-1PQ QA λ=,11144(,4)(,)x y k kλ∴--=+. ∴1114444k kx x kλ-==-++.同理 1244kx λ=-+. 1212448443kx kx λλ+=--=-++.即2121225()80k x x k x x +++=.（*）又 22413y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 得22(3)8190k x kx ---=.当230k -=时，则直线l 与双曲线得渐近线平行，不合题意，230k -≠.由韦达定理有： 12212283193k x x k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩代入（*）式得24,2k k ==±.∴所求Q 点的坐标为(2,0)±.例11．设动点P 到点A (－l ，0)和B (1，0)的距离分别为d 1和d 2， ∠APB ＝2θ,且存在常数λ(0＜λ＜1＝,使得d 1d 2 sin 2θ＝λ． （1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；（2）过点B 作直线交双曲线C 的右支于M 、N 两点,试确定λ的范围, 使OM ·ON ＝0,其中点O 为坐标原点．[解答过程]解法1：（1）在PAB △中，2AB =，即222121222cos 2d d d d θ=+-， 2212124()4sin d d d d θ=-+，即2121244sin 212d d d d θλ-=-=-<（常数）， 点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点，实轴长221a λ=-的双曲线．方程为：2211x y λλ-=-．（2）设11()M x y ，，22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上． 即211151101λλλλλ-±-=⇒+-=⇒=-，因为01λ<<，所以51λ-=．②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．由2211(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩得：2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ⎡⎤--+---+=⎣⎦， 由题意知：2(1)0k λλ⎡⎤--≠⎣⎦，所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--，2122(1)()(1)k x x k λλλλ--+=--．于是：22212122(1)(1)(1)k y y k x x kλλλ=--=--． 因为0=⋅ON OM ，且M N ，在双曲线右支上，所以2121222122212(1)0(1)2101131001x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+=⎧-⎧=⎪>⎪⎪⎪+-+>⇒⇒<<+--⎨⎨⎨⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎪-⎩．23λ<．解法2：（1）同解法1（2）设11()M x y ，，22()N x y ，，MN 的中点为00()E x y ，． ①当121x x ==时，221101MB λλλλλ=-=⇒+-=-， 因为01λ<<，所以λ；②当12x x ≠时，002222212111111y x k y x y x MN ⋅-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--λλλλλλ． 又001MN BE y k k x ==-．所以22000(1)y x x λλλ-=-；由2MON π=∠得222002MN x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由第二定义得2212()222MN e x x a ⎛⎫+-⎡⎤= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭220001(1)21x x λλ==+---． 所以222000(1)2(1)(1)y x x λλλλ-=--+-．于是由22000222000(1),(1)2(1)(1),y x x y x x λλλλλλλ⎧-=-⎪⎨-=--+-⎪⎩得20(1).23x λλ-=- 因为01x >，所以2(1)123λλ->-，又01λ<<，23λ<<23λ<．考点7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题例12．设椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，过点C(1,0)-的直线交椭圆E 于A 、B 两点，且CA 2BC =，求当AOB ∆的面积达到最大值时直线和椭圆E 的方程.，故可设椭圆方程为222x 3y t(t 0)+=>，直线方程为my x 1=+，C BA oy x由222x 3y t my x 1⎧+=⎨=+⎩得：22(2m 3)y 4my 2t 0+-+-=，设1122A(x ,y ),B(x ,y )， 则1224m y y 2m 3+=+…………①又CA 2BC =，故1122(x 1,y )2(1x ,y )+=---，即12y 2y =-…………② 由①②得：128m y 2m 3=+，224m y 2m 3-=+， 则AOB 1221mS |y y |6||22m 3∆=-=+＝632|m ||m |≤+当23m 2=，即m =AOB ∆面积取最大值，此时2122222t 32m y y 2m 3(2m 3)-==-++，即t10=，所以，直线方程为x 10+=，椭圆方程为222x 3y 10+=.例13．已知PA (x y)=，PB (x y)=，且|PA ||PB |6+=， 求|2x 3y 12|--的最大值和最小值.解答过程：设P(x,y)，A(，0)，因为|PA ||PB |6+=，且|AB |6=，所以，动点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，长轴长为6的椭圆， 椭圆方程为22x y 194+=，令x 3cos ,y 2sin =θ=θ，则|2x 3y 12|--＝|)12|4πθ+-，当cos()14πθ+=-时，|2x 3y 12|--取最大值12+当cos()14πθ+=时，|2x 3y 12|--取最小值12-考点8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题例14．（2006年福建卷） 已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ， O 为坐标原点.（I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程； （II ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点， 线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围. 考查意图:本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力. 解答过程：（I ）222,1,1,(1,0),: 2.a b c F l x ==∴=-=- 圆过点O 、F ，∴圆心M 在直线12x =-上.设1(,),2M t -则圆半径13()(2).22r =---=由,OM r =3,2=解得t =∴所求圆的方程为2219()(.24x y ++=（II ）设直线AB 的方程为(1)(0),y k x k =+≠代入221,2x y +=整理得2222(12)4220.k x k x k +++-= 直线AB 过椭圆的左焦点F ，∴方程有两个不等实根. 记1122(,),(,),A x y B x y AB 中点00(,),N x y则21224,21k x x k +=-+AB ∴的垂直平分线NG 的方程为001().y y x x k-=--令0,y =得222002222211.21212124210,0,2G G k k k x x ky k k k k k x =+=-+=-=-+++++≠∴-<< ∴点G 横坐标的取值范围为1(,0).2-例15．已知双曲线C ：2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，B 是右顶点，F 是右焦点，点A 在x 轴正半轴上，且满足|OA |,|OB |,|OF |成等比数列，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P ，（1）求证：PA OP PA FP ⋅=⋅；（2）若l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于点D,E ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围.解答过程：（1）因|OA |,|OB |,|OF |成等比数列，故22|OB |a |OA |c |OF |==，即2aA(,0)c ，直线l ：a y (x c)b =--，由2a y (x c)a ab bP(,)b c c y x a ⎧=--⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩， 故：22ab a ab b abPA (0,),OP (,),FP (,)c c c c c =-==-， 则：222a b PA OP PA FP c⋅=-=⋅，即PA OP PA FP ⋅=⋅；（或PA (OP FP)PA (PF PO)PA OF 0⋅-=⋅-=⋅=，即PA OP PA FP ⋅=⋅）（2）由44422222222222222a y (x c)a a a c (b )x 2cx (a b )0bb b b b x a y a b ⎧=--⎪⇒-+-+=⎨⎪-=⎩， 由4222212422a c (ab )b x x 0a bb -+=<-得：4422222b a bc a a e 2e >⇒=->⇒>⇒> （或由DF DO k k >⇒ab b a->-⇒22222b c a a e 2e =->⇒>⇒>例16．已知a (x,0)=，b (1,y)=，(a 3b)(a 3b)+⊥-， （1）求点P(x,y)的轨迹C 的方程；（2）若直线y kx m(m 0)=+≠与曲线C 交于A 、B 两点，D(0,1)-，且|AD ||BD |=， 试求m 的取值范围.解答过程：（1）a 3b +＝(x,0)y)(x =+，a 3b-＝(x,0)y)(x -=，因(a 3b)(a 3b)+⊥-，故(a 3b)(a 3b)0+⋅-=，即22(x (x x 3y 30+⋅=--=，故P 点的轨迹方程为22x y 13-=.PQCBA xy O（2）由22y kx mx 3y 3=+⎧⎨-=⎩得：222(13k )x 6kmx 3m 30----=，设1122A(x ,y ),B(x ,y )，A 、B 的中点为00M(x ,y )则22222(6km)4(13k )(3m 3)12(m 13k )0∆=----=+->，1226km x x 13k +=-，1202x x 3km x 213k +==-，002my kx m 13k =+=-， 即A 、B 的中点为223km m(,)13k 13k--， 则线段AB 的垂直平分线为：22m 13kmy ()(x )13k k 13k-=----， 将D(0,1)-的坐标代入，化简得：24m 3k 1=-，则由222m 13k 04m 3k 1⎧+->⎪⎨=-⎪⎩得：2m 4m 0->，解之得m 0<或m 4>，又24m 3k 11=->-，所以1m 4>-， 故m 的取值范围是1(,0)(4,)4-+∞.考点9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题例17．已知A,B,C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的中心O ，且AC BC 0⋅=，|BC |2|AC |=， （1）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上的两点P,Q 使PCQ ∠的平分线垂直于OA ，是否总存在实数λ，使得PQ λAB =请说明理由；解答过程：（1）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立 平面直角坐标系，则A(2,0)，设椭圆方程为222x y14b+=，不妨设C 在x 轴上方， 由椭圆的对称性，|BC |2|AC |2|OC ||AC ||OC |==⇒=， 又AC BC 0⋅=AC OC ⇒⊥，即ΔOCA 为等腰直角三角形，由A(2,0)得：C(1,1)，代入椭圆方程得：24b 3=， 即，椭圆方程为22x 3y 144+=； （2）假设总存在实数λ，使得PQ λAB =，即AB//PQ ， 由C(1,1)得B(1,1)--，则AB 0(1)1k 2(1)3--==--，若设CP ：y k(x 1)1=-+，则CQ ：y k(x 1)1=--+，由22222x 3y 1(13k )x 6k(k 1)x 3k 6k 1044y k(x 1)1⎧+=⎪⇒+--+--=⎨⎪=-+⎩， 由C(1,1)得x 1=是方程222(13k )x 6k(k 1)x 3k 6k 10+--+--=的一个根，由韦达定理得：2P P 23k 6k 1x x 113k--=⋅=+，以k -代k 得2Q 23k 6k 1x 13k +-=+， 故P Q P Q PQ P QP Qy y k(x x )2k1k x x x x 3-+-===--，故AB//PQ ， 即总存在实数λ，使得PQ λAB =.考点10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题例18．设G 、M 分别是ABC ∆的重心和外心，A(0,a)-，B(0,a)(a 0)>，且GM AB =λ， （1）求点C 的轨迹方程；（2）是否存在直线m ，使m 过点(a,0)并且与点C 的轨迹交于P 、Q 两点，且OP OQ 0⋅=若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由. 解答过程：（1）设C(x,y)，则x yG(,)33，因为GM AB =λ，所以GM//AB ，则x M(,0)3，由M 为ABC ∆的外心，则|MA ||MC |==整理得：2222x y 1(x 0)3a a+=≠；（2）假设直线m 存在，设方程为y k(x a)=-，由2222y k(x a)x y 1(x 0)3a a =-⎧⎪⎨+=≠⎪⎩得：22222(13k )x 6k ax 3a (k 1)0+++-=， 设1122P(x ,y ),Q(x ,y )，则21226k a x x 13k +=+，221223a (k 1)x x 13k -=+， 22212121212y y k (x a)(x a)k [x x a(x x )a ]=--=-++＝2222k a 13k -+，由OP OQ 0⋅=得：1212x x y y 0+=，即2222223a (k 1)2k a 013k 13k --+=++，解之得k =， 又点(a,0)在椭圆的内部，直线m 过点(a,0)， 故存在直线m，其方程为y a)=-. 【专题训练与高考预测】 一、选择题1．如果双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是1y x 3=±，那么双曲线方程是（）A ．22x y 1369-= B ．22x y 1819-= C ．22x y 19-= D ．22x y 1183-=2．已知椭圆2222x y 13m 5n +=和双曲线2222x y 12m 3n-=有公共的焦点，那么双曲线的的渐近线方程为（ ）A.x =B. y =C. x =D. y = 3．已知12F ,F 为椭圆2222x y 1(a b 0)a b+=>>的焦点，M 为椭圆上一点，1MF 垂直于x 轴， 且12FMF 60∠=︒，则椭圆的离心率为（ ） A.124．二次曲线22x y 14m+=，当m [2,1]∈--时，该曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A.B.C.D.5．直线m 的方程为y kx 1=-，双曲线C 的方程为22x y 1-=，若直线m 与双曲线C 的右支相交于不重合的两点，则实数k 的取值范围是（ ）A.(B.C.[D.6．已知圆的方程为22x y 4+=，若抛物线过点A(1,0)-，B(1,0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程为（ ）A. 22x y 1(y 0)34+=≠ B. 22x y 1(y 0)43+=≠ C. 22x y 1(x 0)34-=≠ D. 22x y 1(x 0)43-=≠二、填空题7．已知P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上一点，若021=⋅PF PF 21tan 21=∠F PF ，则椭圆的离心率为 ______________ . 8．已知椭圆x 2+2y 2=12，A 是x 轴正方向上的一定点，若过点A ，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为3134，点A 的坐标是______________ .9．P 是椭圆22x y 143+=上的点，12F ,F 是椭圆的左右焦点，设12|PF ||PF |k ⋅=，则k 的最大值与最小值之差是______________ . 10．给出下列命题：①圆22(x 2)(y 1)1++-=关于点M(1,2)-对称的圆的方程是22(x 3)(y 3)1++-=；②双曲线22x y 1169-=右支上一点P 到左准线的距离为18，那么该点到右焦点的距离为292； ③顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点(4,3)--的抛物线方程只能是29y x 4=-；④P 、Q 是椭圆22x 4y 16+=上的两个动点，O 为原点，直线OP,OQ 的斜率之积为14-，则22|OP ||OQ |+等于定值20 .把你认为正确的命题的序号填在横线上_________________ . 三、解答题11．已知两点，B(0)，动点P 在y 轴上的射影为Q ，2PA PB 2PQ ⋅=， （1）求动点P 的轨迹E 的方程；<<时，曲线E的上支上有且仅有一点C到直（2）设直线m过点A，斜率为k，当0k1线m k的值及此时点C的坐标.FQoyx12．如图，1F (3,0)-，2F (3,0)是双曲线C 的两焦点，直线4x 3=是双曲线C 的右准线，12A ,A是双曲线C 的两个顶点，点P 是双曲线C 右支上异于2A 的一动点，直线1A P 、2A P 交双曲线C 的右准线分别于M,N 两点， （1）求双曲线C 的方程； （2）求证：12FM F N ⋅是定值.13．已知OFQ ∆的面积为S ，且OF FQ 1⋅=，建立如图所示坐标系， （1）若1S 2=，|OF |2=，求直线FQ 的方程；（2）设|OF |c(c 2)=≥，3S c 4=，若以O 为中心，F 为焦点的椭圆过点Q ，求当|OQ |取得最小值时的椭圆方程.14．已知点H(3,0)-，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足HP PM 0⋅=，3PM MQ 2=-，（1）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ；（2）过点T(1,0)-作直线m 与轨迹C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点0E(x ,0)使得ABE ∆为等边三角形，求0x 的值.15．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，向量AB 与OM 是共线向量． （1）求椭圆的离心率e ；（2）设Q 是椭圆上任意一点， 1F 、2F 分别是左、右焦点，求∠21QF F 的取值范围；16．已知两点M （-1，0），N （1，0）且点P 使⋅⋅⋅,,成公差小于零的等差数列，（Ⅰ）点P 的轨迹是什么曲线（Ⅱ）若点P 坐标为),(00y x ，θ为PN PM 与的夹角，求tan θ．【参考答案】一. 1．C .提示，设双曲线方程为11(x y)(x y)33+-=λ，将点代入求出λ即可.2．D .因为双曲线的焦点在x 轴上，故椭圆焦点为，双曲线焦点为，由22223m 5n 2m 3n -=+得|m |n |=，所以，双曲线的渐近线为y == .3．C .设1|MF |d =，则2|MF |2d =，12|FF |=，1212|FF |c 2c e a 2a |MF ||MF |=====+ .1>，故选C ；或用2a 4=，2b m =-来计算.5．B .将两方程组成方程组，利用判别式及根与系数的关系建立不等式组. 6．B .数形结合，利用梯形中位线和椭圆的定义.二.7．解：设c 为为椭圆半焦距，∵021=⋅PF PF ，∴21PF PF ⊥ .又21tan 21=∠F PF ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=+212)2(122122221PF PF a PF PF c PF PF解得：25()93,cc e aa === ． 选D ． 8． 解：设A （x 0，0）（x 0＞0），则直线l 的方程为y=x-x 0，设直线l 与椭圆相交于P （x 1，y 1），Q （x 2、y 2），由 y=x-x 0 可得3x 2-4x 0x+2x 02-12=0， x 2+2y 2=12 34021x x x =+，31222021-=⋅x x x ，则20202021221212363234889164)(||x x x x x x x x x -=--=-+=-．∴||13144212x x x -⋅+=，即202363223144x -⋅⋅=．∴x 02=4，又x 0＞0，∴x 0=2，∴A （2，0）．9．1；22212k |PF ||PF |(a ex)(a ex)a e x =⋅=+-=- .10．②④.三. 11．解（1）设动点P 的坐标为(x,y)，则点Q(0,y)，PQ (x,0)=-，PA (2x,y)=-，PB (x,y)=--，22PA PB x 2y ⋅=-+，因为2PA PB 2PQ ⋅=，所以222x 2y 2x -+=， 即动点P 的轨迹方程为：22y x 2-=； （2）设直线m ：y k(x k 1)=<<，依题意，点C 在与直线m平行，且与m设此直线为1m :y kx b =+=2b 2+=，……①把y kx b =+代入22y x 2-=，整理得：222(k 1)x 2kbx (b 2)0-++-=， 则22224k b 4(k 1)(b 2)0∆=---=，即22b 2k 2+=，…………② 由①②得：k=b =此时，由方程组22y y x 2⎧=⎪⎨⎪-=⎩. 12．解：（1）依题意得：c 3=，2a 4c 3=，所以a 2=，2b 5=， 所求双曲线C 的方程为22x y 145-=； （2）设00P(x ,y )，11M(x ,y )，22N(x ,y )，则1A (2,0)-，2A (2,0)，100A P (x 2,y )=+，200A P (x 2,y )=-，1110A M (,y )3=，222A N (,y )3=-，因为1A P 与1A M 共线，故01010(x 2)y y 3+=，01010y y 3(x 2)=+，同理：0202y y 3(x 2)=--， 则1113FM (,y )3=，225F N (,y )3=-，所以12FM F N ⋅＝1265y y 9-+＝202020y 6599(x 4)---＝20205(x 4)206541099(x 4)-⨯--=-- . 13．解：（1）因为|OF |2=，则F(2,0)，OF (2,0)=，设00Q(x ,y )，则00FQ (x 2,y )=-，0OF FQ 2(x 2)1⋅=-=，解得05x 2=，由0011S |OF ||y ||y |22=⋅==，得01y 2=±，故51Q(,)22±，所以，PQ 所在直线方程为y x 2=-或y x 2=-+；（2）设00Q(x ,y )，因为|OF |c(c 2)=≥，则00FQ (x c,y )=-， 由0OF FQ c(x c)1⋅=-=得：01x c c=+， 又013S c |y |c 24==，则03y 2=±，13Q(c ,)c 2+±，2219|OQ |(c )c 4=++，易知，当c 2=时，|OQ |最小，此时53Q(,)22±，设椭圆方程为2222x y 1,(a b 0)a b +=>>，则2222a b 425914a4b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得22a 10b 6⎧=⎪⎨=⎪⎩， 所以，椭圆方程为22x y 1106+= . 14．解：（1）设M(x,y)，由3PM MQ 2=-得：y P(0,)2-，xQ(,0)3，由HP PM 0⋅=得：y3y(3,)(x,)022-=，即2y 4x =， 由点Q 在x 轴的正半轴上，故x 0>，即动点M 的轨迹C 是以(0,0)为顶点，以(1,0)为焦点的抛物线，除去原点； （2）设m :y k(x 1)(k 0)=+≠，代入2y 4x =得：2222k x 2(k 2)x k 0+-+=…………①设11A(x ,y )，22B(x ,y )，则12x ,x 是方程①的两个实根，则21222(k 2)x x k -+=-，12x x 1=，所以线段AB 的中点为222k 2(,)k k-，线段AB 的垂直平分线方程为22212k y (x )k k k--=--，令y 0=，022x 1k=+，得22E(1,0)k+， 因为ABE ∆为正三角形，则点E 到直线AB|AB |，又|AB|k =，011x 3= .15．解：（1）∵ab yc x c F M M 21,),0,(=-=-则，∴acb k OM 2-= .∵OM a b k AB ,-=是共线向量，∴a b ac b -=-2，∴b=c,故22=e .（2）设1122121212,,,2,2,FQr F Q r F QF r r a F F c θ==∠=∴+==22222221212122121212124()24cos 11022()2r r c r r r r c a a r r r r r r r r θ+-+--===-≥-=+当且仅当21r r =时，cos θ=0，∴θ]2,0[π∈ .16．解：（Ⅰ）记P （x,y ），由M （-1，0）N （1，0）得 (1,),PM MP x y =-=---),1(y x ---=-=， )0,2(=-=NM MN . 所以 )1(2x +=⋅ . 122-+=⋅y x ， )1(2x -=⋅ .于是， ⋅⋅⋅,,是公差小于零的等差数列等价于⎪⎩⎪⎨⎧<+---++=-+0)1(2)1(2)]1(2)1(2[21122x x x x y x 即 ⎩⎨⎧>=+0322x y x . 所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆. （Ⅱ）点P 的坐标为),(00y x 。