1_3_密码学_公钥密码
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17
RSA算法
• 算法描述
– n＝p·q，p、q为大素数 – 选取e <φ(n)，使e与φ(n)互素 – 选取d，使ed≡1mod φ(n) – {e，n}为公开密钥，{d，n}为私有密钥 – 加密方法：c＝me mod n – 解密方法：m＝cd mod n
18
RSA算法
• 举例
19
RSA算法
的，由y计算x是困难的
14
RSA算法
15
数论基础
• Fermat定理:
– p素数,a是整数且不能被p整除,则: ap-1 1 mod p （即ap-1 mod p 1 ）
• Euler数(n)定义为小于n且与n互素的正整数个数
– p是素数,(p)=p-1 – 若n的因子分解为n=Piai, ai>0,Pi互不相同,则 (n)=
5
密钥分发问题
• 如何分发密钥？
– 打电话？
• 有人窃听！
– 邮递快件？
• 丢失！失窃！
– 派专人将密钥送给客户
• 费时费力！
密钥分发不仅要耗费巨大的成本，而且也很容易成为加密通信中的一个薄弱环节！
6
对称密码体制的问题
• 对称密码体制的问题
– 密钥分发问题
• 安全信道
– 密钥管理问题
• 密钥爆炸
素性测试
23
RSA算法
• 素数生成过程
随机选择一个奇数n(如通过伪随机数发生器) 随机选择a, 使a<n 进行素性测试(例如用Miller-Rabin算法),若n没有通过测
试,抛弃n,转到 如果通过了足够次数的测试,认为n是素数,否则转到.
– 素数理论: 在N附近，每ln(N)个整数中有一个素数
24
• 公钥技术是二十世纪最伟大的 思想之一
• 1978年，RSA公钥算法提出
– 参见：Rivest RL, Shamir A, Adleman L. A method for obtaining digital signatures and public key cryptosystems. Communications of the ACM, 1978,21(2):120～126.
• 给定x，计算y＝f(x)是容易的 • 给定y，计算x使y＝f(x)是困难的 • 存在m，当已知m时，给定y，计算x使y＝f(x)是容易
的
12
主流公钥体制
• 基于整数因子分解的
– RSA – 原理：已知大整数N=pq，求素因子p,q是计算困
难的
13
主流公钥体制
• 基于离散Байду номын сангаас数问题的
– ElGamal – ECC – Diffie-Hellman – 原理：y≡gx mod p，已知g、p,由x计算y是容易
RSA算法
• 安全性
– 基于因子分解问题的困难性 – 是否NP≠P？ – 因子分解是否是NPC问题？ – RSA是否等价于因子分解问题？
25
公钥密码体制
• RSA
– 攻击方法
• 暴力攻击（穷举法） • 数学分析攻击 • 消息遍历攻击（消息内容短时适用） • 选择密文攻击
26
Diffie-Hellman密钥交换
d=(d*a) mod n;
时间复杂度：O(logn)
}
return d;
– m = (((bk2+bk-1)2+bk-2)2+…)2+b0
• 例如：x15＝x1111＝x·x2·x4·x8
22
RSA算法
• 如何选择p、q
– 随机选取一个需要的数量级的奇数并检验这个 数是否是素数
• d的计算
– Euclid推广算法
– 解密者也可加密，无法实现“非否认”的需求
7
公钥密码体制的提出
• 1976年，Diffie与Hellman提出 公钥密码体制的设想，和DF 密钥分配方案
– 参见： W. Diffie, M. Hellman, New directions in cryptography, IEEE Trans. on Information Theory, IT-22(1976)6, 644-654.
Piai(1-1/Pi) – 若gcd(m,n)=1,则(mn)=(m)(n),特别地,若pq且都是素
数, (pq)=(p-1)(q-1)
16
数论基础(续)
• Euler定理: 若a与n为互素的正整数,则 a(n) 1 mod n
• 推论: 若n=pq, pq都是素数, k是任意整数,则 mk(p-1)(q-1)+1 m mod n, 对任意0mn
公钥密码
1
主要内容
• 古典密码 • 现代密码体制
– 对称密码体制
• 分组密码 • 序列密码
– 公钥密码体制
2
无条件安全性
• 无条件安全
– 无条件安全是在信息论意义下定义的，明文与 密文在统计上独立，即无论截获密文多少，对 明文的信息量为零
– 有没有“无条件安全”的算法呢？
3
Vernam算法
• Vernam算法
• 举例
20
RSA算法
• 实现中的问题
– 如何计算am mod n – 密钥产生算法
• 如何选择p、q • 选择e后，如何计算d
21
如何计算am mod n
• 计算d=am mod n, m=bkbk-1…b0(二进制表示)
d=1
for i=k to 0
{
d=(d*d) mod n; if (bi == 1)
8
公钥密码体制
• 特性
– 加密与解密由不同的密钥完成 – 仅由解密密钥无法推导出加密密钥
加密密钥
公开信道
解密密钥
明文
加密
密文
破译
9
解密
明文
公钥密码机制
• 加密模型
10
公钥密码机制
• 认证模型
11
公钥密码机制
• 一个实用的公开密钥方案的发展依赖于找 到一个陷门单向函数！
• 陷门单向函数
– 满足以下条件的函数f
Alice
YA =gXA mod p
(YBXA) mod p = K
私钥, XA 公钥, YA
Bob
YB = gXB mod p
YA YB
(YAXB) mod p = K
私钥, XB 公钥, YB
27
公钥密码体制
• Diffie-Hellman密钥交换算法
– 算法思想来源 – 第一个公钥方案（1976） – 基于有限域上的离散对数问题 – 专利算法（已到期－1997） – 弱点：中间人攻击
– 发明者：Gilbert Vernam – 密码本 01101001110001001 – 消息串 00111011101011011 – 密文串 010100100……
• Catch 22问题
4
Catch 22 困境
• 不仅Vernam算法存在Catch 22困境，对于其 他加密方法，也面临着同样的困境——密 钥分配问题
RSA算法
• 算法描述
– n＝p·q，p、q为大素数 – 选取e <φ(n)，使e与φ(n)互素 – 选取d，使ed≡1mod φ(n) – {e，n}为公开密钥，{d，n}为私有密钥 – 加密方法：c＝me mod n – 解密方法：m＝cd mod n
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RSA算法
• 举例
19
RSA算法
的，由y计算x是困难的
14
RSA算法
15
数论基础
• Fermat定理:
– p素数,a是整数且不能被p整除,则: ap-1 1 mod p （即ap-1 mod p 1 ）
• Euler数(n)定义为小于n且与n互素的正整数个数
– p是素数,(p)=p-1 – 若n的因子分解为n=Piai, ai>0,Pi互不相同,则 (n)=
5
密钥分发问题
• 如何分发密钥？
– 打电话？
• 有人窃听！
– 邮递快件？
• 丢失！失窃！
– 派专人将密钥送给客户
• 费时费力！
密钥分发不仅要耗费巨大的成本，而且也很容易成为加密通信中的一个薄弱环节！
6
对称密码体制的问题
• 对称密码体制的问题
– 密钥分发问题
• 安全信道
– 密钥管理问题
• 密钥爆炸
素性测试
23
RSA算法
• 素数生成过程
随机选择一个奇数n(如通过伪随机数发生器) 随机选择a, 使a<n 进行素性测试(例如用Miller-Rabin算法),若n没有通过测
试,抛弃n,转到 如果通过了足够次数的测试,认为n是素数,否则转到.
– 素数理论: 在N附近，每ln(N)个整数中有一个素数
24
• 公钥技术是二十世纪最伟大的 思想之一
• 1978年，RSA公钥算法提出
– 参见：Rivest RL, Shamir A, Adleman L. A method for obtaining digital signatures and public key cryptosystems. Communications of the ACM, 1978,21(2):120～126.
• 给定x，计算y＝f(x)是容易的 • 给定y，计算x使y＝f(x)是困难的 • 存在m，当已知m时，给定y，计算x使y＝f(x)是容易
的
12
主流公钥体制
• 基于整数因子分解的
– RSA – 原理：已知大整数N=pq，求素因子p,q是计算困
难的
13
主流公钥体制
• 基于离散Байду номын сангаас数问题的
– ElGamal – ECC – Diffie-Hellman – 原理：y≡gx mod p，已知g、p,由x计算y是容易
RSA算法
• 安全性
– 基于因子分解问题的困难性 – 是否NP≠P？ – 因子分解是否是NPC问题？ – RSA是否等价于因子分解问题？
25
公钥密码体制
• RSA
– 攻击方法
• 暴力攻击（穷举法） • 数学分析攻击 • 消息遍历攻击（消息内容短时适用） • 选择密文攻击
26
Diffie-Hellman密钥交换
d=(d*a) mod n;
时间复杂度：O(logn)
}
return d;
– m = (((bk2+bk-1)2+bk-2)2+…)2+b0
• 例如：x15＝x1111＝x·x2·x4·x8
22
RSA算法
• 如何选择p、q
– 随机选取一个需要的数量级的奇数并检验这个 数是否是素数
• d的计算
– Euclid推广算法
– 解密者也可加密，无法实现“非否认”的需求
7
公钥密码体制的提出
• 1976年，Diffie与Hellman提出 公钥密码体制的设想，和DF 密钥分配方案
– 参见： W. Diffie, M. Hellman, New directions in cryptography, IEEE Trans. on Information Theory, IT-22(1976)6, 644-654.
Piai(1-1/Pi) – 若gcd(m,n)=1,则(mn)=(m)(n),特别地,若pq且都是素
数, (pq)=(p-1)(q-1)
16
数论基础(续)
• Euler定理: 若a与n为互素的正整数,则 a(n) 1 mod n
• 推论: 若n=pq, pq都是素数, k是任意整数,则 mk(p-1)(q-1)+1 m mod n, 对任意0mn
公钥密码
1
主要内容
• 古典密码 • 现代密码体制
– 对称密码体制
• 分组密码 • 序列密码
– 公钥密码体制
2
无条件安全性
• 无条件安全
– 无条件安全是在信息论意义下定义的，明文与 密文在统计上独立，即无论截获密文多少，对 明文的信息量为零
– 有没有“无条件安全”的算法呢？
3
Vernam算法
• Vernam算法
• 举例
20
RSA算法
• 实现中的问题
– 如何计算am mod n – 密钥产生算法
• 如何选择p、q • 选择e后，如何计算d
21
如何计算am mod n
• 计算d=am mod n, m=bkbk-1…b0(二进制表示)
d=1
for i=k to 0
{
d=(d*d) mod n; if (bi == 1)
8
公钥密码体制
• 特性
– 加密与解密由不同的密钥完成 – 仅由解密密钥无法推导出加密密钥
加密密钥
公开信道
解密密钥
明文
加密
密文
破译
9
解密
明文
公钥密码机制
• 加密模型
10
公钥密码机制
• 认证模型
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公钥密码机制
• 一个实用的公开密钥方案的发展依赖于找 到一个陷门单向函数！
• 陷门单向函数
– 满足以下条件的函数f
Alice
YA =gXA mod p
(YBXA) mod p = K
私钥, XA 公钥, YA
Bob
YB = gXB mod p
YA YB
(YAXB) mod p = K
私钥, XB 公钥, YB
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公钥密码体制
• Diffie-Hellman密钥交换算法
– 算法思想来源 – 第一个公钥方案（1976） – 基于有限域上的离散对数问题 – 专利算法（已到期－1997） – 弱点：中间人攻击
– 发明者：Gilbert Vernam – 密码本 01101001110001001 – 消息串 00111011101011011 – 密文串 010100100……
• Catch 22问题
4
Catch 22 困境
• 不仅Vernam算法存在Catch 22困境，对于其 他加密方法，也面临着同样的困境——密 钥分配问题