动点例题解析(答案)

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初一动点问题经典例题及答案

初一动点问题经典例题及答案
例题：
已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|2b﹣6|+（a+1）2=0，A、B之间的距离记作AB，定义：AB=|a﹣b|。

（1）求线段AB的长。

（2）设点P在数轴上对应的数x，当PA﹣PB=2时，求x的值。

（3）M、N分别是PA、PB的中点，当P移动时，指出当下列结论分别成立时，x的取值范围，并说明理由：①PM÷PN的值不变，②|PM﹣PN|的值不变。

答案：
解：
（1）∵|2b﹣6|+（a+1）2=0，
∴a=﹣1，b=3，
∴AB=|a﹣b|=4，即线段AB的长度为4。

（2）当P在点A左侧时，
|PA|﹣|PB|=﹣（|PB|﹣|PA|）=﹣|AB|=﹣4≠2。

当P在点B右侧时，
|PA|﹣|PB|=|AB|=4≠2。

∴上述两种情况的点P不存在。

当P在A、B之间时，﹣1≤x≤3，
∵|PA|=|x+1|=x+1，|PB|=|x﹣3|=3﹣x，
∴|PA|﹣|PB|=2，∴x+1﹣（3﹣x）=2。

∴解得：x=2；
（3）由已知可得出：PM=1/2PA，PN=1/2PB，
当①PM÷PN的值不变时，PM÷PN=PA÷PB。

②|PM﹣PN|的值不变成立。

故当P在线段AB上时，PM+PN=1/2（PA+PB）=1/2AB=2，当P在AB延长线上或BA延长线上时，|PM﹣PN|=1/2|PA﹣PB|=1/2|AB|=2。

三角形全等之动点问题(习题及答案)

三角形全等之动点问题（习题）➢ 例题示范例1：已知：如图，正方形ABCD 的边长为4，动点P 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿AB -BC -CD 方向运动，到达点D 时停止运动．连接AP ，DP ．设点P 运动的时间为t 秒，求当t 为何值时，△ADP 的面积为6．【思路分析】1．研究背景图形，标注四边形ABCD 是边长为4的正方形，四条边都相等，四个角均为90°． 2．分析运动过程，分段①分析运动过程：动点P 的起点、终点、状态转折点，以及对应的时间范围．0≤t ≤6DC(2/s) P ：②根据状态转折点分为三段：02t ≤≤，24t <≤，46t <≤，需要对每一段分别进行分析． 3．表达线段长，建等式①当02t ≤≤时，即点P 在线段AB 上，PDCBA此时AP =2t ，AD =4，12ADP S AD AP =⋅⋅△，即16422t =⋅⋅，32t =，符合题意．②当24t <≤时，即点P 在线段BC 上，P DC BAA BCDABCDP DCB A此时1144822ADP S AD AB =⋅⋅=⨯⨯=△，不符合题意，舍去．③当46t <≤时，即点P 在线段CD 上，PA B CD此时DP =12-2t ，AD =4，12ADP S AD DP =⋅⋅△，即164(122)2t =⋅⋅-，92t =，符合题意．综上，当t 的值为32或92时，△ADP 的面积为6．➢ 巩固练习1. 已知：如图，在等边三角形ABC 中，AB =6，D 为BC 边上一点，APD且BD=4．动点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿CA向点A运动，连接AD，BP．设点P运动时间为t秒，求当t为何值时，△BPA≌△ADC．2.如图，正方形ABCD的边长为8，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB向点B运动（点P不与点A，B重合），动点Q从点B出发以每秒2个单位的速度沿BC向点C运动，点P，Q同时出发，当点Q停止运动，点P也随之停止．连接AQ，交BD于点E，连接PE．设点P运动时间为x秒，求当x为何值时，△PBE≌△QBE．3.已知：如图，在等边三角形ABC中，AB=10 cm，点D为边AB上一点，AD=6 cm．点P在线段BC上以每秒2 cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动．设CQBEPA DQC BDA点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPD与△CQP全等，求此时t的值及点Q 的运动速度．4.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=12，BC=9，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以每秒3个单位的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过多长时间，点P与点Q 第一次在△ABC的哪条边上相遇？5.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到E，使CE=2，连接DE，动点F从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动．设点F的运动时间为t秒．（1）请用含t的式子表达△ABF的面积S．（2）是否存在某个t值，使得△ABF和△DCE全等？若存在，求出所有符合条件的t值；若不存在，请说明理由．➢思考小结1.动点问题的处理方法：①______________________；②______________________，________；③______________________，________．2.分析运动过程包括4个方面（四要素）：①起点、________、__________；②_________________________；③根据_____________分段；④所求目标．3.当研究目标多变或问题情形复杂时，我们往往将问题拆解成几个较为简单的问题来进行考虑，动点问题也是如此．具体分析动点问题时，往往会先研究背景图形，再分析运动过程、分段，为最后表达线段长，建等式做好准备．因为动点运动方向的改变不仅会改变线段长的表达，还可能改变和动点相关的图形的形状，所以要先分段，然后逐段分析，表达线段长，建等式．【参考答案】1.当t为4秒时，△BPA≌△ADC2.当x为83秒时，△PBE≌△QBE3. ①当t 为52秒时，△BPD ≌△CPQ ，此时Q 的速度为85cm/s ． ②当t 为3秒时，△BPD ≌△CQP ，此时Q 的速度为2cm/s ． 4. （1）①全等②Q 的速度为4cm/s 时，能够使△BPD 与△CQP 全等（2）经过24秒，点P 与点Q 第一次在BC 边上相遇． 5．（1）034351258432t s t t s t s t <=<=<<=-+≤≤，，，（2）t 为1秒或7秒时，△ABF 与△DCE 全等。

动点问题专题(二)(word版)

动点问题专题（二）前言：数轴上的动点问题进阶是熟练描述点与点的位置关系以后，深入探讨点与线段、线段与线段之间的关系，而由于点的数量的多少和数据呈现的不同，题目又会出现一些不同的类别．一、例题解析【例1】已知点A、B在数轴上表示的数分别为a、b且满足|a－2|与(b－90)2互为相反数．（1）a值为，b值为．（2）一只电子狗P从点A出发，向右匀速运动，速度为每秒1个单位长度：另一电子狗Q从点B 出发，向左匀速运动，速度为每秒3个单位长度，且Q比P先运动2秒，已知在原点O处有病毒，若电子狗遇到病毒则停止运动，未遇到病毒则继续运动，问电子狗P经过多长时间，有P、Q两只电子狗相距20个单位长度？【例2】数轴上两个点A、B所对应的数为－8、4，A、B两点各自以一定的速度在数轴上运动，且A点的运动速度为2个单位/秒．（1）点A、B两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求B点的运动速度；AB4-8（2）A、B两点同时以（1）中的速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒后原点恰好在两动点中间；（3）A、B两点以（1）中的速度同时出发，几秒种时两者相距6个单位长度？【例3】如图，在数轴上每相邻两点间的距离为一个单位长度，点A、B、C、D对应的数分别是a、b、c、d，且d－2a＝14．DC（1）那么a＝，b＝；（2）点A以3个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动，1秒后点B以4个单位/秒的速度也沿着数轴的正方向运动，当点A到达D点处立刻返回，与点B数轴某点处相遇，求这个点对应的数；（3）如果A、B两点以（2）中的速度同时向数轴的负方向运动，点C从图上的位置出发也向数轴的负方向运动，且始终保持AB＝23AC，当点C运动到－6时，点A对应的数是多少？【例4】如图，数轴上点A、C对应的数分别为a、c，且满足|a＋4|＋(c－1)2018＝0，点B对应的数为－3．COBA（1）求数a、c；（2）点A、B沿数轴同时出发向右匀速运动，点A速度为2个单位长度/秒，点B速度为1个单位长度/秒，若运动时间为t秒，运动过程中，当A、B两点到原点O的距离相等时，求t的值；（3）在（2）的条件下，若点B运动至点C处后立即以原速返回，到达自己的出发点后停止运动；点A 运动至点C处后也立即原速返回，到达自己的出发点后又折向点C运动，当点B停止运动时，点A随之停止运动，求在运动过程中，A，B两点同时到达的点在数轴上表示的数．【例5】已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，A、B之间的距离记作|AB|，定义：|AB|＝|a －b|，且|a＋2|＋(b－5)2＝0．（1）求线段AB的长；（2）设点P在数轴对应的数为x，当|AP|＋|PB|＝10时，求x的值；（3）如图，M 、N 两点分别从O 、B 出发以v 1、v 2的速度同时沿数轴负方向运动（M 在线段AO 上，N 在线段BO 上，当M 运动到A 点或N 运动到O 点时，另一点N 或M 即停止运动），P 是线段AN 的中点，若M 、N 运动到任一时刻时，总有|PM |为定值，下列结论：①12v v 的值不变；②v 1＋v 2的值不变．其中只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论，并求值．【例6】如图1，已知点A 、C 、E 、F 、B 为直线l 上的点，且AB ＝12，CE ＝6，F 为AE 的中点．（1）如图1，若CF ＝2，则BE ＝，若CF ＝m ，BE 与CF 的数量关系是．图1F BA（2）当点E 沿直线l 向左运动至图2的位置时，（1）中BE 、CF 的数量关系是否仍然成立？请说明理由．图2BE（3）如图3，在（2）的条件下，在线段BE 上，是否存在点D ，使得BD ＝7，且DF ＝3DE ?若存在，请求出10DFCF值；若不存在，请说明理由． D E BC A 图3二、课后练习1．数轴上点A对应的数为－5，点B在点A右边，电子蚂蚁甲、乙在B分别以2个单位/秒、1个单位/秒的速度向右运动，电子蚂蚁丙在A以3个单位/秒的速度向右运动．（1）若电子蚂蚁丙经过5秒运动到C点，求C点表示的数；-5BA （2）若它们同时出发，若丙在遇到乙后1秒遇到甲，求点B表示的数是：-5BA（3）在（2）的条件下，设它们同时出发的时间为t秒，是否存在t的值，使丙到乙的距离是丙到甲的距离的2倍？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．-5BA2．已知：数轴上A、B、C三点对应有理数a、b、C、a、b、c在数轴上的位置如图所示，且|c|>|a|．（1）化简：|b－c|－|c－2a|＋|2a＋b|＋|a＋c|；（2）若|a＋10|＝30，b2＝900，c是|x＋40|－30取最小值时x的值，求a，b，c的值；（3）在（2）的条件下，数轴上是否存在一点P，使得P点到C点的距离加上P点到A点的距离减去P 点到B点的距离为60，即PC＋P A—PB＝60，若存在，求出P点在数轴上所对应的数；若存在，请说明理由．3．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，C是AB的中点，且a，b满足|a＋3|＋(b＋3a)2＝0．（1）求点C表示的数；（2）点P从A点以3个单位每秒向右运动，点Q同时从B点以2个单位每秒向左运动，若AP＋BQ＝2PQ，求时间t；（3）若点P以3个单位秒从A点向右运动，点M为AP的中点，在P点到达点B之前①PA PBPC的值不变；②2BM－BP的值不变其中只有一个正确，请你找出正确的结论并求出．4．已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1c m/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）（1）若AB＝10cm，当点C、D运动了2s，求AC＋MD的值．（2）若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝AB．（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN－BN＝MN，求MNAB的值．BDMCA图1图2A M B5．如图1，已知数轴上有三点A 、B 、C ，AB ＝12AC ，点C 对应的数是200．（1）若BC ＝300，求点A 对应的数；（2）如图2，在（1）的条件下，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发向左运动，同时动点R 从A 点出发向右运动，点P 、Q 、R 的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，点M 为线段PQ 的中点，点Q 在从点D 运动到点A 的过程中，32QC AM 的值是否发生变化？若不变，求其值；若不变，请说明理由．图1CB A图2Q200QR P图3C E 0。

初一数学动点问题20题及答案

初一数学动点问题20题及答案数轴上动点问题1．已知：如图，数轴上点A表示的数为6，点B表示的数为2，点C表示的数为﹣8，动点P从点A出发，沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度．点M为线段BC中点，点N为线段BP中点．设运动时间为t秒．（1）线段AC的长为__________个单位长度；点M表示的数为；（2）当t=5时，求线段MN的长度；（3）在整个运动过程中，求线段MN的长度．（用含t的式子表示）．2．已知数轴上点A，B，C所表示的数分别是x，﹣6，4．（1）线段BC的长为_________，线段BC的中点D所表示的数是；（2）若AC=8，求x的值；（3）在数轴上有两个动点P，Q，P的速度为1个单位长度/秒，Q的速度为2个单位/秒，点P，Q分别从点B，C同时出发，在数轴上运动，则经过多少时间后P，Q两点相距4个单位？3．动点A、B同时从数轴上的原点出发向相反的方向运动，且A、B的速度之比是1：4（速度单位：长度单位/秒），3秒后，A、B两点相距15个单位长度．（1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置．（2）若A、B两点从（1）中的位置同时向数轴负方向运动，几秒后原点恰好处在两个动点正中间？4．如图A、B两点在数轴上分别表示﹣10和20，动点P从点A出发以10个单位每秒的速度向右运动，动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度出向右运动．设运动时间为t．（1）当点P运动到B点时，求出t的值；（2）当t为何值时，P、Q两点相遇，并求出此时P点对应的数？（3）在此运动过程中，若P、Q相距10个单位，直接写出运动时间t？5．已知a，b满足（a+2）2+|b﹣1|=0，请回答下列问题：（1）a=_______，b=_______；（2）a，b在数轴上对应的点分别为A，B，在所给的数轴上标出点A，点B；（3）若甲、乙两个动点分别从A，B两点同时出发沿x轴正方向运动，已知甲的速度为每秒2个单位长度，乙的速度为每秒1个单位长度，更多好题请进入：437600809，请问经过多少秒甲追上乙？6．在数轴上有A、B两动点，点A起始位置表示数为﹣3，点B起始位置表示数为12，点A的速度为1单位长度/秒，点B的运动速度是点A速度的二倍．（1）若点A、B同时沿数轴向左运动，多少秒后，点B与点A相距6单位长度？（2）若点A、点B同时沿数轴向左运动，是否有一个时刻，表示数﹣3的点是线段AB 的中点？如果有，求出运动时间；如果没有，说明理由．7．如图，已知数轴上点A表示的为8，B是数轴上一点，且AB=14，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）写出数轴上点B表示的数，点P表示的数（用含t的代数式表示）；（2）动点H从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、H 同时出发，问点P运动多少秒时追上点H？8．如图，数轴上的点A，B对应的数分别为﹣10，5．动点P，Q分别从A，B同时出发，点P以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒．（1）求线段AB的长；（2）直接用含t的式子分别表示数轴上的点P，Q对应的数；（3）当PQ=AB时，求t的值．9．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是你数轴上一点，且AB=10，动点P从点O 出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）写出数轴上点B所表示的数______；当t=3时，OP=_______．（2）动点R从点B出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P，R 同时出发，问点R运动多少秒时追上点P？10．如图．点A、点C是数轴上的两点，0是原点，0A=6，5AO=3CO．（1）写出数轴上点A、点C表示的数；（2）点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，问运动多少秒后，这两个动点到原点O的距离存在2倍关系？11．已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣1，3，P为数轴上的动点，其对应的数为x．（1）数轴上是否存在点P，使P到点A、点B的之和为5？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；（2）当点P以每分钟1个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度的速度向左运动，点B以每分钟20个单位长度的速度向左运动．问，它们同时出发几分钟时点P到点A、点B的距离相等？12．A、B两个动点在数轴上做匀速运动，它们的运动时间以及位置记录如下．（1）根据题意，填写下列表格；（2）A、B两点能否相遇？如果相遇，求相遇时的时刻及在数轴上的位置；如果不能相遇，请说明理由；（3）A、B两点能否相距18个单位长度？如果能，求相距18个单位长度的时刻；如不能，请说明理由．13．如图1，点A，B是在数轴上对应的数字分别为﹣12和4，动点P和Q分别从A，B 两点同时出发向右运动，点P的速度是5个单位/秒，点Q的速度是2个单位/秒，设运动时间为t秒．（1）AB=．（2）当点P在线段BQ上时（如图2）：①BP=______________（用含t的代数式表示）；②当P点为BQ中点时，求t的值．。

(完整版)初二动点问题(含答案)

动态问题一、所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键：动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想转化思想类型：1。

利用图形想到三角形全等，相似及三角函数2.分析题目，了解有几个动点，动点的路程,速度(动点怎么动)3.结合图形和题目,得出已知或能间接求出的数据4。

分情况讨论,把每种可能情况列出来，不要漏5.动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路6。

动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示,就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论二、例题：1、如图1,梯形ABCD中，AD∥ BC，∠B=90°,AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P，Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。

当t= 时,四边形是平行四边形；当t= 时,四边形是等腰梯形.2、如图2,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上,且DM=1，N为对角线AC上任意一点,则DN+MN的最小值为．的长为；的长为 ;4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。

(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE；（2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证：DE=AD—BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.5、数学课上，张老师出示了问题:如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BCEFCF于点F，求证：AE=EF．AB的中点M,连接ME,则AM=EC在此基础上，同学们作了进一步的研究：(1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点"改为“点E是边BC上(除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由;（2）小华提出：如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确,请说明理由．ACBAED图1NMA BCDEMN图2ACBEDNM图36、如图，射线MB上，MB=9，A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P从M沿射线MB方向以1个单位/秒的速度移动，设P的运动时间为t.求（1）△ PAB为等腰三角形的t值；(2)△ PAB为直角三角形的t值；（3）若AB=5且∠ABM=45 °,其他条件不变，直接写出△ PAB为直角三角形的t值（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向CCA上由C点向A点运动①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时，能（2）若点Q以②中的运动速度从点C来的运动速度从点B边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次哪条边上相遇?A DFC GEB图1A DFC GEB图3A DFC GEB图2。

初中数学中考动点复习(例题和答案)

A CQ图9—1图9—2AB C QP初中数学动点复习（例题和答案）例1．如图9—1，在△ABC 中，∠B ＝90°, AB ＝6cm ，BC ＝3cm ．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1 cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，几秒钟后P 、Q 间的距离等于42cm?（1995年山东省中考试题）分析：本题如果设t 秒钟后，P 、Q 间的距离等于42cm ，那么PB 、QB 都能用t 来表示，根据勾股定理，可以列出关于t 的方程求解．解：设t 秒钟后，P 、Q 间的距离等于42cm ．则PB ＝（6－t ）cm ，QB ＝2t cm ．根据勾股定理，得（6－t ）2＋（2t ）2＝（42）2．解这个方程，得t 1＝52，t 2＝2．因为点Q 从点B 开始沿BC 边移动到点C 以只需要1.5秒，所以只取t ＝52．答：52秒钟后，P 、Q 间的距离等于42cm ．说明：本题抓住变化中图形的特殊位置关系：PQ ＝42cm ，直接利用勾股定理，建立方程模型解决问题．例2．如图9—2，在△ABC 中，∠C ＝90°, BC ＝8 cm ，sin B ＝53，点P 从点B 开始沿BC 向点C 以2 cm/s 的速度移动，点Q 从点C 开始沿CA 边向点A 以1cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从B 、C 同时出发，第几秒时PQ ∥AB ?（1997年陕西省咸阳市中考试题）分析：如图9—2，假设运动开始后t 秒时，PQ ∥AB 根据这时图形的特殊位置，利用平行线分线段成比例定理求解．解: 设P 、Q 分别从B 、C 同时出发，运动开始后t 秒时，PQ ∥AB ．则ACAQ BC BP =． ∵sin B ＝53，∴cos B ＝54，tg B ＝43．∴AC ＝BC ·tg B ＝8·43＝6． ∴BP ＝2t ，AQ ＝AC －QC ＝6－t ．∴6682tt -=．图9—3A 图9—4BQ P 解得 t ＝2.4(s )．∴P 、Q 分别从B 、C 同时出发，运动开始后2.4 s 时，PQ ∥AB ．说明：本题抓住变化中图形的特殊位置PQ ∥AB ，利用平行线分线段成比例定理求解．例3．如图9—3，已知：在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝12cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发．设S 表示面积，x 表示移动时间（x ＞0）．（1）几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2；（2）写出S △DPQ 与x 的函数关系式；（3）求出S △DPQ 最小值和S △DPQ 最大值，并说明理由．（1998年湖北省襄樊市中考试题）分析：点P 、Q 在运动过程中，x 在变，S △DPQ 也在变，而S △DPQ 与x 之间可以根据条件列出方程或函数关系式求解．解：（1）根据题意，得21·2x ·（6－x ）＝8．即 x 2－6x +8＝0．解得 x 1＝2，x 2＝4．所以2秒或4秒后△PBQ 的面积等于8cm 2．（2）S △DPQ ＝S 四边形ABCD －S △APD －S △PBQ －S △DCQ＝12·6－21·x ·12－21·6·（12－2x ）－21·（6－x ）·2x ＝ x 2－6x +36．（3）S △DPQ ＝ x 2－6x +36＝（x －3）2+27．∴S △DPQ 的最小值是27，S △DPQ 的最大值是36．∵当|x －3|最小时，S △DPQ 有最小值；当| x －3|最大时，S △DPQ 有最大值，又∵0＜x ≤6，∴当x ＝3时，S △DPQ 有最小值；当x ＝6时，S △DPQ 有最大值．说明：本题第（1）小题是利用方程模型求解，它是P 、Q 运动过程中，△PBQ 处于特殊位置；而第（2）、(3)小题是利用函数模型求解．另外，在几何图形中求函数关系式，问题具有一定的实际意义，因此对函数关系式中自变量的取值范围必须认真考虑，一般需有约束条件．例4．如图9—4，在△ABC 中，AB ＝8 cm ，BC ＝16 cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以2cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4 cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，经几秒钟△PBQ 与△ABC 相似？（1998年江苏省宿迁市中考试题）分析：在P 、Q 分别从A 、B 同时出发运动的过程中，可能有两种状态出现：（1）BC BQ AB PB =；（2）AB BQ BC PB =．因此，这两种情况都要考虑．解：设P 、Q 分别从A 、B 同时出发后，经 x s ，△PBQ 与△ABC 相似．则AP ＝2x ，BQ ＝4x ，PB ＝8－2x ．（1）如果BC BQ AB PB =，那么可得164828xx =-．解得 x ＝2．（2）如果AB BQ BC PB =，那么可得841628xx =-．解得 x ＝54．所以经过2 s 钟或54s 钟，△PBQ 与△ABC 都相似．说明：本题是一道需要讨论的质点运动型中考题，即在P 、Q 分别从A 、B 同时出发运动的过程中，有两种情况使△PBQ 与△ABC 相似．例5．如图9—5，在矩形ABCD 中，AB ＝12cm ，BC ＝6cm ，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2cm/ s 的速度移动，点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动，如果P 、Q 同时出发，用t （s ）表示移动的时间（0≤t ≤6），那么（1）当t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形？（2）求四边形QAPC 的面积；提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？（2002年河北省中考试题）分析：（1）只要把QA 、AP 用含t 的代数式表示，利用QA ＝AP 求解；（2）可以分别求出△QAC 和△APC 的面积；（3）同例4一样，要分两种情况求解．解：（1）对于任何时刻t ，AP ＝2t ，DQ ＝t ，QA ＝6－t ．当QA ＝AP 时，△QAP 为等腰直角三角形．即6－t ＝2t ．解得t ＝2（秒）．所以当t ＝2秒时，△QAP 为等腰直角三角形．（2）在△QAC 中，QA ＝6－t ，QA 边上的高DC ＝12，∴S △QAC ＝21QA •DC ＝21（6－t ）•12＝36－6t ． ∵在△APC 中，AP ＝2t ，BC ＝6，A CB QD P 图9—5A 图9—6BCD A 图9—7 B C D F E∴S △APC ＝21AP •BC ＝21•2t •6＝6t ． ∴S 四边形QAPC ＝S △QAC ＋S △APC ＝36－6t ＋6t ＝36（cm 2）．由计算结果发现：在P 、Q 两点的移动过程中，四边形QAPC 的面积始终保持不变．（也可以提出：P 、Q 两点到对角线AC 的距离之和保持不变）（3）根据题意，可分为两种情况来求解：当BCAP ABQA =时，△QAP ∽△ABC ．∴62126tt =-．解得t ＝1.2（s ）．∴当t ＝1.2 s 时，△QAP ∽△ABC ．当AB AP BCQA =时，△PAQ ∽△ABC ．∴122126t t =-．解得t ＝3（秒）．∴当t ＝3 s 时，△PAQ ∽△ABC ．例6．如图9—6，正方形ABCD 中，有一直径为BC 的半圆，BC ＝2cm ．现有两点E 、F ，分别从点B 、点A 同时出发，沿线段BA 以1cm/s 的速度向点A 运动，点F 沿折线A —D —C 以2cm/s 的速度向点C 运动．设点E 离开点的B 时间为t （s ）．（1）当t 为何值时，线段EF 和BC 平行？（2）设1＜t ＜2，当t 为何值时，EF 与半圆相切？（3）当1≤t ＜2时，设EF 与AC 相交于点P ，问点E 、F 运动时，点P 的位置是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求AP :PC 的值．（2001年南昌市中考试题）分析：（1）当EF ∥BC 时，四边形BCFE 是矩形；（2）线段EF 与半圆相切时，EF ＝ BE+CF ，可以过点F 作KF ∥BC 交AB 于K ，构造直角三角形求解；（3）可以利用正方形ABCD 中的不变关系AB ∥DC ，通过△AEP ∽△CFP 求解．解：（1）如图9—7，设E 、F 出发后运动了t s 时，有EF 和BC 平行．则BE ＝ t ，CF ＝4-2t ． ∴t ＝4-2t ．解得t ＝34．∴当t ＝34 s 时，线段EF 和BC 平行．（2）设E 、F 出发后运动了t 秒时，EF 与半圆相切．过点F 作KF ∥BC 交AB 于K ．如图9—8．则A 图9—8BCD FE K A 图9—9 BC D F E P BE ＝ t ，CF ＝4-2t ，EK ＝ t -（4-2t ）＝3t -4，EF ＝ BE+ CF ＝ t +（4-2t ）＝4-t ．又∵EF 2＝ EK 2+FK 2， ∴（4-2t ）2＝（3t -4）2+22．解得t ＝222±．∵1＜t ＜2，∴t ＝222+． ∴当t ＝34 s 时，线段EF 与半圆相切．（3）答：当1≤t ＜2时，点P 的位置不会发生变化．证明：1≤t ＜2时，设E 、F 出发后运动了t s 时，EF 位置如图9—9所示，则BE ＝ t ，AE ＝2-t ， CF ＝4-2t ．∴FCAE ＝21242=--tt .又∵AB ∥DC ，∴△AEP ∽△CFP . ∴21==FCAE PCAP .即点P 的位置与t 的取值无关．∴1≤t ＜2时，点P 的位置不会发生变化，且AP :PC 的值是21．练习1．解：（1）运动开始后第x s 钟时，△PBQ 的面积等于8cm 2．根据题意，得21·2x ·（6－x ）＝8．即 x 2－6x +8＝0．解得 x 1＝2，x 2＝4．所以2 s 或4 s 后△PBQ 的面积等于8cm 2．（2）运动开始后第t s 钟时，S ＝S 矩形ABCD －S △PBQ＝12·6－21·（6－t ）·2t ＝ t 2－6x +72．（3）S ＝t 2－6x +72＝( t －3 )2+63．））所以当t ＝3时，S 最小，S 的最小值是63 cm 2．2．解：当t ＝1 s 时，OE ＝1，AP ＝3． ∴OP ＝28－3＝25． ∵OA ＝OB ，EF ∥OA ， ∴EF ＝EB ＝28－1＝27． ∴S 梯形OPFE ＝2)(OE EF OP +＝21)2725(⨯+＝26．S ＝228328t t -+-＝－2 t 2+28 t＝－2（t －7）2+98．所以当t ＝7 s 时，梯形OPFE 的面积最大，最大面积是98．（2）相似．证明：分别过F 1 、F 2作F 1H 1⊥AP 2，F 2 H 2⊥AP 2，垂足分别为H 1、H 2． ∵∠OAB ＝45°,∴AH 1＝F 1H 1＝t 1，AH 2＝F 2H 2＝t 2． ∴AF 1＝2t 1，AF 2＝2t 2． ∴2121t t AF AF =．又∵AP 1＝3t 1，AP 2＝3t 2，∴21212133t t t t AP AP ==． ∴2121AF AF AP AP =． ∵∠OAB ＝∠OAB ，∴△AF 1P 1∽△AF 2P 2．3．解：（1）当点Q 在OC 上时，坐标为（x 58，x 56），当点Q 在CB 上时，坐标为（2 x －1，3）．（2）①点Q 所经过的路程为16－x ，速度为xx-16． ②当Q 在OC 上时，作QM ⊥OA ，垂足为M ．则QM ＝53（16－x ）．）） ∴S △OPQ ＝21·53（16－x ）·x 103 x （16－x ）．令103x （16－x ）＝18．解得x 1＝10，x 2＝6．∵当x 1＝10时，16－x ＝6，这时点Q 不在OC 上，故舍去．∴当Q 在OC 上时，PQ 不可能同时把梯形OABC 的面积也分成相等的两部分．点Q 在CB 上时，CQ ＝16－x －5＝11－x ． ∴S 梯形OPQC ＝21·（11－x ＋x ）·3＝233． ∵233≠18， ∴点Q 在CB 上时，PQ 不可能同时把梯形OABC 的面积也分成相等的两部分．。

2023年中考数学重难点复习：三角形中的”动“问题-中考数学中的“动”问题(附答案解析)

2023年中考数学重难点复习：三角形中的“动”问题
例题
如图，在等边三角形ABC中，BC边上的高AD=6，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E 运动的过程中，存在EB+EF的最小值，则这个最小值是
A．3 B．4 C．5 D．6
【参考答案】D
【试题解析】如图，连接CF，
∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线，
∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC，
∴EB=EC，
当B、F、E三点共线时，EF+EC=EF+BE=CF，
∵等边△ABC中，F是AB边的中点，∴AD=CF=6，
∴EF+BE的最小值为6，故选D．
【方法点拨】点的运动会引起距离的变化，距离最大或最小的问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．本题主要考查了等边三角形的轴对称性质和勾股定理的应用等知识，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键．
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人教版九年级数学中考动点问题专项练习及参考答案

人教版九年级数学中考动点问题专项练习例题1. 抛物线223y x x =-++与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在B 的左侧），与y轴相交于点C ，顶点为D .⑴ 直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；⑵ 连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF DE ∥交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为；① 用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？② 设BCF ∆的面积为S ，求S 与m 的函数关系式．【答案】⑴()10A -，，()30B ，，()03C ，．抛物线的对称轴是：1x =．⑵①设直线BC 的函数关系式为：y kx b =+．把()()3003B C ，，，分别代入得：303.k b b +=⎧⎨=⎩，解得：13k b =-=，．所以直线BC 的函数关系式为：3y x =-+．当1x =时，132y =-+=，∴()12E ，．当x m =时，3y m =-+， ∴()3P m m -+，．在223y x x =-++中，当1x =时，4y =． ∴()14D ，当x m =时，223y m m =-++∴()223F m m m -++，．∴线段422DE =-=，线段()222333PF m m m m m =-++--+=-+． ∵PF DE ∥∴当PF ED =时，四边形PEDF 为平行四边形．由232m m -+=解得：1221m m ==，．（不合题意，舍去）．因此，当2m =时，四边形PEDF 为平行四边形．②设直线PF 与x 轴交于点M ，由()30B ，，()00O ，，可得：3OB OM MB =+=． ∵BPF CPE S S S ∆∆=+．即()11112222S PF BM PF OM PF BM OM PF OB =⋅+⋅=⋅+=⋅．∴()()221393303222S m m m m m =⨯-+=-+≤≤．例题2. 如图，已知抛物线(1)2)0y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．【答案】（1）∵抛物线2(1))0y a x a =-+≠经过点()20A -，，∴09a =+a =∴二次函数的解析式为：2y =+（2）∵D 为抛物线的顶点∴(1D 过D 作DN OB ⊥于N ，则DN =，3AN =，∴6AD ==∴60DAO ∠=︒∵OM AD ∥①当AD OP =时，四边形DAOP 是平行四边形 ∴6OP =∴()6t s =②当DP OM ⊥时，四边形DAOP 是直角梯形过O 作OH AD ⊥于H ，2AO =，则1AH =（如果没求出60DAO ∠=°可由Rt Rt OHA DNA △∽△求1AH =） ∴5OP DH ==，()5t s =③当PD OA =时，四边形DAOP 是等腰梯形 ∴2624OP AD AH =-=-=∴()4t s =综上所述：当6t =、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形．（3）由（2）及已知，60OC OB COB OCB =∠=，，°△是等边三角形则62OB OC AD OP t BQ t =====，，，∴()6203OQ t t =-<< 过P 作PE OQ ⊥于E，则PE =∴113322263(62)BCPQ t S t -=⨯⨯⨯-⨯=233633228t ⎛⎫-+⎪⎝⎭ 当32t =时，BCPQ S 的面积最小值为6338 ∴此时33324OQ OP OE ==，=，∴39334443PE QE ===- ∴222233933442PE QE PQ ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=例题3. 已知⊙O 的半径为3，⊙P 与⊙O 相切于点A ，经过点A 的直线与⊙O 、⊙P 分别交于点B 、C ，cos ∠BAO ＝13．设⊙P 的半径为x ，线段OC 的长为y ．（1）求AB 的长；（2）如图1，当⊙P 与⊙O 外切时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）当∠OCA ＝∠OPC 时，求⊙P 的半径．图1 【答案】（1）如图2，作OE ⊥AB ，垂足为E ，由垂径定理，得AB ＝2AE ．在Rt △AOE 中，cos ∠BAO ＝13AE AO =，AO ＝3，所以AE ＝1．所以AB ＝2．（2）如图2，作CH ⊥AP ，垂足为H ．由△OAB ∽△P AC ，得AO AP AB AC =．所以32x AC =．所以23AC x =．在Rt △ACH 中，由cos ∠CAH ＝13，得1322AH AC CH==．所以1239AH AC x ==，224239CH AC x ==．在Rt △OCH 中，由OC 2＝OH 2＋CH 2，得222422()(3)99y x x =++．整理，得23649813y x x =++．定义域为x ＞0．图2 图3（3）①如图3，当⊙P 与⊙O 外切时，如果∠OCA ＝∠OPC ，那么△OCA ∽△OPC ．因此OA OCOC OP =．所以2OC OA OP =⋅．解方程236493(3)813x x x ++=+，得154x =．此时⊙P 的半径为154．②如图4，图5，当⊙P 与⊙O 内切时，同样的△OAB ∽△P AC ，23AC x =．如图5，图6，如果∠OCA ＝∠OPC ，那么△ACO ∽△APC ．所以AO ACAC AP =．因此2AC AO AP =⋅．解方程22()33x x =，得274x =．此时⊙P 的半径为274．图4 图5 图6例题4. 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(4,0)，点C的坐标为(－4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P、D、B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于F，连结EF、BF．（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时．①求证：∠BDE＝∠ADP；②设DE＝x，DF＝y，请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．图1【答案】（1）直线AB的函数解析式为y＝－x＋4．（2）①如图2，∠BDE＝∠CDE＝∠ADP；②如图3，∠ADP＝∠DEP＋∠DPE，如图4，∠BDE＝∠DBP＋∠A，因为∠DEP＝∠DBP，所以∠DPE＝∠A＝45°．所以∠DFE＝∠DPE＝45°．因此△DEF是等腰直角三角形．于是得到2y x=．图2 图3 图4（3）①如图5，当BD∶BF＝2∶1时，P(2,2)．思路如下：由△DMB∽△BNF，知122BN DM==．设OD＝2m，FN＝m，由DE＝EF，可得2m＋2＝4－m．解得23m=．因此4(0,)3D．再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2)．②如图6，当BD∶BF＝1∶2时，P(8,－4)．思路同上．图5 图6例题5. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，53sin =B ，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边CB 于点P ，点O 是边AB 上的动点．（1）如图1，将⊙B 绕点P 旋转180°得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系；（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求OA 的长；（3）如图3，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．图1 图2 图3【答案】（1）在Rt △ABC 中，AC ＝6，53sin =B ，所以AB ＝10，BC ＝8．过点M 作MD ⊥AB ，垂足为D ．在Rt △BMD 中，BM ＝2，3sin 5MD B BM==，所以65MD =．因此MD ＞MP ，⊙M 与直线AB 相离．图4（2）①如图4，MO ≥MD ＞MP ，因此不存在MO ＝MP 的情况．②如图5，当PM ＝PO 时，又因为PB ＝PO ，因此△BOM 是直角三角形．在Rt △BOM 中，BM ＝2，4cos 5BO B BM==，所以85BO =．此时425OA =．③如图6，当OM ＝OP 时，设底边MP 对应的高为OE ．在Rt △BOE 中，BE ＝32，4cos 5BE B BO==，所以158BO =．此时658OA =．图5 图6（3）如图7，过点N 作NF ⊥AB ，垂足为F ．联结ON ．当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON ＝x ＋y ．在Rt △BNF 中，BN ＝y ，3sin 5B =，4cos 5B =，所以35NF y =，45BF y =．在Rt △ONF 中，4105OF AB AO BF x y =--=--，由勾股定理得ON 2＝OF 2＋NF 2．于是得到22243()(10)()55x y x y y +=--+．整理，得2505040x y x -=+．定义域为0＜x ＜5．图7 图8例题6. 如图1，甲、乙两人分别从A 、B 两点同时出发，点O 为坐标原点．甲沿AO 方向、乙沿BO 方向均以每小时4千米的速度行走，t 小时后，甲到达M 点，乙到达N 点．（1）请说明甲、乙两人到达点O 前，MN 与AB 不可能平行；（2）当t 为何值时，△OMN ∽△OBA ？（3）甲、乙两人之间的距离为MN 的长．设s ＝MN 2，求s 与t 之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．图1【答案】（1）当M 、N 都在O 右侧时，24122OM t t OA-==-，642163ON t t OB-==-，所以OM ON OAOB≠．因此MN 与AB 不平行．（2）①如图2，当M 、N 都在O 右侧时，∠OMN ＞∠B ，不可能△OMN ∽△OBA ．②如图3，当M 在O 左侧、N 在O 右侧时，∠MON ＞∠BOA ，不可能△OMN ∽△OBA ．③如图4，当M 、N 都在O 左侧时，如果△OMN ∽△OBA ，那么ON OA OMOB=．所以462426t t -=-．解得t ＝2．图2 图3 图4（3）①如图2，24OM t =-，12OH t =-，2)MH t =-．(64)(12)52NH ON OH t t t =-=---=-．②如图3，42OM t =-，21OH t =-，1)MH t =-．(64)(21)52NH ON OH t t t =+=-+-=-．③如图4，42OM t =-，21OH t =-，1)MH t =-．(21)(46)52NH OH ON t t t =-=---=-．综合①、②、③，s 222MN MH NH ==+22221)(52)16322816(1)12t t t t t ⎤=-+-=-+=-+⎦．所以当t ＝1时，甲、乙两人的最小距离为12千米．例题7. 已知点 (1，3)在函数ky x=(0x >)的图像上，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E 是对角线BD 的中点，函数ky x=(0x >)的图像经过A 、E 两点，若45ABD ∠=︒，求E 点的坐标.【解析】点(1，3)在函数k y x=的图像上，3k =.又E 也在函数k y x =的图像上，故设E 点的坐标为(m ，3m). 过E 点作EF x ⊥轴于F ，则3EF m=. 又E 是对角线BD 的中点，62AB CD EF m===. 故A 点的纵坐标为6m ，代入3y x =中，得A 点坐标为 (2m ，6m). 因此22m mBF OF OB m =-=-=.由45ABD ∠=︒，得45EBF ∠=︒，BF EF =. 即有32m m=.解得m =而0m >，故m =则E 点坐标为【答案】例题8. 如图，11POA ∆、212PA A ∆都是等腰直角三角形，点1P 、2P 在函数4y x=(0x >)的图像上，斜边1OA 、12A A 、都在x 轴上，求点2A 的坐标.【解析】分别过点1P 、2P 做x 轴的垂线，根据题意易得1PC OC =，21P D A D =，14PC OC ⋅=，24P D OD ⋅=，得2OA =，所以2A(0).【答案】2A(0).例题9. 如图所示，()()111222P x y P x y ，，，，……，()n n n P x y ，在函数()90y x x=>的图象上，11OP A ∆，212P A A ∆，323P A A ∆，…，1n n n P A A -∆，…都是等腰直角三角形，斜边1121n n OA A A A A -，，…，都在x 轴上，则12n y y y +++=…______________．【解析】由已知易得()133P ，，则13y =，点2P 横坐标为26y +，那么可得()2269y y +=，解得23y =，同理点3P横坐标为3y，那么可得()339y y =，解得3y =依此类推，n P的纵坐标为n y =∴1233n y y y +++=+++……【答案】例题10. 如图，P 是函数12y x=(0x >)图象上一点，直线1y x =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，PM Ox ⊥轴于M ，交AB 于E ，PN Oy ⊥轴于N ，交AB 于F.求AF BE ⋅的值.【解析】设点P (x ，y )，过点E 、F 分别作x 轴的垂线，21AF BE xy ⋅==. 【答案】1例题11. 已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与BC ，重合），过F 点的反比例函数(0)ky k x=>的图象与AC 边交于点E ．（1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；（2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明：设11()E x y ，，22()F x y ，，AOE △与FOB △的面积分别为1S ，2S ，由题意得11k y x =，22k y x =． ∴1111122S x y k ==，2221122S x y k ==．∴12S S =，即AOE △与FOB △的面积相等．（2）由题意知：E F ，两点坐标分别为33k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，44k F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∴11121222EOF AOE BOF ECF ECF ECF AOBC S S S S S k k S k S =---=---=--△△△△△△矩形∴2112S k k =-+．当161212k =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，S 有最大值．131412S -==⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭最大值．（3）解：设存在这样的点F ，将沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 边上的M 点，过点E 作EN OB ⊥，垂足为N ．由题意得：3EN AO ==，143EM EC k ==-，134MF CF k ==-，∵90EMN FMB FMB MFB ∠+∠=∠+∠= ∴EMN MFB ∠=∠．又∵90ENM MBF ∠=∠=， ∴ENM MBF △∽△． ∴EN EM MB MF= ∴11414312311331412k k MB k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ∴94MB =．222MB BF MF +=，解得218k =．∴21432k BF ==∴存在符合条件的点F ，它的坐标为21432⎛⎫⎪⎝⎭，．例题12. 如图，点()1A m m +，，()31B m m +-，都在反比例函数ky x=的图象上．（1）求m k ，的值；（2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点，以点A B M N ，，，为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式．【解析】（1）由题意可知，()()()131m m m m +=+-．解，得3m =．∴()()3462A B ，，，；∴4312k =⨯=．（2）存在两种情况，如图：①当M 点在x 轴的正半轴上，N 点在y 轴的正半轴上时，设1M 点坐标为()10x ，，1N 点坐标为()10y ，． ∵ 四边形11AN M B 为平行四边形，∴线段11N M 可看作由线段AB 向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的）．由（1）知A 坐标为（3，4），B 坐标为（6，2），∴1N 点坐标为042（，-），即102N （，）； 1M 点坐标为（6－3，0），即1M （3，0）．设直线11M N 的函数表达式为12y k x =+，把30x y ==，代入，解得123k =-． ∴ 直线11M N 的函数表达式为223y x =-+．②当M 点在x 轴的负半轴上，N 点在y 轴的负半轴上时，设2M 点坐标为20x （，），2N 点坐标为20y （，）．∵11221122AB N M AB M N AB N M AB M N ∥，∥，＝，＝，∴1221122N M M N N M M N ∥，＝． ∴线段22M N 与线段11N M 关于原点O 成中心对称． ∴2M 点坐标为（-3，0），2N 点坐标为（0，-2）．设直线22M N 的函数表达式为22y k x =-，把30x y =-=，代入，解得223k =-，∴ 直线M 2N 2的函数表达式为223y x =--．所以，直线MN 的函数表达式为223y x =-+或223y x =--．【答案】（1）3m =，12k =；（2）223y x =-+或223y x =--。

动点轨迹经典例题(含答案) 易懂版

（一）求轨迹方程的一般方法：1. 待定系数法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。

2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。

4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。

5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。

6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。

1. P 是椭圆5922y x +=1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线，垂足为M ，则PM 中点的轨迹中点的轨迹方程为：（）A 、159422=+y xB 、154922=+y xC 、120922=+y x D 、53622y x +=1 2. 圆心在抛物线)0(22>=y x y 上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是（）A 041222=---+y x y x B 01222=+-++y x y xC 01222=+--+y x y xD 041222=+--+y x y x 1：已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 45sin sin C A B =+求点C 的轨迹。

初中数学知识点复习专题讲练：函数中的动点问题(含答案)

函数中的动点问题考点分析1.点在线段上运动：2.根据线段长或图形面积求函数关系.如：如图所示，点P在线段BC,CD,DA上运动，△ABP 的面积变化情况的图象是什么样的？解析：看清横轴和纵轴表示的量.答案：2. 双动点变化：两动点同时运动，分析图形面积变化图象.如图1，在矩形ABCD中，点E是对角线AC 的三等分点（靠近点A），动点F从点C出发沿C→A→B运动，当点F与点B重合时停止运动.设点F运动的路程为x，△BEF的面积为y，那么图2能表示y与x函数关系的大致图象吗？图1 图2解析：动点问题的函数图象，解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据动点的行程判断y的变化情况.答案：能.3. 图形运动变化所形成的函数问题：图形整体运动时，形成的函数问题；如图，边长为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，阴影部分面积为S，那么S与t的函数图象大致是什么？解析：图形运动变化所形成的函数问题．关键是理解图形运动过程中的几个分界点.答案：4. 实际问题中的运动变化图象如图，小亮在操场上玩，一段时间内沿M→A→B→M的路径匀速散步，能近似刻画小亮到出发点M的距离y与时间x之间关系的函数图象是（）解析：解决实际问题中的运动变化图象，要根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义选出正确的图象.答案：总结：研究在不同位置时点的运动变化所产生的线段、面积的变化关系是重点.解题技巧例题如图，M 是边长为4的正方形AD 边的中点，动点P 自A 点起，由A ⇒B ⇒C ⇒D 匀速运动，直线MP 扫过正方形所形成面积为y ，点P 运动的路程为x ，则表示y 与x 的函数关系的图象为（）A .B .C .D .解析：分别求出P 在AB 段、BC 段、CD 段的函数解析式或判断函数的类型，即可判断.答案：解：点P 在AB 段时，函数解析式是：y ＝21AP •AM ＝21×2x ＝x ，是正比例函数y x =；点P 在BC 段时，函数解析式是：1()242y AM BP AB x =+⋅=-，是一次函数24y x =-；则2,1BC AB k k ==，BC AB k k ∴>.在单位时间内点P 在BC 段上的面积增长要大于点P 在AB 上的面积增长，因此函数图象会更靠近y 轴，也就是图象会比较“陡”，故A 、B 选项错误.点P 在CD 段时，面积是△ABC 的面积加上△ACP 的面积，△ABC 的面积不变，而△ACP 中CP 边上的高一定，因而面积是CP 长的一次函数，因而此段的面积是x 的一次函数，应是线段.故C 错误，正确的是D .故选D .点拨：主要考查了函数的性质，注意分段讨论是解决本题的关键.总结提升利用动点形成的函数图象求解析式例题（翔安模拟）如图1，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ,CD ,DA 运动至点A 停止.设点P 运动的路程为x cm ，△ABP 的面积为 y cm 2，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则y 关于x 的函数关系式为 .解析：根据图2判断出矩形的AB 、BC 的长度，然后分点P 在BC 、CD 、AD 时，分别求出点P 到AB 的距离，然后根据三角形的面积公式列式即可求出y 关于x 的函数关系式.答案：解：由图2可知，x 从4到9的过程中，三角形的面积不变，所以，矩形的边AB ＝9－4＝5 cm ，边BC ＝4 cm ，则点P 运动的总路程为9＋4＝13 cm ，分情况讨论：①点P 在BC 上时，0≤x ≤4，点P 到AB 的距离为PB 的长度x cm ，y ＝21AB •PB ＝21×5x ＝25x ；②点P 在CD 上时，4<x <9，点P 到AB 的距离为BC 的长度4 cm ，y ＝21AB •BC ＝21×5×4＝10；③点P 在AD 上时，9≤x ≤13时，点P 到AB 的距离为P A 的长度（13－x ） cm ，y ＝21AB •P A ＝21×5（13－x ）＝25（13－x ）；综上，y 关于x 的函数关系式为504210495139132x x y x x x ⎧≤≤⎪⎪=<<⎨⎪⎪≤≤⎩（）（）（－）（）. 故答案为：504210495139132x x y x x x ⎧≤≤⎪⎪=<<⎨⎪⎪≤≤⎩（）（）（－）（）.动点综合型问题例题（苏州中考）如图①，在平行四边形ABCD 中，AD ＝9 cm ，动点P 从A 点出发，以1 cm/s 的速度沿着A →B →C →A 的方向移动，直到点P 到达点A 后才停止.已知△P AD 的面积y （单位：cm 2）与点P 移动的时间x （单位：s ）之间的函数关系如图②所示，试解答下列问题：（1）求出平行四边形ABCD 的周长；（2）请你利用图①解释一下图②中线段M N 表示的实际意义；（3）求出图②中a 和b 的值.解析：（1）由图②知点P 在AB 上运动的时间为10 s ，根据路程＝速度×时间列式，求出AB ＝10 cm ，又AD ＝9 cm ，根据平行四边形的周长公式即可求解；（2）由线段M N ∥x 轴，可知此时点P 虽然在运动，但是△P AD 的面积y 不变，结合图①，可知此时点P 在BC 边上运动；（3）由AD ＝9可知点P 在边BC 上的运动时间为9 s ，a 为点P 由A →B →C 的时间；分别过B 点、C 点作BE ⊥AD ,CF ⊥AD ，易证△BAE ≌△CDF ，由此得到AE ＝DF ＝6 cm ，AF ＝15 cm ，从而可求得CA ＝17 cm ，则点P 在CA 边上从C 点运动到A 点的时间为17 s ，所以b ＝19＋17＝36.答案：解：（1）由图②可知点P 从A 点运动到B 点的时间为10 s ，又因为P 点运动的速度为1 cm/s ，所以AB ＝10×1＝10（cm ），而AD ＝9 cm ，则平行四边形ABCD 的周长为：2·（AB ＋AD ）＝2×（10＋9）＝38（cm ）；（2）线段M N 表示的实际意义是：点P 在BC 边上从B 点运动到C 点；（3）由AD ＝9可知点P 在边BC 上的运动时间为9 s ，所以a ＝10＋9＝19；分别过B ,C 两点作BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F .由图②知S △ABD ＝36 cm 2，则21×9×BE ＝36 cm 2，解得BE ＝8 cm ，在Rt △ABE 中，由勾股定理，得AE ＝22BE AB -＝6 cm.易证△BAE ≌△CDF ，则BE ＝CF ＝8 cm ，AE ＝DF ＝6 cm ，AF ＝AD ＋DF ＝9＋6＝15 cm.在Rt △ACF 中，由勾股定理，得CA 22AF CF +17 cm ，则点P 在CA 边上从C 点运动到A 点的时间为17 s ，所以b ＝19＋17＝36.巩固训练（答题时间：45分钟）一、选择题1. （静海中考）如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是（）A. B.C. D.2. （营口中考）如图1，在矩形ABCD中，动点E从点B出发，沿BADC方向运动至点C处停止，设点E运动的路程为x，△BCE的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x＝7时，点E应运动到（）A. 点C处B. 点D处C. 点B处D. 点A处3. （绥化中考）如图，在平面直角坐标系中，长、宽分别为2和1的矩形ABCD的边上有一动点P，沿A→B→C→D→A运动一周，则点P的纵坐标y与P所走过的路程S之间的函数关系用图象表示大致是（）A. B.C. D.*4. （荆门中考）如下图所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若动直线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是（）A. B.C. D.**5.（河池中考）如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2，BC＝4，AD＝6，M是CD的中点，点P在直角梯形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x 之间的函数关系用图象表示是（）A. B.C. D.二、填空题：*6. 如图，是一辆汽车的速度随时间变化的图象，请你根据图象提供的信息填空：（1）汽车在整个行驶过程中，最高速度是km/h（2）汽车第二次减速行驶的“时间段”是；（3）汽车出发后，8 min到10 min之间的运动情况如何？.*7. 如图，在正方形ABCD中，边长为2，某一点E从B－C－D－A－B运动，且速度是1，试求：（1）△BEC的面积S和时间t的关系.**8. （随州中考）在四边形ABCD中，AB边的长为4，设动点P沿折线B⇒C⇒D⇒A由点B向点A运动，设点P运动的距离为x，△P AB的面积为y，y与x的函数图象如图所示.给出下列四个结论：①四边形ABCD的周长为14；②四边形ABCD是等腰梯形；③四边形ABCD是矩形；④当△P AB面积为4时，点P移动的距离是 2.你认为其中正确的结论是.（只填所有正确结论的序号例如①）**9. 已知动点P以每秒2 cm的速度沿图甲的边框按从B→C→D→E→F→A的路径移动，相应的△ABP的面积S关于时间t的函数图象如图乙，若AB＝6 cm，试回答下列问题：（1）图甲中BC的长度是.（2）图乙中a所表示的数是.（3）图甲中的图形面积是.（4）图乙中b所表示的数是.图甲图乙三、解答题：10. （潜江）如图，有一边长为5的正方形ABCD与等腰三角形CEF，其中底边CF＝8，腰长EF＝5，若等腰△CEF以每秒1个单位沿CB方向平移，B,C,F在直线L上，请画出0＜t＜6时，两图形重叠部分的不同状态图（重叠部分用阴影标示），并写出对应t的范围.**11. 如图①，在矩形ABCD中，AB＝30 cm，BC＝60 cm.点P从点A出发，沿A→B→C→D 路线向点D匀速运动，到达点D后停止；点Q从点D出发，沿D→C→B→A路线向点A 匀速运动，到达点A后停止.若点P,Q同时出发，在运动过程中，Q点停留了1 s，图②是P,Q两点在折线AB－BC－CD上相距的路程S（cm）与时间t（s）之间的函数关系图象.（1）请解释图中点H的实际意义；（2）求P,Q两点的运动速度；（3）将图②补充完整；（4）当时间t为何值时，△PCQ为等腰三角形？请直接写出t的值.参考答案1. B 解析：①当P 在AB 上运动时，所求三角形底为AP ，高为M 到AB 的距离也就是AD 长度因此S △APM ＝21AD •AP ＝x ，函数关系为：y ＝x （0＜x ≤1）；②当P 在BC 上运动时，S △APM ＝S 梯形ABCM －S △ABP －S △PCM ，S △ABP ＝21AB •BP ，BP ＝x －1，则S △ABP ＝21x －21，S △PCM ＝21PC •CM ，CM ＝12AB ＝21，PC ＝3－x ，S △PCM ＝43x -，S 梯形ABCM ＝21（AB ＋CM ）•BC ＝23，因此S △APM ＝23－21-x －43x -＝－4x ＋45（1＜x ≤3）；③当P 在CM 上运动时，S △APM ＝21CM •AD ，CM ＝27－x ，S △APM ＝21（27－x ）×2＝－x ＋27（3＜x ＜7/2）.故该图象分三段.故选B.2. B 解析：当E 在AB 上运动时，△BCE 的面积不断增大；当E 在AD 上运动时，BC 一定，高为AB 不变，此时面积不变；当E 在DC 上运动时，△BCE 的面积不断减小.∴当x ＝7时，点E 应运动到高不再变化时，即点D 处.故选B .3. D 解析：∵长、宽分别为2和1的矩形ABCD 的边上有一动点P ，沿A →B →C →D →A 运动一周，则点P 的纵坐标y 随点P 走过的路程s 之间的函数关系图象可以分为4部分，∴P 点在AB 上，此时纵坐标越来越小，最小值是1，P 点在BC 上，此时纵坐标为定值1.当P 点在CD 上，此时纵坐标越来越大，最大值是2，P 点在AD 上，此时纵坐标为定值2.故选D.4. A 解析：①当直线l 经过BA 段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快；②直线l 经过AD 段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变；③直线l 经过DC 段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小；结合选项可得，A 选项的图象符合.故选A.5. D 解析：连接AC ，过点C 作CE ⊥AD 于点E ，过点M 作MF ⊥AB 于点F ，易得CE ＝2，MF ＝5，当点P 与点B 重合，即x ＝2时，y ＝21AP ·MF ＝21×2×5＝5；当点P 与点C 重合，即x ＝6时，y ＝1122AD CE ⨯⋅＝21×21×6×2＝3；结合函数图象可判断选项D 正确.故选D.6. 100 km ，22 min －24 min ，8 min 到10 min 之间停止解析：（1）依题意得：最高速度是100 km/h ；（2）汽车第二次减速行驶的“时间段”是22 min －24v ；（3）汽车出发后，8v 到10 min 之间是停止的.7. 0(02)2(24)2(46)8(68)t t t S t t t ≤≤⎧⎪-<≤⎪=⎨<≤⎪⎪-<≤⎩ 解析：（1）∵在正方形ABCD 中，边长为2，某一点E 从B －C －D －A －B 运动，且速度是1，∴当E 在BC 上时，B ，E ，C 无法构成三角形，此时0≤t ≤2，∴S ＝0，（0≤t ≤2）；当E 在CD 上时，△BEC 的面积为：S ＝21BC ×CE ＝21×2×（t －2）＝t －2，（2＜t ≤4）；当E 在AD 上时，△BEC 的面积为：S ＝21BC ×CD ＝21×2×2＝2，（4＜t ≤6）；当E 在AB 上时，△BEC 的面积为：S ＝21BC ×BE ＝21×2×[2－（t －6）]＝8－t ，（6＜t ≤8）. 8. ①③ 解析：∵AB 边的长为4，设动点P 沿折线B ⇒C ⇒D ⇒A 由点B 向点A 运动，点P 运动的距离为10，∴四边形ABCD 的周长为10＋4＝14，①成立.当点P 在BC 上运动时，面积在不断增加，当移动的距离是3，面积为6时，面积不再变化，说明CD ∥AB ，此时BC ＝3，△ABP 面积＝21×4×高＝6，那么高＝3，说明BC ⊥AB .当点P 运动7时，面积停止变化，此时CD ＝7－3＝4，那么CD ＝AB .根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到四边形ABCD 是平行四边形.根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得到四边形ABCD 是矩形，③对.由图中可以看出，面积为4的点可在图中找到两处，那么就有相应的两个距离值，④不对.故答案选①③.9. 8 cm ；24；60 cm 2；17 解析：（1）动点P 在BC 上运动时，对应的时间为0到4 s ，易得：BC ＝2 cm/s×4s ＝8 cm.故题图甲中BC 的长度是8 cm ；（2）由（1）可得，BC ＝8 cm ，则：题图乙中a 所表示的数是：21×BC ×AB ＝21×8×6＝24（cm 2）.故题图乙中a 所表示的数是24；（3）由题图可得：CD ＝2×2＝4 cm ，DE ＝2×3＝6 cm ，则AF ＝BC ＋DE ＝14 cm ，又由AB ＝6 cm ，则甲中的梯形面积为AB ×AF －CD ×DE ＝6×14－4×6＝60（cm 2）.故题图甲中的图形面积为60 cm 2；（4）根据题意，动点P 共运动了BC ＋CD ＋DE ＋EF ＋F A ＝（BC ＋DE ）＋（CD ＋EF ）＋F A ＝14＋6＋14＝34（cm ），其速度是2 cm/s ，34÷2＝17（s ）.故题图乙中b 所表示的数是17.故答案为8 cm ；24；60 cm 2；17.10. 解：∵等腰三角形CEF ，其中底边CF ＝8，腰长EF ＝5，∴等腰三角形底边上的高线平分底边，即分为两部分都是4，当0＜t ≤4时，如图1所示；当4＜t ≤5时，如图2所示；当5＜t ＜6时，如图3所示.11. 解答：（1）图中点H 的实际意义：P 、Q 两点相遇；（2）由函数图象得出，当两点在F 点到G 点两点路程随时间变化减慢得出此时Q 点停留1秒，只有P 点运动，此时纵坐标的值由75下降到45，故P 点运动速度为：30cm/s ，再根据E 点到F 点S 的值由120变为75，根据P 点速度，得出Q 点速度为120－75－30＝15（cm/s ），即P 点速度为30cm/s ，Q 点速度为15cm/s ；（3）如图所示：根据4秒后，P 点到达D 点，只有Q 点运动，根据运动速度为15cm/s ，还需要运动120－45＝75（cm ），则运动时间为：75÷15＝5（s ），画出图象即可；（4）如图1所示，当Q P ＝PC ，此时21Q C ＝BP ，即30－30t ＝21（30－15t ），解得：t ＝32，故当时间t ＝32s 时，△PC Q 为等腰三角形，如图2所示，当D 、P 重合，Q D ＝Q C 时，Q 为AB 中点，则运动时间为：（15＋60＋30）÷15＋1＝8（s ），故当时间t ＝8s 时，△PC Q 为等腰三角形.若PC ＝C Q 故90－30t ＝30－15t 解得：t ＝4则4＋1＝5（S ）综上所述：t ＝32或t ＝5或t ＝8秒时，△PC Q 为等腰三角形.。

第6讲：动点问题解析版

第6讲：动点问题解析版【例题1】甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条直路上的A ，B 两处同时出发，都以不变的速度相向而行，图1是甲离开A 处后行走的路程y （单位：)m 与行走时间x （单位：)min 的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离y （单位：)m 与甲行走时间x （单位：)min 的函数图象，则a b -= ．【解析】从图1，可见甲的速度为120602=，从图2可以看出，当67x =时，二人相遇，即：()6601207V +⨯=乙，解得：乙的速度80V =乙，乙的速度快，从图2看出乙用了b 分钟走完全程，甲用了a 分钟走完全程，120120160802a b -=-=，故答案为12．【例题2】如图1，在△ABC 中，∠A ＝30°，点P 从点A 出发以2cm /s 的速度沿折线A －C －B 运动，点Q 从点A 出发以a(cm /s )的速度沿AB 运动，P ，Q 两点同时出发，当某一点运动到点B 时，两点同时停止运动．设运动时间为x(s )，△APQ 的面积为y(cm 2)，y 关于x 的函数图象由C 1，C 2两段组成，如图2所示． (1)求a 的值；(2)求图2中图象C 2段的函数表达式；(3)当点P 运动到线段BC 上某一段时△APQ 的面积大于当点P 在线段AC 上任意一点时△APQ 的面积，求x 的取值范围．【例题3】已知，矩形ABCD 中，4AB cm =，8BC cm =，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 与点E 、F ，垂足为O ．（1）如图1，连接AF 、CE ．求证四边形AFCE 为菱形，并求AF 的长；（2）如图2，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿AFB ∆和CDE ∆各边匀速运动一周，即点P 自A F B A →→→停止，点Q 自C D E C →→→停止，在运动过程中，已知点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．【解答】（1）证明：四边形ABCD 是矩形， //AD BC ∴，EAO FCO ∴∠=∠，AC 的垂直平分线EF ，OA OC ∴=，在AOE ∆和COF ∆中，EAO FCO OA OCAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()AOE COF ASA ∴∆≅∆，OE OF ∴=， OA OC =，∴四边形AFCE 是平行四边形， EF AC ⊥，∴四边形AFCE 是菱形． AF FC ∴=，设AF xcm =，则CF xcm =，(8)BF x cm =-，四边形ABCD 是矩形90B ∴∠=︒， ∴在Rt ABF ∆中，由勾股定理得：2224(8)x x +-=，解得5x =，即5AF cm =；（2）显然当P 点在AF 上时，Q 点在CD 上，此时A 、C 、P 、Q四点不可能构成平行四边形；同理P 点在AB 上时，Q 点在DE 或CE 上或P 在BF ，Q 在CD 时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．因此只有当P 点在BF 上、Q 点在ED 上时，才能构成平行四边形， ∴以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC QA =，点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒， 5PC t ∴=，124QA t =-， 5124t t ∴=-，解得43t =∴以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，43t =秒．【例题4】将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(0,0)O ，(6,0)A ，(0,3)C ．动点Q从点O 出发以每秒1个单位长的速度沿OC 向终点C 运动，运动23秒时，动点P 从点A 出发以相等的速度沿AO 向终点O 运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P 的运动时间为t （秒)．（1）用含t 的代数式表示OP ，OQ ；是否存在t ，使得PQ 与AC 平行？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由．（2）求POQ ∆面积的最大值．（3）如图，将POQ ∆沿PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，且点D 的坐标(1,3)，求t 的值．【解析】（1）(0,0)O ，(6,0)A ，(0,3)C ， 6OA ∴=，3OC =，四边形OABC 是矩形，3AB OC ∴==，6BC OA ==，(6,3)B ∴，动点Q 从O 点以每秒1个单位长的速度沿OC 向终点C 运动，运动23秒时，动点P 从点A 出发以相等的速度沿AO 向终点O 运动． ∴当点P 的运动时间为t （秒)时， AP t =，23OQ t =+，则6OP OA AP t =-=-；存在，PQ 与AC 平行，当OP OQOA OC=时，//PQ AC ，即26363t t +-=，149t =；（2）22112181850(6)()2()22323239POQ S OP OQ t t t t t ∆==-+=-++=--+，Q 运动到点C 时，27333t =-=， P 运动到点O 时，6t =，102-<，∴当703t时，S 随t 的增大而增大， ∴当73t =时，S 的最大值为112；（3）(1,3)D ，1CD ∴=，设OQ a =，则DQ a =，3CQ a =-，在Rt CQD ∆中，222CQ CD DQ +=，222(3)1a a ∴-+=，53a =，2533OQ t =+=，1t =．【例题5】如图，等边ABC ∆的边长为10cm ，动点M 从点B 出发，沿B A C B →→→的方向以6/cm s 的速度运动，动点N 从点C 出发，沿C A B C →→→方向以4/cm s 的速度运动．（1）若动点M 、N 同时出发，经过几秒MN 第一次垂直于AB ？（2）若动点M 、N 同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动，那么运动到第几秒钟时，点A 、M 、N 以及ABC ∆的边上一点D 恰能构成一个平行四边形？求出时间t 并请指出此时点D 的具体位置．【解析】（1）如图1， MN AB ⊥，60A ∠=︒， 30ANM ∴∠=︒， 2AN AM ∴=， 1042(106)t t ∴-=-54t ∴=；（2）如图2，当点M 在AB 上，点N 在AC 上时，四边形AMDN 是平行四边形， 106AM DN t ∴==-，//AM DN ， 60A DNC ∴∠=∠=︒，且60DCN ∠=︒， DNC ∴∆是等边三角形， DN CN CD ∴==， 1064t t ∴-=， 1t ∴=，4CD cm ∴=，∴点D 在BC 上，且离C 点4cm ；如图3，当点M 在AC 上，点N 在AB 上时，四边形AMDN 是平行四边形， 410AN DM t ∴==-，//AN DM ，60A DMC ∴∠=∠=︒，且60DCM ∠=︒， DMC ∴∆是等边三角形， DM CM CD ∴==，410206t t ∴-=-，3t ∴=，2CD cm ∴=，∴点D 在BC 上，且离C 点2cm ；如图4，当点M 在BC 上，点N 在AB 上时，四边形ADMN 是平行四边形， 410AN DM t ∴==-，//AN DM ，60A MDC ∴∠=∠=︒，且60DCM ∠=︒， DMC ∴∆是等边三角形， DM CM CD ∴==，410620t t ∴-=-，5t ∴=，10CD cm ∴=，∴点D 与点A 重合，不合题意舍去；综上所述：运动到第1秒或第3秒时，点A 、M 、N 以及ABC ∆的边上一点D 恰能构成一个平行四边形，点D 在BC 上，离C 点4cm 或点D 在BC 上，离C 点2cm ．【例题6】已知，如图①，在▱ABCD 中，AB ＝3cm ，BC ＝5cm ，AC ⊥AB ，△ACD 沿AC 的方向匀速平移得到△PNM ，速度为1cm /s ；同时，点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速移动，速度为1cm /s ，当△PNM 停止平移时，点Q 也停止移动，如图②，设移动时间为t （s ）（0＜t ＜4），连接PQ ，MQ ，MC ，解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ ∥MN ？（2）设△QMC 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使S △QMC ：S 四边形ABQP ＝1：4？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．（4）是否存在某一时刻t ，使PQ ⊥MQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）在Rt △ABC 中，AC ＝＝4，由平移的性质得MN ∥AB ， ∵PQ ∥MN ， ∴PQ ∥AB ，∴＝，∴＝，t ＝，（2）过点P 作PE ⊥BC 于E ，如图 ∵△CPE ∽△CBA ， ∴＝， ∴＝， ∴PE ＝﹣t ，∵PE ⊥BC ， ∴S △QMC ＝S △QPC ，∴y ＝S △QMC ＝QC •PE ＝t （﹣t ）＝t ﹣t 2（0＜t ＜4），（3）∵S △QMC ：S 四边形ABQP ＝1：4，∴S △QPC ：S 四边形ABQP ＝1：4， ∴S △QPC ：S △ABC ＝1：5， ∴（t ﹣t 2）：6＝1：5，∴t ＝2，（4）若PQ ⊥MQ ，则∠PQM ＝∠PEQ ， ∵∠MPQ ＝∠PQE ，∴△PEQ ∽△MQP ，∴＝， ∴PQ 2＝MP •EQ ，∴PE 2+EQ 2＝MP •EQ ，∵CE ＝，∴EQ ＝CE ﹣CQ ＝﹣t ＝， ∴（）2+（）2＝5×，∴t 1＝0（舍去），t 2＝，∴t ＝时，PQ ⊥MQ ．精品练习1.如图，在矩形ABCD 中，5AD =，3AB =，点E 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AD 向点D 运动，同时点F 从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB 向点B 运动，当点E 到达点D 时，点E ，F 同时停止运动．连接BE ，EF ，设点E 运动的时间为t ，若BEF ∆是以BE 为底的等腰三角形，则t 的值为．【解析】如图，过点E 作EG BC ⊥于G ， ∴四边形ABGE 是矩形，3AB EG ∴==，2AE BG t ==，5BF EF t ==-，|2(5)||35|FG t t t =--=-， 222EF FG EG ∴=+，22(5)(35)9t t ∴-=-+，t ∴=2如图，直线334y x =--交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点P 是x 轴上一动点，以点P 为圆心，以1个单位长度为半径作P ，当P 与直线AB 相切时，点P 的坐标是 7(3-，0)或17(3P -，0) ．【解析】直线334y x =--交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，∴令0x =，得3y =-，令0y =，得4x =-， (4,0)A ∴-，(0B ．3)-，4OA ∴=，3OB =， 5AB ∴=，设P 与直线AB 相切于D ，连接PD ，则PD AB ⊥，1PD =，90ADP AOB ∠=∠=︒，PAD BAO ∠=∠，APD ABO ∴∆∆∽，∴PD AP OB AB =，∴135AP =，53AP ∴=， 73OP ∴=或173OP =，7(3P ∴-，0)或17(3P -，0)，故答案为：7(3-，0)或17(3P -，0)．3小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离与小王的行驶时间之间的函数关系．请你根据图象进行探究：（1）小王和小李的速度分别是多少？（2）求线段所表示的与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围．【解析】（1）由图可得，小王的速度为：，小李的速度为：，()y km ()x h BC y x x 30310/km h ÷=(30101)120/km h -⨯÷=答：小王和小李的速度分别是、；（2）小李从乙地到甲地用的时间为：，当小李到达甲地时，两人之间的距离为：，点的坐标为，设线段所表示的与之间的函数解析式为，，得，即线段所表示的与之间的函数解析式是．4如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，．动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向终点运动．设运动的时间为秒，．（1）直接写出关于的函数解析式及的取值范围：；（2）当的值；（3）连接交于点，若双曲线经过点，问的值是否变化？若不变化，请求出的值；若变化，请说明理由．【解析】（1）过点作于点，如图1所示．当运动时间为秒时时，点的坐标为，点的坐标为，，，，．故答案为：．（2）当，整理，得：，解得：，．（3）经过点的双曲线的值不变．10/km h 20/km h 3020 1.5h ÷=10 1.515km ⨯=∴C (1.5,15)BC y x y kx b =+01.515k b k b +=⎧⎨+=⎩3030k b =⎧⎨=-⎩BC y x 3030(1 1.5)y x x =-OABC (0,0)O (12,0)A (8,6)B (0,6)C P O OA A Q B BC C t 2PQ y =y t t 22580100(04)y t t t =-+PQ =t OB PQ D (0)ky k x=≠D k k P PE BC ⊥E t (04)t P (3,0)t Q (82,6)t -6PE ∴=|823||85|EQ t t t =--=-2222226|85|2580100PQ PE EQ t t t ∴=+=+-=-+22580100(04)y t t t ∴=-+22580100(04)y t t t =-+PQ =222580100t t -+=2516110t t -+=11t =2115t =D (0)ky k x=≠k连接，交于点，过点作于点，如图2所示．，，．，，，．，．在中，，，，，点的坐标为，，经过点的双曲线的值为．5如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于，，三点，其中点的坐标为，点的坐标为，连接，．动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点作匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为秒．连接．（1）填空：，；（2）在点，运动过程中，可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）点在抛物线上，且的面积与的面积相等，求出点的坐标．【解析】（1）设抛物线的解析式为．OB PQ D D DF OA ⊥F 6OC =8BC=10OB ∴==//BQ OP BDQ ODP ∴∆∆∽∴2233BD BQ t OD OP t ===6OD ∴=//CB OA DOF OBC ∴∠=∠Rt OBC ∆63sin 104OC OBC OB ∠===84cos 105BC OBC OB ∠===424cos 655OF OD OBC ∴=∠=⨯=318sin 655DF OD OBC =∠=⨯=∴D 24(518)5∴D (0)k y k x =≠k 24184325525⨯=213y x bx c =-++A B C A (3,0)-B (4,0)AC BC P A AC C Q O OB B t PQ b =13c =P Q APQ ∆M AOM ∆AOC ∆M (3)(4)y a x x =+-将代入得：，，（2）在点、运动过程中，不可能是直角三角形．理由如下：连结．在点、运动过程中，、始终为锐角，当是直角三角形时，则．将代入抛物线的解析式得：，．，，在中，依据勾股定理得：在中，依据勾股定理可知：在中依据勾股定理可知：，在中，，即解得：，由题意可知：不合题意，即不可能是直角三角形．是与的公共边点到的距离等于点到的距离即点到的距离等于所以的纵坐标为4或把代入得，解得，把代入得，解得，或，或，13a =-211433y x x =-++13b ∴=4c =P Q APQ ∆QC P Q PAQ ∠PQA ∠∴APQ ∆90APQ ∠=︒0x =4y =(0,4)C ∴AP OQ t ==5PC t ∴=-Rt AOC ∆5AC =Rt COQ ∆2216CQ t =+Rt CPQ ∆222PQ CQ CP =-Rt APQ ∆222AQ AP PQ -=2222CQ CP AQ AP ∴-=-2222(3)16(5)t t t t +-=+--4.5t =04t 4.5t ∴=APQ ∆(3)AO AOM ∆AOC ∆∴M AO C AO M AO CO M 4-4y =211433y x x =-++2114433x x -++=10x =21x =4y =-211433y x x =-++2114433x x -++=-1197x +=2197x -=(1,4)M 197(M +4)-197(M -4)-。

二次函数动点经典例题+练习(附解析)

二次函数中的动点问题动点问题题型方法归纳总结：几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，在解题方法给以点拨。

例：如图①，已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ．(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3) 如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P 坐标----①C 为顶点时，以C 为圆心CM 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P ，②M 为顶点时，以M 为圆心MC 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P ，③P 为顶点时，线段MC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P 。

第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方法二，先求与BC 平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。

二次函数的动点问题1.如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40)A -，，(20)B -，，(08)E ，．（1）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式；（2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C D ，两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由．[解] （1）点(40)A -，，点(20)B -，，点(08)E ，关于原点的对称点分别为(40)D ，，(20)C ，，(08)F -，．设抛物线2C 的解析式是2(0)y ax bx c a =++≠，则16404208a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，，．解得168a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，．所以所求抛物线的解析式是268y x x =-+-．（2）由（1）可计算得点(31)(31)M N --，，，．过点N 作NH AD ⊥，垂足为H ．当运动到时刻t 时，282AD OD t ==-，12NH t =+．根据中心对称的性质OA OD OM ON ==，，所以四边形MDNA 是平行四边形．所以2ADN S S =△．所以，四边形MDNA 的面积2(82)(12)4148S t t t t =-+=-++．因为运动至点A 与点D 重合为止，据题意可知04t <≤．所以，所求关系式是24148S t t =-++，t 的取值范围是04t <≤．（3）781444S t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，（04t <≤）．所以74t =时，S 有最大值814．提示：也可用顶点坐标公式来求．（4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形．由（2）知四边形MDNA 是平行四边形，对角线是AD MN ，，所以当AD MN =时四边形MDNA 是矩形．所以OD ON =．所以2222OD ON OH NH ==+．所以22420t t +-=．解之得1222t t ==，（舍）．所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时2t =．[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。

七年级动点问题经典例题及答案带图

七年级动点问题经典例题及答案
带图
1. 动点问题是什么？
动点问题是数学中的经典问题，它关注的是运动中的点的位置、速度和加速度等特征。

这种问题可以引导我们深入理解匀速直线运动和匀加速直线运动等物理规律。

下面，我们来看一个经典的动点问题。

2. 例题及解析
题目：一只乌龟从a点出发，沿着一条2公里的直路到达b 点，然后又在b点开始沿着长2.5公里的大圆路到达c点。

乌龟从a点出发时的速度是2千米/小时，走到b点时，它停了下来休息了2分钟，然后以每小时1千米的速度继续向c点走去。

请问：乌龟到达c点时，一共用了多少时间？
/pic.leetcode-cn/-djbjoh-%e5%9b%be%e7%89%871.png"
alt="turtle">
解析：首先，我们需要将题目中所给出的影响因素提取出来。

由于乌龟在a点时的速度为2千米/小时，因此在第一段路段中走了2公里，需要用1个小时。

在b点停留了2分钟，相当于耽误了2/60=1/30个小时，因此从b点到c点需要用
2.5/1+1/30=2.54个小时。

累计起来，乌龟从a点到c点共用了1+2.54=
3.54个小时，即3小时32分钟。

3. 动点问题的应用
动点问题的应用非常广泛，涵盖了
物理、计算机科学、交通运输等许多领域。

在日常生活中，我们也可以利用动点问题进行简单的计算，比如计算从家到公司的需时。

此外，动点问题还常常与逆向思维有关，比如确定交通规划中的最短路径、找到行进途中的最佳休息点等等。

一次函数之动点问题(含解析)

一次函数之动点问题一、框架套路和标准动作动点问题的特征是速度已知，主要考查运动的过程． 1. 一次函数背景下研究动点问题的思考方向：①把函数信息（坐标或表达式）转化为背景图形的信息； ②分析运动过程，注意状态转折，确定对应的时间范围； ③画出符合题意的图形，研究几何特征，设计解决方案． 2. 解决具体问题时会涉及线段长的表达，需要注意两点：①路程即线段长，可根据s=vt 直接表达已走路程或未走路程；②根据研究几何特征的需求进行表达，既要利用动点的运动情况，又要结合背景图形信息．二、例题解析（1）读题标注，整合信息（即研究背景图形）由直线AB 的表达式y +()(400A B -，，，即4OA OB ==，8AB =，∠BAC =60°．又由∠ABC =60°，可得△ABC 是等边三角形，且AB =BC =AC =8，OA =OC =4．如图：（2）分析特征，有序思考，设计方案（分析运动过程）：分析运动过程，核心是运动过程的四要素：①起点、终点、速度；②时间范围；③状态转折点；④目标．具体操作：①起点、终点、速度；动点P 从点A 沿AC 向点C 运动，可以确定点P 的起点（点A ）、终点（点C ），速度为1/s ；动点Q 从点C 沿CB —BA 向点A 运动，可以确定点Q 的起点（点C ）、终点（点A ），速度为2/s ，图示如下：AQ :BC (2/s)(1/s)A P :②时间范围根据路程、时间和速度的公式s =vt ，已知动点的速度，结合基本图形中线段长的研究，可以确定动点的运动时间．例如：动点P 的速度是1/s ，AC =8，故动点P 由A 到C 共经过8s ；动点Q 的速度是2/s ，CB =BA =8，故每段各走4s ，共8s ，综上0≤t ≤8．图示如下：AQ :B C4s(2/s)(1/s)（0≤t ≤8）A P :③状态转折点状态转折点即点的运动发生变化的点，常常为动点的运动方向发生改变、或者是动点的速度发生改变．例如：动点P 从点A 到点C ，速度和方向均未变化，故点P 没有状态转折点；动点Q 从点C 沿CB —BA 向点A 运动，在点B 处运动方向发生了变化，故点B 为状态转折点，由状态转折点可对运动过程进行分段．图示如下：4 < t ≤ 80 ≤ t ≤ 4①②Q :C(2/s)(1/s)（0≤t ≤8）A P :④确定目标确定目标是正确高效解题的保证，是有序操作的重要一环．本题求S 与t 之间的函数关系式，即用t 来表示△APQ 的面积S ．图示如下：△APQ S (t )4 < t ≤ 80 ≤ t ≤ 4①②Q :C(2/s)(1/s)（0≤t ≤8）A P : （3）根据方案作出图形、有序操作（分段作图，求解）作图需要充分借助动点的运动路线图，利用运动路线图可以确定每段时间范围内点的位置．例如：①当04t ≤≤时，点P 在AO 上，点Q 在CB 上，连接AQ ，PQ ；要求△APQ 的面积，先从表达开始，可以表达动点的已走路程，得到AP =t ，CQ =2t 。

初中数学动点典型题分析

初中数学动点典型题分析（解析版）前言所谓“动点问题”是指图形中有一个或多个动点，在线段、射线或者弧线上运动的一类开放性题目，而解决这类题的关键是动中取静，让动点定下来，灵活地运用相关数学知识解决问题．在变化中找到不变的性质是解决数“动点”问题的基本思路．数学压轴题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向，加强了对几何图形运动变化的考核，从变化的角度来研究三角形、四边形、函数图象等，通过“对称”“翻折”“平移”“旋转”等研究手段和方法来探究图形性质及变化．让学生经历探索的过程，培养学生分析问题、解决问题的能力，把运动观目录（修改之中）一、动点问题的函数图象选择二、线段和差中的动点三、三角形中的动点四、四边形中的动点、五、反比例函数中的动点六、一次函数中的动点七、图形面积的最值动点八、与圆有关的动点九、抛物线中三角形的存在性问题十、抛物线中四边形的存在性问题十一、运动的函数图像一、动点问题的函数图象选择动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合、分类讨论思思想解答问题，属于全国中考常考题型，一般以选择题的形式出现.【典型例题 1】难度★★★如图，正方形ABCD 的边长为2cm，动点P，Q 同时从点 A 出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C 的方向，都以1cm/s 的速度运动，到达点C 运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ 的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y 与x 的函数关系的是（）B．A．D．【思路分析】根据题意，分别求出两个时间段的函数关C．系式是解题的关键．根据题意结合图形，分情况讨论：①0≤x≤2 时，根据S△APQ＝AQ•AP，列出函数关系式，从而得到函数图象；②2≤x≤4 时，根据S△APQ＝S 正方形ABCD﹣S△CP′Q′﹣S△ABQ′﹣S△AP′D 列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．【答案解析】解：①当0≤x≤2 时，∵正方形的边长为2cm，∴y＝S△APQ＝AQ•AP＝x2；②当2≤x≤4 时，y＝S△APQ＝S 正方形ABCD﹣S△CP′Q′﹣S△ABQ′﹣S△AP′D，＝2×2﹣×2×（x﹣2）﹣×2×（x﹣2）＝﹣x2+2x所以，y 与x 之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有 A 选项图象符合．故选：A．【典型例题 2】难度★★★如图，在矩形ABCD 中，AB＝2，BC＝3，动点P 沿折线BCD 从点B 开始运动到点D．设运动的路程为x，△ADP 的面积为y，那么y 与x 之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C． D．【思路分析】由题意当0≤x≤3 时，y＝3，当3＜x＜5 时×3×（5﹣x）＝﹣x+ ．由此即可判断．【答案解析】解：由题意当0≤x≤3 时，y＝3，当3＜x＜5 时×3×（5﹣x）＝﹣．故选：D．【典型例题 3】难度★★★如图，边长都为 4 的正方形ABCD 和正三角形EFG 如图放置，AB 与EF 在一条直线上，点 A 与点 F 重合．现将△EFG 沿AB 方向以每秒 1 个单位的速度匀速运动，当点 F 与 B 重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD 和△EFG 重叠部分的面积S 与运动时间t 的函数图象大致是（）A． C． D．【思路分析】解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和函数图象可以写出各段对应的函数解析式，从而可以判断哪个选项中的图象符合题意，本题得以解决．＝【答案解析】解：当0≤t≤2 时，S＝，即S 与t 是二次函数关系，有最小值（0，0），开口向上，﹣当 2 ＜t ≤ 4 时，S ＝＝，即S 与t 是二次函数关系，开口向下，由上可得，选项 C 符合题意，故选：C。

七年级动点问题20道含答案

七年级动点问题20道含答案一、七年级动点问题20道1. 函数$y=3cos\frac{3\pi x}{4}$的图像称作：(A.余弦曲线)2. 斜率等于负一，斜截式为$y=7x-5$的直线称作：(B.负斜率直线)3. 求函数$f(x)=x^3-7x+2$在$x=2$处取得最大值：(D.8)4. 直线$y=mx+b$中，m 为：(A.斜率)5. 闭合曲线$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$在$x$=4处的坐标是：(C. $(4,\frac{3}{2})$)6. 函数$f(x)=2x^{2}-3$的最小值是：(B. -3)7. 函数$f(x)=\frac{x^2}{2}+1$的图像是：(A.抛物线)8. 函数$f(x)=2x+5$的大致图象是：(B.直线)9. 三维坐标中，z 轴表示的为：(C.高度)10. 绘制抛物线需要：(A.二个点)11. 点$A(-1,2)$绕原点旋转$90^{\circ}$后，其新坐标是：(B. $(2,-1)$)12. 子弹以15米/秒的速度射出，它从出射点到返回出射点所需要的时间为：(B.2秒)13. 平面内的向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的夹角为30°，且$|\overrightarrow{a}|=3$，$|\overrightarrow{b}|=4$，则$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$ 为：(D.6)14. 直线$y=2/3x-3$的斜率为：(B. 2/3)15. 一个三角形的两个锐角都为$60^{\circ}$，则这个三角形是：(D.等腰三角形)16. 半径为4的圆的面积为：(B.50.27公分平方）17. 在正方形ABCD中，点P到边AB的距离是4，A点到点P的垂直平分线的距离为：(D. 2)18. 圆$x^{2}+y^{2}+8x+2y-13=0$的圆心坐标是：(C. (-4, -1))19. $f(x)=-2x^2+4$的最小值是：(A. 0)20. 角A,B,C构成的夹角是60度，AB=5,BC=7，AC=：(B. 8)二、七年级动点文章今天，我们就来一起练习一下关于七年级动点的知识吧！首先，对于函数问题，函数$y=3cos\frac{3\pi x}{4}$的图像应当称作余弦曲线。

八年级数学上册三角形全等之动点问题(习题及答案)(人教版)

三角形全等之动点问题（习题）➢ 例题示范例1：已知：如图，正方形ABCD 的边长为4，动点P 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿AB -BC -CD 方向运动，到达点D 时停止运动．连接AP ，DP ．设点P 运动的时间为t 秒，求当t 为何值时，△ADP 的面积为6．【思路分析】1．研究背景图形，标注四边形ABCD 是边长为4的正方形，四条边都相等，四个角均为90°． 2．分析运动过程，分段①分析运动过程：动点P 的起点、终点、状态转折点，以及对应的时间范围．0≤t ≤62s2sDC(2/s) P ：②根据状态转折点分为三段：02t ≤≤，24t <≤，46t <≤，需要对每一段分别进行分析． 3．表达线段长，建等式①当02t ≤≤时，即点P 在线段AB 上，PDCB A此时AP =2t ，AD =4，12ADP S AD AP =⋅⋅△，即16422t =⋅⋅，32t =，符合题意．②当24t <≤时，即点P 在线段BC 上，PDC B A AB CDABCDP DCB A此时1144822ADP S AD AB =⋅⋅=⨯⨯=△，不符合题意，舍去．③当46t <≤时，即点P 在线段CD 上，PAB CD此时DP =12-2t ，AD =4，12ADP S AD DP =⋅⋅△，即164(122)2t =⋅⋅-，92t =，符合题意．综上，当t 的值为32或92时，△ADP 的面积为6．➢ 巩固练习1. 已知：如图，在等边三角形ABC 中，AB =6，D 为BC 边上一点，AP且BD=4．动点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿CA向点A运动，连接AD，BP．设点P运动时间为t秒，求当t为何值时，△BPA≌△ADC．2.如图，正方形ABCD的边长为8，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB向点B运动（点P不与点A，B重合），动点Q从点B出发以每秒2个单位的速度沿BC向点C运动，点P，Q同时出发，当点Q停止运动，点P也随之停止．连接AQ，交BD于点E，连接PE．设点P运动时间为x秒，求当x为何值时，△PBE≌△QBE．3.已知：如图，在等边三角形ABC中，AB=10 cm，点D为边AB上一点，AD=6 cm．点P在线段BC上以每秒2 cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动．设CQBEPA DA点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPD与△CQP全等，求此时t的值及点Q 的运动速度．4.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=12，BC=9，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以每秒3个单位的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过多长时间，点P与点Q 第一次在△ABC的哪条边上相遇？5.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到E，使CE=2，连接DE，动点F从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动．设点F的运动时间为t秒．（1）请用含t的式子表达△ABF的面积S．（2）是否存在某个t值，使得△ABF和△DCE全等？若存在，求出所有符合条件的t值；若不存在，请说明理由．➢思考小结1.动点问题的处理方法：①______________________；②______________________，________；③______________________，________．2.分析运动过程包括4个方面（四要素）：①起点、________、__________；②_________________________；③根据_____________分段；④所求目标．3.当研究目标多变或问题情形复杂时，我们往往将问题拆解成几个较为简单的问题来进行考虑，动点问题也是如此．具体分析动点问题时，往往会先研究背景图形，再分析运动过程、分段，为最后表达线段长，建等式做好准备．因为动点运动方向的改变不仅会改变线段长的表达，还可能改变和动点相关的图形的形状，所以要先分段，然后逐段分析，表达线段长，建等式．【参考答案】1.当t为4秒时，△BPA≌△ADC秒时，△PBE≌△QBE2.当x为833. ①当t 为52秒时，△BPD ≌△CPQ ，此时Q 的速度为85cm/s ．②当t 为3秒时，△BPD ≌△CQP ，此时Q 的速度为2cm/s ． 4. （1）①全等②Q 的速度为4cm/s 时，能够使△BPD 与△CQP 全等（2）经过24秒，点P 与点Q 第一次在BC 边上相遇． 5．（1）034351258432t s tt s t s t <=<=<<=-+≤≤，，，（2）t 为1秒或7秒时，△ABF 与△DCE 全等。