三类典型的数学物理方程
数学中的数学物理方程解析与计算方法研究
数学中的数学物理方程解析与计算方法研究在物理学和工程学等科学领域中，有许多经典的数学物理方程。
这些方程往往具有比较高的复杂性和抽象性，而且很难用常规的数学方法求解。
因此，数学物理方程的研究一直是数学领域中的热门问题之一。
本文将介绍数学中的数学物理方程解析与计算方法研究。
一、常见的数学物理方程在现实中，许多物理现象都可以用方程来描述。
这些方程中，有一些比较特殊，就是数学物理方程。
常见的数学物理方程包括：1、薛定谔方程：描述量子力学中的粒子运动。
2、连续介质力学方程：描述物质的运动。
3、热传导方程：描述热的传递过程。
4、流体力学方程：描述流体的运动。
5、波动方程：描述波的传播过程。
这些方程非常有用，可以用来预测物理现象和现象参数，例如速度、振幅、密度、压强等等，因此，数学物理方程的解析和计算方法的研究对于很多物理学和工程学的研究非常重要。
二、解析方法的研究解析方法是指通过求解数学物理方程的解析解的方法。
解析解通常是指使用特定的数学函数和工具，将方程化简为一组已知参数和常数的等式。
解析方法的研究主要包括以下内容：1、分离变量法：分离变量法是解决偏微分方程的常用方法。
分离变量法通过分离变量的方式，将多元函数的偏微分方程简化为多个一元函数的常微分方程。
2、变形法：变形法是一种用于求解非线性方程的方法。
变形法主要分为赋格方法、B¨a¨cklund变形法、Hirota双线性法和Jacobi椭圆函数法等等。
3、模拟方法：模拟方法是一种模拟数字模型的方法，可以通过数学计算机模拟实验，并得到一些有用数据。
模拟方法分为泊松方程的负载解法和有限差分法等等。
解析方法在数学物理方程中具有广泛的应用。
通过解析方法求解的解析解，可以对物理现象做出普遍性的分析和预测。
三、计算方法的研究除了解析方法，还有一种求解数学物理方程的方法就是计算方法。
计算方法主要包括：1、数值差分法：数值差分法是求解偏微分方程的数值计算方法，其基本思想就是根据方程的差分形式将连续变量离散化并用有限差分近似离散偏微分算子。
数学物理方程知识点归纳
数学物理方程知识点归纳数学和物理是息息相关的学科，数学在物理中起着重要的作用，许多物理规律都可以用数学方程式表达。
在学习物理时，掌握数学方程式是必不可少的，以下是数学物理方程知识点的归纳。
1.牛顿第一定律牛顿第一定律又称为惯性定律，它表明物体保持运动状态的惯性，只有外力才能改变物体的运动状态。
牛顿第一定律的数学表达式为F=ma，即力等于质量乘以加速度。
2.牛顿第二定律牛顿第二定律是物理学中最重要的定律之一，它描述了物体的运动状态和所受的力之间的关系。
牛顿第二定律的数学表达式为a=F/m，即加速度等于力除以质量。
3.牛顿第三定律牛顿第三定律又称为作用与反作用定律，它表明对于每一个作用力，都存在一个相等而反向的反作用力。
牛顿第三定律的数学表达式为F1=-F2，即作用力等于反作用力的相反数。
4.万有引力定律万有引力定律是描述物体之间万有引力作用的定律，它表明两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
万有引力定律的数学表达式为F=Gm1m2/d2，即引力等于万有引力常数乘以两个物体的质量除以它们之间的距离的平方。
5.波动方程波动方程是描述波动现象的方程，它可以用来描述声波、光波等波动现象。
波动方程的数学表达式为y(x,t)=Asin(kx-ωt+φ)，即位移等于振幅乘以正弦函数，其中k是波数，ω是角频率，φ是初相位。
6.热传导方程热传导方程是描述热传导现象的方程，它可以用来描述物体内部的温度分布随时间的变化。
热传导方程的数学表达式为∂u/∂t=k∇2u，即温度变化率等于热扩散系数乘以温度梯度的二阶导数。
7.量子力学方程量子力学方程是描述微观粒子运动的方程，它可以用来描述电子、质子等粒子的运动和相互作用。
量子力学方程的数学表达式为Hψ=Eψ，即哈密顿算符作用于波函数等于能量乘以波函数。
8.电动力学方程电动力学方程是描述电场和磁场相互作用的方程，它可以用来描述电磁波、电荷运动等现象。
三类典型的数学物理方程
数学物理方程的建立过程
确定所研究的物理量 用数学中的“微元法”从所研究的系统中分割出
一小部分，再根据相应的物理规律分析邻近部分 与该部分的作用（抓主要作用），这种相互作用 在一个短的时间间隔内如何影响物理量。 把这种关系用微分方程表达出来，经过化简整理， 得到数学物理方程。
杆的纵振动方程 杆上x点在t时刻 F(x,t) 的弹性应力 x 研究对象：杆上各点的纵向位移 u(x,t)
得到
uxx u 2u u
utt a2[u 2u u ]
将上面两式代入原波动方程，得到
u 0
如何处理？
考虑采用积分的方法
先对 积分 u u d 0 f ( )
再对 积分
u f ( )d f1( ) f2 () f1(x at) f2(x at)（2）
即为齐次波动方程初值问题的通解 就某一具体问题，通过定解条件（初始条件）来 确定 f1 , f2
例：长为l 的均质细杆，侧面绝热，一端放在0°的水中，
另一端按已知规律 f (t) 变化。写出边界条件
物体边界面各点在时刻t所流过的热量已知：
u n
s
质温度已知，物体内部通过其边界S与 周围介质进行热量交换：
在S上任取一小块dS,用u1表示与物体接触处的介质温度，dQ 表示dt时间内流过dS的热量，根据牛顿冷却定律，我们有
弦的端点沿垂直于x轴的方向自由滑动，并受到一个 沿位移方向作用的已知外力，则边界条件形式为
ux (0,t) 1(t), ux (a,t) 2(t)
自由端点的情形：
1.2 初始条件与边界条件
第三类边界条件 给出所研究的物理量及其沿边界外法向导数 在边界上应满足的条件。
端点处为弹性支撑端的情形 根据Hooke 定律
三类典型的数学物理方程
1.2 初始条件与边界条件
u n
u
S
f
如果边界条件中的f=0，则称其为齐次边条件，否则称为非 齐次边界条件。
1.3 定解问题的提法
第一章 一些典型方程和定解问题的推导
二阶线性偏微分方程
方程中出现的未知函数的偏导数的最高阶是二阶的、对 于未知函数及其各阶偏导数来说都是线性的。
线性方程示例： 一维波动方程： 二维热传导方程：
1.3 定解问题的提法
解（古典解） 定解条件：边界条件与初始条件的总称 定解问题：将某个偏微分方程和相应的定解
条件合在一起，就构成了一个定解问题。
始值问题（Cauchy问题） 边值问题 混合问题 解的存在性、唯一性、稳定性(定解问题是否符合
实际）
1.3 定解问题的提法
微分方程的适定性
F(x x,t)
x x 密度ρ
以杆上一小段（x，x＋Δx）为研究对象
应用胡克定律，x点在t时刻的应力与x点处的应变
成正比，比值为杨氏模量E
u
小段的相对伸长为x ，在x点处为 在（x＋ Δx）处为 u(x x,t)
u ( x, t ) x
x
小段所受的力为：F F(x x,t) F(x,t)
T1
c h
T2
l
c
h
T1 T2 T0
sin1 tan1 c h sin2 tan2 c (l h) cos1 cos2 1
C
c F0h(l h)
T0l
例：长为l的两端固定的弦，在弦上x=h处，以 横向力F0拉弦，弦的张力为T0 ，达到稳定后放 手任其振动，如下图所示。写出初始条件。
例：长为l 的均质细杆，侧面绝热，一端放在0°的水中，
第一章 三类典型方程和定解条件
a 其中，ij (x), bi (x), c x , f (x)都只是 x1 , x2, , xm 的已知 函数，与未知函数无关。
若一个函数具有某偏微分方程中所需 要的各阶连续偏导数，并且代入该方程中 能使它变成恒等式，则此函数称为该方程 的解（古典解）。 初始条件和边界条件都称为定解条件。 把某个偏微分方程和相应的定解条件 结合在一起，就构成了一个定解问题。 只有初始条件，没有边界条件的定解问题 称为始值问题（或柯西问题）。反之，只 有边界条件，没有初始条件的定解问题称 为边值问题。既有初始条件又有边界条件 的定解问题，称为混合问题。
数学物理方程
第一章 三类典型方程和定解条件 第二章 分离变量法 第三章 Laplace方程的格林函数法
第四章 贝塞尔函数及勒让德多项式
第一章 三类典型方程和定解条件
数学物理方程的研究对象——定解问题。 一个定解问题是由偏微分方程和相应的定解 条件组成。我们先来介绍三类典型的方程：
三类典型方程
一、波动方程 二、热传导方程
用以说明初始状态的条件称为初始条件。 用以说明边界上的约束情况的条件称为边 界条件。
一、初始条件
比如说波动方程（1.3）其初始条件有两 个，一个是参数u，一个是u的一阶导数。 即： u u t 0 及 都已知。 t
t 0
而热传导方程（1.7）其初始条件只有一 个，就是参数u。即：
Байду номын сангаасu t 0 是已知。
一个定解问题提的是否符合实际情况，从 数学角度来看，有三方面可以加以检验：
1、解的存在性，看定解问题是否有解。
2、解的唯一性，看是否只有一个解。
3、解的稳定性，看当定解条件有微小
变动时，解是否相应地只有微小的变 动，若确实如此，则称此解是稳定的。
数学物理方程归纳总结
数学物理方程归纳总结数学和物理方程是科学研究中的重要工具，广泛应用于各个领域。
本文将对一些常见的数学物理方程进行归纳总结，分析其数学意义和物理应用，并探讨其背后的原理和推导过程。
1. 一维运动方程一维运动是物理学中最简单的情形之一，其运动状态只涉及一个方向的变化。
常见的一维运动方程有：- 位移公式：$S = V_0t + \frac{1}{2}at^2$- 速度公式：$V = V_0 + at$- 速度与位移的关系：$V^2 = V_0^2 + 2aS$这些方程描述了质点在匀加速度下的运动规律，其中$S$ 表示位移，$V_0$ 表示初始速度，$a$ 表示加速度，$t$ 表示时间，$V$ 表示末速度。
这些方程在解决一维运动问题时具有重要的应用价值，可以帮助我们计算物体的位移、速度和加速度等物理量。
2. 牛顿力学方程牛顿力学是经典力学的基础理论，在描述宏观物体运动和相互作用时非常重要。
牛顿三定律是牛顿力学的核心，其表述为：- 第一定律（惯性定律）：物体在不受外力作用时保持静止或匀速直线运动。
- 第二定律（运动定律）：物体受到的合力等于质量乘以加速度，即 $F = ma$。
- 第三定律（作用与反作用定律）：任何两个物体之间的相互作用力大小相等、方向相反。
根据牛顿第二定律，我们可以推导出一些重要的等式，用于解决各种力学问题。
例如，结合万有引力定律，我们可以得到开普勒第三定律 $T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}r^3$，其中 $T$ 是行星公转周期，$G$ 是引力常数，$M$ 是太阳的质量，$r$ 是行星与太阳的平均距离。
3. 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是电磁学的基础方程，描述了电磁场的产生和传播规律。
麦克斯韦方程组包括四个方程：- 高斯定律：$\nabla \cdot E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$- 安培定律：$\nabla \cdot B = 0$- 法拉第电磁感应定律：$\nabla \times E = -\frac{\partial B}{\partial t}$- 完整的麦克斯韦方程：$\nabla \times B =\mu_0J+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}$其中，$E$ 和 $B$ 分别表示电场和磁场，$\rho$ 表示电荷密度，$J$ 表示电流密度，$\varepsilon_0$ 是真空中的介电常数，$\mu_0$ 是真空中的磁导率。
历史上最伟大的十个方程
历史上最伟大的十个方程方程作为数学中重要的工具和思维模型，在科学研究和技术应用中扮演着重要的角色。
在历史的长河中，有许多方程被认为是最伟大的，它们对于数学和科学的发展产生了深远的影响。
下面将介绍历史上最伟大的十个方程，它们代表了不同领域的重要成就。
一、欧拉恒等式（Leonhard Euler）欧拉恒等式是数学中的经典方程，由瑞士数学家欧拉于18世纪提出。
它表达了自然常数e、虚数单位i、圆周率π和自然对数的关系，即e^(iπ)+1=0。
这个简洁而优雅的等式将数学中的重要常数和虚数联系在了一起，体现了数学的美妙和深刻。
二、相对论方程（Albert Einstein）相对论方程是德国物理学家爱因斯坦于20世纪初提出的，它是描述质量和能量之间关系的方程，即E=mc^2。
这个方程揭示了质能转化的本质，引发了对于时间、空间和引力的全新理解，对现代物理学的发展产生了重大影响。
三、量子力学方程（Er win Schrödinger）量子力学方程是奥地利物理学家薛定谔于20世纪提出的，它是描述微观粒子行为的方程，即薛定谔方程。
这个方程通过波函数描述了粒子的运动和性质，揭示了微观世界的奇妙和不确定性，对现代物理学和化学的研究有着重要的指导作用。
四、热力学方程（Rudolf Clausius）热力学方程是德国物理学家克劳修斯于19世纪提出的，它是描述热力学系统的方程，即熵增定律。
这个方程揭示了热力学过程中能量转化和熵的增加规律，为热力学的发展奠定了基础，对工程和能源领域有着重要的应用价值。
五、麦克斯韦方程组（James Clerk Maxwell）麦克斯韦方程组是苏格兰物理学家麦克斯韦于19世纪提出的，它是描述电磁场的方程组。
这个方程组统一了电场和磁场的描述，揭示了电磁波的存在和传播，为电磁学的发展做出了重大贡献，对通信和电子技术的发展有着巨大的影响。
六、波动方程（Jean le Rond d'Alembert）波动方程是法国数学家达朗贝尔于18世纪提出的，它是描述波动现象的方程，即达朗贝尔方程。
世界十大著名方程
世界十大著名方程
以下是世界十大著名方程：
1. 欧拉公式：e^ix = cos(x) + i*sin(x)
这是一个重要的数学公式，将指数函数、三角函数和虚数单位i联系在一起。
2. 相对论的质能方程：E = mc^2
由爱因斯坦提出的公式，描述了物质和能量之间的等效关系。
3. 热力学第二定律：ΔS ≥ 0
描述了热力学系统中熵的增加性质，表明自然界中的熵总是增加或保持不变。
4. 麦克斯韦方程组：
这是一组描述电磁场行为的方程，包括麦克斯韦方程的四个基本方程：
a) 电场的高斯定律
b) 磁场的高斯定律
c) 电场的法拉第电磁感应定律
d) 磁场的安培定律
5. 波动方程：∂^2u/∂t^2 = c^2∇^2u
描述了波动传播的方程，出现在许多物理学和工程学领域中。
6. 黎曼猜想：ζ(s) = Σ(n=1至∞) 1/n^s = 0
这是一项尚未解决的数学猜想，涉及到复数域中的黎曼ζ函数。
7. 汉密尔顿-雅可比方程：∂S/∂t + H(q, ∂S/∂q) = 0
描述了在哈密顿力学中质点系统的运动的方程。
8. 流体力学的纳维-斯托克斯方程：∂v/∂t + (v·∇)v = -∇p/ρ + ν∇^2v
描述了不可压缩流体中速度场和压力的运动方程。
9. 黑洞的爱因斯坦场方程：
这是描述引力场和时空弯曲的爱因斯坦广义相对论方程。
10. 薛定谔方程：iħ∂ψ/∂t = Hψ
描述了量子力学中粒子波函数随时间演化的方程。
数学物理方程
数学物理方程数学物理方程是描述物理现象的数学公式，它们是物理学研究的基础。
物理学家通过对物质运动的观察和实验，总结出了许多数学物理方程，这些方程具有预测和解释自然现象的能力。
在本文中，我们将介绍一些常见的数学物理方程，并讨论它们在现实生活中的应用。
牛顿第二定律牛顿第二定律是描述物体运动的基本定律之一。
它表明，物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成反比。
用数学公式表示为： F = ma其中，F表示作用力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
牛顿第二定律可以解释许多物理现象，例如自由落体、弹性碰撞等。
在机械工程中，牛顿第二定律被广泛应用于设计和优化机械系统。
麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是描述电磁现象的数学公式。
它由四个方程组成，分别是：1. 麦克斯韦第一方程：电场的散度等于电荷密度。
2. 麦克斯韦第二方程：磁场的旋度等于电场随时间的变化率。
3. 麦克斯韦第三方程：电场的旋度等于磁场随时间的变化率和电流密度的叉积。
4. 麦克斯韦第四方程：磁场的散度等于零。
麦克斯韦方程组被广泛应用于电磁学、光学、通信等领域。
它可以解释电磁波的传播、电磁感应现象等。
热传导方程热传导方程是描述热传导现象的数学公式。
它表明，热量的传导速率与温度梯度成正比。
用数学公式表示为：T/t = αT其中，T表示温度，t表示时间，α表示热传导系数，表示拉普拉斯算子。
热传导方程可以用于解决许多热传导相关的问题，例如热传导率的计算、材料的热稳定性等。
薛定谔方程薛定谔方程是描述量子力学现象的数学公式。
它表明，量子系统的波函数随时间演化的规律。
用数学公式表示为：iψ/t = Hψ其中，i表示虚数单位，表示约化普朗克常数，H表示哈密顿算符，ψ表示波函数。
薛定谔方程可以用于计算量子系统的能量、波函数、概率等物理量。
总结数学物理方程是物理学研究的基础。
它们可以用于解释和预测自然现象，例如牛顿第二定律、麦克斯韦方程组、热传导方程、薛定谔方程等。
这些方程在现实生活中有广泛的应用，例如机械工程、电磁学、光学、热力学、量子力学等领域。
三大数学物理方程
三大数学物理方程嘿，朋友！咱们来聊聊那大名鼎鼎的三大数学物理方程。
首先就是拉普拉斯方程啦。
这拉普拉斯方程就像是一个超级严格的管家，在它的地盘里，一切都得规规矩矩的。
它掌管着静电场、引力场这些地方，就像一个拿着放大镜检查每个角落的检查员，不容许有丝毫的混乱。
它的方程形式就像一个神秘的咒语，∇²u = 0，只要一出现这个咒语，那些场就得乖乖听话，就好像孙悟空听到唐僧的紧箍咒一样。
然后是热传导方程。
这个方程啊，就像一个热心的传话筒。
想象一下，热量就像一群调皮的小精灵活跃在物体里，热传导方程就负责把热量从热的地方传到冷的地方，就像一个勤劳的快递员，一刻不停地把包裹（热量）送到该去的地方。
它的方程∂u/∂t = a∇²u，就像是快递员的路线图，明确地告诉热量要怎么跑。
再来说说波动方程。
波动方程可不得了，它就像一个超级指挥家。
声波、光波这些波动就像是一群听话的乐手，波动方程挥舞着指挥棒，告诉它们什么时候该高，什么时候该低，什么时候该快，什么时候该慢。
它那看起来有点复杂的方程∂²u/∂t² = c²∇²u，就像是指挥家手里的乐谱，每个符号都有着特殊的意义，决定着波动的旋律。
拉普拉斯方程像是一个冷静的法官，它评判着空间里的秩序，只要有一点不和谐的因素，就会被它发现。
就好比在一个安静的图书馆里，它不允许有任何吵闹（电势或者引力势的异常）。
热传导方程呢，又像是一个小火炉旁边的老妈妈，慢慢悠悠地把温暖传递到整个屋子。
那些热量分子就像一群小娃子，在老妈妈的安排下，有序地从暖和的地方挪到凉快点的地方。
波动方程更像是一个疯狂的鼓手，敲打出有节奏的鼓点，那些波就随着鼓点跳动起来。
它的能量就像鼓槌的力量，决定着波动的幅度和速度。
拉普拉斯方程有时候又像一个固执的老学究，坚守着自己的规则，∇²u = 0这个规则就像他的信条，不容置疑。
热传导方程像是一个爱心满满的厨师，把热量均匀地分给每个“食客”（物体的各个部分），让大家都能享受到合适的温度。
数学物理方程公式总结
数学物理方程公式总结数学和物理是自然科学的两个重要分支，它们在研究自然界的规律时不可分割。
在数学和物理的学习过程中，我们经常会遇到大量的方程和公式。
这些方程和公式帮助我们理解和解决问题，归纳总结这些方程和公式有助于我们更好地掌握它们。
下面是一些数学物理方程公式的总结。
1.牛顿力学相关方程：- 运动方程: F = ma，其中 F 表示作用力，m 表示物体的质量，a 表示物体的加速度。
-牛顿第一定律:F=0，一个物体若无外力作用，则物体保持静止或匀速直线运动。
- 牛顿第二定律: F = ma，物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成反比。
-牛顿第三定律:F12=-F21，两个物体之间的作用力大小相等，方向相反。
2.热力学相关方程：-热力学第一定律:ΔU=Q-W，系统内部能量的变化等于吸热减去对外界做功。
-热力学第二定律:ΔS≥0，隔离系统内部的熵不会减少，或者说熵的增加不可逆。
-热力学第三定律:绝对零度时，熵为零。
3.电磁学相关方程：-库仑定律:F=k*(Q1*Q2)/r^2，两个点电荷之间的力与电荷大小成正比，与距离的平方成反比。
-高斯定律:Φ=E*A=Q/ε0，电场通过任意闭合曲面的通量与该曲面内的电荷成正比。
-法拉第电磁感应定律:ε=-ΔΦ/Δt，电磁感应产生的电动势与磁通量的变化率成正比。
4.波动与光学相关方程：-波速公式:v=λ*f，波速等于波长乘以频率。
- 光的折射定律: n1 * sin(θ1) = n2 * sin(θ2)，光线从一种介质进入另一种介质时，入射角和折射角与两种介质的折射率成正比。
5.直流电路相关方程：-欧姆定律:V=I*R，电压与电流和电阻的关系。
- 串联电阻的总电阻: R_total = R1 + R2 + ...，串联电阻的总电阻等于各个电阻之和。
- 并联电阻的总电阻: 1/R_total = 1/R1 + 1/R2 + ...，并联电阻的倒数总电阻等于各个电阻的倒数之和。
数学物理方程的求解方法
数学物理方程的求解方法在科学研究中，数学和物理都是不可缺少的学科，而将两者结合起来就形成了数学物理。
作为学科之间的交叉领域，数学物理的基础是方程求解。
本文将针对数学物理方程的求解方法进行exploratory talk。
一、常用数学物理方程要想掌握数学物理方程的求解方法，首先需要了解一些常用的数学物理方程。
以下是一些常用的数学物理方程：1. 微分方程：微分方程是描述变化规律的方程，可以用来描述上升和下降、加速度和速度等一系列现象。
2. 偏微分方程：偏微分方程是微分方程的一种，其中的未知函数是多元函数，其导数包括关于每个自变量的偏导数，被用来描述通常情况下与时间、空间、速度、温度等有关的形式变化。
3. 波动方程：波动方程是一种偏微分方程，被广泛用于描述波的传播。
其中，狭义的波动方程只适用于自由波，而广义的波动方程适用于各种波。
4. 热传递方程：热传递方程是一种偏微分方程，用于描述有热流的温度变化，并且它在实际应用中是非常重要的。
5. 瞬态流体力学方程：瞬态流体力学方程是一类偏微分方程，用于描述粘度、密度、流速和不稳定性等参数随时间变化的流体。
它们将被用于未来的空气动力学和工程流体力学应用中。
二、解析法解析法是指使用数学分析手段来求解数学物理方程的方法。
这是最基础的方法，因为它在整个数学物理领域中得到了广泛的应用。
然而，在实际应用中，使用解析法求解方程往往困难重重，因为存在着许多难以求解的非线性方程、奇异点和复杂模型等等。
因此，在现代科技中，解析法几乎被机器计算所取代。
三、数值方法数值方法是一种更加普遍的数学物理方程求解方法。
事实上，对于绝大多数实际问题，无论是科学中的还是工程中的，都需要采用数值方法来得到解。
数值方法主要包括离散化方法和连续化方法。
1. 离散化方法离散化方法是一种基本的数值方法，其基本思想是将求解区域离散，即将问题分成许多小问题，然后通过求解小问题来得到大问题的解。
离散化方法主要包括：（1）有限差分法：有限差分法是数值求解偏微分方程的一种方法，通过简单的代数运算，将偏微分方程转化为代数方程。
数学物理方程小结
数学物理方程小结 第七章 数学物理定解问题数学物理定解问题包含两个部分：数学物理方程（即泛定方程）和定解条件。
§7.1数学物理方程的导出一般方法： 第一确定所要研究的物理量u ,第二 分析体系中的任意一个小的部分与邻近部分的相互作用,根据物理规律, 抓住主要矛盾, 忽略次要矛盾。
（在数学上为忽略高级小量.）第三 然后再把物理量u 随时间，空间的变为通过数学算式表示出来, 此表示式即为数学物理方程。
（一） 三类典型的数学物理方程（1）波动方程： 0:),(:),(:22222222==∂∂-∂∂=∆-∂∂→f 当无外力时t x f x u a t u 一维t r f u a tu 三维 此方程 适用于各类波动问题。
（特别是微小振动情况.）（2）输运方程： 0:).(:),(:2222==∂∂-∂∂=∆-∂∂→f 无外源时t x f xu a t u 一维t r f u a tu 三维 此方程 适用于热传导问题、扩散问题。
（3）Laplace 方程：.0(:0:).程时泊松方程退化拉氏方f f u 泊松方程u 拉氏方程t r ==∆=∆→稳定的温度和浓度分布适用的数学物理方程为Laplace 方程, 静电势u 在电荷密度为零处也满足Laplace 方程 。
§7.2定解条件定解条件包含初始条件与边界条件。
（1） 初始条件的个数等于方程中对时间最高次导数的次数。
例如波动方程应有二个初始条件, 一般选初始位移u （x,o ）和初始速度u t （x,0）。
而输运方程只有一个初始条件选为初始分布u （x,o ）,而Laplace 方程没有初始条件。
（2） 三类边界条件第一类边界条件： u( r ,t)|Σ = f （1） 第二类边界条件： u n |Σ = f （2） 第三类边界条件： ( u+Hu n )|Σ= f （3） 其中H 为常数. 7.3二阶线性偏微分方程分类判别式 ,,0,,0,,0221121222112122211212抛物型a a a 椭圆型a a a 双曲型a a a =-=∆<-=∆>-=∆ 波动方程是双曲型的,输运方程为抛物型的,而拉普拉斯方程为椭圆型的.7.4 达朗贝尔公式对一维无界的波动方程,当不考虑外力时,定解问题为()()()()()()()[]()⎰+-+++-====∂∂-∂∂atx at x t d aat x at x t x u 解为x x u x x u x u a t u ξξψϕϕψϕ2121,:0,0,022222对半无界问题作延拓处理:对第一类齐次边界条件作奇延拓,而对第二类齐次边界条件作偶延拓.第八章 分离变量法8.1分离变量法主要步骤:1.边界条件齐次化,对非齐次边界条件首先把它化为齐次的. •2.分离变量 u(x,t) =X(x) T(t) （1） [以后对三维问题也是如此]•3. 将（1）式代入原方程得出含任意常数λ的常微分方程, (称为本征方程) 而λ为本征值.•4.由齐次边界条件确定本征值,并求出本征方程.(得出的解为本征函数)•5.根据迭加原理把所有满足方程的线性无关解迭加后,就能得通解. •6.再由初始条件确定系数.一维波动方程在第一类齐次边界条件下的()()()()()()()()()4,sin 2:3,sin 22,sin 0,:1,sinsin cos ,:0011ξπξξψπξπξξϕϕππππd ln a n b 同样d ln l a x l xn a x u 代入边入边界l x n l at n b l at n a t x u 通解ln ln n n n n n ⎰⎰∑∑====⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞=∞=一维波动方程在第二类齐次边界条件下的通解:()()()()()()()()7.cos 2,cos 26.1,15,cossin cos .000000100ξπξξψπξπξξϕξξψξξϕπππd ln a n B d l n l A d l B d l A l x n l at n B l at n A t B A t x u ln ln ll n n n ⎰⎰⎰⎰∑====⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∞=一维输运方程在第一类齐次边界条件下的通解:()()()()9,sin 28,sin ,012⎰∑==⎪⎭⎫⎝⎛-∞=ln t l a n n n d ln l c lx n ec t x u ξπξξϕππ一维输运方程在第二类齐次边界条件下的通解:()()()()()11,cos 2,110,cos ,00002⎰⎰∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞=ln lt l a n n n d ln l c d l c lx n ec t x u ξπξξϕξξϕππ对其他的齐次边界条件,如本征函数已知也可直接求解,而对本征函数不熟则只能用分离变量法来求解. 8.2 非齐次边界条件的处理 常用方法有 1) 直线法 :对边界条件为: u(0,t)=g(t), u(L,t)=h(t) .令 ()()()()()x Lt g t h t g t x u t x v ---=,, ,可把边界条件化为齐次,但一般情况下方程变为非齐次. •只有当g,h 为常数时,方程才不变. 2) 特解法•把 u 化为两部分,令 u=v+w 使v 满足齐次边界条件与齐次方程,而使w 满足齐次方程与非齐次边界条件.下面通过实例来介绍此方法. • 例题 求解下列定解问题• U tt －a 2 U xx = 0 • U|x=0 =0, U|x=L = ASin ωt • U|t=0 = 0 , U t ∣t=0 = 0 •( 其中A 、ω为常数, 0＜x ＜L , 0＜ t ）•解：令 u=v+w ,使w 满足波动方程与非齐次边界条件,•得出()altaxA t x w ωωωsinsin sin,第九章 二阶常微分方程的级数解法 本征值问题一.拉普拉斯方程与亥姆霍斯方程在球坐标与柱坐标下分 离变量结果.1. 拉普拉斯方程在球坐标下的通解:()()()1,,1,,,1ϕϑϕϑim m l l L l l Y r B r A r u ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+其中Ylm为球函数,拉普拉斯方程在球坐标下的解不依赖于边界条件. 在轴对称时(1)式退化为()()()∑∞=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=012,cos ,l ll l l l P r B r A r u θθ 2. 拉普拉斯方程在柱坐标下:()()()()()()()()()()()()()()()()()()..55.0:4,,0,ln :4;:3,04.01.3.022,1,0,sin cos 1.,,222222222''2程为m 阶Bessel方R m x dxdR x dx R d x 式为今x m F E R 式解为Bz A z Z 的解为R m d dR d R d Z Z m m m b m a z Z r R z u =-++==+=+===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=-==+=ΦΦ=ρμρμρμρρρμλϕϕϕϕϕρ(5)式其解为m 阶Bessel 函数,解依赖于边界条件,当上下底为边界条件是齐次时, μ<0.对应的解是虚贝塞尔函数.3） 亥姆霍斯方程在球坐标与柱坐标下分离变量结果.在球坐标下:()()()ϕϑϕϑ,,,Y r R r u =其中Y 为球函数,R 为球贝塞尔函数.在柱坐标下:.()()()()()()()()()()()()()5.0:4,;4.01.3.022,1,0,sin cos 1.,,22222222222222''2=-++=-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++=+==+=ΦΦ=R m x dxdR x dx R d x 式为今x k 令R m k d dR d R d Z Z m m m b m a z Z r R z u ρμνμρνρρρνλϕϕϕϕϕρ (5)式其解为m 阶Bessel 函数, 二、常微分方程的级数解法1. 掌握常点邻域的级数解法.2. 掌握正则奇点邻域的级数解法.3.知道无穷级数退化为多项式的方法. 三. 知道Sturm-Livouville 本征值问题的共同性质•当k(x),q(x)和ρ(x)都只取非负的值(≥0), Sturm-Livouville 方程共同性质为:•1)当k(x),k ’(x)和q(x)连续且x=a 和x=b 最多为一阶极点时,存在无限多个本征值及对应的本征函数:()()()()x y x y x y x y k k 321321,,≤≤≤≤≤λλλλ2)所有本征值λn ≥03)对应于不同本征值的本征函数带权正交()()()()m n dx x x y x y banm≠=⎰,0ρ4)本征函数族构成完备系()()∑∞==1n n n x y f x f第十章 球函数1. 轴对称的球函数当物理问题绕某一轴转动不变时,选此轴为z 轴这时物理量u 就与φ无关,m=0.此时球函数Y(θ,φ)就为L 阶勒让德多项式.即Y=P l (cos θ) 1) 勒让德多项式1. 勒让德多项式级数形式:()()()()()()1.!2!2!!22121202∑-=-----=l 或l n nl lnl x n l n l n n l x P 2. 勒让德多项式微分形式:()()()2.1!212l ll l l x dxd l x P -= 3.前几项为:P 0(x)= 1, P 1(x) =x=cos θ, •P 2(x)=(3x 2-1)/2, ….•一般勒让德多项式的幂次取决L•当L 为偶数时都为偶次幂项,L 为奇数时都为奇次幂项. 对特殊点x=1,0.()()()()()()()()(),!!2!!1210,00,1,11212n n P P x P x P P nn n l ll l --==-=-=-•4.勒让德多项式正交关系()lk l k l N dx x P x P δ211)(=⎰- (3) •5.勒让德多项式的模 122,1222+=+=l N l N l l (4) 6.广义傅里叶级数 :当f(x)在[-1,1]连续可导,且在x=-1与1有限时.()()()(),212111⎰∑-∞=+==dx x P x f l f x P f x f l l l l l (5) •7.在球坐标下Laplace 方程: △u= 0的通解为:轴对称()()()()()∑∑∑∞=+∞=-=+⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=01017,cos 6,,l l l l l l l ll m lm l l l l P r B r A u Y r B r A r u θϕθθ (6)式有两系数需要两条件来确定,对球坐标有两自然边界条件,r=0与r →∞,球内解包含r=0,•u 有限, ()∑∞===0cos ,0l l ll l P r A u B θ (7)•而A l 由球面的边界条件确定,同样对球外区域两系数由球面的边界条件与r →∞, 两个条件确定. 8. 母函数()∑∞==+-02cos cos 211l l l P r r r θθ (8)9. 递推公式()()()()()()()0.12.2,112'1'1''1'111>-=+-+=++=+-+-++-l P P P l xP P P P x P l x lP x xP l l l l l l l l l l l二.连带勒让德函数•在一般情况下,物理量u 与φ有关,故球函数Y 是连带勒让德函数与周期函数的乘积. 1. 连带勒让德函数()[]()x P xm lm 221-=Θ (1)2.连带勒让德函数的微分表示()().1!21222lml m l lmml x dxd l x P --=++ (2) 从(2)可得当L 一定时,m 的取值为 m=0,1,2…L.共有L+1个值.而三角形式球函数Y （θ,φ）中,cosm φ,sinm φ为不同态,共有2L+1个态.3.正交关系()()()()()!!1223.2211m l m l l 模平方N N dx x P x P ml lk ml m k m l -++==⎰-δ 4. 球函数Y 的两种表示形式. 第十一章 柱函数 一、 掌握三类柱函数的基本性质一般我们称Bessel 函数Jm(x)为第一类柱函数. 而把Neumann 函数Nm(x)称为第二类柱函数 . 1）对于第一类柱函数与第二类柱函数的线性组合.()()()()()()x iN x J x H x iN x J x H m m mm m m-=+=21称为第一种与第二种汉克尔函数.而汉克尔函数称为第三类柱函数2) x →0和x →∞时的行为()()()()()()()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛---∞→⎪⎭⎫⎝⎛--∞→∞→∞→-→→→→==⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∞→∞→〉==4224210002lim ,2lim 42sin 2lim ,42cos 2lim lim ,lim 0.0lim ,1lim ππππππππππππm x i m x m x i m x m x m x m x m x m x x e xx H e xx H m x x x N m x x x J x J x N m x J x J3) 递推公式()()()()()()()[]()()()()()()()()()()()()4.3.212.1.211!21211!11'1'110122022x J xx J m x J x J x x J m x J 展开与把x J x x J x dxdxx J x k m k k x k m k dx d x J dx d m m m m m mm m m m mm k k k m k k kk m km m -+-+∞=-+∞=+=+-=-=-=⎪⎭⎫⎝⎛++Γ-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++Γ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∑4） 贝塞尔函数的零点对m 阶贝塞尔方程()()()()()()()()()()0)(::1.0.,0.00'222222====〉==-++ρμρμρμρμρμμρmm nm n m nmmJx 本征值x 记JJ R 件对柱侧面的齐次边界条时当x R m xdx dRxdx Rdx对第一类齐次边界条件 得出第n 个零点对第二类齐次边界条件 二．贝塞尔函数的正交关系 .• 对于不同本征值的同阶贝塞尔函数在区间 • [0,ρ0]上带权重ρ正交.• ()()()()()()1.][2nk m n m k mm n mN d J J δρρρμρμρ=⎰•• 2）广义傅里叶- 贝塞尔级数•()()()()()[]()()()()3.12.021ρρρμρρμρρd J f N f J f f m nm m nnm nmn n ⎰∑==∞=• 3）Laplace 在柱坐标下的通解 • 轴对称m=0,柱内解为• 在侧面为第一类齐次边界条件时•()()()()()()()()()()2.,1.,101110000100⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∞=∞=ρρρρR x J z Rx sh B z Rx ch A z B A z u 条件时侧面为第二类齐次边界R x J z R x ch B z Rx sh A z u n n nn nn n n n n nn• 其中系数An,Bn 由上下底边界条件确定.• 在上下底为齐次边界条件时, μ≤ 0,R 的解为虚宗量贝塞尔函数.记为I m (x)• 同样可得Laplace 方程在柱内解 • 当轴对称时m=0• 上下底满足第一类齐次边界条件时解为•()()()()3.cos,:2.sin ,0001H z n H n I A z u 对第二类齐次边界条件H z n H n I A z u n n n n ππρρππρρ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑∞=∞=• 输运方程与波动方程在柱坐标下的解 • 1) 解的形式: u(r ,t)=T(t)v(r ) • V 满足亥姆霍兹方程.在侧面与上下底齐次边界条件下能完全确定本征值,例如上下底满足第一类齐次边界条件. 在轴对称情况下m=0 对输运方程柱内的解:上下底满足第一类齐次边界条件()()1.sin ,,2221,1000t H l x al n n nl n eH zl x J a t z u ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞==∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=πρπρρρ波动方程在柱内的解:• 在上下底满足第一类齐次边界条件下•()[]()2002000000)(2.sin sin cos ,,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∞ρπρρπρnnl n nlnl nl nl nl x H l k x J H z l at k b at k a t z u• 二维极坐标下的解:• 侧面满足第一类齐次边界条件•()[]()∑∞=+=10000sin cos ,n n n n n n k J at k d at k c t u ρρ （3） • 侧面满足第二类齐次边界条件•()[]()()4.sin cos ,1011100ρρnn nn nn k J at k d at k c t b a t u ∑∞=+++=• 第十二章 积分变换法 • 一、傅里叶变换法•1。
数学物理方程复习
数学物理方程复习一．三类方程及定解问题（一）方程1.波动方程（双曲型）Utt = a2Uxx+f; 0<x<l,t>0U(0,t)= Φ1（t）;U(l,t)= Φ2（t）;U(x,0)= Ψ1（x）;Ut (x,0)=Ψ2（x）。
2.热传导方程（抛物型）Ut = a2Uxx+f; 0<x<l,t>0U(0,t)= Φ1（t）;U(l,t)= Φ2（t）;U(x,0)= Ψ1（x）.3.稳态方程（椭圆型）Uxx +Uyy=f; 0<x<a;0<y<b;t>0.U(0,x)= Φ1（x）;U(b,x)= Φ2（x）;U(y,0)= Ψ1（y）;Ut (y,a)=Ψ2（y）。
（二）解题的步骤1.建立数学模型，写出方程及定解条件2.解方程3.解的实定性问题（检验）（三）写方程的定解条件1.微元法：物理定理2.定解条件：初始条件及边界条件（四）解方程的方法1.分离变量法（有界区域内）2.行波法（针对波动方程，无界区域内）3.积分变换法（Fourier变换Laplace变换）Fourier变换:针对整个空间奇：正弦变换偶：余弦变换Laplace变换：针对半空间4.Green函数及基本解法5.Bessel函数及Legendre函数法例一：在弦的横震动问题中，若弦受到一与速度成正比的阻尼，试导出弦阻尼振动方程。
解：建立如图所示的直角坐标系，设位移函数为U（x,t）,取任意一小段△x进行受力分析，由题设，单位弦所受阻力为b U t（b为常数），在振动过程中有△x所受纵向力为：（T2COSa2-T1COSa1）横向力为：（T2SINa2-T1SINa1-b U t(x+n△x））(0<n<1). T2,T1为△x弦两端所受的张力，又因为弦做横振动而无纵振动，由牛顿定律有T2COSa2-T1COSa1=0，T2SINa2-T1SINa1-b(x+n△x)U t=p U tt(x+n△x)△x在小的振动下SINa1≈TANa1=Ux(x,t), SINa2≈TANa2=Ux(x+△x,t),COSa2≈COSa1≈1,T=T1=T2.(ρ是密度)即(T/ρ)[ Ux (x+△x,t)- Ux(x,t)]/ △x-(b/ρ) U t(x+n△x，t)即令△x→0时有：U tt+ aU t=a2U xx例二：设扩散物质的源强（即单位时间内单位体积所产生的扩散物质）为F （x,y,z,t），试导出扩散方程。
物理学基本方程
物理学基本方程
物理学是研究自然界中物质、能量和它们之间相互作用的科学。
物理学的基本方程是描述物理现象和规律的数学表达式。
以下是一些常见的物理学基本方程：
1. 牛顿第二定律（力学）：
F = ma
其中，F表示物体所受的力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
这个方程描述了物体的运动状态和力的关系。
2. 万有引力定律（引力）：
F =
G * (m1 * m2) / r^2
其中，F表示两个物体之间的引力，G为万有引力常量，m1和m2分别表示两个物体的质量，r表示两个物体之间的距离。
这个方程描述了物体之间的引力作用。
3. 电场定律（电学）：
F = q * E
其中，F表示电荷所受的力，q表示电荷的大小，E表示电场强度。
这个方程描述了电荷在电场中受到的力的大小和方向。
4. 波动方程（波动学）：
∂^2u / ∂t^2 = v^2 * ∂^2u / ∂x^2
这是描述波动传播的方程，其中，u表示波的位移，t表示时间，x表示空间位置，v表示波速。
这个方程可以描述机械波和电磁波等的传播行为。
5. 热传导方程（热学）：
∂u / ∂t = α* ∂^2u / ∂x^2
这是描述热传导过程的方程，其中，u表示温度，t表示时间，x表示空间位置，α表示热扩散系数。
这个方程描述了温度随时间和空间位置的变化。
这些方程只是物理学中的一小部分，物理学领域还有许多其他方程和定律来描述各种物理现象和规律。
数学物理方程
一章：偏微分方程1.基本概念作用：描述物理规律，过程和状态。
函数：1.()()()()x t f u x t c xu x t b xu x t a t u ,,,,22+⨯+∂∂⨯+∂∂⨯=∂∂2.拉普拉斯方程：02222223=∂∂+∂∂+∂∂=∇zu yu xu u3.波动方程：()z y x t f u a tu ,,,3222+∇⨯=∂∂4.冲击波方程：0=⨯+x t u u u5.Kdv 方程：0=+⨯⨯+xxx x t u u u u σ其中：1.2.3方程都是二阶线性方程；4.是一阶非线性方程；5. 是三阶非线性方程。
拉普拉斯方程的一个解是： ()()()()2020201,,z z y y x x z y x u -+-+-=例 1.当a,b 满足怎样的条件时，二维拉普拉斯方程022222=∂∂+∂∂=∇yu xu u ,有指数解byax e u +=，并把解求出。
解：把by ax e u +=代入所给的方程，得()022=++by ax e b a ，因为()0≠+by ax e ，所以022=+b a ，即ia ib 或b a ±=±=，方程解是()()ay i ay ax bxi bx by e及u eu sin cos sin cos ±±==,其中a,b 是任意实数。
1.4 定解条件和定解问题泛定方程：描写一个物理过程的方程。
定解条件：为确定一个过程的进展情况，需知道发生的具体条件。
定解问题：泛定方程带上定解条件。
1.4.1 初始条件和初始问题如一条无限长弦的自由振动方程：()0,;2>∞<<∞-=t x u a u xx tt 即泛定方程；定解条件：()()()()x x u x x u t φϕ==,0,0，即初始条件，其中t=0。
1.4.2 边界条件和边值问题边界条件：在空间某一区域V 研究物理过程，在V 的边界面S 上有约束状态。
数学物理方程速成
数学物理方程速成数学物理方程是描述自然界中运动、能量、力、热等现象的数学公式。
这些方程在物理学、工程学、天文学等领域中具有重要的应用和意义。
通过学习和掌握这些方程，可以更好地理解自然现象，同时也为人们解决实际问题提供了有效的工具。
以下是一些常见的数学物理方程：1. 牛顿第二定律：F= ma牛顿第二定律是描述物体运动的基本方程，其中F表示物体所受的力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
该方程表明，当物体所受的力发生变化时，物体的加速度也会发生变化。
2.费马定律：δS/δt=0费马定律是描述光线传播的基本原理，其中S表示光线所需的路径，t表示光线需要经过的时间。
该定律表明，光线的传播路径在满足时间最短的情况下会尽可能地保持直线传播。
3.欧姆定律：V=IR欧姆定律是描述电路中电流、电压和电阻之间关系的基本方程，其中V表示电压，I表示电流，R表示电阻。
该方程表明，电流与电压成正比，与电阻成反比。
4. 波动方程：y(某,t)= Asin(k某-ωt)波动方程是描述波动现象的基本方程，其中y表示波的位移，某表示空间坐标，t表示时间，A表示振幅，k表示波数，ω表示角频率。
该方程表明，波在空间和时间上都是周期性变化的。
5.热传导方程：∂u/∂t=k∂²u/∂某²热传导方程是描述热传导现象的基本方程，其中u表示温度，t表示时间，某表示空间坐标，k表示热传导系数。
该方程表明，温度随着时间和空间的变化而发生变化。
以上是一些常见的数学物理方程，它们构成了物理学中的基础知识和理论框架。
学习和掌握这些方程可以让我们更好地理解自然现象，同时也为我们解决实际问题提供了有效的工具。
数学物理方程的分类
数学物理方程的分类
1. 波动方程！就像声波在空气中传播一样，想想乐器发出声音时的美妙波动，波动方程就是研究这种现象的呀。
例如我们用小提琴拉出动听的旋律，这里面可就蕴含着波动方程的学问呢！
2. 热传导方程呢，嘿，这就好像冬天我们感受到的温暖从一个地方慢慢扩散到另一个地方。
比如说，一杯热茶，热量逐渐散发开来，这不就是热传导方程在起作用嘛！
3. 拉普拉斯方程呀，哎呀呀，就像在一个平静的湖面，没有涟漪，一切都那么平稳。
比如一个完美光滑的镜子，这其中的静电场分布就符合拉普拉斯方程哦！
4. 泊松方程，哇塞，这就如同给平静的局面中加入了一个特殊的点。
像一个电荷在空间中产生的电势分布，可不就是泊松方程的实例嘛！
5. 传输方程，哈哈，这感觉就像是汽车在路上行驶，物质在不停地传输呀。
好比水流在水管里流动，这就是传输方程在支配着呢！
6. 薛定谔方程，咦，这可是个神奇的家伙！就像微观世界里粒子那神出鬼没的行为，比如电子在原子里的运动，这背后就是薛定谔方程在主宰呀！
7. 扩散方程，嘿呀，这不就跟墨水在水里慢慢扩散开来一样嘛。
想想把一滴墨水滴到水里，那扩散的过程不就是扩散方程在掌控嘛！
8. 反应扩散方程，哇哦，就好像一场激烈的化学反应在空间中发生并扩散着。
就好比面包发酵时，里面的变化不就是反应扩散方程的体现嘛！
9. 数学物理方程的分类可真是太有趣啦！不同的方程就像生活中各种奇妙的现象，等着我们去探索研究呢。
每一种分类都有它独特的魅力和重要性，我们可不能小看它们呀！。
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第二类边界条件
规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值
u n x0 ,y0 ,z0 f (x0 , y0 , z0 , t)
（9.1.24）
第三类边界条件 规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值
(u Hun ) x0 ,y0 ,z0 f (x0, y0, z0, t) （9.1.25）
utt Tuxx g 0
(9.1.6)
即为
utt a2uxx g
（9.1.7）
上式即为弦作微小横振动的运动方程，简称为弦振动方程．
其中 a2 T /
讨论：
（1）若设弦的重量远小于弦的张力，则上式(9.1.7)右端的 重力加速度项可以忽略．由此得到下列齐次偏微分方程：
utt a2uxx
（9.1.16）
2i x 2
LC
2i t 2
(9.1.17)
具有与振动方程类似的数学形式，尽管它们的物理本质根本不同
(3)无漏导，无电感线
2v x2
RC v t
2i
i
x 2
RC t
（9.1.18） (9.1.19)
它们具有与下节将讨论的一维热传导方程类似的数学形式， 尽管它们的物理本质根本不同．
讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题．要 确定弦的运动方程，需要明确：
(1)要研究的物理量是什么？
弦沿垂直方向的位移 u(x,t)
确定 弦的 运动 方程
（2）被研究的物理量遵循哪些 物理定理？牛顿第二定律.
（3）按物理定理写出数学物 理方程（即建立泛定方程）
注意：
物理问题涉及的因素较多，往往还需要引入适当假设 才能使方程简化．
例9．1．1 一根长为 l 的弦，两端固定于 x 0 和
x l ,在距离坐标原点为 b 的位置将弦沿着横向拉开距离
h ，如图9.5所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。
【解】 初始时刻就是放手的那一瞬间，
u
按题意初始速度为零，即有
h
o
b
图 9.5
x l
ut (x, t) |t0 ut (x, 0) 0
其中 f 是时间 t 的已知函数，H 为常系数．
9.2 数学建模－热传导方程类型的建立
9.2.1数学物理方程――热传导类型方程的建立
1.热传导方程 推导固体的热传导方程时， 需要利用能量守恒定律和关于热传导的傅里叶定律：
热传导的傅里叶定律：
dt 时间内，通过面积元 dS 流入小体积元的热量
dQ 与沿面积元外法线方向的温度变化率 u 成正比
作用于小段 ¼ ABC 的纵向合力应该为零：
T2 cos2 T1 cos1 0
(9.1.2)
仅考虑微小的横振动，夹角 1,2 为很小的量，忽略
12
,
2 2
及其以上的高阶小量，则根据级数展开式有
cos1
1
12
2!
L
1,
cos2 1
sin 1
1
13
3!
L
1 tan1,
sin2 2 tan2
初始位移如图所示
u(x, 0)
l
hx b h (l b
x)
(0
x l) (b x
L)
2.边界条件
常见的线性边界条件分为三类：
第一类边界条件 直接规定了所研究的物理量在边界上的数值
u(x, y, z, t) |x0 ,y0 ,z0 f (x0 , y0 , z0 , t)
（9.1.23）
2i
i
x2
LC
t 2
(RC GL) t
GRi
(9.1.14)
式（9.1.13）及（9.1.14）即为一般的传输线方程（或电报方程）．
(1)无失真线
2i x2
1 a2
2i t 2
2
a
i t
2i
(9.1.15)
其中
a2 1 , 2 RG
LC
(2)无损耗线
2v x 2
LC
2v t 2
ds (dx)2 (du)2 1 (ux )2dx dx
注意到:
ux
u x
tan
sin
故由图9.11得
ux x tan1 sin1, ux xdx tan2 sin2
这样，(9.1.1)和(9.1.2)简化为
T2
ux
xdx
T1 ux
x
gdx
utt dx
T2 T1 0
根据牛顿冷却定律: 单位时间从周围介质传到边界上单位面积 的热量与表面和外界的温度差成正比, 即
dQ H (u1 u | )
这里 u1 是外界媒质的温度. H 0 为常数
与推导条件(9.2.11)相似,此时可得边界条件
[ u n
hu]
hu1
其中 h H k
(9.2.9)
9.3 数学建模——稳定场方程类型的建立
数学物理方程所研究的内容和所涉及的领 域十分广泛，它深刻地描绘了自然界中的 许多物理现象和普遍规律.
从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的 是场和产生这种场的源之间的关系．
声振动是研究声源与声波 场之间的关系
定解 问题
热传导是研究热源与温度 场之间的关系
泊松（S. D. Poisson 1781～1840，法国数学家） 方程表示的是电势（或电场） 和电荷分布之间的关系
振动与波（振动波，电磁波）传 播满足波动方程
热传导问题和扩散问题满足热传导方 程
静电场和引力势满足拉普拉斯方 程或泊松方程
三类典型的数学物理方程
三类典型的数学物理方程
双曲型方程 波动方程为代表
抛物型方程 热传导方程为代表
椭圆型方程 泊松方程为代表
退化为拉普拉斯方程
三类数学物理方程的一种最常用解法 分离变量法
第二篇 数学物理方程
本篇主要内容：二阶线性偏微分方程的建立 和求解 重点：数学物理方程求解方法中的分离变量 法和行波法. 特点：加强物理模型和数学物理思想的介绍， 以便充分了解模型的物理意义，有利于根据 数学物理模型建立数学物理方程．
数学物理思想
数学物理方程（简称数理方程）是指从物理 学及其它各门自然科学、技术科学中所导 出的函数方程，主要指偏微分方程和积分方 程．
则根据能量守恒定律得热平衡方程
[
x
(k
u x
)
y
(k
u y
) z (9.2.2)
(k
u z
)]dtdxdydz
C0
u t
dtdxdydz
或写成
[ x
(k
u x
)
y
(k
u y
)
z
(k
u z
)]
C0
u t
2. 扩散方程
u t
a2
2u x2
0
(t 0)
其中 a2 D.
将一维推广到三维，即得到
u(x, y, z,t) | f (,t)
(9.2.7)
直接给出函数u 在边界上的数值,所以是第一类边界条件.
2. 第二类
已知任意时刻 t(t 0) 从外部通过边界流入物体内的热量。
设单位时间内通过边界上单位面积流入的热量为 (,t)
考虑物体内以边界上面积元 dS 为底的一个小圆柱体，
.
如图9.10所示. 物体内部通过 dS 流入小柱体的热量为
（9.2.5）
从上面的推导可知，热传导和扩散这两种不同的物理现象， 但可以用同一类方程来描述.
9.2.2 热传导（或扩散）方程的定解条件
1 初始条件 热传导方程的初始条件一般为
u(x, y, z, 0) (x, y, z) （9.2.6）
2 边界条件
第一类: 已知任意时刻 t(t 0) 边界面 上的温度分布
偏微分方程 标准的常微分方程
标准解，即为各类特 殊函数
第九章 数学建模---数学物理定解问题
9.1 数学建模----波动方程类型的建立
弦的横振动 杆的纵振动
具有波动方 程的数理方
程的建立
讨
论
定解条
件
传输线方程
9.1.1波动方程的建立
1. 弦的微小横振动
考察一根长为 l 且两端固定、水平拉紧的弦．
9.3.1 数学建模——稳定场方程类型的建立
1 静电场的电势方程
直角坐标系中泊松方程为
2U x2
2U y2
2U z2
0
(9.3.1)
若空间 V 中无电荷，即电荷密度 0 ，上式成为
2U x2
2U y 2
2U z 2
0
(9.3.2)
称这个方程为拉普拉斯方程.
2. 稳定温度分布
导热物体内的热源分布和边界条件不随时间变化 故热传导方程中对时间的偏微分项为零，从而热传导方程 （9.2.1)，(9.2.2) 即为下列拉普拉斯方程和泊松方程.
小柱体内温度升高 u 所需要的热量
n
dS
dS' ( cdS u) 随着柱高 趋于零而趋近于零
图图99..13 0 11.2.2
所以当 0
由热平衡方程给出:
k u dSdt (, t)dSdt 0
n
考虑到 0 时, dS dS 则得
u n
|S
1 k
(,
t)
(9.2.8)
3. 第三类
(9.1.3) (9.1.4)
因此在微小横振动条件下，可得出
T2 T1 ，弦中张力不随 x 而变， 可记为
T T2 T1 故有
T (ux
xdx
ux
) gdx
x
uttdx
(9.1.5)