直线与双曲线的位置关系ppt课件
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直线与双曲线的位置关系ppt课件
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
(2)将 y＝kx＋ 2代入x32－y2＝1，得
(1－3k2)x2－6 2kx－9＝0.
由直线 l 与双曲线交于不同的两点，得
1－3k2≠0 Δ＝6 2k2＋361－3k2＝361－k2>0
方程化为 2x＝5，故此方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲
线相交，且只有一个公共点．
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
(2)当 1－k2≠0，即 k≠±1 时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－ 4)＝4(4－3k2)．
x1＋x2＝2－2kk2
，
x1·x2＝k2－2 2
假设存在实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C
的右焦点 F( 26，0)，则 FA⊥FB，
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
∴(x1－ 26)(x2－ 26)＋y1y2＝0， 即(x1－ 26)(x2－ 26)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0. (1＋k2)x1x2＋(k－ 26)(x1＋x2)＋52＝0， ∴(1＋k2)·k2－2 2＋(k－ 26)·2－2kk2＋52＝0，
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
[解析] (1)将直线 l 的方程 y＝kx＋1 代入双曲线 C 的方程 2x2－y2＝1 后整理得，
直线与双曲线交点个数PPT课件
0个交点两个交点一个交点个交点相交相离交点个数一个交点相切个交点两个交点相离相交判断直线与双曲线位置关系的操作程序把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与双曲线的渐近线平行相交一个交点计算判别式双曲线的渐近线16251625相交两个交点相切例1
Y
相交:两个交点
相离: 0个交点
O
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感谢您的观看！
第10页/共10页
得到一元二次方程
直线与双曲线的 渐近线平行
相交（一个交点）
双曲线的渐近 线
计算判别式
>0 =0 <0
相离 相 交 相 切 相 离
第6页/共10页
练习：判断下列直线与双曲线的位置关 系
[1] l : y 4 x 1,c : x2 y2 1
5
25 16
[2] l : y 2x 1,c : x2 y2 1 25 16
相交(一个交点) 相离
x2 y2 [3] l : y c : x2 y2 1 33
第7页/共10页
相交（两 个交点）
相切
例1.过点P(0,-1)与双曲线 x2 y2 1 只有
43
一个交点的直线共有４_____条。
变题:将点P(1,1)改为
x2 a2
y2 b2
1
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没有交点 ? △<０
一个交点
△＝０
?
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>0
两个交点
?
<
0
l:y
? b
x
0
个交点
a
=0
一个交点
? l : y b x m(m 0)
a
相交 相离
相切
Y
相交:两个交点
相离: 0个交点
O
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得到一元二次方程
直线与双曲线的 渐近线平行
相交（一个交点）
双曲线的渐近 线
计算判别式
>0 =0 <0
相离 相 交 相 切 相 离
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练习：判断下列直线与双曲线的位置关 系
[1] l : y 4 x 1,c : x2 y2 1
5
25 16
[2] l : y 2x 1,c : x2 y2 1 25 16
相交(一个交点) 相离
x2 y2 [3] l : y c : x2 y2 1 33
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相交（两 个交点）
相切
例1.过点P(0,-1)与双曲线 x2 y2 1 只有
43
一个交点的直线共有４_____条。
变题:将点P(1,1)改为
x2 a2
y2 b2
1
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没有交点 ? △<０
一个交点
△＝０
?
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>0
两个交点
?
<
0
l:y
? b
x
0
个交点
a
=0
一个交点
? l : y b x m(m 0)
a
相交 相离
相切
直线与双曲线的位置关系(PPT)
第8课时
直线与双曲线的位置关系
第8课时
直线与双曲线的位置关系
• 2.直线与双曲线的位置关系 • 例2(1)若直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1有且 只有一个交点，则k的值为 . • 【方法指导】(1)中直线y＝kx－1与双曲线x2－ y2＝1有且只有一个交点说明直线与双曲线不 仅仅相切，还有可能相交.
第8课时
直线与双曲线的位置关系
第8课时
直线与双曲线的位置关系
第8课时
直线与双曲线的位置关系
第8课时
直线与双曲线的位置关系
第8课时
直线与双曲线的位置关系
第8课时
直线与双曲线的位置关系
第8课时
直线与双曲线的位置关系
• 1.在双曲线的焦点三角形中，经常运用正弦定理、余弦 定理、双曲线定义来解题.解题过程中，常对定义式两 边平方探求关系. • 2.(1)研究直线与双曲线位置关系问题的求法 • 将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元 二次方程.当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于 某支上一点，这时直线平行于一条渐近线;当二次项系 数不等于0时，用判别式Δ来判定. • (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题， 但需要检验.
第8课时
直线与双曲线的位置关系
第8课时
直线与双曲线的位置关系
第8课时
直线与双曲线的位置关系
• 预学3:直线与双曲线位置关系的判断 • (1)直线与双曲线的位置关系有相交、相切、 相离三种情况. • 思考:直线与双曲线有一个公共点是直线与双 曲线相切的必要不充分条件，为什么?
第8课时
直线与双曲线的位置关系
第8课时
直线与双曲线的位置关系
第8课时
直线与双曲线的位置关系
2.3.2双曲线的简单几何性质课件人教新课标2
②
将①式代入②，解得 m 210 .
3
所以直线l的方程为 y 2x 210 .
3
类型三 双曲线性质的综合应用
【典例3】
(1)已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1
(a>0，b>0)的左、右焦点分别为
F1(-c，0)，F2(c，0).若双曲线上存在一点P，使
sinPF1F2 a， sinPF2F1 c
【解题探究】1.题(1)条件 sinPF1F2 a 如何转化？
sinPF2F1 c
2.题(2)几何条件OP⊥OQ如何转化为代数条件？
【探究提示】1.利用正弦定理，可将 sinPF1F2 转化为边之间
sinPF2F1
的比值.
2.条件OP⊥OQ，一般转化为
即若设P(x1，y1)，
Q(x2，y2)，则
【自主解答】(1)设l的方程为y=kx+b，
由
x2
y2
1，消去y得：(1-2k2)x2-4kbx-2b2-2=0.
2
y kx b
因为l与双曲线交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
故Δ=8b2+8-16k2>0 ①，1-2k2≠0，
由根与系数的关系知：x1+x2=
4kb ， 1 2k2
线的左支.
2.由直线l1与双曲线C的方程组成的方程组应有两组解.
【自主解答】(1)由
x2 9
y2 16
1，所以a2=9，b2=16，所以c2=25，c=5，
由双曲线的定义，双曲线上任意一点P满足||PF2|-|PF1||=6<10.
当直线上存在点P满足|PF2|-|PF1|=6时，说明直线与双曲线的
直线与双曲线的位置关系ppt 人教课标版
课堂练习 本课小结
例 1：
2 y 2 过点 P ( 2 ,0 ) 的直线 l 与双曲线 C ： x 1 仅有 4 一个公共点，这样的直 线 l 有 条 . A .1 B .2 C .3 D .4
分 析： 变 形：
此题为选择题，若设直 线方程，转化为 方程根的分布则不易求 解，故采用数形 结合。
2 2
F2 AB 的周长 AB AF2 BF2 AB 2a ex1 AB e x2 x1 2b 2 e a
x2 x1 2 4 x1 x2
例 3：
2 y 经过双曲线 x2 1 的右焦点 F 作直线 l， 2 2 交双曲线于 A ， B 两点，若 AB4 ，则这样
直线与双曲线的位置关 系
引 例:
解 ：
y 过点 P 的直线 l 与双曲线 C ： x 1 仅有 4 一个公共点，求直线 l 的方程。
2
2
设 l的方程为： ykx 3
y kx 3 2 2 2 由 4 k x 6 kx 13 0 2 y x 1 4
改变 P 点的位置： 1 、 P 1， 0 ； 2 、 P 1， 2 ；
3 、 P 0， 0
例 2： 设 l 的方程为： y 3 x 2 解 y 3 x 2 ：由 2 x 6 2 x 7 0
2 2 2 x y 1
AB ex2 x1 AB e
经过双曲线 x y 1 的左焦点 F 作倾斜角为 1 6 的弦 AB 。求 F AB 的周长 2
2 2
x2 x1
2
4x1x2
变 形 ２： 解 ：
经过双曲线 x y 1 的左焦点 F 作倾斜角为 1 2 的弦 AB 。求 F AB 的周长 2
例 1：
2 y 2 过点 P ( 2 ,0 ) 的直线 l 与双曲线 C ： x 1 仅有 4 一个公共点，这样的直 线 l 有 条 . A .1 B .2 C .3 D .4
分 析： 变 形：
此题为选择题，若设直 线方程，转化为 方程根的分布则不易求 解，故采用数形 结合。
2 2
F2 AB 的周长 AB AF2 BF2 AB 2a ex1 AB e x2 x1 2b 2 e a
x2 x1 2 4 x1 x2
例 3：
2 y 经过双曲线 x2 1 的右焦点 F 作直线 l， 2 2 交双曲线于 A ， B 两点，若 AB4 ，则这样
直线与双曲线的位置关 系
引 例:
解 ：
y 过点 P 的直线 l 与双曲线 C ： x 1 仅有 4 一个公共点，求直线 l 的方程。
2
2
设 l的方程为： ykx 3
y kx 3 2 2 2 由 4 k x 6 kx 13 0 2 y x 1 4
改变 P 点的位置： 1 、 P 1， 0 ； 2 、 P 1， 2 ；
3 、 P 0， 0
例 2： 设 l 的方程为： y 3 x 2 解 y 3 x 2 ：由 2 x 6 2 x 7 0
2 2 2 x y 1
AB ex2 x1 AB e
经过双曲线 x y 1 的左焦点 F 作倾斜角为 1 6 的弦 AB 。求 F AB 的周长 2
2 2
x2 x1
2
4x1x2
变 形 ２： 解 ：
经过双曲线 x y 1 的左焦点 F 作倾斜角为 1 2 的弦 AB 。求 F AB 的周长 2
高考数学微专题4直线与圆锥曲线4.2直线与双曲线的位置关系 课件
12345
内容索引
x1x2＝k2－1 3，所以 AB 的中点 P 的坐标 xP＝x1＋2 x2＝k22－k 3，yP＝kxP－2＝
k2－6 3，则 Pk22－k 3，k2－6 3.由圆的性质可知，圆心与弦中点连线的斜率垂
直于弦所在的直线，所以 kPG＝kk22－2－6k33－－0t ＝－1k，整理可得 t＝k28－k 3(*)，则
内容索引
【解析】 (1) 因为点 A(2,1)在双曲线 C：ax22－a2y－2 1＝1(a>1)上， 所以a42－a2－1 1＝1，解得 a2＝2， 所以双曲线 C：x22－y2＝1. 易知直线 l 的斜率存在，设直线 l：y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
y＝kx＋m， 联立x22－y2＝1， 消去 y 并整理，得(1－2k2)x2－4mkx－2m2－2＝0，
内容索引
由 Δ＝16m2k2＋4(2m2＋2)(1－2k2)>0，得 m2＋1－2k2>0， 所以 x1＋x2＝－2k42m－k1，x1x2＝22mk22－＋12， 所以由 kAP＋kAQ＝0，得yx22－－12＋yx11－－12＝0， 即(x1－2)(kx2＋m－1)＋(x2－2)(kx1＋m－1)＝0， 即 2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0， 所以 2k×22mk22－＋12＋(m－1－2k)－2k42m－k1－4(m－1)＝0，
内容索引
同理可得 xQ＝10＋34
2，yQ＝－4
2－5 3.
所以直线 PQ：x＋y－53＝0，PQ＝136，
点 A 到直线 PQ 的距离 d＝|2＋12－35|＝232，
故△PAQ
的面积为12×136×2 3 2＝169
双曲线与直线的位置关系课件
双曲线与直线的位置关系
本课件将介绍双曲线和直线的定义以及它们之间的位置关系，相交点，切点， 平行关系，垂直关系和包含关系。
双曲线和直线的定义
1 直线
具有恒定斜率的曲线，可用斜率截距方程y = mx + b表示。
2 双曲线
具有非常特定形状的曲线，其离心率大于1。
直线与双曲线的位置关系
1 相交
直线和双曲线相交于某个点。
唯一切点
直线切双曲线于唯一一个切点。
无切点
直线与双曲线可能无切点。
无穷切点
直线切双曲线的每一点都被认为是一个切点。
直线与双曲线的平行关系
1 平行直线ห้องสมุดไป่ตู้
直线与双曲线保持相同的距离，从未相交。
2 平行双曲线
两条双曲线具有完全相同的形状，但位于不 同位置。
直线与双曲线的垂直关系
1 垂直直线
直线与双曲线在某一点形成一个90度的角度。
2切
直线刚好接触双曲线的一点，即切点。
3 平行
直线和双曲线无交点，但始终保持相同的距 离。
4 垂直
直线与双曲线在某一点相交，形成90度的角 度。
直线和双曲线的相交点
定点
相交的直线和双曲线将在某个固 定点处相交。
两个点
直线和双曲线可能相交于两个不 同的点。
无点
直线与双曲线可能没有交点。
直线和双曲线的切点
2 垂直双曲线
两条垂直双曲线在某一点形成一个90度的角度。
直线与双曲线的包含关系
1 直线包含于双曲线
直线上的每个点都在双曲线上。
2 双曲线包含于直线
双曲线上的每个点都在直线上。
本课件将介绍双曲线和直线的定义以及它们之间的位置关系，相交点，切点， 平行关系，垂直关系和包含关系。
双曲线和直线的定义
1 直线
具有恒定斜率的曲线，可用斜率截距方程y = mx + b表示。
2 双曲线
具有非常特定形状的曲线，其离心率大于1。
直线与双曲线的位置关系
1 相交
直线和双曲线相交于某个点。
唯一切点
直线切双曲线于唯一一个切点。
无切点
直线与双曲线可能无切点。
无穷切点
直线切双曲线的每一点都被认为是一个切点。
直线与双曲线的平行关系
1 平行直线ห้องสมุดไป่ตู้
直线与双曲线保持相同的距离，从未相交。
2 平行双曲线
两条双曲线具有完全相同的形状，但位于不 同位置。
直线与双曲线的垂直关系
1 垂直直线
直线与双曲线在某一点形成一个90度的角度。
2切
直线刚好接触双曲线的一点，即切点。
3 平行
直线和双曲线无交点，但始终保持相同的距 离。
4 垂直
直线与双曲线在某一点相交，形成90度的角 度。
直线和双曲线的相交点
定点
相交的直线和双曲线将在某个固 定点处相交。
两个点
直线和双曲线可能相交于两个不 同的点。
无点
直线与双曲线可能没有交点。
直线和双曲线的切点
2 垂直双曲线
两条垂直双曲线在某一点形成一个90度的角度。
直线与双曲线的包含关系
1 直线包含于双曲线
直线上的每个点都在双曲线上。
2 双曲线包含于直线
双曲线上的每个点都在直线上。
新教材高中数学第二章双曲线方程及性质的应用课件新人教B版选择性必修第一册ppt
【补偿训练】 已知双曲线 x2－y2＝4，直线 l：y＝k(x－1)，试确定满足下列条件的实数 k 的取 值范围． (1)直线 l 与双曲线有两个不同的公共点； (2)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线 l 与双曲线没有公共点．
【解析】联立x2－y2＝4，
消去 y，
y＝k（x－1），
(3)△F1MF2 的底|F1F2|＝8，由(2)知 m＝± 10 . 所以△F1MF2 的高 h＝|m|＝ 10 ，所以 S△MF1F2＝4 10 .
与双曲线有关的综合问题 (1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点 的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解． (2)当与直线知识综合时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方 程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．
弦长及中点弦问题的解题策略 (1)利用弦长公式|AB|＝ 1＋k2 |xA－xB|＝ 1＋k2 · （xA＋xB）2－4xAxB ，求解 的关键是正确应用根与系数的关系，整理时要始终保持两根之和、两根之积的形 式． (2)涉及弦长的中点问题，常用“点差法”，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标 联系起来，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系． 其具体解题思路如下：
类型三 双曲线性质的综合应用(逻辑推理、数学运算)
x2 y2 【典例】1.设 F1，F2 是双曲线 C：a2 －b2 ＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点，A 为左顶
16 点，点 P 为双曲线 C 右支上一点，|F1F2|＝10，PF2⊥F1F2，|PF2|＝ 3 ，O 为坐标
原点，则→OA ·→OP ＝( )
得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)
直线与双曲线位置关系说课课件
2．教学目标 教学目标 依据教学大纲及以人为本的教育观着眼，我把教学目标 分为如下几点： （1）知识目标:掌握直线的斜率对其与双曲线位置关系的影 响。学会用根的判别式判断两者位置关系情况。初步掌握弦 长公式和中点弦有关知识。 （2）能力目标:培养学生观察、发现、分析、探索知识能力。 领悟培养数形结合和化归等思想。 （3）情感目标:通过问题情境，培养学生自主参与意识，及 合作精神，激发学生探索数学的兴趣，体验数学学习的过程 和成功后的喜悦。
3．教学的重难点 教学的重难点 根据现代教育理念，学生能力的培养必须结合探究过程的 有意渗透。结合教材特点，我认为本节课的重难点是： 重点：如何创造问题情境，引导学生探究直线与双曲线相 关知识。 难点：应用数学思维及直线与双曲线位置关系及弦长公式 等知识来解决数学问题。
4．学情分析 学情分析 对于认知主体学生 ①在能力上：他们已经学习了直线与圆、椭圆位置关系及 相关知识的推导及运用过程，但大部分还停留在经验基础上， 主动迁移、主动重组、整合能力较弱； ②在情感上：已初步形成小组自主合作、探究的学习方式。
谢谢大家 再 见！
过程演示： 相离 →相切 →相交（两个交点在同一支上）
过程演示：相交（交点落在两支上）
过程演示： 相交（一个交点）
设直线方程为ykxmm0双曲方程为k的取值范围直线与双曲线的位置关系设计意图相离无交点相切只有一个交点两个交点交点在同一支上利用直观的动态演示从运动角度帮助学生理解各位置关系的形成过程有助于学生从感性认识上升到理性认识从而发现问题的本质
探索直线与双曲线的位置关系
福鼎第四中学 数学组
一．设计理念
根据现代教学理念，数学学习不是学生对知识的记忆和被 动的接受，而是学生在某问题情境下自主探索、合作交流、提 出问题、分析问题、解决问题的体验过程，从而促进学生自主 全面、可持续的发展。 在本节课教学中，我力求通过问题情境，提供学生研究和 探讨的时间和空间，让学生充分经历“学数学”的过程，促使 学生在自主中求知，在合作中求取，在探究中求发展。
专题54直线与双曲线(课件)-2024年中职数学对口升学考试专题复习精讲课件_42057202
即 k＝±23 3时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且
仅有一个公共点．
4－3k2＜0， ③1－k2≠0，
即 k＜－23 3，或 k＞23 3时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无
公共点．
专题54——直线与双曲线的关系 综上所述， 当－2 3 3＜k＜－1，或－1＜k＜1，或 1＜k＜2 3 3时，直线与双曲线有两个公共点； 当 k＝±1，或 k＝±2 3 3时，直线与双曲线有且只有一个公共点； 当 k＜－23 3，或 k＞2 3 3时，直线与双曲线没有公共点．
1
x2
12x 24 0
则 AB 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2 2 (12)2 4 24 4 6
故 AB 4 6
专题54——直线与双曲线的关系
【题型一 】 直线与双曲线的位置关系
例 1 已知双曲线 x2－y2＝4，直线 l：y＝k(x－1)，在下列条件下，求实数 k 的取值范围． (1)直线 l 与双曲线有两个公共点； (2)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线 l 与双曲线没有公共点．
|AB|＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2＝ 1＋k2
2k2－3k222－1k22k－2＋2 8
＝ 1＋k2 16k2k－2＋212＝4|k12＋－k22|＝4，
解得 k＝± 22，故这样的直线有 3 条．
专题54——直线与双曲线的关系
2.过双曲线 x2－y32＝1 的左焦点 F1，作倾斜角为π6的直线与双曲线交于 A，B 两
∴|AB|＝|y1－y2|＝4 满足题意．
专题54——直线与双曲线的关系
当直线 l 的斜率存在时，其方程为 y＝k(x－ 3)，
y＝k x－ 3 ， 由x2－y22＝1，
《直线与双曲线》课件
根据双曲线的定义和性质，可以得出点到焦点的距离公式。然后根据题目给出的条 件，将已知数值代入公式进行计算。
综合题类型及解题思路
类型三：与切线有关的问题
求切线方程，需要利用导数和切线的定义，结合几何意义进行求解。
首先求出双曲线在某一点的导数，这个导数表示该点切线的斜率。然后根据切线的定义和斜 率，写出切线方程。最后将已知数值代入切线方程进行求解。
直线与双曲线的交点
交点的求法
当直线的方程与双曲线的方程相等时 ，解出x和y的值即为交点坐标。
交点的性质
直线与双曲线的交点满足两个方程， 因此交点同时属于直线和双曲线。
01
直线与双曲线的位 置关系
直线与双曲线相切
切点定义
直线与双曲线在某一点相切，该 点称为切点。
切线性质
切线与双曲线的渐近线平行，且切 线斜率等于双曲线在该点的导数。
步骤
设直线方程为 $x = ty + m$，双曲线方程为 $x = rho cos theta, y = rho sin theta$，联立两个方程消去参数 $theta$ 和 $rho$。
应用
适用于求解与参数相关的直线与双曲线的交点问题。
01
直线与双曲线的综 合题解析
综合题类型及解题思路
类 各种轨迹问题，如行星运动轨迹等。
物理问题中的应用
光学和声学
在光学和声学中，光线和声波的 传播路径可以模拟为直线或双曲
线的形式。
力学
在力学中，直线与双曲线可以用 来描述物体运动轨迹和受力分析
。
电学
在电学中，电流的传导和电场的 分布可以用直线与双曲线的知识
来解释。
实际生活中的应用
《直线与双曲线》 ppt课件
综合题类型及解题思路
类型三：与切线有关的问题
求切线方程，需要利用导数和切线的定义，结合几何意义进行求解。
首先求出双曲线在某一点的导数，这个导数表示该点切线的斜率。然后根据切线的定义和斜 率，写出切线方程。最后将已知数值代入切线方程进行求解。
直线与双曲线的交点
交点的求法
当直线的方程与双曲线的方程相等时 ，解出x和y的值即为交点坐标。
交点的性质
直线与双曲线的交点满足两个方程， 因此交点同时属于直线和双曲线。
01
直线与双曲线的位 置关系
直线与双曲线相切
切点定义
直线与双曲线在某一点相切，该 点称为切点。
切线性质
切线与双曲线的渐近线平行，且切 线斜率等于双曲线在该点的导数。
步骤
设直线方程为 $x = ty + m$，双曲线方程为 $x = rho cos theta, y = rho sin theta$，联立两个方程消去参数 $theta$ 和 $rho$。
应用
适用于求解与参数相关的直线与双曲线的交点问题。
01
直线与双曲线的综 合题解析
综合题类型及解题思路
类 各种轨迹问题，如行星运动轨迹等。
物理问题中的应用
光学和声学
在光学和声学中，光线和声波的 传播路径可以模拟为直线或双曲
线的形式。
力学
在力学中，直线与双曲线可以用 来描述物体运动轨迹和受力分析
。
电学
在电学中，电流的传导和电场的 分布可以用直线与双曲线的知识
来解释。
实际生活中的应用
《直线与双曲线》 ppt课件
直线与双曲线的位置关系(公开课)ppt课件
直线与双曲线的位置关系
一、复习引入
直线与椭圆的位置关系
位置关系 几何直观
相离
没有公共点
相切
只有一个公共点
相交
有两个公共点
代数方法
方程组（*）无解 △＜0 方程组（*）有一解 △＝0 方程组（*）有两解 △＞0
相离
相切
相交
直线与双曲线有哪些位置关系，该如何判断？
二、直线与双曲线的位置关系
2. 弦长公式
| AB |
1 k 2 x1 x2
1
1 k2
y1 y2
3. 中点弦问题点差法（设而不求）
六、作业布置 1.金版P46A组8（按解答题要求写过程） 2.课本P62B组4
12
二、直线与双曲线的位置关系
探究2：如果直线y kx 1 与双曲线 x2 y2 4 满足 以下条件，请分别求出 k的取值范围。
①没有公共点
k ,
5 2
5 2
,
②有两个公共点
k
5, 2
5 2
且k
1
的周长.（ F1 为双曲线的左焦点）
求直线与双曲线相交弦长的方法：
1.求出交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长
2. 利用弦长公式| AB |
1 k 2 x1 x2
1
1 k2
y1 y2
和根与系数关系求弦长
四、中点弦问题
例3.设 A，B 为双曲线 x2－y22＝1 上的两点，AB 中点为
把直线方程代入双曲线方程
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐近线平行
相交（一个交点）
一、复习引入
直线与椭圆的位置关系
位置关系 几何直观
相离
没有公共点
相切
只有一个公共点
相交
有两个公共点
代数方法
方程组（*）无解 △＜0 方程组（*）有一解 △＝0 方程组（*）有两解 △＞0
相离
相切
相交
直线与双曲线有哪些位置关系，该如何判断？
二、直线与双曲线的位置关系
2. 弦长公式
| AB |
1 k 2 x1 x2
1
1 k2
y1 y2
3. 中点弦问题点差法（设而不求）
六、作业布置 1.金版P46A组8（按解答题要求写过程） 2.课本P62B组4
12
二、直线与双曲线的位置关系
探究2：如果直线y kx 1 与双曲线 x2 y2 4 满足 以下条件，请分别求出 k的取值范围。
①没有公共点
k ,
5 2
5 2
,
②有两个公共点
k
5, 2
5 2
且k
1
的周长.（ F1 为双曲线的左焦点）
求直线与双曲线相交弦长的方法：
1.求出交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长
2. 利用弦长公式| AB |
1 k 2 x1 x2
1
1 k2
y1 y2
和根与系数关系求弦长
四、中点弦问题
例3.设 A，B 为双曲线 x2－y22＝1 上的两点，AB 中点为
把直线方程代入双曲线方程
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐近线平行
相交（一个交点）
高二数学直线和双曲线的位置关系
b x y l : y x m ,c : 2 2 1 a a b
根本就没有判别式 !
2
2
唉 ! 白担心一场 !
当直线与双曲线的渐进线平行时 , 把直线方 程代入双曲线方程 , 得到的是一次方程 , 根 本得不到一元二次方程 , 当然也就没有所谓 的判别式了 。 结论：判别式依然可以判断直线与双曲线的 位置关系 ！
直线与双曲线
一:直线与双曲线位置关系种类
Y
O
X
种类:相离;相切;相交(两个交点,一个交点)
位置关系与交点个数
Y
相交:两个交点
O X
相切:一个交点 相离: 0个交点
Y
相交:一个交点
O
X
总结
方程组解的个数
交点个数 一个交点 0 个交点 相离 相 切 相 交
有没有问题 ? 两个交点 相交
>0 <0
2 2a (a 1) a 1 0 2 2 3 a 3 a
2
a 1 a 1
解得
且满足a的范围
；九目妖 ；
国尪,绝美の面颊红扑扑の.战申榜排位赛决赛阶段,还在继续之中.只是,有鞠言战申和卢冰战申呐场对战在前,其他战申の对战,就很难引起大家太多の关注了.哪怕是其他混元无上级存在の搏杀,似乎也失色了很多.押注大厅,顶层！林岳大臣,匆匆の来到鲍一公爵面前.“公爵大人！”林岳 大臣对鲍一公爵拱了拱手.“嗯,有哪个事?”鲍一公爵坐在椅子上,抬眉问道.“鞠言战申与卢冰战申の对战,已经结束,有结果了.”林岳大臣微微低头说道.林岳大臣の声音发颤,他很激动兴奋.“卢冰战申获胜了?”鲍一公爵也全部没去想鞠言战申有获胜の可能,很自然の就认为是卢冰战申 获胜了：“鞠言战申,还活着吧?”“公爵大人,是鞠言战申胜了.卢冰战申,被当场斩杀.从大斗场传来の消息说,鞠言战申是炼体与道法双善王.”林岳大臣颤音说道.“哪个?”鲍一公爵陡然站起身,整个人气势不经意の爆了一下,眼睛瞪圆.“怎么可能！”鲍一公爵の第一反应,就是觉得不现 实.“公爵大人,鞠言战申真是太强大了.呐一次鞠言战申の盘口压保,俺们押注大厅能从中赚取大量白耀翠玉.就算去掉分给波塔尪国の部分,也有可观の收获.啧啧,波塔尪国真是走了大运！”林岳大臣赞叹の模样道.波塔尪国,确实是走大运了.波塔尪国接连在鞠言盘口压保,鞠言战申接连获 胜,让波塔尪国从中赢取了泊量の白耀翠玉,同事还得到鞠言战申盘口惊人の押注积分.通过呐一届排位赛,波塔尪国便能得到下一届战申榜排位赛大量の盘口名额.甚至,可能会有超过拾个押注盘口名额,无疑是大丰收.“俺们の王尪大人,果然是真知灼见,竟能预料到鞠言战申会在此战获 胜.”鲍一公爵崇拜の语气缓缓说道,他以为仲零王尪先前就判断鞠言战申会击败卢冰战申,所以才会放开卢冰战申の盘口压保限额.(本章完)第三零三二章过意不去（补思）鲍一公爵以为仲零王尪是未卜先知,而实际上仲零王尪也根本就没想到鞠言战申能击败卢冰战申.放开盘口压保限额呐 个决定,是基于鞠言愿意为法辰王国效历万年の事间.大斗场上,决赛第一轮持续进行之中.波塔尪国の贺荣国尪等人,笑得合不拢嘴.呐一群人,都没有刻意压制自身内心中琛琛の喜悦.由于,先前廉心国尪等人让他们有些憋闷,轮到他们反击了.“陛下,呐下子俺们波塔尪国真真の发了.”申肜 公爵眉笑颜开道.“决赛阶段第一轮,鞠言战申和卢冰の盘口,压保额七拾多亿白耀翠玉！呐一下子,俺们波塔尪国就能获得七拾多亿押注积分.”另一名公爵也笑着说道.“哈哈,卢冰战申应该早点认输才是.早点认输,至少能活下来.蓝泊国尪,俺说得对不对?”贺荣国尪看向蓝泊国尪道.蓝泊 国尪看了贺荣国尪一眼,心中将贺荣国尪祖宗拾八代都骂了一遍.“呵呵,鞠言战申已经进入战申榜,他取代了卢冰战申の位置,暂事是第拾陆名.”仲零王尪笑着说道.鞠言击败了卢冰战申,在战申榜上自动取代卢冰战申の排名,而卢冰战申如果活着,那他の名次就是第拾七名.“不知道,鞠言战 申下一轮会挑战哪一位战申.”万江王尪眯着眼说道.“可能是……玄秦尪国の肖常崆战申?俺看鞠言战申呐性子,也不是好相与の呢.”秋阳王尪看向廉心国尪随意の语气道.玄秦尪国与鞠言也有矛盾,而玄秦尪国の肖常崆战申,在战申榜上排名第拾,按照规则鞠言战申是能够在下一轮决赛中 挑战肖常崆战申の.廉心国尪の脸色变了变.若是在鞠言战申杀死卢冰战申之前,廉心国尪自是巴不得鞠言挑战肖常崆战申.可现在,她の想法变了.委实是,鞠言の表现太过离奇.肖常崆战申の排名,虽然比卢冰战申高出几位,但二者在实历上,差距其实并不很大.肖常崆战申即便稍稍强出那么一 点点,可两人交手の话,肖常崆战申也不是一定能击败卢冰战申.一旦鞠言战申挑战肖常崆战申,那结果怕也难说.难道,要肖常崆战申主动认输?此事の鞠言战申,回到了纪沄国尪の身边.“鞠言战申,你已经登上战申榜了.拾陆名！”纪沄国尪兴奋の语气对鞠言说道.“俺们龙岩国,也出名了.” 纪沄国尪高兴得像个孩子,若不是由于呐里有太多人,她可能会在鞠言面前跳起来.“出名了,但俺们龙岩国还是太弱.陛下,俺们得尽快让尪国强大起来.就算不能成为顶级尪国,起码也得成为著名尪国.”鞠言笑着说道.“呐……太难了啊！著名尪国,一共只有二百个.俺们龙岩国,太弱小了.” 纪沄国尪摇头,那些著名尪国,基本上也都是很枯老の国度,每一个国家,都有大量善王级强者.龙岩国の善王,数量太少了.“只要资源足够,也并不是不能快速壮大扩罔.”鞠言笑道.“招揽善王级强者,需要の资源可就太多了.而且,就算有资源,善王也未必愿意加入呢.”纪沄国尪想一想其中 の难度,都觉得无历.“以前难,但以后会容易很多.之前是龙岩国没有名气,以后就不一样了.信任,会有不少善王,会主动の要加入龙岩国の.而且,俺们龙岩国可是有一头混鲲兽,呐吸引历对寻常善王可不小.”鞠言看着纪沄国尪道.混鲲兽！那是混元无上级强者都很在乎の叠要资源.虽是说, 混元无上级强者能够杀死混鲲兽,但并不是说混元无上级善王去了永恒之河就能猎杀到混鲲兽.想杀死混鲲兽,那需要多个条件都同事满足才行.首先,混鲲兽若是在永恒之河内不出来,那你就算一群混元无上级强者也无计可施.在永
人教版(2019)数学选择性必修一 3_2_2双曲线方程及性质的应用课件
2 3
,
3
(1)当k∈(－
－1)∪(－1,1)∪(1,
2 3
)时，直线与双曲线有两个公共点；
3
2 3
时，直线与双曲线有且只有一个公共点；
3
(2)当k＝±1或k＝±
2 3
2 3
)∪( ,+∞)时，直线与双曲线没有公共点．
3
3
(3)当k∈(－∞,－
直线与双曲线交点个数问题的处理方法
方
法
总
结
把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为一元
③
4－3k2 <0 , 即k<－ 2 3或k> 2 3时，直线与双曲线无公共点．
3
3
1－k2≠0
[例1]
已知直线l：y＝k(x－1)，双曲线x2－y2＝4，试讨论实数k的
取值范围，使得
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
综上所述，
二次方程，在二次项系数不为零的情况下考查方程的判别式．
(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的交点；
(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点；
(3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．
另外，当直线平行于双曲线的渐近线时，直线与双曲线只
有一个公共点，故直线与双曲线只有一个公共点是直线与双曲
线相切的必要而不充分条件．
跟踪训练
2
1．若双曲线 2
−
2
2
＝1(a>0，b>0)与直线y＝ 3 x无交点，
则离心率e的取值范围为( B )
A．(1,2)
B．(1,2]
,
3
(1)当k∈(－
－1)∪(－1,1)∪(1,
2 3
)时，直线与双曲线有两个公共点；
3
2 3
时，直线与双曲线有且只有一个公共点；
3
(2)当k＝±1或k＝±
2 3
2 3
)∪( ,+∞)时，直线与双曲线没有公共点．
3
3
(3)当k∈(－∞,－
直线与双曲线交点个数问题的处理方法
方
法
总
结
把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为一元
③
4－3k2 <0 , 即k<－ 2 3或k> 2 3时，直线与双曲线无公共点．
3
3
1－k2≠0
[例1]
已知直线l：y＝k(x－1)，双曲线x2－y2＝4，试讨论实数k的
取值范围，使得
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
综上所述，
二次方程，在二次项系数不为零的情况下考查方程的判别式．
(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的交点；
(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点；
(3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．
另外，当直线平行于双曲线的渐近线时，直线与双曲线只
有一个公共点，故直线与双曲线只有一个公共点是直线与双曲
线相切的必要而不充分条件．
跟踪训练
2
1．若双曲线 2
−
2
2
＝1(a>0，b>0)与直线y＝ 3 x无交点，
则离心率e的取值范围为( B )
A．(1,2)
B．(1,2]
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（1）联立方程组 （2）消去一个未知数
（3） ∆<0
2020/11/19
∆=0
相交 ∆>0
直线与双曲线位置关系种类
Y
O
X
种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点， 一个交点或两个交点)
2020/11/19
位置关系与交点个数
Y
相交:两个交点
相切:一个交点
O
X 相离:0个交点
Y
相交:一个交点
思考：如何通过研究方程判断
x
2
y2
4
得
1-k2 x22kx50
方程只有一解
2020/11/19
当 1k2 0即 k 1时，方程只有一解
当 1k2 0时，应满足 4k22(01k2)0 解得 k 5
2
故 k的值为 1， 5
2
拓展延伸
引申1：如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点，求k的取值范围
解：由
y=kx-1 得(1-k2)x2+2kx-5=0(*) 即方程无解
x2 y2 1 只有 一个 9 16 Y
交点的直线 共有___4____条.
（1，1）
变题:将点P(1,1)改为 1.A(3,4)
。
O
X
2.B(3,0)
3.C(4,0)
4.D(0,0).答案又是怎样的?
2020/11/19
1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.
2.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半 支上任意一点(异于顶点),则直线PF的斜率的
1、有两个或没有公共点时，根据双曲线 联立后的一元二次方程的判别式或根 的分布来判断。
有一个公共点时，考虑一元二次方程的二 次项系数为零和判别式等于零两种情况。
2、利用数形结合，求出渐进线和切线斜率， 利用图形观察直线变化时与曲线交点的 情况确定k的取值范围。
2020/11/19
1.过点P(1,1)与双曲线
情感目标：
感悟数形结合的变化美、和谐美、对称美；
2020/11/19
学习重难点
学习重点
理解并掌握直线与双曲线的三种位置关系两种求 法。
学习难点
数形结合方法中，直线与双曲线位置关系中的相 切有一个交点，相交有一个交点的问题讨论。
2020/11/19
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
相切
判断方法
x2
-y2 2
=1
2x2 -4x+3=00
y-1=2(x-1)
方程组无解，故满足条件的L不存在。
2020/11/19
解题回顾:
求以定点为中点的弦所在的直线方程 的解题思路 (1)通过联立方程组,消去一个变量转 化成一元二次方程结合根与系数关系 求斜率. (2)利用点差法求斜率,但要注意检验,
2020/11/19
练2.已知双曲线方程为3x2-y2=3,求： (1)以2为斜率的弦的中点轨迹； (2)过定点B(2,1)的弦的中点轨迹；
2020/11/19
解题回顾:
求直线与双曲线弦长方法: （1） 利和用根公与式系|A 数B关|系1 求k弦2x长1x21k12 y1y2
（2）若直线过焦点则可考虑利用第二定义,将弦长转 化为弦的端点到相应准线距离的和与离心率的 乘积,在应用时要注意区分两种情形:
分析：只需证明线段AB、CD的中点重合即可。
证明: (1)若L有斜率，设L的方程为:y=kx+b
y=kx+b
y2 x2
(5k23)x210bkx5b2150
L 3 y与 = k C x5 + 相 b 交 1于 A ,B 两 点 , 5 k 2 3 0 , x A x B 3 1 0 k 5 k b 2
①相交两点:
△＞0
同侧：x 1 x 2 ＞0
异侧: x 1 x 2 ＜0 一点: 直线与渐进线平行
②相切一点: ③相 离:
2020/11/19
△=0 △＜0
2020/11/19
例题解析
例1：如果直线 y kx1与双曲线 x2 y2 4
仅有一个公共点，求 k 的取值范围．
解：
由
y kx 1
2020/11/19
郭金梅
学习目标
知识与技能目标
①利用直线与方程组的解的情况，确定直线与双曲线的位置关 系。 ②借助计算机辅助，通过直线系的不同变化形态，使学生直观 理解并掌握直线与双曲线的三种位置关系。
能力目标：
①感悟几何问题代数化解法。 ②培养学生观察与归纳的能力、运用数形结合思想方法分析问 题与解决问题的能力；
2020/11/19
综合应用
x2 例5、设双曲线C：a2
y2
1(a
0)
与直线
l : xy 1
相交于两个不同的点A、B。
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围。 （2）设直线l与y轴的交点为P，且PA 5 PB, 求a的值。
12
(1)e 6且e 2 2
(2)a 17 13
2020/11/19
双曲线第一、二定义的应用
交于P1
，P 2
两点，且点A是线段 P 1 P 2 的中点？
这样的直线 l 如果存在，求出它的方程及
弦长|P
1
P
|，如果不存在，请说明理由。
2
2020/11/19
解 :假 设 存 在 P ( x 1 , y 1 ) , Q ( x 2 , y 2 ) 为 直 线 L 上 的 两 点 , 且 P Q 的 中 点 为 A , 则 有 :
直线与双曲线的位置关系
O
X
2020/11/19
举例说明：
y = kx+ m
x2 a2
- y2 b2
消去y，得: =1
(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0
1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行
或重合。
重合：无交点；平行：有一个交点。 2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,
x2-y2=4
1-k2≠0பைடு நூலகம்
∴
△=4k2+20(1-k2)<0
k,
25
25,
引申2：如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有两个公共点，求k的取值范围
解：直线与双曲线有两个公共点
1-k2≠0 △=4k2+20(1-k2)>0
方程(*)有两个不等的根
k
5, 2
25且k 1
2020/11/19
引申3：
1-k2≠0 x1+x2=
-
2 2 <0
引申5：
- x1x2= 2 >0
- <k<-1
如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4左、右支各1个公共点，求k的取值范围
解：等价于
2020/11/19
4k2+20(1-k2)>0
1-k2≠0
- x1x2=
2 <0
-1<k<1
解题回顾：
根据直线与已知双曲线公共点的个数，求 直线斜率k的取值范围问题的方法：
k>1或k<-1
若去掉x>0,答案时？ k 1
2、直线 l: y3x10与双曲线 x 2 y 2 1 相交于
94
A、B，线段|AB|的中点为M，则直线OM的
斜率是（ 4 ） 27
2020/11/19
直线与双曲线相交中的垂直与对称问题
例3.已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1相交于A、B两点. (1)当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点； (2)是否存在这样的实数a,使A、B关于y=2x对称， 若存在，求a;若不存在，说明理由.
如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4右支有两个公共点，求k的取值范围
4k2+20(1-k2)>0
解：等价于
1-k2≠0 x1+x2=
-
2 2 >0
引申4：
- x1x2=
2 >0
1<k<
如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4左支有两个公共点，求k的取值范围
4k2+20(1-k2)>0
解：等价于
① 如果两点在同一支上,那么|AB||AF1||BF1|(见图一)
② 如果两交点分别在两支上,那么|AB |||A1F ||B1F|(|见图二)
y
y
A
F1
x
B
2020/11/19
图1
F1
x
A
B
图2
巩固练习：
1、过点 l:yk(x 2)与双曲线 x2y21(x0)
相交于A、B两点，则 l 的斜率的范围是（ ）
2020/11/19
3、由双曲线 x 2 y 2 1 上的一点P与左、右
94
两焦点
F1、
F
构成
2
P
F1
F2
，求
P
F1
F2
的内切圆与
边 F 1 F 2 的切点坐标。
说明：双曲线上一点P与双曲线的两个焦点 F1、 F2 构成 的三角形称之为焦点三角形，其中 | PF1 |、| PF2 |和 | F 1 F 2 |
1.已知P为双曲线 x2 16
y2 9
1右支上的一点,F1, F2
分别为左、右焦点，若PF1 : PF2 3 : 2，试求点
P( x0 , y0 )的坐标。
2.已知双曲线x2
y2 3
1左、右焦点分别为F1, F2，
双曲线左支上的一点P到左准线的距离为d，且
d,PF1, PF2成等比数列，试求点P( x0 , y0 )的坐标.
（3） ∆<0
2020/11/19
∆=0
相交 ∆>0
直线与双曲线位置关系种类
Y
O
X
种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点， 一个交点或两个交点)
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位置关系与交点个数
Y
相交:两个交点
相切:一个交点
O
X 相离:0个交点
Y
相交:一个交点
思考：如何通过研究方程判断
x
2
y2
4
得
1-k2 x22kx50
方程只有一解
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当 1k2 0即 k 1时，方程只有一解
当 1k2 0时，应满足 4k22(01k2)0 解得 k 5
2
故 k的值为 1， 5
2
拓展延伸
引申1：如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点，求k的取值范围
解：由
y=kx-1 得(1-k2)x2+2kx-5=0(*) 即方程无解
x2 y2 1 只有 一个 9 16 Y
交点的直线 共有___4____条.
（1，1）
变题:将点P(1,1)改为 1.A(3,4)
。
O
X
2.B(3,0)
3.C(4,0)
4.D(0,0).答案又是怎样的?
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1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.
2.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半 支上任意一点(异于顶点),则直线PF的斜率的
1、有两个或没有公共点时，根据双曲线 联立后的一元二次方程的判别式或根 的分布来判断。
有一个公共点时，考虑一元二次方程的二 次项系数为零和判别式等于零两种情况。
2、利用数形结合，求出渐进线和切线斜率， 利用图形观察直线变化时与曲线交点的 情况确定k的取值范围。
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1.过点P(1,1)与双曲线
情感目标：
感悟数形结合的变化美、和谐美、对称美；
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学习重难点
学习重点
理解并掌握直线与双曲线的三种位置关系两种求 法。
学习难点
数形结合方法中，直线与双曲线位置关系中的相 切有一个交点，相交有一个交点的问题讨论。
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复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
相切
判断方法
x2
-y2 2
=1
2x2 -4x+3=00
y-1=2(x-1)
方程组无解，故满足条件的L不存在。
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解题回顾:
求以定点为中点的弦所在的直线方程 的解题思路 (1)通过联立方程组,消去一个变量转 化成一元二次方程结合根与系数关系 求斜率. (2)利用点差法求斜率,但要注意检验,
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练2.已知双曲线方程为3x2-y2=3,求： (1)以2为斜率的弦的中点轨迹； (2)过定点B(2,1)的弦的中点轨迹；
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解题回顾:
求直线与双曲线弦长方法: （1） 利和用根公与式系|A 数B关|系1 求k弦2x长1x21k12 y1y2
（2）若直线过焦点则可考虑利用第二定义,将弦长转 化为弦的端点到相应准线距离的和与离心率的 乘积,在应用时要注意区分两种情形:
分析：只需证明线段AB、CD的中点重合即可。
证明: (1)若L有斜率，设L的方程为:y=kx+b
y=kx+b
y2 x2
(5k23)x210bkx5b2150
L 3 y与 = k C x5 + 相 b 交 1于 A ,B 两 点 , 5 k 2 3 0 , x A x B 3 1 0 k 5 k b 2
①相交两点:
△＞0
同侧：x 1 x 2 ＞0
异侧: x 1 x 2 ＜0 一点: 直线与渐进线平行
②相切一点: ③相 离:
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△=0 △＜0
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例题解析
例1：如果直线 y kx1与双曲线 x2 y2 4
仅有一个公共点，求 k 的取值范围．
解：
由
y kx 1
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郭金梅
学习目标
知识与技能目标
①利用直线与方程组的解的情况，确定直线与双曲线的位置关 系。 ②借助计算机辅助，通过直线系的不同变化形态，使学生直观 理解并掌握直线与双曲线的三种位置关系。
能力目标：
①感悟几何问题代数化解法。 ②培养学生观察与归纳的能力、运用数形结合思想方法分析问 题与解决问题的能力；
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综合应用
x2 例5、设双曲线C：a2
y2
1(a
0)
与直线
l : xy 1
相交于两个不同的点A、B。
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围。 （2）设直线l与y轴的交点为P，且PA 5 PB, 求a的值。
12
(1)e 6且e 2 2
(2)a 17 13
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双曲线第一、二定义的应用
交于P1
，P 2
两点，且点A是线段 P 1 P 2 的中点？
这样的直线 l 如果存在，求出它的方程及
弦长|P
1
P
|，如果不存在，请说明理由。
2
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解 :假 设 存 在 P ( x 1 , y 1 ) , Q ( x 2 , y 2 ) 为 直 线 L 上 的 两 点 , 且 P Q 的 中 点 为 A , 则 有 :
直线与双曲线的位置关系
O
X
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举例说明：
y = kx+ m
x2 a2
- y2 b2
消去y，得: =1
(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0
1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行
或重合。
重合：无交点；平行：有一个交点。 2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,
x2-y2=4
1-k2≠0பைடு நூலகம்
∴
△=4k2+20(1-k2)<0
k,
25
25,
引申2：如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有两个公共点，求k的取值范围
解：直线与双曲线有两个公共点
1-k2≠0 △=4k2+20(1-k2)>0
方程(*)有两个不等的根
k
5, 2
25且k 1
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引申3：
1-k2≠0 x1+x2=
-
2 2 <0
引申5：
- x1x2= 2 >0
- <k<-1
如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4左、右支各1个公共点，求k的取值范围
解：等价于
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4k2+20(1-k2)>0
1-k2≠0
- x1x2=
2 <0
-1<k<1
解题回顾：
根据直线与已知双曲线公共点的个数，求 直线斜率k的取值范围问题的方法：
k>1或k<-1
若去掉x>0,答案时？ k 1
2、直线 l: y3x10与双曲线 x 2 y 2 1 相交于
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A、B，线段|AB|的中点为M，则直线OM的
斜率是（ 4 ） 27
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直线与双曲线相交中的垂直与对称问题
例3.已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1相交于A、B两点. (1)当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点； (2)是否存在这样的实数a,使A、B关于y=2x对称， 若存在，求a;若不存在，说明理由.
如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4右支有两个公共点，求k的取值范围
4k2+20(1-k2)>0
解：等价于
1-k2≠0 x1+x2=
-
2 2 >0
引申4：
- x1x2=
2 >0
1<k<
如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4左支有两个公共点，求k的取值范围
4k2+20(1-k2)>0
解：等价于
① 如果两点在同一支上,那么|AB||AF1||BF1|(见图一)
② 如果两交点分别在两支上,那么|AB |||A1F ||B1F|(|见图二)
y
y
A
F1
x
B
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图1
F1
x
A
B
图2
巩固练习：
1、过点 l:yk(x 2)与双曲线 x2y21(x0)
相交于A、B两点，则 l 的斜率的范围是（ ）
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3、由双曲线 x 2 y 2 1 上的一点P与左、右
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两焦点
F1、
F
构成
2
P
F1
F2
，求
P
F1
F2
的内切圆与
边 F 1 F 2 的切点坐标。
说明：双曲线上一点P与双曲线的两个焦点 F1、 F2 构成 的三角形称之为焦点三角形，其中 | PF1 |、| PF2 |和 | F 1 F 2 |
1.已知P为双曲线 x2 16
y2 9
1右支上的一点,F1, F2
分别为左、右焦点，若PF1 : PF2 3 : 2，试求点
P( x0 , y0 )的坐标。
2.已知双曲线x2
y2 3
1左、右焦点分别为F1, F2，
双曲线左支上的一点P到左准线的距离为d，且
d,PF1, PF2成等比数列，试求点P( x0 , y0 )的坐标.