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第七章：微分方程

一、微分方程的相关概念

1. 微分方程的阶数：方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶 .

2. 微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解

.

通解：所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同的解称为微分方程的通解 .

特解：确定了任意常数的通解称为微分方程的特解

.

3. 特解与通解的关系：可通过初始条件确定通解中的常数而得到满足条件的特解；

也可通过方程的表达式直接观察得到特解，因此特解不总包含在通解中

.

二、微分方程的常见类型及其解法

1. 可分离变量的微分方程及其解法

(1). 方程的形式： g( y) dy f ( x)dx .

(2). 方程的解法：分离变量法

(3).

求解步骤

① . 分离变量，将方程写成

g( y) dy f ( x)dx 的形式；

② .

两端积分：

g ( y)dy

f (x)dx ，得隐式通解 G( y)

F ( x) C ；

③ . 将隐函数显化 .

2. 齐次方程及其解法

(1). 方程的形式：

dy

y .

dx

x

(2). 方程的解法：变量替换法

(3). 求解步骤

①．引进新变量

u

y

，有 y ux 及

dy

u x

du

；

x

dx

dx

②．代入原方程得：

u x

du

(u) ；

dx

③．分离变量后求解，即解方程

du dx ；

( u) u

x

④．变量还原，即再用

y

代替 u .

x

3. 一阶线性微分方程及其解法 (1). 方程的形式：

dy

P(x) y Q( x) .

dx

一阶齐次线性微分方程

: dy P( x) y 0 .

dx

一阶非齐次线性微分方程

: dy P( x) y Q( x) 0 .

dx

(2). 一阶齐次线性微分方程

dy P(x) y

0 的解法 : 分离变量法 .

dx

通解为 y Ce

P (x )d x

,( C R ). (公式)

(3). 一阶非齐次线性微分方程

dy

P( x) y Q(x) 0的解法 : 常数变易法 .

dx

对方程

dy

P( x) y Q( x) ，设 y

u( x)e

P ( x)d x

为其通解，其中 u( x) 为未知函数，

dx u ( x) e u( x) P( x)e P (x) d x ，

从而有 dy P(x ) d x

dx

代入原方程有

( ) e P ( x) d x

()() P ( x )d x

()()

P (x) d x

( ) ，

u x

u x P x e P x u x e Q x

整理得

u (x) Q( x) e

P ( x) d x

，

两端积分得

u(x)

Q( x) e P( x) d x dx C ，

再代入通解表达式，便得到一阶非齐次线性微分方程的通解

y e P( x)d x (

Q( x)e P( x) d x dx C) Ce P( x) d x e P (x )d x Q( x)e P (x) d x dx ，( 公式 )

即非齐次线性方程通解 =齐次线性方程通解 +非齐次线性方程特解 .

第八章：空间解析几何与向量代数

一、向量

a (x a , y a , z a ),

b ( x b , y b , z b ),

c ( x c , y c , z c )

1. 向量

a

( x a , y a , z a ) 与 b (x b , y b , z b )

的数量积：

a b a b cos

x a x b x b y b z a z b

；

a

x y

z

b

x b

y b

z b

i j

k

2. 向量 ( a

, a ) 与 ( , , ) 的向量积： a b x a

y a

z a

.

a ,

x b y b z b

a b a b sin

的几何意义为以

a, b 为邻边的平行四边形的面积 .

3. 向量 r ( x, y, z) 的方向余弦：

cos

x

, cos

y , cos

y ，

x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 x 2 y 2

z 2

z 2

cos 2

cos 2

cos 2

1 ； sin

2 sin 2

sin 2

2 .

4. 向量 a

( x a , y a , z a ) 与

b ( x b , y b , z b )

垂直的判定：

a ba

b 0

x a x b x b y b z a z b

0 .

5. 向量

a

( x a , y a , z a ) 与

b ( x b , y b , z b )

平行的判定：