历年导数压轴经典题目

历年导数压轴经典题目证题中常用的不等式:① ln 1(0)x x x ≤->②≤ln +1(1)x x x ≤>-（） ③1x e x ≥+④ 1xex -≥-⑤ ln 1(1)12x x x x -<>+⑥ 22ln 11(0)22x x x x <->⑦ 1≥e^x （1-x ）1.已知函数321()3f x x ax bx =++,且'(1)0f -=(1) 试用含a 的代数式表示b,并求()f x 的单调区间；（2）令1a =-,设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点M (1x ,1()f x )，N(2x ,2()f x )，P(,()m f m ), 12x m x <<,请仔细观察曲线()f x 在点P 处的切线与线段MP 的位置变化趋势，并解释以下问题：（I ）若对任意的m ∈(t, x 2)，线段MP 与曲线f(x)均有异于M,P 的公共点，试确定t 的最小值，并证明你的结论；（II ）若存在点Q(n ,f(n)), x ≤n< m ,使得线段PQ 与曲线f(x)有异于P 、Q 的公共点，请直接写出m 的取值围（不必给出求解过程）2.本小题满分14分）已知函数，，且是函数的极值点。

（Ⅰ）数的值； （Ⅱ）若方程有两个不相等的实数根，数的取值围；（Ⅲ）若直线是函数的图象在点处的切线，且直线与函数的图象相切于点，，数的取值围。

1 x x3.已知函数()()()()201,10.x f x ax bx c e f f =++==且（I ）若()f x 在区间[]0,1上单调递减，数a 的取值围；（II ）当a=0时，是否存在实数m 使不等式()224141x f x xe mx x x +≥+≥-++对任意x R ∈恒成立？若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由4.已知：二次函数()g x 是偶函数，且(1)0g =，对,()1x R g x x ∀∈≥-有恒成立，令1()()ln ,()2f xg x m x m R =++∈（I ）求()g x 的表达式；（II ）当0m <∃≤时,若x>0,使f(x)0成立，求m 的最大值；（III ）设12,()()(1),m H x f x m x <<=-+证明：对12,[1,]x x m ∀∈，恒有12|()()| 1.H x H x -<5.已知函数()(a x ax x f ln -=＞)().28,0+=x xx g （I ）求证();ln 1a x f +≥（II ）若对任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈32,211x ，总存在唯一的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e ex ,122（e 为自然对数的底数），使得()()21x f x g =，数a 的取值围.6.已知函数2()8,()6ln .f x x x g x x m =-+=+ （I ）求()f x 在区间[],1t t +上的最大值();h t（II ）是否存在实数,m 使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值围；若不存在，说明理由。

7.已知函数()xf x e kx =-，x ∈R（Ⅰ）若k=e ，试确定函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若k>0，且对于任意,()0x R f x ∈>恒成立，试数k 的取值围；（Ⅲ）设函数F （x ）=f （x ）+f （x ）+f （-x ），求证：12(1)(2)()(2)n n F F F n e +⋅⋅⋅>+（*n N ∈）8.（1）已知函数f(x)=x 3=x ，其图像记为曲线C. （i ）求函数f(x)的单调区间；(ii)证明：若对于任意非零实数x 1，曲线C 与其在点P 1（x 1,f(x 1）处的切线交于另一点P 2（x 2,f(x 2).曲线C 与其在点P 2处的切线交于另一点P 3（x 3 f(x 3)），线段P 1P 2,P 2P 3与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为S 1,S 2，则12s s 为定值： （Ⅱ）对于一般的三次函数g （x ）=ax 3+bx 2+cx+d(a ≠0)，请给出类似于(Ⅰ)(ii)的正确命题，并予以证明。

9.已知函数R a ex ax e x f x∈-+=,)(2（Ⅰ）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线平行于x 轴，求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）试确定a 的取值围，使得曲线)(x f y =上存在唯一的点P ，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P 。

10．已知f (x )=222+-x ax (x ∈R )在区间[-1，1]上是增函数．（Ⅰ）数a 的值组成的集合A ； （Ⅱ）设关于x 的方程f (x )=x1的两个非零实根为x 1、x 2．试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm +1≥|x 1-x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1，1]恒成立？若存在，求m 的取值围；若不存在，请说明理由．11.已知函数f (x )＝ln x ，g(x )＝21ax 2＋b x ，a ≠0. （Ⅰ）若b ＝2，且h (x )＝f (x )－g(x )存在单调递减区间，求a 的取值围；（Ⅱ）设函数f (x )的图象C 1与函数g(x )图象C 2交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交C 1，C 2于点M 、N ，证明C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行.12.已知()n n n A a b ，（n ∈N*）是曲线xy e =上的点，1a a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足22213n n n S n a S -=+，0n a ≠，234n =，，，…．（I ）证明：数列2n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭（2n ≤）是常数数列； （II ）确定a 的取值集合M ，使a M ∈时，数列{}n a 是单调递增数列； （III ）证明：当a M ∈时，弦1n n A A +（n ∈N*）的斜率随n 单调递增．13已知函数f (x )=ln 2(1+x)-21x x+. (I)求函数f (x ) 的单调区间; （Ⅱ）若不等式1(1)a ae n++≤对任意的N*n ∈都成立（其中e 是自然对数的底数）.求α的最大值.14.已知函数),()(2R c b c bx x x f ∈++=，对任意R x ∈，恒有).()('x f x f ≤ （I ）证明：当0≥x 时，;)()(2c x x f +≤（II ）若对满足题设条件的任意b ，c ，不等式)()()(22b c M b f c f -≤-恒成立，求M的最小值.15.已知函数3()f x x =，()g x x =（Ⅰ）求函数()()()h x f x g x =-的零点个数。

并说明理由；（Ⅱ）设数列{n a }（*n N ∈）满足10(0)a a =>，1()()n n f a g a +=，证明：存在常数M,使得 对于任意的*n N ∈，都有n a ≤ M ．16.已知函数()f x =axe x =-，其中a ≠0.（1） 若对一切x ∈R ，()f x ≥1恒成立，求a 的取值集合.（2）在函数()f x 的图像上取定两点11(,())A x f x ，22(,())B x f x 12()x x <，记直线AB 的斜率为K ，问：是否存在x 0∈（x 1，x 2），使0()f x k '>成立？若存在，求0x 的取值围；若不存在，请说明理由.17.设()ln(1)(,,,)f x x ax b a b R a b =+++∈为常数，曲线()y f x =与直线32y x =在(0，0)点相切。

(Ⅰ)求,a b 的值。

(Ⅱ)证明：当02x <<时，9()6xf x x <+。

18.已知函数()()21xf x x e -=+⋅()3,12cos .2x g x ax x x =+++当[]0,1x ∈时，（I ）求证：()11-;1x f x x≤≤+ （II ）若()()f x g x ≥恒成立，数a 的取值围。

19.已知函数8()(cos )(2)(sin 1)3f x x x x x π=-+-+，2()3()cos 4(1sin )ln(3)xg x x x x x π=--+-.证明：（1）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（2）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<.20.已知函数()()()1ln 1,.xf x x a x a Rg x xe -=--∈=（I ）求()g x 的极值；（II ）设2a =，函数()()322m h x x x f x ⎡⎤'=++⎢⎥⎣⎦在区间()2,3上不是单调函数，数m 的取值围.（III ）当0a <时，若对任意的 []()()()()()1212212111,3,4,x x x x f x f x g x g x ∈≠-<-恒成立，求a 的最小值.21.已知函数()ln ,().xf x xg x e == ⑴若函数φ(x )=f (x )－11x x ，求函数φ(x )的单调区间； ⑵设直线l 为函数f (x )的图象上一点A (x 0，f (x 0))处的切线，证明：在区间(1,+∞)上存在唯一的x 0，使得直线l 与曲线y =g (x )相切．22.已知函数2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-． ⑴求()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；⑵若存在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（e 是常数，e ＝2.71828⋅⋅⋅）使不等式2()()f x g x ≥成立，数a 的取值围；⑶证明对一切(0,),x ∈+∞都有12ln x x e ex>-成立．23.设函数1()ln ().f x x a x a R x =--∈⑴讨论函数()f x 的单调性；⑵若()f x 有两个极值点12,x x ，记过点11(,()),A x f x 22(,())B x f x 的直线斜率为k ,问：是否存在a ，使得2k a =-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.24.已知函数()()323,f x ax bx x a b R =+-∈在点()()1,1f 处的切线方程为20y +=．⑴求函数()f x 的解析式；⑵若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有()()12f x f x c -≤，数c 的最小值；⑶若过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线，数m 的取值围．25.已知a ∈R ，函数()ln 1,()(ln 1),x af x xg x x e x x=+-=-+（其中 2.718e ≈） （I ）求函数()f x 在区间(]0,e 上的最小值；（II ）是否存在实数(]00,x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直？若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由。