高三数学一轮复习 函数的值域、函数教案
高考一轮复习精品教案函数的值域
学习必备 欢迎下载第二讲 函数第3课时：函数的值域一．课标要求1、教学目标：理解函数值域的意义；掌握常见题型求值域的方法，了解函数值域的一些应用2、教学重点：求函数的值域二．要点精讲求函数的值域是较困难的数学问题，中学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。
1、基本初等函数的值域：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数。
2、求函数值域的方法：（1）直接法：初等函数或初等函数的复合函数，从自变量x 的范围出发，推出y=f(x)的取值范围；（2）二次函数法：形如()()()F x af x bf x c =++的函数利用换元法将函数转化为二次函数求值域；（3）换元法：代数换元，三角换元，均值换元等。
（4）反表示法：将求函数的值域转化为求它的反函数的值域；（5）判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y 的取值范围；（6）单调性法：利用函数在定义域上的单调性求值域；（7）基本不等式法：利用各基本不等式求值域；（8）图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域；（9）求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值，再得值域；（10）几何意义法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域。
【课前预习】1、（2010重庆文数）（4）函数y =（A ）[0,)+∞ （B ）[0,4]（C ）[0,4) （D ）(0,4)解析：[)40,0164160,4x x >∴≤-< 答案：C2、（2009宁夏海南卷理）用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值( ) 设f （x ）=min{2x , x+2,10-x} (x ≥ 0),则f （x ）的最大值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7答案 C3．【08年四川延考卷文14】函数2()cos f x x x =-的最大值是____________．（提示： x ≤2cos 0x ≥，2()cos f x x x ⇒=-≤sin 1,cos 0x x ==时取等号。
高考数学复习 第10课时 第二章 函数-函数的值域名师精品教案 教案
第10课时：第二章 函数——函数的值域一．课题：函数的值域二．教学目标：理解函数值域的意义；掌握常见题型求值域的方法，了解函数值域的一些应用．三．教学重点：求函数的值域． 四．教学过程： （一）主要知识：1．函数的值域的定义；2．确定函数的值域的原则；3．求函数的值域的方法． （二）主要方法（范例分析以后由学生归纳）：求函数的值域的方法常用的有：直接法，配方法，判别式法，基本不等式法，逆求法（反函数法），换元法，图像法，利用函数的单调性、奇偶性求函数的值域等． （三）例题分析： 例1．求下列函数的值域：（1）232y x x =-+； （2）y ； （3）312x y x +=-；（4）y x =+ （5）y x =+ （6）|1||4|y x x =-++；（7）22221x x y x x -+=++； （8）2211()212x x y x x -+=>-； （9）1sin 2cos xy x-=-解：（1）（一）公式法（略）（二）（配方法）2212323323()61212y x x x =-+=-+≥， ∴232y x x =-+的值域为23[,)12+∞．改题：求函数232y x x =-+，[1,3]x ∈的值域．解：（利用函数的单调性）函数232y x x =-+在[1,3]x ∈上单调增，∴当1x =时，原函数有最小值为4；当3x =时，原函数有最大值为26． ∴函数232y x x =-+，[1,3]x ∈的值域为[4,26]．（2）求复合函数的值域：设265x x μ=---（0μ≥），则原函数可化为y ．又∵2265(3)44x x x μ=---=-++≤，∴04μ≤≤[0,2]，∴y =的值域为[0,2]． （3）（法一）反函数法：312x y x +=-的反函数为213x y x +=-，其定义域为{|3}x R x ∈≠， ∴原函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠． （法二）分离变量法：313(2)773222x x y x x x +-+===+---， ∵702x ≠-，∴7332x +≠-， ∴函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠． （4）换元法（代数换元法）：设0t =，则21x t =-，∴原函数可化为2214(2)5(0)y t t t t =-+=--+≥，∴5y ≤， ∴原函数值域为(,5]-∞．说明：总结y ax b =++2y ax b =+2y ax b =++（5）三角换元法：∵21011x x -≥⇒-≤≤，∴设cos ,[0,]x ααπ=∈，则cos sin )4y πααα=+=+∵[0,]απ∈，∴5[,]444πππα+∈，∴sin()[4πα+∈，)[4πα+∈-，∴原函数的值域为[-．（6）数形结合法：23(4)|1||4|5(41)23(1)x x y x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩，∴5y ≥， ∴函数值域为[5,)+∞．（7）判别式法：∵210x x ++>恒成立，∴函数的定义域为R ．由22221x x y x x -+=++得：2(2)(1)20y x y x y -+++-= ①①当20y -=即2y =时，①即300x +=，∴0x R =∈②当20y -≠即2y ≠时，∵x R ∈时方程2(2)(1)20y x y x y -+++-=恒有实根， ∴22(1)4(2)0y y =+-⨯-≥，∴15y ≤≤且2y ≠， ∴原函数的值域为[1,5]．（8）2121(21)111121212121222x x x x y x x x x x x -+-+===+=-++----，∵12x >，∴102x ->，∴112122x x -+≥-112122x x -=-时，即12x +=时等号成立．∴12y ≥，∴原函数的值域为1,)2+∞．（9）（法一）方程法：原函数可化为：sin cos 12x y x y -=-，)12x y ϕ-=-（其中cos ϕϕ==），∴sin()[1,1]x ϕ-=-，∴|12|y -≤2340y y -≤，∴403y ≤≤， ∴原函数的值域为4[0,]3．（法二）数形结合法：可看作求点(2,1)与圆221x y +=上的点的连线的斜率的范围，解略． 例2．若关于x 的方程|3|2(22)3x a ---=+有实数根，求实数a 的取值范围． 解：原方程可化为|3|2(22)3x a --=--，令|3|2x t --=，则01t <≤，2()(2)3a f t t ==--，又∵()a f t =在区间(0,1]上是减函数，∴(1)()(0)f f t f ≤<，即2()1f t -≤<， 故实数a 的取值范围为：21a -≤<．例3．（《高考A 计划》考点9，智能训练16）某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2003年度进行一系列的促销活动．经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费用t 万元(0)t ≥之间满足：3x -与1t +成反比例；如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2003年，生产化妆品的固定投入为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元．当将每件化妆品的售价定为“年平均每件成本的150％”与“年平均每件所占促销费的一半”之和，则当年产销量相等．（1）将2003年的年利润y 万元表示为年促销费t 万元的函数； （2）该企业2003年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？ （注：利润＝收入－生产成本－促销费）解：（1）由题设知：31k x t -=+，且0t =时，1x =，∴2k =，即231x t =-+， ∴年生产成本为2[32(3)3]1t -++万元，年收入为21150%[32(3)3]12t t -+++．∴年利润212{150%[32(3)3]}[32(3)3](0)121y t t t t t =-++--+-≥++，∴29835(0)2(1)t t y t t -++=≥+． （2）由（1）得2(1)100(1)6413250()50422(1)21t t t y t t -+++-+==-+≤-=++，当且仅当13221t t +=+，即7t =时，y 有最大值42． ∴当促销费定为7万元时，2003年该化妆品企业获得最大利润．（四）巩固练习：1．函数221xx y =+的值域为(0,1)．2．若函数()log a f x x =在[2,4]上的最大值与最小值之差为2，则a=。
高三数学一轮复习教案(函数全)
函数（一）函数1．了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域.2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。
3．了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。
4．理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性。
5．理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值.6．会运用函数图像理解和研究函数的性质.（二）指数函数1．了解指数函数模型的实际背景。
2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
3．理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题。
4．知道指数函数是一类重要的函数模型。
（三）对数函数1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。
2．理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题.3．知道对数函数是一类重要的函数模型.4．了解指数函数与对数函数互为反函数（）。
（四）幂函数1．了解幂函数的概念。
2．结合函数的图像，了解它们的变化情况。
（五）函数与方程1．了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。
2．理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。
能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数.（六）函数模型及其应用1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。
知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。
2．了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。
3．能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。
定义定义域区间对应法则值域一元二次函数一元二次不等式映射函数性质奇偶性单调性周期性指数函数根式分数指数指数函数的图像和性质指数方程对数方程反函数互为反函数的函数图像关系对数函数对数对数的性质积、商、幂与根的对数对数恒等式和不等式常用对数自然对数对数函数的图像和性质函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势.考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.函数概念（一）知识梳理1．映射的概念设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为B A f →: ，f 表示对应法则 注意：⑴A 中元素必须都有象且唯一；⑵B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。
2019-2020年高考数学一轮复习函数的值域精品教案苏教版必修1
2019-2020年高考数学一轮复习函数的值域精品教案苏教版必修1一．课标要求1、教学目标：理解函数值域的意义；掌握常见题型求值域的方法，了解函数值域的一些应用2、教学重点：求函数的值域二．要点精讲求函数的值域是较困难的数学问题，中学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。
1、基本初等函数的值域：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数。
2、求函数值域的方法：（1）直接法：初等函数或初等函数的复合函数，从自变量x 的范围出发，推出y=f(x)的取值范围；（2）二次函数法：形如()()()F x af x bf x c =++的函数利用换元法将函数转化为二次函数求值域；（3）换元法：代数换元，三角换元，均值换元等。
（4）反表示法：将求函数的值域转化为求它的反函数的值域；（5）判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y 的取值范围；（6）单调性法：利用函数在定义域上的单调性求值域；（7）基本不等式法：利用各基本不等式求值域；（8）图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域；（9）求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值，再得值域；（10）几何意义法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域。
【课前预习】1、（2010重庆文数）（4）函数y =（A ）[0,)+∞ （B ）[0,4]（C ）[0,4) （D ）(0,4)解析：[)40,0164160,4x x >∴≤-< 答案：C2、（2009宁夏海南卷理）用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值( ) 设f （x ）=min{2x , x+2,10-x} (x ≥ 0),则f （x ）的最大值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7答案 C3．【08年四川延考卷文14】函数2()cos f x x x =-的最大值是____________．（提示： x ≤2cos 0x ≥，2()cos f x x x ⇒=-≤sin 1,cos 0x x ==时取等号。
高三数学一轮复习 第2篇 函数的值域与解析式学案 理
第十一 课时 函数的值域与解析式课前预习案1.了解求函数值域的方法，会求一些简单函数的值域；2.会求一些简单函数的解析式．1.函数的值域．（1）在函数()y f x =中，与自变量x 的值相对应的y 的值叫 ， 叫做函数的值域． （2）基本初等函数的值域：①(0)y kx b k =+≠的值域是 ．②2(0)y ax bx c a =++≠的值域是：当0a >时，值域为 ；当0a <时，值域为 ． ③(0)ky k x=≠的值域是 ． ④(0xy a a =>且1)a ≠的值域是 ． ⑤log a y x =(0a >且1)a ≠的值域是 ． ⑥sin y x =，cos y x =的值域是 ． ⑦tan y x =的值域是 ． 2.函数解析式的求法 （1）换元法； （2）待定系数法； （3）解方程法；（4）配凑法或赋值法．1.函数22y x x =-的定义域是{}0,1,2，则该函数的值域为（ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1,2C ．{}|10y x -≤≤D ．{}|02y x ≤≤2.函数212y x =+的值域为（ ） A ．RB ．1|2y y ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ C ．1|2y y ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭D ．1|02y y ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭3.函数2()log (31)xf x =+的值域为 ．为实数，则函数235y x x =+-的值域是 ．课堂探究案考点1 求函数的值域【典例1】求下列函数的值域： （1）[]22(0,3)y x x x =+∈； （2）31x y x -=+；（3）y x =-（4）3log log 31x y x =+-．【变式1】（1）函数y = ） A ．[)0,+∞B ．[]0,4C ．[)0,4D ．(0,4)（2）设()f x 的定义域为D ，若()f x 满足下面两个条件，则称()f x 为闭函数：①()f x 在D 内是单调函数；②存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为[],a b ．如果()f x k =为闭函数，那么k 的取值范围是（ ） A ．1k <B ．112k ≤<C ．1k >-D ．112k -<≤-考点2 求函数的解析式【典例2】（1）已知1)f x =+，求()f x ；（2）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x 的解析式； （3）已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x ．【变式2】（1）若2(1)21f x x +=+，则()f x = ； （2）若函数()xf x ax b=+，(2)1f =，又方程()f x x =有唯一解，则()f x = ； （3）已知2(1)lg f x x+=，求()f x 的解析式．考点3 函数的定义域、值域及解析式的综合应用【典例3】已知二次函数2()f x ax bx =+（a 、b 是常数，且0a ≠）满足条件：(2)0f =，且方程()f x x =有两个相等实根． （1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数m 、n （m n <），使()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n ？如存在，求出m 、n 的值；如不存在，说明理由．【变式3】已知函数4()1||2f x x =-+的定义域是[],a b (,)a b Z ∈，值域是[]0,1，则满足条件的整数数对(,)a b 共有 个．1．函数2211x y x-=+的值域为（ ） A ．[1,1]- B ．(1,1]- C ．[1,1)- D ．(,1][1,)-∞-+∞U2．在二次函数c b a c bx ax x f ,,,)(2中++=成等比数列，且4)0(-=f ，则 （ ）A ．)(x f 有最大值2B ．)(x f 有最小值1C ．)(x f 有最小值-1D ．)(x f 有最大值-33.函数[])4,0x (x 4x 2y 2∈--=的值域是 （ ） A ．[]2,2- B. []2,1 C. []2,0 D. []2,2-4.函数]1,0[)1(log )(在++=x a x f a x 上的最大值与最小值之和为a，则a 的值为 .课后拓展案组全员必做题1.函数21y x =-的定义域是[)(,1)2,5-∞U ，则其值域是（ ） A ．1(,0),22⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦U B ．(],2-∞C ．[)1(,)2,2-∞+∞U D ．(0,)+∞2.函数2()(2)2(2)4f x a x a x =-+--的定义域为R ，值域为(],0-∞，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),2-∞ B ．(],2-∞ C ．{}2- D ．[)2,2-3.下列四个函数：①3y x =；②3, 0,2, 0;x x y x x ≥⎧=⎨<⎩③45()y x x Z =-+∈；④267y x x =-+．其中值域相同的是（ ） A ．①② B ．①③C ．②③D ．②④4.已知2211()11x x f x x--=++，则()f x 的解析式为（ ） A ．21xx + B ．221xx -+ C ．221x x + D ．21xx -+5.设函数231,1,()||,1,x x f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩若[](0)4f f <，则a 的取值范围是（ ）A ．(6,4)--B ．(4,0)-C ．(4,4)-D ．3(0,)4组提高选做题1.已知,0,(),0,x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩则不等式()2x xf x +≤的解集是 ．2.已知函数()21f x x =-，2, 0,()1, 0,x x g x x ⎧≥=⎨-<⎩求()f g x ⎡⎤⎣⎦和()g f x ⎡⎤⎣⎦的解析式．参考答案1.A2.D3.(0,)+∞4.[)5,-+∞【典例1】解：（1）函数解析式可整理为2(1)1y x =+-， ∵2(1)1y x =+-在[]0,3上为增函数，∴015y ≤≤，即值域为[]0,15．（2）34111x y x x -==-++， ∵401x ≠+，∴4111x -≠+， ∴值域为{}|1y y ≠．（3t =，则0t ≥，且212t x -=．∴212t y t -=-21(1)12t =-++．∵0t ≥，∴12y ≤，即值域为1(,]2-∞． （4）定义域为{}|01x x x >≠且． 当1x >时，3log 0x >， ∴331log 1log y x x =+-11≥=， 当01x <<时，3log 0x <， ∴331log 1log y x x =+-331(log )13log x x=--+-≤--． ∴值域为(][),31,-∞-+∞U ． 【变式1】（1）C （2）D 【典例2】解：（1）1)2)f =111)=-+，∴()(1)(1)f x x x =-+，即()f x 21x =-． （2）设()(0)f x ax b a =+≠，∴(1)f x ax a b +=++，(1)f x ax a b -=-+， ∴333222217ax a b ax a b x ++-+-=+，即5217ax a b x ++=+．∴2,517.a a b =⎧⎨+=⎩∴2,7.a b =⎧⎨=⎩∴()27f x x =+．（3）12()()3,132()().f x f x x f f x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得1()2f x x x =-．【变式2】（1）2243x x -+ （2）22xx + （3）解：令21t x +=，则21x t =-， ∴2()lg 1f t t =-，∴2()lg 1f x x =-．【典例3】解：（1）2ax bx x +=，∴2(1)0ax b x +-=．∴2(1)400b a ∆=--⋅=，∴1b =． 又(2)420f a =+=，∴12a =-， ∴21()2f x x x =-+． （2）假设存在实数m 、n 满足条件．由（1）知21()2f x x x =-+2111(1)222x =--+≤，则122n ≤，即14n ≤．∵211()(1)22f x x =--+的对称轴为1x =，∴14n ≤时，()f x 在[],m n 上为增函数，∴()2,()2.f m m f n n =⎧⎨=⎩即2212,212.2m m m n n n ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩∴20,20.m n =-⎧⎨=-⎩或或 又14m n <≤，∴2,0.m n =-⎧⎨=⎩∴存在实数2m =-，0n =使()f x 定义域为[,]m n ，值域为[2,2]m n ． 【变式3】51．【答案】B【解析】方法一（分离变量）：2222212(1)21111x x y x x x --+===-+++，∵211x +≥，∴22(0,2]1x∈+，∴221(1,1]1y x=-∈-+，故选B. 方法二（有界性）：由2211x y x -=+解得211y x y -=+，由20x ≥即101y y-≥+解得11y -<≤，即函数的值域为(1,1]-.2．【答案】D【解析】由已知得：2b ac =(0)b ≠，且(0)f c =，故有4c =-，24b a =-，∴204b a =-<，二次函数开口向下，222()4(1)342b b f x x bx x =-+-=---，∴当2x b=时，)(x f 取得最大值-3.故选D.3.【答案】C【解析】y 22==2(2)4t x =--+，则在[0,2]上，t 为单调增函数，在[2,4]上，t 为单调减函数，而(2)4t =，(0)(4)0t t ==，故t 的最大值为4，最小值为0，即[0,4]t ∈.而2[0,2]y =.故选C. 4.【答案】12【解析】若01a <<，函数()f x 为减函数，最小值为(1)log 2a f a =+，最大值为(0)1f =，由(1)(0)log 21a f f a a +=++=，解得12a =； 若1a >，函数()f x 为增函数，最小值为(0)1f =，最大值为(1)log 2a f a =+，由(1)(0)1log 2a f f a a +=++=，解得112a =<，不合题意； 由以上可得12a =.组全员必做题1.A2.C3.A4.C5.B组提高选做题1.(],1-∞2.解：[]221,0,()3,0.x x f g x x ⎧-≥=⎨-<⎩[]21(21),,2()11,.2x x g f x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩。
高三数学第一轮复习教案(第二章函数12课时)
第二章 函数第1课时 函数的概念一．课题：函数的概念二．教学目标：了解映射的概念,在此基础上加深对函数概念的理解；能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数；理解分段函数的意义．三．教学重点：函数是一种特殊的映射,而映射是一种特殊的对应；函数的三要素中对应法则是核心，定义域是灵魂．四．教学过程： （一）主要知识：1．对应、映射、像和原像、一一映射的定义； 2．函数的传统定义和近代定义； 3．函数的三要素及表示法． （二）主要方法：1．对映射有两个关键点：一是有象，二是象惟一，缺一不可；2．对函数三要素及其之间的关系给以深刻理解，这是处理函数问题的关键； 3．理解函数和映射的关系，函数式和方程式的关系．（三）例题分析： 例1．（1）A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=； （2）*{|2,}A x x x N =≥∈，{}|0,B y y y N =≥∈，2:22f x y x x →=-+；（3）{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y →= 上述三个对应（2）是A 到B 的映射．例2．已知集合{}(,)|1M x y x y =+=，映射:f M N →，在f 作用下点(,)x y 的象是(2,2)x y ，则集合N = （ D ）()A {}(,)|2,0,0x y x y x y +=>> ()B {}(,)|1,0,0x y xy x y =>> ()C {}(,)|2,0,0x y xy x y =<< ()D {}(,)|2,0,0x y xy x y =>>解法要点：因为2x y +=，所以2222xyx y+⋅==．例3．设集合{1,0,1}M =-，{2,1,0,1,2}N =--，如果从M 到N 的映射f 满足条件：对M 中的每个元素x 与它在N 中的象()f x 的和都为奇数，则映射f 的个数是 （ D ）()A 8个 ()B 12个 ()C 16个 ()D 18个解法要点：∵()x f x +为奇数，∴当x 为奇数1-、1时，它们在N 中的象只能为偶数2-、0或2，由分步计数原理和对应方法有239=种；而当0x =时，它在N 中的象为奇数1-或1，共有2种对应方法．故映射f 的个数是9218⨯=．例4．矩形ABCD 的长8AB =，宽5AD =，动点E 、F 分别在BC 、CD 上，且CE CF x ==，（1）将AEF ∆的面积S 表示为x 的函数()f x ，求函数()S f x =的解析式； （2）求S 的最大值．解：（1）2111()408(5)5(8)222ABCD CEF ABE ADF S f x S S S S x x x ∆∆∆==---=--⨯⨯--⨯⨯-22113113169()22228x x x =-+=--+．∵CE CB CD ≤≤，∴05x <≤，∴函数()S f x =的解析式：2113169()()(05)228S f x x x ==--+<≤； （2）∵()f x 在(]0,5x ∈上单调递增，∴max (5)20S f ==，即S 的最大值为20．例5．函数()f x 对一切实数x ，y 均有()()(21)f x y f y x y x +-=++成立，且(1)0f =， （1）求(0)f 的值；（2）对任意的11(0,)2x ∈，21(0,)2x ∈，都有12()2log a f x x +<成立时，求a 的取值范围． 解：（1）由已知等式()()(21)f x y f y x y x +-=++，令1x =，0y =得(1)(0)2f f -=， 又∵(1)0f =，∴(0)2f =-．（2）由()()(21)f x y f y x y x +-=++，令0y =得()(0)(1)f x f x x -=+，由（1）知(0)2f =-，∴2()2f x x x +=+．∵11(0,)2x ∈，∴22111111()2()24f x x x x +=+=+-在11(0,)2x ∈上单调递增，∴13()2(0,)4f x +∈．要使任意11(0,)2x ∈，21(0,)2x ∈都有12()2log a f x x +<成立，当1a >时，21log log 2a ax <,显然不成立． 当01a <<时，21log log 2a a x >，∴0113log 24a a <<⎧⎪⎨≥⎪⎩1a ≤< ∴a的取值范围是．（四）巩固练习：1．给定映射:(,)(2,)f x y x y xy →+，点11(,)66-的原象是11(,)32-或12(,)43-．2．下列函数中，与函数y x =相同的函数是（ C ）()A 2x y x= ()B 2y = ()C lg10xy =()D 2log 2xy =3．设函数3,(10)()((5)),(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(5)f ＝8．五．课后作业：《高考A 计划》考点7，智能训练5，7，9，10，13，14．第2课时 函数的解析式及定义域一．课题：函数的解析式及定义域二．教学目标：掌握求函数解析式的三种常用方法：待定系数法、配凑法、换元法，能将一些简单实际问题中的函数的解析式表示出来；掌握定义域的常见求法及其在实际中的应用．三．教学重点：能根据函数所具有的某些性质或所满足的一些关系，列出函数关系式；含字母参数的函数，求其定义域要对字母参数分类讨论；实际问题确定的函数，其定义域除满足函数有意义外，还要符合实际问题的要求．四．教学过程：（一）主要知识：1．函数解析式的求解；2．函数定义域的求解． （二）主要方法：1．求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法； （5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等． 2．求函数定义域一般有三类问题：（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义； （3）已知()f x 的定义域求[()]f g x 的定义域或已知[()]f g x 的定义域求()f x 的定义域： ①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；②若已知()f x 的定义域[],a b ，其复合函数[]()f g x 的定义域应由()a g x b ≤≤解出． （三）例题分析： 例1．已知函数1()1xf x x+=-的定义域为A ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为B ，则 ()A A B B = ()B A B ≠⊂ ()C A B = ()D A B B = （ D ）解法要点：{}|1A x x =≠，121[()]()(1)11x y f f x f f x x x+===-+=---， 令2111x-+≠-且1x ≠，故{}{}|1|0B x x x x =≠≠ ． 例2．（1）已知3311()f x x x x+=+，求()f x ；（2）已知2(1)lg f x x+=，求()f x ；（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；（4）已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x ．解：（1）∵3331111()()3()f x x x x x x x x +=+=+-+，∴3()3f x x x =-（2x ≥或2x ≤-）．（2）令21t x +=（1t >），则21x t =-，∴2()lg 1f t t =-，∴2()lg(1)1f x x x =>-．（3）设()(0)f x ax b a =+≠，则3(1)2(1)3332225217f x f x ax a b ax a b ax b a x +--=++-+-=++=+， ∴2a =，7b =，∴()27f x x =+．（4）12()()3f x f x x += ①， 把①中的x 换成1x ，得132()()f f x x x+= ②， ①2⨯-②得33()6f x x x =-，∴1()2f x x x=-． 注：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法． 例3．设函数2221()log log (1)log ()1x f x x p x x +=+-+--， （1）求函数的定义域；（2）问()f x 是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由．解：（1）由101100x x x p x +⎧>⎪-⎪⎨->⎪->⎪⎩，解得1x x p >⎧⎨<⎩ ①当1p ≤时，①不等式解集为φ；当1p >时，①不等式解集为{}|1x x p <<， ∴()f x 的定义域为(1,)(1)p p >．（2）原函数即22221(1)()log [(1)()]log [()]24p p f x x p x x -+=+-=--+， 当112p -≤，即13p <≤时，函数()f x 既无最大值又无最小值； 当112p p -<<，即3p >时，函数()f x 有最大值22log (1)2p +-，但无最小值． 例4．《高考A 计划》考点8，智能训练15：已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数()(11)y f x x =-≤≤是奇函数．又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x =时函数取得最小值5-．①证明：(1)(4)0f f +=；②求(),[1,4]y f x x =∈的解析式；③求()y f x =在[4,9]上的解析式． 解：∵()f x 是以5为周期的周期函数，∴(4)(45)(1)f f f =-=-， 又∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(1)(1)(4)f f f =--=-， ∴(1)(4)0f f +=．②当[1,4]x ∈时，由题意可设2()(2) 5 (0)f x a x a =-->，由(1)(4)0f f +=得22(12)5(42)50a a --+--=，∴2a =，∴2()2(2)5(14)f x x x =--≤≤．③∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(0)0f =，又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，∴可设()(01)f x kx x =≤≤，而2(1)2(12)53f =--=-，∴3k =-，∴当01x ≤≤时，()3f x x =-，从而当10x -≤<时，()()3f x f x x =--=-，故11x -≤≤时，()3f x x =-．∴当46x ≤≤时，有151x -≤-≤，∴()(5)3(5)315f x f x x x =-=--=-+． 当69x <≤时，154x <-≤，∴22()(5)2[(5)2]52(7)5f x f x x x =-=---=--∴2315,46()2(7)5,69x x f x x x -+≤≤⎧=⎨--<≤⎩． 例5．我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采取价格调控等手段来达到节约用水的目的，某地用水收费的方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗费．若每月用水量不超过最低限量a 3m 时，只付基本费8元和每月每户的定额损耗费c 元；若用水量超过a 3m 时，除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每3m 付b 元的超额费．已知每户每月的定额损耗费不超过5元．解：设每月用水量为x 3m ，支付费用为y 元，则有8,0(1)8(),(2)c x ay b x a c x a+≤≤⎧=⎨+-+>⎩由表知第二、第三月份的水费均大于13元，故用水量153m ，223m 均大于最低限量a 3m ，于是就有198(15)338(22)b a c b a c=+-+⎧⎨=+-+⎩，解之得2b =，从而219 (3)a c =+ 再考虑一月份的用水量是否超过最低限量a 3m ，不妨设9a >，将9x =代入（2）式，得982(9)a c =+-+，即217a c =+，这与（3）矛盾．∴9a ≤．从而可知一月份的付款方式应选（1）式，因此，就有89c +=，得1c =． 故10a =，2b =，1c =． （四）巩固练习：1．已知2()f x 的定义域为[1,1]-，则(2)xf 的定义域为(,0]-∞．2．函数1sin 21sin 2xy x +=-的定义域为{|(1),}6k x x k k Z ππ≠+-∈． 五．课后作业：《高考A 计划》考点8，智能训练4，5，10，11，12，13．第3课时 函数的值域一．课题：函数的值域二．教学目标：理解函数值域的意义；掌握常见题型求值域的方法，了解函数值域的一些应用． 三．教学重点：求函数的值域． 四．教学过程： （一）主要知识：1．函数的值域的定义；2．确定函数的值域的原则；3．求函数的值域的方法． （二）主要方法（范例分析以后由学生归纳）：求函数的值域的方法常用的有：直接法，配方法，判别式法，基本不等式法，逆求法（反函数法），换元法，图像法，利用函数的单调性、奇偶性求函数的值域等． （三）例题分析：例1．求下列函数的值域：（1）232y x x =-+； （2）y =； （3）312x y x +=-；（4）y x =+ （5）y x = （6）|1||4|y x x =-++；（7）22221x x y x x -+=++； （8）2211()212x x y x x -+=>-； （9）1sin 2cos x y x -=-．解：（1）（一）公式法（略）（二）（配方法）2212323323()61212y x x x =-+=-+≥ ， ∴232y x x =-+的值域为23[,)12+∞． 改题：求函数232y x x =-+，[1,3]x ∈的值域．解：（利用函数的单调性）函数232y x x =-+在[1,3]x ∈上单调增，∴当1x =时，原函数有最小值为4；当3x =时，原函数有最大值为26． ∴函数232y x x =-+，[1,3]x ∈的值域为[4,26]．（2）求复合函数的值域：设265x x μ=---（0μ≥），则原函数可化为y ．又∵2265(3)44x x x μ=---=-++≤，∴04μ≤≤[0,2]，∴y =的值域为[0,2]． （3）（法一）反函数法：312x y x +=-的反函数为213x y x +=-，其定义域为{|3}x R x ∈≠， ∴原函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠． （法二）分离变量法：313(2)773222x x y x x x +-+===+---， ∵702x ≠-，∴7332x +≠-， ∴函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠．（4）换元法（代数换元法）：设0t ≥，则21x t =-，∴原函数可化为2214(2)5(0)y t t t t =-+=--+≥，∴5y ≤， ∴原函数值域为(,5]-∞．说明：总结y ax b =+2y ax b =+2y ax b =+（5）三角换元法：∵21011x x -≥⇒-≤≤，∴设cos ,[0,]x ααπ=∈，则cos sin )4y πααα=+=+∵[0,]απ∈，∴5[,]444πππα+∈，∴sin()[42πα+∈-)[4πα+∈-，∴原函数的值域为[1-．（6）数形结合法：23(4)|1||4|5(41)23(1)x x y x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩，∴5y ≥，∴函数值域为[5,)+∞．（7）判别式法：∵210x x ++>恒成立，∴函数的定义域为R ．由22221x x y x x -+=++得：2(2)(1)20y x y x y -+++-= ①①当20y -=即2y =时，①即300x +=，∴0x R =∈②当20y -≠即2y ≠时，∵x R ∈时方程2(2)(1)20y x y x y -+++-=恒有实根，∴22(1)4(2)0y y =+-⨯-≥ ，∴15y ≤≤且2y ≠， ∴原函数的值域为[1,5]．（8）2121(21)11112121212122x x x xy x x x x x x -+-+===+=-++----，∵12x >，∴102x ->，∴112122x x -+≥=-当且仅当112122x x -=-时，即12x +=时等号成立．∴12y ≥，∴原函数的值域为1,)2+∞．（9）（法一）方程法：原函数可化为：sin cos 12x yx y -=-，)12x y ϕ-=-（其中cos ϕϕ==， ∴sin()[1,1]x ϕ-=-，∴|12|y -≤2340y y -≤，∴403y ≤≤，∴原函数的值域为4[0,]3．（法二）数形结合法：可看作求点(2,1)与圆221x y +=上的点的连线的斜率的范围，解略． 例2．若关于x 的方程|3|2(22)3x a ---=+有实数根，求实数a 的取值范围． 解：原方程可化为|3|2(22)3x a --=--， 令|3|2x t --=，则01t <≤，2()(2)3a f t t ==--，又∵()a f t =在区间(0,1]上是减函数，∴(1)()(0)f f t f ≤<，即2()1f t -≤<，故实数a 的取值范围为：21a -≤<．例3．（《高考A 计划》考点9，智能训练16）某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2003年度进行一系列的促销活动．经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费用t 万元(0)t ≥之间满足：3x -与1t +成反比例；如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件． 已知2003年，生产化妆品的固定投入为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元．当将每件化妆品的售价定为“年平均每件成本的150％”与“年平均每件所占促销费的一半”之和，则当年产销量相等．（1）将2003年的年利润y 万元表示为年促销费t 万元的函数；（2）该企业2003年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？ （注：利润＝收入－生产成本－促销费）解：（1）由题设知：31k x t -=+，且0t =时，1x =，∴2k =，即231x t =-+， ∴年生产成本为2[32(3)3]1t -++万元，年收入为21150%[32(3)3]12t t -+++． ∴年利润212{150%[32(3)3]}[32(3)3](0)121y t t t t t =-++--+-≥++， ∴29835(0)2(1)t t y t t -++=≥+．（2）由（1）得2(1)100(1)6413250()50422(1)21t t t y t t -+++-+==-+≤-=++，当且仅当13221t t +=+，即7t =时，y 有最大值42． ∴当促销费定为7万元时，2003年该化妆品企业获得最大利润．（四）巩固练习：1．函数221xx y =+的值域为(0,1)．2．若函数()log a f x x =在[2,4]上的最大值与最小值之差为2，则a =2五．课后作业：《高考A 计划》考点1，智能训练3，4，9，12，13，14．第4课时 函数的奇偶性一．课题：函数的奇偶性二．教学目标：掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决问题．三．教学重点：函数的奇偶性的定义及应用． 四．教学过程： （一）主要知识：1．函数的奇偶性的定义； 2．奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称； 3．()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=．4．若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =． （二）主要方法：1．判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；2．牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；3．判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-． 4．设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶 偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇． 5．注意数形结合思想的应用． （三）例题分析：例1．判断下列各函数的奇偶性：（1）()(f x x =-（2）22lg(1)()|2|2x f x x -=--；（3）22(0)()(0)x x x f x x xx ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩．解：（1）由101xx +≥-，得定义域为[1,1)-，关于原点不对称，∴()f x 为非奇非偶函数． （2）由2210|2|20x x ⎧->⎪⎨--≠⎪⎩得定义域为(1,0)(0,1)- ，∴22lg(1)()(2)2x f x x -=---22lg(1)x x -=-， ∵2222lg[1()]lg(1)()()x x f x x x----=-=--()f x = ∴()f x 为偶函数 （3）当0x <时，0x ->，则22()()()()f x x x x x f x -=---=-+=-，当0x >时，0x -<，则22()()()()f x x x x x f x -=--=--+=-，综上所述，对任意的(,)x ∈-∞+∞，都有()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数．例2．已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+， （1）求证：()f x 是奇函数；（2）若(3)f a -=，用a 表示(12)f ．解：（1）显然()f x 的定义域是R ，它关于原点对称．在()()()f x y f x f y +=+中， 令y x =-，得(0)()()f f x f x =+-，令0x y ==，得(0)(0)(0)f f f =+，∴(0)0f =， ∴()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-， ∴()f x 是奇函数． （2）由(3)f a -=，()()()f x y f x f y +=+及()f x 是奇函数， 得(12)2(6)4(3)4(3)4f f f f a ===--=-．例3．（1）已知()f x 是R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，()(1f x x =，则()f x的解析式为(10()(10x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩．（2） （《高考A 计划》考点3“智能训练第4题”）已知()f x 是偶函数，x R ∈，当0x >时，()f x 为增函数，若120,0x x <>，且12||||x x <，则 （ B ）A .12()()f x f x ->-B .12()()f x f x -<-C .12()()f x f x ->-D . 12()()f x f x -<-例4．设a 为实数，函数2()||1f x x x a =+-+，x R ∈． （1）讨论()f x 的奇偶性； （2）求 ()f x 的最小值．解：（1）当0a =时，2()()||1()f x x x f x -=-+-+=，此时()f x 为偶函数；当0a ≠时，2()1f a a =+，2()2||1f a a a -=++，∴()(),()(),f a f a f a f a -≠-≠- 此时函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数．（2）①当x a ≤时，函数2213()1()24f x x x a x a =-++=-++， 若12a ≤，则函数()f x 在(,]a -∞上单调递减，∴函数()f x 在(,]a -∞上的最小值为2()1f a a =+； 若12a >，函数()f x 在(,]a -∞上的最小值为13()24f a =+，且1()()2f f a ≤．②当x a ≥时，函数2213()1()24f x x x a x a =+-+=+-+，若12a ≤-，则函数()f x 在[,)a +∞上的最小值为13()24f a -=-，且1()()2f f a -≤；若12a >-，则函数()f x 在[,)a +∞上单调递增，∴函数()f x 在[,)a +∞上的最小值2()1f a a =+．综上，当12a ≤-时，函数()f x 的最小值是34a -，当1122a -<≤时，函数()f x 的最小值是21a +，当12a >，函数()f x 的最小值是34a +．例5．（《高考A 计划》考点3“智能训练第15题”）已知()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足(2)()f x f x +=-，且[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-， （1）求[2,0]x ∈-时，()f x 的表达式；（2）证明()f x 是R 上的奇函数． （参见《高考A 计划》教师用书57P ）（四）巩固练习：《高考A 计划》考点10智能训练6．五．课后作业：《高考A 计划》考点10，智能训练2，3， 8，9，10，11，13．第5课时 函数的单调性一．课题：函数的单调性二．教学目标：理解函数单调性的定义，会用函数单调性解决一些问题． 三．教学重点：函数单调性的判断和函数单调性的应用． 四．教学过程： （一）主要知识：1．函数单调性的定义；2．判断函数的单调性的方法；求函数的单调区间； 3．复合函数单调性的判断． （二）主要方法：1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集； 2．判断函数的单调性的方法有：（1）用定义；（2）用已知函数的单调性；（3）利用函数的导数． 3．注意函数的单调性的应用；4．注意分类讨论与数形结合的应用． （三）例题分析：例1．（1）求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间；（2）已知2()82,f x x x =+-若2()(2)g x f x =-试确定()g x 的单调区间和单调性． 解：（1）单调增区间为：(2,),+∞单调减区间为(,1)-∞， （2）222()82(2)(2)g x x x =+---4228x x =-++，3()44g x x x '=-+， 令 ()0g x '>，得1x <-或01x <<，令 ()0g x '<，1x >或10x -<< ∴单调增区间为(,1),(0,1)-∞-；单调减区间为(1,),(1,0)+∞-．例2．设0a >，()x x e af x a e=+是R 上的偶函数． （1）求a 的值；（2）证明()f x 在(0,)+∞上为增函数．解：（1）依题意，对一切x R ∈，有()()f x f x -=，即1x xx xe a ae ae a e +=+ ∴11()()x x a e a e --0=对一切x R ∈成立，则10a a-=，∴1a =±，∵0a >，∴1a =．（2）设120x x <<，则12121211()()x xx x f x f x e e e e -=-+-2121121122111()(1)(1)x x x x x x x x x x x e e e e e e e+-++-=--=-，由12210,0,0x x x x >>->，得21120,10x xx x e -+>->，2110x x e +-<，∴12()()0f x f x -<， 即12()()f x f x <，∴()f x 在(0,)+∞上为增函数．例3．（1）（《高考A 计划》考点11“智能训练第9题”）若()f x 为奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(2)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集为(,2)(2,)-∞-+∞ ．例4．（《高考A 计划》考点10智能训练14）已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=，（1）求证：()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）解不等式2(21)2f x -<．解：（1）令121x x ==，得(1)2(1)f f =，∴(1)0f =，令121x x ==-，得∴(1)0f -=， ∴()(1)(1)()()f x f x f f x f x -=-⋅=-+=，∴()f x 是偶函数． （2）设210x x >>，则221111()()()()x f x f x f x f x x -=⋅-221111()()()()x xf x f f x f x x =+-= ∵210x x >>，∴211x x >，∴21()xf x 0>，即21()()0f x f x ->，∴21()()f x f x > ∴()f x 在(0,)+∞上是增函数．（3）(2)1f = ，∴(4)(2)(2)2f f f =+=，∵()f x 是偶函数∴不等式2(21)2f x -<可化为2(|21|)(4)f x f -<，又∵函数在(0,)+∞上是增函数，∴2|21|4x -<，解得：x <<，即不等式的解集为(． 例5．函数9()log (8)af x x x=+-在[1,)+∞上是增函数，求a 的取值范围．分析：由函数9()log (8)af x x x=+-在[1,)+∞上是增函数可以得到两个信息：①对任意的121,x x ≤<总有12()()f x f x <；②当1x ≥时，80ax x+->恒成立．解：∵函数9()log (8)af x x x=+-在[1,)+∞上是增函数，∴对任意的121,x x ≤<有12()()f x f x <，即919212log (8)log (8)a a x x x x +-<+-，得121288a a x x x x +-<+-，即1212()(1)0ax x x x -+<，∵120x x -<，∴1210,ax x +> 121,a x x >- 12a x x >-，∵211x x >≥，∴要使12a x x >-恒成立，只要1a ≥；又∵函数9()log (8)af x x x=+-在[1,)+∞上是增函数，∴180a +->，即9a <，综上a 的取值范围为[1,9)-．另解：（用导数求解）令()8a g x x x =+-，函数9()log (8)af x x x=+-在[1,)+∞上是增函数，∴()8a g x x x =+-在[1,)+∞上是增函数，2()1ag x x'=+，∴180a +->，且210ax+≥在[1,)+∞上恒成立，得19a -≤<．（四）巩固练习： 1．《高考A 计划》考点11，智能训练10； 2．已知)(x f 是R 上的奇函数，且在),0(+∞上是增函数，则)(x f 在)0,(-∞上的单调性为 ．五．课后作业：《高考A 计划》考点1，智能训练4，5， 7，8，12，13，15．第6课时 反函数一．课题：反函数二．教学目标：理解反函数的意义，会求一些函数的反函数；掌握互为反函数的函数图象间的关系，会利用)(x f y =与)(1x f y -=的性质解决一些问题．三．教学重点：反函数的求法，反函数与原函数的关系． 四．教学过程： （一）主要知识：1．反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；2．反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若()y f x =与1()y f x -=互为反函数， 函数()y f x =的定义域为A 、值域为B ，则1[()]()f f x x x B -=∈，1[()]()f f x x x A -=∈； 3．互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于y x =对称． （二）主要方法：1．求反函数的一般方法：（1）由()y f x =解出1()x f y -=，（2）将1()x f y -=中的,x y 互换位置，得1()y f x -=，（3）求()y f x =的值域得1()y f x -=的定义域． （三）例题分析：例1．求下列函数的反函数：（1）()1)f x x =≤-；（2）221(01)(){(10)x x f x x x -≤≤=-≤<；（3）32331y x x x =-++．解：（1）由1)y x ≤-得2211()(1)24y x x =+-≤-，∴10)2x y +=≥，∴所求函数的反函数为10)2y x =-≥．（2）当01x ≤≤时，得10)x y -≤≤，当10x -≤<时，得1)x y =<≤，∴所求函数的反函数为10)1)x y x -≤≤=<≤．（3）由32331y x x x =-++得3(1)2y x =-+，∴1)x y R =∈，∴所求反函数为1()1)f x x R -=∈．例2．函数11(,)1ax y x x R ax a -=≠-∈+的图象关于y x =对称，求a 的值． 解：由11(,)1ax y x x R ax a -=≠-∈+得1(1)(1)y x y a y -=≠-+，∴11()(1)(1)xf x x a x --=≠-+， 由题知：1()()f x f x -=，11(1)1x axa x ax--=++，∴1a =．例3．若(2,1)既在()f x =,m n 的值． 解：∵(2,1)既在()f x =∴(1)2(2)1f f =⎧⎨=⎩，∴21==，∴37m n =-⎧⎨=⎩． 例4．（《高考A 计划》考点12“智能训练第5题”）设函数xxx f +-=121)(，又函数)(x g 与1(1)y f x -=+的图象关于y x =对称，求)2(g 的值．解法一：由121x y x -=+得12y x y -=+，∴11()2x f x x --=+，1(1)3x f x x --+=+，∴)(x g 与3x y x -=+互为反函数，由23xx -=+，得(2)2g =-．解法二：由1(1)y f x -=+得()1x f y =-，∴()()1g x f x =-，∴(2)(2)12g f =-=-．例5．已知函数()y f x =（定义域为A 、值域为B ）有反函数1()y f x -=，则方程()0f x =有解x a =，且()()f x x x A >∈的充要条件是1()y f x -=满足11()()(0)f x x x B f a --<∈=且．例6．（《高考A 计划》考点12“智能训练第15题”）已知21()()21x xa f x a R -=∈+，是R 上的奇函数．（1）求a 的值，（2）求()f x 的反函数，（3）对任意的(0,)k ∈+∞解不等式121()log x f x k-+>．解：（1）由题知(0)0f =，得1a =，此时21212112()()021212112x x x xxx x xf x f x ------+-=+=+=++++， 即()f x 为奇函数．（2）∵21212121x x x y -==-++，得12(11)1xy y y+=-<<-，∴121()log (11)1x f x x x -+=-<<-． （3）∵121()log x f x k -+>，∴11111x xx k x ++⎧>⎪-⎨⎪-<<⎩，∴111x k x >-⎧⎨-<<⎩， ①当02k <<时，原不等式的解集{|11}x k x -<<， ②当2k ≥时，原不等式的解集{|11}x x -<<．（四）巩固练习：1．设21(01)(){2(10)x x x f x x +≤≤=-≤<，则15()4f -= ．2．设0,1a a >≠，函数log a y x =的反函数和1log ay x =的反函数的图象关于 （ ）()A x 轴对称 ()B y 轴对称 ()C y x =轴对称 ()D 原点对称3．已知函数1()()12xf x =+，则1()f x --的图象只可能是 （ ）()A ()B ()C4．若6y ax =-与13y x b =+的图象关于直线y x =对称，且点(,)b a 在指数函数()f x 的图象上，则()f x = ． 五．课后作业：《高考A 计划》考点12，智能训练1，2，3，6，10，12，14．第7课时 二次函数一．课题：二次函数二．教学目标：掌握二次函数的概念、图象及性质；能利用二次函数研究一元二次方程的实根分布条件；能求二次函数的区间最值．三．教学重点：二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的灵活转化．四．教学过程： （一）主要知识：1．二次函数的解析式的三种形式：一般式，顶点式，两根式． 2．二次函数的图象及性质；3．二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系． （二）主要方法：1．讨论二次函数的区间最值问题：①注意对称轴与区间的相对位置；②函数在此区间上的单调性； 2．讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置． （三）例题分析：例1．函数2 ([0,))y x bx c x =++∈+∞是单调函数的充要条件是 （ A ）()A 0b ≥ ()B 0b ≤ ()C 0b > ()D 0b <分析：对称轴2b x =-，∵函数2([0,)y x bx c x =++∈+∞是单调函数，∴对称轴2bx =-在区间[0,)+∞的左边，即02b-≤，得0b ≥．例2．已知二次函数的对称轴为x =截x 轴上的弦长为4，且过点(0,1)-，求函数的解析式．解：∵二次函数的对称轴为x =2()(f x a x b =+，又∵()f x 截x 轴上的弦长为4，∴()f x过点(2,0)，()f x 又过点(0,1)-，∴4021a b a b +=⎧⎨+=-⎩， 122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴21()(22f x x =-．例3．已知函数21sin sin 42a y x a x =-+-+的最大值为2，求a 的值 ． 分析：令sin t x =，问题就转二次函数的区间最值问题． 解：令sin t x =，[1,1]t ∈-，∴221()(2)24a y t a a =--+-+，对称轴为2at =，（1）当112a -≤≤，即22a -≤≤时，2max 1(2)24y a a =-+=，得2a =-或3a =（舍去）．（2）当12a >，即2a >时，函数221()(2)24a y t a a =--+-+在[1,1]-单调递增，由max 111242y a a =-+-+=，得103a =．（3）当12a <-，即2a <-时，函数221()(2)24a y t a a =--+-+在[1,1]-单调递减，由max 111242y a a =---+=，得2a =-（舍去）．综上可得：a 的值为2a =-或103a =．例4． 已知函数22()(21)2f x x a x a =--+-与非负x 轴至少有一个交点，求a 的取值范围． 解法一：由题知关于x 的方程22(21)20x a x a --+-=至少有一个非负实根，设根为12,x x则120x x ≤或121200x x x x ∆≥⎧⎪>⎨⎪+>⎩，得94a ≤≤．解法二：由题知(0)0f ≤或(0)0(21)020f a >⎧⎪--⎪->⎨⎪∆≥⎪⎩，得94a ≤≤．例5．对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点，已知函数2()(1)(1)(0)f x ax b x b a =+++-≠，（1）当1,2a b ==-时，求函数()f x 的不动点；（2）对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若()y f x =的图象上,A B 两点的横坐标是()f x 的不动点，且,A B 两点关于直线2121y kx a =++对称，求b 的最小值．解：（1）2()3f x x x =--，0x 是()f x 的不动点，则2000()3f x x x x =--=，得01x =-或03x =，函数()f x 的不动点为1-和3．（2）∵函数()f x 恒有两个相异的不动点，∴2()(1)0f x x ax bx b -=++-=恒有两个不等的实根，224(1)440b a b b ab a ∆=--=-+>对b R ∈恒成立， ∴2(4)160a a -<，得a 的取值范围为(0,1)．（3）由2(1)0ax bx b ++-=得1222x x b a +=-，由题知1k =-，2121y x a =-++， 设,A B 中点为E ，则E 的横坐标为21(,)2221b b a a a -++，∴212221b b a a a -=++，∴2112142a b a a a =-=-≥-++12(01)a a a =<<，即2a =时等号成立，∴b的最小值为（四）巩固练习：1．若函数2(2)3([,]y x a x x a b =+++∈的图象关于1x =对称则b = 6 ．2．二次函数()f x 的二次项系数为负值，且(2)(2)()f x f x x R +=-∈，问2(12)f x -与2(12)f x x +-满足什么关系时，有20x -<<．3．m 取何值时，方程227(13)20x m x m m -++--=的一根大于1，一根小于1．五．课后作业：《高考A 计划》考点13，智能训练3，5，6，9，10，12，13．第8课时 指数式与对数式一．课题：指数式与对数式二．教学目标：1．理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质；2．理解对数的概念，掌握对数的运算性质．三．教学重点：运用指数、对数的运算性质进行求值、化简、证明． 四．教学过程： （一）主要知识：1．指数、对数的运算法则；2．指数式与对数式的互化：log b a a N N b =⇔=．（二）主要方法：1．重视指数式与对数式的互化；2．不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算；3．运用指数、对数的运算公式解题时，要注意公式成立的前提． （三）例题分析：例1．计算：（1）121316324(12427162(8)--+-+-；（2）2(lg2)lg2lg50lg25+⋅+；（3）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+． 解：（1）原式12133(1)246324(113228⨯-⨯-⨯⨯=-+-⨯213332113222118811⨯=++-⨯=+-=．（2）原式22(lg2)(1lg5)lg2lg5(lg2lg51)lg22lg5=+++=+++ (11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=．（3）原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3()()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+⋅+=+⋅+ 3lg 25lg352lg36lg 24=⋅=．例2．已知11223x x-+=，求22332223x x x x--+-+-的值．解：∵11223x x-+=，∴11222()9x x -+=，∴129x x -++=，∴17x x -+=，∴12()49x x -+=，∴2247x x -+=，又∵331112222()(1)3(71)18x xx x x x ---+=+⋅-+=⋅-=，∴223322247231833x x x x--+--==-+-．例3．已知35abc ==，且112a b+=，求c 的值． 解：由3ac =得：log 31a c =，即log 31c a =，∴1log 3c a=； 同理可得1log 5c b =，∴由112a b+= 得 log 3log 52c c +=， ∴log 152c =，∴215c =，∵0c >，∴c =例4．设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求224T x y =-的最小值． 解：令 log x t y =，∵1x >，1y >，∴0t >．由2log 2log 30x y y x -+=得2230t t-+=，∴22320t t +-=， ∴(21)(2)0t t -+=，∵0t >，∴12t =，即1log 2x y =，∴12y x =，∴222244(2)4T x y x x x =-=-=--， ∵1x >，∴当2x =时，min 4T =-．例5．设a 、b 、c 为正数，且满足222a b c +=．（1）求证：22log (1)log (1)1b c a ca b +-+++= （2）若4log (1)1b c a ++=，82log ()3a b c +-=，求a 、b 、c 的值． 证明：（1）左边222log log log ()a b c a b c a b c a b ca b a b+++-+++-=+=⋅ 22222222222()22log log log log 21a b c a ab b c ab c c ab ab ab +-++-+-=====；解：（2）由4log (1)1b c a ++=得14b ca++=，∴30a b c -++=……………① 由82log ()3a b c +-=得2384a b c +-==……………………………②由①+②得2b a -=……………………………………………………③⑤由①得3c a b =-，代入222a b c +=得2(43)0a a b -=，∵0a >， ∴430a b -=……………………………………………………………④ 由③、④解得6a =，8b =，从而10c =．（四）巩固练习：12b ，则a 与b 的大小关系为 ；2．若2lglg lg 2x y x y -=+的值．五．课后作业：《高考A 计划》考点14，智能训练4，6，10，13，14，15．第9课时 指数函数与对数函数一．课题：指数函数与对数函数二．教学目标：1．掌握指数函数与对数函数的概念、图象和性质；2．能利用指数函数与对数函数的性质解题．三．教学重点：运用指数函数、对数函数的定义域、单调性解题． 四．教学过程： （一）主要知识：1．指数函数、对数函数的概念、图象和性质；2．同底的指数函数xy a =与对数函数log a y x =互为反函数；（二）主要方法：1．解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；2．指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论； 3．比较几个数的大小的常用方法有：①以0和1为桥梁；②利用函数的单调性；③作差． （三）例题分析：例1．（1）若21a b a >>>，则log bba，log b a ，log a b 从小到大依次为 ； （2）若235x y z==，且x ，y ，z 都是正数，则2x ，3y ，5z 从小到大依次为 ；（3）设0x >，且1x xa b <<（0a >，0b >），则a 与b 的大小关系是 （ ） （A ）1b a << （B ）1a b << （C ）1b a << （D ）1a b <<解：（1）由21a b a >>>得b a a <，故log b b a<log b a 1<<log a b ．（2）令235x y zt ===，则1t >，lg lg 2t x =，lg lg 3t y =，lg lg5t z =，∴2lg 3lg lg (lg9lg8)230lg 2lg3lg 2lg3t t t x y ⋅--=-=>⋅，∴23x y >； 同理可得：250x z -<，∴25x z <，∴325y x z <<．（3）取1x =，知选（B ）．例2．已知函数2()1xx f x a x -=++(1)a >， 求证：（1）函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）方程()0f x =没有负数根． 证明：（1）设121x x -<<，则1212121222()()11xx x x f x f x a a x x ---=+--++ 121212*********()11(1)(1)x x x x x x x x a a a a x x x x ---=-+-=-+++++，∵121x x -<<，∴110x +>，210x +>，120x x -<， ∴12123()0(1)(1)x x x x -<++；∵121x x -<<，且1a >，∴12x xa a <，∴120x x a a -<，∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，∴函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数； （2）假设0x 是方程()0f x =的负数根，且01x ≠-，则000201xx a x -+=+， 即00000023(1)31111x x x ax x x --+===-+++， ① 当010x -<<时，0011x <+<，∴0331x >+，∴03121x ->+，而由1a >知01x a <，∴①式不成立；当01x <-时，010x +<，∴0301x <+，∴03111x -<-+，而00x a >， ∴①式不成立．综上所述，方程()0f x =没有负数根．例3．已知函数()log (1)x a f x a =-（0a >且1a ≠）．（《高考A 计划》考点15，例4）． 求证：（1）函数()f x 的图象在y 轴的一侧；（2）函数()f x 图象上任意两点连线的斜率都大于0．证明：（1）由10xa ->得：1xa >，∴当1a >时，0x >，即函数()f x 的定义域为(0,)+∞，此时函数()f x 的图象在y 轴的右侧； 当01a <<时，0x <，即函数()f x 的定义域为(,0)-∞，此时函数()f x 的图象在y 轴的左侧． ∴函数()f x 的图象在y 轴的一侧；（2）设11(,)A x y 、22(,)B x y 是函数()f x 图象上任意两点，且12x x <，则直线AB 的斜率1212y y k x x -=-，1122121log (1)log (1)log 1x x x a a a x a y y a a a --=---=-，当1a >时，由（1）知120x x <<，∴121xxa a <<，∴12011xxa a <-<-，∴121011x xa a -<<-，∴120y y -<，又120x x -<，∴0k >； 当01a <<时，由（1）知120x x <<，∴121x x a a >>，∴12110x xa a ->->， ∴12111x xa a ->-，∴120y y -<，又120x x -<，∴0k >． ∴函数()f x 图象上任意两点连线的斜率都大于0．（四）巩固练习：1．已知函数()|l g|f x x =，若11a b c >>>，则()f a 、()f b 、()f c 从小到大依次为 ()()()f b f a f c <<；（注：1()()f f c c=）2．若a 为方程20xx +=的解，b 为不等式2log 1x >的解，c 为方程12log x x =的解，则a 、b 、c 从小到大依次为a c b <<；3．若函数|1|()2x f x m --=-的图象与x 轴有交点，则实数m 的取值范围是01m <≤．五．课后作业：《高考A 计划》考点15，智能训练3，5，7，10，12，15．第10课时 函数的图像一．课题：函数的图象二．教学目标：1．熟练掌握基本函数的图象；2．能正确地从函数的图象特征去讨论函数的主要性质； 3．能够正确运用数形结合的思想方法解题．三．教学重点：熟练基本函数的图象并掌握图象的初等变换． 四．教学过程： （一）主要知识：1．作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图； 2．三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等； 3．识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面． （二）主要方法： 1．平移变换：（1）水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；（2）竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到．2．对称变换：（1）函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；（2）函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到； （3）函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；（4）函数1()y f x -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到．3．翻折变换：（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到； （2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到．4．伸缩变换：（1）函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；（2）函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到． （三）例题分析： 例1．（《高考A 计划》考点16“智能训练第5题”）函数()y f x =与()y g x =的图像如下图： 则函数()()y f x g x =⋅的图像可能是（ A ）ABCD例2．说明由函数2x y =的图像经过怎样的图像变换得到函数321x y --=+的图像． 解：方法一：（1）将函数2x y =的图像向右平移3个单位，得到函数32x y -=的图像； （2）作出函数32x y -=的图像关于y 轴对称的图像，得到函数32x y --=的图像； （3）把函数32x y --=的图像向上平移1个单位，得到函数321x y --=+的图像． 方法二：（1）作出函数2x y =的图像关于y 轴的对称图像，得到2x y -=的图像； （2）把函数2x y -=的图像向左平移3个单位，得到32x y --=的图像；（3）把函数32x y --=的图像向上平移1个单位，得到函数321x y --=+的图像．例3．（《高考A 计划》考点16“智能训练第11题”）如下图所示，向高为H 的水瓶,,,A B C D 同时以等速注水，注满为止；（1）若水深h 与注水时间t 的函数图象是下图中的a ，则水瓶的形状是 C ； （2）若水量v 与水深h 的函数图像是下图中的b ，则水瓶的形状是 A ； （3）若水深h 与注水时间t 的函数图象是下图中的c ，则水瓶的形状是 D ； （4）若注水时间t 与水深h 的函数图象是下图中的d ，则水瓶的形状是 B ．例4．设曲线C 的方程是3y x x =-，将C 沿x 轴、y 轴正方向分别平移t 、s (0)t ≠个单位长度后得到曲线1C ，（1）写出曲线1C 的方程；（2）证明曲线C 与1C 关于点(,)22t s A 对称；（3）如果曲线C 与1C 有且仅有一个公共点，证明：24t s t =-．解：（1）曲线1C 的方程为3()()y x t x t s =---+；（2）证明：在曲线C 上任意取一点111(,)B x y ，设222(,)B x y 是1B 关于点A 的对称点，()A ()B ()C ()D。
(新人教)高三数学第一轮复习教案2.2.3函数(3)值域
一．课题：函数（3）——值域二．教学目标：1. 会求常见函数的值域；2. 掌握几种函数值域的常规求法：观察法、配方法、部分分式法、换元法等。
三．教学重点：、难点：二次函数的区间值域。
四．教学过程：（一）复习：（提问）1．函数的三要素；2．函数的定义域：自变量x 的取值的集合；函数的值域：自变量x 在定义于内取值时相应的函数值的集合。
3．求下列函数的定义域：（1）26()32f x x x =-+； （2）()f x =； （3）()f x =； （4）()4f x =； （5）()f x = （6）()1f x x =-． 答案：（1）{|1x x ≠且2}x ≠； （2）[4,2)(2,)---+∞U ； （3）2(,)3+∞；（4）11[,]32； （5）(,3][3,)-∞-+∞U （6）[2,1)(1,2]-U ．（二）新课讲解：1．观察法求函数值域例1．求下列函数值域：（1）32y x =-+ [1,2]x ∈- （2）21y x =- {2,1,0,1,2}x ∈-- （3）31y x =+ （4）1,00,01,0x y x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（答案一[4,5]-）， （答案二{3,0,1}-）， （答案三(,1)(1,)-∞+∞U ）， （答案四{1,0,1}-）2．配方法求二次函数值域例2．已知函数223y x x =+-，分别求它在下列区间上的值域。
（1）x R ∈； （2）[0,)x ∈+∞； （3）[2,2]x ∈-； （4）[1,2]x ∈． 解：（1）∵2(1)4y x =+-∴min 4y =-∴值域为[4,)-+∞．（2）∵223y x x =+-的图象如图，当0x =时，min 3y =-，∴当[0,)x ∈+∞时，值域为[3,)-+∞．（3）根据图象可得：当1x =-时，min 4y =-，当2x =时，max 5y =，∴当[2,2]x ∈-时，值域为[4,5]-．（4）根据图象可得：当1x =时，min 0y =，当2x =时，max 5y =，∴当[1,2]x ∈时，值域为[0,5]．说明：（1）函数的定义域不同，值域也不同；（2）二次函数的区间值域的求法：①配方；②作图；③求值域。
函数的值域和最值高三数学第一轮复习教案 人教版
函数的值域和最值高三数学第一轮复习教案【教学目标】1．让学生了解求函数值域（最值）常用的方法；2．让学生了解各种方法的适用题型，并能灵活运用各种方法解函数的值域．【教学重点】直接法、利用函数单调性求值域（最值）、数形结合法 【教学难点】判别式法和数形结合方法的使用【例题设置】例1（强调定义域的重要性），其它例题主要指出各种方法适用的题型及注意点．【教学过程】第一课时〖例1〗已知函数3()2log f x x =+（19x ≤≤），求函数22()[()]()g x f x f x =+的最值． 错解：令3log [0,2]t x =∈，则22222233()[()]()(2log )(2log )(2)22(3)3g x f x f x x x t t t =+=+++=+++=+-∴当0t =时，min ()6g x =；当2t =时，max 2()()|22t g x g x ===．错因分析：当2t =时，9x =，2(9)[(9)](81)g f f =+无意义．产生错误的原因主要是忽略了定义域这个前提条件．正解：由21919x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，得()g x 的定义域为[1,3]，3log [0,1]t x =∈，则 22222233()[()]()(2log )(2log )(2)22(3)3g x f x f x x x t t t =+=+++=+++=+-∴当0t =时，min ()6g x =；当1t =时，max 2()()|13t g x g x ===． ★点评：1．求函数的值域(最值)同样得在定义域上进行；2．运用换元法解题时，一定要注意元的取值范围，这步较容易被忽略；3．配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可用此法解决．该法常与换元法结合使用．〖例2〗 求下列函数的值域：⑴ 12121x x y ++=+；法一：（直接法）1212(21)112212121x x x x xy +++-===-+++ 由20x >，211x +>，10121x <<+，故12y <<，即原函数的值域为(1,2) 法二：（逆求法）由12121x x y ++=+得1202x y y -=>-，故12y <<，即原函数的值域为(1,2)★ 点评：1．对于一些简单的函数可直接利用直接法求解即可；2．若原函数中有某一元素的范围易确定，则常用“逆求法”来求值域，即用y 来表示该元素，通过该元素的范围来确定原函数的值域．⑵2y x =-；法一：（换元法）令0t =，则21x t =-，故2222(1)42422(1)4y t t t t t =--=--+=-++当0t =时，max 2y =；当t →+∞时，y →-∞，无最小值 ∴原函数的值域为(,2]-∞法二：由10x -≥得原函数的定义域为(,1]-∞，易知函数12y x =和2y =-(,1]-∞都为增函数，故原函数在(,1]-∞也为增函数，故1|2x y y =≤=∴原函数的值域为(,2]-∞★ 点评：求函数的解析应优先考虑直接法和判断函数的单调性．⑶y x =解：由210x -≥得原函数的定义域为[1,1]-，设cos ,[0,]x θθπ=∈，则cos |sin |cos sin sin()4y πθθθθθ=-=-=-∵0θπ≤≤，3444πππθ-≤-≤，1sin()42πθ-≤-≤∴1y ≤，即原函数的值域为[★ 点评：用三角换元时，在不改变x 的范围的前提下，应尽可能缩小θ的范围，这样可以避免一些不必要的讨论，如本题中的|sin |θ去绝对值． ⑷ 221xy x x =++解：由221xy x x =++得2(2)0yx y x y +-+=……⑴，则该方程有解 ① 当0y =时，方程⑴可化为20x -=，方程有解，符合题意② 当0y ≠时，要使方程⑴有解，当且仅当22(2)40y y ∆=--≥，解得223y -≤≤，且0y ≠综上所述，223y -≤≤，即原函数的值域为2[2,]3-．这里可能只有极少学生会考虑到限制θ的范围，可结合后面去绝对值，强调限制θ的范围的必要性．⑸ 221(1)1x x y x x -+=>-解：令10t x =->，则1x t =+，故222(1)(1)123212()32237t t t t y t t t t +-++++===++≥⨯+=当且仅当1t t=且0t >，即1t =时取等号另一方面，当t →+∞时，y →+∞，故原函数无最大值 ∴原函数的值域为[7,)+∞★ 点评：当函数的定义域为R 时才比较适用判别法．【课堂小结】1．求函数的值域(最值)同样得在定义域上进行；2．本节课我们复习了函数值域（最值）的几种较为常见的方法 ⑴ 直接法：一些简单的函数可利用该法求解；⑵ 配方法：求“二次函数类”值域的基本方法，该法常与换元法结合使用；⑶ 换元法：包括代数换元和三角换元，运用换元法解题时，一定要注意元的取值范围．换元法很多时候可以很大程度的简化解题过程，如例2⑸；⑷ 逆求法：若原函数中有某一元素的范围易确定，用y 来表示该元素，通过该元素的范围来确定原函数的值域；⑸ 不等式法：利用均值不等式求最值时，一定要注意“正、定、等”三个条件缺一不可；⑹ 判别式法：该法只有当定义域为R 时才比较适用； ⑺ 利用函数的单调性（注意导数的应用）；具体解题中应优先考虑直接法或判断函数的单调性．【教后反思】1．思考：该题为什么不采用判别式法？若用判别式法，则所方程22(1)10x y x y -+++=应是在(1,)+∞上有解，情况较为复杂2．该法采用了换元法，这要比拼凑法和待定系数法更容易让学生接受．第二课时〖例3〗 求下列函数的值域⑴ |1|y x =+解：|1||2|y x x =++-表示数轴上点x 到1-与2的距离之和，故3y ≥，即原函数的值域为[3,)+∞． ⑵ |3||1|y x x =--+解：|3||1|y x x =--+表示数轴上点x 到3的距离与点x 到1-的距离的差，故44y -≤≤，即原函数的值域为[4,4]-．⑶ y =解：y =表示动点(,0)x 到两定点(0,2)(1,3)A B --、的距离之和，由图象分析知：min ||y AB ==，当x →∞时，y →+∞，故原函数的值域为)+∞．★ 点评：利用函数的几何意义，是解决这类特殊函数的较为简便的方法．〖例4〗 实数,x y 满足22(2)3x y -+=，求以下各式的最值： ⑴y x ； ⑵ x y +； ⑶ 1y x + 解：因实数,x y 满足22(2)3x y -+=，故圆22(2)3x y -+=可看作点(,)x y 的可行域．⑴令yk x=，即y kx =，k 表示目标函数中的斜率，由图可知k ≤，即max ()y x min ()yx= ⑵ 令m x y =+，即y x m =-+，m 表示目标函数中的纵截距．由d ==2m =±min max ()2()2x y x y +=+=+⑶ 令1yk x =+，即(1)y k x =+，目标函数过定点(1,0)-，k 表示目标函数中的斜率，由d ==k =，故max min (),()11y y x x ==++ ★点评：用线性归划的观点解决该类函数的关键在于抓住可行域，并弄清所求的东西在目标函数中表示什么．变式：求函数1sin2cosxyx+=+的值域．解：sin(1)cos(2)xyx--=--，表示动点(cos,sin)P x x与定点(2,1)A--连线的斜率，而动点P的轨迹为单位圆，由图象分析知：43y≤≤，即原函数的值域为4[0,]3．【课堂小结】在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法、函数单调法和均值不等式，然后才考虑用其它各种特殊方法．【教后反思】。
高三数学第一轮复习 第9课时-函数的值域教案
一．课题：函数的值域二．教学目标：理解函数值域的意义；掌握常见题型求值域的方法，了解函数值域的一些应用．三．教学重点：求函数的值域．四．教学过程：（一）主要知识：1．函数的值域的定义；2．确定函数的值域的原则；3．求函数的值域的方法．（二）主要方法（范例分析以后由学生归纳）：求函数的值域的方法常用的有：直接法，配方法，判别式法，基本不等式法，逆求法（反函数法），换元法，图像法，利用函数的单调性、奇偶性求函数的值域等．（三）例题分析：例1．求下列函数的值域：（1）232y x x =-+； （2）y =； （3）312x y x +=-；（4）y x =+ （5）y x =+ （6）|1||4|y x x =-++；（7）22221x x y x x -+=++； （8）2211()212x x y x x -+=>-； （9）1sin 2cos x y x-=-． 解：（1）（一）公式法（略） （二）（配方法）2212323323()61212y x x x =-+=-+≥， ∴232y x x =-+的值域为23[,)12+∞． 改题：求函数232y x x =-+，[1,3]x ∈的值域．解：（利用函数的单调性）函数232y x x =-+在[1,3]x ∈上单调增，∴当1x =时，原函数有最小值为4；当3x =时，原函数有最大值为26．∴函数232y x x =-+，[1,3]x ∈的值域为[4,26]．（2）求复合函数的值域：设265x x μ=---（0μ≥），则原函数可化为y =．又∵2265(3)44x x x μ=---=-++≤，∴04μ≤≤[0,2]，∴y 的值域为[0,2]．（3）（法一）反函数法：312x y x +=-的反函数为213x y x +=-，其定义域为{|3}x R x ∈≠， ∴原函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠． （法二）分离变量法：313(2)773222x x y x x x +-+===+---， ∵702x ≠-，∴7332x +≠-， ∴函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠．（4）换元法（代数换元法）：设0t =，则21x t =-，∴原函数可化为2214(2)5(0)y t t t t =-+=--+≥，∴5y ≤，∴原函数值域为(,5]-∞．说明：总结y ax b =++2y ax b =+2y ax b =+（5）三角换元法：∵21011x x -≥⇒-≤≤，∴设cos ,[0,]x ααπ=∈，则cos sin )4y πααα=+=+ ∵[0,]απ∈，∴5[,]444πππα+∈，∴sin()[4πα+∈，)[4πα+∈-，∴原函数的值域为[-．（6）数形结合法：23(4)|1||4|5(41)23(1)x x y x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩，∴5y ≥，∴函数值域为[5,)+∞．（7）判别式法：∵210x x ++>恒成立，∴函数的定义域为R ． 由22221x x y x x -+=++得：2(2)(1)20y x y x y -+++-= ① ①当20y -=即2y =时，①即300x +=，∴0x R =∈②当20y -≠即2y ≠时，∵x R ∈时方程2(2)(1)20y x y x y -+++-=恒有实根，∴22(1)4(2)0y y =+-⨯-≥，∴15y ≤≤且2y ≠，∴原函数的值域为[1,5]． （8）2121(21)11112121212122x x x xy x x x x x x -+-+===+=-++----， ∵12x >，∴102x ->，∴112122x x -+≥=-112122x x -=-时，即12x +=时等号成立．∴12y ≥，∴原函数的值域为1,)2+∞． （9）（法一）方程法：原函数可化为：sin cos 12x y xy -=-，)12x y ϕ-=-（其中cos ϕϕ== ∴sin()[1,1]x ϕ-=-，∴|12|y -≤2340y y -≤，∴403y ≤≤，∴原函数的值域为4[0,]3．（法二）数形结合法：可看作求点(2,1)与圆221x y +=上的点的连线的斜率的范围，解略．例2．若关于x 的方程|3|2(22)3x a ---=+有实数根，求实数a 的取值范围．解：原方程可化为|3|2(22)3x a --=--，令|3|2x t --=，则01t <≤，2()(2)3a f t t ==--，又∵()a f t =在区间(0,1]上是减函数，∴(1)()(0)f f t f ≤<，即2()1f t -≤<，故实数a 的取值范围为：21a -≤<．例3．（《高考A 计划》考点9，智能训练16）某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2003年度进行一系列的促销活动．经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费用t 万元(0)t ≥之间满足：3x -与1t +成反比例；如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2003年，生产化妆品的固定投入为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元．当将每件化妆品的售价定为“年平均每件成本的150％”与“年平均每件所占促销费的一半”之和，则当年产销量相等．（1）将2003年的年利润y 万元表示为年促销费t 万元的函数；（2）该企业2003年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？（注：利润＝收入－生产成本－促销费）解：（1）由题设知：31k x t -=+，且0t =时，1x =，∴2k =，即231x t =-+， ∴年生产成本为2[32(3)3]1t -++万元，年收入为21150%[32(3)3]12t t -+++． ∴年利润212{150%[32(3)3]}[32(3)3](0)121y t t t t t =-++--+-≥++， ∴29835(0)2(1)t t y t t -++=≥+． （2）由（1）得2(1)100(1)6413250()50422(1)21t t t y t t -+++-+==-+≤-=++， 当且仅当13221t t +=+，即7t =时，y 有最大值42． ∴当促销费定为7万元时，2003年该化妆品企业获得最大利润．（四）巩固练习：1．函数221xx y =+的值域为(0,1)．2．若函数()log a f x x =在[2,4]上的最大值与最小值之差为2，则a =2五．课后作业：《高考A 计划》考点1，智能训练3，4，9，12，13，14．。
福建省长泰一中高考数学一轮复习教案《函数的定义域和值域》
福建省长泰一中高考数学一轮复习《函数的定义域和值域》教案一、定义域：例如：① 形如y ＝221x +，可采用 法；② y ＝)32(2312-≠++x x x ，可采用法或 法；③ y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c ，可采用 法；④ y ＝x －x -1，可采用 法；⑤ y ＝x －21x -，可采用 法；⑥ y ＝xx cos 2sin -可采用法等.例1. 求下列函数的定义域：（1）y=xx x -+||)1(0 (2)y=232531x x -+-;1·1-+x x解：（1）由题意得,0||01⎩⎨⎧>-≠+x x x 化简得,||1⎩⎨⎧>-≠xx x即.01⎩⎨⎧<-≠x x 故函数的定义域为{x|x ＜0且x≠-（2）由题意可得,050322⎩⎨⎧≥-≠-x x 解得.553⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-±≠x x故函数的定义域为{x|-5≤x≤5且x≠±3（3）要使函数有意义，必须有,0101⎩⎨⎧≥-≥+x x 即,11⎩⎨⎧≥-≥x x ∴x≥1,故函数的定义域为［1，+∞）变式训练1：求下列函数的定义域：（1）y=212)2lg(x x x -+-+(x-1); (2)y=)34lg(2+x x +(5x-4)0; (3)y=225x -+lgcosx;解：（1）由⎪⎩⎪⎨⎧≠->-+>-01,012022x x x x 得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<-<1,432x x x 所以-3＜x ＜2且x≠1.故所求函数的定义域为（-3，1）（2）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-≠+>+045,134034x x x 得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-≠->54,2143x x x 函数的定义域为).,54()54,21(21,43+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛--（3）由⎩⎨⎧>≥-0cos 0252x x ,得,)(222255⎪⎩⎪⎨⎧∈+<<-≤≤-Z k k x k x ππππ 借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为.5,23)2,2(23,5⎥⎦⎤⎝⎛-⎪⎭⎫⎢⎣⎡--ππππ 例2. 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域（1）y=f(3x); (2)y=f(x1(3)y=f()31()31-++x f x(4)y=f(x+a)+f(x-解：（1）0≤3x≤1,故0≤x≤31的定义域为［0, 31］（2）仿（1）解得定义域为［1，（3）由条件，y 的定义域是f )31(+x 与)31(-x定义域的交集列出不等式组,32313431323113101310≤≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤≤+≤x x x x x 故y=f )31()31(-++x f x 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,31.（1）y=;122+--x x xx (2)y=x-x21- (3)y=1e 1e +-x x解：（1）方法一 （配方法）∵y=1-,112+-x x 而,4343)21(122≥+-=+-x x x∴0＜,34112≤+-x x ∴.131<≤-y ∴值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,31.方法二 （判别式法） 由y=,122+--x x xx 得(y-1).0)1(2=+-+y x y x ∵y=1时,≠∴∅∈y x , 1.又∵∈x R ，∴必须∆=(1-y)2-4y(y-1)≥0.∴.131≤≤-y ∵,1≠y ∴函数的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,31.（2）方法一 （单调性法） 定义域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21|x x ，函数y=x,y=-x 21-均在⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,上递增，故y≤.21212121=⨯--∴函数的值域为⎥⎦⎤⎝⎛∞-21,.方法二 （换元法）令x 21-=t,则t≥0，且x=.212t --21（t+1）2+1≤21（t≥0）∴y∈（-∞，21］（3）由y=1e 1e +-x x 得,e x =.11yy-+x＞0,即yy -+11＞0,解得-1＜y ＜∴函数的值域为{y|-1＜y ＜变式训练3：求下列函数的值域： （1）y=521+-x x (2)y=|x|21x-解：（1）(分离常数法)y=-)52(2721++x ，∵)52(27+x ≠0,∴y≠-21.故函数的值域是{y|y∈R,且y≠-21(2)方法一 (换元法∵1-x 2≥0,令x=sin α,则有y=|sin αcos α|=21|sin2α故函数值域为［0，21］.方法二 y=|x|·,41)21(122242+--=+-=-x x x x∴0≤y≤,21即函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0.例4．若函数f （x ）=21x 2-x+a 的定义域和值域均为［1，b ］（b ＞1），求a 、b 的值解：∵f（x ）=21(x-1)2+a-21.∴其对称轴为x=1，即［1，b ］为f （x ）的单调递增区间. ∴f（x ）min =f （1）=a-21=1 ① f （x ）max =f （b ）=21b 2-b+a=b ②由①②解得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,23b a变式训练4：已知函数f(x)=x 2-（1）求函数的值域为［0，+∞)时的a的值；（2）若函数的值均为非负值，求函数f(a)=2-a|a+3|的值域解： (1）∵函数的值域为［0，∴Δ=16a 2-4(2a+6)=0⇒2a 2-a-3=0∴a=-1或a=23.（2）对一切x∈R ，函数值均非负,∴Δ=8(2a 2-a-3)≤0⇒-1≤a≤23,∴a+3＞0,∴f(a)=2-a(a+3)=-a 2-3a+2=-(a+23)2+417(a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈23,1).∵二次函数f(a)在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,1上单调递减，∴f（a ）min =f )23(=-419，f （a ）max =f （-1）=4， ∴f(a)的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,419.1．求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解释式（如例1），应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式（如例2），就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义.2．求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.。
[精品]新高中数学第一轮复习第二课时函数的定义域和值域导学案
![[精品]新高中数学第一轮复习第二课时函数的定义域和值域导学案](https://img.taocdn.com/s3/m/0e877b3014791711cc7917be.png)
函数的定义域与值域【学习目标】1.掌握求常规函数的定义域与值域的方法。
2.了解特殊情形下的函数的定义域与值域的求法。
3.以极度的热情投入学习，体会成功的快乐。
【学习重点】基本初等函数的定义域与值域的求法。
【学习难点】复合函数的定义域与值域的求法。
[自主学习]一、定义域：1．函数的定义域就是使函数式的集合.2．常见的三种题型确定定义域：①已知函数的解析式，就是 .②复合函数f [g(x)]的有关定义域，就要保证内函数g(x)的域是外函数f (x)的域.③实际应用问题的定义域，就是要使得有意义的自变量的取值集合.二、值域：1．函数y＝f (x)中，与自变量x的值的集合.2．常见函数的值域求法，常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法例如：① 形如y ＝221x +，可采用 法；② y ＝)32(2312-≠++x x x ，可采用法或 法；③ y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c ，可采用 法；④ y ＝x －x-1，可采用 法；⑤ y ＝x －21x -，可采用 法；⑥ y ＝xxcos 2sin -可采用 法等.[典型例析]（A ）例1. 求下列函数的定义域： （1）y=xx x -+||)1(0; (2)y=232531x x -+-; (3)y=1·1-+x x变式训练1：求下列函数的定义域： （1）y=212)2lg(x x x -+-+(x-1); (2)y=)34lg(2+x x +(5x-4)0;(3)y=225x -+lgcosx;( B)例2. 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域. （1）y=f(3x); (2)y=f(x1);(3)y=f()31()31-++x f x ; (4)y=f(x+a)+f(x-a).小结：(B)例3. 求下列函数的值域：（1）y=;122+--x x xx (2)y=x-x21-; (3)y=1e 1e +-x x. （4）y=521+-x x; (5)y=|x|21x -.小结：（C）例4已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6 (x∈R).（1）求函数的值域为［0，+∞)时的a的值；（2）若函数的值均为非负值，求函数f(a)=2-a|a+3|的值域.[当堂检测]1.若函数)(x f y =的定义域为[-1,1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域__________。
高三数学 第二章 函数 函数的值域专题复习教案
城东蜊市阳光实验学校第10课时：第二章函数——函数的值域一．课题：函数的值域二．教学目的：理解函数值域的意义；掌握常见题型求值域的方法，理解函数值域的一些应用．三．教学重点：求函数的值域．四．教学过程： 〔一〕主要知识：1．函数的值域的定义；2．确定函数的值域的原那么；3．求函数的值域的方法． 〔二〕主要方法〔范例分析以后由学生归纳〕：求函数的值域的方法常用的有：直接法，配方法，判别式法，根本不等式法，逆求法〔反函数法〕，换元法，图像法，利用函数的单调性、奇偶性求函数的值域等． 〔三〕例题分析： 例1．求以下函数的值域：〔1〕232y x x =-+；〔2〕y =；〔3〕312x y x +=-；〔4〕y x =+〔5〕y x =；〔6〕|1||4|y x x =-++；〔7〕22221x x y x x -+=++；〔8〕2211()212x x y x x -+=>-；〔9〕1sin 2cos xy x-=-解：〔1〕〔一〕公式法〔略〕〔二〕〔配方法〕2212323323()61212y x x x =-+=-+≥，∴232y x x =-+的值域为23[,)12+∞．改题：求函数232y x x =-+，[1,3]x ∈的值域．解：〔利用函数的单调性〕函数232y x x =-+在[1,3]x ∈上单调增，∴当1x =时，原函数有最小值为4；当3x =时，原函数有最大值为26． ∴函数232y x x =-+，[1,3]x ∈的值域为[4,26]．〔2〕求复合函数的值域：设265x x μ=---〔0μ≥〕，那么原函数可化为y =．又∵2265(3)44x x x μ=---=-++≤，∴04μ≤≤[0,2]，∴y =的值域为[0,2]．〔3〕〔法一〕反函数法：312x y x +=-的反函数为213x y x +=-，其定义域为{|3}x R x ∈≠， ∴原函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠． 〔法二〕别离变量法：313(2)773222x x y x x x +-+===+---， ∵702x ≠-，∴7332x +≠-， ∴函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠．〔4〕换元法〔代数换元法〕：设0t =≥，那么21x t =-，∴原函数可化为2214(2)5(0)y t t t t =-+=--+≥，∴5y ≤，∴原函数值域为(,5]-∞．说明：总结y ax b =+型值域，变形：2y ax b =+或者者2y ax b =+〔5〕三角换元法：∵21011xx -≥⇒-≤≤，∴设cos ,[0,]x ααπ=∈，那么cos sin )4y πααα=+=+∵[0,]απ∈，∴5[,]444πππα+∈，∴sin()[4πα+∈，)[4πα+∈-，∴原函数的值域为[-．〔6〕数形结合法：23(4)|1||4|5(41)23(1)x x y x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩，∴5y ≥，∴函数值域为[5,)+∞． 〔7〕判别式法：∵210xx ++>恒成立，∴函数的定义域为R ．由22221x x y x x -+=++得：2(2)(1)20y x y x y -+++-=① ①当20y -=即2y =时，①即300x +=，∴0x R =∈②当20y -≠即2y ≠时，∵x R ∈时方程2(2)(1)20y x y x y -+++-=恒有实根， ∴22(1)4(2)0y y =+-⨯-≥，∴15y ≤≤且2y ≠，∴原函数的值域为[1,5]．〔8〕2121(21)111121212121222x x x x y x x x x x x -+-+===+=-++----，∵12x >，∴102x ->，∴112122x x -+≥=-，当且仅当112122x x -=-时，即x =12y ≥，∴原函数的值域为1,)2+∞．〔9〕〔法一〕方程法：原函数可化为：sin cos 12x y x y -=-，)12x y ϕ-=-〔其中cos ϕϕ==，∴sin()[1,1]x ϕ-=-，∴|12|y -≤，∴2340y y -≤，∴403y ≤≤，∴原函数的值域为4[0,]3． 〔法二〕数形结合法：可看作求点(2,1)与圆221x y +=上的点的连线的斜率的范围，解略．例2．假设关于x 的方程|3|2(22)3x a ---=+有实数根，务实数a 的取值范围．解：原方程可化为|3|2(22)3x a --=--，令|3|2x t --=，那么01t <≤，2()(2)3a f t t ==--，又∵()a f t =在区间(0,1]上是减函数，∴(1)()(0)f f t f ≤<，即2()1f t -≤<，故实数a 的取值范围为：21a -≤<．例3．〔高考A 方案考点9，智能训练16〕某化装品消费企业为了占有更多的场份额，拟在2021年度进展一系列的促销活动．经过场调查和测算，化装品的年销量x 万件与年促销费用t 万元(0)t ≥之间满足：3x-与1t +成反比例；假设不搞促销活动，化装品的年销量只能是1万件．2021年，消费化装品的固定投入为3万元，每消费1万件化装品需再投入32万元．当将每件化装品的售价定为“年平均每件本钱的150％〞与“年平均每件所占促销费的一半〞之和，那么当年产销量相等． 〔1〕将2021年的年利润y 万元表示为年促销费t 万元的函数；〔2〕该企业2021年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？ 〔注：利润＝收入－消费本钱－促销费〕解：〔1〕由题设知：31k x t -=+，且0t =时，1x =，∴2k =，即231x t =-+， ∴年消费本钱为2[32(3)3]1t -++万元，年收入为21150%[32(3)3]12t t -+++． ∴年利润212{150%[32(3)3]}[32(3)3](0)121y t t t t t =-++--+-≥++， ∴29835(0)2(1)t t y t t -++=≥+． 〔2〕由〔1〕得2(1)100(1)6413250()50422(1)21t t t y t t -+++-+==-+≤-=++，当且仅当13221t t +=+，即7t =时，y 有最大值42． ∴当促销费定为7万元时，2003年该化装品企业获得最大利润． 〔四〕稳固练习：1．函数221xx y =+的值域为(0,1)．2．假设函数()log a f x x =在[2,4]上的最大值与最小值之差为2，那么a =．。
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第二章 函 数第1节 函数的概念及其表示
, ≥ ,
4
则f(f(-2))=
.
解析:由 f(x)=
+ (-), < 1,
- ,ห้องสมุดไป่ตู้ ≥ ,
所以f(-2)=1+log2[2-(-2)]=1+log24=3,
所以f(f(-2))=f(3)=23-1=22=4.
- , ≤ ,
(2)(角度二)(2024·河南郑州模拟)设函数f(x)=则满足 , > ,
f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是 (-∞,0)
.
-
,
≤
,
解析:(2)函数 f(x)=
的图象如图所示,
, >
满足f(x+1)<f(2x)可得2x<0≤x+1或2x<x+1≤0.
(4)方程思想:已知关于f(x)与
f( ) 或f(-x)等的表达式,可根据已
知条件再构造出另外一个等式组成方程组 ,通过解方程组求出
f(x).
[针对训练]
(1)已知 f( +1)=lg x,则f(x)的解析式为
解析:(1)令 +1=t(t>1),则 x= ,
-
所以 f(t)=lg
函数解析式的求法
(1)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的
表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式.
(2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用
待定系数法.
(3)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注
清泉州阳光实验学校高三数学第一轮复习 -函数的值域教案
清泉州阳光实验学校一．课题：函数的值域二．教学目的：理解函数值域的意义；掌握常见题型求值域的方法，理解函数值域的一些应用． 三．教学重点：求函数的值域．四．教学过程： 〔一〕主要知识：1．函数的值域的定义；2．确定函数的值域的原那么；3．求函数的值域的方法． 〔二〕主要方法〔范例分析以后由学生归纳〕：求函数的值域的方法常用的有：直接法，配方法，判别式法，根本不等式法，逆求法〔反函数法〕，换元法，图像法，利用函数的单调性、奇偶性求函数的值域等． 〔三〕例题分析：例1．求以下函数的值域：〔1〕232y x x =-+；〔2〕y =；〔3〕312x y x +=-；〔4〕y x =+5〕y x =6〕|1||4|y x x =-++；〔7〕22221x x y x x -+=++；〔8〕2211()212x x y x x -+=>-；〔9〕1sin 2cos xy x-=-．解：〔1〕〔一〕公式法〔略〕〔二〕〔配方法〕2212323323()61212y x x x =-+=-+≥， ∴232y x x =-+的值域为23[,)12+∞．改题：求函数232y x x =-+，[1,3]x ∈的值域．解：〔利用函数的单调性〕函数232y x x =-+在[1,3]x ∈上单调增，∴当1x =时，原函数有最小值为4；当3x =时，原函数有最大值为26． ∴函数232y x x =-+，[1,3]x ∈的值域为[4,26]．〔2〕求复合函数的值域：设265x x μ=---〔0μ≥〕，那么原函数可化为y =．又∵2265(3)44x x x μ=---=-++≤，∴04μ≤≤[0,2]，∴y =的值域为[0,2]．〔3〕〔法一〕反函数法：312x y x +=-的反函数为213x y x +=-，其定义域为{|3}x R x ∈≠， ∴原函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠． 〔法二〕别离变量法：313(2)773222x x y x x x +-+===+---， ∵702x ≠-，∴7332x +≠-， ∴函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠．〔4〕换元法〔代数换元法〕：设0t =≥，那么21x t =-，∴原函数可化为2214(2)5(0)y t t t t =-+=--+≥，∴5y ≤，∴原函数值域为(,5]-∞．说明：总结y ax b =++2y ax b =+2y ax b =++〔5〕三角换元法：∵21011x x -≥⇒-≤≤，∴设cos ,[0,]x ααπ=∈，那么cos sin )4y πααα=+=+∵[0,]απ∈，∴5[,]444πππα+∈，∴sin()[42πα+∈-，)[4πα+∈-，∴原函数的值域为[-．〔6〕数形结合法：23(4)|1||4|5(41)23(1)x x y x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩，∴5y ≥，∴函数值域为[5,)+∞．〔7〕判别式法：∵210xx ++>恒成立，∴函数的定义域为R ．由22221x x y x x -+=++得：2(2)(1)20y x y x y -+++-=① ①当20y -=即2y =时，①即300x +=，∴0x R =∈②当20y -≠即2y ≠时，∵x R ∈时方程2(2)(1)20y x y x y -+++-=恒有实根， ∴22(1)4(2)0y y =+-⨯-≥，∴15y ≤≤且2y ≠，∴原函数的值域为[1,5]．〔8〕2121(21)111121212121222x x x x y x x x x x x -+-+===+=-++----，∵12x >，∴102x ->，∴112122x x -+≥=-112122x x -=-时，即12x +=时等号成立．∴12y ≥，∴原函数的值域为1,)2+∞． 〔9〕〔法一〕方程法：原函数可化为：sin cos 12x y x y -=-，)12x y ϕ-=-〔其中cos ϕϕ==〕，∴sin()[1,1]x ϕ-=-，∴|12|y -≤2340y y -≤，∴403y ≤≤， ∴原函数的值域为4[0,]3． 〔法二〕数形结合法：可看作求点(2,1)与圆221x y +=上的点的连线的斜率的范围，解略．例2．假设关于x 的方程|3|2(22)3x a ---=+有实数根，务实数a 的取值范围．解：原方程可化为|3|2(22)3x a --=--，令|3|2x t --=，那么01t <≤，2()(2)3a f t t ==--，又∵()a f t =在区间(0,1]上是减函数，∴(1)()(0)f f t f ≤<，即2()1f t -≤<，故实数a 的取值范围为：21a -≤<． 例3．〔高考A 方案考点9，智能训练16〕某化装品消费企业为了占有更多的场份额，拟在2021年度进展一系列的促销活动．经过场调查和测算，化装品的年销量x 万件与年促销费用t 万元(0)t≥之间满足：3x -与1t +成反比例；假设不搞促销活动，化装品的年销量只能是1万件．2021年，消费化装品的固定投入为3万元，每消费1万件化装品需再投入32万元．当将每件化装品的售价定为“年平均每件本钱的150％〞与“年平均每件所占促销费的一半〞之和，那么当年产销量相等．〔1〕将2021年的年利润y 万元表示为年促销费t 万元的函数；〔2〕该企业2021年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？ 〔注：利润＝收入－消费本钱－促销费〕解：〔1〕由题设知：31k xt -=+，且0t =时，1x =，∴2k =，即231x t =-+， ∴年消费本钱为2[32(3)3]1t -++万元，年收入为21150%[32(3)3]12t t -+++．∴年利润212{150%[32(3)3]}[32(3)3](0)121y t t t t t =-++--+-≥++，∴29835(0)2(1)t t y t t -++=≥+． 〔2〕由〔1〕得2(1)100(1)6413250()50422(1)21t t t y t t -+++-+==-+≤-=++，当且仅当13221t t +=+，即7t =时，y 有最大值42． ∴当促销费定为7万元时，2003年该化装品企业获得最大利润． 〔四〕稳固练习：1．函数221xx y =+的值域为(0,1)．2．假设函数()log a f x x =在[2,4]上的最大值与最小值之差为2，那么a =2．五．课后作业：高考A方案考点1，智能训练3，4，9，12，13，14．。
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浙江省衢州市仲尼中学高三数学一轮复习教案：函数的值域、函数
●教材分析: 函数的值域、单调性，奇偶性、周期性的应用在高考中分值较大。
选择题中出现的概率很高，大题中是必考题，大多是在高考最后两题中的第一小问中考察。
小题难度
居中，大题第一问偏易，是学生的考试的得分点。
●学情分析：通过本章前六节的复习，学生基本理解掌握了基础知识，但是还是有部分学生容易遗忘，进行知识整理，可以帮助学生归纳知识点，更好的帮助学生练习函数的各种基本性质，同时可先激发学生拾起回忆，渐渐深入探究更深层次的函数应用问题。
●教学目标：考察学生理解函数单调性、单调区间、值域、奇偶性、周期性定义、性质及解题方法步骤；帮助学生整理函数基本知识点，连贯前后知识，本节知识起到承上启下的
作用。
为下一节学习对函数图像性质及应用打下学习基础，培养学生整理知识的习惯，培养学生自主学习的能力。
●教学重难点: 函数的值域与单调性、函数奇偶性与周期性定义及性质，以及各种题的解题方法。
●教学过程：
▲知识整理与练习
（一）函数的值域
C1. 函数的值域：
值域是全体所成的集合，一旦和对应法则确定，函数的值域也就随之确定。
因此，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑其定义域。
C2. 基本函数的值域：
（1）一次函数的值域为；
（2）二次函数，当时值域是，当时，值域是；
（3）反比例函数的值域为；
（4）指数函数的值域是；
（5）对数函数的值域是；
（6）正弦函数、余弦函数的值域为，正切函数、余切函数的值域为。
C3. 求值域的基本方法：
（1）分析观察法求值域：有的函数的结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。
B（2）配方法求值域
二次函数或能转化为形如：
型的函数的值域，均可用配方法，但要注意的取值范围。
B（3）不等式法求值域
利用基本不等式可求某些函数的值域，但要注意“全正、定值、取等号”的条件。
A（4）判别式法求值域
把函数转化为关于x的二次方程，通过方程有实根，判别式，从而求得原函数的值域。
形如的函数的值域常用此法求得。
（5）反函数法求值域(了解，不作要求)
利用函数与它的反函数的定义域和值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域。
形如的函数值域可用此法。
B（6）利用函数的单调性求值域
如能确定函数在定义域的单调性，则可利用单调性求出其值域。
形如（a、b、c、d均为
常数，），在a、c同号时，其单调性可确定，故可用单调性求其值域。
在利用基本不等式求值域失效（等号不满足）时，此时，由于在所给定义域中取不到最值，故函数在定义域上是单调的，故可采用单调性求值域。
B（7）换元法求值域
运用代数或三角换元，将所给函数转化成值容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。
形如：（a、b、c、d均为常数，且）的函数常用此法求值域。
B（8）数形结合法求值域
利用函数所表示的几何意义，借助几何方法或图像来求函数的值域。
（二）函数的奇偶性与周期性
C 1. 函数的奇偶性的概念
设函数，对任意的都有，则是偶函数；若对任意的都有，则是奇函数。
由定义可知：
（1）函数的定义域是函数为奇函数或偶函数的必要条件，所以判定函数的奇偶性时，首先要看定义域是否关于原点对称。
如函数既。
（判断奇偶性）
（2）函数按奇偶性分类可分为：是奇函数但不是偶函数；；既是奇函数又是偶函数；。
（3）既是奇函数又是偶函数的函数，其解析式必为；若为奇函数，且有定义，则必有。
C2. 奇偶函数的图像特征
为奇函数的图像关于对称；
为偶函数图像关于对称。
根据奇偶函数的图像特征，由函数的图像的对称性可判断函数的奇偶性；反之由的奇偶性，可判断函数的图像的对称性。
C3. 周期函数
设函数，如果存在非零的常数T，使得对任何都有，则函数为周期函数，T为的一个周期。
4. 函数奇偶性的应用(了解)
（1）利用奇偶性求有关函数值；
（2）利用奇偶性求有关函数解析式；
（3）利用奇偶性研究函数的其他性质；
（4）奇偶性的推广。
C 函数对定义域内的任一x都有，则的图像关于直线对称，函数对定义域内的任一x都有，则的图像关于点成中心对称图形。
（三）函数的单调性
C1. 函数的单调性及单调区间
（1）增函数：对任意，则为上的；
（2）减函数：对任意，则为上的。
单调区间：在某个区间M上的递增函数或递减函数统称为区间M上的单调函数，而这个区间M称为单调区间。
图像特征：在上单调递增的函数，左向右看其图像逐渐；在上单调递减的函数，
左向右看其图像逐渐。
C 2. 基本函数的单调性
（1）一次函数，当时，是增函数，当时是减函数；
（2）二次函数的单调性由a的符号及对称轴的位置决定：当，在递，在上递；当时，在上递增，在上递减。
（3）反比例函数，当时，在和（）都是函数；在时，在和都是函数。
（4）指数函数，当时，在R上是增函数；当时，在R上是减函数。
（5）对数函数，当时，在（）上是增函数，当时，在（）上是减函数。
（6）幂函数，当时，是常函数，当时，上
是函数；当时上是函数，至于的情形可借助函数的定义域和奇偶性结合的增减性来考虑。
（7）三角函数（在下一章节中会详细学习）
B 3. 单调性的判断或证明
单调性的判断或证明的基本方法是利用单调性的定义，其一般步骤是：
（1）任取，且；
（2）证明（或）；
（3）根据定义，得出结论。
在第（2）步证明与的大小关系时，常采用“作差——变形——判断符号”。
B 4. 复合函数的单调性
对于复合函数的单调性由与的单调性决定，其规律可列成下表，实施该法则时，首先应考虑函数的定义域。
▲课堂小结
师口述：本节课对前面学习的函数值域单调性及奇偶性的知识进行整理，希望同学们学会整理阶段性知识，并掌握本节课知识要点。
▲课后作业
要求掌握C、B类定义性质及相关公式、步骤等知识要点，晚自习课上以听写的形式检查掌握情况。
▲板书设计
B 3. 单调性的判断或证明一般步骤：
作差——变形——判断符号
C3. 求值域的基本方法： B 4. 复合函数的单调性
（二）函数的奇偶性与周期性
C1. 函数的奇偶性的概念
C2. 奇偶函数的图像特征。