(完整word版)高中数学《求椭圆焦点三角形四心地轨迹方程》地教学设计课题

《求椭圆焦点三角形四心的轨迹方程》的教学设计

一、指导思想与理论依据

数学在其自身的发展过程中，充满了合情推理和逻辑推理的过程，充满了数学实验的过程．如何使学生在数学学习中，受到数学文化的熏陶，体验到数学思想、方法的美妙，进而使思维品质得到有效的锻炼、逐步形成“数学的看世界”的思维方式呢？本人经过多年的思考和教学实践证明：“经历”是最好的训练手段．在数学问题的解答、研究过程中，让学生经历“动手、动脑、猜想、修正猜想、验证猜想、严格证明、拓展研究”的数学问题解决、发展的全过程，即合情推理、逻辑推理、数学实验的过程，可以强化学生的种种“感受”，是使学生“掌握知识、技能，提高能力，形成‘数学的看世界’的思维方式”好方法之一．结合教学内容，为了使学生能够更深刻的感知问题背景，为了使猜想更加令人信服，为了更深刻挖掘教学的资源，提高教学效果，本节课使用多媒体课件作为辅助手段（只靠粉笔、黑板是绝不可能达到的）．

二.教学背景分析

1.教学内容分析

由于“通过几何图形性质的坐标形式，求出某些动点的轨迹方程”，是解析几何的基本问题之一；由于对“椭圆焦点三角形的性质”的有关问题的解决，要用到初中、高中的代数、三角和平面几何的知识，对这类问题的解决能有效的体现学生综合运用知识解决问题的能力，因此，它在高考试题中也是“上式率”比较高的内容．所以，对椭圆焦点三角形四心轨迹方程的研究是非常必要的．

2.学生情况分析

这是一节解题方法探索课．

⑴知识方面：学生刚刚学完圆锥曲线的知识，对椭圆的基本性质掌握的比较好；初中学的三角形内心的性质已经淡忘，布置学生课下复习或从网上搜集材料；“求轨迹方程”的方法学生刚刚学完，中等、中下等学生运用的不太熟练，课前需要简单的复习．

⑵能力方面：多数同学能够解决一些“求轨迹方程”的简单问题，但是，对

利用画图、轨迹经过的特殊点进行合情推理（猜想、验证）的运用意识和能力不强；综合运用知识解决问题的能力有待提高．为此，我设计了这样一节“解题方法探索”课，以进一步提高学生数学学习能力．

⑶学生可能的问题：由于受手画椭圆准确程度的限制，学生可能猜不出轨迹，这时需要课件适时的演示，加以确认；认可轨迹是椭圆后，容易把猜想出的轨迹方程当作所求方程；缺乏严格论证的意识，需要教师加以阐明；中等、中下等学生对给出的知识、方法不会合理应用，需要教师的课上单独辅导（只能是少数的学生）．

⑷教学软件：由于教师经常使用《几何画板》软件制作的课件授课，所有学生对《几何画板》软件有一定的了解（多数学生已经安装在自己的计算机上）．

3.教学方式与教学手段

(1)教学方式的采用:

根据本节的教学内容以及学生的知识结构、心理特点，我采用“启发方法、引导猜想，让学生动手实验、动脑探索”的教学方法，让学生经历“数学实验、合情推理、逻辑推理”过程，充分体现学生的主体作用，达到强化学生的“感受”，使学生“掌握知识、技能，提高能力．

(2)教学手段的采用

为了更有效地突出本节课“探索”的特点，为了更有效地突出研究“几何学”的方法，采用多媒体作为辅助的教学手段，利用《几何画板》的强大的绘图功能及其动态演示，提高学生对图形的认识，引发学生对问题更深入的思考．

⑴用课件演示椭圆动态的形成过程和规范的图形，有利于帮助学生建立准确的图象印象和空间想象力，有利于学生正确理解椭圆的性质，有利于学生理解数学对“运动、变化”规律的研究方法．这是粗糙的手绘图形所不能相比的．

⑵学生通过画图、观察只能有一部分同学猜出椭圆焦点三角形内心的轨迹是椭圆，多数同学对需要准确的图形来印证，图形连续变化形成轨迹的过程，更具有可信度，间断、粗糙的手绘图形说服力不够（尤其对数学学习有障碍的学生）．

⑶学生画椭圆的时候,经常出现的问题是:在长轴顶点位置不光滑或太“尖”；焦距、长轴的比例与离心率不符；掌握不好焦点与准线的位置，……,这些都应当在准确的图形中加以说明．

⑷利用课件中准确的椭圆焦点三角形外心的轨迹，讲解更简单、明了，对学生思路的启发效率更高．

⑸课件中椭圆焦点三角形四心的同时运动,可以自然、流畅的把欧拉线问题引入；通过将问题类比到双曲线、抛物线中去，使问题研究的方法、范围自然、流畅的引向它处，．

4. 信息技术准备

运行软件：《几何画板》，《powerpoint》，WINDOWS98以上操作系统。

利用《几何画板》软件制作：动态椭圆、动态焦点三角形及其内心轨迹的课件，使图形更直观、形象，猜想更可信．同时，激发学生的学习欲望，引发更深科的思考；利用实物投影展示学生的思路，促进学生之间的交流．

三．教学目标及内容框架设计

1．教学目标

a．通过实验、观察、分析、猜想、验证的过程，巩固基础知识和基本技能；

b．通过寻求解题方法的过程，使学生体验数学科思考问题、研究问题的方法；

c．通过严格的论证过程，使学生体验数学理性思维的本质特征；

ｄ．通过对原问题的不断挖掘、研究，培养学生科学的思维方法和积极探索的精神.

2．内容框架设计

本课是对书本知识的延伸、基本方法的巩固，以及思维能力的训练.

课堂内容包括：复习求轨迹方程的基本方法；展示动态的椭圆焦点三角形，给出问题，引发猜想；学生实验、探索过程；展示所求轨迹，确认猜想；严格论证；进一步的研究．

教学过程设计

教学

过程

教师活动学生活动设计意图

复习引入⒈能把你复习到了解或从网上找到的“三角形角平分线和内

心的性质”告诉我们吗？

⑴三角形ABC中，AD平分∠CAB，

则AB BD

AC CD

=

⑵

1

()

2

S a b c r

=++（r是三角形内切圆的半径）

⒉如何求动点的轨迹方程：求动点的轨迹方程，既求出动点

横、纵坐标的关系式；

具体方法有：利用圆锥曲线的定义；利用已知点的轨迹方程；

利用所给图形的性质；引进新的参数.

可以查笔

记，也可以

互相交流．

回忆知识，

提高速度。

保留板书

新课讲解[展示动态背景,提出问题]

⒈展示椭圆的形成过程

⒉展示椭圆焦点三角形的

运动过程

图（1）

⒊提出问题：

椭圆：)0

(1

2

2

2

2

>

>

=

+b

a

b

y

a

x

焦点三角形内心的轨迹及

其方程是什么？

[启发思考，引导猜想]

⒈你能猜出它的轨迹

吗？通过什么进行猜

想？

⑴画图：画出几个不同

位置的内心，光滑连接.

图（2）

⑵直接从运动的图中观察.

⒉你能猜出它的轨迹方程吗？通过什么进行猜想？

⑴通过轨迹与x轴、y轴的交点.

⑵猜想：方程1

)

(2

2

2

2

2

2

=

+

+

c

a

c

b

y

c

x

.

观察、思考

学生动手

画图;或继

续观察课

件.得出:

仍然是一

个椭圆.

学生动手

画图、验

算：

由轨迹通

过的特殊

点.

由动态图

形，降低形

象力要求，

直接观察

就可以猜

想.

启发、引导

学生画图、

演算

适时演示

课件，确认

学生的猜

想，时间不

能过长．