计算机数学-图形变换的矩阵方法
3D游戏与计算机图形学中的数学方法-变换
3D游戏与计算机图形学中的数学⽅法-变换1变换在3D游戏的整个开发过程中，通常需要以某种⽅式对⼀系列的向量进⾏变换。
通常⽤到的变换包括平移，缩放和旋转。
1.1通⽤变换通常可将n x n可逆矩阵M看成是⼀个从坐标系到另⼀个坐标系的变换矩阵。
M的列给出了坐标系从原坐标系到新坐标系的映射。
例如M是⼀个n x n可逆矩阵，当M与向量(1,0,0)，(0,1,0)和(0,0,1)相乘时，可以得到类似地，M-1的列给出了坐标轴从新坐标轴系到原坐标轴系的映射。
这样对于任意给定的线性⽆关的向量U,V,W可以构造⼀个变换矩阵，该矩阵将这些向量映射到向量(1,0,0)，(0,1,0)和(0,0,1)。
多个变换可以串联起来，并且可以将多个变换矩阵的乘积⽤⼀个矩阵来表⽰。
假设需要先⽤矩阵M后⽤矩阵G对⼀个对象进⾏变换，由于乘积满⾜结合律，对于任意向量P都有G（MP）=（GM）P，因此只需存储GM的乘积得到的矩阵，将该矩阵作为对象的变换矩阵即可。
这样就可以对定点进⾏多次变换，⽽存储空间不变。
正交矩阵是⼀种其转置矩阵等于其逆矩阵的矩阵。
正交矩阵只能⽤于表⽰旋转和反射的组合。
反射指在某⼀⽅向上将点进⾏镜像的⼀种运算。
例如，矩阵以xy平⾯为对称⾯对⼀点的z坐标进⾏反射。
⼿向性在三维空间中，有3D向量V1，V2，V3构成的坐标系的基&具有⼿向性。
对于右⼿基，有（V1*V2）. V3>0。
也就是说，在⼀个右⼿坐标系中，v1，v2的叉积的⽅向与v3的⽅向形成⼀个锐⾓。
如果&是⼀个正交规范的右⼿基，则有v1*v2=v3。
若（v1*v2）.v3<0，那么&是左⼿基。
进⾏奇数次反射操作就会改变⼿向性，偶数次反射相当于⼀次旋转。
通过观察3x3矩阵的⾏列式，就可以判定矩阵是否存在反射。
若M的⾏列式是负的，则存在反射，⽤M对任意基的向量进⾏变换操作后，基的⼿向性都会发⽣改变。
如果⾏列式是正的，那么M不改变⼿向性。
计算机图形学之图形变换
4 T
3
2 p
1
0
012 34 567 8
线段和多边形的平移可以通过顶点的
平移来实现。同样线段和多边形的其它几 何变换也可以通过对顶点的几何变换来实 现。
2. 旋转变换(Rotation) 二维旋转有两个参数：
旋转中心： 旋转角：
？
6 P’
5
4
3
P
2
1
0
012 34 567 8
设OP与x轴的夹角为 则：
由于采用齐次坐标矩阵表示几何变换， 多个变换的序列相应地可以用矩阵链乘来表 示。
需要注意：先作用的变换其矩阵在右边， 后作用的变换其矩阵在左边。
变换函数
平移变换 void glTanslate{fd}(TYPE x, TYPE y, TYPE z);
旋转变换 void glRotate{fd}(TYPE angle, TYPE x, TYPE y, TYPE z); 绕矢量v=(x,y,z)T逆时针方向旋转angle指定的角度。 旋转角度的范围是0~360度。当angle=0时， glRotate()不起作用。
二维旋转有两个参数： 旋转中心： 旋转角：
上述变换可以分解为三个基本变换：
•平移：
•旋转：
•平移： 回原位。
使旋转中心移到坐标原点； 使旋转中心再移
二维旋转有两个参数： 旋转中心： 旋转角：
因此上述变换可以写成矩阵乘积形式：
4. 5 基本三维几何变换(Basic three-dimensional geometric transformation)
1. 矩阵表示(Matrix representation) 前面三种变换都可以表示为如下的矩
阵形式
矩阵的变换与运算矩阵的乘法与逆矩阵
矩阵的变换与运算矩阵的乘法与逆矩阵矩阵的变换与运算：矩阵的乘法与逆矩阵矩阵在数学中扮演着重要的角色，它可以用于描述线性变换或者表示线性系统的方程组。
本文将讨论矩阵的变换与运算，重点介绍矩阵的乘法与逆矩阵两个关键概念。
一、矩阵的乘法（Matrix Multiplication）矩阵的乘法是矩阵运算中的一种基本运算，表示为A * B，其中A 和B分别为两个矩阵。
在进行矩阵乘法时，需要满足乘法的条件：A 矩阵的列数等于B矩阵的行数。
矩阵乘法的计算方法是将A矩阵的每一行与B矩阵的每一列进行内积运算，并将结果填入一个新的矩阵C中。
具体计算过程如下：C[i][j] = A[i][1]*B[1][j] + A[i][2]*B[2][j] + ... + A[i][n]*B[n][j]其中，C[i][j]表示矩阵C中第i行第j列的元素，A[i][k]表示矩阵A 中第i行第k列的元素，B[k][j]表示矩阵B中第k行第j列的元素。
矩阵乘法的重要性在于可以描述线性变换的复合效果，同时也有利于解决线性方程组。
在实际应用中，矩阵乘法广泛运用于计算机图形学、信号处理、最优化等领域。
二、逆矩阵（Inverse Matrix）逆矩阵是指对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得A * B = B * A = I，其中I为单位矩阵。
逆矩阵的存在与否与矩阵的行列式密切相关。
判断矩阵A是否可逆的条件是行列式不等于零，即|A| ≠ 0。
若矩阵A可逆，则可以通过一系列行变换将其转化为单位矩阵，对应的变换矩阵为逆矩阵。
逆矩阵的计算可以使用伴随矩阵法或者初等行变换法。
例如，对于一个2x2的矩阵A：A = [a b][c d]若|A| ≠ 0，即ad - bc ≠ 0，则A的逆矩阵存在，并可表示为：A^-1 = 1/(ad - bc) * [d -b][-c a]逆矩阵的应用广泛，例如求解线性方程组、计算矩阵的行列式与秩、求解微分方程等。
三、矩阵的变换（Matrix Transformation）矩阵的变换是指通过矩阵的乘法，对向量进行线性变换。
逆时针旋转矩阵公式
逆时针旋转矩阵公式
逆时针旋转矩阵公式是一种数学工具，用于描述二维平面上的旋转变换。
在计算机图形学、机器人学、物理学等领域中，逆时针旋转矩阵公式被广泛应用。
逆时针旋转矩阵公式的基本形式为：
R(θ) = [cos(θ) -sin(θ)]
[sin(θ) cos(θ)]
其中，θ表示旋转角度，R(θ)表示旋转矩阵。
这个公式的意义是，将一个向量绕原点逆时针旋转θ度后，得到的新向量可以通过旋转矩阵R(θ)与原向量相乘得到。
逆时针旋转矩阵公式的应用非常广泛。
在计算机图形学中，我们可以利用这个公式来实现图像的旋转变换。
例如，我们可以将一张图片绕中心点逆时针旋转90度，然后再将其显示出来。
在机器人学中，逆时针旋转矩阵公式可以用来描述机器人的运动轨迹。
在物理学中，逆时针旋转矩阵公式可以用来描述物体的旋转运动。
除了基本形式外，逆时针旋转矩阵公式还有一些变形。
例如，我们可以将旋转矩阵R(θ)分解为三个矩阵的乘积，即：
R(θ) = Rz(θ) Ry(θ) Rx(θ)
其中，Rx(θ)、Ry(θ)、Rz(θ)分别表示绕x轴、y轴、z轴逆时针旋
转θ度的矩阵。
这个分解形式可以更方便地描述三维空间中的旋转变换。
逆时针旋转矩阵公式的推导过程比较复杂，需要涉及到向量的内积、外积、三角函数等知识。
但是，一旦掌握了这个公式，就可以轻松地实现各种旋转变换，为我们的工作和生活带来便利。
逆时针旋转矩阵公式是一种非常重要的数学工具，具有广泛的应用价值。
我们可以通过学习这个公式，更好地理解和应用旋转变换，为各种领域的研究和应用提供支持。
4乘4的齐次变换矩阵___解释说明以及概述
4乘4的齐次变换矩阵解释说明以及概述1. 引言1.1 概述齐次变换矩阵是计算机图形学和计算机视觉领域中常用的数学工具。
它在三维空间中描述了物体的位置、旋转、尺度缩放和投影等变换操作。
齐次变换矩阵是一个4x4的矩阵，通过乘法运算可以将一个向量进行各种形式的线性变换。
1.2 文章结构本文将对4x4齐次变换矩阵进行详细的解释说明，并讨论其应用领域和特殊性质。
首先，我们会介绍齐次变换矩阵的定义，以及基本的性质。
然后，我们将对齐次变换矩阵与变换参数之间的关系进行详细说明，并探讨其不同表示方法。
接着，我们会讨论齐次变换矩阵的运算性质，包括乘法、逆矩阵等操作。
最后，我们将分析4x4齐次变换矩阵在平移、旋转、尺度缩放和投影等方面的特殊性质，并探索它们在实际应用场景中的具体应用。
1.3 目的本文的目的是深入介绍和解释4x4齐次变换矩阵的数学背景、原理和应用。
通过对齐次变换矩阵的详细说明，读者可以加深对其数学模型和算法的理解，进一步掌握计算机图形学和计算机视觉相关领域的知识。
此外，本文还将探讨4x4齐次变换矩阵在实际应用中的特殊性质和潜在发展方向，为读者提供思考和探索的方向。
2. 齐次变换矩阵的解释:2.1 定义:齐次变换矩阵是一种用于描述二维或三维空间中刚体的变换方式的数学工具。
它由一个方阵表示，其维度通常为3x3或4x4。
齐次变换矩阵可以用来表示平移、旋转、缩放和投影等各种类型的空间变换。
2.2 基本性质:- 齐次变换矩阵是非奇异的(可逆矩阵)，即其行列式不为零。
这意味着可以通过逆矩阵将一个坐标点从变换前的位置逆向变换到原始位置。
- 齐次变换矩阵可通过乘法组合实现多个连续的空间变换。
- 可以使用线性代数运算对齐次变换矩阵进行求逆、转置和相乘等操作。
2.3 应用领域:齐次变换矩阵在计算机图形学、计算机视觉和机器人学等领域有广泛应用。
它们被用于模拟和控制虚拟世界中的物体运动，如三维动画、游戏开发和交互设计等。
此外，在机器人学中，齐次变换矩阵被用于描述机械臂末端执行器的位置和姿态。
t-matrix方法 -回复
t-matrix方法-回复TMATRIX是一种数学方法，被广泛应用于线性代数、计算机图形学和人工智能等领域。
它是矩阵理论的一个重要组成部分，可以用于解决各种线性方程组问题。
本文将一步一步介绍TMATRIX方法的原理、实现和应用。
第一步：了解TMATRIX的概念与原理TMATRIX是一种特殊的矩阵表示方法，它将线性方程组表示为矩阵形式，并通过对矩阵进行变换和操作来解决方程组。
在TMATRIX中，线性方程组中的未知数和系数分别被表示为矩阵的行和列，而方程组的解则对应于矩阵的一个特殊点，使得该点满足方程组中的所有方程。
TMATRIX方法利用了矩阵的各种运算和性质，通过对矩阵进行操作和变换，从而达到求解方程组的目的。
第二步：实现TMATRIX方法的基本步骤实现TMATRIX方法的基本步骤包括矩阵的表示、矩阵的运算和矩阵的变换。
首先，将线性方程组转化为矩阵形式，其中未知数对应于矩阵的行，系数对应于矩阵的列。
然后，通过矩阵的加法、减法、乘法和除法等运算，对矩阵进行操作和计算，最终得到矩阵的特殊点，即方程组的解。
在运算过程中，还可以通过判断矩阵是否可逆、矩阵的秩等性质，对方程组的解存在性和唯一性进行判断。
第三步：TMATRIX方法的应用TMATRIX方法具有广泛的应用领域。
在线性代数中，TMATRIX方法可以用于求解线性方程组、计算矩阵的逆、求解特征值和特征向量等问题。
在计算机图形学中，TMATRIX方法可以用于对图像进行变换和操作，如旋转、缩放和平移等。
在人工智能领域，TMATRIX方法可以用于图像识别、模式识别和数据分析等问题。
除此之外，TMATRIX方法还可以应用于信号处理、控制系统和优化问题等领域。
综上所述，TMATRIX是一种重要的数学方法，用于解决线性方程组等问题。
它通过对矩阵进行操作和变换，从而求解方程组的解。
TMATRIX方法具有广泛的应用领域，包括线性代数、计算机图形学和人工智能等领域。
通过学习和应用TMATRIX方法，我们可以更好地理解和解决各种数学和工程问题。
矩阵在计算机三维图形变换中的应用
矩 阵在 计算 机 三维 图形 变换 中的应 用
马丽丽 张光辉 李杏粉
（ 石家庄铁道学院 河北石家庄 ００４ ） ５ ０ ３
摘要：论述如何利用矩阵的变换性质实现计算机 的三维图形 变换 ，主要是通过平移、缩放和旋
转三种基本变换的组合来实现的，利用矩阵可以使 图形处理高速化。
关键词：平移 缩放 旋转
口 ０ Ｏ ０ ｃｓ ｏ Ｏ ０ １ 一ｓｎ ｉ Ｏ ０ Ｏ
（ｘ Ｊ， １ ，，ｚ， ）
０ ｅ Ｏ ０ ０ ０ ｆ ０
＝ （’ ，‘１ ， ｚ，） 。
ｓｎ ｉ
０ Ｃ Ｓ Ｏ
０
Ｏ Ｏ ０ １
＝
（＋，＋ ，＋ ， 。 ｘ ｌ ｍｚ １ ｙ ）
Ｏ Ｏ ｌ ０
１
口 ０ ０ ０ 对 图形 作 比例变 换矩 阵为 ： ＝ ０ ｅ ０ Ｏ
， 口 ｅｆ ，，分别表 示 坐标 ， ， Ｙ ｚ的放 大率 ，其 坐标 关 系
０ ０ ｆ ０
收稿 日期：２ ０ — ６ ２ ０８０—５ 作 者简介：马丽丽 （ ９ ２ ） １８ － ，女，汉，河北保定人，学士 ，助教，研 究方 向数值分析、数学应用 。
４２
维普资讯
第 ３期
马丽丽，等 矩阵在计算机三 维图形交换中的应用
ｌ ０ ０ ０ ｌ ０ ０ ｌ ０
１ ０
Ｃ０ Ｓ
一
将 图形绕 Ｙ轴 旋转 角 的变 换矩 阵为 ： ＝
０
Ｓｌ ｎ
Ｓｌ 口 ｎ
Ｃ０ Ｓ 口
０ ０
Ｃ ＯＳ ０
０
０
０
如果要对 图形连续施行几种变换 ，则它的变换矩 阵就是几个相应变换后矩 阵的乘积 ，如对 点 Ａ
矩阵运算与计算机图形学数学应用方法作文
矩阵运算与计算机图形学数学应用方法作文矩阵运算与计算机图形学数学应用方法矩阵运算是计算机图形学中的重要数学工具，它能够帮助我们实现各种各样的图形处理和变换。
本文将从矩阵的定义和基本运算开始，介绍矩阵在计算机图形学中的应用方法。
一、矩阵的定义和基本运算矩阵是按照长方阵列排列的数，可以表示为一个m行n列的矩阵，常用A或者B等大写字母表示。
矩阵中的每个数称为元素，通常用小写字母或者小写希腊字母表示。
在矩阵中，我们可以进行加法、减法和乘法等基本运算操作。
两个矩阵相加只需将他们对应位置的元素相加；两个矩阵相减也是对应位置的元素进行减法运算。
矩阵的乘法要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数，结果矩阵的行数等于前一个矩阵的行数，列数等于后一个矩阵的列数。
二、矩阵在计算机图形学中的应用方法1. 二维变换在计算机图形学中，我们经常需要对二维图像进行平移、旋转、缩放等操作。
矩阵运算可以帮助我们实现这些变换。
例如，我们可以使用平移矩阵来实现二维图像的平移操作。
平移矩阵可以表示为：[1 0 tx] [x] [x+tx][0 1 ty] * [y] = [y] = [y+ty][0 0 1] [1] [ 1 ]其中tx和ty表示平移的距离，在这个矩阵运算中，我们只需要将要平移的点的坐标表示为列向量[x, y, 1]，然后与平移矩阵相乘即可得到平移后的新坐标。
同样地，旋转和缩放操作也可以使用矩阵来表示和实现。
2. 三维变换除了二维变换，矩阵运算在三维图形的变换中也起着重要的作用。
通过将三维图形的点表示为扩展的齐次坐标（即四维向量），我们可以使用矩阵运算来实现平移、旋转、缩放等操作。
例如，在三维空间中平移一个点，我们可以使用平移矩阵来表示：[1 0 0 tx] [x] [x+tx][0 1 0 ty] * [y] = [y] = [y+ty][0 0 1 tz] [z] [z+tz][0 0 0 1] [1] [ 1 ]其中tx、ty和tz分别表示三维平移的距离。
二维旋转变换矩阵
二维旋转变换矩阵二维旋转变换矩阵是计算机图形学中常用的数学工具，用于表示和描述二维图形的旋转变换。
旋转变换矩阵可以将一个点或者向量绕着原点旋转一定角度，从而改变其位置和方向。
在二维空间中，一个点的坐标通常用(x, y)表示，其中x代表横轴上的坐标，y代表纵轴上的坐标。
旋转变换主要通过矩阵乘法的方式实现，可用下列公式表示：[x' y'] = [x y] * [cosθ -sinθ][sinθ cosθ]其中[x y]表示原始点的坐标，[cosθ -sinθ]和[sinθ cosθ]是旋转变换矩阵的元素，[x' y']表示旋转后点的坐标。
在旋转变换矩阵中，θ表示旋转的角度，角度为正值时表示顺时针旋转，为负值时表示逆时针旋转。
变换矩阵中的元素可以通过三角函数计算得到，其中cosθ和sinθ分别表示角度θ的余弦和正弦值。
通过对一个点或向量进行旋转变换，可以实现图形的旋转效果。
例如，对于坐标系中的一个点P(x, y)，进行逆时针旋转θ后，可以得到新的坐标点P'。
以坐标系原点为中心，P'相对于P的位置关系将按照旋转的方向和角度而变化。
除了旋转变换矩阵外，还可以将其他类型的变换与旋转变换相结合，以实现更加复杂的图形变换。
例如，通过平移变换可以改变图形的位置，通过缩放变换可以改变图形的大小，通过错切变换可以改变图形的形状。
在实际应用中，二维旋转变换矩阵广泛用于计算机图形学、计算机游戏、计算机动画等领域。
利用旋转变换矩阵，可以实现图形的旋转、平移、缩放以及多种复合变换效果，从而丰富图形的呈现方式，提升视觉效果。
总之，二维旋转变换矩阵是一种重要的数学工具，用于描述和实现二维图形的旋转变换。
通过合理应用旋转变换矩阵，可以实现图形的旋转、平移、缩放等效果，为计算机图形学和计算机图形处理领域提供了强大的支持。
三维坐标变换矩阵
三维坐标变换矩阵
三维坐标变换矩阵是计算机图形学中非常重要的概念，它是用来
描述三维空间中的对象在进行各种变换时所采用的数学工具。
在三维
空间中，我们需要进行平移、旋转、缩放等一系列操作，这些操作都
要建立在坐标变换矩阵的基础之上。
三维坐标变换矩阵的形式一般为4X4的矩阵，其中包含了平移、
旋转、缩放等变换信息。
在建立三维坐标变换矩阵时，需要先确定操
作的顺序，再将每个操作分别对应到矩阵的不同位置，最后将这些操
作的矩阵相乘，得到最终的三维坐标变换矩阵。
三维坐标变换矩阵的建立有多种方法，其中最常用的是欧拉角法
和四元数。
欧拉角法是将旋转分解为绕x、y、z轴的三个旋转角度，
这种方法易于理解，但在旋转过程中容易产生“万向锁”问题。
而四
元数法则采用四维的数学概念描述旋转操作，避免了“万向锁”问题，但需要一定的数学基础。
三维坐标变换矩阵在三维图形学中有着广泛的应用，例如在三维
物体的运动、视角的变化、光照模型等方面都会用到。
在实际应用中，我们需要深入理解三维坐标变换矩阵的概念和原理，熟练掌握其生成
方法和应用技巧。
同时，还需要注意矩阵的精度问题，避免误差的积
累导致结果不准确。
总之，三维坐标变换矩阵是计算机图形学中重要的概念，它为我
们提供了描述三维空间中对象运动和变换的基础工具。
在三维图形学
的学习和实践中，深入理解和掌握三维坐标变换矩阵的原理和应用方法，对于提高图形学的实现和效果，都有着重要的指导意义。
三维平面变换矩阵
三维平面变换矩阵在计算机图形学和计算机视觉领域，三维平面变换矩阵是一种重要的数学工具，用于描述和实现对三维空间中的点、向量和图形对象的变换操作。
它可以表示平移、旋转、缩放和投影等几何变换，是实现三维图形渲染和视觉效果的基础。
一、平移变换矩阵平移变换是将点或对象沿固定方向移动一定距离的操作。
在三维空间中，平移变换可以用一个4x4的矩阵表示。
该矩阵的主对角线上的元素为1，其余元素为0，其中第四列分别表示在x、y、z方向上的平移距离。
通过乘法运算，可以将一个点或对象的坐标进行平移。
二、旋转变换矩阵旋转变换是围绕某一中心点按照一定角度进行旋转的操作。
在三维空间中，旋转变换可以用一个4x4的矩阵表示。
该矩阵的前三列分别表示x、y、z轴上的旋转向量，通过正交矩阵的乘法运算，可以实现对三维点或对象的旋转变换。
三、缩放变换矩阵缩放变换是按照一定比例改变三维点或对象的大小的操作。
在三维空间中，缩放变换可以用一个4x4的矩阵表示。
该矩阵的对角线上的元素分别表示在x、y、z轴上的缩放比例，其余元素为0。
通过乘法运算，可以实现对三维点或对象的缩放变换。
四、投影变换矩阵投影变换是将三维空间中的点或对象映射到二维平面上的操作。
在计算机图形学中，常用的投影变换有透视投影和正交投影。
透视投影是模拟人眼观察物体时的效果，而正交投影则保持物体在投影平面上的尺寸不变。
透视投影变换可以用一个4x4的矩阵表示。
该矩阵的元素根据透视投影的参数计算得到，通过乘法运算，可以将三维点或对象映射到二维平面上。
正交投影变换也可以用一个4x4的矩阵表示。
该矩阵的对角线上的元素为1，其余元素为0，通过乘法运算，可以将三维点或对象投影到二维平面上。
五、复合变换矩阵在实际应用中，常常需要对三维点或对象进行多种变换操作的组合。
这时可以将各种变换的矩阵相乘，得到一个综合的变换矩阵。
通过将综合变换矩阵与三维点或对象进行乘法运算，可以实现多种变换的组合效果。
六、应用三维平面变换矩阵在计算机图形学和计算机视觉领域有着广泛的应用。
绕任意过原点的轴的旋转变换矩阵
一、概述旋转变换矩阵在计算机图形学和计算机视觉中扮演着重要角色，它可以帮助我们对空间中的物体进行旋转、缩放、平移等各种变换操作。
其中，绕任意过原点的轴的旋转变换矩阵是一种常见且重要的变换方式。
本文将重点介绍绕任意过原点的轴的旋转变换矩阵的推导和应用。
二、绕任意过原点的轴的旋转变换矩阵的推导1. 三维空间中的旋转在三维空间中，物体可以绕任意轴进行旋转变换。
假设我们有一个三维向量A = [A, A, A]，我们希望对向量A进行绕任意过原点的轴的旋转变换。
这个轴可以表示为单位向量A = [A, A, A]，其中A² + A² +A² = 1。
2. 旋转矩阵的推导为了推导绕任意过原点的轴的旋转变换矩阵，我们可以利用罗德里格斯公式来进行推导。
设旋转矩阵为A = [A₁, A₂, A₃]，其中A₁、A₂、A₃分别为矩阵的列向量，表示旋转后的 x, y, z 轴。
3. 罗德里格斯公式的应用根据罗德里格斯公式，我们可以得到旋转矩阵的推导过程。
最终我们可以得到形如下面的旋转矩阵：\[ R =\begin{bmatrix}u^2 + (1-u^2)cos(\theta) uv(1-cos(\theta))-wsin(\theta) uw(1-cos(\theta)) + vsin(\theta)\\uv(1-cos(\theta)) + wsin(\theta) v^2 + (1-v^2)cos(\theta) vw(1-cos(\theta)) - usin(\theta)\\uw(1-cos(\theta)) - vsin(\theta) vw(1-cos(\theta))+ usin(\theta) w^2 + (1-w^2)cos(\theta)\end{bmatrix}\]其中，A表示旋转角度。
三、绕任意过原点的轴的旋转变换矩阵的应用1. 计算机图形学中的应用在计算机图形学中，绕任意过原点的轴的旋转变换矩阵可以用来控制物体的旋转角度，从而实现动画效果或者场景渲染。
matrix transform转换方法
matrix transform转换方法Matrix Transform转换方法一、什么是Matrix Transform转换方法？Matrix Transform是一种数学计算方法，用于在二维或三维空间中进行图像变换。
它通过矩阵运算来实现图像的平移、旋转、缩放和错切等变换操作。
在计算机图形学和计算机视觉领域，Matrix Transform是一种重要的工具，被广泛应用于图像处理、计算机动画和模式识别等领域。
二、Matrix Transform的基本原理Matrix Transform基于线性代数的概念，通过矩阵运算来实现图像的变换。
在二维空间中，我们可以用一个2x2的矩阵来表示平移、旋转和缩放操作，用一个2x3的矩阵来表示错切操作。
在三维空间中，我们可以用一个3x3的矩阵来表示平移、旋转和缩放操作，用一个3x4的矩阵来表示错切操作。
Matrix Transform的基本原理可以用以下几个步骤来描述：1. 定义初始图像的坐标系。
在二维空间中，我们通常以左上角为原点，向右为x轴正方向，向下为y轴正方向。
在三维空间中，我们通常以左手坐标系或右手坐标系为基础。
2. 定义变换矩阵。
根据需要进行的变换操作，我们可以定义相应的矩阵。
例如，平移操作可以用一个平移向量来表示，旋转操作可以用一个旋转角度来表示，缩放操作可以用一个缩放因子来表示。
3. 构建变换矩阵。
根据定义的变换操作，我们可以将其转换为相应的矩阵形式。
例如，平移操作可以用一个平移矩阵来表示，旋转操作可以用一个旋转矩阵来表示，缩放操作可以用一个缩放矩阵来表示。
4. 进行矩阵运算。
将初始图像的坐标系乘以变换矩阵，得到变换后的图像的坐标系。
在二维空间中，我们可以用一个2x1的矩阵来表示坐标点的位置，将其乘以2x2的变换矩阵，得到变换后的坐标点的位置。
5. 可选的后续操作。
根据需要，我们还可以对变换后的图像进行进一步的处理，如裁剪、填充、插值等。
三、Matrix Transform的应用领域Matrix Transform在计算机图形学和计算机视觉领域有着广泛的应用。
三维等距变换矩阵
在数学和计算机图形学中，三维等距变换（Isometric transformation）是一种保持长度和角度不变的变换，但允许改变坐标系的原点。
这种变换通常用于游戏开发和计算机图形中，以简化模型的处理和渲染。
三维等距变换矩阵是一种特殊的矩阵，它将三维空间中的点变换到另一个点，同时保持线段的长度和角度不变。
这种变换通常用于游戏开发中的摄像机控制，可以简化摄像机在三维空间中的移动和旋转。
三维等距变换矩阵的定义是：
\[ T(x, y, z) = (x', y', z') \]
\[ T(x, y, z) = (\frac{2}{1+s}\cdot x, \frac{2}{1-s}\cdot y, z) \]
其中，\( s \) 是一个参数，可以控制变换的程度。
当\( s = 0 \) 时，变换退化为普通的三维投影；当\( s \neq 0 \) 时，变换会产生一种拉伸或压缩的效果，但线段的长度和角度保持不变。
要实现三维等距变换，可以使用以下步骤：
1. 选择一个参数\( s \)，并根据需要调整变换的程度。
2. 使用三维等距变换矩阵对三维空间中的点进行变换。
3. 将变换后的点应用到三维模型或坐标系中，以实现所需的变换效果。
请注意，三维等距变换矩阵是一个具体的数学工具，具体应用时需要根据实际情况进行调整和优化。
在实际开发中，可能需要结合其他数学知识和技巧来实现复杂的变换效果。
三维旋转矩阵公式
三维旋转矩阵公式三维旋转矩阵公式是描述三维空间中物体旋转的一种数学工具。
它可以通过矩阵相乘的方式来实现旋转变换，并且具有一些特殊的性质和应用。
本文将介绍三维旋转矩阵公式的原理和应用，并通过实例进行说明。
一、原理三维旋转矩阵是一个3×3的矩阵，用来描述物体绕坐标轴进行旋转变换。
根据右手定则，我们可以确定一个旋转轴的方向，并按照一定的角度进行旋转。
具体来说，我们可以通过以下公式计算得到一个绕x轴旋转的旋转矩阵：Rx = | 1 0 0 || 0 cosθ -sinθ || 0 sinθ cosθ |其中，θ表示旋转的角度，cos表示余弦函数，sin表示正弦函数。
同样地，我们可以得到绕y轴和z轴旋转的旋转矩阵：Ry = | cosθ 0 sinθ || 0 1 0 ||-sinθ 0 cosθ |Rz = | cosθ -sinθ 0 || sinθ cosθ 0 || 0 0 1 |通过组合不同的旋转矩阵，我们可以实现绕任意轴的旋转变换。
二、应用三维旋转矩阵广泛应用于计算机图形学、机器人学和物理模拟等领域。
以下是一些常见的应用：1. 3D模型的变换在计算机图形学中，我们可以利用三维旋转矩阵对3D模型进行旋转变换。
通过将旋转矩阵与模型的顶点坐标相乘，可以实现对模型的旋转操作。
这在游戏开发、动画制作等领域非常常见。
2. 机器人运动控制在机器人学中，三维旋转矩阵被广泛用于描述机器人的姿态和运动。
通过将旋转矩阵与机器人的关节角度相乘，可以得到机器人末端执行器的位姿。
这对于机器人的运动控制和路径规划非常重要。
3. 物体姿态估计在计算机视觉和增强现实等领域，我们常常需要对物体的姿态进行估计。
通过将旋转矩阵与物体的特征点坐标相乘，可以得到物体在空间中的姿态。
这对于目标跟踪、姿态识别等任务非常关键。
4. 坐标系变换在三维空间中，我们常常需要进行坐标系之间的变换。
通过将旋转矩阵与坐标点相乘，可以将点从一个坐标系变换到另一个坐标系。
几何变换矩阵
几何变换矩阵几何变换矩阵是描述二维或三维空间中对图形进行旋转、平移、缩放等操作的数学工具。
在计算机图形学、机器人学、计算机视觉等领域中广泛应用。
下面是几种常见的几何变换矩阵及其作用：1. 平移矩阵平移矩阵描述图形在x、y、z方向上的平移，记作T=[1 0 0 tx; 0 1 0 ty;0 0 1 tz; 0 0 0 1]，其中tx、ty、tz为平移的距离，可以是正数、负数或零。
该矩阵作用于二维图形时只需取前两行两列即可。
2. 旋转矩阵旋转矩阵描述图形绕x、y、z轴旋转的角度，记作Rx(θ)=[1 0 0 0; 0 cosθ -sinθ 0; 0 sinθ cosθ 0; 0 0 0 1]、Ry(θ)=[cosθ 0 sinθ 0; 0 1 0 0; -sinθ 0 cosθ 0; 0 0 0 1]、Rz(θ)=[cosθ -sinθ 0 0; sinθ cosθ 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1]，其中θ为旋转的角度，可以是正数或负数。
3. 缩放矩阵缩放矩阵描述图形在x、y、z方向上的缩放比例，记作S=[sx 0 0 0; 0 sy 0 0; 0 0 sz 0; 0 0 0 1]，其中sx、sy、sz为在x、y、z方向上的缩放比例，可以是大于1的正数、小于1的正数或等于1。
4. 复合矩阵复合矩阵是多个几何变换矩阵的乘积，可以将多个变换操作合并为一个操作。
例如，将平移、旋转和缩放操作合并为一个复合矩阵，记作M=T*R*S，其中T为平移矩阵，R为旋转矩阵，S为缩放矩阵。
几何变换矩阵在计算机图形学中具有广泛的应用，在3D建模、角色动画、特效制作等方面均有涉及。
同时，它也为机器人学、计算机视觉等领域的研究提供了重要的数学基础。
在实际应用中，我们可以根据具体的需求选择不同的变换矩阵进行操作，以达到预期的效果。
旋转变换矩阵公式
旋转变换矩阵公式旋转变换矩阵是计算机图形学中常用的一种变换表示方法，它可以用来描述物体在平面或空间中的旋转操作。
在三维空间中，旋转变换矩阵可以用一个3x3的矩阵来表示，而在二维平面中，旋转变换矩阵则可以用一个2x2的矩阵来表示。
旋转变换矩阵的公式如下：在二维平面中，对于一个点P(x, y)，绕原点逆时针旋转θ角度后的新坐标P'(x', y')可以通过如下公式计算得到：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中，cosθ和sinθ分别表示θ角度的余弦和正弦值。
在三维空间中，对于一个点P(x, y, z)，绕x轴、y轴和z轴分别逆时针旋转θ、φ和ψ角度后的新坐标P'(x', y', z')可以通过如下公式计算得到：x' = x * (cosθcosφ) - y * (sinθcosψ + cosθsinφsinψ) + z * (sinθsinψ - cosθsinφcosψ)y' = x * (sinθcosφ) + y * (cosθcosψ - sinθsinφsinψ) + z * (cosθsinψ + sinθsinφcosψ)z' = x * (sinφ) + y * (sinθcosφ) + z * (cosθcosφ)其中，cosθ、sinθ、cosφ、sinφ、cosψ和sinψ分别表示θ、φ和ψ角度的余弦和正弦值。
旋转变换矩阵的应用十分广泛，特别是在计算机图形学和计算机动画中。
通过对物体的顶点进行旋转变换，可以实现物体的旋转效果。
此外，旋转变换矩阵还可以与其他变换矩阵进行组合，实现更加复杂的变换效果，如平移、缩放和投影等。
除了旋转变换矩阵的应用，还有一些相关的概念需要了解。
例如，旋转角度可以用弧度制或角度制来表示，两者之间的转换公式为：弧度 = 角度* π / 180角度 = 弧度* 180 / π还有一些特殊的旋转变换矩阵，如绕某个轴旋转90度的矩阵：绕x轴旋转90度的矩阵：1 0 00 0 -10 1 0绕y轴旋转90度的矩阵：0 0 10 1 0-1 0 0绕z轴旋转90度的矩阵：0 -1 01 0 00 0 1这些特殊的旋转矩阵可以方便地实现物体的常见旋转效果，如绕x、y、z轴分别旋转90度可以分别实现物体的俯视、左视和正视效果。
绕z轴旋转的变换矩阵
绕z轴旋转的变换矩阵在数学和计算机图形学中，旋转是一种重要的变换操作。
旋转可以改变物体的方向和位置，使其在三维空间中发生旋转。
而绕z轴旋转是一种最常见和简单的旋转方式。
本文将从数学和图形学的角度，对绕z轴旋转的变换矩阵进行详细介绍。
一、绕z轴旋转的定义绕z轴旋转是指围绕三维坐标系中的z轴进行旋转的操作。
在二维空间中，我们可以将z轴看作是垂直于平面的轴线。
绕z轴旋转可以将平面上的点围绕z轴进行旋转，改变点的位置和方向。
二、绕z轴旋转的变换矩阵绕z轴旋转的变换矩阵可以表示为一个3x3的矩阵。
设旋转角度为θ，变换矩阵为R，则有：R = | cosθ -sinθ 0 || sinθ cosθ 0 || 0 0 1 |这个矩阵描述了绕z轴旋转的变换过程。
其中，cosθ和sinθ是旋转角度的余弦和正弦值。
三、绕z轴旋转的示例下面通过一个简单的示例来说明绕z轴旋转的变换矩阵的应用。
假设有一个二维平面上的点P(x, y)，我们要将这个点绕z轴旋转45度。
根据绕z轴旋转的变换矩阵，我们可以进行如下计算：1. 将点P表示为一个列向量 P = | x |，其中x和y分别表示点P的x 坐标和y坐标。
| y |2. 将变换矩阵R应用到点P上，得到旋转后的点P'：P' = R * P = | cosθ -sinθ 0 | * | x || sinθ cosθ 0 | | y || 0 0 1 |= | x*cosθ - y*sinθ || x*sinθ + y*cosθ || 0 |3. 得到旋转后的点P'的坐标为(x*cosθ - y*sinθ, x*sinθ + y*cosθ)。
通过这个示例，我们可以看到绕z轴旋转的变换矩阵可以将一个点绕z轴进行旋转，得到旋转后的点的坐标。
四、绕z轴旋转的应用绕z轴旋转的变换矩阵在计算机图形学中有广泛的应用。
它可以用来实现物体的旋转动画效果，使物体在三维空间中绕z轴自由旋转。
绕z轴旋转的变换矩阵
绕z轴旋转的变换矩阵在计算机图形学中，变换矩阵是一种数学工具，用于将一个对象从一个坐标系转换到另一个坐标系。
绕z轴旋转的变换矩阵是一种常见的变换，它可以将一个对象绕z轴旋转一定角度。
在本文中，我们将探讨绕z轴旋转的变换矩阵的原理和应用。
绕z轴旋转的变换矩阵可以表示为：Rz(θ) = [[cos(θ), -sin(θ), 0],[sin(θ), cos(θ), 0],[0, 0, 1]]其中，θ表示旋转角度，cos表示余弦函数，sin表示正弦函数。
这个矩阵的作用是将一个点或者一个向量绕z轴旋转θ角度。
绕z轴旋转的变换矩阵的原理是基于三角函数的性质。
根据三角函数的定义，余弦函数和正弦函数是周期函数，周期为2π。
因此，当我们将一个点或者一个向量绕z轴旋转θ角度时，实际上是在改变这个点或者向量的x和y坐标，而z坐标保持不变。
在应用中，绕z轴旋转的变换矩阵常常用于计算机图形学中的三维模型变换和动画效果。
通过将一个模型的所有顶点都乘以绕z轴旋转的变换矩阵，可以实现模型的旋转效果。
这种方法不仅简单高效，而且可以应用于各种复杂的模型和动画效果。
除了在计算机图形学中的应用，绕z轴旋转的变换矩阵还可以用于其他领域，如机器人学和航天工程。
在机器人学中，绕z轴旋转的变换矩阵可以用于描述机器人的末端执行器的运动。
在航天工程中，绕z轴旋转的变换矩阵可以用于计算航天器的姿态和轨道。
绕z轴旋转的变换矩阵虽然简单，但是它具有重要的意义和广泛的应用。
通过将一个点或者一个向量乘以绕z轴旋转的变换矩阵，我们可以将这个点或者向量绕z轴旋转一定角度。
这种方法不仅简单高效，而且可以应用于各种领域，如计算机图形学、机器人学和航天工程。
绕z轴旋转的变换矩阵是一种重要的数学工具，用于将一个对象绕z轴旋转一定角度。
它的原理基于三角函数的性质，应用广泛，包括计算机图形学、机器人学和航天工程等领域。
通过理解和应用绕z轴旋转的变换矩阵，我们可以更好地理解和掌握这个重要的数学工具，并将其应用于实际问题中。
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3.2 图形变换与矩阵乘法
变换
Ø
人是三维空间里的对象，人可以在三维空间里运动，移动位置就
是对象的运动。所以，程序员眼中的“空间”是一个容纳运动的对象 集合，即构成“空间”的要素为对象、对象的运动。空间对象的运动 称为变换，变换规定了对应空间的运动。数学上是如何表示空间对象 和空间变换呢？
Ø 在线性代数中，用向量表示一个对象，矩阵表示什么呢？矩阵在不同的 环境中有不同的语义，在同一环境中也可以有不同的解读，最常见的包 括：
若有Pa=b，我们就说P将向量a变换到向量b。从这个角 度看，“变换”和“乘法”是等价的，进行坐标变换等价于 执行相应的矩阵乘法运算，图形变换可以通过对表示图 形的坐标矩阵进行乘法运算来实现。
可见，向量和矩阵的运算是计算机图形处理技术的数学基础。
3.3图形基本变换
3.3.1 平移变换
3.3.2 以坐标原点为基准点的缩放变换
我们分析了“变换”与“乘法”是等价的。利用向量、矩阵做图形变换的 工具，通过向量乘以变换矩阵来实现坐标变换，接下来，关键问题就是构 造图形变换矩阵了。
3.4.2 基本图形变换矩阵
图形变换
缩放变换 旋转变换
变换矩阵
翻 折 变 换
错 切 变 换
变换方程的矩阵形式
课堂练习 3.4 1、点的坐标为行向量和列向量不同形式时，变换矩阵相同吗？与方程 组中系数矩阵有什么关系？表一中，若点的坐标为行向量形式，写出 各种变换的矩阵方程。 2、用矩阵方法计算下列图形变换 （1）将点（2,1）的横坐标伸长到原来的3倍
标沿x方向的移动量）。
cy>0，沿＋x方向错切（移动）； cy<0，沿－x方向错切（移动）； c=0即cy=0，不错切（恒等变换）。
D′ C′
D
C
A′ B′ A
B
变换特点：
（1）变换后点的y坐标不变，
x坐标平移了cy； （2）平行于x轴的直线变换后 仍平行于x轴；
D
y
（3）平行于y轴的直线变换后，
（1）表示一个线性变换； （2）表示列向量或行向量的集合（多个对象）； （3）表示子矩阵的集合。矩阵作为一个整体对应的是线性变换语义。比如 要实现图形旋转，数学上的作法就是用旋转变换矩阵按矩阵乘法规则乘以 图形矩阵，就能实现所要图形旋转效果了。
3.2 坐标系矩阵
3.2.1 坐标系矩阵
ü 请说说你对坐标系的认识，你知道的坐标系有哪些？ ü 请问：向量（1,0）和（0,1），向量（1,0,0）、（0,1,0）和
3.5.3 二维图形变换的齐次矩阵
3.5.4基本图形变换的齐次矩阵
Ø 可见，对平面点的平移变换相当于这个点的齐次坐标（列向量形式） 左乘一个相应的平移齐次矩阵。
Ø （1）书写点的坐标用行向量形式，可节省纸面。 （2）利用矩阵乘法实现图形对象的变换，与表一表二中的变换矩阵相乘时要 求点的坐标为列向量形式，且变换矩阵放在左边，点的坐标放在右边相乘。点 的坐标若采用行向量形式，那么表示点坐标的行向量要放在左边乘以变换矩阵 的转置。这两种结果只是形式上的不同，互为转置关系。
图3-9
图3-10
图3-11
3.3.5 错切变换
错切变换是图形沿某坐标方向产生不等量的移动而引起图形变形的一 种变换，经过错切的对象好像是拉动互相滑动的组件而成。 常用的错切变换是：移动x坐标值的错切（沿x方向的错切）、移动y坐 标值的错切（沿y方向的错切）：
其中：c～错切系数。 cy～沿x方向的错切量（x坐
（2）将点(2,1)逆时针旋转90度
（3）将点（2,1）关于x轴对称
3.5 齐次坐标与齐次变换矩阵
平移变换中，图形上任一点变换前后的坐标满足
平移变换中，图形上任一点变换前后的坐标满足
3.5.1 齐次坐标
3.5.2 普通坐标与齐次坐标互相转换
◆ 把平面一点普通坐标(x,y)转换成齐次坐标： x,y乘以同一个非0数h,加上第3个分量h，即(hx,hy,h).
3.1 图形变换概述
3.1.1 图形与图像
Ø 图形通常由点、线、面、体等几何元素和灰度、色彩、线型、线宽等非 几何属性组成。因此，图形通常用形状参数（即数学表达式）和属性参 数表示。图形分为二维（2D）图形和三维（3D）图形，使某一图形运 动得到的动态图形称为动画（Animation）。
计算机图形学是研究怎样在计算机内表示、生成、处理和输出图形， 应用计算机技术合成具有真实感的数字图像、动画和视频的一门学科。
y=0的点不动(不动点)，y≠0的
A′
A B′
点沿x方向平移了cy，形成与y
轴夹角为θ的直线，
且 tgθ＝cy / y＝c。
cy
C D′ C′
B
3.3.5 错切变换
其中：b～错切系数。 bx～沿y方向的错切量（y坐
标沿y方向的移动量）。
bx>0，沿＋y方向错切（移动）； bx<0，沿－y方向错切（移动）； b=0即bx=0，不错切（恒等变换）。
◆ 把一个齐次坐标转换成普通坐标： 把前两个坐标除以第三个坐标，再去掉第三个分量 。
例3.1 将下列齐次坐标转换成普通坐标
齐次坐标
普通坐标
（1,2,3）
（2,4,6） （3,6,9） （a,2a,3a）
计算机图形学领域有两种不同的矩阵表示方法。(1)图形上的点采用列向 量表示，左边的矩阵表示各种变换。这是数学和计算机科学教科书中公 认的标准表示法。（2）另一种表示法是采用行向量表示点，右边的矩阵 表示各种变换。有许多计算机图形文献中使用这种表示法。
齐次变换矩阵
平移变换 平移量为(l,m,p)
图形变换
齐次变换矩阵
关于x轴的对称变换
(x坐 标 不 变 ， y,z坐
标取反)
关于z轴的对称变换 (z坐 标 不 变 ， x,y坐 标取反)
关于原点的对称变 换 (x,y,z坐标均取反)
关 于 xoy平 面 的 对 称 (x,y坐 标 不 变 ， z坐 标取反)
Chapter3
图形变换的矩阵方法
学习目标
3.1节 理解图形变换基本术语及图形的矩阵表示
3.2节 理解坐标系矩阵及图形变换与矩阵乘法的关系 3.3节 掌握图形变换的基本形式 3.4节 掌握二维图形变换的数学表示 3.5节 理解齐次坐标与齐次坐标矩阵 3.6节 理解图形的组合变换及其数学表示 3.7节 掌握图形逆变换的矩阵 *3.8节 了解三维图形变换矩阵 3.9节 理解2D图形变换举例
图形的平移、缩放、旋转、对称、错切等基本变换都是可逆变换。
*3.8 三维图形变换
三维图形变换是在二维图形变换基础上考虑了z 轴在三维空间中的扩展。因此，其基本变换与二 维变换有着类似的扩展。仿照二维图形变换，用 四维齐次坐标[xyz 1]表示三维空间的点[x,y,z]， 3D齐次变换矩阵为：
图形变换
Ø 有两种不同的变换方法：一种是图形不动，坐标系变动，变换前 和变换后图形是针对不同坐标系而言，变动后该图形在新坐标系 里具有新的坐标值，称之为几何变换；另一种是坐标系不动，图 形改变，变换前和变换后的坐标值是针对同一坐标系而言，称之 为坐标变换。这两种变换在某种意义上是等价的，将图形变换一 个量等价于将坐标系变换一个相反的量，实际应用中，后一种图 形变换更有实际意义。
关 于 xoz平 面 的 对 称 (x,z坐 标 不 变 ， y坐 标取反)
3.9 平面图形变换举例
例3.8 第一章例11Koch雪花曲线的MATLAB实现
程序运行结果
Koch雪花动态 谢尔宾斯基三角形
算法的N-S如下
效果图
总结
谢谢大家！
D′
AD′
C
变换特点：
①变换后点的x坐标不变，y 坐标平移了bx；
②平行于y轴的直线变换后 仍平行于y轴；
③平行于x轴的直线变换后， x=0的点不动(不动点)，x≠0的点 沿y方向平移了bx，形成与x轴夹 角为θ的直线，且 tgθ＝bx / x＝b。
D′
AD′
C
A
B
C′ bx
x B′
3.4.1 二维图形变换矩阵
3.6组合变换
一个变换由单一矩阵描述和表示，组合变换是一个接一个 的变换序列，所以多个变换的组合应由表示每个变换的矩 阵依次相乘（级联）描述。组合变换的顺序非常重要，矩 阵乘法的顺序也很重要，要与变换顺序对应。
3.7 逆变换
矩阵的逆在几何上非常有用，可以计算变换的“反向”或“相反”变换。
Ø 计算机产生图形的过程大致可分为三步
图形输入
图形处理
图形输出
Ø 计算机中图形是用图形的顶点坐标矩阵表示
3.1.2 图形变换
Ø 图形变换一般是指对图形的几何属性经过平移、缩放、旋转、翻折、 错切、投影等操作后产生新图形的过程。
Ø 图形变换实质上是点的坐标值变化，知道某一点的坐标，怎样描述 变换后这点的坐标值，这项技术的术语名称是“坐标变换”。如果 图形上每一个点都进行同一变换，即可得到该图形的变换。对于线 框图形的变换，通常是变换每个顶点的坐标，连接新的顶点序列即 可产生变换后的图形，对于曲线、曲面等图形变换，一般通过对其 参数方程做变换来实现对整个图形的变换。
（0,0,1），向量（1,2）和（3,4），向量（2,2）和（3,3）能否构 成坐标系？构成怎样的坐标系？
Ø 从以上向量与坐标系的基向量矩阵的乘法运算看到：列向量右乘（行向量左 乘）坐标系的基向量矩阵，就变成一个新的向量，向量的起点终点坐标同时 也变化了。因此，向量乘以坐标系的基矩阵相当于对原向量进行了一次坐标 变换。
图3-3 图3-4
3.3.3 绕坐标原点的旋转变换
图3-5
图3-6
3.3.4 翻折变换
翻折变换又称对称变换、镜像变换、反射变换。我们熟悉的关于x轴对称、 关于y轴对称、关于直线y=x对称、关于直线y=-x对称，就是把图形沿坐标 轴或直线翻折，产生了镜像的效果。对称前后坐标关系为