暑期初二升初三数学衔接班16

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八年级升九年级数学暑假班讲义

八年级升九年级数学暑假班讲义八年级升九年级数学暑假班讲义第一讲一，三角形边与角1,角与角内角，外角1）三个内角之和_________________________2）三角形外角等于____________________，大于任何一个_________________________ 2, 边与边任何两边之和__________________，任何两边之差____________________即，若三角形两边分别是,,a b ，第三边为 c ，则____________________3, 边与角____________________，___________________二，三角形中的重要线段1.中线, 性质：________________________2. 高，________________________________3. 角平分线, __________________________三，全等三角形1，全等的判定方法___________，___________，___________， ___________2，全等的性质_________________________________________________________四，三角形分类1，按角分______三角形三角形_______三角形斜三角形_______三角形2，按边分不等边三角形三角形____________三角形_____三角形____________三角形五，特殊三角形1，直角三角形性质：1）_________________________2）_________________________3）_________________________4）_________________________2，等腰三角形1，认识等腰三角形各部分名称：底边，腰底角，顶角表示方法：______________________重要线段：三线合一总结等腰三角形性质：__________________________________________________________________特殊的等腰三角形：1）等边三角形2）等腰直角三角形练习一：1.若等腰三角形一个顶角为50°则这个三角形其余两角度数为________.2.已知等腰三角形一个内角的度数为30°,那么它底角的度数是________．3.若三角形一个外角为80°,则它底角度数为________．4．等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍，则它的顶角是________．5.等腰三角形一内角为70°,则它腰上的高与底边的夹角为________．6.若某等腰三角形两边长为2cm，3cm，则这个三角形周长为________.7. 若某等腰三角形两边长为3cm，6cm，则这个三角形周长为________.8. 若某直角三角形两边长为3cm，4cm，则这个三角形周长为________.等腰三角形判定：____________________________________________证明线段相等的问题可用方法：首选方法证明三角形全等如果两条线段可以放到一个三角形中的话，可以转化为证明包含这两条线段的三角形是等腰三角形即可练习二：1,若点,D E 在ABC ?边BC 上，,,AD AE BD EC ==求证：ABC ?是等腰三角形2.把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部分是什么图形，试说明理由。

暑假初二升初三数学衔接班预习教材(完整版)

第一讲一元二次方程的解法（一）【基础知识精讲】1．一元二次方程的定义：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。

（三个条件缺一不可）2．一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a≠0）。

其中ax 2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。

3．一元二次方程的解法：⑴ 直接开平方法：如果方程 (x+m ）2= n (n≥0)，那么就可以用两边开平方来求出方程的解。

(2) 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0 (a ≠0）的一般步骤是： ① 化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；② 移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； ③ 配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方； ④ 化原方程为(x+m ）2=n 的形式；⑤ 如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n ＜0，则原方程无解．注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2=3（x ＋4）中，不能随便约去（x ＋4）.②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．【例题巧解点拨】（一）一元二次方程的定义：例1：1、方程①13122=-xx ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中一元二次方程是 .A. ①和②；B.②和③ ；C. ③和④；D. ①和③2、要使方程（a-3）x 2+（b+1）x+c=0是关于x 的一元二次方程，则__________. A ．a ≠0 B ．a ≠3C ．a ≠1且b ≠-1D ．a ≠3且b ≠-1且c ≠03、若（m+1）(2)1m m x +-+2mx-1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________．（二）一元二次方程的一般形式：例2：一元二次方程)1(2)2)(1(2-=+-x x x 的一般形式是；二次项系数是；一次项系数是；常数项是。

八升九数学衔接课程(培优)

八升九衔接暑期课程数学（培优教材）目录第一讲一元二次方程 (1)第二讲一元二次方程（配方法） (5)第三讲一元二次方程（公式法） (9)第四讲一元二次方程（分解因式法） (13)第五讲判别式和根与系数的关系 (17)第六讲列方程解应用题 (21)第七讲一元二次方程（综合） (25)第八讲一元二次方程检测 (30)第九讲直角三角形与勾股定理 (33)第十讲垂直平分线 (38)第十一讲角平分线定理 (43)第十二讲等腰、等边三角形 (48)第十三讲综合运用 (53)第十四讲二元一次方程（组） (58)第十五讲函数与坐标系 (63)第十六讲一次函数及其图象和性质 (67)第十七讲反比例函数 (71)第一讲一元二次方程【学习目标】1、学会根据具体问题列出一元二次方程，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。

2、了解一元二次方程的解或近似解。

3、增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。

【知识要点】1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

（1）定义解释：①一元二次方程是一个整式方程；②只含有一个未知数；③并且未知数的最高次数是2。

这三个条件必须同时满足，缺一不可。

（2）02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）叫一元二次方程的一般形式，也叫标准形式。

（3）在02=++c bx ax （0a ≠）中，a ，b ，c 通常表示已知数。

2、一元二次方程的解：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值为0，x 的值即是一元二次方程02=++c bx ax 的解。

3、一元二次方程解的估算：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值无限接近0时，x 的值即可看做一元二次方程02=++c bx ax 的解。

【经典例题】例1、下列方程中，是一元二次方程的是 ①042=-y y ； ②0322=--x x ； ③312=x； ④bx ax =2；⑤x x 322+=； ⑥043=+-x x ； ⑦22=t ； ⑧0332=-+xx x ；⑨22=-x x ；⑩)0(2≠=a bx ax 例2、（1）关于x 的方程(m －4)x 2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程.（2）如果方程ax 2+5=(x+2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a__________.（3）关于x 的方程135)32(12=+-++x x m m m 是一元二次方程吗?为什么？例3、把下列方程先化为一般式，再指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。

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注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。

（三个条件缺一不可）2．一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a≠0）。

其中ax 2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。

3．一元二次方程的解法：⑴ 直接开平方法：如果方程 (x+m ）2= n (n≥0)，那么就可以用两边开平方来求出方程的解。

2018年八年级升九年级数学暑假衔接班讲义第1讲整式的运算(无答案) 沪科版

第1讲、整式的运算【典型例题练习】考点一：同底数幂的运算例1、若2x =3，4y =5，则2x －2y 的值为（） A. 53 B. －2 C. 35 D. 56 考点二：积的乘方、单项式、多项式的乘法例2、计算()4323b a --的结果是（）A. 12881b aB. 7612b aC. 7612b a -D. 12881b a - 例3、下列计算正确的是（）A. 325a b ab +=B. 325()a a =C. 32()()a a a -÷-=- D. 3253(2)6x x x -=-例4、用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第n 个图案中正三角形的个数为（用含n 的代数式表示）__ ___个.例5、已知：32a b +=，1ab =，化简(2)(2)a b --的结果是 . 考点三：平方差公式、完全平方公式例6、已知9ab =，3a b -=-，则223a ab b ++=___ _ _.例7、先化简，再求值：代数式22()()()2a b a b a b a +-++-，其中133a b ==-，.【模拟试题】一、选择题1. 多项式322431x x y xy -+-的项数、次数分别是（）A. 3、4B. 4、4C. 3、3D. 4、32. 下列各式计算正确的是（）A. 4442x x x +=B. ()aa a x x x -⋅-= C. ()325x x = D. ()326x y x y = 3. ()2a b --等于（）A. 22a b +B. 22a b -C. 222a ab b ++D. 222a ab b -+4. 下列多项式的乘法中可用平方差公式计算的是（）A.（1+x ）（x+1）B. 1122a b b a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C.（－a+b ）（a －b ）D. ()()22x y y x -+5. 下列各式计算结果与245a a -+相同的是（）A. ()221a -+B. ()221a ++C. ()221a +-D. ()221a --6. 若()()232y y y my n +-=++，则m 、n 的值分别为（） A. 5m =，6n = B. 1m =，6n =- C. 1m =，6n = D. 5m =，6n =-7. 一个长方体的长、宽、高分别是34a -、2a 、a ，它的体积等于（）A. 3234a a -B. 2aC. 3268a a -D. 268a a - 8. 一个三项式与一个二项式相乘，在合并同类项之前，积的项数是（）A. 三项B. 四项C. 五项D. 六项9. ()2a a b c -+-与()2a a ab ac --+的关系是（）A. 相等B. 互为相反数C. 前式是后式的a -倍D. 前式是后式的a 倍10. 下列各式的计算中不正确的个数是（）（1）10101010=÷- （2）1000)72(1004=⨯⋅- （3）（－0.1）0÷3)21(--=8 （4）（－10）－4÷（－4)101-=－1 A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二、沉着冷静耐心填 11. 单项式23m n -的系数是，次数是 . 12. ()()23342a b ab -÷= .13. 若A=2x y -，4B x y =-，则2A B -= .14. ()()3223m m -++= .15. 2005200440.25⨯= .16. 若23n x =，则6n x = .17. 要使()()22321ax x x x ---的展开式中不含3x 项，则a = .18. 若10m n +=，24mn =，则22m n += .三、神机妙算用心做19. 当x=－3时，代数式538ax bx cx ++-的值为6，试求当x=3时，538ax bx cx ++- 的值.。

2020-2021-人教版精品-初二升初三暑假衔接版（原卷+基础版）

2020-2021-⼈教版精品-初⼆升初三暑假衔接版（原卷+基础版）⽬录第⼀讲⼆次根式巩固复习 (2)第⼆讲勾股定理巩固复习 (8)第三讲⼀般平⾏四边形巩固复习 (16)第四讲特殊平⾏四边形巩固复习 (25)第五讲⼀次函数巩固复习 (31)第六讲阶段过关练 (39)第七讲⼆次根式、因式分解与分式综合提升 (49)第⼋讲⼀元⼆次⽅程概念 (53)第九讲解⼀元⼆次⽅程 (57)第⼗讲⼀元⼆次⽅程根的判别式 (71)第⼗⼀讲⼀元⼆次⽅程根根系关系—韦达定理 (77)第⼗⼆讲⼀元⼆次⽅程的应⽤ (83)第⼀讲⼆次根式巩固复习⼀、考纲要求1.了解⼆次根式、最简⼆次根式、同类⼆次根式的概念，会辨别最简⼆次根式和同类⼆次根式.2.掌握⼆次根式的性质，会化简简单的⼆次根式，能根据指定字母的取值范围将⼆次根式化简；3.掌握⼆次根式的运算法则，能进⾏⼆次根式的加减乘除四则运算，会进⾏简单的分母有理化. ⼆、⼆次根式知识梳理1.⼆次根式的有关概念（三⼤概念）基本概念（1）⼆次根式：式⼦)0(≥a a 叫做⼆次根式．注意被开⽅数a 只能是．并且根式a 也是 .重要概念（2）最简⼆次根式被开⽅数不含分母，不含能，这样的⼆次根式，叫做最简⼆次根式. 重要概念（3）同类⼆次根式化成最简⼆次根式后，被开⽅数相同的⼏个⼆次根式，叫做同类⼆次根式． 2.⼆次根式的五⼤性质（注意括号内条件要求）（1（a ≥0）；（2）()=2a （a ≥0）（3(0)(0)a a a a a ≥?==?-（4）=ab （a ≥0, b ≥0）（5）=b a（a ≥0,b ＞0）. 3.⼆次根式的运算（四种运算）（1）⼆次根式的加减：先把⼆次根式化为，再合并同类⼆次根式；（2）⼆次根式的乘法：应⽤公式计算；（3）⼆次根式的除法：应⽤公式计算；（4）⼆次根式的运算仍满⾜运算律，也可以⽤多项式的乘法公式来简化运算. ⼆次根式的运算结果⼀定要化成 .三、要点精析：⼆次根式的计算与化简是重点，也是难点.前⾯的公式、运算法则等在⼆次根式的计算与化简中仍然适⽤.要熟练地解决⼆次根式的计算与化简问题，需要学⽣真正理解考纲所要求的基础知识，并灵活的运⽤基础知识解决问题.继⽽重新回归到重点内容上.本章的基础知识：3个概念（⼆次根式、最简⼆次根式、同类⼆次根式），5条性质， 4种运算.基础讲011.有下列各式：√21，√x2+1，√93，√-6a(a>0).其中是⼆次根式的有()A.1个B.2个C.3个D.4个2.若⼆次根式√1+2x有意义，则x的取值范围为()A.x≥12B.x≤12C.x≥-12D.x≤-123.如果y=√x-2+√2-x+3，那么y x的算术平⽅根是()A.2B.3C.9D.±34.观察⼀组数：√3，2√2，√15，2√6…则第6个数是()A.3√5B.√47C.2√30D.4√35.下列代数式能作为⼆次根式的被开⽅数的是()A.3-πB.aC.a2+1D.2x+46.当a=-3时，⼆次根式√1-a的值是.7.写出⼀个只含有字母a的⼆次根式：. (注意：a的取值范围是全体实数)8.若式⼦1+√x-2在实数范围内有意义，则x的取值范围是.9.若√1-xx+3有意义，则x的取值范围是.10.⼩林同学在计算√(m-8)2时，他断⾔√(m-8)2=m-8，你认为他说得对吗?请说明理由.11.当x是怎样的实数时，√2x+3+1x+1在实数范围内有意义?提升讲0112.已知实数a满⾜|2018-a|+√a-2019=a，求a-20182的值.13.已知√a-17+2√17-a=b+8.(1)求a的值；(2)求a2-b2的平⽅根.14.如图，根据实数a、b在数轴上的位置化简√a2?√b2?√(a-b)2.15.若△ABC的三条边长分别为a，b，c，其中a和b满⾜√a-2+b2-6b=-9，求边长c的取值范围.基础练1.()A.√12B.√8C.√10D.√502.等式√x+1·√x-1=√x2-1成⽴的条件是()A.x≥1B.x≥-1C.-1≤x≤1D.x≥1或x≤-13.已知m<0，则化简|√m2-m|的结果是()A.-2mB.2mC.0D.-m4.下列运算结果是⽆理数的是()A.3√2×√2B.√3×√2C.√72÷√2D.√132-525.下列各等式成⽴的是()A.4√5×2√5=8√5B.5√3×4√2=20√5C.4√3×3√2=7√5D.5√3×4√2=20√66.甲、⼄两位同学对代数式√a+√b(a>0，b>0)分别做了如下变形：甲：√a+√b =√a-√b)(a+√b)(a-√b)=√a?√b；⼄：√a+√b=√a-√b)(√a+√b)√a+√b=√a?√b.关于这两种变形过程的说法正确的是()A.甲、⼄都正确B.甲、⼄都不正确C.只有甲正确D.只有⼄正确7.将⼆次根式√48化为最简⼆次根式：.8.若⼆次根式√5a+3是最简⼆次根式，则最⼩的正整数a为.9.化简√15×√6÷√10可得.10.当a<0，b>0时，化简√a2b=.11.已知√(2a-3)2=3-2a，则a的取值范围是.12.如果实数a在数轴上的位置如图所⽰，那么√(a-2)2+√(a-1)2=.13.计算：(1)14√8÷2√12×(-2√2)；(2)3√45÷√15×23√223.基础过关练1.下列各式中与√2可以合并的是()A.√3B.√4C.√8D.√122.计算√3?√27的值为()A.-2√6B.-4C.-2√3D.-√33.下列运算正确的是()A.√5+√2=√7B.a√x-b√x=(a-b)√xC.√6+√82=√3+√4=√3+2 D.√a2-b2=a-b 4.若最简⼆次根式√7a+b、√6a-b b+3可以合并，则a+b的值为()A.2B.-2C.-1D.15.下列各式中计算正确的是()A.3√2?√2=2√2B.2+√2=2√2C.√12-√102=√6?√5 D.√2+√3=√6√5-2，b=√5+2，则√a2+b2+7的值为()A.3B.4C.5D.67.化简√12-3√13，结果是.8.化简√9x2-6x+1-(√3x-5)2，结果是.9.已知x=√3+√2，y=√3?√2，则x3y+xy3=.10.已知最简⼆次根式√2m-1与√34-3mn-1可以合并，则mn=.11.计算：(1)√27-15√13+14√48；(2)√50?√8+√2.12.在计算√6×2√3?√24÷√3的值时，⼩亮的解题过程如下：解：原式=√6×2√3?√24÷√3=2√6×3?√243①=2√18?√8②=(2-1)√18-8③=√10. ④(1)⽼师认为⼩亮的解法有错，⼩亮是从第(填序号)步开始出错的；(2)请你给出正确的解题过程.提升过关练13.观察、思考、解答：例：(√2-1)2=(√2)2-2×1×√2+12=2-2√2+1=3-2√2，反之，3-2√2=2-2√2+1=(√2-1)2，∴√3-2√2=√2-1.(1)模仿上例，化简√6-2√5. (2)若√a+2√b=√m+√n，则m、n与a、b的关系是什么?请说明理由. (3)已知x=√4-√12，求(1x-2+1x+2)·x2-4的值.(结果保留根号)第⼆讲勾股定理巩固复习⼀、考纲要求1.了解直⾓三⾓形的有关概念，掌握其性质与判定．2.掌握线段中垂线的性质及判定.3.掌握⾓平分线的性质及判定.4.掌握勾股定理与逆定理，并能⽤来解决有关问题. ⼆、知识梳理1.直⾓三⾓形的性质与判定(1)直⾓三⾓形性质①⾓的关系：∠A+∠B=900；②边的关系：222a b c +=（勾股定理）③边⾓关系：00901230C BC AB A ?∠=?=∠=??(直⾓三⾓形中，30°⾓所对直⾓边等于斜边的⼀半) ④09012C CE AB AE BE ?∠=?=?=?（直⾓三⾓形斜边上的中线CE 等于斜边AB 的⼀半．）等⾯积法：⑤2ch ab s ==；（如图，s 是Rt △AB C 的⾯积，h 是斜边上的⾼）(2)直⾓三⾓形的判定：①有⼀个⾓等于90°的三⾓形是直⾓三⾓形．②有两⾓互余的三⾓形是直⾓三⾓形．③如果三⾓形⼀边上的中线等于这边的⼀半，则该三⾓形是直⾓三⾓形．④勾股定理的逆定理：如果三⾓形⼀条边的平⽅等于另外两条边的平⽅和，那么这个三⾓形是直⾓三⾓形．2.⾓平分线的性质及判定(1)性质：⾓平分线上的点到⾓的两边的距离相等．(2)判定：⾓的内部到⾓的两边距离相等的点在⾓的平分线上，⾓的平分线可以看作是到⾓两边距离相等的点的集合．3.线段的垂直平分线(1)概念：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线．(2)性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．(3)判定：到⼀条线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合．三、要点精析1.⽅法技巧：（1）勾股定理的逆定理是判断⼀个三⾓形是否是直⾓三⾓形的重要⽅法，应先确定最⼤边，然后验证两条短边的平⽅和是否等于最⼤边的平⽅.（2）利⽤勾股定理解决实际问题的前提条件是有直⾓三⾓形，作垂线构造直⾓三⾓形是解决这类问题的关键.（3）在解决有关⾓平分线的问题时通常做法是过⾓平分线上⼀点作⾓的两边的垂线．（4）垂直平分线的性质定理和折叠联系在⼀起的问题中，常需要联想相似形和全等形等有关知识综合进⾏解题．2.注意勾股定理及其逆定理的应⽤.在解决实际问题的过程中常⽤下列⽅法：（1）直接法；（2）转化法；（3）构造图形法（即构造直⾓三⾓形以达到解题的⽬的）；（4）图形结合法；（5）数形结合法；（6）⽅程的思想⽅法.基础讲1.已知x=√5-12，y=√5+12，则x2+xy+y2的值为()A.2B.4C.5D.72.已知等腰三⾓形的两条边长分别为1和√5，则这个三⾓形的周长为()A.2+√5B.1+2√5C.2+2√5或1+2√5D.1+√53.已知x+y=√3+√2，xy=√6，则x2+y2的值为()A.5B.3C.2D.14.在矩形ABCD中，AB=2√3?√2，BC=√6+1，则矩形ABCD的⾯积是()A.5√2B.4√3?√2C.5√2-4√3 D.5√2+4√3a =√7，则a-1a等于()A.√3B.-√3C.±√3D.±√116.若(3+√3)2=a+b√3(a、b为实数)，则a+b等于()A.9B.18C.12D.67.如图，在数学课上，⽼师⽤5个完全相同的⼩长⽅形在⽆重叠的情况下拼成了⼀个⼤长⽅形，已知⼩长⽅形的长为3√10、宽为2√10，下列是四位同学对该⼤长⽅形的判断，其中不正确的是()A.⼤长⽅形的长为6√10B.⼤长⽅形的宽为5√10C.⼤长⽅形的长为11√10D.⼤长⽅形的⾯积为3008.若⼀个长⽅体的长为2√6cm，宽为√3cm，⾼为√2cm，则它的体积为cm3.9.已知a2-b2=√6，a-b=√3，则a+b=.10.已知y=√x-1?√1-x+4，则√x2y=.11.若a=3-√2017，则代数式a2-6a+9的值是.12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=√10+√2，BC=√10?√2，求：(1)Rt△ABC的⾯积；(2)斜边AB的长；(3)AB边上的⾼.提升讲13.已知线段a，b，c，且线段a，b满⾜|a-√48|+(b-√32)2=0. (1)求a，b的值. (2)若a，b，c是某直⾓三⾓形的三条边的长度，求c的值.14.著名数学家斐波那契曾研究了⼀列数，这列数被称为斐波那契数列(按照⼀定顺序排列的⼀列数称为数列)，这个数列的第n 个数为√5[(1+√52)n -(1-√52)n](n 为正整数)，例如：这个数列的第8个数可以表⽰为√5[(1+√52)8-(1-√52)8].根据以上材料，表⽰出下列各数并计算：(1)这个数列的第1个数； (2)这个数列的第2个数.1.在⼆次根式√x +2中，x 的取值范围是 ( ) A.x >-2 B.x ≥-2 C.x ≠-2D.x ≤-22.在下列根式中，不是最简⼆次根式的是 ( ) A.√7B.√3C.√12 D.√23.如果√x ·√x -6=√x (x -6)，那么 ( ) A.x ≥0B.x ≥6C.0≤x ≤6D.x 为⼀切实数4.下列运算正确的是 ( )A.√3+√2=√5B.√3×√2=√6C.(√3-1)2=3-1 D √52-32=5-3 5.若x =√m ?√n ，y =√m +√n ，则xy 的值是 ( ) A.2√m B.2√n C.m +nD.m -n6.已知某等腰三⾓形的⼀条边长是2√3，另⼀条边长是3√2，则这个等腰三⾓形的周长是 ( ) A.2√3+6√2 B.4√3+3√2 C.2√3+6√2或4√3+3√2 D.⽆法确定7.如图，数轴上表⽰1、√2的对应点分别为A 、B ，则以点A 为圆⼼，以AB 的长为半径的圆交数轴于点C ，则点C 表⽰的数是( )A.√2-1B.1-√2C.2-√2D.√2-28.已知某三⾓形三条边的长分别为√27 cm ，√3 cm ，√48 cm ，则它的周长为 cm.9.已知a5√50-4√12； (2)9√45÷3√15×32√83.提升阶段练12.已知△ABC ，AB =1，BC =4√12，CA =15√125. (1)分别化简4√12，15√125.(2)试在4×4的⽅格纸上画出△ABC ，使它的顶点都在⽅格的顶点上(每个⼩⽅格的边长为1).基础过关练1.斜边长为17 cm ，⼀条直⾓边长为15 cm 的直⾓三⾓形的⾯积是 ( ) A.60 cm 2 B.30 cm 2 C.90 cm 2 D.120 cm 22.某直⾓三⾓形的周长为30，且⼀条直⾓边的长为5，则另⼀直⾓边的长为 ( ) A.3 B.4 C.12 D.133.已知⼀根旗杆在离地⾯4.5⽶的地⽅折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6⽶处，则旗杆折断前⾼为 ( ) A.10.5⽶ B.7.5⽶ C.12⽶ D.8⽶4.如果△ABC 的三边长分别为m 2-1，2m ，m 2+1(m >1)，那么 ( ) A.△ABC 是直⾓三⾓形，且斜边的长为m 2+1B.△ABC 是直⾓三⾓形，且斜边的长为2mC.△ABC 是直⾓三⾓形，斜边的长需由m 的⼤⼩确定D.△ABC 不是直⾓三⾓形5.已知甲、⼄两⼈从同⼀地点出发，甲往正东⽅向⾛了4 km ，⼄往正南⽅向⾛了3 km ，这时甲、⼄两⼈相距 .6.已知⼀个直⾓三⾓形的三条边长为三个连续的偶数，则该三⾓形的三条边长分别为 .7.如图，有⼀个长为50 cm ，宽为30 cm ，⾼为40 cm 的⽊箱， (填 “能”或“不能”)将⼀根长为70 cm 的⽊棒放进去，这个⽊箱最长能放 cm 的⽊棒.8.已知某直⾓三⾓形的两直⾓边的长的⽐为3∶4，斜边长为10，则该直⾓三⾓形的两直⾓边的长分别为.9.如图，AD是△ABC的⾓平分线，AB=AC=13 cm，AD=12 cm，求BC的长.提升过关练10.中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位.现⽤4个全等的直⾓三⾓形拼成如图所⽰的“赵爽弦图”，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=b，BC=a，AB=c，请你利⽤这个图形解决下列问题：(1)试说明a2+b2=c2；(2)如果⼤正⽅形的⾯积是10，⼩正⽅形的⾯积是2，求(a+b)2的值.11.如图1、图2所⽰的是两张形状、⼤⼩完全相同的⽅格纸，⽅格纸中的每个⼩正⽅形的边长均为1，线段AB、EF的端点均在⼩正⽅形的顶点上.(1)如图1，作出以AB为对⾓线的正⽅形ACBD，并直接写出此正⽅形的周长.(2)如图2，以线段EF为⼀边作出等腰△EFG(点G在⼩正⽅形的顶点处)，且顶⾓为钝⾓，并使其⾯积等于4.图1图2基础阶段练1.若三⾓形的三条边的长分别为①3，4，5；②9，40，41；③7，24，25；④13，84，85，则其中能构成直⾓三⾓形的有()A.4个B.3个C.2个D. 1个2.下列条件中，不能使△ABC成为直⾓三⾓形的是()A.a2=b2-c2B.a∶b∶c=3∶4∶5C.∠C=∠B+∠AD.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶53.命题“对顶⾓相等”和“相等的⾓是对顶⾓”是()A.互逆命题B.互逆定理C.都是真命题D.都是假命题4.将直⾓三⾓形的三边扩⼤相同的倍数后，得到的三⾓形是()A.直⾓三⾓形B.锐⾓三⾓形C.钝⾓三⾓形D.不是直⾓三⾓形5.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若它们的关系为a2+c2=b2，则是直⾓.6.在△ABC中，AB=7，AC=24，BC=25，则∠A=.7.已知两条线段的长分别为15 cm和8 cm，当第三条线段的长取整数时，这三条线段能组成⼀个直⾓三⾓形.8.如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=12 cm，BC=3 cm，CD=4 cm，则当AD=cm时，∠ABD=90°.9.如图，在4×8的⽹格中，每⼀个⼩格都是正⽅形，若⼩格的边长为1，则△ABC是三⾓形.10.若△ABC的三个外⾓的度数之⽐为3∶4∶5，则最长边AB与最短边BC的数量关系是.11.如图所⽰的是⼀个四边形的边⾓料，东东通过测量，获得了如下数据：AB=3 cm，BC=12 cm，CD=13 cm，AD=4 cm.东东由此认为这个四边形中∠A恰好是直⾓，你认为东东的判断正确吗?如果你认为他的判断正确，请说明理由；如果你认为他的判断不正确，那你认为需要什么条件，才可以判断∠A是直⾓?12.如图所⽰的是由边长为1的⼩正⽅形组成的⽹格.(1)求四边形ABCD的⾯积. (2)你能判断AD与CD的位置关系吗?说出你的理由.提升阶段练13.阅读题：若⾃然数a、b、c满⾜c2=a2+b2，则称它们为⼀组勾股数.我们常借助平⽅差公式来发现并证明某三个数是否为勾股数.例如：因为132-122=(13+12)(13-12)=25=52，所以132=52+122，所以5、12、13是⼀组勾股数.阅读完上⾯的内容，请解答下列两题：(1)试证明：8、15、17是⼀组勾股数.(2)请你再写出两组新的且不含公因数的勾股数(不必证明).第三讲⼀般平⾏四边形巩固复习⼀、考纲要求1.了解多边形的有关概念，并能解决简单的多边形问题．2.掌握多边形的内⾓和定理、外⾓和定理，并会进⾏有关的计算与证明．3.掌握平⾏四边形的概念，掌握平⾏四边形的有关性质和常⽤的判别⽅法．4.能够正确应⽤平⾏四边形有关的性质定理及判定定理进⾏计算和证明．5.体会在证明过程中，所运⽤的归纳、转化等数学思想⽅法．6.了解平⾯图形镶嵌的概念，了解三⾓形、四边形、正六边形可以进⾏镶嵌，能运⽤这三种图形进⾏简单的镶嵌设计，会判断⼏种正多边形能否进⾏镶嵌.⼆、知识梳理1.与n边形有关的知识（1）n边形的内⾓和为(n－2)·180°．外⾓和为360°．（2）如果⼀个多边形的边数增加⼀条，那么这个多边形的内⾓和增加180°，外⾓和增加0°．（3）过n边形的⼀个顶点⼀共可以引n-3 条对⾓线，n边形⼀共有(n3)2n条对⾓线．（4）正多边形：各个⾓都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．2.平⾯图形的的密铺(或称镶嵌)（1）平⾯的密铺定义：把形状、⼤⼩完全相同的⼀种或⼏种平⾯图形拼接在⼀起，使得平⾯上不留空隙，不重叠，这就是平⾯图形的密铺，也叫平⾯图形的镶嵌．（2）正三⾓形、正⽅形、正六边形都可以单独使⽤密铺平⾯，部分正多边形的组合也可以密铺．3.平⾏四边形的性质（1）平⾏四边形对边平⾏且相等_，对⾓_相等_；邻⾓_互补_；对⾓线_互相平分 .（2）平⾏四边形两个邻⾓的平分线互相_垂直_，邻边不相等的平⾏四边形的两个对⾓的平分线互相_平⾏_．（填“平⾏”或“垂直”）（3）平⾏四边形的⾯积公式_S ah=.（4）平⾏四边形是中⼼对称图形．4.平⾏四边形的判定（1）定义法：两组对边分别平⾏的四边形是平⾏四边形.（2）边：两组对边分别相等的四边形是平⾏四边形；⼀组对边平⾏且相等的四边形是平⾏四边形．（3）⾓：两组对⾓分别相等的四边形是平⾏四边形．（4）对⾓线：对⾓线互相平分的四边形是平⾏四边形．5.两条平⾏线间的距离：两条平⾏线中，⼀条直线上任意⼀点到另⼀条直线的距离，叫做两条平⾏线间的距离．三、要点精析平⾏四边形是四边形中应⽤⼴泛的⼀种图形，它是研究特殊四边形的基础，是研究线段相等、⾓相等和直线平⾏的根据之⼀．1.平⾏四边形的性质（符号语⾔表达形式）：2.平⾏四边形的判定（符号语⾔表达形式）：AB CDABCDBC AD四边形是平⾏四边形////==AB CDABCDBC AD四边形是平⾏四边形=AB CDABCDAB CD四边形是平⾏四边形ABCDOC OD==四边形是平⾏四边形ABC DCABCDBAD==四边形是平⾏四边形∠∠A∠∠BCD3数学⼝诀---平⾏四边形判定要证平⾏四边形，两个条件才能⾏；⼀证对边都相等，或证对边都平⾏；⼀组对边也可以，必须相等且平⾏；对⾓线，是个宝，互相平分“跑不了”；对⾓相等也有⽤，“两组对⾓”才能成.基础讲1.已知梯⼦的底端到建筑物的距离为5⽶，⽤13⽶长的梯⼦可以到达该建筑物的⾼度是()A.12⽶B.13⽶C.14⽶D.15⽶2.若等边△ABC的边长为2 cm，则△ABC的⾯积为()A.√3cm2C.3√3cm2D.4 cm23.在△ABC中，若AC=√2，BC=√7，AB=3，则下列结论中，正确的是()A.∠B=90°B.△ABC是锐⾓三⾓形C.∠C=90°D.△ABC是钝⾓三⾓形4.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，若AD=2BD，AC=5，BC=4，则BD的长为()A.√5B.√3C.1D.125.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，则CN的长为()A.72B.258C.278D.1546.已知直⾓三⾓形的两条边长分别为3、4，则第三条边长为.7.在△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，则AC边上的⾼是.8.如图，⼀架10⽶长的梯⼦斜靠在墙上，当梯脚在B处时，梯顶刚好抵达8⽶⾼的路灯的顶端.当电⼯师傅沿梯⼦上去修路灯时，梯⼦下滑到了B'处，下滑后，两次梯脚间的距离BB'为2⽶，则此时梯顶离路灯顶端⽶.9.已知Rt△ABC的周长为4+2√3，斜边AB的长为2√3，则Rt△ABC的⾯积为.10.如图，某⼈欲横渡⼀条河，由于⽔流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达地点B200 m，已知他在⽔中实际游了520 m，求该河流的宽度.提升讲11.如图，折叠长⽅形ABCD的⼀边AD，使点D落在BC边上的点F处，如果AB=8 cm，BC=10 cm，求EC的长.基础练1.如图，在?ABCD中，点E是BC延长线上⼀点，且∠A=120°，则∠DCE的度数是()A.120°B.60°C.45°D.30°2.如图，在?ABCD中，AE平分∠DAB，∠B=100°，则∠DEA的度数是()A.100°B.80°C.60°D.40°3.已知?ABCD的周长为32，AB=4，则BC的长为()A.4B.12C.24D.284.如图，?ABCD的周长为40，△BOC的周长⽐△AOB的周长多10，则AB的长为()A.20B.15C.10D.55.知平⾏四边形的周长为24 cm，相邻两条边长的⽐为3∶1，那么这个平⾏四边形较短的边长为cm.6.如图，?ABCD的对⾓线相交于点O，且DC≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E.若△CDE的周长为6 cm，则?ABCD的周长为.7.如图，在?ABCD中，AD=10，AC=8，BD=14，则△BOC的周长是.8.如图，?ABCD的顶点A、B、D的坐标。

初三数学暑假衔接班讲义(合计18讲-可修改编辑)

暑假班培训初三数学学习资料目录本次培训具体计划如下，以供参考：第一讲如何做几何证明题第二讲平行四边形（包括矩形，菱形和正方形）的性质和判定第三讲平行四边形的提高篇（涉及中考的压轴题）第四讲梯形的辅助线和中考解题思路第五讲三角形和梯形中位线及其在中考中的解题技巧第六讲一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法）第七讲一元二次方程的判别式及其在中考题中的专项训练第八讲一元二次方程根与系数的关系（涵盖压轴题 5 种关系）第九讲一元二次方程的应用题（必讲章节）第十讲因式分解第十一讲分式的运算第十二讲分式的化简求值第十三讲分式方程及其应用第十四讲二次根式的运算专题第十五讲二次根式的化简求值第十六讲代数式的恒等变形第十七讲相似三角形第十八讲相似三角形（提高篇）第一讲：如何解决中考图形类证明题【知识梳理】1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。

几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。

这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。

2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。

3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。

在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。

【例题精讲】【专题一】证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。

初二升初三数学衔接课程

初中数学暑假衔接课程曲靖状元楼校区第一部分：回顾初二内容第17章反比例函数一．反比例函数的定义形如y ＝kx（k 为常数，且0k ≠）的函数统称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数的表达形式还有1(0)y kx k k -=≠是常数，，xy ＝k （k ≠0）。

例题1：（1）已知y 是x 的反比例函数，当x ＝2时，y ＝8，写出y 与x 的关系式，并求当y ＝－4时，x 的值；（2）已知点（1，-2）在反比例函数ky x =的图象上，则k=____________。

二．反比例函数的图象和性质1．反比例函数的表示方法和一次函数一样，反比例函数有表达式法，列表法，图象法三种，下面主要讲述两个图象。

反比例函数的图象由两条曲线组成，且随着x的增大（或减小），曲线越来越接近坐标轴。

反比例函数的图象属于双曲线。

2．反比例函数的图象和性质，如下表：函数图象性质反比例函数y＝k x（0k≠）k>0双曲线，位于第一，三象限，在每个象限内，y随x的增大二减小，与x轴，y轴无交点k<0双曲线，位于第二，四象限，在每个象限内，y随x的增大二增大，与x轴，y轴无交点例题2：反比例函数4yx=-的图象大致是（）例题3：如果函数y=kx-2（k ≠0）的图象不经过第一象限，那么函数ky x=的图象一定在( )A.第一、二象限B.第三、四象限C.第一、三象限D.第二、四象限 3．（思考）当两个反比例函数的k 的符号相同时，k 对函数图象的影响例题：在下面的平面直角坐标系中画出函数2y x =，4y x =和6y x =的图象，比较这三个函数图象的特点。

例题5：如图是三个反比例函数312,,k k ky y y x x x===，在x 轴上方的图像，由此观察得到k l 、k 2、k 3的大小关系为（）>k 2>k 3 B. k 3>k 2>k 1 C. k 2>k 3>k 1 D. k 3>k 1>k 24．与反比例函数图象有关的图形例题：如图所示，反比例函数4y x=在第一象限的图象上一点P ，过P 点分别作两条直线垂直于x 轴和y 轴，交点分别是A ，B 求四边形OAPB 的面积。

八年级升九年级数学暑假衔接班讲义第1讲整式的运算(无答案)沪科版(2021年整理)

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同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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第1讲、整式的运算【典型例题练习】考点一：同底数幂的运算例1、若2x =3，4y =5，则2x －2y 的值为（） A 。

53 B 。

－2 C 。

35 D 。

56 考点二：积的乘方、单项式、多项式的乘法例2、计算()4323b a --的结果是( ） A 。

12881b a B 。

7612b a C 。

7612b a - D 。

12881b a - 例3、下列计算正确的是（）A. 325a b ab +=B. 325()a a =C. 32()()a a a -÷-=-D.3253(2)6x x x -=- 例4、用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第n 个图案中正三角形的个数为（用含n 的代数式表示）__ ___个。

例5、已知:32a b +=，1ab =，化简(2)(2)a b --的结果是。

考点三:平方差公式、完全平方公式例6、已知9ab =，3a b -=-，则223a ab b ++=___ _ _。

例7、先化简，再求值：代数式22()()()2a b a b a b a +-++-,其中133a b ==-，。

八升九暑期数学衔接资料

⼋升九暑期数学衔接资料说明本套资料是结合现今最新版中学⽣数学教材为主线编纂的⼀套课外数学暑假衔接教材。

共分12讲，主要编排思路是按照“4、7、1模式”进⾏安排，即4次复习，7次预习和1次检测。

除检测之外，其它每⼀讲内容都由知识结构、例题解析和变式练习三部分组成，每⼀讲并配有⼗⼏道相应的同步习题。

暑假时间较长，学⽣对上期所学知识容易遗忘，本套学习资料能够使每⼀位初中⽣将所学旧知识点和新学期要学的新知识点起到有效的衔接作⽤。

希望拥有此书的学⼦，在漫长的暑假期间，快乐的过暑假的同时，不要忘记做到有效的复习和预习。

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精诚培优初中组⽬录复习部分1 全等三⾓形和轴对称 (1)2 整式乘除和因式分解及分式 (15)3 ⼆次根式和勾股定理 (25)4 平⾏四边形和⼀次函数 (37)预习部分5 ⼀元⼆次⽅程及其解法 (54)6 根的判别式和根与系数的关系及应⽤ (74)7 ⼆次函数的图像与性质⼀ (88)8 ⼆次函数的图像与性质⼆ (98)9 待定系数法求⼆次函数的解析式 (115)10 ⽤函数观点看⼀元⼆次⽅程 (121)11 实际问题与⼆次函数 (132)检测部分12 ⼀元⼆次⽅程和⼆次函数知识检测 (141)复习部分第⼀讲全等三⾓形和轴对称【知识⽹络】【要点梳理】要点⼀、全等三⾓形的判定与性质要点⼆、全等三⾓形的证明思路SAS HL SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS→→→→→→→→→→找夹⾓已知两边找直⾓找另⼀边边为⾓的对边找任⼀⾓找夹⾓的另⼀边已知⼀边⼀⾓边为⾓的邻边找夹边的另⼀⾓找边的对⾓找夹边已知两⾓找任⼀边⼀般三⾓形直⾓三⾓形判定边⾓边（SAS ）⾓边⾓（ASA ）⾓⾓边（AAS ）边边边（SSS ）两直⾓边对应相等⼀边⼀锐⾓对应相等斜边、直⾓边定理（HL ）性质对应边相等，对应⾓相等（其他对应元素也相等，如对应边上的⾼相等）备注判定三⾓形全等必须有⼀组对应边相等要点三、⾓平分线的性质1.⾓的平分线的性质定理⾓的平分线上的点到这个⾓的两边的距离相等.2.⾓的平分线的判定定理⾓的内部到⾓的两边距离相等的点在⾓的平分线上.3.三⾓形的⾓平分线三⾓形⾓平分线交于⼀点，且到三边的距离相等.4.与⾓平分线有关的辅助线在⾓两边截取相等的线段，构造全等三⾓形；在⾓的平分线上取⼀点向⾓的两边作垂线段.要点四、全等三⾓形证明⽅法全等三⾓形是平⾯⼏何内容的基础，这是因为全等三⾓形是研究特殊三⾓形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有⼒⼯具，是解决与线段、⾓相关问题的⼀个出发点.运⽤全等三⾓形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、⾓相等、两直线位置关系等常见的⼏何问题.可以适当总结证明⽅法.1．证明线段相等的⽅法：(1) 证明两条线段所在的两个三⾓形全等.(2) 利⽤⾓平分线的性质证明⾓平分线上的点到⾓两边的距离相等.(3) 等式性质.2．证明⾓相等的⽅法：(1) 利⽤平⾏线的性质进⾏证明.(2) 证明两个⾓所在的两个三⾓形全等.(3) 利⽤⾓平分线的判定进⾏证明.(4) 同⾓（等⾓）的余⾓（补⾓）相等.(5) 对顶⾓相等.3．证明两条线段的位置关系（平⾏、垂直）的⽅法：可通过证明两个三⾓形全等，得到对应⾓相等，再利⽤平⾏线的判定或垂直定义证明. 4．辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三⾓形；(2)倍长中线法；(3)作以⾓平分线为对称轴的翻折变换全等三⾓形；(4)利⽤截长(或补短)法作旋转变换的全等三⾓形.5. 证明三⾓形全等的思维⽅法:（1）直接利⽤全等三⾓形判定和证明两条线段或两个⾓相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个⾓所在的两个三⾓形及它们全等的条件.（2）如果要证明相等的两条线段或两个⾓所在的三⾓形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三⾓形全等以补⾜条件.（3）如果现有图形中的任何两个三⾓形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三⾓形，通过构造出全等三⾓形来研究平⾯图形的性质.【巩固练习】⼀.选择题1. 下列命题中, 错误的命题是( )A.两边和其中⼀边上的中线对应相等的两个三⾓形全等B.两边和第三边上的⾼对应相等的两个三⾓形全等C.两边和第三边上的中线对应相等的两个三⾓形全等D.两边和其夹⾓对应相等的两个三⾓形全等2. 如图, 在∠AOB的两边上截取AO ＝ BO, CO ＝ DO, 连结AD、BC交于点P. 则下列结论正确的是( )①△AOD≌△BOC；②△APC≌△BPD；③点P在∠AOB的平分线上A. 只有①B. 只有②C. 只有①②D. ①②③3. 如图, AB∥CD, AC∥BD, AD与BC交于O, AE⊥BC于E, DF⊥BC于F, 那么图中全等的三⾓形有( )A. 5对B. 6对C. 7对D. 8对4．如图，AB⊥BC于B，BE⊥AC于E，∠1＝∠2，D为AC上⼀点，AD＝AB，则（）．A．∠1＝∠EFD B． FD∥BC C．BF ＝DF＝CD D．BE＝EC5. 如图，△ABC≌△FDE，∠C＝40°，∠F＝110°，则∠B等于（）A.20°B.30°C.40°D.150°6. 根据下列条件能画出唯⼀确定的△ABC的是（）A.AB＝3，BC＝4，AC＝8B.AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C.∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4D.∠C＝90°，AB＝AC＝67. 如图，已知AB＝AC，PB＝PC，且点A、P、D、E在同⼀条直线上.下⾯的结论：①EB＝EC；②AD⊥BC；③EA平分∠BEC；④∠PBC＝∠PCB.其中正确的有（）A.1个B. 2个C.3个D. 4个8. 如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的⾯积S是（）A．50 B．62 C．65 D．68⼆.填空题9. 在平⾯直⾓坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在点E，使△ACE和△ACB全等，写出所有满⾜条件的E点的坐标．10. 如图，△ABC中，H是⾼AD、BE的交点，且BH＝AC，则∠ABC＝________.11. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.若AB＝20cm，则△DBE 的周长为_________.12. 如图，△ABC中，∠C＝90°，ED∥AB，∠1＝∠2，若CD＝1.3cm，则点D到AB边的距离是_______.13. 如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，若点O到三⾓形三边的距离相等，则∠AOC＝_________.14. 如图，BA⊥AC，CD∥AB，BC＝DE，且BC⊥DE.若AB＝2，CD＝6，则AE＝_______.15. △ABC中，∠C＝90°，BC＝40，AD是∠BAC平分线，交BC于点D，且DC：DB＝3:5，则点D 到BA的距离是_______.16. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过A点的⼀条直线，AE⊥CE于E，BD⊥AE于D，DE＝4cm，CE＝2cm，则BD＝_______.三.解答题17．如图所⽰，已知在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的⾓平分线AD、CE相交于点O，求证：AE＋CD＝AC．18. 在四边形ABCP中，BP平分∠ABC，PD⊥BC于D，且AB＋BC＝2BD.求证：∠BAP＋∠BCP＝180°.19. 如图：已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF.。

初二升初三数学衔接班资料(北师版)

第一章节直角三角形的边角关系之阿布丰王创作时间：二O 二一年七月二十九日第一讲 1.从梯子的倾斜水平谈起本节内容：正切的界说坡度的界说及暗示（难点）正弦、余弦的界说三角函数的界说（重点）在Rt △ABC 中,如果锐角A 确定,那么A 的对边与邻边的比也随之确定,这个比叫做∠A 的正切,记作tanA.即tanA=b a A =∠∠的邻边的对边A . 注：tanA 的值越年夜,AB 越陡.例2 如图,已知在Rt △ABC 中,∠C=90°,CD ⊥AB,AD=8,BD=4,求tanA 的值.我们通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或坡比）.坡度经常使用字母i 暗示.斜坡的坡度和坡角的正切值关系是：l h a =tan 注意：（1）坡度一般写成1：m 的形式（比例的前项为1,后项可以是小数）；（2）若坡角为a,坡度为a l h i tan ==,坡度越年夜,则a 角越年夜,坡面越陡.3.2m,为了提高水坝的拦水能力,需要将水坝加高2m,而且坚持坝顶宽度不变,迎水坡CD•的坡度不变,可是背水坡的坡度由原来的i＝1:2酿成i ′＝1:2.5,（有关数据在图上已注明）.求加高后的坝底HD 的长为几多?在Rt 中,锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA.即sinA=c a =∠斜边的对边A∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA. 即cosA=c b =∠斜边的邻边A . 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数. 例4在△ABC 中,∠C=90°,BC=1,AC=2,求sinA 、sinB 、cosA 、cosB 的值.通过计算你有什么发现？请加以证明. 4、三角函数的界说（重点）直角三角形中,除直角外,共5个元素,3条边和2个角,它们之间存在如下关系：（1）三边之间关系：222c b a =+；（2）锐角之间关系：∠A+∠B=90°；（3）边角之间关系:sinA=c a ,cosA=c b ,tanA=b a .（其中∠A 的对边为a,∠B 的对边为b,∠C 的对边为c ）除指教外只要知道其中2个元素（至少有1个是边）,就可以利用以上关系求另外3个元素.例5方方和圆圆分别将两根木棒AB=10cm,CD=6cm 斜立在墙上,其中BE=6cm,DE=2cm,你能判断谁的木棒更陡吗？说明理由.本节作业：1、∠C=90°,点D 在BC 上,BD=6,AD=BC,cos ∠ADC=53,求CD 的长.2、P 是a 的边OA 上一点,且P 点的坐标为（3,4）,求sina 、tana 的值.3、在△ABC 中,D 是AB 的中点,DC ⊥AC,且tan ∠BCD=31,求tanA 的值.4、在Rt △ABC 中,∠C=90°,tanA=125,周长为30,求△ABC 的面积.5、（2008·浙江中考）在Rt △ABC 中,CD 是斜边AB 上的中线,已知CD=2,AC=3,则sinB 的值是几多？第2讲 30°,45°,60°角的三角函数值本节内容：30°,45°,60°角的三角函数值（重点）1、30°,45°,60°角的三角函数值（重点）根据正弦、余弦和正切的界说,可以获得如下几个经常使用的特殊角的正弦、余弦和正切值.例1求下列各式的值.（1）︒︒-︒60tan 30sin 60sin ；（2）︒-+︒-︒45sin 22460tan 460tan 2.本节作业：1、求下列各式的值.（1）︒+︒+︒45tan 30tan 330sin 2；（2）︒⋅︒+︒30cos 60tan 45cos 2.(3)6tan 2 30°－3sin 60°＋2tan45° (4)022)30tan 45(sin )60cos (160sin 260sin 60tan 245tan o o o o o o o-+-++----2、已知a 为锐角,且tana=5,求a a a a sin cos 2cos 3sin +-的值.3、 △ABC 暗示光华中学的一块三角形空地,为美化校园环境,准备在空地内种植草皮,已知某种草皮每平方米售价为a 元,则购买这种草皮至少花费几多元？4、（2008·成都中考）2︒45cos 的值即是________.5、（2008·义乌中考）计算3845cos 260sin 3+︒-︒. 6、（2009深圳）（6分）计算：2202(3)( 3.14)8sin45π----+--︒7、（2010深圳）( 13 )－2－2sin45º＋ (π－3.14)0＋ 1 28＋(－1)3．第3讲锐角三角函数计算的实际应用知识点：1.仰角：当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角.俯角：当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角成为俯角.2.方向角：从南南方向线较近的一端起,到目标方向线的夹角,如图所示：射线OA 为北偏东60°,射线OB 为南偏西30°,另外,东、南、西、北四个方向角平分线分别是西南、西北、西南、西北.例1 如图,山脚下有一颗树AB,小华从点B 沿山坡向上走50米达到点D,用高为1.5m 的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°,已知山坡的坡角为15°,求树AB 的高（精确到0.1m ）（已知,26.015sin ,18.010tan ,98.010cos ,17.010sin ≈≈≈≈ 97.015cos ≈ 27.015tan ≈）.例 2.小刚面对黑板坐在椅子上.若把黑板看做矩形,其上的一个字看作点E,过点E 的该矩形的高为BC,把小刚眼睛看做点A.现测得BC=1.41米,视线AC 恰与水平线平行,视线AB 与AC 的夹角为25°,视线AE 与AC 的夹角为20°,求AC 与AE 的长（精确到0.1米）.例 3 某校教学楼后面紧邻着一个土坡,坡上面是一块平地,如图.BC//AD,斜坡AB 长22m,坡角∠BAD=68°,为了防止山体滑坡,保证平安,学校决定对土坡进行改造,经地质人员勘测,当坡角不超越50°时,可确保山体不滑坡.（1）求改造前坡顶与空中的距离BE 的长；（精确到0.1m ）（2）为确保平安,学校计划改造时,坚持坡脚A 不动,坡顶B 沿BC前进到F 点处,问BF 至少是几多？（精确到0.1m ）（,4751.268tan ,3746.068cos ,9272.068sin ≈︒≈︒≈︒,7660.050sin ≈︒,6428.050cos ≈︒1918.150tan ≈︒）例4如图,矩形ABCD 是供一辆机动车停放的车位示意图,请你参考图中数据,计算车位所占街道的宽度EF.（参考数据：,84.040tan ,77.0cos ,64.040sin ≈︒≈︒≈︒结果精确到0.1m ）例5要求︒45tan 的值,可构造直角三角形,作Rt △ABC,使∠C=90°,两直角边AC=BC=a ,则∠ABC=45°,所以145tan ===︒a a BC AC .你能否在此基础上,求出'︒3022tan 的值？例 6 在学习实践科学发展观的活动中,某单元在如图所示的办公楼迎街的墙面上垂直挂了一长为30米的宣传条幅AE,张明同学站在离办公楼的空中C 处测得条幅顶端A 的仰角为50°,测得条幅底端E 的仰角为30°.问张明同学是在离该单元办公楼水平距离多远的处所进行丈量？（精确到整数米）例7某轮船自西向东航行,在A 处测得某岛C 在其北偏东60°方向上,前进8千米达到B,测得该岛在轮船的北偏东30°方向上,问轮船继续前进几多千米与小岛的距离最近？第4讲船有触礁的危险吗本节内容：方向角的界说解直角三角形（重点）解直角三角形的实际应用（难点）例1某次台风袭击了我国南部海域.如图,台风来临前,我们海上搜救中心A 接到一越南籍渔船遇险的报警,于是指令位于A 的正南方向180海里的救援队B 立即前往施救.已知渔船所处位置C 在A 的南偏东34°方向,在B 的南偏东63°方向,此时离台风来到C 处还有12小时,如果救援船每小时行驶20海里,试问能否在台风来到之前赶到C 处对其施救？（参考数据：3234tan ,5334sin ,263tan ,10963sin ≈︒≈︒≈︒≈︒）解直角三角形（重点）在直角三角形中,由已知一些边、角,求出另一些边、角的过程,叫做解直角三角形.在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为c b a 、、.（1）三边之间关系：222c b a =+（2）锐角之间关系：∠A+∠B=90°（3）边角之间关系：B b a A B c b A B c a A tan 1tan ,sin cos ,cos sin ====== （4）面积公式：)(2121为斜边上的高h ch ab S ABC ==∆在直角三角形中,除直角的五个量中,若已知其中的两个量（其中至少有一条边）,就可以求出另外三个未知量,有如下四种类型：Rt △ABC 中,∠C=90° 已知选择的边角关系斜边和一直角边a c , 由c a A =sin ,求∠A ；∠B=90°-∠A,22a cb -= 两直角边b a , 由b a A =tan ,求∠A ；∠B=90°-∠A,22b ac += 斜边和一锐角A c ∠, ∠B=90°-∠A ；A c a sin ⋅=；A c b cos ⋅= 一直角边和一锐角 A a ∠, ∠B=90°-∠A ；A a b tan =,A a c sin = 注意：（1）在解直角三角形中,正确选择关系式是关键：①若求边：一般用未知边比已知边,求寻找已知角的某一个三角函数；②若求角：一般用已知边比已知边,去寻找未知角的某一个三角函数；③求某些未知量的途径往往不惟一.选择关系式常遵循以下原则：一是尽量选可以直接应用原始数据的关系式；二是设法选择便于计算的关系式,若能用乘法计算就防止用除法计算.（2）对含有非基本量的直角三角形,比如有些条件中已知两边之和,中线、高线、角平分线长,角之间的关系,锐角三角函数值,周长、面积等等.对这类问题,我们经常使用的解题方法是：将非基本量转化为基本量,或由基本量间关系通过列方程（组）,然后解方程（组）,求出一个或两个基本量,最终达到解直角三角形的目的.（3）在非直角三角形的问题中,往往是通过作三角形的高,构成直角三角形来解决,而作高时,常从非特殊角的极点作高；对较复杂的图形,往往通过“补形”或“分割”的方法,构造出直角三角形,利用解直角三角形的方法,实现问题的有机转化.例2某公园“六一”亲新增设一台滑梯,如图.滑梯高度AC=2m,滑梯着地址B 与梯架之间的距离BC=4m.（1）求滑梯AB 的长；（结果精确到0.1m ）（2）若规定滑梯的倾斜角（∠ABC ）不超越45°属于平安范围,请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求？3、解直角三角形的实际应用（难点）在解决实际问题时,解直角三角形有着广泛的应用,我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决,具体地说,要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）之间的关系,这样就可运用解直角三角形的方法了.一般有以下几个步伐：1.审题：认真分析题意,根据题目中的已知条件,画出它的平面图,弄清已知和未知；2.明确题目中的一些名词、术语的汉语,如仰角、俯角、跨度、坡角、坡度及方向角；3.是直角三角形的,根据边角关系进行计算；若不是直角三角形,应年夜胆检验考试添加辅助线,把它们分割成一些直角三角形和矩形,把实际问题转化为直角三角形进行解决；4.确定合适的边角关系,细心推理计算.例 3 台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围数千米范围内形成旋风暴,有极强的破坏力.根据气象观测,距沿海某城市A 的正南方向220千米的B处有一台风中心,其中心的最年夜风力为12级,每远离台风中心20千米,台风就会弱一级.台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C移动,且台风中心风力不变,若城市风力达到或超越4级,则称为受台风影响.（5）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由.（6）若会受到台风影响,那么台风影响该市的继续时间有多长？典范例题：例1在△ABC中,已知AB=1,AC=2,∠ABC=45°,求BC的长.例2如图,甲、乙两只捕捞船同时从A港出海打鱼.甲船以每小时152千米的速度沿北偏西60°方向前进,乙船以每小时15千米的速度沿西北方向前进.甲船航行2小时达到C处,此时甲船发现鱼具丢在了乙船上,于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶,结果两船在B处相遇.（1）甲船从C处追赶乙船用了多长时间？（2）甲船追赶乙船的速度是每小时几多千米？例3某年入夏以来,松花江哈尔滨段水位不竭下降,一条船在松花江某段自西向东沿直线航行,在A 处测得航标C 在北偏东60°防西哪个上.前进100m 达到B 处,又测得航标C 在北偏东45°方向上（如图）,在以航标C 为圆心,120m 为半径的圆形区域内有浅滩,如果这条船继续前进,是否有被浅滩阻碍的危险？（73.13≈）第5讲丈量物体的高度本节内容：丈量底部可以达到的物体的高度（重点）丈量底部不成以达到的物体的高度（难点）简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成.如图.使用测倾器丈量倾斜角的步伐如下：（1）把支杆竖直拔出空中,使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合,这时度盘的顶线PQ 在水平位置.（2）转动转盘,使度盘的直径瞄准目标M,记下此时铅垂线所指的度数.此度数就是测点相对被测点的仰角或俯角.说明：（1）所谓“底部可以达到“,就是在空中上可以无真纳干碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.（2）丈量步伐如图（丈量物体MN 的高度）：①在测点A 处安排测倾器,测得M 的仰角∠MCE=α；②量出测点A 到物体底部N 的水平距离AN=l ；③量出测倾器的高度AC=a （即顶线PQ 成水平位置时,它与空中的距离）.（3）物体MN 的高度 = a l +αtan .升到旗杆顶部时,测得该同学视线的仰角为30°,若双眼离空中1.5m,则旗杆有多高？（结果精确到0.1m ）（1）所谓“底部不成以达到”,就是在空中上不能直接测得测点与被测物体底部之间的距离.（2）丈量步伐（如图.丈量物体MN 的高度）：①在测点A 处安排测倾器,测得此时M 的仰角∠MCE=α；②在测点A与物体之间的B处拟制测倾器（A、B与N在一条直线上,且A、B之间的距离可以直接测得）,测得此时M的仰角∠MDE=β；③量出测倾器的高度AC=BD=a,以及测点A、B之间的距离AB=b .（3）物体高度MN=ME+EN=)tantantantan(ab+-⋅αββα米.提示：丈量底部不成以达到的物体的高度,求解时常要解两个直角三角形.例2：如图,从山顶A处看到空中C点的俯角为60°,看到空中D点的俯角为45°,测得CD=3150米,求山高AB.（精确到0.1米,3≈1.732）典范例题：例1如图,两建筑物的水平距离为36m,从A点测得D点的俯角α为36°,测得C点的俯角β为45°,求这两座建筑物的高度.（sin36°≈0.588,cos36°≈0.412,tan36°≈0.723,结果保管2位小数）例2如图,河边有一条笔直的公路l,公路两侧是平坦的草地,在数学活动课上,老师要求丈量河对岸一点B到公路的距离,请你设计一个丈量方案.例3如图,某一时刻太阳光从教室窗户射入室内,与空中的夹角∠BPC的度数为30°,窗户的一部份在教室空中所形成的影长PE为3.5m,窗户的高度AF为2.5m,求窗外遮阳篷外端一点D到窗户上缘的距离AD.（结果精确到0.1m）本章综合测试题一、选择题1．等腰三角形的底角为30°,底边长为23,则腰长为（）A．4B．23C．2D．222．如图1,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AC=4,则BD长为（）A．83B．43C．23D．8(1) (2) (3)3．在△ABC中,∠C＝90°,下列式子一定能成立的是（）A4．△ABC中,∠A,∠B均为锐角,则△ABC是（）A．直角（不等腰）三角形B．等腰直角三角形C5A．1D6．如图2,沿AC方向开山修路,为了加快施工进度,要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B,取∠ABD=145°,BD=500米,∠D=55°,要使A,C,E成一直线,那么开挖点E离点D的距离是（）A．500sin55°米B．500cos55°米 C．500tan55°米D．500tan35°米7．如图在矩形ABCD中,D E⊥AC,垂足为E,设∠ADE且A．3B8．如图4,已知正方形ABCD的边长为2,如果将线段BD绕着点B 旋转后,点D落在CB的延长线上的D′处,那么tan∠BAD′即是（）A．1B(4) (5)(6)二、填空题（每小题3分9．在△则cos B的值为．1011．如图5,∠DBC=30°,AB=DB,利用此图求tan75°=．12．如图6,P OA上一点,且P点的坐标为（3,4）,则．13．若某人沿坡度i=3∶4的斜坡前进10m,则他比原来的位置升高了m．14．如图7,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米）,却踩伤了花草．(7) (8)(9)15．如图8所示,是某超市自动扶梯的示意图,年夜厅两层之间的距离h =6.5米,自动扶梯的倾角为30°,若自动扶梯运行速度为v =0.5米/秒,则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为 _____秒． 16．如图9,一人乘雪撬沿坡比1∶3的斜坡笔直滑下,滑下的距离s （米）与时间t （秒）间的关系为2102s t t =+．若滑到坡底的时间为4秒,则这人下降的高度为．17、如图,已知Rt △ABC 中,AC=3,BC= 4,过直角极点C 作CA 1⊥AB,垂足为A 1,再过A 1作A 1C 1⊥BC,垂足为C 1,过C 1作C 1A 2⊥AB,垂足为A 2,再过A 2作A 2C 2⊥BC,垂足为C 2,…,这样一直做下去,获得了一组线段CA 1,A 1C 1,12C A ,…,则CA 1=,=5554C A A C三、解答题（本年夜题共52分）18. (1)︒︒︒sin60cos60tan45－·tan 30°；(2)(23tan30°)2007·(22sin45°)200619．（本题10分）如图,为住宅区内的两幢楼,它们的高AB =CD =30m,两楼间的距离AC =24m,现需了解甲楼对乙楼采光的影响情况．当太阳光与水平线的夹角为30°时,求甲楼的影子在乙楼上有多高？（精确到0.1m,2≈1.41,3≈1.73）20．（本题12分）为了丈量一棵年夜树的高度AB ,在离树25米的C 处,用高1.4米的测角仪CD 测得树的顶端B 的仰角α＝21°,求树AB 的高．(用21°角的三角函数值暗示即可 )21.如图,在观测点E 测得小山上铁塔顶A 的仰角为60°,铁塔底部B 的仰角为45°.已知塔高AB ＝20m,观察点E 到空中的距离EF＝35cm,求小山BD 的高.22．如图,PQ 暗示南充至绵阳的一段高速公路的修筑设计路线图．在点P 测得点Q 在它的南偏东30°的方向,测得另一点A 在它的南偏东60°的方向,取PQ 上另一点B ,在点B 测得点A 在它的南偏东75°的方向．以点A 为圆心,500m 为半径的圆形区域为某居民区,已知PB =400m,通过计算回答：如果不改变修筑方向,高速公路是否会穿过居民区？23．随着科技的发展,机器人的发现早已不是童话,机器人是否可以让我们随心所欲呢？在坐标平面上,根据指令［ss ≥０,0180°）,机器人能完成下列举措：先原地顺时针再朝其面对的方向沿直线行走距离s ．（1）填空：如图,若机器人在直角坐标系的原点,且面对y 轴的正方向,现要使其移动到点A （2,2）,则给机器人发出的指令应是．（2）机器人在完成上述指令后,发现在点P （6,0）处有一小球正向坐标原点作匀速直线运动,已知小球滚动的速度与机器人行走的速度相同,若忽略机器人原地旋转所需的时间,请你给机器人发一个指令,使它能尽快截住小球,并求出截住小球时的位置．（角度精确到度,参考数据sin49°≈0.75,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75）24、(2009中山)如图所示,A 、B 两城市相距100km. 现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB ）,经丈量,森林呵护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上. 已知森林呵护区的范围在以P 点为圆心,50km 为半径的圆形区域内.. 为什么？25．（2009黄石）如图9,山顶建有一座铁塔,塔高CD=30m,某人在点A 处测得塔底C 的仰角为20°,塔顶D 的仰角为23°,求这人距CD的水平距离AB.（sin20°≈0.342,cos20°≈0.940,tan20°≈0.364,Sin23°≈0.391,cos23°≈0.921,tan23°≈0.424）第二部份二次函数讲义第一讲二次函数所描述的关系知识点归纳：函数的界说：一般地,如果是常数. 二次函数具备三个条件,缺一不成：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为0. 30° A B F E P45°典范例题：例1、函数y=（m＋2）2x－1是二次函数,则m=．例2、下列函数中是二次函数的有（）①y=x y=3（x－1）2＋2；③y=（x＋3）2－2x2；④x．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时,每天可以售出300套．据市场调查发现,这种服装每提高1元售价,销量就减少5套,如果商场将售价定为x,请你得出每天销售利润y与售价的函数表达式．例4 、如图,正方形ABCD的边长为4,P是BC边上一点,QP⊥AP交DC于Q,如果BP=x,△ADQ的面积为y,用含x的代数式暗示y．训练题:1．已知函数y=ax2＋bx＋c（其中a,b,c是常数）,当a时,是二次函数；当a,b时,是一次函数；当a,b,c时,是正比例函数．2．当m时,y=（m－2）3．已知菱形的一条对角线长为a,,用表达式暗示出菱形的面积S与对角线a的关系．4．在物理学内容中,如果某一物体质量为m,它运动时的能量E与它的运动速度v之间的关系是2（m为定值）．（1）若物体质量为1,填表暗示物体在v取下列值时,E的取值：（2）若物体的运动速度酿成原来的2倍,则它运动时的能量E扩年夜为原来的几多倍？5.请你分别给a,b,c一个值,,且让一次函数y=ax+b的图像经过一、二、三象限.6.下列不是二次函数的是（）A ．y=3x2＋4 B ．y=－31x 2 C ．y=52 x D ．y=（x ＋1）（x －2）7.函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（）A ．m 、n 为常数,且m ≠0B ．m 、n 为常数,且m ≠nC ．m 、n 为常数,且n ≠0D ．m 、n 可以为任何常数8.如图,校园要建苗圃,其形状如直角梯形,有两边借用夹角为135°的两面墙,另外两边是总长为30米的铁栅栏．（1）求梯形的面积y 与高x 的表达式；（2）求x 的取值范围．9.如图,在矩形ABCD 中,AB=6cm,BC=12cm ．点P 从点A 开始沿AB方向向点B 以1cm/s 的速度移动,同时,点Q 从点B开始沿BC 边向C 以2cm/s 的速度移动．如果P 、Q两点分别达到B 、C 两点停止移动,设运动开始后第t 秒钟时,五边形APQCD 的面积为Scm 2,写出S 与t的函数表达式,并指出自变量t 的取值范围．10.已知：如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=4,AC=8,点D 在斜边AB 上,分别作DE ⊥AC,DF ⊥BC,垂足分别为E 、F,得四边形DECF ．设DE=x,DF=y ．（1）AE 用含y 的代数式暗示为：AE=；（2）求y 与x 之间的函数表达式,并求出x的取值范围；（3）设四边形DECF 的面积为S,求S 与x 之间的函数表达式．第二讲结识抛物线知识点归纳：1、作图“三步取”：一般地,二次函数图像的作法和一次函数及反比例函数图像的作法过程相同,都是三步：列表、描点、连线. 规律技巧：列表时注意以0为中心,对称取值（一般取3-4组值）.观察图像,可得抛物线的开口方向、对称轴.学习过程：一、作二次函数.二、议一议：1.你能描述图象的形状吗？与同伴交流.2.图象与x轴有交点吗？如果有,交点的坐标是什么？3.当x<0时,y随着x的增年夜,y的值如何变动？当x>0时呢？4.当x取什么值时,y的值最小？5.图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么？请你找出几并与同伴交流.三、典范例题：例1、求出函数y=x＋2与函数y=x2的图象的交点坐标．例2、已知a＜－1,点（a－1,y1）、（a,y2）、（a＋1,y3）都在函数y=x2的图象上,则（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3训练题：1．函数y=x2的极点坐标为．若点（a,4）在其图象上,则a的值是．2．若点A（3,m）是抛物线y=－x2上一点,则m=．3．函数y=x2与y=－x2的图象关于对称,也可以认为y=－x2,是函数y=x2的图象绕旋转获得．4．若二次函数y=ax2（a≠0）,图象过点P（2,－8）,则函数表达式为．5．点A）是抛物线y=x2上的一点,则b=；点A关于y轴的对称点B是,它在函数上；点A关于原点的对称点C是,它在函数上．6．若a＞1,点（－a－1,y1）、（a,y2）、（a＋1,y3）都在函数y=x2的图象上,判断y1、y2、y3的年夜小关系？7．如图,A、B分别为y=x2上两点,且线段AB⊥y轴,若AB=6,则直线AB的表达式为（）A ．y=3B ．y=6C ．y=9D ．y=368、函数y=ax 2(a ≠0)的图像与直线y=-2x-3交于点（1,b ）（1)求a 和b 的值（2）求抛物线y=ax 2的解析式,并求召盘点坐标和对称轴；（3）x 取何值时,二次函数y=ax 2中的y 随x 的增年夜而增年夜？（4）求抛物线与直线y=-2的两个交点及极点所构成的三角形的面积.9、如图,把抛物线2y x =与直线1y =围成的图形OABC 绕原点O 顺时针旋转90°后,再沿x 轴向右平移1个单元获得图形1111O A B C ，则下列结论毛病的是（）A ．点1O 的坐标是(10)，B ．点1C 的坐标是(21)-， C ．四边形111O BA B 是矩形D ．若连接OC ，则梯形11OCA B 的面积是310、有一座抛物线形拱桥,正常水位时桥下水面宽度为20米,拱顶距离水面4米.(1)在如图3所示的直角坐标系中,求出该抛物线的解析式；(2)在正常水位的基础上,当水位上升h(米)时,桥下水面的宽度为d(米).试求出将d 暗示为h 的函数解析式；(3)设正常水位时,桥下的水深为2米,为保证过往船只顺利航行,桥下水面的宽度不得小于18米,求水深超越几多米时就会影响过往船只在桥下顺利航行.第三讲刹车距离与二次函数学习目标:1．经历探索二次函数y=ax 2和y=ax 2＋c 的图象的作法和性质的过程,进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．2．会作出y=ax 2和y=ax 2＋c 的图象,并能比力它们与y=x 2的异同,理解a 与c 对二次函数图象的影响．3．能说出y=ax 2＋c 与y=ax 2图象的开口方向、对称轴和极点坐标．O y1O B 1B 1C 1A 11A -（，）11C （，）4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．学习重点:二次函数y=ax2、y=ax2＋c的图象和性质,因为它们的图象和性质是研究二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质的基础．我们在学习时结合图象分别从开口方向、对称轴、极点坐标、最年夜（小值）、函数的增减性几个方面记忆分析．学习难点:由函数图象概括出y=ax2、y=ax2＋c的性质．函数图象都由（1）列表,（2）描点、连线三步完成．我们可根据函数图象来联想函数性质,由性质来分析函数图象的形状和位置．学习过程:一、复习：2 2你知道两辆汽车在行驶时为什么要坚持一定距离吗？刹车距离与什么因素有关？有研究标明:汽车在某段公路上行驶时,速度为v(km/h)汽车的刹车距离晴天时请分别画出这两个函数的图像：三、入手把持、探究：1. 在同一平面内画出函数y=x2、y=2x2和y=3x2的图象.2.在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象.3.在同一平面内画出函数y=-3x2与y=-3x2-1的图象.比力它们的性质,你可以获得什么结论？典范例题：例1 、已知抛物线y=（m＋1）,求m的值．例2 、k为何值时,y=（k＋2）x的二次函数？例3 、在同一坐标系中,作出函数①y=－3x2,②y=3x2,③2,④y=2的图象,并根据图象回答问题：（1）当x=2时2比y=3x2年夜（或小）几多？（2）当x=－2时,y=2比y=－3x2年夜（或小）几多？例4、已知直线y=－2x＋3与抛物线y=ax2相交于A、B两点,且A 点坐标为（－3,m）．（1）求a、m的值；（2）求抛物线的表达式及其对称轴和极点坐标；（3）x取何值时,二次函数y=ax2中的y随x的增年夜而减小；（4）求A、B两点及二次函数y=ax2的极点构成的三角形的面积．例5、如图,已知一抛物线形年夜门,其空中宽度AB＝18m.一同学站在门内,在离门脚B点1m远的D处,垂直空中立起一根1.7m长的木杆,其顶端恰好顶在抛物线形门上C处.根据这些条件,请你求出该年夜门的高度h.训练题1．抛物线y=－4x2－4的开口向,当x=时,y有最值,y=．2．当m=时,y=（m－1）3m是关于x的二次函数．3．抛物线y=－3x2上两点A（x,－27）,B（2,y）,则x=,y=．4．当m=时,抛物线y=（m＋1）9开口向下,对称轴是．在对称轴左侧,y随x的增年夜而；在对称轴右侧,y随x的增年夜而．5．抛物线y=3x2与直线y=kx＋3的交点为（2,b）,则k=,b=．6．已知抛物线的极点在原点,对称轴为y轴,且经过点（－1,－2）,则抛物线的表达式为．7．在同一坐标系中,图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是（）A．2B．y=2C．y=－2x2D．y=－x28．抛物线,y=4x2,y=－2x2的图象,开口最年夜的是（）A．2B．y=4x2C．y=－2x2D．无法确定9．对抛物线2和y=2在同一坐标系里的位置,下列说法毛病的是（）A．两条抛物线关于x轴对称B．两条抛物线关于原点对称C．两条抛物线关于y轴对称D．两条抛物线的交点为原点10．二次函数y=ax2与一次函数y=ax＋a在同一坐标系中的图象年夜致为（）11．已知函数y=ax2的图象与直线y=－x＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x在第一象限内的交点相同,则a的值为（）A．4B．2C12．求符合下列条件的抛物线y=ax2的表达式：（1）y=ax2经过（1,2）；（2）y=ax2与2的开口年夜小相等,开口方向相反；（3）y=ax2与直线＋3交于点（2,m）．13．如图,直线ι经过A（3,0）,B（0,3）两点,且与二次函数y=x2＋1的图象,在第一象限内相交于点C．求：（1）△AOC的面积；（2）二次函数图象极点与点A、B组成的三角形的面积．14．有一座抛物线型拱桥,桥下面在正常水位AB时宽20m．水位上升3m,就达到警戒线CD,这时,水面宽度为10m．（1）在如图2-3-9所示的坐标系中求抛物线的表达式；（2）若洪水到来时,水位以每小时0．2m的速度上升,从警戒线开始,再继续几多小时才华到拱桥顶？。

初二升初三数学衔接班资料(北师版)

第一章节直角三角形的边角关系之袁州冬雪创作本节内容：正切的定义坡度的定义及暗示（难点）正弦、余弦的定义三角函数的定义（重点）1、正切的定义在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那末A 的对边与邻边的比也随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA.即tanA=b a A =∠∠的邻边的对边A .注：tanA 的值越大，AB 越陡.例2 如图,已知在Rt △ABC 中,∠C=90°,CD ⊥AB,AD=8,BD=4,求tanA 的值.2、坡度的定义及暗示（难点）我们通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或坡比）.坡度常常使用字母i 暗示.斜坡的坡度和坡角的正切值关系是：l h a =tan 注意：（1）坡度一般写成1：m 的形式（比例的前项为1，后项可以是小数）；（2）若坡角为a ，坡度为a l h i tan ==，坡度越大，则a 角越大，坡面越陡.例3 如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,坝顶宽BC 为6m,坝高为,为了提高水坝的拦水才能,需要将水坝加高2m,而且坚持坝顶宽度不变,迎水坡CD•的坡度不变,但是背水坡的坡度由原来的i ＝1:2变成i ′＝1:,（有关数据在图上已注明）.求加高后的坝底HD 的长为多少?在Rt 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA. 即sinA=c a =∠斜边的对边A ∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA.即cosA=c b =∠斜边的邻边A . 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数.cosB 的值.通过计算你有什么发现？请加以证明.4、三角函数的定义（重点）直角三角形中，除直角外，共5个元素，3条边和2个角，它们之间存在如下关系：（1）三边之间关系：222c b a =+；（2）锐角之间关系：∠A+∠B=90°；（3）边角之间关系:sinA=c a,cosA=c b ,tanA=b a .（其中∠A 的对边为a,∠B 的对边为b,∠C 的对边为c ）除指教外只要知道其中2个元素（至少有1个是边），便可以操纵以上关系求别的3个元素.例5方方和圆圆分别将两根木棒AB=10cm ，CD=6cm 斜立在墙上，其中BE=6cm ，DE=2cm ，你能断定谁的木棒更陡吗？说明来由.本节作业：1、∠C=90°，点D 在BC 上，BD=6，AD=BC ，cos ∠ADC=53，求CD 的长.2、P 是a 的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3,4），求sina 、tana 的值.3、在△ABC 中，D 是AB 的中点，DC ⊥AC ，且tan ∠BCD=31，求tanA 的值.4、在Rt △ABC 中,∠C=90°,tanA=125，周长为30，求△ABC 的面积.5、（2008·浙江中考）在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD=2,AC=3,则sinB 的值是多少？第2讲 30°,45°,60°角的三角函数值本节内容：30°，45°，60°角的三角函数值（重点）1、30°，45°，60°角的三角函数值（重点）根据正弦、余弦和正切的定义，可以得到如下几个常常使用的特殊角的正弦、余弦和正切值.例1求下列各式的值.（1）︒︒-︒60tan 30sin 60sin ；（2）︒-+︒-︒45sin 22460tan 460tan 2.本节作业：1、求下列各式的值.（1）︒+︒+︒45tan 30tan 330sin 2；（2）︒⋅︒+︒30cos 60tan 45cos 2. (3)6tan 2 30°－3sin 60°＋2tan45°(4)022)30tan 45(sin )60cos (160sin 260sin 60tan 245tan o o o o o o o-+-++----2、已知a 为锐角，且tana=5，求a a a a sin cos 2cos 3sin +-的值.3、 △ABC 暗示光华中学的一块三角形空位，为丑化校园环境，准备在空位内种植草皮，已知某种草皮每平方米售价为a 元，则购买这种草皮至少花费多少元？4、（2008·成都中考）2︒45cos 的值等于________.5、（2008·义乌中考）计算3845cos 260sin 3+︒-︒.6、（2009深圳）（6分）计算：2202(3)( 3.14)8sin45π----+--︒ 7、（2010深圳）( 13 )－2－2sin45º＋ (π－3.14)0＋ 1 28＋(－1)3．第3讲锐角三角函数计算的实际应用知识点：1.仰角：当从低处观测高处的方针时，视线与水平线所成的锐角称为仰角.俯角：当从高处观测低处的方针时，视线与水平线所成的锐角成为俯角.2.方向角：从南北方向线较近的一端起，到方针方向线的夹角，如图所示：射线OA 为北偏东60°，射线OB 为南偏西30°，此外，东、南、西、北四个方向角平分线分别是东北、东南、西南、西北.0°，已知山坡的坡角为15°，求树AB 的高（切确到0.1m ）（已知,26.015sin ,18.010tan ,98.010cos ,17.010sin ≈≈≈≈ 97.015cos ≈ 27.015tan ≈）.例2.小刚面临黑板坐在椅子上.若把黑板看作矩形，其上的一个字看作点E ，过点E 的该矩形的高为BC ，把小刚眼睛看作点 A.现测得BC=1.41米，视线AC 恰与水平线平行,视线AB 与AC 的夹角为25°,视线AE 与AC 的夹角为20°，求AC 与AE 的长（切确到0.1米）.例 3 某校讲授楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图.BC//AD ，斜坡AB 长22m ，坡角∠BAD=68°，为了防止山体滑坡，包管平安，学校决议对土坡停止改造，经地质人员勘测，当坡角不超出50°时，可确保山体不滑坡.（1）求改造前坡顶与地面的间隔BE 的长；（切确到0.1m ）（2）为确保平安，学校计划改造时，坚持坡脚A 不动，坡顶B 沿BC 前进到F 点处，问BF 至少是多少？（切确到0.1m ）（,4751.268tan ,3746.068cos ,9272.068sin ≈︒≈︒≈︒,7660.050sin ≈︒,6428.050cos ≈︒1918.150tan ≈︒）例4如图，矩形ABCD 是供一辆机动车停放的车位示意图,请你参考图中数据，计算车位所占街道的宽度EF.（参考数据：,84.040tan ,77.0cos ,64.040sin ≈︒≈︒≈︒成果切确到0.1m ）例5要求︒45tan 的值,可构造直角三角形,作Rt △ABC,使∠C=90°,两直角边AC=BC=a ,则∠ABC=45°,所以145tan ===︒a a BC AC .你可否在此基础上,求出'︒3022tan 的值？例 6 在学习实践迷信发展观的活动中,某单位在如图所示的办公楼迎街的墙面上垂直挂了一长为30米的宣传条幅AE ，张明同学站在离办公楼的地面C 处测得条幅顶端A 的仰角为50°,测得条幅底端E 的仰角为30°.问张明同学是在离该单位办公楼水平间隔多远的地方停止丈量？（切确到整数米）例7某汽船自西向东航行，在A 处测得某岛C 在其北偏东60°方向上，前进8千米到达B ，测得该岛在汽船的北偏东30°方向上，问汽船继续前进多少千米与小岛的间隔最近？第4讲船有触礁的危险吗本节内容：方向角的定义解直角三角形（重点）解直角三角形的实际应用（难点）例1某次台风袭击了我国南部海域.如图，台风到临前，我们海上搜救中心A 接到一越南籍渔船遇险的报警，于是指令位于A 的正北方向180海里的救济队B 当即前往施救.已知渔船所处位置C 在A 的南偏东34°方向，在B 的南偏东63°方向，此时离台风离开C 处还有12小时，如果救济船每小时行驶20海里，试问可否在台风离开之前赶到C 处对其施救？（参考数据：3234tan ,5334sin ,263tan ,10963sin ≈︒≈︒≈︒≈︒）解直角三角形（重点）在直角三角形中，由已知一些边、角，求出另外一些边、角的过角形，操纵解直角三角形的方法，实现问题的有机转化.例2某公园“六一”亲新增设一台滑梯，如图.滑梯高度AC=2m，滑梯着地点B与梯架之间的间隔BC=4m.（1）求滑梯AB的长；（成果切确到0.1m）（2）若规定滑梯的倾斜角（∠ABC）不超出45°属于平安范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求？3、解直角三角形的实际应用（难点）在处理实际问题时，解直角三角形有着广泛的应用，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来处理，详细地说，要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）之间的关系，这样便可运用解直角三角形的方法了.一般有以下几个步调：1.审题：认真分析题意，根据题目中的已知条件，画出它的平面图，弄清已知和未知；2.明白题目中的一些名词、术语的汉语，如仰角、俯角、跨度、坡角、坡度及方向角；3.是直角三角形的，根据边角关系停止计算；若不是直角三角形，应大胆测验测验添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为直角三角形停止处理；4.确定合适的边角关系，细心推理计算.例 3 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数千米范围内形成旋风暴，有极强的破坏力.根据气象观测，距沿海某城市A的正北方向220千米的B处有一台风中心，其中心的最大风力为12级，每远离台风中心20千米，台风就会弱一级.台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市风力达到或超出4级，则称为受台风影响.（5）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明来由.（6）若会受到台风影响，那末台风影响该市的持续时间有多长？典型例题：例1在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠ABC=45°，求BC的长.例2如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海打鱼.甲船以每小时152千米的速度沿北偏西60°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进.甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现鱼具丢在了乙船上，于是甲船疾速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，成果两船在B处相遇.（1）甲船从C 处追赶乙船用了多长时间？（2）甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？例3某年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不竭下降，一条船在松花江某段自西向东沿直线航行，在A 处测得航标C 在北偏东60°防西哪一个上.前进100m 到达B 处，又测得航标C 在北偏东45°方向上（如图），在以航标C 为圆心，120m 为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？（73.13≈）第5讲丈量物体的高度本节内容：丈量底部可以到达的物体的高度（重点）丈量底部不成以到达的物体的高度（难点）1、丈量底部可以到达的物体的高度（重点）简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成.如图.使用测倾器丈量倾斜角的步调如下：（1）把支杆竖直拔出地面,使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合,这时度盘的顶线PQ 在水平位置.（2）转动转盘,使度盘的直径对准方针M,记下此时铅垂线所指的度数.此度数就是测点相对于被测点的仰角或俯角.说明：（1）所谓“底部可以到达“，就是在地面上可以无真纳干碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的间隔.（2）丈量步调如图（丈量物体MN 的高度）：①在测点A 处安顿测倾器，测得M 的仰角∠MCE=α；②量出测点A 到物体底部N 的水平间隔AN=l ；③量出测倾器的高度AC=a （即顶线PQ 成水平位置时，它与地面的间隔）.（3）物体MN 的高度 = a l +αtan .到旗杆顶部时，测得该同学视线的仰角为30°，若双眼离地面1.5m ，则旗杆有多高？（成果切确到0.1m ）（1）所谓“底部不成以到达”，就是在地面上不克不及直接测得测点与被测物体底部之间的间隔.（2）丈量步调（如图.丈量物体MN 的高度）：①在测点A 处安顿测倾器，测得此时M 的仰角∠MCE=α； ②在测点A 与物体之间的B 处拟制测倾器（A 、B 与N 在一条直线上，且A 、B 之间的间隔可以直接测得），测得此时M 的仰角∠MDE=β；③量出测倾器的高度AC=BD=a ，以及测点A 、B 之间的间隔AB=b .（3）物体高度MN=ME+EN=)tan tan tan tan (a b +-⋅αββα米. 提示：丈量底部不成以到达的物体的高度，求解时常要解两个直角三角形.例2：如图，从山顶A 处看到地面C 点的俯角为60°，看到地面D 点的俯角为45°，测得CD=3150米，求山高AB.（切确到0.1米，3≈1.732）典型例题：例1如图，两建筑物的水平间隔为36m ，从A 点测得D 点的俯角α为36°，测得C 点的俯角β为45°，求这两座建筑物的高度.（sin36°≈0.588,cos36°≈0.412,tan36°≈,成果保存2位小数）例2如图，河边有一条笔挺的公路l ，公路两侧是平坦的草地，在数学活动课上，教师要求丈量河对岸一点B到公路的间隔，请你设计一个丈量方案.例3如图,某一时刻太阳光从教室窗户射入室内，与地面的夹角∠BPC 的度数为30°，窗户的一部分在教室地面所形成的影长PE 为 3.5m ，窗户的高度AF 为2.5m ，求窗外遮阳篷外端一点D 到窗户上缘的间隔AD.（成果切确到0.1m ）本章综合测试题一、选择题1．等腰三角形的底角为30°，底边长为23，则腰长为（）A ．4B ．23C ．2D ．222．如图1，在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，AC =4，则BD 长为（）A ．83B ．43C ．23D ．8(1) (2)(3)3．在△ABC 中，∠C ＝90°，下列式子一定能成立的是（）A ．sin a cB =B ．cos a b B =C ．tan c a B =D ．tan a b A =4．△ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且有2|tan 3|2sin 30B A -+-=（），则△ABC 是（）A ．直角（不等腰）三角形B ．等腰直角三角形C．等边三角形5A．1D6．如图2，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另外一边同时施工．从AC上的一点B，取∠ABD=145°，BD=500米，∠D=55°，要使A，C，E成一直线，那末开挖点E离点D的间隔是（）A．500sin55°米B．500cos55°米C．500tan55°米D．500tan35°米7．如图ABCD中，D E⊥AC，垂足为E，设∠ADE的长为（）A．3B8．如图4，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那末tan∠BAD′等于（）A．1B(4) (5)(6)二、填空题（每小题39．在△cos B的值为．1011．如图5，∠DBC=30°，AB=DB，操纵此图求tan75°=．12．如图6，P OA上一点，且P点的坐标为（3，4），则．13．若或人沿坡度i=3∶4的斜坡前进10m，则他比原来的位置升高了m．14．如图7，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．(7) (8) (9)15．如图8所示，是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的间隔h 米，自动扶梯的倾角为30°，若自动扶梯运行速度为v米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为_____秒．16．如图9，一人乘雪撬沿坡比1∶3的斜坡笔挺滑下，滑下的间隔s（米）与时间t （秒）间的关系为2102s t t =+．若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为．17、如图，已知Rt △ABC 中，AC=3，BC= 4，过直角顶点C 作CA 1⊥AB ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，垂足为C 2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA 1，A 1C 1，12C A ，…，则CA 1=，=5554C A A C 三、解答题（本大题共52分）18. (1)︒︒︒sin60cos60tan45－·tan 30°；(2)(23tan30°)2007·(22sin45°)2006 19．（本题10分）如图,为住宅区内的两幢楼，它们的高AB =CD =30m ，两楼间的间隔AC =24m ，现需懂得甲楼对乙楼采光的影响情况．当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高？（切确到，2≈，3≈）20．（本题12分）为了丈量一棵大树的高度AB ，在离树25米的C 处，用高米的测角仪CD 测得树的顶端B 的仰角α＝21°，求树AB 的高．(用21°角的三角函数值暗示即可 )21.如图，在观测点E 测得小山上铁塔顶A 的仰角为60°，铁塔底部B 的仰角为45°.已知塔高AB ＝20m ，观察点E 到地面的间隔EF ＝35cm ，求小山BD 的高.22．如图，PQ 暗示南充至绵阳的一段高速公路的修筑设计道路图．在点P 测得点Q 在它的南偏东30°的方向，测得另外一点A 在它的南偏东60°的方向，取PQ 上另外一点B ，在点B 测得点A 在它的南偏东75°的方向．以点A 为圆心，500m 为半径的圆形区域为某居平易近区，已知PB =400m ，通过计算回答：如果不改变修筑方向，高速公路是否会穿过居平易近区？23．随着科技的发展，机器人的发现早已不是童话，机器人是否可让我们随心所欲呢？在坐标平面上，根据指令［s ，α］（s ≥０，0°＜α＜180°），机器人能完成下列动作：先原地顺时针旋转角度α，再朝其面临的方向沿直线行走间隔s ．（1）填空：如图，若机器人在直角坐标系的原点，且面临y 轴的正方向，现要使其移动到点A （2，2），则给机器人发出的指令应是．（2）机器人在完成上述指令后，发现在点P （6，0）处有一小球正向坐标原点作匀速直线运动，已知小球滚动的速度与机器人行走的速度相同，若忽略机器人原地旋转所需的时间，请你给机器人发一个指令，使它能尽快截住小球，并求出截住小球时的位置．（角度切确到度，参考数据sin49°≈，cos37°≈，tan37°≈）24、(2009中山)如图所示，A 、B 两城市相距100km. 现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB ），经丈量，森林呵护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上. 已知森林呵护区的范围在以P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内.筑的这条高速会穿越呵护区. 为什么？（，25．（2009黄石）如图9，山顶建有一座铁塔，塔高CD=30m ，或人在点A 处测得塔底C 的仰角为20°，塔顶D 的仰角为23°，求此人距CD 的水平间隔AB.（sin20°≈，cos20°≈，tan20°≈，Sin23°≈，cos23°≈，tan23°≈）第二部分二次函数讲义第一讲二次函数所描绘的关系知识点归纳：. 二次函数具有三个条件，缺一不成：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为0. 典型例题：例1、函数y=（m ＋2）2x －1是二次函数，则m=．例2、下列函数中是二次函数的有（）①y=x y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④x ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，天天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出天天销售利润y 与售价的函数表达式．例4 、如图，正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 边上一点，QP ⊥AP 交DC 于Q ，如果BP=x ，△ADQ 的面积为y ，用含x 的代数式暗示y ．训练题:30°ABF E P45°1．已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数． 2．当m 时，y=（m －2）x22-m 是二次函数．3．已知菱形的一条对角线长为a ，另外一条对角线为它的3倍，用表达式暗示出菱形的面积S 与对角线a 的关系．4．在物理学内容中，如果某一物体质量为m ，它运动时的能量E 与它的运动速度v 之间的关系是E=21mv 2（m 为定值）．（1）若物体质量为1，填表暗示物体在v 取下列值时，E 的取值：v 1 2 3 4 5 6 7 8 E（2）若物体的运动速度变成原来的2倍，则它运动时的能量E 扩展为原来的多少倍？ 5.请你分别给a ，b ，c一个值，让c bx ax y ++=2为二次函数，且让一次函数y=ax+b 的图像颠末一、二、三象限. 6.下列不是二次函数的是（）A ．y=3x 2＋4 B ．y=－31x2C ．y=52-x D ．y=（x ＋1）（x －2）y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（）A ．m 、n 为常数，且m ≠0B ．m 、n 为常数，且m ≠nC ．m 、n 为常数，且n ≠0D ．m 、n 可以为任何常数8.如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有双方借用夹角为135°的两面墙，别的双方是总长为30米的铁栅栏．（1）求梯形的面积y 与高x 的表达式；（2）求x 的取值范围．9.如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ．点P 从点A 开端沿AB 方向向点B 以1cm/s 的速度移动，同时，点Q 从点B 开端沿BC 边向C 以2cm/s 的速度移动．如果P 、Q 两点分别到达B 、C 两点停止移动，设运动开端后第t 秒钟时，五边形APQCD 的面积为Scm 2，写出S 与t 的函数表达式，并指出自变量t 的取值范围．10.已知：如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4，AC=8,点D在斜边AB 上,分别作DE⊥AC，DF⊥BC,垂足分别为E、F，得四边形DECF．设DE=x，DF=y．（1）AE用含y的代数式暗示为：AE=；（2）求y与x之间的函数表达式，并求出x的取值范围；（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数表达式．第二讲结识抛物线知识点归纳：1、作图“三步取”：一般地，二次函数图像的作法和一次函数及反比例函数图像的作法过程相同，都是三步：列表、描点、连线.规律技巧：列表时注意以0为中心，对称取值（一般取3-4组值）.观察图像，可得抛物线的启齿方向、对称轴.学习过程：一、作二次函数y=x2的图象.二、议一议：1.你能描绘图象的形状吗？与同伴交流.2.图象与x轴有交点吗？如果有，交点的坐标是什么？3.当x<0时，y随着x的增大，y的值如何变更？当x>0时呢？4.当x取什么值时，y的值最小？5.图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴交流.三、y=x2的图象的性质：典型例题：例1、求出函数y=x＋2与函数y=x2的图象的交点坐标．例2、已知a＜－1，点（a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x2的图象上，则（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3训练题：1．函数y=x2的顶点坐标为．若点（a，4）在其图象上，则a的值是．2．若点A（3，m）是抛物线y=－x2上一点，则m=．3．函数y=x2与y=－x2的图象关于对称，也可以认为y=－x2，是函数y=x2的图象绕旋转得到．4．若二次函数y=ax 2（a ≠0），图象过点P （2，－8），则函数表达式为． 5．点A （21，b ）是抛物线y=x 2上的一点，则b=；点A 关于y 轴的对称点B 是，它在函数上；点A 关于原点的对称点C 是，它在函数上． 6．若a ＞1，点（－a －1，y 1）、（a ，y 2）、（a ＋1，y 3）都在函数y=x 2的图象上，断定y 1、y 2、y 3的大小关系？7．如图，A 、B 分别为y=x 2上两点，且线段AB ⊥y 轴，若AB=6，则直线AB 的表达式为（）A ．y=3B ．y=6C ．y=9D ．y=368、函数y=ax 2(a ≠0)的图像与直线y=-2x-3交于点（1,b ）（1)求a 和b 的值（2）求抛物线y=ax 2的解析式，并求出顶点坐标和对称轴；（3）x 取何值时，二次函数y=ax 2中的y 随x 的增大而增大？（4）求抛物线与直线y=-2的两个交点及顶点所构成的三角形的面积.9、如图，把抛物线2y x =与直线1y =围成的图形OABC 绕原点O 顺时针旋转90°后，再沿x 轴向右平移1个单位得到图形1111O A B C ，则下列结论错误的是（）A ．点1O 的坐标是(10)，B ．点1C 的坐标是(21)-， C ．四边形111O BA B 是矩形D ．若毗连OC ，则梯形11OCA B 的面积是310、有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶间隔水面4米.(1)在如图3所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；(2)在正常水位的基础上，当水位上升h(米)时，桥下水面的宽度为d(米).试求出将d 暗示为h 的函数解析式；(3)设正常水位时,桥下的水深为2米，为包管过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米，求水深超出多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行.第三讲刹车间隔与二次函数学习方针:1．履历探索二次函数y=ax 2和y=ax 2＋c 的图象的作法和性质的过Oy1O B1B 1C 1A11A -（，）11C （，）程，进一步获得将表格、表达式、图象三者接洽起来的经历．2．会作出y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，懂得a与c对二次函数图象的影响．3．能说出y=ax2＋c与y=ax2图象的启齿方向、对称轴和顶点坐标．4．体会二次函数是某些实际问题的数学模子．学习重点:二次函数y=ax2、y=ax2＋c的图象和性质，因为它们的图象和性质是研究二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质的基础．我们在学习时连系图象分别从启齿方向、对称轴、顶点坐标、最大（小值）、函数的增减性几个方面记忆分析．学习难点:由函数图象概括出y=ax2、y=ax2＋c的性质．函数图象都由（1）列表，（2）描点、连线三步完成．我们可根据函数图象来联想函数性质，由性质来分析函数图象的形状和位置．学习过程:一、复习：二次函数y=x2 与y=-x2的性质：你知道两辆汽车在行驶时为什么要坚持一定间隔吗？刹车间隔与什么因素有关？有研究标明:汽车在某段公路上行驶时,速度为v(km/h)汽车的刹车间隔s(m)晴天时请分别画出这两个函数的图像：三、动手操纵、探究：1. 在同一平面内画出函数y=x2、y=2x2和y=3x2的图象.画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象.3.在同一平面内画出函数y=-3x2与y=-3x2-1的图象.比较它们的性质，你可以得到什么结论？典型例题：例1 、已知抛物线y=（m＋1）m的值．例2 、k为何值时，y=（k＋2）x的二次函数？例 3 、在同一坐标系中，作出函数①y=－3x2，②y=3x2，③y=2的图象，并根据图象回答问题：（1）当x=2时，2比y=3x2大（或小）多少？（2）当x=－2时，y=2比y=－3x2大（或小）多少？例4、已知直线y=－2x＋3与抛物线y=ax2相交于A、B两点，且A点坐标为（－3，m）．（1）求a、m的值；（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；（3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而减小；（4）求A、B两点及二次函数y=ax2的顶点构成的三角形的面积．例5、如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度AB＝18m.一同学站在门内，在离门脚B点1m远的D处，垂直地面立起一根1.7m长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上C处.根据这些条件，请你求出该大门的高度h.训练题1．抛物线y=－4x2－4的启齿向，当x=时，y有最值，y=．2．当m=时，y=（m－1）3m是关于x的二次函数．3．抛物线y=－3x2上两点A（x，－27），B（2，y），则x=，y=．4．当m=时，抛物线y=（m＋1）9启齿向下，对称轴是．在对称轴左侧，y随x的增大而；在对称轴右侧，y随x的增大而．5．抛物线y=3x2与直线y=kx＋3的交点为（2，b），则k=，b=．6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且颠末点（－1，－2），则抛物线的表达式为．7．在同一坐标系中，图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是（）A．2B．y=2C．y=－2x2D．y=－x28．抛物线，y=4x2，y=－2x2的图象，启齿最大的是（）A．2B．y=4x2C．y=－2x2D．无法确定9．对于抛物线2和y=2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（）A．两条抛物线关于x轴对称B．两条抛物线关于原点对称C．两条抛物线关于y轴对称D．两条抛物线的交点为原点10．二次函数y=ax2与一次函数y=ax＋a在同一坐标系中的图象大致为（）11．已知函数y=ax2的图象与直线y=－x＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x在第一象限内的交点相同，则a的值为（）A．4B．2C12．求符合下列条件的抛物线y=ax2的表达式：（1）y=ax2颠末（1，2）；（2）y=ax2与2的启齿大小相等，启齿方向相反；（3）y=ax2与直线＋3交于点（2，m）．13．如图，直线ι颠末A（3，0），B（0，3）两点，且与二次函数y=x2＋1的图象，在第一象限内相交于点C．求：（1）△AOC的面积；（2）二次函数图象顶点与点A、B组成的三角形的面积．14．有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20m．水位上升3m，就达到鉴戒线CD，这时，水面宽度为10m．（1）在如图2-3-9所示的坐标系中求抛物线的表达式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0．2m的速度上升，从鉴戒线开端，再持续多少小时才干到拱桥顶？15、（2008兰州）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的间隔均为5m．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），求抛物线的解析式；（2（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道可否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的来由．（3）（4）（5）问题2问题3问题41（1（2的形式，得到顶点为（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.2、二次函数的图象及性质：（1）二次函数y=ax2 (a≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y轴；当a＞0时，抛物线启齿向上，顶点是最低点；当a＜0时，抛物线启齿向下，顶点是最高点；a越小，抛物线启齿越大．（2对称轴平行y轴或者与y轴重合的抛物线x=a＞0时，抛物。

初三数学暑假衔接班讲义(好)

目录本次培训具体计划如下，以供参考：第一讲如何做几何证明题第二讲平行四边形（一）第三讲平行四边形（二）第四讲梯形第五讲中位线及其应用第六讲一元二次方程的解法第七讲一元二次方程的判别式第八讲一元二次方程的根与系数的关系第九讲一元二次方程的应用第十讲专题复习一：因式分解、二次根式、分式第十一讲专题复习二：代数式的恒等变形第十二讲专题复习三：相似三角形第十三讲结业考试（未装订在内，另发）第十四讲试卷讲评第一讲：如何做几何证明题【知识梳理】1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。

几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。

这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。

3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。

在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。

【例题精讲】【专题一】证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。

很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。

证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。

【例1】已知：如图所示，∆A B C 中，∠=︒===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。

初三数学暑假衔接班讲义(好)知识交流

几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。

这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。

3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。

在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。

【例题精讲】【专题一】证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。

很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。

【例1】已知：如图所示，∆A B C 中，∠=︒===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。

初二升初三寒暑假培训班数学教材

第 1 页共 32 页1初二升初三数学资料第一部分一元一次不等式和一元一次不等式组知识要点：1. 不等式：一般地用不等号连接的式子叫做不等式。

2. 不等式的基本性质：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。

（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

3. 解不等式：把不等式变为x>a 或x<a 的形式。

4. 一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。

5. 解一元一次不等式的步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为16. 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分。

法则：“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解。

” 【典型例题】例1. 用不等式表示下列数量关系。

（1）a 的一半与－3的和小于或等于1。

（）的与的差的相反数不小于。

2a 3525-（）的相反数的不大于的倍加。

317516x x解：（）的一半：112a a 与－的和：3123a +-() 小于或等于：11231a +-≤() 故：1231a +-≤()（）的与的差：2352352a a - 相反数：－()352a - 不小于－：53525--≥-()a故：---≥-()3525a （）的相反数的：31717x x- x 的5倍加16：5x ＋16 其关系不大于：-≤+17516x x故：-≤+17516x x点评：用不等号表示的时候要准确理解“大”、“小”、“多”、“少”、“不大于”、“不小于”、“不多于”、“不少于”、“至少”、“至多”等词语的含义。

例2. 有理数x 、y 在数轴上的对应点如图所示，试用“>”或“<”号填空：x 0 y（1）x______y（2）x ＋y_____0（3）xy____0（4）x －y______0第 2 页共 32 页2精析：由数轴可知：x<0<y ，且|x|<|y| 故填：（1）<；（2）>；（3）<；（4）< 点评：本题体现了数形结合的数学思想方法。

暑期初二升初三数学衔接班16

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