高中数学复习教案：指数与指数函数

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高三数学第一轮复习指数与指数函数教案文

指数与指数函数一、知识梳理：1、分数指数幂与无理指数幂（1）、如果，那么x就叫做a的n次方根，其中n>1,且；当n是正奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个是互为相反数，负数没有偶次方程，0的任何次方根都是0(2)、叫根式，n叫根指数，a叫被方数。

在有意义的前提下，=，当n为奇数时，=a ；当n是偶数时，=| a |（3）、规定正数的正分数指数幂的意义是= （a>0,m,n1），正数的负分数指数幂的意义为= （a>0,m,n1），0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂没有意义。

（4）、一般地，无理数指数幂（a>0,k是无理数），是一个确定的实数。

2、指数幂的运算性质= （a>0，r，s）==3、指数数函数及性质（1）指数函数的定义：（2）、指数函数的图象及性质图象的性质主要指①定义域②值域③单调性④奇偶性⑤周期性⑥特殊点⑦特殊线图象分a1 与a<1两种情况。

指数函数不具有奇偶性与周期性，从而，指数函数最为重要的性质是单调性，对单调性的考查，一方面是利用自变量的大小比较函数值的大小，反映在题目上就上比较大小，另一方面是利用函数值的大小比较自变量的大小，反映在题目上就是解不等式。

二、题型探究[探究一]、根式、指数幂的运算例1:计算：(1).40.062 5＋254－(π)0－3278；(2).a1.5·a－1.5·(a－5)0.5·(a0.5)3(a＞0)．解析：(1)原式＝0.5＋52－1－32＝12.(2)原式＝a1.5－1.5－2.5＋1.5＝a－1＝1 a .[探究二]、利用指数函数的单调性比较大小例2：已知,试用“<”或“>”填入下列空格： ; ( ; ( ; ; ( ([探究三]、利用指数函数的单调性解方程不等式问题例3：解关于x 的不等式[探究四]、考察指数函数的图象的变换例4：已知函数存在实数a, b(a<b) ,满足, 的取值范围。

高三数学一轮复习优质教案7：2.5 指数与指数函数教学设计

2.5 指数与指数函数考纲要求1．了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的函数模型．『基础梳理自测』知识梳理 1．根式 (1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果存在实数x ，使得______，那么x 叫作a 的n 次方根a ∈R ，n ＞1且n ∈N ＋当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个____，负数的n 次方根是一个____na零的n 次方根是零当n 为偶数时，正数的n 次方根有______，它们互为______ ±na负数没有偶次方根(2)两个重要公式①n a n＝⎩⎨⎧(n 为奇数)，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧，a ≥0，，a <0(n 为偶数)；②(n a )n ＝______(n ＞1且n ∈N ＋)(注意a 必须使na 有意义)． 2．实数指数幂 (1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂的意义是=m na ______(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)．②正数的负分数指数幂的意义是=m na-______＝1n a m(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)．③0的正分数指数幂是____，0的负分数指数幂无意义． (2)有理指数幂的运算性质①a r a s＝____(a＞0，r，s∈Q)；②(a r)s＝____(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝____(a＞0，b＞0，r∈Q)．(3)无理指数幂一般地，无理指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个____的实数，有理指数幂的运算法则________于无理指数幂．3．指数函数的图像和性质函数y＝a x(a＞0，且a≠1)图像0＜a＜1a＞1图像特征在x轴______，过定点当x逐渐增大时，图像逐渐下降当x逐渐增大时，图像逐渐上升性质定义域__________值域__________单调性在R上__________在R上__________函数值变化规律当x＝0时，__________当x＜0时，__________；当x＞0时，__________当x＜0时，__________；当x＞0时，__________基础自测1．化简416x8y4(x＜0，y＜0)得()．A．2x2y B．2xyC．4x2y D．－2x2y2．函数y＝(a2－3a＋3)a x是指数函数，则有()．A．a＝1或a＝2B．a＝1C．a＝2D．a＞0且a≠13．把函数y＝f(x)的图像向左、向下分别平移2个单位长度得到函数y＝2x的图像，则()．A．f(x)＝2x＋2＋2 B．f(x)＝2x＋2－2C．f(x)＝2x－2＋2 D．f(x)＝2x－2－24．设指数函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，则下列等式不正确的是( )． A ．f (x ＋y )＝f (x )·f (y ) B ．f 『(xy )n 』＝f n (x )·f n (y ) C ．f (x －y )＝f (x )f (y ) D ．f (nx )＝f n (x )5．函数()223x x f x a m ＋－＝＋(a ＞1)恒过点(1,10)，则m ＝__________.思维拓展1．分数指数幂与根式有何关系？提示：m n mna a =(a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n ＞1)，11m nm nmnaaa-==(a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n ＞1)．2．如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图像，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系如何？你能得到什么规律？提示：图中直线x ＝1与它们图像交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1＞d 1＞1＞a 1＞b 1，∴c ＞d ＞1＞a ＞b ，即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．3．函数y ＝a x ，y ＝a |x |，y ＝|a x |(a ＞0，a ≠1)三者之间有何关系？提示：y ＝a x 与y ＝|a x |是同一个函数的不同表现形式，函数y ＝a |x |与y ＝a x 不同，前者是一个偶函数，其图像关于y 轴对称，当x ≥0时两函数图像相同．『考点探究突破』一、指数幂的化简与求值『例1』计算：20.521130.253223435(0.008)(0.02)(0.32)0.062 589---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-+÷⨯÷÷= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦__________. 方法提炼指数幂的化简与求值(1)化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．提醒：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算． (2)结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．请做『针对训练』3二、指数函数的图像与性质的应用『例2－1』在同一坐标系中，函数y ＝2x 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图像之间的关系是( )． A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y ＝x 对称『例2－2』已知函数2431()3ax x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．『例2－3』k 为何值时，方程|3x －1|＝k 无解？有一解？有两解？方法提炼1．与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像．2．与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤： (1)求复合函数的定义域；(2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的； (3)分层逐一求解函数的单调性；(4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”)．3．函数y ＝a f (x )的值域的求解，先确定f (x )的值域，再根据指数函数的单调性，确定y ＝a f (x )的值域．请做『针对训练』2三、指数函数的综合应用『例3』已知f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )(a ＞0且a ≠1)．(1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈『－1,1』时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．方法提炼1．利用指数函数的性质解决相关的综合问题时，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．2．解决恒成立问题，一般需通过分离变量，通过转化为求函数的最值来实现．请做『针对训练』5『演练巩固提升』考情分析对指数函数基础知识的考查：以考查指数幂的运算法则为目的，如指数运算，求函数值等；以考查指数函数的单调性为目的，如比较函数值的大小、解简单的指数不等式等．题型主要是选择题、填空题，属中低难度．针对训练1．(2011山东高考，文3)若点(a,9)在函数y ＝3x 的图像上，则tan a π6的值为( )．A ．0B ．33C ．1D ．3 2．函数y ＝xa x|x |(0＜a ＜1)图像的大致形状是( )．3．(2011四川高考，理13)计算121lg lg251004-⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭＝__________.4．(2012江西临川一中月考)若函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|1－x |＋m 的图像与x 轴有公共点，则实数m 的取值范围是( )．A ．m ≤－1B ．－1≤m ＜0C ．m ≥1D ．0＜m ≤1 5．若函数y ＝a ·2x －1－a 2x －1为奇函数．(1)求a 的值； (2)求函数的定义域； (3)讨论函数的单调性．答案基础梳理自测知识梳理1．(1)x n ＝a 正数负数两个相反数 (2)①a a －a ②a2．(1)①n a m ②1m na ③0 (2)①a r ＋s②a rs ③a r b r (3)确定同样适用 3．上方 (0,1) R (0，＋∞) 递减递增 y ＝1 y ＞1 0＜y ＜1 0＜y ＜1 y ＞1 基础自测 1．D 『解析』416x 8y 4＝()184416x y＝14844[2()()]x y ⋅⋅－－＝1114844442()()x y ⨯⨯⨯⋅-⋅-＝2(－x )2(－y )＝－2x 2y .2．C 『解析』由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0且a ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0，a >0且a ≠1.∴a ＝2.3．C 『解析』因为将函数y ＝2x 的图像向上平移2个单位长度得到函数y ＝2x ＋2的图像，再向右平移2个单位长度得到函数y ＝2x －2＋2的图像，所以，函数f (x )的解析式为f (x )＝2x －2＋2.4．B 『解析』由f (x )＝a x，验证B 知，f 『(xy )n』＝()nxy a ，f n (x )·f n (y )＝(a x )n ·(a y )n ＝a xn ·a yn＝a xn＋yn，∴f 『(xy )n 』≠f n (x )f n (y )，而验证A ，C ，D 都正确． 5．9 『解析』()223x x f x a m ＋－＝＋在x 2＋2x －3＝0时过定点(1,1＋m )或(－3,1＋m )，∴1＋m ＝10，解得m ＝9. 考点探究突破『例1』29 『解析』原式＝22113324849100042625()()()50()27981010000⎡⎤-+÷⨯÷⎢⎥⎣⎦471421172(25)(2)2931029952=-+⨯⨯÷=-+⨯= 『例2－1』A 『解析』∵y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＝2－x ，∴它与函数y ＝2x 的图像关于y 轴对称．『例2－2』『答案』(1)当a ＝－1时，24+31()=()3x x f x --，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上是增加的，在(－2，＋∞)上是减少的，而y ＝⎝⎛⎭⎫13g (x )在R 上是减少的．所以f (x )在(－∞，－2)上是减少的，在(－2，＋∞)上是增加的，即函数f (x )的增区间是(－2，＋∞)，减区间是(－∞，－2)． (2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝⎛⎭⎫13h (x )．由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1.即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.『例2－3』『答案』函数y ＝|3x －1|的图像是由函数y ＝3x 的图像向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图像沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图像如图所示．当k ＜0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图像无交点，即方程无解；当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图像有唯一的交点，所以方程有一解；当0＜k ＜1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图像有两个不同交点，所以方程有两解．『例3』『答案』 (1)函数定义域为R ，关于原点对称．又∵f (－x )＝a a 2－1(a －x －a x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)当a ＞1时，a 2－1＞0， y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x 为增函数，∴f (x )为增函数．当0＜a ＜1时，a 2－1＜0， y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x 为减函数，∴f (x )为增函数．故当a ＞0，且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增． (3)由(2)知f (x )在R 上是增函数，∴在区间『－1,1』上为增加的． ∴f (－1)≤f (x )≤f (1)． ∴f (x )min ＝f (－1)＝a a 2－1(a －1－a ) ＝a a 2－1·1－a 2a＝－1. ∴要使f (x )≥b 在『－1,1』上恒成立，则只需b ≤－1，故b 的取值范围是(－∞，－1』．演练巩固提升针对训练1．D 『解析』由题意知9＝3a ，∴a ＝2. ∴tana π6＝tan π3＝ 3. 2．D 『解析』当x ＞0时，y ＝a x ；当x ＜0时，y ＝－a x .3．－20 『解析』⎝⎛⎭⎫lg 14－lg25÷12100-＝lg ⎝⎛⎭⎫14×125÷121100＝lg 1100÷1100＝lg10－2×100＝－2×10＝－20.4．B 『解析』∵y ＝⎝⎛⎭⎫12|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －1，x ≥1，2x －1，x <1，画图像可知－1≤m ＜0.故选B.5．『答案』∵函数y ＝a ·2x －1－a2x －1，∴y ＝a －12x －1.(1)由奇函数的定义，可得f (－x )＋f (x )＝0，即a －12－x－1＋a －12x －1＝0， ∴2a ＋1－2x 1－2x ＝0，∴a ＝－12.(2)∵y ＝－12－12x －1，∴2x －1≠0，即x ≠0.∴函数y ＝－12－12x －1的定义域为{x |x ≠0}．(3)当x ＞0时，设0＜x 1＜x 2，则 y 1－y 2＝21112121x x ---＝122122(21)(21)x x x x ---. ∵0＜x 1＜x 2，∴1＜1222xx<. ∴1222xx－＜0,12x－1＞0,22x－1＞0.∴y 1－y 2＜0，因此y ＝－12－12x －1在(0，＋∞)上是增加的．同样可以得出y ＝－12－12x －1在(－∞，0)上是增加的．。

(完整word版)高三数学一轮复习指数与指数函数教案

浙江省衢州市仲尼中学高三数学一轮复习教案：指数与指数函数教材分析：本节在根式的基础上将指数概念扩充到有理指数幂，并给出了有理指数幂的运算性质在利用根式的运算性质对根式的化简过程，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步将其推广到实数范围内，但无须进行严格的推证，由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法. 学情分析：学生基础较为薄弱，大部分学生知道运算性质，但是运用却不灵活。

关键是对知识理解的不够透彻。

只有在理解的基础上，通过运算，才能使学生熟练掌握本节知识。

教学目的：1.理解分数指数幂的概念.2.掌握有理指数幂的运算性质.3.会对根式、分数指数幂进行互化. 教学重点：1.分数指数幂的概念.2.分数指数幂的运算性质.教学难点：对分数指数幂概念的理解. 教学过程：一、知识梳理：1．根式的定义2．根式的运算性质：①当n 为任意正整数时，(n a )n=a.②当n 为奇数时，nna =a ；当n 为偶数时，nna =|a|=⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a .⑶根式的基本性质：n m npmp a a =，（a ≥0）用语言叙述上面三个公式：⑴非负实数a 的n 次方根的n 次幂是它本身.⑵n 为奇数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 本身；n 为偶数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 的绝对值.⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变. 3．引例：当a ＞0时 ①5102552510)(a a a a===②3124334312)(a a a a === ③32333232)(a a a ==④21221)(a a a ==上述推导过程主要利用了根式的运算性质，整数指数幂运算性质(2).因此，我们可以得出正分数指数幂的意义.4.正数的正分数指数幂的意义n m nm a a= (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1)要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定. 规定：(1)nm nm aa1=- (a ＞0，m ,n ∈N *,且n ＞1)(2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义.规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a ＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.5.有理指数幂的运算性质: a r ·a s ＝a r ＋s （a r ）s ＝a rs（a ＞0，r ，s ∈Q ）（a ·b ）r ＝a r ·b r（a ＞0，b ＞0，r ∈Q ）二、讲解例题：例1求值：4332132)8116(,)41(,100,8---. 解：422)2(8232332332====⨯827)32()32()8116(6422)2()41(1011010)10(1003)43(4436)3()2(3231)21(221221===========--⨯--⨯------⨯--课内练习求下列各式的值： (1)2523（2）2732（3）（4936）23（4）（425）23-（5）432981⨯（6）23×35.1×612解：(1)23223)5(25=＝53＝125 (2)233323323)3(27⨯==＝32＝9(3)34321676)76()76(])76[()4936(33323223223=====⨯(4)125852)52()25()25(])25[()425(333323223223======-⨯--(5)41324432442123244213224432)33(3333])3[(3981⨯=⨯=⨯=⨯=⨯⨯⨯=66141324143333)3()3(=⨯=⨯(6)23×35.1×612＝2×321×（23）31×（3×22）61＝2×321×331×231×361×231＝（2×231-×231）×（321×331×361）＝231311+-×3613121++＝2×3＝6要求：学生板演练习，做完后老师讲评.例2计算下列各式：433225)12525)(2();0()1(÷->a aa a分析：（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算（2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算解：课内练习：用分数指数幂表示下列各式：65653221223212322)1(a a a a a a a a a ===•=•--.555555555555)55(5)12525)(2(412545125412341324123413241233243-=-=-=÷-÷=÷-=÷---(1)32x （２）43)(b a +（ａ＋ｂ＞０）（３）32)(n m - （４）4)(n m -（ｍ＞ｎ） (5)56q p ⋅（ｐ＞０） (6)mm 3解：(1) 3232x x = (2) 4343)()(b a b a +=+ (3) 3232)()(n m n m -=-(4) 244)()(n m n m -=-＝（ｍ－ｎ）２ (5) 2532526215656)()0(q p q p q p p q p ⋅==⋅=⋅φ (6)252133m mm m m =⋅=-要求：学生板演练习，做完后老师讲评.三、小结本节课要求大家理解分数指数幂的意义，掌握分数指数幂与根式的互化，熟练运用有理指数幂的运算性质. 四、课后作业：1.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)(C)（1）43a a ⋅（2）a a a （3）322b a ab +（4）4233)(b a +解：（1）43a a ⋅＝12741314131a aa a ==⋅+（2） a a a ＝[a ·（a ·a 21）21]21＝a 21·a 41·a 81＝a 87814121a =++（3）322b a ab +＝（ab 2＋a 2b ）31（4）4233)(b a +＝（a 3＋b 3）42＝（a 3＋b 3）212.求下列各式的值：(C) (1)｜2｜21（2）（4964）21-（3）1000043-（4）（27125）32-解：（1）12121＝（112）21＝11212⨯＝11（2）（4964）21-＝（2278）21-＝（78）)21(2-⨯·（78）－1＝87(3)1000043-＝（104）43-＝10)43(4-⨯＝10－3＝0.001(4) （27125）32-＝（3335）32-＝[（35）3] 32-＝（35）)32(3-⨯＝（35）－2＝259._______5则.25,45已知).2(;)12(3256)71(027.0.）1（计算：(B).320143231===-+-+----y x y x4.化简: (A) (1)3327-a a÷31638a a -÷313--a a ;(2).11111333233++-++----a a a a a a a a 解:(1)原式=312327)(-•aa ÷2131638)(a a•-÷323432312)(--÷÷=aa a a =1.(2)原式=)1()1()1(11)(1)(1)31(1)1(313231313131331312313313231+----+=++-++----a a a a a a a a a a a a a 31a ==3a.板书设计指数幂的概念与性质1.正分数指数幂意义例题一：例题二：a nm ＝n ma （a ＞0，m ，n ∈N*，n ＞1）2.规定 (1)anm -＝nm a1（a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1），。

高中数学指数与指数函数教案

指数与指数函数一、学习目标1、理解n资助方根、根式、分数指数幂概念，会对根式、分数指数幂进行互化；2、掌握分数指数幂的运算性质，熟练运用性质进行化简、求值；3、培养化归意识，思维的灵活性和严密性；4、掌握指数函数的根念；5、掌握指数函数的图像、性质；6、能利用指数函数的性质比较幂的大小；7、培养学生的应用意识。

二、例题分析第一阶梯[例1]求下列各式的值；分析：根式可化为分数指数幂形式，利用分数指数幂运算性质计算。

解：说明：既含有分数指数幂，又有根式，一般把根式统一化成分数指数幂的形式，便于计算，如果根式中根指数不同，也应化成分数指数幂的形式。

例2、指出下列函数中哪些是指数函数；(1)y=4x; (2)y=x4; (3)y=-4x; (4)y=(-4)x; (5)y=πx;(7)y=xx;分析：根据指数函数定义进行判断。

解：（1）、（5）为指数函数；（2）不是指数函数；（3）是-1与指数函数4x的乘积；（4）中底数-4<0，∴不是指数函数；（6）中指数不是自变量x，而是x的函数x2;（7）中底数x不是常数。

它们都不符合指数函数的定义。

说明：指数函数严格限定在y=ax(a>0且a≠1)这一结构，（2）（3）（4）（6）（7）均不是指数函数，不具备指数函数的基本性质。

第二阶梯例3、A、1B、2a-1C、1或2a-1D、0思路分析:根据根式的意义直接进行判断.解:(2)取a=0,b=1,A不成立;取a=0,b=-1,C不成立;取a=-1,b=-1,D不成立;因为a2+b2≥0,所以B正确,故选B.答案:(1)C (2)B例4、函数f(x)=x2-bx+c满足f(1+x)=f(1-x),且f(0)=3,则f(bx)与f(cx)的大小关系是_______。

思路分析：利用二次函数、指数函数的单调性，结合函数的有关知识进行解答。

解答：∵f(1+x)=f(1-x),∴f(x)的对称轴为x=1,由此得b=2,又∵f(0)=3,∴c=3.∴f(x)=x2-2x+3在（-∞，1）内递减，在（1，+∞）内递增。

人教版高一复习教案指数与指数函数(教师用)

暑假复习第三讲指数与指数函数教学目标：掌握指数运算（高考要求A ）及指数函数的有关概念（高考要求B ）. 教学重难点：熟悉指数运算，掌握指数函数图像性质及其应用。

教学过程：一.知识要点： 1．指数运算(1) 根式的定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。

即若a x n =，则x 称a 的n 次方根（)1*∈>N n n 且， ① 当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；②当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n 。

（2）根式性质：①a a n n =)(；②当n 为奇数时，a a n n =；③当n(0)||(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩。

（3）幂运算法则：①∈⋅⋅⋅=n a a a a n ( N *) ②)0(10≠=a a ；n 个 ③∈=-p aap p(1Q ，4）m a a a n m n m,0(>=、∈n N *且)1>n 。

（4）幂运算性质： ①r a a a a sr s r ,0(>=⋅+、∈s Q ）；②r a a a s r s r ,0()(>=⋅、∈s Q ）； ③∈>>⋅=⋅r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。

（注）上述性质对r 、∈s R 均适用。

2.指数函数：(1) 指数函数定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数，函数的定义域为R ；函数的值域为),0(+∞； (2)函数图像及性质：①指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；②当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数。

③指数函数都以x 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向左无限接近x 轴，当1>a 时，图象向右无限接近x 轴）；④对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x x a y a y -==与的图象关于y 轴对称。

高三数学高考考前复习指数与指数函数教案

学习必备欢迎下载第二章指数函数与对数函数及函数的应用一、知识网络基本初等函数 ( Ⅰ )函数的应用指数函数对数函数幂函数函数的零点整数指数幂函数与方程定义有理指数幂指数对数运算性质二分法无理指数幂指数函数对数函数函数模型及其应用互为反函数几类不同增长的函数模型定义定义用已知函数模型解决问题图像与性质图像与性质建立实际问题的函数模型二、课标要求和最新考纲要求1、指数函数（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

（3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。

2、对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；（2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3、知道指数函数y a x与对数函数y log a x 互为反函数（a＞0，a≠1）。

4、函数与方程（1）了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。

（2）理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。

能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数 .5、函数模型及其应用（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。

知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。

（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。

（3）能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。

人教B版高中数学必修一教案-3.1 指数与指数函数

2.1.2 指数函数及其性质（1）三维目标一、知识与技能1.掌握指数函数的概念、图象和性质..能借助计算机或计算器画指数函数的图象. 3.能由指数函数图象探索并理解指数函数的性质. 二、过程与方法1.在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程，数形结合的方法等.2.通过探讨指数函数的底数a ＞0，且a ≠1的理由，明确数学概念的严谨性和科学性，做一个具备严谨科学态度的人.三、情感态度与价值观1.通过实例引入指数函数，激发学生学习指数函数的兴趣，体会指数函数是一类重要的函数模型，并且有广泛的用途，逐步培养学生的应用意识.2.在教学过程中，通过现代信息技术的合理应用，让学生体会到现代信息技术是认识世界的有效手段. 教学重点指数函数的概念和性质. 教学难点用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质. 教具准备多媒体、学案. 教学过程（一）新课导学探究一：指数函数的概念问题1：细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个（即 12），第2次由2个分裂成4个（即），第3次由4个分裂成8个（即），如此下去，如果第x 次分裂得到个细胞，那么细胞个数y 与次数x 的关系式是问题2：《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。

”请你写出截取x 次后，木棰剩余量y 关于x 的关系式是【讨论】：（1）这两个关系式是否构成函数？我们发现：在两个关系式中，每给一个自变量都有唯一的一个函数值和它对应，因此关系式2x y= 和 1()2xy = 都是函数关系式。

（2）这是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？我们发现：函数2x y= 和 1()2xy =在在形式上是是相同的，解析式的右边都是指数式，且自变量都在指数位置上。

底数是常数，指数是自变量。

结论：函数2x y= 和 1()2x y =都是函数y =a x 的具体形式.函数y =a x是一类重要的函数模型，并且有广泛的用途，它可以解决好多生活中的实际问题，这就是我们下面所要研究的一类重要函数模型——指数函数. （引入新课，书写课题）（二）概念讲解指数函数的概念：一般地，函数y =a x （a ＞0，a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 思考：1、指数函数解析式的结构特征： ①xa 前面的系数为：1 ②a 的取值范围：a ＞0，a ≠1③指数只含x2：为什么规定10≠>a a 且呢？否则会出现什么情况呢？①当0=a ，ⅰ若0>x ，则00=xⅱ若0≤x ，则x0无意义，如：21-=x ，则010102121===-y 无意义。

专题08 指数与指数函数(教学案)

高考数学（文）一轮复习精品资料专题08 指数与指数函数（教学案）1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型． 1．根式的性质 (1)(na )n ＝a .(2)当n 为奇数时na n ＝a . 当n 为偶数时na n ＝{ a a ≥0－a a <0.2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正整数指数幂：a n ＝a ·a ·…·a n 个 (n ∈N *)． ②零指数幂：a 0＝1(a ≠0)．③负整数指数幂：a －p ＝1ap (a ≠0，p ∈N *)．④正分数指数幂：a m n ＝na m (a >0，m 、n ∈N *，且n >1)．⑤负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1na m (a >0，m 、n ∈N *，且n >1)．⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r 、s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a >0，r 、s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质y ＝a xa >10<a <1图象定义域 (1)R值域(2)(0，＋∞) 性质(3)过定点(0,1) (4)当x >0时，y >1；x <0时，0<y <1(5)当x >0时，0<y <1；x <0时，y >1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数高频考点一指数幂的运算例1、化简：(1)a3b23ab2a b4ab(a>0，b>0)；(2)【感悟提升】(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．【方法规律】(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．【变式探究】 (1)[(0.064)－2.5]－3338－π0＝_______________________________. (2)(14)·4ab －130.1－1·a3·b －3＝________.4213-13()21103227()0.00210(52)(23).8--－－＋－－＋－152312-12高频考点二指数函数的图象及应用例2、(1)函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )(2)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．【方法规律】(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．【变式探究】 (1)定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是( )(2)方程2x ＝2－x 的解的个数是________．高频考点三指数函数的图象和性质例3、(1)下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5>1.73B ．0.6－1>0.62 C ．0.8－0.1>1.250.2D ．1.70.3<0.93.1(2)设a ＝⎝⎛⎭⎫35，b ＝⎝⎛⎭⎫25，c ＝⎝⎛⎭⎫25，则a ，b ，c 的大小关系是________．【变式探究】设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x<0，x ，x≥0，若f(a)<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)253525高频考点四、和指数函数有关的复合函数的性质例4、设函数f(x)＝kax －a －x(a>0且a≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)若f(1)>0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x －4)>0的解集；(2)若f(1)＝32，且g(x)＝a2x ＋a －2x －4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值．【感悟提升】指数函数的性质及应用问题解题策略(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．【变式探究】(1)已知函数f(x)＝2|2x －m|(m 为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．(2)如果函数y ＝a2x ＋2ax －1(a>0，a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a 的值为( ) A.13 B ．1 C ．3D.13或3 高频考点五、换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用例5、(1)函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x ＋1在区间[－3,2]上的值域是________．(2)函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫12的单调减区间为________________________________．【特别提醒】(1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题；(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化．【方法与技巧】1．通过指数函数图象比较底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值，再进行比较． 2．指数函数y ＝ax (a>0，a≠1)的性质和a 的取值有关，一定要分清a>1与0<a<1. 3．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成．221－＋＋xx1.【2016高考新课标3理数】已知，，，则（）（A ）（B ）（C ）（D ）【2015高考天津，理7】已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，则的大小关系为( ) （A ）（B ）（C ）（D ）【2015高考山东，理10】设函数则满足的取值范围是（）（A ）（B ）（C ）（D ）（2014·福建卷）若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图11所示，则下列函数图像正确的是( )图11A BC D（2014·江西卷）已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R)．若f [g (1)]＝1，则a ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．－1（2014·辽宁卷）已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a >b >cB ．a >c >b432a =254b =1325c =b a c <<a b c <<b c a <<c a b <<R ()21x mf x -=-m ()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m ===,,a b c a b c <<a c b <<c a b <<c b a <<()()2log 502log 5214,2(0)210b f c f m f ==-====-=()31,1,2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]0,12,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭[)1,+∞C ．c >a >bD ．c >b >a（2014·山东卷）设集合A ＝{x ||x －1|＜2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0，2]}，则A ∩B ＝( ) A ．[0，2] B ．(1，3) C ．[1，3) D ．(1，4)（2014·山东卷）已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1＞1y 2＋1B. ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)C. sin x ＞sin yD. x 3＞y 3（2014·陕西卷）下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 12 B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12xD ．f (x )＝3x（2014·陕西卷）已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________．（2013·安徽卷）已知一元二次不等式f(x)<0的解集为x⎪⎪⎪ )x<－1或x>12，则f(10x )>0的解集为( )A ．{x|x<－1或x>－lg 2}B ．{x|－1<x<－lg 2}C ．{x|x>－lg 2}D ．{x|x<－lg 2}（2013·湖南卷）设函数f(x)＝a x ＋b x －c x ，其中c>a>0，c>b>0.(1)记集合M ＝{(a ，b ，c)|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b}，则(a ，b ，c)∈M 所对应的f(x)的零点的取值集合为________；(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①x ∈(－∞，1)，f(x)>0；②x ∈R ，使a x ，b x ，c x 不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC 为钝角三角形，则x ∈(1，2)，使f(x)＝0. （2013·浙江卷）已知x ，y 为正实数，则( ) A ．2lg x＋lg y＝2lg x ＋2lg y B ．2lg(x＋y)＝2lg x ·2lg yC ．2lg x·lg y ＝2lg x ＋2lg yD ．2lg(xy)＝2lg x ·2lg y1．若a ＝⎝⎛⎭⎫23x，b ＝x 2，c ＝log 23x ，则当x >1时，a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c <a <b B ．c <b <a C ．a <b <c D ．a <c <b2.函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <03．已知a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则( ) A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a4．已知函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( ) A ．1B ．aC ．2D ．a 25．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]6．若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－1，＋∞)7．已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0，4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a |x ＋b |的图象为( )8．已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x >0，g （x ），x <0.如果f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝________．9．已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．10．已知f (x )＝⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12x 3(a >0，且a ≠1)．(1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )>0在定义域上恒成立． 11．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.12．已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数)． (1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．。

《指数函数》复习课教案

《指数函数》复习课教案指数函数复课教案一、教学目标1. 了解指数函数的定义和性质。

2. 掌握指数函数的图像特点和变化规律。

3. 学会求解指数函数的基本问题，如解方程、求导等。

二、教学内容1. 指数函数的定义和性质介绍。

2. 指数函数的图像绘制和分析。

3. 指数函数的基本问题解决方法。

4. 指数函数与其他函数的关系。

三、教学过程1. 指数函数的定义和性质介绍- 介绍指数函数的定义和表示方法。

- 讲解指数函数的增长与衰减性质。

- 引导学生理解指数函数的图像特点。

2. 指数函数的图像绘制和分析- 指导学生通过给定函数表达式，绘制指数函数的图像。

- 分析指数函数图像的特点，如增长趋势、渐近线等。

- 提醒学生观察指数函数图像的反比关系。

3. 指数函数的基本问题解决方法- 解释如何求解指数方程。

- 带领学生通过例题练，掌握求解指数方程的步骤和技巧。

- 讲解指数函数求导的基本方法。

4. 指数函数与其他函数的关系- 比较指数函数与线性函数、二次函数等其他函数的特点和差异。

- 引导学生分析指数函数与其他函数之间的关系。

- 鼓励学生探索指数函数在实际问题中的应用。

四、教学资源1. PowerPoint幻灯片：包含指数函数的定义、性质介绍、图像绘制和分析的内容。

2. 白板、彩色笔：用于举例和讲解。

3. 课堂练题：用于学生的课堂练和讨论。

五、教学评估1. 课堂练：通过课堂练检验学生对指数函数的理解和应用能力。

2. 课堂讨论：鼓励学生提问、交流，并评估他们的思维能力和分析能力。

3. 作业评估：布置作业并对学生的作业进行批改和评分。

六、教学延伸1. 鼓励学生进一步研究和探索指数函数的应用领域。

2. 推荐相关的参考书和互联网资源，供学生深入研究和拓展知识。

七、教学反思- 教师反思教学过程中的不足和可以改进的地方。

- 学生反馈和评价收集，以便优化教学方案。

以上为《指数函数》复习课教案，希望能够帮助学生更好地理解和掌握指数函数的相关知识和应用能力。

高三数学一轮复习精品教案1：指数与指数函数教学设计

2.4指数与指数函数1．根式的性质 (1)(na )n ＝a .(2)当n 为奇数时na n ＝a ；当n 为偶数时na n＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥0，－a a <0.2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念：①正分数指数幂：a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质： ①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图像与性质1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图像和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1. 『试一试』1．化简『(－2)6』12－(－1)0的结果为________．『答案』72．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．『解析』由题意知0<a 2－1<1，即1<a 2<2，得－2<a <－1或1<a < 2. 『答案』(－2，－1)∪(1，2)1．对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(a 2x ＋b ·a x ＋c ≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决．2．指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按0<a <1和a >1进行分类讨论．『练一练』 1．函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x 的定义域为________．『答案』『0，＋∞)2．若函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是『0,2』，则实数a ＝________. 『解析』当a >1时，f (x )＝a x －1在『0,2』上为增函数，则a 2－1＝2，∴a ＝± 3.又∵a >1，∴a ＝ 3. 当0<a <1时，f (x )＝a x －1在『0,2』上为减函数又∵f(0)＝0≠2，∴0<a<1不成立．综上可知，a ＝ 3.『答案』3求值与化简：(1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2·⎝⎛⎭⎫214－12－(0.01)0.5；(2)56a13·b－2·(－3a－12b－1)÷(4a23·b－3)12；(3)a23·b－1－12·a－12·b136a·b5『解析』(1)原式＝1＋14×1249⎛⎫⎪⎝⎭－121100⎛⎫⎪⎝⎭＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝－52a16－b－3÷(4a23·b－3)12＝－54a16－b－3÷(a13b32－)＝－54a－12－·b23－.＝－54·1ab3＝－5ab4ab2.(3)原式＝111133221566·a b a ba b--＝a－111326---·b115236-＋.『备课札记』『类题通法』指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.『典例』 (1)(2013·苏锡常镇一调)已知过点O 的直线与函数y ＝3x 的图像交于A ，B 两点，点A 在线段OB 上，过点A 作y 轴的平行线交函数y ＝9x 的图像于点C ，当BC ∥x 轴时，点A 的横坐标是________． (2)已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b ，下列五个关系式： ①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b . 其中不可能成立的关系式有________个『解析』 (1)设A (x 0,3x 0)，由AC 平行于y 轴，则C (x 0,9x 0)．又因为BC 平行于x 轴，则B (2x 0,9x 0)．因为O ，A ，B 三点共线，所以x 0·9x 0＝2x 0·3x 0，得3x 0＝2，所以x 0＝log 32. (2)函数y 1＝⎝⎛⎭⎫12x 与y 2＝⎝⎛⎭⎫13x 的图像如图所示．由⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b 得，a <b <0或0<b <a 或a ＝b ＝0. 故①②⑤可能成立，③④不可能成立．『答案』 (1)log 32 (2)2『备课札记』『类题通法』指数函数图像的画法及应用(1)画指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . (2)与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解．『针对训练』1．(2013·徐州摸底)已知直线y＝a与函数f(x)＝2x及g(x)＝3·2x的图像分别相交于A，B两点，则A，B两点之间的距离为________．『解析』由题意知A，B两点之间的距离与a无关，即为定值．不妨设a＝3，则由3·2x＝3知x B＝0.由2x＝3知x A＝log23，故AB＝x A－x B＝log23.『答案』log232．方程2x＝2－x的解的个数是________．『解析』方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图像交点的横坐标，分别作出这两个函数图像(如图)．由图像得只有一个交点，因此该方程只有一个解．『答案』1『典例』已知f(x)＝aa2－1(a x－a－x)(a>0，且a≠1)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性．『解析』(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．又因为f(－x)＝aa2－1(a－x－a x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)当a>1时，a2－1>0，y＝a x为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝a x－a－x为增函数．所以f(x)为增函数．当0<a<1时，a2－1<0，y＝a x为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝a x－a－x为减函数．所以f(x)为增函数．故当a>0且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．『解析』由(2)知f(x)在R上是增函数，所以在区间『－1,1』上为增函数．所以f (－1)≤f (x )≤f (1)．所以f (x )min ＝f (－1)＝aa 2－1(a－1－a )＝a a 2－1·1－a 2a＝－1. 所以要使f (x )≥b 在『－1,1』上恒成立，则只需b ≤－1. 故b 的取值范围是(－∞，－1』．『备课札记』『类题通法』利用指数函数的性质解决问题的方法求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．『针对训练』已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值． (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．『解析』(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． (2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1. (3)由指数函数的性质知，要使y ＝⎝⎛⎭⎫13g (x )的值域为(0，＋∞)．应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0.(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R )．故a 的值为0.『课堂练通考点』1．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于________．『解析』由f (a )＝3得2a ＋2－a ＝3，两边平方得22a ＋2－2a＋2＝9，即22a ＋2－2a＝7，故f (2a )＝7.『答案』72．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图像经过点(2,1)，则f (x )的值域是________．『解析』由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因f (x )＝3x －2在『2,4』上是增函数，f min (x )＝f (2)＝1，f max (x )＝f (4)＝9. 『答案』『1,9』3．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________．『解析』∵x ≥0，∴－x ≤0，∴3－x ≤3， ∴23－x ≤23＝8，∴8－23－x ≥0，∴函数y ＝8－23－x 的值域为『0，＋∞)．『答案』『0，＋∞)4．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．『解析』∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)．函数f (x )＝a x 在R 上递增，由f (m )>f (n )，得m >n . 『答案』m >n5．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间『1,2』上的最大值比最小值大a 2，则a 的值为________．『解析』当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，在x ∈『1,2』上， f (x )最大＝f (2)＝a 2，f (x )最小＝f (1)＝a . ∴a 2－a ＝a2.即a (2a －3)＝0.∴a ＝0(舍)或a ＝32>1.∴a ＝32.当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数，在x ∈『1,2』上，f (x )最大＝f (1)＝a ，f (x )最小＝f (2)＝a 2. ∴a －a 2＝a2.∴a (2a －1)＝0，∴a ＝0(舍)或a ＝12.∴a ＝12.综上可知，a ＝12或a ＝32.『答案』12或32。

第二高一数学指数与指数函数教案_

诚西郊市崇武区沿街学校第二中学高一数学教案指数与指数函数(2)一、复习1．①填空：=n n a )(=n n a②整数指数幂运算性质2．练习=32a 57a =二、新授1．正数的正分数指数幂的意义：)1,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m且注：①分数指数幂是根式的另一种表示形式②根式与分数指数幂可进展互化2．规定：⑴)1,,0(1*>∈>=-n N n m a a a n mn m且⑵0的正分数指数幂等于0⑶0的负分数指数幂无意义整数分数有理数3．有理指数幂的运算性质⑴),,0(Q s r a a a a s r s r ∈>=⋅+⑵),,0()(Q s r a a a s r s r ∈>=⋅⑶),0,0()(Q r b a b a b a r r r ∈>>⋅=⋅注：假设a>0，p 是一个无理数，那么ar 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用。

三、应用举例1．求值：=328=-211003)41(-= 43)8116(-= 2．用分数指数幂的形式表示以下各式 =⋅a a 2323a a ⋅=a a =3．计算 ⑴435)12525(÷-⑵)0(322>⋅a a a a 4．假设a+a-1=3，求2121--a a 及2323--a a 的值.四、课内练习：课本69，练习五、小结：理解分数指数幂的意义，掌握分数指数幂与根式的互化，纯熟运用有理指数幂的运算性质，特别注意分数指数幂中的底数和幂指数的限制范围。

考虑：1．1525132436121)4(2)8(21627)322124(----⋅+⋅-+-+= 2．313373329a a a a ⋅÷⋅--= 3．323222323222-----------++y x y x y x y x =六、作业。

高三数学复习教案：3.6 指数与指数函数

课题：第三章函数、导数及其应用第六节指数与指数函数序号周次预备周主备人：审核人：授课时间：2019.9.3教学目标1.体会指数函数模型的实际背景．2.利用有理数指数幂的含义，实数指数幂的意义，会简单幂的运算．3.会根据指数函数的概念及其单调性，找到指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象．教学重点会判断指数函数教学难点会利用指数函数的性质比较大小，求简单题型教学方法数形结合，讲练结合教具黑板、多媒体教学过程学生活动教师活动设计意图考点一、指数幂的化简与求值1．若实数a>0，则下列等式成立的是()A．(－2)－2＝4B．2a－3＝12a3C．(－2)0＝－1 D．(a－14)4＝1a3．(P56 T4改编)化简416x8y4(x<0，y<0)得()A．2x2y B．2xyC．4x2y D．－2x2y1.给时间让学生思考、判断；2.观察同学的表情与答案，收集问题所在点；3.让学生起来回答，并请其他同学点评和分析；把课堂交给学生，发挥学生的主动性；锻炼学生的表达能力，提高学生的综合素养。

1.知识点理解与补充（5分钟）考点二：指数函数的图象及应用指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．(1)已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(x)|的图象可能是()（2）若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________.[变]若将本例(2)中“|y|＝2x＋1”改为“y＝|2x－1|”，且与直线y＝b有两个公共点，求b的取值范围．[训练1]函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1，b<0 B．a>1，b>0引发学生思考归纳，用自己的话概括学习。

高三数学教案指数与指数函数

指数与指数函数一．基础知识 1．幂的有关概念(1)正整数指数幂)(*∈⋅⋅⋅⋅=N n a a a a a n n个(2)零指数幂)0(10≠=a a(3)负整数指数幂()10,n n a a n N a-*=≠∈(4)正分数指数幂()0,,,1m nm na a a m n N n *=>∈>；(5)负分数指数幂()10,,,1m nm nmnaa m n N n a a-*==>∈>(6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2．有理数指数幂的性质()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈ ()()()20,,sr rs a a a r s Q =>∈ ()()()30,0,rr r ab a b a b r Q =>>∈3．根式的内容（1）根式的定义:一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中()*∈>N n n ,1，na 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫被开方数。

(2)根式的性质: ①当n 是奇数，则a a n n =；当n 是偶数，则⎩⎨⎧<-≥==00a aa a a a n n②负数没有偶次方根， ③零的任何次方根都是零4指数函数y=a x名称指数函数一般形式 y =a x (a>0且a≠1)定义域 (-∞,+ ∞) 值域 (0,+ ∞)过定点（０，1）图象单调性 a> 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数０＜a<1, 在(-∞,+∞)上为减函数值分布当时且0,1>>x a y>1 当时且0,10><<x a 0<y<1时且0,1<>x a 0<y<1 时且0,10<<<x a y>15.记住常见指数函数的图形及相互关系二、题型剖析1．指数化简和运算例1．计算下列各式①30312)26()03.1(2323)661()41(-⋅--+++-②)0,0()21(24833323323134>>⨯-÷++⋅-b a a ab aab b b a a 思维分析：式子中既有分数指数、又有根式，可先把根式化成分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算。

指数与指数函数教案

指数与指数函数教案一、教学目标1.了解指数的概念，掌握指数的运算法则；2.掌握指数函数的概念，了解指数函数的图像特征；3.能够应用指数和指数函数解决实际问题。

二、教学重点1.指数的概念及运算法则；2.指数函数的概念及图像特征。

三、教学难点1.指数函数的图像特征；2.应用指数和指数函数解决实际问题。

四、教学内容及方法1. 指数的概念及运算法则（1）指数的概念指数是数学中的一个概念，表示一个数的幂次。

例如，a n中的n就是指数，表示a的n次幂。

（2）指数的运算法则指数的运算法则包括：•同底数幂的乘法：a m⋅a n=a m+n；=a m−n；•同底数幂的除法：a ma n•幂的乘法：(a m)n=a mn；=a mn−k；•幂的除法：(a m)na k•负指数：a−n=1；a n•零指数：a0=1。

（3）教学方法通过讲解和例题演示，让学生掌握指数的概念和运算法则。

2. 指数函数的概念及图像特征（1）指数函数的概念指数函数是一种以指数为自变量的函数，通常写作y=a x，其中a是底数，x是指数。

（2）指数函数的图像特征指数函数的图像特征包括：•当a>1时，函数图像上升，且y轴是渐近线；•当0<a<1时，函数图像下降，且x轴是渐近线；•当a=1时，函数图像是一条水平直线。

（3）教学方法通过讲解和绘制指数函数的图像，让学生了解指数函数的概念和图像特征。

3. 应用指数和指数函数解决实际问题（1）应用指数解决实际问题指数在实际问题中的应用包括：•复利计算；•指数增长和指数衰减；•指数函数模型。

（2）应用指数函数解决实际问题指数函数在实际问题中的应用包括：•人口增长模型；•经济增长模型；•生物衰减模型。

（3）教学方法通过讲解和例题演示，让学生掌握应用指数和指数函数解决实际问题的方法。

五、教学评价教学评价包括：•学生课堂表现；•学生作业完成情况；•学生考试成绩。

六、教学反思本次教学中，我采用了讲解、例题演示和绘图等多种教学方法，让学生掌握了指数和指数函数的概念、运算法则和应用方法。