定积分习题

第九章 定 积 分

练 习 题

§1定积分概念

习 题

1．按定积分定义证明：⎰-=b

a a

b k kdx ).(

2．通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集{}i ξ，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分：

（1）⎰∑=+=1

01

2

233

)1(41:;n

i n n i dx x 提示 （2）⎰10;dx e x （3）⎰b

a x dx e ; （4

）2(0).(:b

i a

dx

a b x

ξ<<=⎰

提示取

§2 牛顿一菜布尼茨公式

1．计算下列定积分：

（1）⎰+10)32(dx x ； （2）⎰+-1

022

11dx x x ； （3）⎰2ln e e x x dx ；

（4）⎰--102

dx e e x

x ； （5）⎰30

2tan π

xdx （6）⎰+

9

4;)1(dx x

x

（7）⎰+4

0;1x dx

（8）⎰e

e

dx x x

12

)(ln 1 2．利用定积分求极限： （1）);21(1

334lim n n

n +++∞→ （2）;)(1)2(1)

1(1222lim

⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++∞

→n n n n n n （3）);21

)2(111(

2

22lim n

n n n n +++++∞→ （4）)1sin 2sin (sin 1lim n

n n n n n -+++∞

→ ππ

3．证明：若f 在[a,b]上可积，F 在[a,b]上连续，且除有限个点外有F ＇（x ）=f (x),则有

()()().b

a f x dx F

b F a =-⎰

§3 可积条件

1．证明：若T ˊ是T 增加若干个分点后所得的分割，则∑∑∆≤∆'

.''T T

i i i i χωχω

2．证明：若f 在[a,b]上可积，[][][]上也可积在则ββ,,,,a f b a a ⊂.

3.设f ﹑g 均为定义在[a,b]上的有界函数。证明：若仅在[a,b]中有限个点处

()(),χχg f ≠则当f 在[a,b]上可积时，g 在[a,b]上也可积，且

()().χχχχd g a b

d f a b ⎰⎰=

3．设f 在[a,b]上有界，{}[],

,b a a n ⊂.lim c a

n

n =∞

→证明：在[a,b]上只有

() ,2,1=n a n 为其间断点，则f 在[a,b]上可积。 4．证明：若f 在区间∆上有界，则

()()()()"','".sup sup inf f f f f χ

χχχχχχχ∈∆

∈∆

∈∆

-=-。

§4 定积分的性质

1.证明:若f 与g 都在[a,b]上可积,则

∑⎰

=→=∆n

i b

a

i

i

i

T dx x g x f x g f 1

0,)()()()(lim

ηξ

其中i i ηξ,是T 所属小区间△i 中的任意两点,i=1,2…,n.

2.不求出定积分的值,比较下列各对定积分的大小: (1)⎰⎰1

1

;2dx x xdx 与

(2)⎰⎰20

20

.sin ππxdx xdx 与

3.证明下列不等式:

(1)

20

;2

2π

π

π

<<⎰

(2)1201x e dx e <<⎰;

(3)20

sin 12;xdx dx x π

π

<<⎰

(4)4 6.e e <<⎰ 4.设f 在[a,b]上连续,且f(x)不恒等于零,证明()()2

0.b

a

f x dx >⎰

5.设f 与g 都在[a,b]上可积,证明

[]

{}[]

{})(),()(,)(),()(m in m ax ,,x g x f x m x g x f x M b a x b a x ∈∈==

在[a,b]上也都可积.

6.试求心形线πθθ20),cos 1(≤≤+=a r 上各点极径的平均值.

7.设f 在[a,b]上可积,且在[a,b]上满足.0)( m x f ≥证明

f

1

在[a,b]上也可积.

8.进一步证明积分第一中值定理(包括定理9.7和定理9.8)中的中值点ξ∈(a,b).

9.证明:若f 与g 都在[a,b]上可积,且g(x)在[a,b]上不变号,M 、m 分别为 f(x)在[a,b]上的上、下确界,则必存在某实数μ(m ≤μ≤M),使得

⎰⎰=b

a

b

a

dx x g dx x g x f .)()()(μ

10.证明:若f 在[a,b]上连续,且⎰⎰==b a

b

a

dx x xf dx x f ,0)()(则在(a,b)内至少

存在两点x 1,x 2,使f(x 1)= f(x 2)=0.又若⎰=b

a

dx x f x ,0)(2这时f 在(a,b)内是否至

少有三个零点?

11.设f 在[a,b]上二阶可导,且"f (x)>0.证明:

(1)⎰-≤⎪⎭

⎫

⎝⎛+b a dx x f a b b a f ;)(12 (2)又若[],,,0)(b a x x f ∈≤则又有

[].,,)(2)(b a x dx x f a b x f b

a ∈-≥⎰ 12.证明:

(1)1

1

ln(1)11ln ;2

n n n +<++

+

<+ (2).1ln 1

211lim =+++

∞

→n

n n

§5 微积分学基本定理·定积分计算(续)