阴影部分面积专题练习40题
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2012 年 MBA、MPA、MPAcc 联考
数学阴影部分面积专题 精选 40 题
主编 周远飞
版权所有 翻版必究
周远飞
http://blog.sina.com.cn/zyfmba
平面几何阴影部分面积专题练习
1.下图是由正方形和半圆组成的图形，已知正方形边长为 10 其中 P 点为半圆圆周的中点，Q 点为正方形一边的中点，求阴影部分的面积。
24．已知凸四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且△ABC，△ACD，△ABD 的面积分别 为 S1=5，S2=10，S3=6．求△ABO 的面积．
25．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，且 AB 13 ， BC 5 ．求图中阴影部
分的面积．
C
D
A
O
B
26．如下图，Rt△ABC 中，AC=8，BC=6，∠C=90°，分别以 AB、BC、AC 为直径作三个半圆，
是_________ （ =3.14159„„，最后结果保留三个有效数字）。
4. 如下图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为 4 和 2，那么阴影部分的面积为 ________________。
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5. 如下图，ABCD 是边长为 8 的一个正方形，
【题 2】由于每个扇形圆心角的具体角度未知，故无法直接进行计算。因为五边形 ABCDE
的内角和=540°=360°+180°，从而可知所求阴影部分的面积可以重新组合成一个圆和一个 半圆的面积，即 1.5 个圆的面积：
【题 3】在
，选（B）。 中，
所以
又易证
，
故所求阴影面积为整个图形的总面积减去空白图形的面积，即
、 、 都是半径为 4 的圆弧，
且 、 分别与 AB、AD、BC、DC 相切，则阴影部分的面积=____________。
6. 如下图，AD 是圆 O 的直径，A、B、C、D、E、F 顺次六等分圆 O，已知圆 O 的半径为 1，P 为直径 AD 上任意一点，则图中阴影部分的面积为____________。
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9. 下图中正比例函数和反比例函数的图象相交于 A、B 两点，分别以 A、B 两点为圆心，画 与 y 轴相切的两个圆。若点 A 的坐标为（1，2），则下图中两个阴影面积的和是 ____________。
10. 如下图，正方形的边长为 a，以各边为直径在正方形内画半圆，所以围成的图形（阴影 部分）的面积为______________。
Q
C
O1
D
36．如图，⊙A、⊙B、⊙C 两两不相交，且半径都是 0.5cm，求图中三个扇形面积之和（即 阴影部分面积）。
A
B
C
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37. 下图中每一小方格的面积都是 1 平方厘米,那么用粗线围成的图形面积是______平方厘 米.
11. 四个半径均为 r 的圆如下图放置，相邻两圆交点之间的距离也等于 r，不相邻两圆圆周 上两点间的最短距离等于 2，则 r 等于___________；下图中阴影部分的面积等于 _________。（精确到 0.01）
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因为 P 是半圆弧的中点 所以 OP//AD//BC， 而 AD＝BC＝CD＝10（厘米），OD＝OC＝OP＝5（厘米）， 所以 S△ADP＝S△ADO＝10*5/2＝25（平方厘米） S△PCQ＝S△OCQ＝5*5/2＝25/2（平方厘米） 而 S 弓形 PD＋S 弓形 PC ＝S 半圆－S△PCD ＝25π/2－10*5/2 ＝25π/2－25（平方厘米） 所以阴影部分面积 ＝S△ADP＋S△PCQ＋S 弓形 PD＋S 弓形 PC ＝25＋25/2＋25π/2－25 ＝25π/2＋25/2（平方厘米）
。
【题 9】由于两圆与双曲线均为以点 O 为对称中心的中心对称图形，故圆 B 内的阴影部分
与圆 A 内的空白部分全等，于是
；又易知 圆 A 的半径为 1，所以
。
【题 10】下图中阴影部分面积可以看作是 4 个半圆的面积之和与正方形面积之差（重叠部
分）。所以
【题 11】各点字母及辅助线如上图所示。由 O1B=O1C=BC=r，知ΔO1BC 为等边三角形，结合
38. 下图的两个正方形,边长分别为 8 厘米和 4 厘米,那么阴影部分的面积是______平方厘 米.
39. 如下图,正方形 ABCD 的边长为 12, P 是边 AB 上的任意一点, M 、 N 、I 、H 分别 是边 BC 、 AD 上的三等分点, E 、 F 、 G 是边 CD 上的四等分点,图中阴影部分的面
对称性有∠O4O1A=∠BO1O2=30°；BC 与 O1O2 互相垂直平分。从而有
∠AO1B=30°，
，
。
又显然
为等腰直角三角形，且
， （圆 与圆 上两点间的最短距离为 2），
由勾股定理，得
C
F
A
B OE
D
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33．如图，扇形 AOB 的圆心角为直角，正方形 OCDE 内接于扇形，点 C、E、D 分别在 OA、OB、
AB 上，过点 A 作 AF⊥ED 交 ED 的延长线于 F，垂足为 F．如果正方形的边长为 1，那么
2.如下图，圆 A、圆 B、圆 C、圆 D、圆 E 相互外离，它们的半径都是 1，顺次连结五个圆心 得到五边形 ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是_______________
（A） （B） 1.5 （C） 2
（D） 2.5 （E）以上答案均不正确
3. 如下图，ΔABC 中，∠C 是直角，AB=12cm，∠ABC=60°，将ΔABC 以点 B 为中心顺时针 旋转，使点 C 旋转到 AB 边延长线上的点 D 处，则 AC 边扫过的图形（阴影部分）的面积
17．有两个等腰直角三角形，它们的直角边分别为 7 厘米、10 厘米，CF 为 1 厘米，求重合 部分的面积（如图 15 所示，单位：厘米）。
18．如图所示个扇形，求阴影部分的面积（单位：厘米， 取 3．14）。
19．在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两腰等分成三段，求图中阴影 部分的面积占整个图形面积的几分之几。
12．如图所示，长方形 ABCD 中，AB=6 厘米，BC=15 厘米，E、F 为所在边中点，求阴影部分 面积。
13．如图中矩形的长宽分别为 6 厘米、4 厘米，阴影部分的总面积为 10 平方厘米，求四边 形 ABCD 的面积。
14．如图所示，在图中三角形 ABE、ADF 和四边形 AECF 的面积相等，求三角形 AEF 的面积。
28．如图两同心圆，大圆半径为３，小圆半径为１，则阴影部分面积为
29．如图，半径为 2 的两个等圆⊙ O1 ，⊙ O2 外切于点 A，O2 C 切⊙ O1 于点 C，弦 BC∥ O1 O2 ，连结 AB、AC，求图中阴影部分的面积？
A
O1
O2
B
C
30．如图所示，正方形 ABCD 的边长为 a，以 A 为圆心作圆弧 BD，以 AB 为直径作圆弧 AB，M 是 AD 上一点，以 DM 为直径，作圆弧 DM 与圆弧 AB 相外切，求图中阴影部分面积？
阴影部分的面积为
。
34．如图，半圆 A 和半圆 B 均与 y 轴相切于点 O，其直径 CD、EF 均和 x 轴垂直，以 O 为顶 点的两条抛物线分别经过 C、E 和 D•、•F，•则图中阴影部分的面积是_________．
35．如图，大半圆 O 与小半圆 O1 相切于点 C ，大半圆的弦 AB 与小半圆相切于点 Q，且 AB ∥CD，AB＝4cm，求阴影部分的面积？
积是______.
40. 下图中的长方形的长和宽分别是 6 厘米和 4 厘米,阴影部分的总面积是 10 平方厘米,四
边形 ABCD 的面积是______平方厘米.
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平面几何阴影部分面积详解
【题 1】连接 AO、QO、PO、PC、PD
那么阴影部分的面积为
（平方单位）
27．如图，以 BC 为直径，在半径为 2 圆心角为 90°的扇形内作半圆，交弦 AB 于点 D，连接
CD，则阴影部分的面积是（ ）
（A） 1
（B） 2
（C） 1 1 2
（E）以上答案均不正确
（D） 1 2 2
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7. 如下图，将边长为 2cm 的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个不动，另一个绕点 B
顺时针旋转一个角度，若使重叠部分的面积为 4 3 cm ，则这个旋转角度为_________ 3
度。
8. 如下图，半圆 A 和半圆 B 均与 y 轴切于点 O，其直径 CD、EF 均与 x 轴垂直，以 O 为顶点 的两条抛物线分别经过点 C、E 和点 D、F，则图中阴影部分的面积是__________。
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【题 4】将上图中的下部分阴影图形向上平移，得到下图，
则所求阴影面积为矩形面积减去两个正方形的面积。
又易知
，
所以
。
【题 5】将点 E、F、G、H 中每两点分别连结，如下图，则大正方形被分割成四个小正方形，
易知原题中的四段弧都是以 4 为半径的等弧，以 EF、FG、GH、HE 为弦的四个弓形全等。故 阴影部分的面积等于正方形 EFGH 的面积，
15．图中，D 是 AC 的中点，BC 边上有三等份点，已知阴影部分面积为 20 平方厘米，求三角 形 ABC 的面积。
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16．如图所示，ABCD 是一个长方形，AB=10 厘米，AD=4 厘米，E、F 分别是 BC、AD 的中点， G 是线段 CD 上的任一点，则阴影部分的面积是多少平方厘米？
即
。
【题 6】连结 OE、OF、EF，则ΔOEF 为等边三角形，∠FEO=∠EOF=∠EOD=60°，
EF∥DA，所以
可被等积移位成
，即
=
。 （同底等高）
因此，直径 AD 左侧的阴影面积=
，再由对称性知：
。
【题 7】设 CD 与 A”D”相交于点 E，如上图，则 BE 为整个图形的对称轴，
于是
，
∠A”BE=∠CBE。
所以： 在 RtΔCBE 中，
，故
。
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所以
因此，旋转角=∠ABA”=90°－2∠CBE=30°。
【题 8】上图中的半圆和抛物线均以 y 轴为对称轴，故可用对称性将 y 轴右侧的两个阴影
“叶片”翻折到 y 轴的左侧，同原来 y 轴左侧的曲边三角形阴影组合成一个半圆。所以
22．如图所示，已知正方形 ABFG 的边长为 10 厘米，正方形 BCDE 的面积为 36 平方厘米。以
E 为圆心，ED 为半径在正方形 BCDE 内画弧并连结 AD，求阴影部分的面积（ 取 3．14）。
23．
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31．如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=4，BC=6，以 A 为圆心在梯形内画出
一个最大的扇形（图中阴影部分）的面积是
C
B
D
A
32．如图， AB 为⊙O的直径， CD AB 于点 E ，交⊙O 于点 D ， OF AC 于点 F ．当
D 30 ， BC 1时，求图中阴影部分的面积
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20．如图所示，一个正方形分成五部分，中间是一个小正方形，其余四个是相同的图形，每 一个都是一个等腰直角三角形缺了一个角。求中间小正方形的面积。
21．如图所示用甲、乙、丙、丁四个长方形拼成正方形 EFGH，中间阴影为正方形。已知甲、 乙、丙、丁四个长方形的面积和是 32 平方厘米，四边形 ABCD 的面积是 20 平方厘米， 求甲、乙、丙、丁四个长方形周长的和。
数学阴影部分面积专题 精选 40 题
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平面几何阴影部分面积专题练习
1.下图是由正方形和半圆组成的图形，已知正方形边长为 10 其中 P 点为半圆圆周的中点，Q 点为正方形一边的中点，求阴影部分的面积。
24．已知凸四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且△ABC，△ACD，△ABD 的面积分别 为 S1=5，S2=10，S3=6．求△ABO 的面积．
25．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，且 AB 13 ， BC 5 ．求图中阴影部
分的面积．
C
D
A
O
B
26．如下图，Rt△ABC 中，AC=8，BC=6，∠C=90°，分别以 AB、BC、AC 为直径作三个半圆，
是_________ （ =3.14159„„，最后结果保留三个有效数字）。
4. 如下图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为 4 和 2，那么阴影部分的面积为 ________________。
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5. 如下图，ABCD 是边长为 8 的一个正方形，
【题 2】由于每个扇形圆心角的具体角度未知，故无法直接进行计算。因为五边形 ABCDE
的内角和=540°=360°+180°，从而可知所求阴影部分的面积可以重新组合成一个圆和一个 半圆的面积，即 1.5 个圆的面积：
【题 3】在
，选（B）。 中，
所以
又易证
，
故所求阴影面积为整个图形的总面积减去空白图形的面积，即
、 、 都是半径为 4 的圆弧，
且 、 分别与 AB、AD、BC、DC 相切，则阴影部分的面积=____________。
6. 如下图，AD 是圆 O 的直径，A、B、C、D、E、F 顺次六等分圆 O，已知圆 O 的半径为 1，P 为直径 AD 上任意一点，则图中阴影部分的面积为____________。
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9. 下图中正比例函数和反比例函数的图象相交于 A、B 两点，分别以 A、B 两点为圆心，画 与 y 轴相切的两个圆。若点 A 的坐标为（1，2），则下图中两个阴影面积的和是 ____________。
10. 如下图，正方形的边长为 a，以各边为直径在正方形内画半圆，所以围成的图形（阴影 部分）的面积为______________。
Q
C
O1
D
36．如图，⊙A、⊙B、⊙C 两两不相交，且半径都是 0.5cm，求图中三个扇形面积之和（即 阴影部分面积）。
A
B
C
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37. 下图中每一小方格的面积都是 1 平方厘米,那么用粗线围成的图形面积是______平方厘 米.
11. 四个半径均为 r 的圆如下图放置，相邻两圆交点之间的距离也等于 r，不相邻两圆圆周 上两点间的最短距离等于 2，则 r 等于___________；下图中阴影部分的面积等于 _________。（精确到 0.01）
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因为 P 是半圆弧的中点 所以 OP//AD//BC， 而 AD＝BC＝CD＝10（厘米），OD＝OC＝OP＝5（厘米）， 所以 S△ADP＝S△ADO＝10*5/2＝25（平方厘米） S△PCQ＝S△OCQ＝5*5/2＝25/2（平方厘米） 而 S 弓形 PD＋S 弓形 PC ＝S 半圆－S△PCD ＝25π/2－10*5/2 ＝25π/2－25（平方厘米） 所以阴影部分面积 ＝S△ADP＋S△PCQ＋S 弓形 PD＋S 弓形 PC ＝25＋25/2＋25π/2－25 ＝25π/2＋25/2（平方厘米）
。
【题 9】由于两圆与双曲线均为以点 O 为对称中心的中心对称图形，故圆 B 内的阴影部分
与圆 A 内的空白部分全等，于是
；又易知 圆 A 的半径为 1，所以
。
【题 10】下图中阴影部分面积可以看作是 4 个半圆的面积之和与正方形面积之差（重叠部
分）。所以
【题 11】各点字母及辅助线如上图所示。由 O1B=O1C=BC=r，知ΔO1BC 为等边三角形，结合
38. 下图的两个正方形,边长分别为 8 厘米和 4 厘米,那么阴影部分的面积是______平方厘 米.
39. 如下图,正方形 ABCD 的边长为 12, P 是边 AB 上的任意一点, M 、 N 、I 、H 分别 是边 BC 、 AD 上的三等分点, E 、 F 、 G 是边 CD 上的四等分点,图中阴影部分的面
对称性有∠O4O1A=∠BO1O2=30°；BC 与 O1O2 互相垂直平分。从而有
∠AO1B=30°，
，
。
又显然
为等腰直角三角形，且
， （圆 与圆 上两点间的最短距离为 2），
由勾股定理，得
C
F
A
B OE
D
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33．如图，扇形 AOB 的圆心角为直角，正方形 OCDE 内接于扇形，点 C、E、D 分别在 OA、OB、
AB 上，过点 A 作 AF⊥ED 交 ED 的延长线于 F，垂足为 F．如果正方形的边长为 1，那么
2.如下图，圆 A、圆 B、圆 C、圆 D、圆 E 相互外离，它们的半径都是 1，顺次连结五个圆心 得到五边形 ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是_______________
（A） （B） 1.5 （C） 2
（D） 2.5 （E）以上答案均不正确
3. 如下图，ΔABC 中，∠C 是直角，AB=12cm，∠ABC=60°，将ΔABC 以点 B 为中心顺时针 旋转，使点 C 旋转到 AB 边延长线上的点 D 处，则 AC 边扫过的图形（阴影部分）的面积
17．有两个等腰直角三角形，它们的直角边分别为 7 厘米、10 厘米，CF 为 1 厘米，求重合 部分的面积（如图 15 所示，单位：厘米）。
18．如图所示个扇形，求阴影部分的面积（单位：厘米， 取 3．14）。
19．在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两腰等分成三段，求图中阴影 部分的面积占整个图形面积的几分之几。
12．如图所示，长方形 ABCD 中，AB=6 厘米，BC=15 厘米，E、F 为所在边中点，求阴影部分 面积。
13．如图中矩形的长宽分别为 6 厘米、4 厘米，阴影部分的总面积为 10 平方厘米，求四边 形 ABCD 的面积。
14．如图所示，在图中三角形 ABE、ADF 和四边形 AECF 的面积相等，求三角形 AEF 的面积。
28．如图两同心圆，大圆半径为３，小圆半径为１，则阴影部分面积为
29．如图，半径为 2 的两个等圆⊙ O1 ，⊙ O2 外切于点 A，O2 C 切⊙ O1 于点 C，弦 BC∥ O1 O2 ，连结 AB、AC，求图中阴影部分的面积？
A
O1
O2
B
C
30．如图所示，正方形 ABCD 的边长为 a，以 A 为圆心作圆弧 BD，以 AB 为直径作圆弧 AB，M 是 AD 上一点，以 DM 为直径，作圆弧 DM 与圆弧 AB 相外切，求图中阴影部分面积？
阴影部分的面积为
。
34．如图，半圆 A 和半圆 B 均与 y 轴相切于点 O，其直径 CD、EF 均和 x 轴垂直，以 O 为顶 点的两条抛物线分别经过 C、E 和 D•、•F，•则图中阴影部分的面积是_________．
35．如图，大半圆 O 与小半圆 O1 相切于点 C ，大半圆的弦 AB 与小半圆相切于点 Q，且 AB ∥CD，AB＝4cm，求阴影部分的面积？
积是______.
40. 下图中的长方形的长和宽分别是 6 厘米和 4 厘米,阴影部分的总面积是 10 平方厘米,四
边形 ABCD 的面积是______平方厘米.
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平面几何阴影部分面积详解
【题 1】连接 AO、QO、PO、PC、PD
那么阴影部分的面积为
（平方单位）
27．如图，以 BC 为直径，在半径为 2 圆心角为 90°的扇形内作半圆，交弦 AB 于点 D，连接
CD，则阴影部分的面积是（ ）
（A） 1
（B） 2
（C） 1 1 2
（E）以上答案均不正确
（D） 1 2 2
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7. 如下图，将边长为 2cm 的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个不动，另一个绕点 B
顺时针旋转一个角度，若使重叠部分的面积为 4 3 cm ，则这个旋转角度为_________ 3
度。
8. 如下图，半圆 A 和半圆 B 均与 y 轴切于点 O，其直径 CD、EF 均与 x 轴垂直，以 O 为顶点 的两条抛物线分别经过点 C、E 和点 D、F，则图中阴影部分的面积是__________。
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【题 4】将上图中的下部分阴影图形向上平移，得到下图，
则所求阴影面积为矩形面积减去两个正方形的面积。
又易知
，
所以
。
【题 5】将点 E、F、G、H 中每两点分别连结，如下图，则大正方形被分割成四个小正方形，
易知原题中的四段弧都是以 4 为半径的等弧，以 EF、FG、GH、HE 为弦的四个弓形全等。故 阴影部分的面积等于正方形 EFGH 的面积，
15．图中，D 是 AC 的中点，BC 边上有三等份点，已知阴影部分面积为 20 平方厘米，求三角 形 ABC 的面积。
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16．如图所示，ABCD 是一个长方形，AB=10 厘米，AD=4 厘米，E、F 分别是 BC、AD 的中点， G 是线段 CD 上的任一点，则阴影部分的面积是多少平方厘米？
即
。
【题 6】连结 OE、OF、EF，则ΔOEF 为等边三角形，∠FEO=∠EOF=∠EOD=60°，
EF∥DA，所以
可被等积移位成
，即
=
。 （同底等高）
因此，直径 AD 左侧的阴影面积=
，再由对称性知：
。
【题 7】设 CD 与 A”D”相交于点 E，如上图，则 BE 为整个图形的对称轴，
于是
，
∠A”BE=∠CBE。
所以： 在 RtΔCBE 中，
，故
。
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所以
因此，旋转角=∠ABA”=90°－2∠CBE=30°。
【题 8】上图中的半圆和抛物线均以 y 轴为对称轴，故可用对称性将 y 轴右侧的两个阴影
“叶片”翻折到 y 轴的左侧，同原来 y 轴左侧的曲边三角形阴影组合成一个半圆。所以
22．如图所示，已知正方形 ABFG 的边长为 10 厘米，正方形 BCDE 的面积为 36 平方厘米。以
E 为圆心，ED 为半径在正方形 BCDE 内画弧并连结 AD，求阴影部分的面积（ 取 3．14）。
23．
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31．如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=4，BC=6，以 A 为圆心在梯形内画出
一个最大的扇形（图中阴影部分）的面积是
C
B
D
A
32．如图， AB 为⊙O的直径， CD AB 于点 E ，交⊙O 于点 D ， OF AC 于点 F ．当
D 30 ， BC 1时，求图中阴影部分的面积
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20．如图所示，一个正方形分成五部分，中间是一个小正方形，其余四个是相同的图形，每 一个都是一个等腰直角三角形缺了一个角。求中间小正方形的面积。
21．如图所示用甲、乙、丙、丁四个长方形拼成正方形 EFGH，中间阴影为正方形。已知甲、 乙、丙、丁四个长方形的面积和是 32 平方厘米，四边形 ABCD 的面积是 20 平方厘米， 求甲、乙、丙、丁四个长方形周长的和。