生日悖论3801272
生日悖论 codeforces 例题
生日悖论是一个在概率论和统计学中的经典问题，指的是一个房间里只要有23个人，那么至少有两个人生日相同的概率超过一半。
这个悖论看似与直觉相悖，然而通过概率的计算和统计学的分析可以得出证明。
在本文中，我们将通过codeforces评台上的一个例题来深入探讨生日悖论，通过编程和数学计算来验证这一经典问题的成立。
在codeforces评台上，有一道名为"Choosing Capital for Master"的例题，其内容涉及到选择一个首都来最大程度地使得其他城市到首都的距离之和最小。
这个问题实际上可以通过生日悖论来进行类比和解决，通过分析和算法设计来解决这一问题。
我们将通过数学推导来证明生日悖论。
假设有n个人，那么至少有两个人生日相同的概率可以通过以下步骤计算得出：1. 计算出任意两个人生日不重复的概率：第一个人的生日为365天中的任意一天，第二个人的生日不能与第一个人相同，所以概率为364/365。
2. 计算出n个人中都没有人生日相同的概率：依次乘上n个人都没有生日相同的概率，即为(365/365) * (364/365) * ... * (365-(n-1)/365)。
3. 最终得到至少有两个人生日相同的概率为1减去n个人都没有生日相同的概率。
通过以上推导，我们可以得出结论：当n=23时，至少有两个人生日相同的概率超过一半。
接下来，我们将通过编程来验证生日悖论。
我们可以使用C++或Python等编程语言来模拟生成一定数量的随机生日序列，然后判断其中是否存在相同的生日。
通过统计实验次数和相同生日出现的次数，来逼近真实的概率值。
以C++为例，我们可以编写以下伪代码来模拟实验过程：```cpp#include <iostream>#include <vector>#include <cstdlib>#include <ctime>int m本人n() {int n = 23; // 人数int experiments = xxx; // 实验次数int same_birthday_count = 0; // 相同生日次数统计srand(time(0)); // 设置随机种子for (int i = 0; i < experiments; ++i) {std::vector<int> birthdays(n);for (int j = 0; j < n; ++j) {birthdays[j] = rand() 365 + 1; // 随机生成1-365之间的生日}// 判断是否有相同生日bool has_same_birthday = false;for (int j = 0; j < n; ++j) {for (int k = j + 1; k < n; ++k) {if (birthdays[j] == birthdays[k]) {has_same_birthday = true;break;}}if (has_same_birthday) {break;}}if (has_same_birthday) {same_birthday_count++;}}// 输出实验结果std::cout << "实验次数：" << experiments << std::endl;std::cout << "至少有两个人生日相同的次数：" <<same_birthday_count << std::endl;double probability =static_cast<double>(same_birthday_count) / experiments;std::cout << "实际概率：" << probability << std::endl;return 0;}```通过以上代码，我们可以得到实际的概率值。
课件2：§3.2 数学探究活动：生日悖论的解释与模拟
=1−
365！
365 365−
！
生日悖论的解释
“存在两人生日相同”；
“存在与我生日相同”.
生日悖论的解释
1.“与我生日相同”的概率问题：
（1）计算机模拟实验；
（2）概率计算公式、图象表示．
生日悖论的解释
1.“与我生日相同”的概率问题
（1）计算机模拟实验：
数据选取：人数相同对比概率？概率大体一致对比人数？
q( m ) 1
1
.
m
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ5
365
m
生日悖论的解释
生日悖论的解释
图象表示
人群中有生日为某一特定日期的概率
0
生日悖论的解释
“有人生日相同”与“与我生日相同” 图象对比：
0.5
(23,0.5)
(253,0.5)
(23,0.06)
生日悖论的解释
2.“有人生日相同”与“与我生日相同”的概率差异分析
1 e
365
n
365
.
生日悖论的解释
p(n ) 1 e
p(n)
q(n)
q( n ) 1 e
n ( n 1)
730
n
365
=1 e
2n
730
课堂小结
1.进一步验证“生日悖论”的结论，并对与直觉差异明
显的原因进行分析；
2.尝试从不同角度解释“存在两人生日相同”与“存在
0.41
100
0.40
100
0.43
100
0.42
100
0.42
100
0.44
生日悖论公式
生日悖论公式生日悖论是指在一个群体中，只要人数达到一定数量，至少会有两个人具有相同的生日。
这个悖论在数学领域被广泛探讨，其结果却常常超出人们的直觉。
本文将从数学原理、实际示例以及对我们生活的指导意义三个方面，生动全面地解释生日悖论。
首先，我们来看看生日悖论的数学原理。
在一个群体中，假设有n 个人，那么每个人的生日都有365种可能性（不考虑闰年）。
第一个人的生日可以是任何一天，第二个人的生日也可以是任何一天……直到第n个人的生日。
因此，第n个人和前面的n-1个人必须避免选择相同的生日，即他的生日选择余地只剩下了365-(n-1)天。
这时，我们可以使用乘法原理来计算选择不同生日的概率，即P(n)=1*365/(365^1)*364/(365^2)*......*(365-(n-1))/(365^n-1)。
然而，我们更关心的是至少有两个人生日相同的概率，即1-P(n)。
通过代入不同的n值，我们可以看到，当群体中的人数超过23个时，至少有两个人生日相同的概率已经超过一半了，这是一个惊人的事实。
其次，我们可以通过实际示例来理解生日悖论。
假设我们有一个教室里有30个学生，我们随机选择一位学生，他的生日是1月1日的概率是365/365=1。
我们再选择第二位学生，如果他的生日不是1月1日，概率是364/365。
依次类推，直到选择第30位学生。
我们可以使用乘法原理来计算这个概率，即P(30)=365/365*364/365*......*336/365≈0.706。
也就是说，教室里至少有两个学生生日相同的概率是70.6%。
这个实际示例说明了生日悖论在现实生活中的应用，尤其是在人群较大的情况下，生日相同的可能性更大。
最后，生日悖论给我们生活中的某些方面带来了指导意义。
首先，生日悖论提醒我们在安排活动或集会时要慎重考虑，因为可能出现生日相同的情况。
这对于组织生日派对、选举日期等都具有重要意义。
其次，生日悖论也提醒我们对于大数据和统计结果要保持理性和客观。
生日悖论计算公式
生日悖论计算公式生日悖论是个挺有趣的数学概念呢！咱们先来说说啥是生日悖论。
比如说一个教室里有一群同学，你可能会觉得要很多很多人，才有可能出现两个人生日相同的情况。
但实际上，人数不需要特别多，就有比较大的概率会有人生日相同。
这和咱们一般的直觉不太一样，所以才叫悖论。
那生日悖论的计算公式是啥呢？假设一年 365 天，在一个有 n 个人的群体里，至少有两个人生日相同的概率可以用这个公式来计算：P =1 - 365! / [365^n * (365 - n)!] 。
这个公式看起来有点复杂，对吧？别担心，我给您举个例子来解释解释。
比如说一个班级有 23 个人，咱们来算算至少有两个人生日相同的概率。
把 23 代入到公式里，经过一番计算，您会发现这个概率居然超过了 50%！是不是很神奇？我想起之前给学生们讲这个生日悖论的时候，有个小家伙特别较真儿。
他一直说：“老师，我怎么就觉得不可能呢？”然后我就带着他们做了个小实验。
我让每个同学把自己生日的月份和日期写在小纸条上，放进一个盒子里。
等大家都写完放进去之后，我开始一张一张地拿出来念。
结果，还没念到一半呢，就发现有两个同学的生日是同一天！那个较真儿的小家伙眼睛瞪得大大的，一脸的不可思议。
其实生日悖论在生活中也有不少应用呢。
比如说在密码学里，它可以帮助我们评估随机生成的密钥出现重复的可能性；在统计学中，能用来估计样本的独立性和随机性。
再想想，如果在一个聚会上，您和新认识的朋友们聊起生日悖论，然后用这个公式算出大家生日相同的概率，那得多有意思呀！回到咱们这个计算公式，虽然它看起来有点让人头疼，但只要您多琢磨琢磨，多结合实际的例子去理解，就会发现数学的奇妙之处。
它能让我们看到那些看似不可能的事情，其实有着意想不到的可能性。
所以啊，别小看这个生日悖论计算公式，它背后藏着的可是大大的智慧和乐趣呢！。
算法导论-生日悖论
算法导论-⽣⽇悖论算法导论第五章讲到了⽣⽇悖论。
1、定义：⽣⽇悖论[1]是指，如果⼀个房间⾥有23个或23个以上的⼈，那么⾄少有两个⼈的相同的概率要⼤于50%。
这就意味着在⼀个典型的标准⼩学班级(30⼈)中，存在两⼈⽣⽇相同的可能性更⾼。
对于60或者更多的⼈，这种概率要⼤于99%。
从引起⽭盾的⾓度来说⽣⽇悖论并不是⼀种，从这个数学事实与⼀般相抵触的意义上，它才称得上是⼀个悖论。
⼤多数⼈会认为，23⼈中有2⼈⽣⽇相同的概率应该远远⽣⽇悖论，在这个问题之后的数学理论已被⽤于设计著名的密码攻击⽅法：⽣⽇攻击。
⼩于50%。
计算与此相关的被称为⽣⽇悖论它的计算⽅式是这样的： n个⼈可能的⽣⽇组合是365×365×365×……×365(共n个)个,记作a； n个⼈⽣⽇都不重复的组合是365×364×363×……×（366-n)个，记作b； 所以n个⼈⽣⽇不重复的概率是b/a，则n个⼈⽣⽇重复的概率是1-b/a。
只要有23⼈在⼀起，其中两⼈⽣⽇相同的概率就达到51%！具体细节维基百科[1]有分析。
⽣⽇悖论的本质就是，随着元素增多，出现重复元素的概率会以惊⼈速度增长，⽽我们低估了它的速度[2]。
2、推⼴：a.⼀个房间要有多少⼈，才能让某⼈与你⽣⽇相同的概率⾄少为1/2？（习题5.4-1）253b.⼀个聚会需要邀请多少⼈，才能让其中很可能有3个⼈的⽣⽇相同？（习题5.4-3）3、相关a.你和朋友参加聚会，包括你们两⼈在内⼀共有10个⼈在场。
你朋友想跟你打赌，说这⾥没有⼀个⼈⽣⽇和你相同，你就给他1元，没有⼀个⼈⽣⽇和你不同，他给你2元。
你会接受么?（坊间流传的google疯狂⾯试题）b.⽹上的⼀道推理题：⼩明和⼩强都是张⽼师的学⽣，张⽼师的⽣⽇是m⽉n⽇，2⼈都知道张⽼师的⽣⽇是下列10组中的⼀天，张⽼师把m值告诉了⼩明，把n值告诉了⼩强，张⽼师问他们知道他的⽣⽇是那⼀天吗？3⽉4⽇ 3⽉5⽇ 3⽉8⽇6⽉4⽇ 6⽉7⽇9⽉1⽇ 9⽉5⽇12⽉1⽇ 12⽉2⽇ 12⽉8⽇⼩明说：如果我不知道的话，⼩强肯定也不知道⼩强说：本来我也不知道，但是现在我知道了⼩明说：哦，那我也知道了请根据以上对话推断出张⽼师的⽣⽇是哪⼀天？4、参考：1.维基百科-⽣⽇问题：2.科学松⿏会，⽣⽇悖论与⽣⽇攻击：。
什么是生日悖论？
人们通常是站在这样一个角度来看问题——你进入了一个有着22个人的房间，那么房间里有人 会和你有相同生日的概率非常低。原因是这时候只能产生22种不同的搭配，这应该非常好理 解。
为了计算出生日相同的概率，我们可以先计算所有人生日都不同的概率。那么，第一人生日是 唯一的概率为365/365，第二个人生日是唯一的概率则下降到364/365，以此类推，第23个人生 日是唯一的概率为343/365。
那么，这背后的数学原理是怎样的呢？ 在开始解释这个原因之前，先假设一年只有365天，每 一天的生日概率相同。虽然假设不完全准确，但使我们计算起来更加方便，而且不会影响到最 终结果。
生日悖论会令人感到难以置信，因为人类倾向于从自己的角度看待问题。人们通常这样想，如 果一个房间里加上自己共有23人，你会觉得在这22人里跟你同一天生日的可能性太低了。365 天，现在却只有22个人，你可能会想概率只有22/365，所以很难在这22个人中遇上跟自己同一 天生日的。
什么是生日悖论？
开动脑筋，想想生日中有趣的数学现象。例如，四年才出现一次2月29日，也意味着这一天出生 的人四年才能过上一次生日。此外，如果在街上偶遇一人，你们同一天生日的可能性有多大？
似乎很渺茫，对吧？366天，遇到同一天生日的概率为1/366，或0.0027%！概率极小，这就是 为什么当你遇到一个和你同一天生日的人，你会不禁感慨，天啊，这好神奇啊，好巧啊！
然后，把所有23个独立概率相乘，即可得到所有人生日都不相同的概率为：(365/365)× (364/365) × ... ×(343/365) ，得出结果为0.491。那么，再用1减去0.497，就可以得到23个人中 有至少两个人生日相同的概率为0.509，即50.9%，超过一半的可能性。
3.2数学探究活动 生日悖论的解释与模拟课件(共16张PPT)
比例为 9∶20＝45%.
比例为 11∶20＝55%.
(6)m 个人组成的人群中至少有一个人生日是指定日
364
期的概率计算公式 P(m)＝1－365m. (7) m＝200,250,300，…，2200 时，(6)中概率值以
及图像的表示
(8)模拟(7)中概率的方法及结果 指定一个不大于 365 的正整数，例如 268,20 个数为一组， 产生 10 组或更多组如下.
第三章 排列、组合与二项式定理
3.2 数学探究活动:生日悖论的解释与 模拟
生日悖论的解释与模拟活动记录表
活动开始时间：________
(1)成员与分工
姓名
分工
贾倩文
组织讨论，把握工作方向
安莹 周娜 信息、数据采集与计算
霍芳
结果记录，整理
(2)验证生日悖论的实际数据 学号 生日 学号 生日 学号 生日 学号 生日 学号 生日
(3)n 个人组成的人群中至少有两个人生日相同的概率
365！
计算公式 P(n)＝1－365n
－n ！.
(4)n＝20,21，…，60 时，(3)中的概率值以及图像表示
从上表可以看出，当 n 为 41 人时就已经超过了 90%，当 n 为
47 人时就已经超过了 95%.
(5)生日悖论模拟的方法与结果 可以用 Excel 中的随机函数产生多组数据，然 后统计哪些组出现了重复数据，最后计算比例.
(9)活动总结 到这里，我们对“生日悖论”有了更深一步的了解．生日悖论 的本质就是，随着元素的增多，出现重复元素的概率会以惊人 的速率增加，这个问题在密码学中有着广泛的应用. 通过这次数学探究活动，我们在实际生活中发现问题，然后运 用概率的知识去解决它们，一方面，增强了我们发现问题的能 力，另一方面，也增强了我们运用所学知识解决问题的能力.
生日悖论是个延续了百余年的谬误[指南]
![生日悖论是个延续了百余年的谬误[指南]](https://img.taocdn.com/s3/m/94969560680203d8cf2f245f.png)
生日悖论是个延续了百余年的谬误[指南] 《生日悖论》是个延续了百余年的谬误——发展非线性经济学的哲学漫谈商与儒这是我在提议发展我国非线性经济学时，用自己的非线性哲学思维审视精确科学——数学的一篇哲学漫谈，我相信诸位很容易判断我的结论是否正确。
欢迎各位批评和指正～《概率理论》是《经济学》的重要分析工具，它真的是那么科学、那么完美、那么无暇可击吗,我们先来看个例子:一个袋子里有9个材质、形状、重量都一样的小球，它们分成3组，分别写着1-3的数字。
我们随机摸3个小球，问:摸到3个数字相同的小球和摸到3个数字都不同的小球，哪个概率大,显然数字相同的小球只有3个组合:111，222，333;而数字都不同的小球有6个排列(123，132，213，231，312，321)，所以答案一定是摸到数字都不同的3个小球的概率大。
现在我们用三种不同的颜色分别代替三个不同的数字，给这些小球上涂上红兰棕三色，每种颜色涂3个小球。
我们随机摸3个小球，问:摸到3个颜色相同的小球和3个颜色都不同的小球，哪个概率大,颜色相同的3个小球只有三个组合——红红红、蓝蓝蓝、棕棕棕;颜色都不同的3个小球有6种不同排列(红蓝棕、红棕蓝、蓝红棕、蓝棕红、棕红蓝、棕蓝红)，所以答案一定是摸到颜色都不同的3个小球的概率大。
现在我们再在三组颜色相同的小球上分别写上123三个不同的数字:1 1 12 2 23 3 3于是，如上图所示，9个小球中，颜色相同的小球，数字一定不同;数字相同的小球，颜色一定不同。
我们问:随机摸3个小球，概率最小的是哪一种情况时，就形成了一个“悖论”——回答“摸到3球颜色相同的概率最小”，那么这3球的数字一定不同(这是同时发生的必然事件，概率为1)，摸到3球数字不同的概率一定不是最小;回答“摸到3球数字相同的概率最小”，那么这3球的颜色一定不同，摸到3球颜色不同的概率一定不是最小。
概率是门严密精确的数学，怎么会得到如此矛盾的结果呢, 我们来分析其中的原因:如上图所示，我们先来研究一下，这里颜色和数字的互相关系。
验证生日悖论
验证生日悖论问题引入：一．问题分析生日悖论：如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。
这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中，存在两人生日相同的可能性更高。
对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。
从引起逻辑矛盾的角度来说生日悖论并不是一种悖论，从这个数学事实与一般直觉相抵触的意义上，它才称得上是一个悖论。
大多数人会认为，23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%。
在《著名的生日悖论》中说道： 23个人里有两个生日相同的人的几率有多大呢？居然有50%。
悖论定义：悖论是指一种导致矛盾的命题。
悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。
如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。
生日攻击：生日攻击方法没有利用Hash函数的结构和任何代数弱性质，它只依赖于消息摘要的长度，即Hash值的长度。
这种攻击对Hash函数提出了一个必要的安全条件，即消息摘要必须足够长。
生日攻击这个术语来自于所谓的生日问题，在一个教室中最少应有多少学生才使得至少有两个学生的生日在同一天的概率不小于1/2？这个问题的答案为23。
二．问题求解不计特殊的年月，如闰二月。
先计算房间里所有人的生日都不相同的概率，那么第一个人的生日是 365选365第二个人的生日是 365选364第三个人的生日是 365选363: : :第n个人的生日是 365选365-(n-1) 所以所有人生日都不相同的概率是：(365/365)× (364/365) ×(363/365) ×(362/365)× ... ×【(365-n+1）/365】那么，n个人中有至少两个人生日相同的概率就是： 1-(365/365)× (364/365) ×(363/365) ×(362/365)× ... ×【(365-n+1）/365】所以当n=23的时候，概率为0.507，约等于0.51。
高二数学人教B版选择性必修第二册第三章排列组合与二项式定理第二节生日悖论的解释与模拟课件
探索与体验用计算机模拟数据验证结论的过程；
图像或徒手描点）；
（摘自商务印书馆出版的第7版《现代汉语词典》）
课后作业
1.尝试做出函数 p(n) 的图像（推荐Geogebra做函数
找多个班的学生、亲人、朋友、历史人物等生日资料，计算同一天过生日的数量占总实验次数的比例.
数学探究活动：生日悖论的解释与模拟（1）高二年级 数学
探究（二）概率计算公式验证
悖论：逻辑学指可以同时推导或证明两个互相矛盾的命题的命题或理论体系.
（1）统计当每个数组中数据个数分别为 22，23，30，31，40，41，59，60时，出现相同数据的频率，也可以根据自己兴趣调整实验数据；
数学探究活动：生日悖论的解释与模拟（1）
高二年级 数学
悖论：逻辑学指可以同时推导或证明两个互相矛盾的命 题的命题或理论体系.（摘自商务印书馆出版的第7版《现代 汉语词典》）
悖论是指这样一种逻辑上自相矛盾的状况：肯定一个命 题，就得出它的矛盾命题.也就是说：如果肯定命题A，就推 出非A；如果肯定非A，就推出A.(摘自吉林人民出版社1983 年出版的《逻辑学词典》)
探究（二）概率计算公式验证
由23个人组成的人群中至少有两个人生日相同的概率．
p
1
A23 365
36523
1
365!
36523 365 23!
0.5073
探究（二）概率计算公式验证
由41个人组成的人群中至少有两个人生日相同的概率．
p
1
A41 365
36541
1
365!
36541 365
41!
19 0.37912 35 0.81438 51 0.97443
20 0.41144 36 0.83218 52 0.978
生日悖论的解释与模拟
生日悖论的解释与模拟
嘿，你知道什么是生日悖论不？这可神奇了呢！咱就打个比方哈，
假如你在一个有 23 个人的房间里，你觉得出现两个人生日相同的概率
会有多大？很多人可能会觉得，哎呀，23 个人，一年 365 天，那概率
应该挺小的吧。
嘿，可别小瞧了，实际上这个概率高得惊人！
生日悖论说的就是这种看似不太可能发生的事情，在特定条件下却
有着相当高的可能性。
这就好像你觉得在大街上随便遇到一个熟人的
概率很小，但是有时候就是那么巧，一出门就碰到了。
咱来模拟一下哈，想象一下把 365 个“日子抽屉”摆在那，然后把 23 个人的生日往里放。
一开始，每个抽屉都空空的，放第一个人进去，
随便哪个抽屉都行。
放第二个人的时候呢，就有364 种选择了，对吧？但是随着人越来越多，重复的可能性就越来越大了。
“哎呀，怎么会这样呢？”你可能会这么问。
对呀，就是这么神奇！
这就像你去抽奖，你觉得自己不可能那么容易就中，结果呢，还真就
中了。
再比如，你觉得在一个大班级里，找到两个同一天生日的人很难，
可实际上呢，很有可能就有。
生日悖论在很多地方都有应用呢。
比如说密码学，它能帮助我们理
解一些随机现象的复杂性。
总之啊，生日悖论就是这么个让人惊讶又觉得有趣的东西。
它告诉我们，有些事情不能光凭直觉去判断，得好好想想背后的道理。
你说是不是呢？。
趣味统计学经典案例
趣味统计学经典案例1. 生日悖论生日悖论是指在一个房间里，只需要23个人，就有50%以上的概率至少有两个人生日相同。
这个案例经典的体现了概率论中的鸽巢原理和生日悖论的概率计算。
2. 蒙提霍尔问题蒙提霍尔问题是指一个选手会面对三扇门，其中一扇门后面有奖品，另外两扇门后面是空的。
选手先选择一扇门，然后主持人会打开剩下两扇门中的一扇门，露出一扇空门。
选手是否应该换门以增加获奖的概率，这个问题引发了很多争议和讨论。
3. 红绿灯问题红绿灯问题是指在一个红绿灯路口，红灯亮的时间为60秒，绿灯亮的时间为90秒。
假设一个人随机到达这个路口，他等待的时间有多长？这个问题可以用概率统计的方法来解答，并且可以拓展到更复杂的情况。
4. 奇偶校验奇偶校验是一种常用的错误检测方法，常用于计算机数据传输中。
它利用二进制数中1的个数的奇偶性来检测错误。
比如，一个字节中有奇数个1，则奇偶校验位为1，否则为0。
这个案例可以帮助我们理解错误检测的原理和应用。
5. 投掷硬币投掷硬币是统计学中最基础的实验之一。
通过投掷硬币的结果，我们可以计算出正面和反面出现的概率，进而进行概率分布的推断和假设检验。
6. 高尔夫球洞问题高尔夫球洞问题是指在一个高尔夫球场上，有一个球洞和一个标杆。
如果球员将球随机击打，求平均击打到球洞的距离。
这个问题可以通过统计模拟和概率分布计算来解答。
7. 疾病筛查疾病筛查是统计学在医学领域的重要应用之一。
通过对人群进行检测和筛查，可以计算出疾病的发病率、敏感性、特异性等指标，对疾病的预防和控制起到重要作用。
8. 艾滋病传播模型艾滋病传播模型是指通过数学模型和统计方法，研究艾滋病在人群中的传播规律和预测。
通过对不同人群的感染率、传播速度等指标的估计，可以制定有效的防控措施。
9. 电影评分电影评分是一种常见的统计学应用，通过对观众的评分和评论进行统计分析，可以计算出电影的平均评分、评分分布、观众对电影的满意度等指标，对电影的推广和市场研究具有重要意义。
算法问题——生日悖论
算法问题——⽣⽇悖论问题：⼀个屋⼦⾥⼈数必须要达到多少⼈，才能使其中两⼈⽣⽇相同的机会达到50%？为了回答这个问题，设：1、设k是屋⼦⾥的总⼈数，对每⼀个⼈进⾏编号，则编号为1,2,3···k2、设所有年份都是365天，最⼤天数n=3653、bi表⽰第i个⼈的⽣⽇天数，所以1<=bi<=360，1<=i<=kpublic class Main {/*** 第i个⼈的⽣⽇正好在“第r天的概率”为：** P{bi=r} = 1/n*//*** 第i个⼈和第j个⼈的⽣⽇，“都落在第r天的概率”为：** P{bi=r且bj=r} = P{bi=r}*P{bj=r} = (1/n)^2*//*** 第i个⼈和第j个⼈的⽣⽇，“都落在同⼀天的概率”为？* 此处的落在同⼀天并没有指定落在那⼀天，所以可以都是第1天或者都是第⼆天或者·····** P{bi=bj}* = P{bi=1}*P{bj=1} + P{bi=2}*P{bj=2}+···+P{bi=n}*P{bj=n}* = (1/n)^2 + (1/n)^2 + ···+ (1/n)^2* = 1/n*//*** 原问题是：找到“⾄少有两个⼈⽣⽇相等”* 换句话说就是：1减去所有⼈⽣⽇都互不相同的概率。
* 所以接下来就要找到“所有⼈⽣⽇都互不相同的概率”** 设：* 1、有k个⼈，这k个⼈⽣⽇都互不相同的事件为：Bk* 2、那么k个⼈⽣⽇都互不相同的事件的概率就为：P{Bk}* 3、有⼀个⼈i，有多个⼈1-j，其中j<i（也就是说那多个⼈的编号从1到j，且j编号还⼩于i编号）* 则这个第i个⼈和1-j个⼈的⽣⽇不相同的事件为：Ai* （即：i与1的⽣⽇不同，且i与2的⽣⽇不同···且i与j的⽣⽇不同。
生日悖论与生日分析
《概率论》案例分析题目生日悖论与生日攻击班级：学号：姓名：一、问题分析生日悖论：如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。
这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中，存在两人生日相同的可能性更高。
对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。
从引起逻辑矛盾的角度来说生日悖论并不是一种悖论，从这个数学事实与一般直觉相抵触的意义上，它才称得上是一个悖论。
大多数人会认为，23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%。
在《著名的生日悖论》中说道： 23个人里有两个生日相同的人的几率有多大呢？居然有50%。
悖论定义：悖论是指一种导致矛盾的命题。
悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。
如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。
生日攻击：生日攻击方法没有利用Hash函数的结构和任何代数弱性质，它只依赖于消息摘要的长度，即Hash值的长度。
这种攻击对Hash函数提出了一个必要的安全条件，即消息摘要必须足够长。
生日攻击这个术语来自于所谓的生日问题，在一个教室中最少应有多少学生才使得至少有两个学生的生日在同一天的概率不小于1/2？这个问题的答案为23。
二、问题求解不计特殊的年月，如闰二月。
先计算房间里所有人的生日都不相同的概率，那么第一个人的生日是 365选365第二个人的生日是 365选364第三个人的生日是 365选363:::第n个人的生日是 365选365-(n-1)所以所有人生日都不相同的概率是：(365/365)× (364/365) ×(363/365) ×(362/365)× ... ×【(365-n+1）/365】那么，n个人中有至少两个人生日相同的概率就是：1-(365/365)× (364/365) ×(363/365) ×(362/365)× ... ×【(365-n+1）/365】所以当n=23的时候，概率为0.507，约等于0.51。
违反直觉的概率问题
违反直觉的概率问题
首先，人们往往会根据自己的直觉或者经验来判断概率事件，
但有时候直觉并不符合数学规律。
一个经典的例子是“生日悖论”，即在一个房间里只需要23个人就有超过50%的概率至少有两个人生
日相同。
这个结果往往让人感到惊讶，因为直觉上认为至少需要
365人才会出现这种情况。
这种情况的出现是因为人们往往只考虑
了两个人之间的比较，而没有考虑到所有人之间的组合，从而导致
了直觉和实际概率的偏差。
其次，一些概率问题涉及到了条件概率和贝叶斯定理，这也容
易导致违反直觉的情况。
例如著名的蒙提霍尔问题，即在三个门后
面有一辆汽车和两只山羊，参赛者选择一扇门后，主持人会打开另
一扇门，露出一只山羊，然后问参赛者是否要改变选择。
直觉上，
很多人认为换与不换的中奖概率应该是一样的，但实际上根据贝叶
斯定理，换门后的中奖概率更高。
这个问题违反了很多人的直觉，
导致了许多人对概率计算产生了误解。
此外，人们在面对概率问题时往往容易受到信息呈现的方式影响，从而产生直觉上的偏差。
比如赌博广告中常常强调中奖的概率，但很少提及输钱的概率，这容易让人产生错误的直觉，认为中奖的
可能性很高。
这种情况下，人们往往会高估自己的中奖概率，而低估输钱的风险。
综上所述，违反直觉的概率问题往往源于人们的直觉和经验与实际的数学规律不一致，以及对条件概率和信息呈现方式的误解。
要正确理解概率问题，我们需要运用数学知识和逻辑推理，而不是仅仅依靠直觉和经验。
希望这些解释能够帮助你更好地理解这个问题。
用古典概型解释“生日悖论”
用古典概型解释“生日悖论”一年有365天（假设不是闰年），如果遇到同一天生日的人，人们会不禁感慨，真是巧合，有缘分啊！然而有名的生日悖论指出，如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。
从生日悖论的内容可以看出，两个人生日相同还是很容易发生的。
但是从直观来看，两个人的生日相同是比较稀少的事情。
并且一般来说，可能认为人数起码得达到183，因为182.5是365的一半，至少有两个人的生日相同的概率才能大于50%。
下面我拟用学过的古典概型的知识来解释这个矛盾的现象。
先考虑房间里刚好有23个人的情况。
假设每个人的生日都是独立的，是365天中的某一天，因此23个人的生日情况的基本事件数为36523。
虽然36523是个很大的数，但是仍然是个有限的数，因此符合古典概型要求的只有有限个不同基本事件的条件。
并且23个人的生日情况是这36523种情况里的任何一种，并且可能性是相同的。
因此符合古典概型每个基本事件发生的可能性是均等的条件。
因为不是闰年，因此每个人的生日是且只是一年365天中的一天。
可见这个问题符合古典概型的条件。
我们可以通过古典概型的求解方法来计算23人中至少有两个人的生日相同这一事件的概率。
设事件A为：23人中至少有两个人的生日相同。
在计算事件A包含的基本事件数时，我发现因为情况众多，计算过程非常复杂。
正难则反的思想是求解概率题时经常使用的技巧。
因此我考虑计算A的对立事件的概率。
设事件B为：23个人生日都不相同这一事件。
通过仔细观察可以发现。
事件A和B为对立事件。
因此有P（A）=1-P（B）。
这样就可以通过计算P（B）来计算P（A）。
下面计算事件B包含的基本事件数。
第一个人的生日有365种可能，第二个人的生日不能和第一个人相同，因此有364种可能。
以此类推，第n个人的生日有365-n+1种可能。
因此23个人生日都不相同的这一事件包含的基本事件数为365×364×...×（365-23+1）=365×364× (343)由古典概型的概率计算公式，可以得到事件B的概率：从而我们可以得到事件A，也即23人中至少有两个人的生日相同这一事件的概率为1-0.4927=0.5073。
生日悖论的数学原理
生日悖论的数学原理咱们来聊聊那个有点神奇的生日悖论。
你说奇怪不奇怪，在一个屋子里，如果只要有 23 个人，居然就有超过 50%的概率会有两个人生日相同！这是不是和咱们平常想的不太一样？咱们先来说说为啥会这样。
想象一下，第一个人的生日，那多自由呀，随便哪天都行。
可第二个人呢，要和第一个人生日不同，概率就只有 364/365 啦。
第三个人要和前两个人生日都不同，概率就变成 363/365 。
这么一直算下去，到第 23 个人的时候，所有人生日都不同的概率就变得很小很小啦。
你看啊，咱们平常觉得一年 365 天，23 个人碰上同一天生日好像不太容易。
但实际上，每次多一个人，和前面所有人生日不同的概率都在降低。
这就好像是在一个大抽奖箱里抽奖，抽的次数多了，重复的可能性就越来越大。
再打个比方，假如有一堆五颜六色的糖果，你每次随便拿一颗，刚开始可能不容易拿到一样的颜色。
但是拿的次数多了，是不是就很有可能拿到重复颜色的糖果啦？这和生日悖论是一个道理呀！而且你想想，如果人数更多，比如说 50 个人，那生日相同的概率就高得吓人啦！这是不是有点颠覆你的想象？其实生日悖论也告诉我们，有些事情不能光凭直觉去想。
有时候我们觉得不太可能发生的事情，在数学的计算下，结果可能会让人大吃一惊。
比如说，在生活中，我们可能会觉得中彩票大奖这种事几乎不可能发生。
但从概率的角度来看，只要买的次数足够多，中奖的可能性也会增加哦。
不过可别为了中大奖就拼命买彩票，咱们还是要理性对待哈！回到生日悖论，它真的是个很有趣的现象。
让我们明白了，在看似不可能的背后，可能隐藏着意想不到的可能性。
下次当你参加一个有几十个人的聚会时，不妨猜猜看，会不会有两个人生日相同呢？说不定还真就有呢！这就是生日悖论的奇妙之处啦，是不是很有意思？。
生日悖论及其应用
������ = 1 −
������������
1
2
������ − 1
= 1 − (1 − ������) ∙ (1 − ������) ∙ ⋯ ∙ (1 − ������ )
由于当 n 足够大且 x 相对较小时有
(1
+
������ ������ ������)
≈
������ ������
⟹
1
+
������ ������
≈
������ ������/������
则
������
=
1
−
������−1
∏
������=1
(1
+
−������ ������ )
≈
1
−
������−1
∏
������
−������������
������=1
=
1
−
������−������(���2������−��� 1)
⟹
������−������(���2������−��� 1)
生日悖论及其应用
小山老芋 2014 年冬于北京
——指数计算的 Pollard-λ方法
从装有 n 个不同颜色球的袋子中取一个球，记下该球的颜色，然后再将其放
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
生日悖论生日悖论（Birthday paradox）生日悖论 (1)什么是生日悖论 (1)生日悖论的理解 (1)概率估计 (2)数学论证(非数字方法) (3)泛化和逼近 (5)N＝365的结果 (5)泛化 (5)反算问题 (6)举例 (6)经验性测试 (7)应用 (7)近似匹配 (8)参考文献 (8)什么是生日悖论生日悖论（Birthday paradox）是指，如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。
这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中，存在两人生日相同的可能性更高。
对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。
从引起逻辑矛盾的角度来说生日悖论并不是一种悖论，从这个数学事实与一般直觉相抵触的意义上，它才称得上是一个悖论。
大多数人会认为，23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%。
计算与此相关的概率被称为生日问题，在这个问题之后的数学理论已被用于设计著名的密码攻击方法：生日攻击。
生日悖论的理解理解生日悖论的关键在于领会相同生日的搭配可以是相当多的。
如在前面所提到的例子，23个人可以产生种不同的搭配，而这每一种搭配都有成功相等的可能。
从这样的角度看，在253种搭配中产生一对成功的配对也并不是那样的不可思议。
换一个角度，如果你进入了一个有着22个人的房间，房间里的人中会和你有相同生日的概率便不是50：50了，而是变得非常低。
原因是这时候只能产生22种不同的搭配。
生日问题实际上是在问任何23个人中会有两人生日相同的概率是多少。
概率估计假设有n个人在同一房间内，如果要计算有两个人在同一日出生的机率，在不考虑特殊因素的前提下，例如闰年、双胞胎，假设一年365日出生概率是平均分布的（现实生活中，出生机率不是平均分布的）。
计算机率的方法是，首先找出p(n)表示n个人中，每个人的生日日期都不同的概率。
假如n> 365，根据鸽巢原理其概率为0，假设n≤ 365，则概率为:因为第二个人不能跟第一个人有相同的生日(概率是364/365),第三个人不能跟前两个人生日相同(概率为363/365),依此类推。
用阶乘可以写成如下形式:p(n)表示n个人中至少2人生日相同的概率:n≤365，根据鸽巢原理，n大于365时概率为1。
当n=23发生的概率大约是0.507。
其他数字的概率用上面的算法可以近似的得出来：n p(n)10 12%20 41%30 70%50 97%100 99.99996%200 99.9999999999999999999999999998%300 1 − (7 × 10−73)350 1 − (3 × 10−131)≥366 100%注意所有人都是随机选出的:作为对比,q(n)表示房间中 n个其他人中与特定人（比如你）有相同生日的概率：当n= 22时概率只有大约0.059,约高于十七分之一。
如果n个人中有50％概率存在某人跟你有相同生日，n至少要达到253 。
注意这个数字大大高于.究其原因是因为房间内可能有些人生日相同。
==数学论证(非数字方法)==数学论证(非数字方法)在 Paul Halmos 的自传中，他认为生日悖论仅通过数值上的计算来解释是一种悲哀。
为此，Paul Halmos给出了一种概念数学方法的解释，下面就是这种方法（尽管这个方法包含一定的误差）。
乘积:等于 1－p(n), 因此我们关注第一个n，使得乘积小于1/2，这样我们得到: 由平均数不等式得：(我们首先利用已知的1到n－1所有整数和等于n(n－1)/2, 然后利用不等式不等式 1－x< e−x.)如果仅当:最后一个表达式的值会小于0.5。
其中"log e"表示自然对数。
这个数略微小于506，运气稍微好一点点就可以达到506，等于n2－n，我们就得到n＝23。
在推导中，Halmos写道:这个推导是基于一些数学系学生必须掌握的重要工具。
生日问题曾经是一个绝妙的例子，用来演示纯思维是如何胜过机械计算：一两分钟就可以写出这些不等式，而乘法运算则需要更多时间，并更易出错，无论使用的工具是一只铅笔还是一台老式电脑。
计算器不能提供的是理解力，或数学才能，或产生更高级、普适化理论的坚实基础。
[1]。
然而Halmos的推导只显示至少需要23人保证平等机会下的生日匹配；因为我们不知道给出的不等式有多清晰，因此n＝22能够正切的可能也无法确定。
泛化和逼近生日悖论可以推广一下：假设有n个,每一个人都随机地从1和特定的N个数中选择出来一个数(N可能是365或者其他的大于0的整数)。
p(n)表示有两个人选择了同样的数字，这个概率有多大?下面的逼近公式可以回答这个问题N＝365的结果泛化下面我们泛化生日问题: 给定从符合离散均匀分布的区间[1,d]随机取出n个整数, 至少2个数字相同的概率p(n;d) 有多大?类似的结果可以根据上面的推导得出。
反算问题反算问题可能是:对于确定的概率p ...... 找出最大的n(p)满足所有的概率p(n)都小于给出的p,或者... 找出最小的n(p) 满足所有的概率p(n)都大于给定的p。
对这个问题有如下逼近公式:举例逼近估计N :=365p n推广n <N :=365n↓p(n↓)n↑p(n↑)0.010.14178 √N2.7086420.0027430.008200.050.32029 √N6.1191660.0404670.056240.10.45904 √N8.7700280.0743490.094620.20.66805 √N12.76302120.16702130.19441注意:某些值被着色，说明逼近不总是正确。
经验性测试生日悖论可以用计算机代码经验性模拟days:= 365;numPeople:= 1;prob:= 0.0;while prob < 0.5 beginnumPeople:= numPeople + 1;prob:= 1 - ((1-prob) * (days-(numPeople-1)) / days); print "Number of people: " + numPeople;print "Prob. of same birthday: " + prob;end;应用生日悖论普遍的应用于检测哈希函数:N-位长度的哈希表可能发生碰撞测试次数不是2N次而是只有2N/2次。
这一结论被应用到破解密码学散列函数的生日攻击中。
生日问题所隐含的理论已经在（Schnabel 1938）名字叫做capture-recapture的统计试验得到应用，来估计湖里鱼的数量。
近似匹配此问题另外一个范化就是求得要在随机选取多少人中才能找到2个人生日相同，相差1天，2天等的概率大于50％。
这是个更难的问题需要用到容斥原理。
结果(假设生日依然按照平均分布)正像在标准生日问题中那样令人吃惊:只需要随机抽取6个人，找到两个人生日相差一周以内的概率就会超过50%。
参考文献1.↑原文：The reasoning is based on important tools that all students of mathematicsshould have ready access to. The birthday problem used to be a splendid illustration of the advantages of pure thought over mechanical manipulation; the inequalities can be obtained in a minute or two, whereas the multiplications would take much longer, and be much more subject to error, whether the instrument is a pencil or an old-fashioned desk computer. What calculators do not yield is understanding, or mathematical facility, or a solid basis for more advanced, generalized theories2.Zoe Emily Schnabel: "The estimation of the total fish population of a lake"（某湖中鱼类总量估计）, 美国数学月刊 45 (1938年), 348-352页3.M. Klamkin，D. Newman: "Extensions of the birthday surprise"（生日惊喜的扩充）, Journal of Combinatorial Theory 3 (1967年),279-282页。
4.D. Blom: "a birthday problem"生日问题, 美国数学月刊 80 (1973年),1141-1142页。
{这一论文证明了当生日按照平均分布，两个生日相同的概率最小。
}免费言情小说5F8Ktc1GI54z21。