数理统计试题及复习资料

数理统计考试试卷

一、填空题（本题15分，每题3分）

1、总体)3,20(~N X 的容量分别为10，15的两独立样本均值差~Y X -________；

2、设1621,...,,X X X 为取自总体)5.0,0(~2N X 的一个样本，若已知0.32)16(2

01.0=χ,则

}8{16

1

2∑=≥i i X P =________；

3、设总体),(~2

σμN X ，若μ和2

σ均未知，n 为样本容量，总体均值μ的置信水平为

α-1的置信区间为),(λλ+-X X ，则λ的值为________；

4、设n X X X ,...,,21为取自总体),(~2σμN X 的一个样本，对于给定的显著性水平α，已知关于2

σ检验的拒绝域为χ2≤)1(21--n αχ，则相应的备择假设1H 为________；

5、设总体),(~2σμN X ，2σ已知，在显著性水平0.05下，检验假设00:μμ≥H ,01:μμ

拒绝域是________。

1、)2

1

0(，N ； 2、0.01； 3、n

S n t )

1(2

-α； 4、2

02σσ<； 5、05.0z z -≤。

二、选择题（本题15分，每题3分）

1、设321,,X X X 是取自总体X 的一个样本，α是未知参数，以下函数是统计量的为（

）。

（A ）)(321X X X ++α （B ）321X X X ++ （C ）3211

X X X α

（D ）23

1)(31α-∑=i i X

2、设n X X X ,...,,21为取自总体),(~2σμN X 的样本，X 为样本均值，21

2

)(1X X n S i n i n -=∑=，

则服从自由度为1-n 的t 分布的统计量为（ ）。 （A ）

σμ）

-X n ( （B ）n S X n )(μ- （C ）σ

μ）--X n (1 （D ）n S X n )(1μ--

3、设n X X X ,,,21Λ是来自总体的样本，2

)(σ=X D 存在， 21

2

)(11X X n S i n

i --=∑=, 则（ ）。

（A ）2S 是2σ的矩估计

（B ）2S 是2σ的极大似然估计

（C ）2S 是2σ的无偏估计和相合估计 （D ）2S 作为2σ的估计其优良性与分布有关

4、设总体),(~),,(~2

2

2211σμσμN Y N X 相互独立，样本容量分别为21,n n ，样本方差分别为2

221,S S ，在显著性水平α下，检验2221122210:,:σσσσ<≥H H 的拒绝域为（ ）。

（A ）

)1,1(122

12

2

--≥n n F s s α （B ）

)1,1(122

12

122

--≥-

n n F

s s α

（C ）)1,1(212

122

--≤n n F s s α （D ）

)1,1(212

12

122

--≤-

n n F

s s α

5、设总体),(~2σμN X ，2

σ已知，μ未知，n x x x ,,,21Λ是来自总体的样本观察值，已

知μ的置信水平为0.95的置信区间为（4.71，5.69），则取显著性水平05.0=α时，检验假设0.5:,0.5:10≠=μμH H 的结果是（ ）。

（A ）不能确定 （B ）接受0H （C ）拒绝0H （D ）条件不足无法检验 1、B ； 2、D ； 3、C ； 4、A ； 5、B.

三、（本题14分） 设随机变量X 的概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他θ

θx x x f 0,

0,

2)(2，其中未知

参数0>θ，n X X ,,1Λ是来自X 的样本，求（1）θ的矩估计；（2）θ的极大似然估计。 解：(1) θθθ32

2)()(0

2

2

===⎰⎰∞

+∞-x d x

x d x f x X E ，

令θ32

)ˆ(==X X

E ，得X 23

ˆ=θ为参数θ的矩估计量。 (2)似然函数为：),,2,1(,022),(1

212n i x x x x L i n

i i n

n

n

i i

i Λ=<<==∏∏

==θθθθ，

， 而)(θL 是θ的单调减少函数，所以θ的极大似然估计量为},,,max{ˆ21n

X X X Λ=θ。

四、（本题14分）设总体),0(~2σN X ，且1021,x x x Λ是样本观察值，样本方差22=s ， （1）求2

σ的置信水平为0.95的置信区间；（2）已知)1(~2

2

2

χσX Y =

，求⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛32σX D 的置信

水平为0.95的置信区间；（70.2)9(2975.0=χ，023.19)9(2

025.0=χ）

。 解：

（1）2σ的置信水平为0.95的置信区间为⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛)9(18,)9(182975.02025.0χχ，即为（0.9462，6.6667）； （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32σX D =22

2

2222)]1([11σχσσσ==⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛D X D ； 由于2322σσ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛X D 是2σ的单调减少函数，置信区间为⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛222,2σσ， 即为（0.3000，2.1137）。

五、（本题10分）设总体X 服从参数为θ的指数分布，其中0>θ未知，n X X ,,1Λ为取自总体X 的样本， 若已知)2(~2

21

n X U n

i i χθ

∑==

，求： （1）θ的置信水平为α-1的单侧置信下限；

（2）某种元件的寿命（单位：h ）服从上述指数分布，现从中抽得容量为16的样本，测得样本均值为5010（h ），试求元件的平均寿命的置信水平为0.90的单侧置信下限。

)585.42)32(,985.44)31((210.0205.0==χχ。

解：(1) ,1)2(2,1)2(222αχθαχθαα-=⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>∴-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧

即θ的单侧置信下限为)

2(22

n X n αχθ=

；（2）706.3764585.425010

162=⨯⨯=θ。

六、（本题14分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度)1,10(~N X ，今阶段性抽取10个水样，测得平均浓度为10.8（mg/L ），标准差为1.2（mg/L ），问该工厂生产是

否正常？（220.0250.0250.9750.05,(9) 2.2622,(9)19.023,(9) 2.700t αχχ====）

解：

（1）检验假设H 0：σ

2=1，H

1：

σ

2≠1； 取统计量：2

2

2

)1(σ

χs n -=；