数学物理方程与特殊函数 第三版 课后答案 王元明
二阶偏微分方程的常规解与特殊解
株洲师范高等专科学校2010届毕业论文材料系、部：物理与电子工程系学生姓名：刘进萍指导教师：周昕职称:讲师专业：物理教育班级：07 物理教育2010年5月目录1、毕业论文课题任务书 (2)2、毕业论文开题报告 (4)3、指导教师评阅表 (8)4、评阅教师评阅表 (9)5、答辩及最终成绩评定表 (10)6、毕业论文 (11)2010届毕业论文课题任务书系：物理与电子工程系专业：物理教育株洲师范高等专科学校毕业论文开题报告系部_______物理与电子工程系____ 专业物理教育题目二阶偏微分方程的常规解与特殊解学生姓名__刘进萍学号04107103_指导教师周昕___职称__ 讲师_____2010年5月20日说明：开题报告作为毕业论文（设计）答辩委员会对学生答辩资格审查的依据材料之一，此报告应在导师指导下，由学生填写，将作为毕业论文（设计）成绩考查的重要依据，经导师签署意见及系审查后生效。
株洲师专2010届毕业论文指导教师评阅表系：物理与电子工程系株洲师专2010届毕业论文评阅教师评阅表系：物理与电子工程系株洲师专2010届毕业论文答辩及最终成绩评定表系（公章）：物理与电子工程系株洲师范高等专科学校2007届毕业论文弦振动二阶偏微分方程的常规解与特殊解系、部：物理与电子工程系学生姓名：刘进萍指导教师：周昕职称讲师专业：物理教育班级：物理教育班完成时间：2010年5月弦振动二阶偏微分方程的常规解与特殊解物理与电子工程系物理教育专业2007级刘进萍指导老师周昕摘要：对于弦振动的二阶偏微分方程，一般采用分离变法来解。
如果我们考虑其物理意义，波在离振源X0处的振动就是振源在时间上推迟了t=X0/v, 从而将振源的振动方程引入推迟因子后代入偏微分方程中，一定会满足方程，则该振动方程就是此偏微分方程的解。
该种方法物理意义明确，求解过程相对简化。
关键词：二阶偏微分方程；推迟因子；弦振动；波的传播Abstract: For the partial differential equation of two ranks, we often use separation reform to solution. If we consider its physical significance, from the source X0 wave is the source of vibration in time delayed t = X0 / v, which will be the source of vibration equation introduced delay partial differential equations, the factor of offspring will meet equation, the vibration equation is the partial differential equations of the solution. This method has clear physical meaning and the solving process is relatively simple.Keywords:partial differential equation of two ranks; suspend gene; libration of string; transmit ion of wave前言在解弦振动的二阶偏微分方程时, 在数学上，一般采用分离变法来解，这是一种纯数学的方法。
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等【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=5201&fromuid=9数值方法第二版 (金一庆陈越著) 机械工业出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=11539&fromuid=9高等代数北师大高教第三版张和瑞【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=8607&fromuid=9微波技术与天线(第二版) 王新稳李萍李延平编电子工业出版社【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=6534&fromuid=9数据结构（陈慧南编 C＋＋描述）南京邮电大学课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=9506&fromuid=9四川大学出版社编的离散数学教程答案【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=7402&fromuid=9计算机组成原理（白中英版）【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=3243&fromuid=9现代微型计算机与接口教程课后答案杨文显主编寿庆余副主编【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=7964&fromuid=9C 语言程序设计 3-5 章部分程序题答案杨路明北京邮电大学出版社【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=8775&fromuid=9《操作系统》汤子赢西安电子科技大学答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=6055&fromuid=9数据库原理与应用教程第二版陈志泊人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=9933&fromuid=9数据结构与算法分析（C++ 第二版）Clifford A. Shaffer 电子工业出版社【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=9211&fromuid=9《程序设计基础》练习题及答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=2801&fromuid=9《多媒体技术基础(第2 版)》林福宗清华大学出版社课后参考答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=9299&fromuid=9计算机专业英语(含课文、译文、模拟试题、专业英语习题、答案)【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=9364&fromuid=908 版考研概率复习指南答案/bbs/viewthread.php?tid=509&fromuid=9计算机网络（第4 版） (Andrew S.Tanenbaum 著) 清华大学出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=11361&fromuid=9计算机图形学王汝传 1－4 章人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=10000&fromuid=9计算机网络教程（第3 版）习题答案【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=7777&fromuid=9c++语言程序设计（实验部分）第 3 版(郑莉著) 清华大学出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=15124&fromuid=9数字信号处理学习指导与题解 (丁美玉高西全王军宁著) 电子工业出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=15168&fromuid=9计算机网络第五版 (谢希仁著) 电子工业出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=16108&fromuid=9数学物理方程与特殊函数第三版完整 (东南大学数学系王元明著) 高等教育出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=17311&fromuid=9《操作系统概念》英文版高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=3491&fromuid=9计算机网络第二版蔡开裕朱培栋徐明（国防科技大学版）【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=9239&fromuid=9《C++语言程序设计教程》吕凤翥人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=8119&fromuid=9电工学第七版下册 (秦曾黄著) 高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=19778&fromuid=9vfp 表修复工具/bbs/viewthread.php?tid=73&fromuid=9C++语言基础教程吕凤翥人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=10016&fromuid=9数据库及其应用教材课后习题答案_【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=9530&fromuid=9Turbo C 错误信息表/bbs/viewthread.php?tid=70&fromuid=9《微机原理及汇编技术》课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=5684&fromuid=9复变函数答案第四版 (余家荣著) 高等教育出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=17004&fromuid=9Java 程序设计(第二版) (朱喜福著) 人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=10576&fromuid=9计算机专业英语教程译文（第 4 版） (金志权等主编著) 电子工业出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=14170&fromuid=9数据结构习题/bbs/viewthread.php?tid=4344&fromuid=9《计算机英语》第２版全书翻译及课后答案_【khdaw_lxywyl】。
高等教育出版社样书目录（数学类）
同济大学 10.1 2001 年 2 版
重温微积分
齐民生 39.6 2004 年 1 版
第 2 版 微积分(上)
同济大学 24.9 2003 年 2 版
第 2 版 微积分(下)
同济大学 23.1 2003 年 2 版
微积分学习辅导与习题选解
同济大学 28.4 2004 年 1 版
第 2 版 微积分学简明教程(上)
余家荣 17.9
出版时间 2001 年 3 版 2001 年 3 版 2004 年 1 版 2003 年 1 版 2003 年 1 版 2003 年 4 版 2003 年 4 版 2003 年 2 版 2003 年 2 版 2004 年 1 版 2004 年 2 版 2004 年 2 版 2003 年 1 版 2004 年 1 版 2004 年 1 版 2003 年 3 版 1999 年 4 版 2002 年 2 版 2003 年 2 版 2004 年 1 版 2000 年 1 版 2000 年 1 版 2004 年 1 版 2004 年 2 版 2004 年 2 版 2003 年 2 版 2004 年 1 版 2003 年 3 版
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第4版 第3版
概率论与数理统计教程 概率论与数理统计教程学习辅导与习题 选解
概率论与数理统计
沈恒范 沈恒范 盛骤
20.6 2003 年 4 版 17.6 2003 年 1 版 19.3 2001 年 3 版
概率论与数理统计习题全解指南
第 2 版 数学史概论
李文林 21.0 2002 年 2 版
大学文科高等数学(第一册)
姚孟臣 11.9 1997 年 1 版
数学物理方法(王元明)第二章2
0 < x < l, t > 0 t>0 0≤ x≤l
nπ X n = Bn cos x, n = 0,1,2,3,⋯ l
∞
x
nπ u ( x,0) = ∑ vn (0) cos x=0 l n =0
′ v 0 (t ) = sin ωt
2 2 nπ 2 n π ∑ v n′ (t ) + a l 2 v n (t ) cos l x = sin ωt n=0
n =1
n=2
4π 2 2aπ v ′′(t ) + a t v 2 (t ) = sin 2 2 l l
第2章分离变量法
∂ 2u ∂ 2u 2π 2aπ = a 2 2 + sin x sin t 0 < x < l, t > 0 2 l l ∂x ∂t t>0 u (0, t ) = u (l , t ) = 0, ∂u ( x,0) 0≤ x≤l u ( x,0) = 0, ∂t = 0, ∞ nπ v n (t ) = 0 n≠2 u = ∑ vn (t ) sin x
T ′ + a 2 λT = 0
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
X ′′ + λX = 0 T ′ + a 2 λT = 0
∂u (0, t ) = X ′(0)T (t ) = 0 ∂x ∂u (l , t ) = X ′(l )T (t ) = 0 ∂x
X ′′ + λX = 0 X ′(0) = 0,
0< x<l X ′(l ) = 0
λ = −β 2 < 0
X ′′ − β 2 X = 0
数学物理方程 第三章(东南大学王元明)
2u u u u u 2u 2u 2u 2 2 2 2 y y y 2u 2u 2u 2u u u u u A 2 ( A B) B 2 A B A B xy y y
e
( x at ) 2
]
1 2
x at x at
x at
2ase
s 2
ds
( x at ) 1 [ e 2
2
2
e
( x at ) 2
] 1 [ e 2
x at x at s 2
e
s 2
ds2
e ( xat )
x at
数学物理方程与特殊函数
2u 2u 2u ( A B) AB 2 2 x xy y 2 2 2u 2u 2u 2u 2 u 2 u A 2 AB B ( A B) A 2 ( A B) B 2 2 2
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
2 2u 2 u x , t 0 t 2 a x 2 , u ( x,0) ( x), u ( x,0) ( x), x t f2 u f1 ( x at) f 2 ( x at) t
2 utt a u xx 0, x x2 x2 u |t 0 e , ut |t 0 2axe
解：将初始条件代入达朗贝尔公式
u ( x)
( x at ) 1 [ e 2
工程数学——数学物理方程与特殊函数(第4版) 王元明小结 (4)[4页]
![工程数学——数学物理方程与特殊函数(第4版) 王元明小结 (4)[4页]](https://img.taocdn.com/s3/m/f745b530a22d7375a417866fb84ae45c3b35c23b.png)
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1 4πr 1
a 0 ,
4πr1 1 (
,
:
a)
f ( M0 )Gn0 d 0 ]
4πr 4πr1 ( : z 0)
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1.对于边界为简单几何形状的问题的狄氏格林函数 (如:圆,球;平面等)可用电像法来求,这种方法的要领的 将格林函数G视为其内置有点电荷的接地导体壳内任 意一点处的电位,而用虚构的点电荷即电像产生的电位, 来等效地代替感应电荷所产生的电位.
1.由格林第二公式(或推广的格林公式)导出定解问题 解的积分公式(其中含有G);
2.求出各定解问题相应的格林函数G; 3.将求得的G代入积分公式,化简整理即得定解问题 的解.
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定解问题 其解的积分公式
其中的格林函数
二
维
u h(M ) u |l f (M )
M
u(M )
[ G(M , M0 )h(M0 )d 0
l f ( M0 )Gn0 dl0 ]
G
1 2π 1 2π
ln l : a)
(l : y 0)
三
维
u h(M )
u
|
f (M)
M
u(M ) [ G(M
,
M0
)h( M 0
)d
0
G
第一章 典型方程与定解条件
初始条件 边界条件
第一章 典型方程和定解条件的推导
如果薄膜上有横向外力作用，设外力面密度为 F ( x, y, t ) ，则得 2u 2 a 2 u f ( x, y , t ) 2 t 其中 f ( x, y , t ) F ( x, y , t ) ， 2 2 为二维拉普拉斯算子。 2 2 2 x y
第一章 典型方程和定解条件的推导
在上述热传导方程中, 描述空间坐标的独立变量 为 x , y, z , 所以它们又称为三维热传导方程. 当考 察的物体是均匀细杆时, 如果它的侧面绝热且在同 一截面上的温度分布相同, 则可以得到一维热传导 方程 2 u u 2 a t x 2 类似, 如果考虑一个薄片的热传导, 并且薄片的 侧面绝热, 可以得到二维热传导方程
例5 静电场的势方程
x
y
z
静电学基本定律：穿过闭合曲面向外的电通量等于区
故 4E 倍，即 域内所含电量的 dV 4 dV div
即
E n dS 4 ( x , y , z ) dV divE 4 ( x, y, z )
第一章 典型方程和定解条件的推导
例 4. 热传导方程
如果空间某物体内各点处的温度不同，则热量就从 温度较高点处到温度较低点处流动，这种现象叫热传导。
考虑物体G 内的热传导问题。函数u(x,y,z,t) 表 示物体G 在位置 M(x,y,z) 以及时刻 t 的温度。通过 对任意一个小的体积元V内的热平衡问题的研究，建 立方程。 假设：假定物体内部没有热源，物体 的热传导系数为常数，即是各向同性 的，物体的密度以及比热是常数。
第一章 典型方程和定解条件的推导
大学教材课后题答案网站
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西安电子科技大学课后答案/bbs/viewthread.php?tid=1083&fromuid=9离散数学 (左孝凌著) 上海科学技术文献出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=466&fromuid=9近世代数基础 (刘绍学著) 高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=177&fromuid=9计算机组成原理习题＆答案唐朔飞高等教育出版社【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=984&fromuid=9计算机网络（第4 版）清华（Andrew S.Tanenbaum）版答案（中文版）【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=201&fromuid=9《常微分方程》王高雄高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=567&fromuid=9数学分析（陈传璋版）习题答案下载/bbs/viewthread.php?tid=714&fromuid=9计算机算法设计与分析(第 3 版) (王晓东著) 电子工业出版社课后答案【khdaw_ricardo】/bbs/viewthread.php?tid=3162&fromuid=9《计算机系统结构》清华第2 版习题解答(chm)【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=1303&fromuid=9《编译原理》课后习题答案/bbs/viewthread.php?tid=175&fromuid=9《计算机网络》(第三版) (Andrew S.Tanenbaum 著) 清华大学出版社课后答案《软件工程》课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=896&fromuid=9C++语言程序设计(第3 版) (郑莉著) 清华大学出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=988&fromuid=9计算机操作系统第三版 (汤子瀛哲凤屏汤小丹著) 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等【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=5201&fromuid=9数值方法第二版 (金一庆陈越著) 机械工业出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=11539&fromuid=9高等代数北师大高教第三版张和瑞【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=8607&fromuid=9微波技术与天线(第二版) 王新稳李萍李延平编电子工业出版社【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=6534&fromuid=9数据结构（陈慧南编 C＋＋描述）南京邮电大学课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=9506&fromuid=9四川大学出版社编的离散数学教程答案【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=7402&fromuid=9计算机组成原理（白中英版）【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=3243&fromuid=9现代微型计算机与接口教程课后答案杨文显主编寿庆余副主编【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=7964&fromuid=9C 语言程序设计 3-5 章部分程序题答案杨路明北京邮电大学出版社【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=8775&fromuid=9《操作系统》汤子赢西安电子科技大学答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=6055&fromuid=9数据库原理与应用教程第二版陈志泊人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=9933&fromuid=9数据结构与算法分析（C++ 第二版）Clifford A. Shaffer 电子工业出版社【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=9211&fromuid=9《程序设计基础》练习题及答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=2801&fromuid=9《多媒体技术基础(第2 版)》林福宗清华大学出版社课后参考答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=9299&fromuid=9计算机专业英语(含课文、译文、模拟试题、专业英语习题、答案)【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=9364&fromuid=908 版考研概率复习指南答案/bbs/viewthread.php?tid=509&fromuid=9计算机网络（第4 版） (Andrew S.Tanenbaum 著) 清华大学出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=11361&fromuid=9计算机图形学王汝传 1－4 章人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=10000&fromuid=9计算机网络教程（第3 版）习题答案【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=7777&fromuid=9c++语言程序设计（实验部分）第 3 版(郑莉著) 清华大学出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=15124&fromuid=9数字信号处理学习指导与题解 (丁美玉高西全王军宁著) 电子工业出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=15168&fromuid=9计算机网络第五版 (谢希仁著) 电子工业出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=16108&fromuid=9数学物理方程与特殊函数第三版完整 (东南大学数学系王元明著) 高等教育出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=17311&fromuid=9《操作系统概念》英文版高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=3491&fromuid=9计算机网络第二版蔡开裕朱培栋徐明（国防科技大学版）【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=9239&fromuid=9《C++语言程序设计教程》吕凤翥人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=8119&fromuid=9电工学第七版下册 (秦曾黄著) 高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=19778&fromuid=9vfp 表修复工具/bbs/viewthread.php?tid=73&fromuid=9C++语言基础教程吕凤翥人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=10016&fromuid=9数据库及其应用教材课后习题答案_【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=9530&fromuid=9Turbo C 错误信息表/bbs/viewthread.php?tid=70&fromuid=9《微机原理及汇编技术》课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=5684&fromuid=9复变函数答案第四版 (余家荣著) 高等教育出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=17004&fromuid=9Java 程序设计(第二版) (朱喜福著) 人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=10576&fromuid=9计算机专业英语教程译文（第 4 版） (金志权等主编著) 电子工业出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=14170&fromuid=9数据结构习题/bbs/viewthread.php?tid=4344&fromuid=9《计算机英语》第２版全书翻译及课后答案_【khdaw_lxywyl】。
工程数学-数学物理方程与特殊函数电子教案-王元明-2-4
ab 1 u 1 2 u 2 12 cos 2 2 2 0 2π u | u | 0 0 2π b a
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因子的常微分方程的初值问题(或另一单元函数的常微 分方程的边值问题),用参数变易法或拉氏变换法可求得
其解.
3.将所求得的解代入未知函数的展开式中,即得原定
解问题的解.这种分离变量的方法按其特点又叫特征函
数(或固有函数)法.
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弦的振动是由两部分干扰引起的,一是强迫力,一
是初始状态,所以此时振动可以看作为仅由强迫力引起
的振动和仅由初始状态引起的振动的合成.
可设解为:
U ( x, t ) V ( x, t ) W ( x, t )
其中V ( x , t ) 表示仅由强迫力引起弦振动的位移,它满足:
A0 ( ) c0 d0 ln d0 ln B0 ( ) c0
An ( ) cn n dn n , n 2 n dn n , n 1, 2, 3,… Bn ( ) cn
由条件
(b) 0 An (a) An
可令上式的解为:
u( , ) [ An ( )cos n Bn ( )sin n ]
n 0
代入方程并整理,得到:
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2 1 n ( ) An ( ) 2 A （ An n ) cos n n 0 1 n2 2 B ( ) B ( ) B （ ) sin n 12 cos 2 n n n 2
数学物理方程第三版第一章答案(全)
数学物理方程第三版答案第一章． 波动方程§1 方程的导出。
定解条件1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程()⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x u E x t u x t ρ 其中ρ为杆的密度，E 为氏模量。
证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ∆。
现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。
在时刻t 这段杆两端的坐标分别为：),();,(t x x u x x t x u x ∆++∆++其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u xxt x u x t x x u x x x ∆+=∆∆-+-∆++∆+θ令0→∆x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。
由虎克定律，力),(t x T 等于),()(),(t x u x E t x T x =其中)(x E 是在点x 的氏模量。
设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ∆+两端的力分别为x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(∆+∆+).,(t x x ∆+于是得运动方程 tt u x x s x ⋅∆⋅)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-∆+∆+ 利用微分中值定理，消去x ∆，再令0→∆x 得tt u x s x )()(ρx∂∂=x ESu () 若=)(x s 常量，则得22)(t u x ∂∂ρ=))((xu x E x ∂∂∂∂即得所证。
2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为.0),(,0),0(==t l u t u(2)若l x =为自由端，则杆在l x =的力xux E t l T ∂∂=)(),(|l x =等于零，因此相应的边界条件为xu∂∂|l x ==0 同理，若0=x 为自由端，则相应的边界条件为xu∂∂∣00==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支承的伸长为)(),(t v t l u -。
数学物理方法(王元明)第二章1
令
u( x, t ) X ( x)T (t )
带入方程： X ( x)T ''(t ) a2 X ''( x)T (t ) X ''( x) T ''(t ) 令 2 X ( x) a T (t ) X ''( x) X ( x) 0 T ''(t ) a2T (t ) 0 带入边界条件
Hale Waihona Puke X (0)T (t ) 0, X (0) 0,
X (l )T (t ) 0
X (l ) 0
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
特征（固有）值问题：含有待定常数常微分方程在一定条 件下的求解问题 特征（固有）值：使方程有非零解的常数值 特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解 分情况讨论： X ( x) Ae x Be x 0 1）
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
一 有界弦的自由振动
1 求两端固定的弦自由振动的规律
2 2u 2 u 0 x l, t 0 t 2 a x 2 , t 0 u (0, t ) 0, u (l , t ) 0, u ( x, 0) u ( x, 0) ( x), ( x), 0 x l t
A B 0 Ae
l
X ''( x) X ( x) 0 X (0) 0,
X (l ) 0
A B0
l
X 0
Be
0
2） 0
X ( x) Ax B
A B0
X 0
3） 0 令 2 ， 为非零实数 X ( x) A cos x B sin x n 2 2 A0 n 2 (n 1, 2,3,) l l B sin l 0 n n 2 2 X n ( x) Bn sin x (n 1, 2,3,) n 2 (n 1, 2,3,) l
数学物理方程(第三版)第一章练习答案全解
方程的导出、定解条件
.E.xample 1.4
绝对柔软而均匀的弦线有一端固定, 在它本身重力作用下, 此线处于铅垂的平 .衡位置, 试导出此线的微小横振动方程.
解: 设弦长为 l, 取弦上端点为原点, 取铅垂向下的轴为 x 轴. 设 u(x, t) 为
时刻 t, x 处的横向位移. 取位于 (x, x + ∆x) 的微元进行分析, 由绝对柔软
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 13 / 67
达朗贝尔公式、波的传播
.E.xample 2.2
问初始条件 φ(x) 与 ψ(x) 满足怎样的条件时, 齐次波动方程初值问题的解仅 由. 右传播波组成?
解: 由题意知
G(x)
=
1 φ(x) 2
+
1 2a
∫x ψ(ξ)dξ
x0
−
C 2a
.E.xample 1.7 √
验证 u(x, y, t) = 1/ t2 − x2 − y2 在锥 t2 − x2 − y2 > 0 中满足波动方程 .utt = uxx + uyy.
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 10 / 67
1. 方程的导出、定解条件 2. 达朗贝尔公式、波的传播 3. 初边值问题的分离变量法 4. 高维波动方程的柯西问题 5. 波的传播与衰减 6. 能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性
解: (1) u(0, t) = u(l, t) = 0;
(2) 端点自由,
即端点处无外力作用.
在左端点
SE(0)
∂u ∂x
(0,
t)
=
0,
即
∂u ∂x
基于求解偏微分方程变量分离方法多种应用
Science &Technology Vision科技视界0引言客观世界事物之间存在相互制约关系,而这种制约关系因包含很多的变量,通常用偏微分方程来描述,客观世界的复杂性及其关系的多样性,致使这些偏微分方程形式也各不相同,故其求解相当复杂。
对于有界区域上的线性偏微分方程,分离变量法就是一种最有效最重要求解方法。
这种方法的基本思想就是把求解偏微分方程的混合问题,经过分离变量,转化为求解常微分方程的初值问题,使原问题得到简化,使之容易求解。
实施变量分离方法最关键条件就是:(1)混合问题是线性的;(2)泛定方程和边界条件是齐次的[1-3]。
对于其它形式可先转化再利用变量分离方法。
本文将以一实例通过运用叠加原理、特征函数法、Duhamel 原理法[4]、函数变换法求解。
这些方法联合应用涵盖了求解偏微分方程引用变量分离法的多种形式,加深理解和应用这些方法进而拓展应用到求解其它类型的线性偏微分方程混合问题。
变量分离法还是核证偏微分方程数值解的有效工具,特别是在物理学和工程技术中这种实例异常繁多,因而变量分离法有重要的理论价值和重要的实践意义[5-7]。
1实例u t =a 2u xx -b 2u ,0<x<l ,t >0u x |x =0;u |x =l =u 1,t >0u |t =0=u 1l2x 2,0≤x ≤l⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐其中b,u 1是常数,解1:将定解问题的边界条件齐次化,令v (x,t )=u (x,t )-u 1得定解问题转化为:(I)v t =a 2v xx -b 2v-b 2u 1,0<x<l ,t >0v x |x =0=v x=l =0,t >0v|t =0=u 1l2x 2-u 1,0≤x ≤l ⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐⏐∵定解问题(I)是线性非齐次方程、齐次边界条件,∴由叠加原理得:(II)v t (1)=a 2v xx (1)-b 2v (1)v x (1)|x =0=v (1)|x=l =0,v (1)|t =0=u 1l2x 2-u 1,⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐⏐(III)v t (2)=a 2v xx (2)-b 2v (2)-b 2u 1v x (2)|x =0=v (2)|x=l =0,v (2)|t =0=0⎧⎩⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐其中v (x,t )=v (1)(x,t )+v (2)(x,t )由于定解问题(II)是齐次方程齐次边界问题,故可直接利用变量分离法求解,而定解问题(III)是非齐次方程齐次边界问题,可用本征函数法,又由于(III)除泛定方程外其定解条件均为齐次的,故定解问题(III)可由Duhamel 齐次化原理方法求解。
数学物理方程与特殊函数 第三版 课后答案 王元明
⎧ ∂ 2v ∂ 2v ⎪ 2 + 2 = f1( x, y), 0 < x < a, 0 < y < b, ⎪ ∂x ∂y ⎪ ⎨ v ( 0, y ) ) 0, v ( a ( y ) ) 0, 0 ≤ y ≤ b , = , = ⎪ ⎪ = = ⎪ v ( x ,0 ) ) ψ 1 ( x ); v ( x , b ) ) ψ 2 ( x ), 0 ≤ x ≤ a . ⎩
∞
∑ n
=1
d na n sin nθ = Tθ (π − θ )
d na
n
∫
π
0
sin nθ d θ = ∫ T θ (π − θ )sin nθ d θ
0
2
π
4T d n = n 3 (1 − cos nπ ), πa n 4T ∞ ρ n u ( ρ ,θ ) = [1 − (− 1)n ]sin nθ . ) ∑ n 3 π n=1 a n
解为:
其中
∞ 1 u ( x , t ) = a0 + ∑ ane ) 2 n=1
⎛ naπ ⎞ t −⎜ l ⎟ ⎝ ⎠
2
nπ cos x l
2 nπ an = ∫ ϕ ( x ))cos xdx， n = 0,1,2,... l l
0
l
练习：在矩形 (0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ b ) 中求解拉普拉斯 方程的定解问题 :
极坐标系下的拉普拉斯方程的表达式
⎧ x = ρ cosθ ⎨ ⎩ y = ρ sinθ
∂ρ ∂θ ⎧ ⎪1 = ∂x ⋅ cosθ − ρ ∂x ⋅ sin θ ⎪ ⎨ ⎪ 0 = ∂ ρ ⋅ sin θ + ρ ∂ θ cos θ ⎪ ⎩ ∂x ∂x ∂ρ ∂θ − sinθ = cosθ , = u( ρ ,θ ) ∂x ∂x ρ
2-数理方程与特殊函数-第一章
偏微分方程定解问题 • 定解问题的适定性
第二讲
数学物理方程与特殊函数
19
相应的物理规律 微分方程
密切相关
数学物理方程与特殊函数
守恒律
推导
质量守恒 动量守恒 能量守恒
应用动量定理建立弦振动方程？
第二讲
传输线方程
R 每回路单位长度的串联电阻 L每回路单位长度的串联电感 C每单位长度的分路电容 G每单位长度的分路电导
偏微分方程定解问题 • 定解问题的适定性
第二讲
数学物理方程与特殊函数
6
弦的横振动方程
数学物理方程与特殊函数
建立如图所示的坐标系，以
弦上一个小微弧段为研究对
象，
表示弦上各点在
时刻 t 沿垂直于x方向的位移。
在弦上取微小弧段，其长度 为
,
找到所研究物理量遵
循的物理定律
第二讲
弦的横振动方程
因为弦是完全均匀柔软的， 因此弦元只受切线方向的应 力-张力T的作用，而没有 法向应力。
2u( x, t ) t 2
a2
2u( x, t ) x 2
,a2
T
数学物理方程与特殊函数
一维波动方程 二阶线性齐次方程
其中 为弦的线密度（单位长度的质量）， 为弦的振动传播速度
T(x + dx) - T(x) = 0 T与位置x无关
T是一个常数
并且在小振动近似下，T与时间t也无关
理由，弦元的伸长量
25
梯度与散度
数学物理方程与特殊函数
• 散度 有矢量场 A，点M为场内的一点，在场内作一包含 M在内的闭曲面S，S包围的空间区域为V，体积记 为△V，则 A 通过S的通量为：
二维平面圆形区域内狄氏问题的解
二维平面圆形区域内狄氏问题的解
班号：06111004
学号：1120101594
姓名：高兴
时间：2012年6月
二维平面圆形区域内狄氏问题的解
摘要：
根据二维格林函数的形式并利用圆形区域的特殊性求解二维平面上圆形区域内的狄氏定解问题。
关键词：
二维圆形区域狄氏问题格林函数
引言：
我们已经知道二维的格林函数具有如下的形式：
其中：
在圆形区域上可以求出V的具体形式，进而解得格林函数，再根据：
解出二维平面圆形区域内狄氏问题的解。
正文：
半径为R的圆域：
圆内一点：
圆外一点：
满足：，则称为的镜像点。
设P是圆周上任意一点，则：
由：
记，则
所以当P在5圆周上时，有：
由于已知二维拉普拉斯方程的基本解为：
所以求得的格林函数为：
它在圆周上满足齐次边界条件。
下一步是解出：
由于在圆域中
ρ∂=∂n
其中是1OM OM 和和的夹角。
所以可以求得
dS Rr r R r R y x f R M u ⎰-+-=c 02022020cos 2),(21
)(γ
π 这是圆域狄氏问题的泊松公式。
参考文献：
1、《数学物理方程与特殊函数》（第三版） 王元明编 2004年；
2、北京理工大学教师课件 陈晔愍 2012年；
3、《二维拉普拉斯方程的格林函数法教学研究》 梁勇 吴自库 2007年；。