直线与双曲线的位置关系ppt课件
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直线与双曲线的位置关系ppt课件
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
(2)将 y＝kx＋ 2代入x32－y2＝1，得
(1－3k2)x2－6 2kx－9＝0.
由直线 l 与双曲线交于不同的两点，得
1－3k2≠0 Δ＝6 2k2＋361－3k2＝361－k2>0
方程化为 2x＝5，故此方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲
线相交，且只有一个公共点．
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
(2)当 1－k2≠0，即 k≠±1 时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－ 4)＝4(4－3k2)．
x1＋x2＝2－2kk2
，
x1·x2＝k2－2 2
假设存在实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C
的右焦点 F( 26，0)，则 FA⊥FB，
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
∴(x1－ 26)(x2－ 26)＋y1y2＝0， 即(x1－ 26)(x2－ 26)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0. (1＋k2)x1x2＋(k－ 26)(x1＋x2)＋52＝0， ∴(1＋k2)·k2－2 2＋(k－ 26)·2－2kk2＋52＝0，
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
[解析] (1)将直线 l 的方程 y＝kx＋1 代入双曲线 C 的方程 2x2－y2＝1 后整理得，
直线与双曲线交点个数PPT课件
0个交点两个交点一个交点个交点相交相离交点个数一个交点相切个交点两个交点相离相交判断直线与双曲线位置关系的操作程序把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与双曲线的渐近线平行相交一个交点计算判别式双曲线的渐近线16251625相交两个交点相切例1
Y
相交:两个交点
相离: 0个交点
O
第9页/共10页
感谢您的观看！
第10页/共10页
得到一元二次方程
直线与双曲线的 渐近线平行
相交（一个交点）
双曲线的渐近 线
计算判别式
>0 =0 <0
相离 相 交 相 切 相 离
第6页/共10页
练习：判断下列直线与双曲线的位置关 系
[1] l : y 4 x 1,c : x2 y2 1
5
25 16
[2] l : y 2x 1,c : x2 y2 1 25 16
相交(一个交点) 相离
x2 y2 [3] l : y c : x2 y2 1 33
第7页/共10页
相交（两 个交点）
相切
例1.过点P(0,-1)与双曲线 x2 y2 1 只有
43
一个交点的直线共有４_____条。
变题:将点P(1,1)改为
x2 a2
y2 b2
1
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没有交点 ? △<０
一个交点
△＝０
?
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>0
两个交点
?
<
0
l:y
? b
x
0
个交点
a
=0
一个交点
? l : y b x m(m 0)
a
相交 相离
相切
Y
相交:两个交点
相离: 0个交点
O
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得到一元二次方程
直线与双曲线的 渐近线平行
相交（一个交点）
双曲线的渐近 线
计算判别式
>0 =0 <0
相离 相 交 相 切 相 离
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练习：判断下列直线与双曲线的位置关 系
[1] l : y 4 x 1,c : x2 y2 1
5
25 16
[2] l : y 2x 1,c : x2 y2 1 25 16
相交(一个交点) 相离
x2 y2 [3] l : y c : x2 y2 1 33
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相交（两 个交点）
相切
例1.过点P(0,-1)与双曲线 x2 y2 1 只有
43
一个交点的直线共有４_____条。
变题:将点P(1,1)改为
x2 a2
y2 b2
1
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没有交点 ? △<０
一个交点
△＝０
?
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>0
两个交点
?
<
0
l:y
? b
x
0
个交点
a
=0
一个交点
? l : y b x m(m 0)
a
相交 相离
相切
直线与双曲线的位置关系(PPT)
第8课时
直线与双曲线的位置关系
第8课时
直线与双曲线的位置关系
• 2.直线与双曲线的位置关系 • 例2(1)若直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1有且 只有一个交点，则k的值为 . • 【方法指导】(1)中直线y＝kx－1与双曲线x2－ y2＝1有且只有一个交点说明直线与双曲线不 仅仅相切，还有可能相交.
第8课时
直线与双曲线的位置关系
第8课时
直线与双曲线的位置关系
第8课时
直线与双曲线的位置关系
第8课时
直线与双曲线的位置关系
第8课时
直线与双曲线的位置关系
第8课时
直线与双曲线的位置关系
第8课时
直线与双曲线的位置关系
• 1.在双曲线的焦点三角形中，经常运用正弦定理、余弦 定理、双曲线定义来解题.解题过程中，常对定义式两 边平方探求关系. • 2.(1)研究直线与双曲线位置关系问题的求法 • 将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元 二次方程.当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于 某支上一点，这时直线平行于一条渐近线;当二次项系 数不等于0时，用判别式Δ来判定. • (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题， 但需要检验.
第8课时
直线与双曲线的位置关系
第8课时
直线与双曲线的位置关系
第8课时
直线与双曲线的位置关系
• 预学3:直线与双曲线位置关系的判断 • (1)直线与双曲线的位置关系有相交、相切、 相离三种情况. • 思考:直线与双曲线有一个公共点是直线与双 曲线相切的必要不充分条件，为什么?
第8课时
直线与双曲线的位置关系
第8课时
直线与双曲线的位置关系
第8课时
直线与双曲线的位置关系
2.3.2双曲线的简单几何性质课件人教新课标2
②
将①式代入②，解得 m 210 .
3
所以直线l的方程为 y 2x 210 .
3
类型三 双曲线性质的综合应用
【典例3】
(1)已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1
(a>0，b>0)的左、右焦点分别为
F1(-c，0)，F2(c，0).若双曲线上存在一点P，使
sinPF1F2 a， sinPF2F1 c
【解题探究】1.题(1)条件 sinPF1F2 a 如何转化？
sinPF2F1 c
2.题(2)几何条件OP⊥OQ如何转化为代数条件？
【探究提示】1.利用正弦定理，可将 sinPF1F2 转化为边之间
sinPF2F1
的比值.
2.条件OP⊥OQ，一般转化为
即若设P(x1，y1)，
Q(x2，y2)，则
【自主解答】(1)设l的方程为y=kx+b，
由
x2
y2
1，消去y得：(1-2k2)x2-4kbx-2b2-2=0.
2
y kx b
因为l与双曲线交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
故Δ=8b2+8-16k2>0 ①，1-2k2≠0，
由根与系数的关系知：x1+x2=
4kb ， 1 2k2
线的左支.
2.由直线l1与双曲线C的方程组成的方程组应有两组解.
【自主解答】(1)由
x2 9
y2 16
1，所以a2=9，b2=16，所以c2=25，c=5，
由双曲线的定义，双曲线上任意一点P满足||PF2|-|PF1||=6<10.
当直线上存在点P满足|PF2|-|PF1|=6时，说明直线与双曲线的
直线与双曲线的位置关系ppt 人教课标版
课堂练习 本课小结
例 1：
2 y 2 过点 P ( 2 ,0 ) 的直线 l 与双曲线 C ： x 1 仅有 4 一个公共点，这样的直 线 l 有 条 . A .1 B .2 C .3 D .4
分 析： 变 形：
此题为选择题，若设直 线方程，转化为 方程根的分布则不易求 解，故采用数形 结合。
2 2
F2 AB 的周长 AB AF2 BF2 AB 2a ex1 AB e x2 x1 2b 2 e a
x2 x1 2 4 x1 x2
例 3：
2 y 经过双曲线 x2 1 的右焦点 F 作直线 l， 2 2 交双曲线于 A ， B 两点，若 AB4 ，则这样
直线与双曲线的位置关 系
引 例:
解 ：
y 过点 P 的直线 l 与双曲线 C ： x 1 仅有 4 一个公共点，求直线 l 的方程。
2
2
设 l的方程为： ykx 3
y kx 3 2 2 2 由 4 k x 6 kx 13 0 2 y x 1 4
改变 P 点的位置： 1 、 P 1， 0 ； 2 、 P 1， 2 ；
3 、 P 0， 0
例 2： 设 l 的方程为： y 3 x 2 解 y 3 x 2 ：由 2 x 6 2 x 7 0
2 2 2 x y 1
AB ex2 x1 AB e
经过双曲线 x y 1 的左焦点 F 作倾斜角为 1 6 的弦 AB 。求 F AB 的周长 2
2 2
x2 x1
2
4x1x2
变 形 ２： 解 ：
经过双曲线 x y 1 的左焦点 F 作倾斜角为 1 2 的弦 AB 。求 F AB 的周长 2
例 1：
2 y 2 过点 P ( 2 ,0 ) 的直线 l 与双曲线 C ： x 1 仅有 4 一个公共点，这样的直 线 l 有 条 . A .1 B .2 C .3 D .4
分 析： 变 形：
此题为选择题，若设直 线方程，转化为 方程根的分布则不易求 解，故采用数形 结合。
2 2
F2 AB 的周长 AB AF2 BF2 AB 2a ex1 AB e x2 x1 2b 2 e a
x2 x1 2 4 x1 x2
例 3：
2 y 经过双曲线 x2 1 的右焦点 F 作直线 l， 2 2 交双曲线于 A ， B 两点，若 AB4 ，则这样
直线与双曲线的位置关 系
引 例:
解 ：
y 过点 P 的直线 l 与双曲线 C ： x 1 仅有 4 一个公共点，求直线 l 的方程。
2
2
设 l的方程为： ykx 3
y kx 3 2 2 2 由 4 k x 6 kx 13 0 2 y x 1 4
改变 P 点的位置： 1 、 P 1， 0 ； 2 、 P 1， 2 ；
3 、 P 0， 0
例 2： 设 l 的方程为： y 3 x 2 解 y 3 x 2 ：由 2 x 6 2 x 7 0
2 2 2 x y 1
AB ex2 x1 AB e
经过双曲线 x y 1 的左焦点 F 作倾斜角为 1 6 的弦 AB 。求 F AB 的周长 2
2 2
x2 x1
2
4x1x2
变 形 ２： 解 ：
经过双曲线 x y 1 的左焦点 F 作倾斜角为 1 2 的弦 AB 。求 F AB 的周长 2
高考数学微专题4直线与圆锥曲线4.2直线与双曲线的位置关系 课件
12345
内容索引
x1x2＝k2－1 3，所以 AB 的中点 P 的坐标 xP＝x1＋2 x2＝k22－k 3，yP＝kxP－2＝
k2－6 3，则 Pk22－k 3，k2－6 3.由圆的性质可知，圆心与弦中点连线的斜率垂
直于弦所在的直线，所以 kPG＝kk22－2－6k33－－0t ＝－1k，整理可得 t＝k28－k 3(*)，则
内容索引
【解析】 (1) 因为点 A(2,1)在双曲线 C：ax22－a2y－2 1＝1(a>1)上， 所以a42－a2－1 1＝1，解得 a2＝2， 所以双曲线 C：x22－y2＝1. 易知直线 l 的斜率存在，设直线 l：y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
y＝kx＋m， 联立x22－y2＝1， 消去 y 并整理，得(1－2k2)x2－4mkx－2m2－2＝0，
内容索引
由 Δ＝16m2k2＋4(2m2＋2)(1－2k2)>0，得 m2＋1－2k2>0， 所以 x1＋x2＝－2k42m－k1，x1x2＝22mk22－＋12， 所以由 kAP＋kAQ＝0，得yx22－－12＋yx11－－12＝0， 即(x1－2)(kx2＋m－1)＋(x2－2)(kx1＋m－1)＝0， 即 2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0， 所以 2k×22mk22－＋12＋(m－1－2k)－2k42m－k1－4(m－1)＝0，
内容索引
同理可得 xQ＝10＋34
2，yQ＝－4
2－5 3.
所以直线 PQ：x＋y－53＝0，PQ＝136，
点 A 到直线 PQ 的距离 d＝|2＋12－35|＝232，
故△PAQ
的面积为12×136×2 3 2＝169
双曲线与直线的位置关系课件
双曲线与直线的位置关系
本课件将介绍双曲线和直线的定义以及它们之间的位置关系，相交点，切点， 平行关系，垂直关系和包含关系。
双曲线和直线的定义
1 直线
具有恒定斜率的曲线，可用斜率截距方程y = mx + b表示。
2 双曲线
具有非常特定形状的曲线，其离心率大于1。
直线与双曲线的位置关系
1 相交
直线和双曲线相交于某个点。
唯一切点
直线切双曲线于唯一一个切点。
无切点
直线与双曲线可能无切点。
无穷切点
直线切双曲线的每一点都被认为是一个切点。
直线与双曲线的平行关系
1 平行直线ห้องสมุดไป่ตู้
直线与双曲线保持相同的距离，从未相交。
2 平行双曲线
两条双曲线具有完全相同的形状，但位于不 同位置。
直线与双曲线的垂直关系
1 垂直直线
直线与双曲线在某一点形成一个90度的角度。
2切
直线刚好接触双曲线的一点，即切点。
3 平行
直线和双曲线无交点，但始终保持相同的距 离。
4 垂直
直线与双曲线在某一点相交，形成90度的角 度。
直线和双曲线的相交点
定点
相交的直线和双曲线将在某个固 定点处相交。
两个点
直线和双曲线可能相交于两个不 同的点。
无点
直线与双曲线可能没有交点。
直线和双曲线的切点
2 垂直双曲线
两条垂直双曲线在某一点形成一个90度的角度。
直线与双曲线的包含关系
1 直线包含于双曲线
直线上的每个点都在双曲线上。
2 双曲线包含于直线
双曲线上的每个点都在直线上。
本课件将介绍双曲线和直线的定义以及它们之间的位置关系，相交点，切点， 平行关系，垂直关系和包含关系。
双曲线和直线的定义
1 直线
具有恒定斜率的曲线，可用斜率截距方程y = mx + b表示。
2 双曲线
具有非常特定形状的曲线，其离心率大于1。
直线与双曲线的位置关系
1 相交
直线和双曲线相交于某个点。
唯一切点
直线切双曲线于唯一一个切点。
无切点
直线与双曲线可能无切点。
无穷切点
直线切双曲线的每一点都被认为是一个切点。
直线与双曲线的平行关系
1 平行直线ห้องสมุดไป่ตู้
直线与双曲线保持相同的距离，从未相交。
2 平行双曲线
两条双曲线具有完全相同的形状，但位于不 同位置。
直线与双曲线的垂直关系
1 垂直直线
直线与双曲线在某一点形成一个90度的角度。
2切
直线刚好接触双曲线的一点，即切点。
3 平行
直线和双曲线无交点，但始终保持相同的距 离。
4 垂直
直线与双曲线在某一点相交，形成90度的角 度。
直线和双曲线的相交点
定点
相交的直线和双曲线将在某个固 定点处相交。
两个点
直线和双曲线可能相交于两个不 同的点。
无点
直线与双曲线可能没有交点。
直线和双曲线的切点
2 垂直双曲线
两条垂直双曲线在某一点形成一个90度的角度。
直线与双曲线的包含关系
1 直线包含于双曲线
直线上的每个点都在双曲线上。
2 双曲线包含于直线
双曲线上的每个点都在直线上。
新教材高中数学第二章双曲线方程及性质的应用课件新人教B版选择性必修第一册ppt
【补偿训练】 已知双曲线 x2－y2＝4，直线 l：y＝k(x－1)，试确定满足下列条件的实数 k 的取 值范围． (1)直线 l 与双曲线有两个不同的公共点； (2)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线 l 与双曲线没有公共点．
【解析】联立x2－y2＝4，
消去 y，
y＝k（x－1），
(3)△F1MF2 的底|F1F2|＝8，由(2)知 m＝± 10 . 所以△F1MF2 的高 h＝|m|＝ 10 ，所以 S△MF1F2＝4 10 .
与双曲线有关的综合问题 (1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点 的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解． (2)当与直线知识综合时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方 程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．
弦长及中点弦问题的解题策略 (1)利用弦长公式|AB|＝ 1＋k2 |xA－xB|＝ 1＋k2 · （xA＋xB）2－4xAxB ，求解 的关键是正确应用根与系数的关系，整理时要始终保持两根之和、两根之积的形 式． (2)涉及弦长的中点问题，常用“点差法”，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标 联系起来，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系． 其具体解题思路如下：
类型三 双曲线性质的综合应用(逻辑推理、数学运算)
x2 y2 【典例】1.设 F1，F2 是双曲线 C：a2 －b2 ＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点，A 为左顶
16 点，点 P 为双曲线 C 右支上一点，|F1F2|＝10，PF2⊥F1F2，|PF2|＝ 3 ，O 为坐标
原点，则→OA ·→OP ＝( )
得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)
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（1）联立方程组 （2）消去一个未知数
（3） ∆<0
2020/11/19
∆=0
相交 ∆>0
直线与双曲线位置关系种类
Y
O
X
种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点， 一个交点或两个交点)
2020/11/19
位置关系与交点个数
Y
相交:两个交点
相切:一个交点
O
X 相离:0个交点
Y
相交:一个交点
思考：如何通过研究方程判断
x
2
y2
4
得
1-k2 x22kx50
方程只有一解
2020/11/19
当 1k2 0即 k 1时，方程只有一解
当 1k2 0时，应满足 4k22(01k2)0 解得 k 5
2
故 k的值为 1， 5
2
拓展延伸
引申1：如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点，求k的取值范围
解：由
y=kx-1 得(1-k2)x2+2kx-5=0(*) 即方程无解
x2 y2 1 只有 一个 9 16 Y
交点的直线 共有___4____条.
（1，1）
变题:将点P(1,1)改为 1.A(3,4)
。
O
X
2.B(3,0)
3.C(4,0)
4.D(0,0).答案又是怎样的?
2020/11/19
1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.
2.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半 支上任意一点(异于顶点),则直线PF的斜率的
1、有两个或没有公共点时，根据双曲线 联立后的一元二次方程的判别式或根 的分布来判断。
有一个公共点时，考虑一元二次方程的二 次项系数为零和判别式等于零两种情况。
2、利用数形结合，求出渐进线和切线斜率， 利用图形观察直线变化时与曲线交点的 情况确定k的取值范围。
2020/11/19
1.过点P(1,1)与双曲线
情感目标：
感悟数形结合的变化美、和谐美、对称美；
2020/11/19
学习重难点
学习重点
理解并掌握直线与双曲线的三种位置关系两种求 法。
学习难点
数形结合方法中，直线与双曲线位置关系中的相 切有一个交点，相交有一个交点的问题讨论。
2020/11/19
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
相切
判断方法
x2
-y2 2
=1
2x2 -4x+3=00
y-1=2(x-1)
方程组无解，故满足条件的L不存在。
2020/11/19
解题回顾:
求以定点为中点的弦所在的直线方程 的解题思路 (1)通过联立方程组,消去一个变量转 化成一元二次方程结合根与系数关系 求斜率. (2)利用点差法求斜率,但要注意检验,
2020/11/19
练2.已知双曲线方程为3x2-y2=3,求： (1)以2为斜率的弦的中点轨迹； (2)过定点B(2,1)的弦的中点轨迹；
2020/11/19
解题回顾:
求直线与双曲线弦长方法: （1） 利和用根公与式系|A 数B关|系1 求k弦2x长1x21k12 y1y2
（2）若直线过焦点则可考虑利用第二定义,将弦长转 化为弦的端点到相应准线距离的和与离心率的 乘积,在应用时要注意区分两种情形:
分析：只需证明线段AB、CD的中点重合即可。
证明: (1)若L有斜率，设L的方程为:y=kx+b
y=kx+b
y2 x2
(5k23)x210bkx5b2150
L 3 y与 = k C x5 + 相 b 交 1于 A ,B 两 点 , 5 k 2 3 0 , x A x B 3 1 0 k 5 k b 2
①相交两点:
△＞0
同侧：x 1 x 2 ＞0
异侧: x 1 x 2 ＜0 一点: 直线与渐进线平行
②相切一点: ③相 离:
2020/11/19
△=0 △＜0
2020/11/19
例题解析
例1：如果直线 y kx1与双曲线 x2 y2 4
仅有一个公共点，求 k 的取值范围．
解：
由
y kx 1
2020/11/19
郭金梅
学习目标
知识与技能目标
①利用直线与方程组的解的情况，确定直线与双曲线的位置关 系。 ②借助计算机辅助，通过直线系的不同变化形态，使学生直观 理解并掌握直线与双曲线的三种位置关系。
能力目标：
①感悟几何问题代数化解法。 ②培养学生观察与归纳的能力、运用数形结合思想方法分析问 题与解决问题的能力；
2020/11/19
综合应用
x2 例5、设双曲线C：a2
y2
1(a
0)
与直线
l : xy 1
相交于两个不同的点A、B。
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围。 （2）设直线l与y轴的交点为P，且PA 5 PB, 求a的值。
12
(1)e 6且e 2 2
(2)a 17 13
2020/11/19
双曲线第一、二定义的应用
交于P1
，P 2
两点，且点A是线段 P 1 P 2 的中点？
这样的直线 l 如果存在，求出它的方程及
弦长|P
1
P
|，如果不存在，请说明理由。
2
2020/11/19
解 :假 设 存 在 P ( x 1 , y 1 ) , Q ( x 2 , y 2 ) 为 直 线 L 上 的 两 点 , 且 P Q 的 中 点 为 A , 则 有 :
直线与双曲线的位置关系
O
X
2020/11/19
举例说明：
y = kx+ m
x2 a2
- y2 b2
消去y，得: =1
(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0
1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行
或重合。
重合：无交点；平行：有一个交点。 2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,
x2-y2=4
1-k2≠0பைடு நூலகம்
∴
△=4k2+20(1-k2)<0
k,
25
25,
引申2：如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有两个公共点，求k的取值范围
解：直线与双曲线有两个公共点
1-k2≠0 △=4k2+20(1-k2)>0
方程(*)有两个不等的根
k
5, 2
25且k 1
2020/11/19
引申3：
1-k2≠0 x1+x2=
-
2 2 <0
引申5：
- x1x2= 2 >0
- <k<-1
如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4左、右支各1个公共点，求k的取值范围
解：等价于
2020/11/19
4k2+20(1-k2)>0
1-k2≠0
- x1x2=
2 <0
-1<k<1
解题回顾：
根据直线与已知双曲线公共点的个数，求 直线斜率k的取值范围问题的方法：
k>1或k<-1
若去掉x>0,答案时？ k 1
2、直线 l: y3x10与双曲线 x 2 y 2 1 相交于
94
A、B，线段|AB|的中点为M，则直线OM的
斜率是（ 4 ） 27
2020/11/19
直线与双曲线相交中的垂直与对称问题
例3.已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1相交于A、B两点. (1)当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点； (2)是否存在这样的实数a,使A、B关于y=2x对称， 若存在，求a;若不存在，说明理由.
如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4右支有两个公共点，求k的取值范围
4k2+20(1-k2)>0
解：等价于
1-k2≠0 x1+x2=
-
2 2 >0
引申4：
- x1x2=
2 >0
1<k<
如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4左支有两个公共点，求k的取值范围
4k2+20(1-k2)>0
解：等价于
① 如果两点在同一支上,那么|AB||AF1||BF1|(见图一)
② 如果两交点分别在两支上,那么|AB |||A1F ||B1F|(|见图二)
y
y
A
F1
x
B
2020/11/19
图1
F1
x
A
B
图2
巩固练习：
1、过点 l:yk(x 2)与双曲线 x2y21(x0)
相交于A、B两点，则 l 的斜率的范围是（ ）
2020/11/19
3、由双曲线 x 2 y 2 1 上的一点P与左、右
94
两焦点
F1、
F
构成
2
P
F1
F2
，求
P
F1
F2
的内切圆与
边 F 1 F 2 的切点坐标。
说明：双曲线上一点P与双曲线的两个焦点 F1、 F2 构成 的三角形称之为焦点三角形，其中 | PF1 |、| PF2 |和 | F 1 F 2 |
1.已知P为双曲线 x2 16
y2 9
1右支上的一点,F1, F2
分别为左、右焦点，若PF1 : PF2 3 : 2，试求点
P( x0 , y0 )的坐标。
2.已知双曲线x2
y2 3
1左、右焦点分别为F1, F2，
双曲线左支上的一点P到左准线的距离为d，且
d,PF1, PF2成等比数列，试求点P( x0 , y0 )的坐标.
（3） ∆<0
2020/11/19
∆=0
相交 ∆>0
直线与双曲线位置关系种类
Y
O
X
种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点， 一个交点或两个交点)
2020/11/19
位置关系与交点个数
Y
相交:两个交点
相切:一个交点
O
X 相离:0个交点
Y
相交:一个交点
思考：如何通过研究方程判断
x
2
y2
4
得
1-k2 x22kx50
方程只有一解
2020/11/19
当 1k2 0即 k 1时，方程只有一解
当 1k2 0时，应满足 4k22(01k2)0 解得 k 5
2
故 k的值为 1， 5
2
拓展延伸
引申1：如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点，求k的取值范围
解：由
y=kx-1 得(1-k2)x2+2kx-5=0(*) 即方程无解
x2 y2 1 只有 一个 9 16 Y
交点的直线 共有___4____条.
（1，1）
变题:将点P(1,1)改为 1.A(3,4)
。
O
X
2.B(3,0)
3.C(4,0)
4.D(0,0).答案又是怎样的?
2020/11/19
1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.
2.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半 支上任意一点(异于顶点),则直线PF的斜率的
1、有两个或没有公共点时，根据双曲线 联立后的一元二次方程的判别式或根 的分布来判断。
有一个公共点时，考虑一元二次方程的二 次项系数为零和判别式等于零两种情况。
2、利用数形结合，求出渐进线和切线斜率， 利用图形观察直线变化时与曲线交点的 情况确定k的取值范围。
2020/11/19
1.过点P(1,1)与双曲线
情感目标：
感悟数形结合的变化美、和谐美、对称美；
2020/11/19
学习重难点
学习重点
理解并掌握直线与双曲线的三种位置关系两种求 法。
学习难点
数形结合方法中，直线与双曲线位置关系中的相 切有一个交点，相交有一个交点的问题讨论。
2020/11/19
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
相切
判断方法
x2
-y2 2
=1
2x2 -4x+3=00
y-1=2(x-1)
方程组无解，故满足条件的L不存在。
2020/11/19
解题回顾:
求以定点为中点的弦所在的直线方程 的解题思路 (1)通过联立方程组,消去一个变量转 化成一元二次方程结合根与系数关系 求斜率. (2)利用点差法求斜率,但要注意检验,
2020/11/19
练2.已知双曲线方程为3x2-y2=3,求： (1)以2为斜率的弦的中点轨迹； (2)过定点B(2,1)的弦的中点轨迹；
2020/11/19
解题回顾:
求直线与双曲线弦长方法: （1） 利和用根公与式系|A 数B关|系1 求k弦2x长1x21k12 y1y2
（2）若直线过焦点则可考虑利用第二定义,将弦长转 化为弦的端点到相应准线距离的和与离心率的 乘积,在应用时要注意区分两种情形:
分析：只需证明线段AB、CD的中点重合即可。
证明: (1)若L有斜率，设L的方程为:y=kx+b
y=kx+b
y2 x2
(5k23)x210bkx5b2150
L 3 y与 = k C x5 + 相 b 交 1于 A ,B 两 点 , 5 k 2 3 0 , x A x B 3 1 0 k 5 k b 2
①相交两点:
△＞0
同侧：x 1 x 2 ＞0
异侧: x 1 x 2 ＜0 一点: 直线与渐进线平行
②相切一点: ③相 离:
2020/11/19
△=0 △＜0
2020/11/19
例题解析
例1：如果直线 y kx1与双曲线 x2 y2 4
仅有一个公共点，求 k 的取值范围．
解：
由
y kx 1
2020/11/19
郭金梅
学习目标
知识与技能目标
①利用直线与方程组的解的情况，确定直线与双曲线的位置关 系。 ②借助计算机辅助，通过直线系的不同变化形态，使学生直观 理解并掌握直线与双曲线的三种位置关系。
能力目标：
①感悟几何问题代数化解法。 ②培养学生观察与归纳的能力、运用数形结合思想方法分析问 题与解决问题的能力；
2020/11/19
综合应用
x2 例5、设双曲线C：a2
y2
1(a
0)
与直线
l : xy 1
相交于两个不同的点A、B。
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围。 （2）设直线l与y轴的交点为P，且PA 5 PB, 求a的值。
12
(1)e 6且e 2 2
(2)a 17 13
2020/11/19
双曲线第一、二定义的应用
交于P1
，P 2
两点，且点A是线段 P 1 P 2 的中点？
这样的直线 l 如果存在，求出它的方程及
弦长|P
1
P
|，如果不存在，请说明理由。
2
2020/11/19
解 :假 设 存 在 P ( x 1 , y 1 ) , Q ( x 2 , y 2 ) 为 直 线 L 上 的 两 点 , 且 P Q 的 中 点 为 A , 则 有 :
直线与双曲线的位置关系
O
X
2020/11/19
举例说明：
y = kx+ m
x2 a2
- y2 b2
消去y，得: =1
(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0
1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行
或重合。
重合：无交点；平行：有一个交点。 2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,
x2-y2=4
1-k2≠0பைடு நூலகம்
∴
△=4k2+20(1-k2)<0
k,
25
25,
引申2：如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有两个公共点，求k的取值范围
解：直线与双曲线有两个公共点
1-k2≠0 △=4k2+20(1-k2)>0
方程(*)有两个不等的根
k
5, 2
25且k 1
2020/11/19
引申3：
1-k2≠0 x1+x2=
-
2 2 <0
引申5：
- x1x2= 2 >0
- <k<-1
如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4左、右支各1个公共点，求k的取值范围
解：等价于
2020/11/19
4k2+20(1-k2)>0
1-k2≠0
- x1x2=
2 <0
-1<k<1
解题回顾：
根据直线与已知双曲线公共点的个数，求 直线斜率k的取值范围问题的方法：
k>1或k<-1
若去掉x>0,答案时？ k 1
2、直线 l: y3x10与双曲线 x 2 y 2 1 相交于
94
A、B，线段|AB|的中点为M，则直线OM的
斜率是（ 4 ） 27
2020/11/19
直线与双曲线相交中的垂直与对称问题
例3.已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1相交于A、B两点. (1)当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点； (2)是否存在这样的实数a,使A、B关于y=2x对称， 若存在，求a;若不存在，说明理由.
如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4右支有两个公共点，求k的取值范围
4k2+20(1-k2)>0
解：等价于
1-k2≠0 x1+x2=
-
2 2 >0
引申4：
- x1x2=
2 >0
1<k<
如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4左支有两个公共点，求k的取值范围
4k2+20(1-k2)>0
解：等价于
① 如果两点在同一支上,那么|AB||AF1||BF1|(见图一)
② 如果两交点分别在两支上,那么|AB |||A1F ||B1F|(|见图二)
y
y
A
F1
x
B
2020/11/19
图1
F1
x
A
B
图2
巩固练习：
1、过点 l:yk(x 2)与双曲线 x2y21(x0)
相交于A、B两点，则 l 的斜率的范围是（ ）
2020/11/19
3、由双曲线 x 2 y 2 1 上的一点P与左、右
94
两焦点
F1、
F
构成
2
P
F1
F2
，求
P
F1
F2
的内切圆与
边 F 1 F 2 的切点坐标。
说明：双曲线上一点P与双曲线的两个焦点 F1、 F2 构成 的三角形称之为焦点三角形，其中 | PF1 |、| PF2 |和 | F 1 F 2 |
1.已知P为双曲线 x2 16
y2 9
1右支上的一点,F1, F2
分别为左、右焦点，若PF1 : PF2 3 : 2，试求点
P( x0 , y0 )的坐标。
2.已知双曲线x2
y2 3
1左、右焦点分别为F1, F2，
双曲线左支上的一点P到左准线的距离为d，且
d,PF1, PF2成等比数列，试求点P( x0 , y0 )的坐标.