(完整word版)高中数学《求椭圆焦点三角形四心地轨迹方程》地教学设计课题

《求椭圆焦点三角形四心的轨迹方程》的教学设计
一、指导思想与理论依据
数学在其自身的发展过程中，充满了合情推理和逻辑推理的过程，充满了数学实验的过程．如何使学生在数学学习中，受到数学文化的熏陶，体验到数学思想、方法的美妙，进而使思维品质得到有效的锻炼、逐步形成“数学的看世界”的思维方式呢？本人经过多年的思考和教学实践证明：“经历”是最好的训练手段．在数学问题的解答、研究过程中，让学生经历“动手、动脑、猜想、修正猜想、验证猜想、严格证明、拓展研究”的数学问题解决、发展的全过程，即合情推理、逻辑推理、数学实验的过程，可以强化学生的种种“感受”，是使学生“掌握知识、技能，提高能力，形成‘数学的看世界’的思维方式”好方法之一．结合教学内容，为了使学生能够更深刻的感知问题背景，为了使猜想更加令人信服，为了更深刻挖掘教学的资源，提高教学效果，本节课使用多媒体课件作为辅助手段（只靠粉笔、黑板是绝不可能达到的）．
二.教学背景分析
1.教学内容分析
由于“通过几何图形性质的坐标形式，求出某些动点的轨迹方程”，是解析几何的基本问题之一；由于对“椭圆焦点三角形的性质”的有关问题的解决，要用到初中、高中的代数、三角和平面几何的知识，对这类问题的解决能有效的体现学生综合运用知识解决问题的能力，因此，它在高考试题中也是“上式率”比较高的内容．所以，对椭圆焦点三角形四心轨迹方程的研究是非常必要的．
2.学生情况分析
这是一节解题方法探索课．
⑴知识方面：学生刚刚学完圆锥曲线的知识，对椭圆的基本性质掌握的比较好；初中学的三角形内心的性质已经淡忘，布置学生课下复习或从网上搜集材料；“求轨迹方程”的方法学生刚刚学完，中等、中下等学生运用的不太熟练，课前需要简单的复习．
⑵能力方面：多数同学能够解决一些“求轨迹方程”的简单问题，但是，对
利用画图、轨迹经过的特殊点进行合情推理（猜想、验证）的运用意识和能力不强；综合运用知识解决问题的能力有待提高．为此，我设计了这样一节“解题方法探索”课，以进一步提高学生数学学习能力．
⑶学生可能的问题：由于受手画椭圆准确程度的限制，学生可能猜不出轨迹，这时需要课件适时的演示，加以确认；认可轨迹是椭圆后，容易把猜想出的轨迹方程当作所求方程；缺乏严格论证的意识，需要教师加以阐明；中等、中下等学生对给出的知识、方法不会合理应用，需要教师的课上单独辅导（只能是少数的学生）．
⑷教学软件：由于教师经常使用《几何画板》软件制作的课件授课，所有学生对《几何画板》软件有一定的了解（多数学生已经安装在自己的计算机上）．
3.教学方式与教学手段
(1)教学方式的采用:
根据本节的教学内容以及学生的知识结构、心理特点，我采用“启发方法、引导猜想，让学生动手实验、动脑探索”的教学方法，让学生经历“数学实验、合情推理、逻辑推理”过程，充分体现学生的主体作用，达到强化学生的“感受”，使学生“掌握知识、技能，提高能力．
(2)教学手段的采用
为了更有效地突出本节课“探索”的特点，为了更有效地突出研究“几何学”的方法，采用多媒体作为辅助的教学手段，利用《几何画板》的强大的绘图功能及其动态演示，提高学生对图形的认识，引发学生对问题更深入的思考．
⑴用课件演示椭圆动态的形成过程和规范的图形，有利于帮助学生建立准确的图象印象和空间想象力，有利于学生正确理解椭圆的性质，有利于学生理解数学对“运动、变化”规律的研究方法．这是粗糙的手绘图形所不能相比的．
⑵学生通过画图、观察只能有一部分同学猜出椭圆焦点三角形内心的轨迹是椭圆，多数同学对需要准确的图形来印证，图形连续变化形成轨迹的过程，更具有可信度，间断、粗糙的手绘图形说服力不够（尤其对数学学习有障碍的学生）．
⑶学生画椭圆的时候,经常出现的问题是:在长轴顶点位置不光滑或太“尖”；焦距、长轴的比例与离心率不符；掌握不好焦点与准线的位置，……,这些都应当在准确的图形中加以说明．
⑷利用课件中准确的椭圆焦点三角形外心的轨迹，讲解更简单、明了，对学生思路的启发效率更高．
⑸课件中椭圆焦点三角形四心的同时运动,可以自然、流畅的把欧拉线问题引入；通过将问题类比到双曲线、抛物线中去，使问题研究的方法、范围自然、流畅的引向它处，．
4. 信息技术准备
运行软件：《几何画板》，《powerpoint》，WINDOWS98以上操作系统。

利用《几何画板》软件制作：动态椭圆、动态焦点三角形及其内心轨迹的课件，使图形更直观、形象，猜想更可信．同时，激发学生的学习欲望，引发更深科的思考；利用实物投影展示学生的思路，促进学生之间的交流．
三．教学目标及内容框架设计
1．教学目标
a．通过实验、观察、分析、猜想、验证的过程，巩固基础知识和基本技能；
b．通过寻求解题方法的过程，使学生体验数学科思考问题、研究问题的方法；
c．通过严格的论证过程，使学生体验数学理性思维的本质特征；
ｄ．通过对原问题的不断挖掘、研究，培养学生科学的思维方法和积极探索的精神.
2．内容框架设计
本课是对书本知识的延伸、基本方法的巩固，以及思维能力的训练.
课堂内容包括：复习求轨迹方程的基本方法；展示动态的椭圆焦点三角形，给出问题，引发猜想；学生实验、探索过程；展示所求轨迹，确认猜想；严格论证；进一步的研究．
教学过程设计
教学
过程
教师活动学生活动设计意图
复习引入⒈能把你复习到了解或从网上找到的“三角形角平分线和内
心的性质”告诉我们吗？
⑴三角形ABC中，AD平分∠CAB，
则AB BD
AC CD
=
⑵
1
()
2
S a b c r
=++（r是三角形内切圆的半径）
⒉如何求动点的轨迹方程：求动点的轨迹方程，既求出动点
横、纵坐标的关系式；
具体方法有：利用圆锥曲线的定义；利用已知点的轨迹方程；
利用所给图形的性质；引进新的参数.
可以查笔
记，也可以
互相交流．
回忆知识，
提高速度。

保留板书
新课讲解[展示动态背景,提出问题]
⒈展示椭圆的形成过程
⒉展示椭圆焦点三角形的
运动过程
图（1）
⒊提出问题：
椭圆：)0
(1
2
2
2
2
>
>
=
+b
a
b
y
a
x
焦点三角形内心的轨迹及
其方程是什么？
[启发思考，引导猜想]
⒈你能猜出它的轨迹
吗？通过什么进行猜
想？
⑴画图：画出几个不同
位置的内心，光滑连接.
图（2）
⑵直接从运动的图中观察.
⒉你能猜出它的轨迹方程吗？通过什么进行猜想？
⑴通过轨迹与x轴、y轴的交点.
⑵猜想：方程1
)
(2
2
2
2
2
2
=
+
+
c
a
c
b
y
c
x
.
观察、思考
学生动手
画图;或继
续观察课
件.得出:
仍然是一
个椭圆.
学生动手
画图、验
算：
由轨迹通
过的特殊
点.
由动态图
形，降低形
象力要求，
直接观察
就可以猜
想.
启发、引导
学生画图、
演算
适时演示
课件，确认
学生的猜
想，时间不
能过长．
新课讲解[展示轨迹，验证猜想]
图（3）
⒈确实象一个椭圆.
⒉通过原椭圆的焦点,与y轴的交点坐标如何求的?
图（4）
提示：利用三角形角平分线的性质和椭圆的知识．
[理性思考，严格论证]
⒈你有充分理由说明这个椭圆焦点三角形的轨迹是椭圆
吗？
——不能通过椭圆的两个定义说明．
⒉这个方程可靠吗？
——在没有说明是椭圆的时候，这个方程也不可靠．
⒊如何说明它的轨迹是椭圆呢？
——通过方程．
⒋如何正确的求出它的轨迹方程？
——借助点P的轨迹方程.
展示学生解答过程
翘首以待．
学生证明．
并展示交
流．
思考问题，
可以交流．
思考问题，
可以交流．
思考问题，
可以交流．
独立思考，
设计方案，
稍后交流．
多方面验
证猜想正
确后，再考
虑证明．
运用初中
知识，并为
后面的证
明作好准
备．
巩固基础
知识，同时
感受数学
理性思考
特征．
新课讲解
解：如图（5），设点P()00,y
x，
内心I为)
,
(y
x，焦点
)0,
(
)0,
(
2
1
c
F
c
F、
-，
1
1
r
PF=，
2
2
r
PF=，则
2
1
2ex
r
r=
-．图（5）
过内心I作IF
IE
ID、
、垂直
2
1
2
1
PF
P
F
F
F、
、于点F
E
D、
、．
∵点I是△P
F
F
2
1
的内心，点F
E
D、
、是切点，
∴得方程组
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
=
+
=
+
c
D
F
D
F
r
F
F
PF
r
E
F
PE
2
2
1
2
2
1
1
，
结合
2
1
2ex
r
r=
-，解得：
1
ex
c
D
F+
=．
而x
c
D
F+
=
1
，∴
ex
x=，既
e
x
x=
．………①
又∵△P
F
F
2
1
面积
y
c
S=，
y
c
a
y
PF
PF
F
F
S
F
)
(
)
(
2
1
1
2
1
+
=
+
+
=，
∴
y
c y
c
a)
(+
=，既
y=y
c
c
a+
．……………②
将①②代入)0
(1
2
2
2
2
0>
>
=
+b
a
b
y
a
x
，
得1
)
(2
2
2
2
2
2
=
+
+
c
a
c
b
y
c
x
．可知，椭圆)0
(1
2
2
2
2
>
>
=
+b
a
b
y
a
x
焦点
三角形内心的轨迹是一个椭圆．
利用前面
所学知识
求解.
思考问题，
可以交流．
综合运用
三角形内
心的性质、
椭圆的定
义及椭圆
的性质和
基本方法
解题.
①式得
出的难度
教大，应及
时引导.
得出②式
的方法很
多,可以交
流.
[方法小结，巩固练习]
椭圆：)0
(1
2
2
2
2
>
>
=
+b
a
b
y
a
x
焦点三角形外心的轨迹及其
方程是什么？（
22
||
2
b c
y
b
-
≥）
独立思考，
设计方案，
稍后交流．
课堂巩固
知识、方
法、解题过
程．
教学过程流程图
四． 学习效果评价
本节课，在教师引导学生对“椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 焦点三角形内心的轨迹
及其方程”的实验、观察、猜想、验证、论证的过程中，学生积极地投入到学习活动的各个环节，充分体现了学生在学习活动中的主体地位，椭圆的基础知识、求轨迹方程的基本方法得到巩固和强化，综合运用知识解决问题的能力得以提高；合理的教学结构设计，使课堂气氛活跃，学习氛围融洽，学生思维量大，学生智力得到有效开发；特别是，学生在“实验、观察、猜想、验证、论证”的过程中，体验到了合情推理在数学发现、发展过程中的地位，体验到数学学科理性思考的特征，体验到数学家们“一丝不苟，严谨求实，善于探索”的优良品质；课后学生们都说“这样的课有意思”，对数学问题探索的方式、方法，表现出了
极大的兴趣．
本节课是邱老师把自己对这个问题的研究过程，经过分析、提炼、删减、组合设计而成的一节课，充分体现了“研究、教学、学习共同发展”给课堂教学带来的活力，使这节课能力立意突出，充分体现了数学课上培养学生能力的特征和途径．。