第三章 功和能
大学物理ch3 功和能
= mg tanθ cosθ ds
= mgL tan θ cos θdθ
0 θ0
= mgL(1 − cos θ0 )
2
2016/3/3
书中例题3.2 (p.98)（重点） 一条长L，质量M的均匀柔绳，A端挂在天花板上，自然下垂，将 B端沿铅直方向提高到与A端同高处。 求：该过程中重力所作的功。 解：提升高度y时，提的链长y/2 提起部分的质量
力与位移的夹角在变的例子
求 θ = θ0 时，F 作的功。
解
例 已知用力 F 缓慢拉质量为m 的小球，F 保持方向不变
3.2 几种常见力的功
一.重力的功
重力mg 在曲线路径 M1M2 上的功为
z
Z2
M1
②
F − T sin θ = 0
T cosθ − mg = 0
F = mg tanθ A = F ⋅ dr = F cosθ ds
m1
Ai = Ai外 + Ai内
i i i
讨论 (1) 内力和为零,内力功的和 是否为零？ 不一定为零
v m2 2 v4 m3 v3
f1
B A S
v1 m4
∵功是标量，其和为代数和。 内力总是成对出现的，按照牛顿第三定律，这一对力 的矢量和为0，但这一对力所作的功的和不一定为0。
f2
b0 =
μ0 l 1 + μ0
1 1 1 ρg (l 2 − b 2 ) − μρg (l − b) 2 = ρlv 2 − 0 2 2 2
v=
当 y >b0 ，拉力大于最大静摩擦力时，链条将开始滑动。
g 2 2 μg (l − b ) − (l − b) 2 l l
张达宋《大学物理教程(第三版)》第三章 功和能
第三章 功和能能量这个概念很重要，这是因为能量守恒定律是一切变化和过程所必须遵守的定律，因而是自然界中一条普遍规律．而功和能量这两个概念是密切相关的，所以都是物理学中的重要概念．这一章的要求是：理解功和能的概念；掌握动能定理、功能原理和机械能守恒定律，熟练地应用它们解决有关实际问题．§3－1 功 功率功的概念来源于机械工作，各种机械工作有一共同特点，即机械对工作对象有力的作用，而且工作对象沿力的方向有一位移．由此我们总结出功的概念：当物体受到力的作用并且沿力的方向有一位移时，我们就说这个力对物体作了功．如果物体没有位移或沿力的方向没有位移，力都没有作功．例如吊车吊着重物不动或使重物在一水平面上作匀速运动，吊车施于重物的力就没有作功．下面我们介绍功的定量定义，首先考虑恒力的功，然后考虑变力的功．一、恒力的功大小和方向都不变的力叫做恒力．假设质点在恒力F 作用下由a 点沿直线运动到b 点，其位移为s (图3－1)，我们定义力对质点所作的功为力在位移方向的分量与位移大小的乘积．设θ为力F 的方向与位移s 的方向的夹角，则力在位移方向的分量为F cos θ，所以力对质点所作的功为θθc o s )c o s (Fs s F W == （3－1） 以上定义的功也可用矢量的标积表示为s F ⋅=W （3－2）因为功没有方向意义，所以功是标量，但由(3－1)式看出，功有正负．当0 ≤ θ < 90°时，W > 0，力F 作正功；当θ = 90°时，W = 0，力F 不作功；当90°< θ ≤180°时，W < 0，力F 作负功．当力F 对物体作负功时，我们说物体克服力F 作功．例如用一水平方向的力拉平地上的物体，使它沿水平方向运动(图3－2)．作用于物体的力有拉力F ，重力G ，地面的支承力F N ，地面的摩擦力F f ．力F 作正功，G 及F N 不作功，F f 作负功．应当注意，摩擦力不一定作负功，它可以作正功或不作功．例如在商场通往上一层楼的传送带上放置的货物受到传送带对它的摩擦力F f 作用(图3－3)，这个摩擦力的方向和货物的运动方向相同，故这个摩擦力作正功．又如汽车在水平地面上转弯时，使汽车产生法向加速度的法向力是由地面对汽车的静摩擦力提供的，这个力和汽车的运动方向垂直，故不作功．二、变力的功图3－1图3－2 图3－3在通常情况下，质点运动的轨道不是直线而是曲线，作用于质点的力也不是恒力而是变力，即力的大小和方向随质点的位置而变化，还可能与质点的速度及时间有关．如图3－4，设质点在变力F 作用下由a 点沿曲线运动到b 点，求力F 所作的功．为简单起见，假设力F 仅与质点的位置有关，是质点的位矢r 的函数，在此情形，(3－1)或(3－2)式不适用．解决的办法是将曲线ab 划分为许许多多小段，设与各小段对应的位移为Δr1，Δr 2，…，Δr i ，…．当各小段充分小时，每一小段可看成一直线段，因为力F 连续地变化，质点在各小段上的各点所受的力近似地等于质点在各该小段的起始点所受的力，分别用F 1，F 2，…，F i ，…表示．按照(3－2)式，力在位移Δr i 中所作的功ΔW i 近似地等于F i 与Δr i 的标积，即i i i W r F ΔΔ⋅≈i i r F Δ⋅称为力在位移Δr i 中的元功．力F 在整个路程ab 中的功W 近似地等于在所有各小段位移中的元功之和，即∑∑⋅≈=i i i W W r F ΔΔ设λ为各小段弧长的最大值，λ越小，每一小段的弧越接近于它所对的弦(即Δr i )，质点在每一小段上各点所受的力越接近于在该小段的起始点所受的力(即F i )．因此，λ越小，在每一小段上，标积i i r F Δ⋅越接近于力在该小段中的功ΔW i ，因而和数∑⋅i i r F Δ就越接近于在整个路程中的功W ．当0→λ时，和数∑⋅i i r F Δ的极限值便完全等于W 了．此极限值在积分学上称为函数F (r )沿曲线ab 的线积分，记为⎰⋅r F d ，于是得 ⎰∑⋅=⋅=→i i W r F r F d Δlim 0λ （3－3） 特殊情形(1)：如果在整个路程ab 中作用力F 为恒力，则(3－3)式化为 s F r r F r F ⋅=-⋅=⋅=⎰)(d a b b a W （3－4） 其中r a 和r b 分别为a 点和b 点对原点O 的位矢，s = r b - r a 为由a 点到b 点的位移(图3－5)．(3－4)式与(3－2)式相同．可见质点在恒力作用下作曲线运动时，(3－2)式仍然适用．图3－4图3－5特殊情形(2)：如果力F 和位移d r 都在同一直线上，取此直线为x 轴，则F 和d r 可用x 轴上单位矢i 表示为F = F i ， d r = d x i于是(3－3)式化为⎰⎰=⋅=b a x x x F x F W d )d ()(i i （3－5） 此处F 和d x 是代数量，即不论力和位移是同向或反向，上式都适用，因而具有一般性．如果令F 表示F 的大小，d s 表示d r 的大小，θ为F 与d r 之间的夹角，则(3－3)式可写为⎰⎰=⋅=abab s F W d cos d θr F （3－6） 合力的功 如果质点同时受到几个力F l ，F 2，F 3，…作用，则作用于质点的合力为F = F l + F 2 + F 3 +…合力的功为+++=+⋅+⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰321321 d d d d W W W W abab r F r F r F r F即合力的功等于各个分力的功的代数和．功的单位和量纲 由W = Fs 得知，功的单位由F 的单位和s 的单位决定，在国际单位制中，功的单位是焦耳，符号为J ．1 J 就是1N 的力使质点沿力的方向移动1 m 所作的功，功的量纲是ML 2T -2．三、功率功的概念不包含时间因素，但在生产实践中时间因素非常重要．例如有两台机器，一台机器比另一台机器可以在较短的时间完成同样多的功，显然第一台机器作功比第二台快．因此我们引入功率这个概念，它是表示作功快慢的一个物理量，数值上等于单位时间内所作的功．如果在Δt 时间内所作的功为ΔW ，则在这段时间内的平均功率为tW P ΔΔ= 当Δt →0时，即得瞬时功率：tW t W P t d d ΔΔlim 0Δ==→ 如果力F 作用在物体上使它获得速度v ，则物体消耗的功率为v v ⋅=⋅=⋅==F F r F tt t t W P d d d d d d （3－7） 其中d r 为物体在d t 时间内的位移．根据定义，功率的单位是功的单位与时间的单位之比．在国际单位制中，功率单位为焦耳每秒，称为瓦特，简称为瓦，符号为W ．例题3－1 恒力F 将质量为15kg 的物体以匀速v = 5 m/s 拉上山坡，山坡的斜率为0.1，物体与山坡间的摩擦系数为0.2，求 (1) 在1 min 内作用于物体的各力所作的功；(2)合力的功；(3) 力F 的功率．解 作用于物体的力有拉力F ，重力m g ，摩擦力F f 及山坡的反作用力F N ．将重力分解为分力mg sin θ及mg cos θ如图3－6，其中θ为山坡与水平面的夹角，sin θ ≈tan θ = 0.1，cos θ ≈ 1．因为物体作匀速运动，作用于物体的合力为零，故由图得mg F F mg mg F μμθ====N f N ,cosmg mg mg F )sin (sin θμθμ+=+= 在1min 内物体移动的距离为 s = 60×5 m = 300 m ．(1) 力F 的功为J 230 13J 3008.915)1.02.0()sin (=⨯⨯⨯+=+=mgs W F θμ重力的功为J 410 4J 3001.08.915sin -=⨯⨯⨯-=-=s mg W m g θ摩擦力的功为J 820 8J 3008.9152.0f -=⨯⨯⨯-=-=mgs W F μ反作用力F N 的功为0N =F W(2) 合力的功为0J 0)820 8410 4230 13(N f =+--=+++=F F m g F W W W W W这个结果不经过计算也是可以预料到的，因为合力为零．(3) 力F 的功率为W 5.202 W 58.915)1.02.0()sin (=⨯⨯⨯+=+==v v mg F P θμ例题3－2 用F = 10 N 的恒力通过轻绳和轻滑轮沿光滑水平面拉动重物，如图3－7．设图中所示高度h = 2 m ，不计绳与滑轮间和轮轴处的摩擦，在将重物由位置A (绳与水平面的夹角θ = 30°)拉到位置B (绳与水平面的夹角θ = 37°)的过程中，求力F 所作的功． 解 以位置A 为原点，向右为x 轴正向取如图3－7所示的坐标轴Ax ，设由位置A 到滑轮正下方位置C 间的距离为L ，当重物移动到坐标为x 处时绳与水平面间的夹角为θ，则由几何关系可得θcot h L x -=图3－6图3－7微分得 θθθθd sin d csc d 22h h x == 重物沿水平面移动的过程中，恒力F 沿绳作用在重物上的力F 的方向随θ变化，是一变力．恒力F 对重物所作的功等于F 的水平方向分量F cos θ所作的功，则由A 到B 的过程中力F 所作的功为J 6.77J 37sin 130sin 1210 sin 1sin 1sin sin d d sin cos d cos 21222121=⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-====⎰⎰⎰θθθθθθθθθθθθFh Fh Fh x F W B A§3－2 动能 动能定理能的概念和功的概念有密切联系．什么叫做能？如果一个物体能够作功，我们说它具有能或能量．能就是作功的能力或作功的本领．在本节中我们首先说明动能这一概念．根据经验，凡是运动着的物体都能够作功，例如水流(即流动的水)能够推动水磨或水车而作功，风(即流动的空气)能够推动风车、帆船而作功．所以凡是运动着的物体都具有能．物体由于运动而具有的能称为动能．物体的动能与哪些因素有关？根据动能概念，静止的物体是没有动能的，只有运动的物体才具有动能．又根据经验，物体运动速度越快，它作功的本领就越大．例如打桩机重锤下落的速度越快，它撞击水泥桩使之进入地面就越深，所作的功就越大．可见物体的速度越快，它的动能就越大．即是说物体的动能与它的速度有关．另一方面，当外力对物体作功时，物体的速度要发生变化，也就是它的动能要发生变化．由此可见，外力对物体作功与物体动能的变化有关．现在我们来研究它们之间的关系．设物体在合外力F 作用下沿一曲线由a 点运动到b 点，在a 、b 两点的速度分别为v 1及v 2，根据牛顿第二定律，曲线运动的切向运动方程为t m F d d t v = 其中F t 为合外力F 在切线方向的投影(图3－8)，即 θcos t F F =又 t s d d v =合并以上三式得v v v v d d d d cos m dt tm s F ==θ 物体从a 点运动到b 点时，由(3－6)式，合外力所作的功为⎰⎰==21d d cos v v v v m s F W b a θ 即 21222121v v m m W -= （3－8） 物体的速度的平方与其质量的乘积之半2v m 21称为物体的动能，用E k 表示：图3－82v m E 21k = (3－8)式右边第一项为物体的末动能，第二项为物体的初动能，两项相减为动能的增量．(3－8)式表示，合外力对物体所作的功等于物体的动能的增量，这一结论称为动能定理．由(3－8)式看出，当合外力对物体作正功(W > 0)时，物体的末动能大于初动能，物体的动能增加．当合外力对物体作负功(W < 0)时，即物体克服外力作功时，物体的动能减少．由此可以理解，物体以一定速度运动时，它具有一定的动能，当物体克服外力作功时，就是依靠它的动能的减小来作功的．能量的单位和量纲与功相同，在国际单位制中能量的单位是焦耳，量纲是ML 2T -2．动能定理是从牛顿第二定律推出来的，它完全包含在牛顿第二定律之中，所以凡可以用动能定理解决的力学问题当然可以用牛顿第二定律来解决．但应用动能定理比直接用牛顿第二定律要方便些：应用此定理时，不管运动是直线运动或曲线运动，不管外力是恒力或变力，也不管物体运动状态变化如何复杂，只要求得在此过程中合外力所作的功，这功总是等于物体的末动能与初动能之差． 例题3－3 长为l m 的细线，上端固定，下端悬挂质量为2 kg 的小球，拉开小球使悬线与竖直方向成45°角的位置然后放手，求悬线与竖直方向成10°角时小球的速度． 解 当悬线被拉开45°角然后放手时，小球的初速度为零．小球在重力m g 及悬线的张力F T 作用下在平衡位置A 附近一圆弧上来回运动．为了应用动能定理求小球在任一位置C 时的速度，首先要计算小球从初位置B 运动到位置C 的过程中作用于小球的力所作的功．因悬线的张力F T 始终与小球的路径(圆弧)垂直，故不作功．而重力是恒力，故可应用(3－4)式计算重力的功，由图3－9得 )45cos (cos )( cos ︒-='-'=''==⋅=ϕθmg B O C O mg C B mg mgBC m W s g 因小球的初动能为零，在位置C 的动能为2v m 21，由动能定理得 )45cos (cos 21︒-=ϕmgl m 2v 或 )45cos (cos 2︒-=ϕgl v当︒=10ϕ时，m/s 33.2m/s )45cos 10(cos 1892=︒-︒⨯⨯⨯=.v§3－3 势 能不运动的物体没有动能，但它可以有其他形式的机械能——势能．例如打桩机的重锤，当它从高处落下时，能够把水泥桩打入土中而作功，瀑布的水从高处流下可以推动水轮机带动发电机发电，这些例子说明位于高处的重物具有能量，所以它能够作功．这种能量是因为物体受重力作用以及它对地球的相对位置而具有的，称为重力势能．又例如弹簧被拉伸或压缩时能带动物体作功，机械钟表的图3－9发条旋紧以后能够推动钟表机件作功，这些例子说明处于弹性形变状态的物体也具有能量，因而能够作功．这种能量是因为弹性体的各部分间有弹性力作用以及各部分间的相对位置而具有的，称为弹性势能．一般地说，由若干个物体组成的系统，由于系统中各物体间的相互作用以及相对位置而具有的能量统称为势能．所以势能有各种形式，除重力势能及弹性势能外，还有引力势能、静电势能、分子间的势能等．从本质上来说，我们之所以能够引入各种势能概念，是因为有关的相互作用力具有某种特性，所以在引入每一种势能之前我们先介绍有关特性．一、重力的功及重力的特性在以上两节中我们已就某些特例计算过重力的功，这一节将就一般情形计算重力的功，并说明其特性．假设物体在重力m g 作用下，由a 点沿曲线运动到b 点(图3－10)，由于在地球表面附近重力可以看成是恒力，故可用(3－4)式计算重力的功．令s 表示由a 点到b 点的位移，由(3－4)式得重力的功：θcos mgab m W =⋅=s g （3－9）其中θ为重力m g 与位移s 之间的夹角．如果令h 表示a 、b 两点间的高度差，则h ab =θcos ，故由(3－9)式得重力的功为 mgh W = （3－10）如果取物体运动所在的平面为xy 平面．x 轴在水平方向，y 轴竖直向上，又令y a 及y b 分别为a 点及b 点的y 坐标，则(3－10)式可写为b a b a mgy mgy y y mg W -=-=)( （3－11）由(3－11)式可以得出重力的重要特性，即重力的功仅与物体的初末位置有关，与所经过的路径无关．如果物体沿另一路径adb 由a 点运动到b 点，则因物体的位移仍为s ，故重力的功仍由(3－11)式表示．现在再来计算物体沿任意闭合路径acbda 运动一周时重力所作的功：bda acb acbda W W W +=因 a c bbda W m m W -=⋅-=-⋅=s g s g )( 所以 0=+=b d a a c b a c b d a W W W故重力的特性亦可表述如下：物体在重力场中沿任意闭合路径运动一周时，重力所作的功为零．二、重力势能由(3－11)式，当物体由a 点运动到b 点时，重力的功为b a ab mgy mgy W -= （3－12）图3－10此功等于两项之差，第一项仅与a 点位置有关，第二项仅与b 点位置有关．因此我们可以把这功定义为物体在a 点和b 点这两个位置的重力势能之差．设E p 表示重力势能，E p a 、E p b 分别表示物体在a 点和b 点时的重力势能，则b a ab E E W p p -= （3－13）从上式看出，重力的功等于重力势能的增量的负值)(p p a b E E --，当重力作正功时(W ab > 0)，物体的重力势能减少(E p b < E p a )；当重力作负功时，物体的重力势能增加．(3－13)式确定了物体在这两个位置的重力势能之差．为了确定物体在某一位置的重力势能，必须取定重力势能的零点，通常取地面为重力势能零点，即E p 地 = 0．由(3－13)式得a a a E E E W p p p =-=地地 （3－14）即如果取地面为重力势能零点，则物体在a 点的重力势能E p a 等于物体从a 点移到地面时重力所作的功(W a 地)．这样，如果a 点距地面的高度为h ，则质点在a 点的重力势能为mgh E a =p （3－15）应当指出：(1) 物体在两个位置的重力势能之差有绝对意义，但物体在某一位置的重力势能只有相对意义．从(3－13)式看出，物体在两个位置的重力势能之差等于物体从一个位置移到另一个位置时重力所作的功，因为这个功与路径无关，仅与初末位置有关，所以物体的重力势能之差有绝对意义．但物体在某一位置的重力势能只有相对意义，因为这个势能的值实际上指的是物体在该位置的重力势能与在势能零点的重力势能之差，而势能零点的选取是有随意性的，相对于不同的势能零点，物体在同一点的重力势能就有不同的值．(2) 重力势能属于质点与地球所组成的系统．物体之所以具有重力势能是由于受重力作用的结果．如果没有地球，便没有重力，就谈不上重力势能．所以重力势能属于物体与地球所组成的系统．平常说“物体的重力势能”只是习惯上简便的说法．三、保守力和非保守力 一般势能概念以上讨论了重力的特性，但不只是重力才具有这种特性，除重力外，还有许多种力也具有这种特性，这一类型的力统称为保守力．其定义如下：如果一个力使物体从一点移至另一点所作的功仅与物体的初末位置有关，与路径无关，则此力称为保守力．另一个等价的定义是：如果对沿任意闭合路径运动一周的物体一个力所作的功为零，则此力称为保守力．除重力外，弹性力、万有引力、静电力等都是保守力．反之，如果一个力的功与路径有关，或沿一闭合路径的功不为零，则此力称为非保守力．例如摩擦力就是非保守力，因为摩擦力沿一闭合路径的功不为零．汽车的牵引力也是非保守力，因为当汽车沿一闭合路径回到原位置时，汽车的牵引力总是作正功．我们从上面已经看到，重力的功等于两项的差．从保守力定义出发，我们可以证明任何保守力的功都等于两项的差，第一项仅与物体的初位置有关，第二项仅与物体的末位置有关(这可以从下面弹性力的功以及万有引力的功的表示式看出，这里不作一般证明)．因此，正如我们可以引入重力势能概念一样，对任何保守力我们都可以引入势能概念．设W ab 为物体从位置a 移至位置b 时保守力所作的功，我们把这个功定义为物体在这两个位置的势能之差．设E p a 、E p b 分别表示物体在位置a 和位置b 的势能，对任何保守力均有如下关系：)(p p p p a b b a ab E E E E W --=-= （3－16）即保守力所作的功等于势能的增量的负值．正如重力势能一样，任何形式的势能都是相对的，为了确定物体在某一位置的势能，必须取定势能的零点．物体在某一位置的势能就等于物体从这个位置移至势能零点时保守力所作的功．与重力势能属于物体和地球所组成的系统一样，任何形式的势能都属于由相互作用的物体组成的系统．四、弹性力的功 弹性势能将弹簧一端固定，另一端连接一物体，让物体在一光滑水平面上沿左右方向运动(图3－11)．这一系统称为弹簧振子．设O 为弹簧未发生形变时物体的位置，称为物体的平衡位置．取坐标轴Ox ，物体的平衡位置O 为原点，x 轴正向向右．当物体有一向右或向左位移x 时，弹簧的形变量亦为x ．按照胡克定律，在弹性限度内．弹簧施于物体的弹性力F 与弹簧的形变量x 成正比：F = - kx其中k 为弹簧的劲度系数，“-”号表示力的方向与位移方向相反．当位移向右时，力的方向向左；当位移向左时，力的方向向右．应当指出，(2－8)式F = kx 中的x 表示弹簧形变量的大小，总为正值．此处的x 表示物体位移的代数量，可以为正或为负．弹簧形变量与物体位移的关系如上所述．设a 、b 为物体的两个位置，其坐标分别为x a 和x b ，现在来计算当物体由位置a 移到位置b 时弹性力所作的功．因弹性力是变力，物体在变力作用下作直线运动，故可用(3－5)式进行计算．在现在情形F = - kx ，代入(3－5)式得弹性力的功：⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-==⎰⎰222121d d a b x x x x kx kx x kx x F W b a b a （3－17） 此功与物体从a 移到b 的方式无关，例如它可以从a 先向右移，然后向左移到b ；也可以从a 直接移到b ．不论怎样从a 移到b ，弹性力的功都由上式表示．由此可见，弹性力的功仅与物体的初末位置有关，与物体经过的路径无关．所以弹性力是保守力．弹性力既然是保守力，我们可以引入势能概念．这种势能称为弹性势能．为了确定物体的弹性势能，必须取定弹性势能零点．通常取弹簧无形变时物体的位置(即x = 0)为弹性势能零点．这样，物体在任意位置x 的弹性势能就等于物体从这个位置移到x = 0时弹性力所作的功，即图3－1120p 21d kx x kx E x =-=⎰ （3－18） 根据这一定义，(3－17)式表示弹性力的功等于弹性势能的增量的负值．五、万有引力的功 引力势能设质量为m 的质点在质量为m ’的质点的引力场中运动(图3－12)，并设m ’远大于m ．在这种情况下，可认为质点m ’静止在一点O ．设r 为质点m 对O 点的位矢，则由万有引力定律，m ’对m 的引力为 r F 30rm m G '-= 当质点m 从a 点沿一曲线运动到b点时，引力F 所作的功为 ⎰⎰⋅'-=⋅=b a b a r r r r rm m G W r r r F d d 30 （3－19） 由于 2r =⋅r r两边微分， r r d 2d 2=⋅r r代入(3－19)式得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'=⋅'-=⎰a b r r r r m m G r m m G W ba 11d 030r r （3－20） 其中r a 和rb 分别为a 、b 两点到O 点的距离．由此可见，万有引力所作的功仅与运动质点的初末位置有关，与路径无关，所以万有引力是保守力．万有引力既然是保守力，我们可以引入势能概念，这种势能称为引力势能．为了确定质点m 在任一位置的引力势能，必须取定引力势能的零点．通常取无穷远点为势能零点．这样，质点m 在任一点r 的引力势能就等于m 从该点移到无穷远时万有引力所作的功，用E p 表示：rm m G r r m m G E r 1d 020p '-='-=⎰∞ （3－21） 根据这一定义，(3—20)式表示万有引力的功等于引力势能的增量的负值．利用该式可以推出以地面为重力势能零点时物体在距地面高度为h 处的重力势能的表达式(参看习题3—21)．§3—4 功能原理 机械能守恒定律一、物体系的动能定理在§3－2中我们已经介绍过单个物体的动能定理，现将这一定理推广到由若干个物体组成的系统．作用于系统中某一物体的力有外力和内力，外力是系统外的物体施于该物体的力，内力是系统内其他物体施于该物体的力．取系统中第i 个物体来考虑，设其质量为m i ，在外力及内力作用下，在一段时间内，其速度图3－12由v i 0变为v i ，又设在这段时间内作用于此物体的外力及内力所作的功分别为)(i W 外及)(i W 内，则由单个物体的动能定理得,3,2,1 , 2121202)()(=-=+i m m W W i i i i i i v v 内外 将上式对系统内所有物体求和，得∑∑∑∑-=+i i i i i i i i i i m m W W 202)()(2121v v 内外 （3－22） 上式右端第一项为物体系中所有物体的末动能之和，第二项为物体系中所有物体的初动能之和，分别称为物体系的末动能和初动能，两项相减为物体系的动能的增量．上式表示作用于物体系的一切外力及内力所作的功的代数和等于物体系的动能的增量，这就是物体系的动能定理．二、功能原理作用于物体系的力可分为外力和内力，内力又可以分为保守内力和非保守内力．因此，内力的功∑ii W )(内等于所有保守内力的功W 保内及非保守内力的功W 非保内之和：非保内保内内W W Wi i +=∑)(又将∑i i W )(外写为外外W W i i =∑)(将物体系的初动能和末动能分别写为E k1及E k2，则(3－22)式化为1k 2k E E W W W -=++非保内保内外 （3－23）根据上节(3－16)式，保守内力所做的功等于势能增量的负值，即)(1p 2p E E W --=保内 （3－24）将(3－24)式代入(3－23)式并移项得)()(1p 1k 2p 2k E E E E W W +-+=+非保内外 （3－25）上式中E k + E p 为物体系的动能与势能之和，称为物体系的机械能．上式表示外力的功与非保守内力的功之和等于物体系的机械能的增量．这一结论称为功能原理．功和能量这两个概念是密切联系着的，但又是有区别的．从功能原理看出，功总是和能量变化的过程相联系，功是能量变化的量度，所以功是一个过程量．而能量则是一个状态量，完全决定于物体系的状态．为什么这样说呢？在力学中物体系的运动状态是用物体系的位置和速度来描述的，物体系的动能是由运动物体的速度单值地决定的；物体系的势能是由物体系中各物体的相对位置单值地决定的．因此物体系的机械能完全由它的状态决定，是物体系的状态的单值函数．其他形式的能量也是这样．三、机械能守恒定律机械能守恒定律是功能原理的特殊情形，因而可以从后者推出．如果物体系没有受外力及非保守内力作用或外力与非保守内力所作的功均为零，则(3－25)式左端为零，于是该式化为1p 1k 2p 2k E E E E +=+ （3－26）上式右端是物体系的初状态的机械能，左端是末状态的机械能，但物体系的初末状态是任意选定的，因此上式表示物体系的任意两个状态的机械能都相等．或者说，任一状态的机械能都等于初状态的机械能，因而等于一常量．故得结论：如果物体系没有受外力及非保守内力作用或外力与非保守内力所作的功均为零，则物体系的动能与势能可以互相转换，但它们的总和保持不变．这一结论称为机械能守恒定律．应用此定律时首先要考虑定律适用的条件：作用于物体系的外力及非保守内力所作的功均为零．如果这个条件满足了，物体系的机械能守恒．如果某一保守力不作功，由(3－24)式看出，它不引起相关势能变化．这样，功能原理或机械能守恒定律中的物体系可以不包括这样的保守力的施力物体．此外，在常见的力学问题中，保守力的施力物体的动能往往都等于零．例如弹簧的质量可以忽略，其动能可视为零；又如通常取地球为参考系(即从地球上的人看来)，其动能亦为零．于是，在功能原理或机械能守恒定律的表示式中可以不含有类似的保守力施力物体的动能．应用功能原理或机械能守恒定律解题可按如下步骤进行：(1) 取定研究对象——物体系，使问题中的运动物体以及引起其势能变化的保守力的施力物体均包括在物体系内；(2) 分析物体系中各运动物体的受力情况，注意外力是否作功，内力是否为保守力，非保守内力是否作功．如果外力及非保守内力所作的功均为零，则系统的机械能守恒；(3) 取定势能零点，计算物体系初末位置的机械能；(4) 根据功能原理或机械能守恒定律列方程；(5) 解方程求出待求量，有时还要与其他方程联立求解．功能原理是由动能定理推出的，因而完全包含在动能定理之中，凡是可以用功能原理求解的力学问题都可以用动能定理求解．应用功能原理时，只须计算外力及非保守内力的功，因为保守内力的功已包含在势能中，如果再计入保守内力的功就属重复运算了．应用动能定理时，既要计算外力及非保守内力的功，又要计算保守内力的功．读者可以用动能定理自行求解下述例题．例题3－4 有一弹簧振子放在水平桌面上如图3－13．物体的质量m = 0.1 kg ，弹簧的劲度系数k = 20 N/m ，物体与桌面的摩擦系数μ = 0.2，当物体m 在平衡位置O 时，给以向右的速度v 0，结果物体有一向右的最大位移x 0 = 0.05 m ．(1) 求v 0的值；(2) 物体走过路程x = 0.03 m 时它的速度是多少？解 取物体与弹簧组成的系统为研究对象．由于保守力重力不作功，即不引起其势能变化，故不把重力的施力物体——地球包括在物体系内，作用于物体的力有① 弹簧的弹性力F = -kx ，这个力是保守内力；② 桌面的摩擦力F f ；③ 重力mg ；④ 水平桌面的支承力F N ．后面三个力是外力．因物体在竖直方向没有运动，F N = mg ，所以F f = μF N = μmg ．图3－13。
大学物理第三章课后习题答案
L 时时， （1）摩擦力做功多少？ （2）弹性力做功多少？ （3）其他力做功多少？ （4）外力做的总功是多少？ 8. 小球系于细绳的一端，质量为 m ，并以恒定的角速
度 ω 0 在光滑水平面上围绕一半径为 R 的圆周运动。细 绳穿过圆心小孔， 若手握绳的另一端用力 F 向下拉绳，使小球运转的半径减小一半， 求 力对小球所做的功。 9. 如图所示， 一小车从光滑的轨道上某处由
9. 解：由题意知小车飞越 BC 缺口时做斜抛运动，其射程 BC = 2 R sin α 。 设小车在 B 点时的速度为 υ B ， 欲使小车 刚 好 越 过 BC ， 应 满 足 2υ B ⋅ sin α g
-7-
2 R sin α = υ B ⋅ cos α ⋅
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gR （1） cos α 由 A 点运动到 B 点时机械能守恒得： 1 2 mgh = mg ( R + R cos α ) + mυ B （2） 2 由式（1）与（2）得 1 h = (1 + cos α + )R 2 cos α
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第三章 功和能
一、 填空 1. 功等于质点受的 和 的标量积，功是 变化的量度。 2. 物理学中用 来描述物体做功的快慢。力的瞬时功率等于 与 的标积。对于一定功率的机械，当速度小时，力就 （填“大”或“小” ） ， 速度大时，力必定 （填“大”或“小” ） 。 3. 合外力对质点所做的功等于质点动能的增量，此即 定理。 4. 质点动能定理的微分形式是 。 5. 质点动能定理的积分形式是 。 6. 按做功性质，可以将力分为 和 。 7. 所做的功只取决于受力物体的初末位置，与物体所经过的路径无 关。做功与路径有关的力叫做 。 8. 物体在 力作用下，沿任意闭合路径绕一周所做的功等于零。 9. 保守力做功与物体势能改变量之间的关系是 。 10. 若保守力做正功，则势能 （ “增加”或“减少” ） ，若保守力做负功， 则 势能 （ “增加”或“减少” ） 。 11. 势能的增量与势能零点的选取 （填“有关”或“无关” ） ，势能的大小 与势能零点的选取 （填“有关”或“无关” ） 。 12. 质点系内各质点之间的相互作用力称为 ，质点系以外的其他物体对 质点系内各质点的作用力称为 。 13. 质点系在运动过程中， 所做的功与 所做的功的总 和等于质点系的机械能的增量，此即质点系的 原理。 14. 在只 有 做功 的情 况下， 质点 系的机 械能 保持不 变， 这就是 定律。 15. 行星沿 轨道绕太阳运行， 太阳位于椭圆的一个 上； 对任一行星， 以 太阳 中 心为 参 考点 ， 行星 的 位置 矢 量在 相 等的 时 间内 扫 过的 面 积填 （ “相 等 ”或 “ 不 相等 ” ） ； 行星 绕 太阳 运 动的 和 椭圆 轨 道的 成正比。 16. 第一宇宙速度是 所需要 的速度。 17. 第二宇宙速度是 所需要的 最小速度。 18. 第三宇宙速度是 所需的 最小速度。 二、 简答 1. 2. 3. 4. 5. 简述质点动能定理的内容，并写出其微分形式和积分形式。 简述保守力做功与物体势能改变量之间的关系。 简述质点系功能原理的内容。 简述机械能守恒定律的内容。 简述行星运动的三大定律的内容。
高中物理 第3章功和能
f mg , a g ,
摩擦力相对于地面的功为：
s v02
2g
A f s v02
2g
（2）
5
摩擦力作功一定是负的吗？
A与B一起作匀加速直线运动, A与B间的最大
静摩擦系数为
，发生位移为s时，则A作用于B的静摩擦力做功为多少?
A f s mas
dA F cos d r
M2
r2
A dr
O
r1
M1
dr d r cos( ) d r cos
dA
G
mM r2
dr
A r2 G mM dr GMm( 1 1 )
r1
r2
r2 r1
⑴ 万有引力的功，只与始、末 位置有关，而与质点所行经的路 径无关
⑵ 质点A移近质点O时（r2<r1）, 万有引力作正功；质点A远离质点 O时，万有引力作负功
应用：P86（例题3.2） 12
3.2.3弹性力的功
Fx kx
dA Fxdx kxdx
O M1 M x
1x
x2
A
x2 x1
kxdx
1 2
k x12
1 2
k x22
1 2
k12
1 2
k
2 2
⑴ 弹性力的功也是只与始、末位置有关，而与质点所行经的路径无关
⑵ 弹簧的变形减少时（∣2∣< ∣1∣ ）,弹性力作正功；弹簧的变形增大时 （∣2∣>∣1∣ ）,弹性力作负功
第3章 功和能 §1 功 §2 几种常见力的功 §3动能定理 §4 势能 机械能守恒定律 §5 能量守恒定律
八年级物理第三章的知识点
八年级物理第三章的知识点八年级物理第三章的主要内容是“能量与功”。
本章主要介绍了物体的能量、功的概念、计算公式和守恒定律。
同时，本章还涉及了一些实际应用，如机械效率、能源转换等。
一、能量的概念与分类能量是物体具有的做功能力。
根据不同的性质和来源，能量可以被分为多种类型。
其中，机械能包括动能和势能；光能、热能、电能、化学能、核能等都是不同的能量形式。
二、功的概念和计算功是力对物体做功的大小，是用于描述物理过程中能量变化的一种物理量。
计算功可以使用力和位移的乘积，公式为W=F*s*cosθ，其中F为力的大小，s为物体的位移，θ为力和位移之间的夹角。
根据夹角的不同，功可以被分为正功、负功和零功。
三、能量守恒定律能量守恒定律是能量守恒定律的基本原理，它表明在封闭系统内，能量的总量是不变的。
这意味着能量可以从一种形式转换为另一种形式，但总能量不能改变。
应用能量守恒定律可以计算动力学问题和热力学问题，例如机械效率、能量转换等。
四、机械效率机械效率是用来描述机械装置将输入能量转换为输出能量的比率。
它通常基于输入功和输出功的比较，例如机械上提水的效率可以根据输入功和输出功的比较来计算。
五、能量转换能量转换是指将一种形式的能量转换为另一种形式的过程。
这种转换可以通过热力学过程、化学反应、电子运动等方式实现。
能源转换问题可以看作能量转换的特例，通常用来描述如何将一种能源转换为另一种能源。
在八年级物理第三章的学习中，我们需要了解能量的概念，计算功的方法，掌握能量守恒定律，熟悉机械效率和能量转换等知识点。
这些知识点是物理学的基础，是我们理解和应用物理学的重要工具。
同时，我们也应该认识到这些知识是相互关联的，并应用于实际问题的解决。
第三章 功和能
A F cos r
F r
F
r
位移无限小时，dA
F
cos
dr
F
dr
— 元功
功：质点受的力和它的位移的点积。
单位：J 功的其它单位：1eV=1.6×10-19J
0 π/ 2 dA 0
功是标量，没有方向，有正负 π / 2 dA 0
第三章 功和能
研究：力的空间积累作用 基础：牛顿三定律 3.1 功
3.2 几种常见力的功
3.3 动能定理
3.4 势能 机械能守恒定律
3.5 能量守恒定律
矢量的标积（点积、内积） A• B Ax Bx Ay By Az Bz
A• B AB cos
为A与B的 夹 角
3.1 功
2、功是标量，只有正负，没有方向。
3、合力的功为各分力的功的代数和。
质力点F受对质F1点, F做2 ,的,功FN应作为用沿路径 L 由A 运动到B时，合
B B
AAB F • dr F1 F2 FN • dr
A
A
B B
dr
F
cos
dr
A v1 dr
θ
F
Bv2
F cos
F
m a
m dv dt
dA m dv dr mvdv dt
总功
A
B
dA
A
v2 v1
mvdv
1 2
mv22
1 2
mv12
即
A
第三章 功和能
牛顿定律可以清楚分析问题中的作用力， 但它不能 解释： 为什么人用力拉物体上坡，力气会耗尽。 为此引进‚功和能‛的概念
主要内容
一、功和能
二、功、功率的计算
三、动能、动能定理 四、势能表达式及曲线 五、功能原理、机械能守恒定律
一、功和能 什么是能量？ 能量是表示物体做功本领大小的物理量 。 如：与物体运动状态相关的能量，称为动能。速率 大的运动物体具有大的作功本领。 物理学中的能量：机械能（动能、势能）、内能、 电能、化学能、核能等形式。 对于一个孤立系统来说，系统内各种形式的能量是 可以相互转换的，但是不论任何转换，能量既不能产 生，也不能消灭，能量的总和是不变的。这就是能量 守恒定律。 •自然界一切已经实现的过程都遵守能量守恒定律。 •凡是违反能量守恒定律的过程都是不可能实现的，例 如‚永动机‛只能以失败而告终。
回顾： 能量：表示物体做功本领大小的物理量 ，是状态量。 做功：一物体在某力作用下而运动的过程，是过程量 ，数值与参照系选择有关，亦是能量变化的量度。
W
f
i
f f F dr F cos dr ( Fx dx Fy dy Fz dz )
i i
动能定理： W Ek 2 Ek1 Ek 动能定理在惯性系中成立，数值与参照系选取有关
例1 用铁锤把钉子敲入墙面木板。设木板对钉子的阻力 与钉子进入木板的深度成正比。若第一次敲击，能 把钉子钉入木板1cm。第二次敲击时，保持第一次 敲击钉子的速度，那么第二次能把钉子钉入多深？ 由动能定理，钉入过程中阻力作功= 钉子动能的增量 解： 两次动能增量相同 ∴两次阻力作功相同。 以钉入方向为x 轴，板面为原点 阻力与深度成正比，则有 f = -kx（k为阻力系数） 令第一次钉入为x1=1cm ，第二次钉入为x2 ，由两 次作功相等可得：
第3章功和能ppt课件-精品文档
Ad F d r F c o sd r A
b b a a
r
r dr
O
a
直角坐标系： d A F d r F d x F d y F d z x y z
A d x d y d z x y z F F F
x a y a z a x b y b z b
P 1 z 1
P 2
z 2
重力的功只与始、末位置有关，与具体路径无关。质点下降时重 力作正功，质点上升时重力作负功。
3 万有引力的功。 m1 在m2的引力场沿其椭圆轨道由ra移到r b 。求 m 1 dr e 引力对m1 所作的功。 a F r m m 1 2 解： F G e dr d 0 r r r d r 2 c a r m 2 rb b m m
第3章 功和能
§3.1 功 保守力
一、功（work） 1、外力对质点的功 恒力的功 力对空间的积累
？
Fn
AF F cos r tr
F r
F Ft
r
元功：
d A F d rF d r c o s
M
b 所作的功∶ 由 a
M
d r
L
b
F
1 1 AG ( ) 0Mm r r b a
2、保守力沿任何一闭合路径所作的功为零。
证明： F d r F d r F d r L ACB BDA C F d r F d r
ADB BDA
B
D
A
F d r F d r 0
v
L2
物理功和能优秀课件
l f dr 0
势能(potential en保er守gy力) 作功仅仅与物体始、末位置 有关，我们可引入位置的状态函数--势能。
b
a f dr Eap Ebp E p
保守力所做的功等于势能的减少。
通常我们将参考点的势能取作零势 能。将空间一点与参考点的势能差称 作该点的势能。
物理功和能
说明：
1.功是标量，只有大小正负之分。
0 ,
2
,
2
W 0, W 0,
力对物体作正功； 力对物体不作功；
, W 0,
2
力对物体作负功。
2.多个力对物体作功，等于各力对物体作
功的代数和。
3.明确位移是力的作用点的位移。
例：子弹穿过木
f'
块过程
f
s
l
4.一对作用力和反作用力大小相等方向相
反，但这对力作功的总和不一定为0。
5.作功与参照系有关。
例如：传送带将箱子从低处运到高处，地面 上的人看摩擦力作功了，而站在传送带上的 人看摩擦力没有作功。
f静
2、变力的功
在实际问题中经常遇到的是变力作功问 题。如何处理变力作功问题？
解决方法：
b
(1).无限分割路径；
(2).以直线段代替曲线段；
W
1 mv2 2
1 2
mv0
2
1 m( v0 22
)2
1 2
mv0
2
3 8
mv0
2
(2)因摩擦力
f mg
W
3 8
mv0
2
方向与运动方向相反
பைடு நூலகம்
2R
W 0 mgds
mg
2R
大学物理课件 第3章 功和能
B
sin tj
式中A、B 、ω都是正的常数。则力在t1=0到
t2=π/（2ω）这段时间内所作的功为
(A)
1 2
m
2
A2 B2
（B） m 2 A2 B 2
(C) (D)
1 m 2 A2 B2
2
1 m 2 B2 A2
2
4．如图所示，一质点在几个力的作用下，沿
半径为R的圆周运动，其中一个 力是恒力
mgmax
1 2
k2max
0
故
m a x
2
mg k
如果将重物缓慢放下，使物体达到静平衡，
这时所引起的弹簧压缩量设为 ，则st 有
kst mg
st
mg k
3.4 势能 机械能守恒定律
一、保守力 （做功只与物体的始末位置有关,与路径无关 ）
b
b
F dr F dr
a (L1)
a (L2 )
a
L1
第一部分 力学
第3章 功和能
第3章 功和能
3.1 功 3.2 几种常见力的功 3.3 动能定理 3.4 势能 机械能守恒定律
3.1 功
力的空 间累积： F 对 r 积累 A
一、功
1. 恒力作用下的功
F
A
F
cos
r
F
r
位移无限小时， dA
F
cos
dr
r
F dr
— 元功
2. 变力的功
Za
mg(za
zb
)
x
结论: 重力的功只与始、末位置有关,而与质
点路径无关。
二、万有引力的功
万有引力 A rb
F G
第3章功和能
A1 A2 An
合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。 （1）功是标量（可正、可负、可为零） 说明 （2）功与路径有关，是过程的函数（过程量） （3）功是力对空间的积累
（4）功的单位为焦耳（J）
二、几种常见力的功 1 弹簧弹力的功。 解 当物体处于 x 处时所受的弹力为：
ACB ADB
保守力的环流等于零。 F d r 0
L
3、非保守力：力所做的功与路径有关，或力沿闭合路径的 功不为零。这种力为非保守力。 如摩擦力、冲力、火箭的推动力等
四、功率(power)
表示作功快慢的物理量
定义：功随时间的变化率.
A 平均功率： P t
SI单位: 焦耳/秒 (瓦特)
A dA 瞬时功率： P lim t 0 t dt dA F d r P F v dt dt
P F v
额定功率——最大输出功率.
§3.2 势 能
一、 势能
保守力做功与始末的位置坐标变化有关，而与路径无关 。 保守力做功必然伴随着能量的变化，而这种能量仅与位置坐标有 关。我们把这种与位置坐标有关的能量称为势能：
第3章 功和能
§3.1
一、功（work） 1、外力对质点的功 恒力的功
功
保守力
力对空间的积累
？
Fn
F Ft
r
A Ft r F cos r F r
dA F dr Fdr cos
元功：
由 a b 所作的功∶
M
b
L
b
A d A F d r F cos d r
EP
积分路径是任意的。
功和能
•
三十二、在科学上没有平坦的大道，只有不畏劳苦，沿着陡峭山路攀登的人，才有希望达到光辉的顶点。——马克思
•
三十三、在劳力上劳心，是一切发明之母。事事在劳力上劳心，变可得事物之真理。——陶行知
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三十四、一年之计在于春，一日之计在于晨。——萧绛
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三十五、没有一颗心会因为追求梦想而受伤，当你真心想要某样东西时，整个宇宙都会联合起来帮你完成。——佚名
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七十七、努力向上吧，星星就躲藏在你的灵魂深处；做一个悠远的梦吧，每个梦想都会超越你的目标。——佚名
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七十八、正如心愿能够激发梦想，梦想也能够激发心愿。——佚名
•
七十九、梦想一旦被付诸行动，就会变得神圣。——阿·安·普罗克特
•
八十、对于学者获得的成就，是恭维还是挑战？我需要的是后者，因为前者只能使人陶醉而后者却是鞭策。——巴斯德
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七十三、一个人有钱没钱不一定，但如果这个人没有了梦想，这个人穷定了。——佚名
•
七十四、平凡朴实的梦想，我们用那唯一的坚持信念去支撑那梦想。——佚名
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七十五、最初所拥有的只是梦想，以及毫无根据的自信而已。但是，所有的一切就从这里出发。——孙正义
•
七十六、看见轻纱在他面前撕掉，那真是伤心啊！——莱蒙托夫
•
四十三、梦想家的缺点是害怕命运。——斯·菲利普斯
•
四十四、从工作里爱了生命，就是通彻了生命最深的秘密。——纪伯伦
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四十五、穷人并不是指身无分文的人，而是指没有梦想的人。——佚名
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四十六、不要怀有渺小的梦想，它们无法打动人心。——歌德
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四十七、人生最苦痛的是梦醒了无路可走。做梦的人是幸福的；倘没有看出可以走的路，最要紧的是不要去惊醒他。——鲁迅
第3章功和能-文档资料
A A A 1 2 n
(3) 一般来说，功的值与质点运动的路径有关
三. 功率
力在单位时间内所作的功，称为功率。 平均功率
A P t
A d A P lim t 0 t d t
当t 0时的瞬时功率
Fdr P F v F v cos θ dt
r
轨迹由a 运动到b，变力作的功
x A F d r cos d F在 d A F d r r 一段上的功： d Nhomakorabeab
y
F在ab一段上的功
在直角坐标系中 在自然坐标系中
A F d r a L
b
A （ d x F d y F d z ） x y z F a L
2
2
0
0
2 12 t 3 t 288 W P F v
§3.2 几种常见力的功
一.重力的功
重力mg 在曲线路径 M1M2 上的功为
z
Z 2
M
1
②
m ①
G O
M2
A
M 2
M 1 1
mg ） d z F z zd （
Z 1 1
mg （ z z ） 1 2
1 2 1 2 A kx d x kx kx 1 2 x 1 2 2
弹性力的功等于弹簧劲度系数乘以质点始末位置弹簧形变 量平方之差的一半。 结论 (1) 弹性力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路径 无关。 (2) 弹簧的变形减小时，弹性力作正功；弹簧的变形增大时， 弹性力作负功。
解
F T sin θ 0
T cos θ mg 0
第三章 功和能
4、摩擦力 f N
l2
a
l1
b A1 mgl1
A2 mgl2
摩擦力是非保守力
二、成对力的功
成对rm力1 1：drf系112统r2的f2内1 d力mrd22A1
f12
d
r1
0
dA2 f21 d r2
dA
dA1
dA2
f12 d r1 d r2
dA1 f12 d r1
dA2 f21 d r2 f12 d r '
d r ' : m1、m2 的相对位移。
bL
2L
(2) 求速率, 应用动能定理
对整个链条而言,有两个力作功
摩擦力和下垂部分的重力
A
L f cos180 dx
b
L
b m2gdx
mg (L b)2 mg (L2 b2 )
2L
2L
A 1 mv2 0 2
1 mv2 mg (L b)2 mg (L2 b2 )
2
2L
2
2
A 600J
例1： 一物体由斜面底部以初速
v0=10ms-1向斜面上方冲去，然后又沿 斜面下滑，滑到底部时速度变为
vf=8ms-1 。已知斜面倾角为30°，物 体与斜面间的滑动摩擦系数为k，求 物体上冲到的最大高度。
解：应用动能定理 上冲过程
重力和摩擦力作功
设上升的最大位移为S
(mg
sin
2
t2
功率 P Fv 12t 3t2 36t3
P 36W (t=1s)
P 288W (t=2s)
三 保守力 势能
一、保守力
作功只与物体始末位置有关，而 与物体运动路径无关的力。 反之为非保守力。
第三章功和能1
A a G dr
z
a
m
G
b
b
a mg k (dxi dyj dzk )
y
Zb (mg )dz
Za
mg(za
zb )
x
结论: 重力的功只与始、末位置有关,而与
质点路径无关。
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14
第三章 功和能
二、万有引力的功
万有引力 A rb
总功 即
A
B
dA
A
B
v2 v1
mvdv
1 2
mv22
1 2
mv12
A A F dr Ek2 Ek1
Ek
1 2
mv2
动能
合外力对质点所作的功等于质点动能
的增量。
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20
第三章 功和能
注意 （1）合力做的功等于质点始、末状态动能
的增量。 （2）Ek 是一个状态量, A 是过程量。 （3）动能定理适用于惯性系。
F
A
B
F
dr
B
F cos ds
A
A
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5
第三章 功和能
讨论
（1）功是过程量,与路径有关。
dA
F
dr
B
dr
A
F
Fdr cos F cos ds F ds
（2） 功的正、负
0o 90o , dA 0 正功
90o 180 o , dA 0 负功
F21
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3.1 功
讨论正功、负功的物理意义
正功的意义是：力对物体做功,向物体提供能量， 即受力物体获得了能量。 负功的意义是：物体克服外力做功，向外输出 能量(以消耗自身的能量为代价)，即负功表示 物体失去了能量。
3.1 功
功率
定义：力在单位时间内所做的功。
物理意义：表示做功快慢的物理量。 单位：W（读作瓦） 1W=1J/S 1KW=1000W
大学物理基础
3.2 几种常见力的功
复习
3．起重机以1．0m／s2的加速度将质量 m=1000kg的货物由静止开始匀加速竖直上升g 取10m／s2,那么 (1)求在头1s内起重机对货物做功的平均功率？ (2)求在1s末起重机对货物做功的即时功率？
3.2 几种常见力的功
①如图，一个质量为 m 的物体，从高度 是 h1 位置，竖直向下运动到高度为 h2 的 位置，求重力的功？
3.1 功
已知物体与水平面间的动摩擦因数为0.2，拉力F的大小为100N，(cos3
7°=0.8，sin37°=0.6)求: (1)作用在物体上的各力对物体所做的总功； (2)合力对物体所做的功。 解：(1)拉力做的功是
3.1 功
(2)作用在物体上的合力是
3.1 功
例2-2 如图2-6所示，10.0Ｎ的恒力施于割草机，如果手柄与运动方向 所成的角度是30°，当割草机通过90.0ｍ时，人做的功是多少？
3.2 几种常见力的功
摩擦力做功
二、滑动摩擦力做功的特点 1．滑动摩擦力可以不பைடு நூலகம்功 比如汽车在地面行驶，地对车的摩擦力对车做 负功，但车对地的摩擦力对地就不做功，有力 但无位移。 2．滑动摩擦力可以做正功 如货车车厢内放一木箱，货车突然加速，木 箱相对货车向后滑动，但相对地面向前运动， 则货车对木箱的滑动摩擦力做正功。
WG mgh 1 mgh 2
②如图，质量为m的物体从高度是h1的A 点，沿着长为l倾斜的直线AB向下运动到 高度为h2的B点，求重力的功？
WG mgh 1 mgh 2
③如图，质量为 m 的物体由高 h1 处的 A 点沿曲线运动到高度为 h2 的 B 点，求重 力的功？
WG mgh 1 mgh 2
5 单位：焦耳( J )
3.3 动能定理
我国发射的第一颗人造地球卫星，质量为173 kg，轨道速度为7.2km/s,求它的动能是多少?
1 解：根据 E mv 2 k 2
卫星动能：
得，
1 3 9 E k 173(7.2 10 )J 4.48 10 J 2
x1
F
X2
3.2 几种常见力的功
表达式
1 2 1 2 W弹 =－E p kx1 kx2 2 2
3.2 几种常见力的功
性质
A.弹性力做功只与始末位置有关，与质点所 行经的路径无关。 B.若质点沿任何闭合路径运动一周时，弹性 力做功也必为零。 C.弹簧变形减少时，弹性力做正功； 弹簧变形增加时，弹性力做负功。
3.3 动能定理
动能
简单的说就是指物体因运动而具有的能量。 动能是能量的一种 它的国际单位制下单位是焦耳(J)，简称焦。 是标量，即只有大小而不存在方向。 动能具有瞬时性，是指力在一个过程中对物体所做 的功等于在这个过程中动能的变化。动能是状态量， 无负值。
3.3 动能定理
合外力(物体所受的外力的总和，根据方向以及受力 大小通过正交法[1]能计算出物体最终的合力方向及 大小) 对物体所做的功等于物体动能的变化。即末动 能减初动能。
3.2 几种常见力的功
练习
物体在运动过程中，克服重力做功为50 J， 则（ ） A.重力做功为50 J B.物体的重力势能一定增加50 J C.物体的动能一定减少50 J D.重力做了50 J
3.2 几种常见力的功
弹性力的功
探究1：用外力将弹簧从原长缓慢拉长X,弹簧的劲度系 数 为K.计算弹力所做的功？
3.2 几种常见力的功
重力做功与重力势能变化的关系
综上所述，可得关于重力势能的变化与重力做 功的关系的普遍结论是： 力对物体做正功时，物体的重力势能减少，减 少的重力势能等于重力所做的功； 重力对物体做负功(或者说物体克服重力做功)时， 物体的重力势能增加，增加的重力势能等于物 体克服重力所做的功； 其定量关系式为：WG=-△EP=EPl-EP2即重力对 物体所做的功等于物体重力势能的增量的负值。
练习
例1. 如图1所示，木块A放在木板B上表面左端，现 用水平恒力F将A拉至B的右端，已知A、B间的摩擦 力大小为f。第一次将木板固定在地面上，f对A做功 数值为W1，此次过程中产生热量为Q1；第二次木板 B可以在光滑水平地面上自由滑动，这一次f对A做功 数值为W2，此过程中产生热量为Q2，则 （ ） A．W1<W2，Q1=Q2 B．W1≠W2，Q1=Q2 C．W1<W2，Q1<Q2 D．Wl=W2，Q1<Q2
3.1 功
功的单位
在国际单位制中，功的单位是焦耳(J) 1J＝1N· m 功是标量，只有大小跟正负。
3.1 功
正功、负功的定义
当0°≤α＜90°时，cosα为正值， W为正值， 称为力对物体做正功，或称为力对物体做功。 当α=90°时，cosα=0，W=0，力对物体做零功， 即力对物体不做功。 当90°＜α≤180°时，cosα为负值， W为负值， 称为力对物体做负功，或说物体克服这个力做 功。
3.3 动能定理 问题1：什么是动能？物体的动能和什么因素有 关？
• 思考：一架飞机在牵引力作用下（不计阻 力），在飞机跑道上加速运动，分析： （1）飞机的动能有没有变化？ （2）飞机动能变化的原因是什么？
3.3 动能定理
问题2：设物体的质量为m，在与运动方向相同的 恒定外力F的作用下发生一段位移L，速度由v1增 加到v2，如图所示。试用牛顿运动定律和运动学 公式，推导出力F对物体做功的表达式。
3.1 功
练习
一台起重机以F1=2.1×103N的牵引力，将质量 m=200kg的货物从静止起匀加速竖直向上提升， 经过一段时间，速度达到2m/s。如果该起重机 的额定功率是5×103W(g取10m/s2)，求： （1）在此过程中起重机的平均功率。 （2）在此过程中起重机的最大瞬时功率。 （3）若要此货物匀速上升，则上升的速度是多 大？
3.1 功
功率
平均功率：表示做功的平均快慢，大小等于功 除以所用时间，或者力乘平均速度
瞬时功率：表示在某时刻或某位置做功的快慢， 大小等于力乘以瞬时速度
3.1 功
功率
额定功率和实际功率 额定功率就是机械正常条件下长时间工作的 最大功率 实际功率就是机械实际运行时的功率。机械 在功率不变时，其速度v与作用力F成反比
X
3.2 几种常见力的功
探究2.如图用力推小球，将弹簧压缩x，弹簧的劲度 系数为K。释放后小球被弹出的过程中，弹力做功多 大？
F
V
X
3.2 几种常见力的功
探究3.若从压缩量X1运动到压缩量为X2的过程 中，弹力做功是多少？
F
V
X2 X1
3.2 几种常见力的功
探究4.若从伸长量X1拉到伸长量为X2的过程中， 弹力做功是多少？ o
大学物理基础
第三章 功和能
3.1 功
功的概念：
1.如果一个物体受到力的作用，并且在力的方 向上发生了位移，物理学中就说这个力对物体 做了功。
2.在物理学中，力和物体在力的方向上发生的 位移，是做功的两个不可缺少的因素。
3.1 功
功的公式
力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大 小、力和位移的夹角的余弦三者的乘积。 W=Fscosα
3.2 几种常见力的功
势能
定义式：EP=mgh，即物体的重力势能Ep等于物 体的重量mg和它的高度h的乘积。 单位：在国际单位制中是焦耳(J)。 重力势能是状态量。 重力势能是标量，即只有大小，没有方向。
3.2 几种常见力的功
势能
3.2 几种常见力的功
重力做功与重力势能变化的关系
重力做的功等于重力势能的减少量 考虑到一个物体的改变量都是指末状态减去初 状态的，所以上边的三个关系式可以改写成 重力所做的功为：WG＝ｍｇΔｈ ＝ｍｇ（ｈ１－ｈ２） = —ｍｇ（ｈ１－ｈ２） WG=-△EP=EPl-EP2
3.2 几种常见力的功
重力做功的特点
(3)重力做功的这个特点，为我们提供了一个求 重力做功的简单而重要的方法，也正因为重力 做功有此特点，才能引入重力势能的概念。
3.2 几种常见力的功
势能
定义:相互作用的物体凭借其位置而具有的能量 叫势能. 重力势能的概念:物体和地球之间的相互作用所 具有的能量. 定义：通俗地说，物体由于被举高而具有的能 量叫重力势能，用符号Ep表示，物体的质量越 大，离地越高，重力势能就越大。
3.1 功
练习
一个水平力F作用在物体上，使它在力的方向上 移动了一段距离S。第一次在动摩擦因数为μ1的 水平面上，做的功为W1，功率为P1；第二次是 在动摩擦因数为μ2的水平面上，做的功为W2， 做功的功率为P2。已知μ1＞μ2，则以下结论正 确的是( ) A.W1=W2,P1＜P2； B.W1=W2,P1=P2； C.W1＞W2,P1=P2； D.W1＜W2,P1＞P2.
3.2 几种常见力的功
摩擦力做功
摩擦力分为静摩擦力与动摩擦力。 一、静摩擦力做功的特点 1．静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还 可以不做功。 2．在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的 相互转移（静摩擦力起着传递机械能的作用）， 而没有机械能转化为其他形式的能。 3．相互作用的系统内，一对静摩擦力所做功 的代数和总为零。