函数与方程练习题练习题(基础、经典、好用)

函数与方程练习题
一、选择题
1．(2013·东莞模拟)方程log 3x ＋x －3＝0的解所在的区间是( )
A ．(0，1)
B ．(1，2)
C ．(2，3)
D ．(3，4)
2．函数f (x )＝⎩
⎨⎧x 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ，x ＞0的零点个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
3．(2013·深圳调研)已知符号函数sgn(x )＝⎩⎨⎧1，x ＞0，
0，x ＝0，－1，x ＜0，
则函数f (x )＝sgn(ln x )－ln x 的零
点个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．(2013·济南模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 3，x ≤0，（13
）x －log 2x ，x ＞0，若x 0是y ＝f (x )的零点，且0＜t ＜x 0，则f (t )( )
A ．恒小于0
B ．恒大于0
C ．等于0
D ．不大于0
5．设x 1，x 2是方程ln|x －2|＝m (m 为实常数)的两根，则x 1＋x 2的值为( )
A ．4
B ．2
C ．－4
D ．与m 有关
二、填空题
6．若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．
7．已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a ＞0，且a ≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________．
8．(2013·肇庆模拟)若函数y ＝f (x )(x ∈R) 满足f (x ＋2)＝f (x )且x ∈[－1，1]时，f (x )＝1－x 2；函数g (x )＝lg|x |，则函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在区间[－5，5]内的交点个数共有________个．
三、解答题
9．已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围．并求出该零点．
10．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a .
(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；
(2)若y ＝f (x )在区间(－1，0)及(0，12)内各有一个零点，求实数a 的范围．
11．(2013·深圳调研)已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x .
(1)写出函数y ＝f (x )的解析式；
(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围．
详细答案
一、选择题
1．【解析】 设f (x )＝log 3x ＋x －3，则f (1)＝0＋1－3＝－2＜0，
f (2)＝lo
g 32＋2－3＝log 32－1＜0，
f (3)＝lo
g 33＋3－3＝1＞0，
∴f (2)·f (3)＜0，故方程log 3x ＋x －3＝0的解所在的区间是(2，3)．
【答案】 C
2．【解析】 法一 令f (x )＝0，
得⎩⎨⎧x ≤0，x 2＋2x －3＝0或⎩
⎨⎧x ＞0，ln x ＝2， 所以x ＝－3或x ＝e 2，应选B.
法二 画出函数f (x )的图象可得，图象与x 轴有两个交点，则函数f (x )有2个零点．
【答案】 B
3．【解析】 sgn(ln x )＝⎩⎨⎧1，x ＞1，0，x ＝1，－1，0＜x ＜1，
故函数f (x )＝sgn(ln x )－ln x 的零点分别为e ，1，1e .
【答案】 C
4．【解析】 当x ＞0时，由f (x )＝(13)x －log 2x ＝0得(13)x ＝log 2x ，在同一坐标系中分别作
出y＝(1
3)
x，y＝log2x的图象，由图象可知，当0＜t＜x0时，(
1
3)
t＞log2t，所以此时f(t)恒大于0，
选B.
【答案】 B
5．【解析】函数y＝ln|x－2|的图象关于直线x＝2对称，
从而x1＋x2＝4.
【答案】 A
二、填空题
6．【解析】函数f(x)的零点的个数就是函数y＝a x与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图象如图所示，可知a＞1时两函数图象有两个交点，0＜a＜1时两函数图象有唯一交点，故a＞1.
【答案】(1，＋∞)
7．【解析】∵2＜a＜3＜b＜4，
当x＝2时，f(2)＝log a2＋2－b＜0；
当x＝3时，f(3)＝log a3＋3－b＞0，
∴f(x)的零点x0在区间(2，3)内，∴n＝2.
【答案】 2
8．【解析】函数y＝f(x)以2为周期，y＝g(x)是偶函数，画出图象可知有8个交点．
【答案】8
三、解答题
9．【解】∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，
∴方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．
设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0.
当Δ＝0时，即m2－4＝0，
∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(舍去)．
∴2x ＝1，x ＝0符合题意．
当Δ＞0时，即m ＞2或m ＜－2时，
t 2＋mt ＋1＝0有两正或两负根，即f (x )有两个零点或没有零点．
∴这种情况不符合题意．
综上可知当m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0.
10．【解】 (1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题．
依题意：f (x )＝1即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0，
∵Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0恒成立，
∴x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根．
(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1，0)及(0，12)内各有一个零点
只须⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＞0，f （0）＜0，f （12）＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a ＞0，1－2a ＜0，34－a ＞0，
解之得12＜a ＜34.
11．【解】 (1)当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)．
∵y ＝f (x )是奇函数，
∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ，
∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0.
(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1的最小值为－1；
当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x 2－2x ＝1－(x ＋1)2的最大值为1.
∴据此作出函数y ＝f (x )的图象(如图所示)，根据图象得，若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，则a 的取值范围是(－1，1)．。