混合惩罚函数法5
合集下载
第二节 罚函数法
0 Step1: 给定初始点 x ∈ int S ，初始罚因子 r1 ，缩小系数
β ∈ (0,1) ，允许误差 ε > 0 ，置 k = 1 ；
k −1 x 为初点，求解无约束优化问题 Step2: 以
min G ( x, r ) = f ( x) + rB( x) s.t. x ∈ int S
设其极小点为 x ；
G ( x, r ) = f ( x) − r ∑ ln g i ( x)
m
-----对数障碍函数
由 G( x, r ) 的定义， r 取值越小，问题
min G ( x, r ) = f ( x) + rB( x) s.t. x ∈ int S
的最优解越接近约束优化问题的最优解。 2. 内点罚函数法的计算步骤
k min H ( x) x Step4: 以 为初始点求解无约束问题 x∈Sk k +1 的最优解
x k +1 ，其中
H k +1 ( x) = −∑ gi ( x) + rk +1 ∑ gi ( x)
i∈I k i∈J k
， Sk = {x | gi ( x) > 0, i ∈ J k }
令 rk + 2 = βrk +1 , k = k + 1, 返回 Step2. 注：该算法中，对于 k = 0,1,2,L ，有 I k +1 ⊂ I k , J k +1 ⊃ J k ，且 最后某个 I k = ∅ 。 三. 广义乘子法 1. 对于等式约束优化问题
φ ( x, y , ω , σ ) = f ( x ) − ∑ ω j ( g j ( x ) − y j ) +
2 j =1 l
β ∈ (0,1) ，允许误差 ε > 0 ，置 k = 1 ；
k −1 x 为初点，求解无约束优化问题 Step2: 以
min G ( x, r ) = f ( x) + rB( x) s.t. x ∈ int S
设其极小点为 x ；
G ( x, r ) = f ( x) − r ∑ ln g i ( x)
m
-----对数障碍函数
由 G( x, r ) 的定义， r 取值越小，问题
min G ( x, r ) = f ( x) + rB( x) s.t. x ∈ int S
的最优解越接近约束优化问题的最优解。 2. 内点罚函数法的计算步骤
k min H ( x) x Step4: 以 为初始点求解无约束问题 x∈Sk k +1 的最优解
x k +1 ，其中
H k +1 ( x) = −∑ gi ( x) + rk +1 ∑ gi ( x)
i∈I k i∈J k
， Sk = {x | gi ( x) > 0, i ∈ J k }
令 rk + 2 = βrk +1 , k = k + 1, 返回 Step2. 注：该算法中，对于 k = 0,1,2,L ，有 I k +1 ⊂ I k , J k +1 ⊃ J k ，且 最后某个 I k = ∅ 。 三. 广义乘子法 1. 对于等式约束优化问题
φ ( x, y , ω , σ ) = f ( x ) − ∑ ω j ( g j ( x ) − y j ) +
2 j =1 l
惩罚函数法
内点法的程序框图如下：
k k 1
r k 1 cr k
否
X 0 X *(rk )
开始
输入 X 0、r0、c、
k←0
求 min(X , rk )
满足收敛条件？ 是
X * X *(rk ) f ( X *) f X *(rk )
结束
3.外点惩罚函数法
求解策略
外点惩罚函数法简称外点法。这种方法和内点相反，
3.外点惩罚函数法
外点法程序框图：
Yes
X * X *(rk )
Yes
f ( X *) f X *(rk )
结束
开始
输入 X 0, r0, c,1,2
k 0
求 min ( X , rk ) 得X *(rk )
Q max g j ( X *(rk ))
Q 1 ?
No
X * (r k ) X * (r k1) 2
(X , r) f (X ) rmax 0, g j (X ) rhk (X )
j 1
k 1
式中：r为惩罚因子，它是由小到大，且趋近于∞的数列
3.外点惩罚函数法
l
2m
2
即 r0＜r1＜r2＜··· ,hk (X ) 、max 0, g j (X )分别对
应为对应于不等式约束和等k式1 约束函数j1的惩罚项， 其中
当 r , lim(1 1 ) 1。
r 4r
当逐步增大r值，直至趋近于无穷时，逼近原问题的约束最优
解，当r=0.25,0.5,1,2时，惩罚函数 (X , r) 的等值线图
下如
3.外点惩罚函数法
当r逐渐增大时，极值
点 X *(r)的序列将沿一直线轨 迹 ( X *(r), r) 1 X *(r) 在可 行域外逐步逼近2 最优2 点。
k k 1
r k 1 cr k
否
X 0 X *(rk )
开始
输入 X 0、r0、c、
k←0
求 min(X , rk )
满足收敛条件？ 是
X * X *(rk ) f ( X *) f X *(rk )
结束
3.外点惩罚函数法
求解策略
外点惩罚函数法简称外点法。这种方法和内点相反，
3.外点惩罚函数法
外点法程序框图：
Yes
X * X *(rk )
Yes
f ( X *) f X *(rk )
结束
开始
输入 X 0, r0, c,1,2
k 0
求 min ( X , rk ) 得X *(rk )
Q max g j ( X *(rk ))
Q 1 ?
No
X * (r k ) X * (r k1) 2
(X , r) f (X ) rmax 0, g j (X ) rhk (X )
j 1
k 1
式中：r为惩罚因子，它是由小到大，且趋近于∞的数列
3.外点惩罚函数法
l
2m
2
即 r0＜r1＜r2＜··· ,hk (X ) 、max 0, g j (X )分别对
应为对应于不等式约束和等k式1 约束函数j1的惩罚项， 其中
当 r , lim(1 1 ) 1。
r 4r
当逐步增大r值，直至趋近于无穷时，逼近原问题的约束最优
解，当r=0.25,0.5,1,2时，惩罚函数 (X , r) 的等值线图
下如
3.外点惩罚函数法
当r逐渐增大时，极值
点 X *(r)的序列将沿一直线轨 迹 ( X *(r), r) 1 X *(r) 在可 行域外逐步逼近2 最优2 点。
罚函数法(SUMT法)(ppt文档)
( NP) 求解 min( X , M ) 设其最优解为 X*(M)， XRn
研究 X*(M) 与(NP)的最优解 X* 之间的关系
线性规划3-6
一.外点法迭代原理
(NP) min f (X )
m
( X , M ) f ( X ) M [min( 0, gi ( X ))]2
i 1
gi (X ) 0 gi (X )
30 若 gi ( X (k ) ( Mk )) , i 1,2, ,m, 则迭代终止，X X (k ) ( M k ) 否则取Mk+1=C Mk , 其中C = 5~10
D
X
X(k)(Mk )
gi (X ) 0
令 k:= k+1 转20
M4 1000 X (4) (1000)
D
g2(X ) 0
g1( X ) 0
X(k)(Mk )
X
x1
线性规划3-6
一.外点法迭代原理
(NP) min f (X )
s.t. gi ( X ) 0
线性规划3-6
第三章 非线性规划
一.外点罚函数法(外点法)
( NP) min f (X )
s.t
.
gi hj
( (
X X
) )
0, 0,
i j
1, 2, 1, 2,
,m ,p
外点法迭代原理 外点法迭代步骤 外点法举例 外点法的优缺点
二.外点法迭代步骤
(NP) min f (X )
通过迭代逐渐增大罚因子M：
(NP)min f (X )
s.t. gi ( X ) 0
一、惩罚函数法(SUMT)
（4）应注意的问题
(a) 在step2中，可用无约束优化问题的算法求解
min
x R n
k
(
x
)
f ( x ) k p( x )
(b) 在实际计算中，判断x* (k ) D 用 g j ( x* (k )) （ j 1,2,, m）或 k p( x) .
(c)
k 1 k
x
)
算法步骤相同
(8) 算法收敛性：
f（x ） f（x ）
k 1
k
p（x ） p（x ）
k 1
k
k（1 x ） （k x ）
k 1
k
结论 1. 若点列{ x } 是由外点法产生的，则有 k
列 { x }的任何极限点一定是所求问题的极小点。 k
都是 R 上的连续函数，则由外点法产生的点 n
解：构造增广函数k ( x)如下： k ( x) （x 1）2 k min2{ x 2,0}
( x 1)2
（x 1）2 k ( x 2)2
if x 2 if x 2
dk (
dx
x)
（2 x 1）
（2 x 1）
2k
(
x
因子的缩小系数）, k : k 1,转 step 2。
(4) 例子：试用内点法（内部惩罚函数法）求解如下优化问题 min f ( x) 1 x3 3 s.t. x 1 0
解：构造增广函数 k ( x)如下：
k(x)
x3
k
1 x1
由
d k ( x)
dx
x2
k
（2）q( x) if x D
罚函数法
外罚函数法算法
Step1: 给出 x0 ∈ Rn (可是不可行点)， > 0(ε =10−4 ) ε 罚因子 σ1(σ1 =1) , 放大系数 C(C =10) , k =1. Step2: 以 xk−1 为初始点求无约束问题： ~ m P( x,σk ) = f ( x) +σk P( x) 得 xk = x(σk ). in ~ Step3: 若 σk P(xk ) < ε , 则 x* = xk ,停； 否则转step4 Step4: 令 σk+1 = Cσk , k = k +1, 转step2.
Q f (xk ) ≤ P(xk ,σk ) ≤ f x
设其极限为 f . ∴ { f (xk )} 亦为单调有界序列， ~ ∴ lim σk P(xk ) = lim [P(xk ,σk ) − f (xk )] = p0 − f 0 k→+∞ k→+∞ ~ Q σk →+∞ ∴ lim P(xk ) = 0 k→+∞ ~ ~ ~ 且 P(x) 连续； P(~) = 0 即 ~ 为可行解 x ∴ x Q x →x
0
( )
*
Q x 为最优解；∴ f x* ≤ f (~) x ~, f (x) 连续； f (~) = lim f (x ) ≤ f (x* ) ∴ x Q xk → x k k→+∞ * ~) 即 ~ 为(3)的整体最优解． ∴ f x = f (x x
k *
( )
( )
外罚函数法评价
(1) 如果有了求解无约束问题的好算法，利用 外罚函数法求解约束问题很方便． (2) 每个近似解 x(σk ) 往往不是可行解，这是某 些实际问题所无法接受的． 内罚函数法可以解决． (3) 由收敛性定理 σk 取越大越好， σk 越大将 而 造成增广目标函数 P( x,σ ) 的Hesse阵条件数越 大，趋于病态，给无约束问题求解增加很大困 难，甚至无法求解．乘子法可解决这个问题．
罚函数法
x ∂ 2φ ' ∂ (∂y x ) 2
就是Hesse矩阵，这时大于零（或小于零）与Hesse的正 矩阵，这时大于零（或小于零） 就是 矩阵 的正 或负定）是一致的， 定（或负定）是一致的，二者都可作为判定泛函数极值的 充分条件。 充分条件。
式中： 式中：x(t)---m维状态函数向量； w(t)---r维决策函数向量； f---微分形式状态方程； t---时间变量； t0---初始时刻； tf---终止时刻。
目标函数随状态变量和决策变量的不同而 不同，也就是说目标函数是函数都是函数。在 不同，也就是说目标函数是函数都是函数。 数学上，这种函数称为泛函， 数学上，这种函数称为泛函，求泛值的问题称 为变分问题。 为变分问题。 因此， 因此，连续系统的最优化问题就是一个变 分问题。 分问题。由于求泛函的极小问题也是一种极值 问题。 问题。 对于无约束问题， 对于无约束问题，根据极值存在的充分必 要条件求极值；对于有约束的最优化问题， 要条件求极值；对于有约束的最优化问题，则 先利用拉格朗日函数或罚函数， 先利用拉格朗日函数或罚函数，将其转化成无 约束最优化问题后再求解。 约束最优化问题后再求解。
动态系统参数的最优化又称连续系统最优化，因 为优化问题的解是t的连续函数。 动态参数优化问题的一般模型：
min J = min{
∫
tf
t0
F [ x ( t ), w ( t ), t ] dt + s [ x ( t f ), t f ]}
dx ( t ) s .t . = f [ x ( t ), w ( t ), t ] dt g [ x ( t ), w ( t ), t ] ≥ 0 c [ x ( t ), w ( t ), t ] = 0 初始条件： x (t 0 ) = x 0
就是Hesse矩阵，这时大于零（或小于零）与Hesse的正 矩阵，这时大于零（或小于零） 就是 矩阵 的正 或负定）是一致的， 定（或负定）是一致的，二者都可作为判定泛函数极值的 充分条件。 充分条件。
式中： 式中：x(t)---m维状态函数向量； w(t)---r维决策函数向量； f---微分形式状态方程； t---时间变量； t0---初始时刻； tf---终止时刻。
目标函数随状态变量和决策变量的不同而 不同，也就是说目标函数是函数都是函数。在 不同，也就是说目标函数是函数都是函数。 数学上，这种函数称为泛函， 数学上，这种函数称为泛函，求泛值的问题称 为变分问题。 为变分问题。 因此， 因此，连续系统的最优化问题就是一个变 分问题。 分问题。由于求泛函的极小问题也是一种极值 问题。 问题。 对于无约束问题， 对于无约束问题，根据极值存在的充分必 要条件求极值；对于有约束的最优化问题， 要条件求极值；对于有约束的最优化问题，则 先利用拉格朗日函数或罚函数， 先利用拉格朗日函数或罚函数，将其转化成无 约束最优化问题后再求解。 约束最优化问题后再求解。
动态系统参数的最优化又称连续系统最优化，因 为优化问题的解是t的连续函数。 动态参数优化问题的一般模型：
min J = min{
∫
tf
t0
F [ x ( t ), w ( t ), t ] dt + s [ x ( t f ), t f ]}
dx ( t ) s .t . = f [ x ( t ), w ( t ), t ] dt g [ x ( t ), w ( t ), t ] ≥ 0 c [ x ( t ), w ( t ), t ] = 0 初始条件： x (t 0 ) = x 0
约束优化方法的讲解
根据它们在惩罚函数中的作用，分别称障碍项和惩罚 项。 障碍项的作用是当迭代点在可行域内时，在迭代过程 中将阻止迭代点越出可形域。 惩罚项的作用是当迭代点在非可行域或不满足等式约 束条件时，在迭代过程中将迫使迭代点逼近约束边界或 等式约束曲面。 按照惩罚函数在优化过程中迭代点是否可行，分为： 内点法、外点法及混合法。
2）按经验公式
r0 f x0 1 0 g x j 1 j
m
计算r0 值。这样选取的r0 ，可以是惩罚函数中的障 碍项和原目标函数的值大致相等，不会因障碍项的值 太大则其支配作用，也不会因障碍项的值太小而被忽 略掉。 3.惩罚因子的缩减系数c的选取 在构造序列惩罚函数时，惩罚因子r是一个逐次递 减到0的数列，相邻两次迭代的惩罚因子的关系为：
(k=0,1,2,…)
逐步趋向最优解，直到满足终止准则才停止迭代。
直接解法的原理简单，方法实用，其特点是：
1）由于整个过程在可行域内进行，因此，迭代计算不论 何时终止，都可以获得比初始点好的设计点。 2）若目标函数为凸函数，可行域为凸集，则可获得全域 最优解，否则，可能存在多个局部最优解，当选择的初始 点不同，而搜索到不同的局部最优解。 3）要求可行域有界的非空集。
a) 可行域是凸集；b)可行域是非凸集
间接解法的求解思路：
将约束函数进行特殊的加权处理后，和目标函数结合起来， 构成一个新的目标函数，即将原约束优化问题转化为一个 或一系列的无约束优化问题。
x, 1 , 2 f x 1G hk x g j x 2 H
当迭代点离约束边界越远时，惩罚项愈大，这可看 成是对迭代点不满足约束条件的一种惩罚。
例6-6 用外点法求问题
hk x 0
2）按经验公式
r0 f x0 1 0 g x j 1 j
m
计算r0 值。这样选取的r0 ，可以是惩罚函数中的障 碍项和原目标函数的值大致相等，不会因障碍项的值 太大则其支配作用，也不会因障碍项的值太小而被忽 略掉。 3.惩罚因子的缩减系数c的选取 在构造序列惩罚函数时，惩罚因子r是一个逐次递 减到0的数列，相邻两次迭代的惩罚因子的关系为：
(k=0,1,2,…)
逐步趋向最优解，直到满足终止准则才停止迭代。
直接解法的原理简单，方法实用，其特点是：
1）由于整个过程在可行域内进行，因此，迭代计算不论 何时终止，都可以获得比初始点好的设计点。 2）若目标函数为凸函数，可行域为凸集，则可获得全域 最优解，否则，可能存在多个局部最优解，当选择的初始 点不同，而搜索到不同的局部最优解。 3）要求可行域有界的非空集。
a) 可行域是凸集；b)可行域是非凸集
间接解法的求解思路：
将约束函数进行特殊的加权处理后，和目标函数结合起来， 构成一个新的目标函数，即将原约束优化问题转化为一个 或一系列的无约束优化问题。
x, 1 , 2 f x 1G hk x g j x 2 H
当迭代点离约束边界越远时，惩罚项愈大，这可看 成是对迭代点不满足约束条件的一种惩罚。
例6-6 用外点法求问题
hk x 0
混合惩罚函数法
混合型惩罚函数法：混合法是综合外点法和内点法的优点而建立的一种惩罚函数法。
混合型惩罚函数法有两种形式：内点形式的混合型惩罚函数法和外点型惩罚函数法。
（一） 内点形式的混合型惩罚函数法不等式约束部分按内点型惩罚函数法形式处理，其惩罚函数形式为212121=11[()]()pmk k k k v u v u r h X g X ϕ=+∑∑（X ，r ,r ）=f(X)+r式中，惩罚因子12,k kr r 应分别为递减和递增的正值数列，为了统一用一个内点惩罚因子，可将上式写成如下形式()21111(,)()[()]()pmk kv u v u X r f x r h X g X ϕ===++∑ 式中()k r 和内点法一样，为一个递减的正值数列，即(1)(2)()()......0min 0k k r r r r>>>>=内点形式的混合型惩罚函数法的迭代过程及算法框图均与内点惩罚函数法相同。
初始点(0)X 必须是严格满足诸不等式约束条件的内点，初始惩罚因子()k r 、抵减系数e 均应参照内点惩罚函数法进行选取。
（二） 外点形式的混合型惩罚函数法不等式约束部分按外点惩罚函数法形式处理，其惩罚函数形式为()2211(,)(){[min{0,()}][()]}m Pk u v u V X r f X g X h X ϕ===++∑∑式中，惩罚因子()k r 和外点法一样，为一个递增的正值数列，即(1)(2)0.....min k r r r →∞<<<<<=+∞（k ）外点形式的混合型惩罚函数法的迭代过程及算法框图均与外点惩罚函数法相同。
初始点(0)X 可在n R 空间任选，初始惩罚因子(1)r 、递增系数c 均与参照外点惩罚函数法进行选取。
[1]胡洪涛，NGW 行星回转减速器可靠性优化设计[D].合肥：合肥工业大学，1996.[2]王述彦、马鹏飞，2K-H 型行星齿轮系传动的优化设计[J].建筑机械化，2002.5.[3]陈秀宁，机械优化设计[M].浙江：浙江大学出版社，1989. [4]陈举华、朱国强，行星齿轮传动的可靠性优化设计[M].北京：化学 [5]梁小光，行星齿轮减速器优化设计的数学模型[J].山西机械，2003. [6]龚小平，行星齿轮传动的模糊可靠性优化设计[J].行星齿轮传动的模糊可靠性优化设计，1994，31（5）：2.[7] 崔利杰;龚小平;;行星齿轮传动的模糊可靠性优化设计[J]; 机械传动;2007年05期[8]王述彦,马鹏飞;2K-H型行星齿轮系传动的优化设计[J];建筑机械化;2002年05期[9]梁晓光;行星齿轮减速器优化设计的数学模型[J];山西机械;2003年03期。
约束优化-惩罚函数法38页PPT
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
约束优化-惩罚函数法 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
41、学问是异常珍2、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
约束优化-惩罚函数法 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
41、学问是异常珍2、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
罚函数法
α α
i =1 i =1 j =1
m+ p
m
p
α
p ⎡m α⎤ F ( x , M ) = f ( x ) + M ⎢ ∑ max{0, gi ( x )}α + ∑ h j ( x ) ⎥ j =1 ⎣ i =1 ⎦
(2.1)
或 p( x ) = c ( x )
∞
= max ci ( x ) = max{max{0, gi ( x )}, i = 1," , m, h j ( x ) , j = 1," , p} ，则
k k k k
(2.2)
F ( xk , M k ) → F * ， f ( xk ) → f *
则 M k p ( x ) = F ( x , M k ) − f ( x ) → F − f ，再由 M k → +∞ 得
k k k
*
*
p( x k ) → 0
k k k k
(2.3)
故当 k 充分大时 x ∈ Sδ 。由 Sδ 为紧集，因此{ x }存在收敛子列 { x }k∈J ，设 x → x ( k ∈ J ) 。由已知 条件知 f ( x ) 和 p ( x ) 是连续函数，由(2.3)得 p ( x ) = 0 ，故 x ∈ S ，再由(2.2)得
*
K
知， {F ( x , M k )} 和 { f ( x )} 是单调增序列，并且
k
k
f ( x* ) = F ( x* , M k ) ≥ F ( x k , M k ) ≥ f ( x k )
即 {F ( x , M k )} 和 { f ( x )} 有上界，故 {F ( x , M k )} 和 { f ( x )} 收敛，设
i =1 i =1 j =1
m+ p
m
p
α
p ⎡m α⎤ F ( x , M ) = f ( x ) + M ⎢ ∑ max{0, gi ( x )}α + ∑ h j ( x ) ⎥ j =1 ⎣ i =1 ⎦
(2.1)
或 p( x ) = c ( x )
∞
= max ci ( x ) = max{max{0, gi ( x )}, i = 1," , m, h j ( x ) , j = 1," , p} ，则
k k k k
(2.2)
F ( xk , M k ) → F * ， f ( xk ) → f *
则 M k p ( x ) = F ( x , M k ) − f ( x ) → F − f ，再由 M k → +∞ 得
k k k
*
*
p( x k ) → 0
k k k k
(2.3)
故当 k 充分大时 x ∈ Sδ 。由 Sδ 为紧集，因此{ x }存在收敛子列 { x }k∈J ，设 x → x ( k ∈ J ) 。由已知 条件知 f ( x ) 和 p ( x ) 是连续函数，由(2.3)得 p ( x ) = 0 ，故 x ∈ S ，再由(2.2)得
*
K
知， {F ( x , M k )} 和 { f ( x )} 是单调增序列，并且
k
k
f ( x* ) = F ( x* , M k ) ≥ F ( x k , M k ) ≥ f ( x k )
即 {F ( x , M k )} 和 { f ( x )} 有上界，故 {F ( x , M k )} 和 { f ( x )} 收敛，设
惩罚函数法讲稿
其中：g u(x ) 0,u 1, 2,... m
其中：gu ( x) 0, u 1,2,...m
惩罚（加权）因子 r 缩小系数c：
( 0)
r ....r
(1)
(k )
r
( k 1)
c r
(k )
0< c <1
三.
1. 2.
迭代步骤：
选取合适的初始点 x(0) ，以及 r(0)、c（缩减系数）、计算精度 ε，令 k=0； 构造惩罚（新目标）函数；
程问题时，只要在可行域内，即使未达最优解，接近的过程解也
是可行的； 初始点和序列极值点均需严格满足所有约束条件；
不能解决等式约束问题。
六.
举例：盖板问题 设计一个箱形截面的盖板。 tf
h
已知：长度 l0= 600cm，宽度 b = 60cm， 侧板厚度 ts = 0.5cm，翼板厚度为 tf(cm)，高 度为 h(cm)，承受最大的单位载荷 q = 0.01Mpa。
以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。
二.混合惩罚函数法的形式：
障碍函数
衰减函数
其中根据Fiacco等建议的关系式可得： 为逐渐减小的正项数列，即：
x(k 1) * (r1
(k 1)
) x k * (r1 )
(k )
2. 惩罚因子初始值 r(0) 的选择：
惩罚因子的初值应适当，太大，将增加迭代次数；太小，会 使惩罚函数难以收敛到极值点。对于不同的问题，都要经过多次 试算，才能决定一个适当 r0。
3. 缩减系数 c 的选择：
在构造序列惩罚函数时，惩罚因子 ，相邻两次迭代的惩罚因子的关系为 : 是一个逐次递减到0的数列
第五章 惩罚函数法
入口 给定：x(0) ∈D,r(0),C,ε1,ε2 k←0 用无约束优化方法求罚函数 * 的优化点 x k F F ( x k* )
x* x k , F * F ( x k )
* *
内 点 法 流 程 图
出口
+
K=0?
-
F F0 F0
2
+
r
( k 1)
Cr
(k )
F0 F x k 1 x k
x∈Rn 任选初始点x(0)，初始法罚因子r(0)>0,罚因子递增系数C>1 对于r(k)为某一值，同过对惩罚函数的无约束求优，可 得最优点 。随着k的增大，得无约束最优点列
在k←∞的过程中，点列将趋近于原问题的最优点
实线为原目标 函数等值线
虚线为罚函数 等值线
总结 由上图可见，两种等值线在可行域内部及边界上是重合 的；而在非可行域中，罚函数的等值线升高了。即只有在 可行域外部惩罚项才起到惩罚的作用。r(k)值越大，惩罚作 用越大。 由上b图可知，在起作用约束边界处罚函数等值线变得越 密集和越陡峭。随r(k)的增大，最优点列将越接近于原约束 优化问题的最优点x*。但须注意，近似的最优点是落在边 界处非可行域一侧。
(0) *
-
k k 1ຫໍສະໝຸດ ㈦内点罚函数的特点内点法只适用于解不等式约束优化问题。由于内点法 需要在可行域内部进行搜索，所以初始点必须在可行域 内部选取可行设计点。 内点法的突出优点在于每个迭代点都是可行点 因此，当迭代达到一定阶段时，尽管尚没有达到最优点， 但也可以被接受为一个较好的近似解。
5.3.4.2 外点法
出口
外 点 法 流 程 图
k←0
用无约束优化方法求罚函数 * 的优化点 x k F F ( x k* )
最优化方法之-罚函数法讲解
内点罚函数法优点
迭代总在可行域内进行，每一个中间结果都是 可行解，可以作为近似解。
内点罚函数法缺点
选取初始可行点较困难，且只适用于含不等式 约束的非性性规划问题。
x2)
0
x1
1
2 2M
x2
1
(2 2M )2
1
2M
当M
时，有
x1 x 2
0 0
步骤:
1.给定x( 初 0) ，始 初点 始 M10 罚 (M1 因 1 ) ， 子 放 系c数 1 ，允许 0 ， 误 k置 差 1 。
2.以x(k1)为初始点，求解无约 问题 束 minf(x) Mkp(x)
201 101
以此类推，得序列： 3，21，201，2001， 2 11 101 1001
2
外点罚函数法的一个重要特点:
函数 F(x,M)是在整个En空 内间 进行,优 初化 始
点可任意,且 选外 择点法也可规 用划 于的 非最 凸.优
缺点:
1.惩罚项Mp(x)的二阶偏导数一般在 不;存
2.外点法的中间可 结行 果,不 解 不能 是作为近 ;
P~(x,rk) iSk
gi(x)rk
iTk
1 gi(x)
记 R~k x|gi(x)0 iTk
(rk 0)
5.以x(k)为初始点R， ~k域在内，求障碍 P~(函 x,rk数 ) 的极小:点
minP~(x,rk) s.t. xR~k 得x(k1)，转 6。
6.令 0rk1rk如r取 k1110rk,置 k:k1， 转 2。
引入罚项
p(x )
m
g i( x )
i 1
其中 ( y )是连续函数，且满足
(y ) 0 ( y ) 0
机械优化设计惩罚函数法
５．３．５惩罚函数法在约束优化方法中，可以根据对约束条件处理方法的不同，可将约束优化方法称为直接法和间接法两大类。
在直接法中，又可根据搜索方向选取的不同分为：约束坐标轮换法、约束随机法、复合形法以及可行方向法。
这些方法在搜索过程中，对每个迭代点都要进行适用性、可行性两个条件检验，由此来直接处理约束条件。
本节所述的惩罚函数法是属于约束优化的间接法。
目前已有的许多著作和文献表明，对无约束优化方法的研究要比对约束优化方法的研究更为完善和成熟，并建立起了许多有效的、可靠的算法。
如果能通过某种办法对约束条件加以处理，将约束优化问题转化成无约束优化问题，这样就可以直接用无约束优化方法来求解约束优化问题。
但是，这种转化必须满足如下两个前提条件：一是不破坏原约束问题的约束条件，二是最优解必须归结到原约束问题的最优解上去。
约束优化问题的间接法有多种，例如消元法、拉格朗日乘子法、惩罚函数法等，其中惩罚函数法应用最广。
惩罚函数法（简称罚函数法）的特点是能解等式约束、不等式约束以及两种约束兼有的优化问题。
且基本构思简单，易编程序，使用效果较好。
惩罚函数法有两种类型：参数型与非参数型。
本节只介绍参数型的惩罚函数法。
参数型惩罚函数法的基本思想是将一般约束优化问题数学模型：minＦ(x)ｘ∈ＤＲnＤ：ｇｕ（ｘ）≥０，ｕ＝１，２，······,ｐｈｖ（ｘ）≥０，ｕ＝１，２，······,ｑ转化成为一个如下的无约束优化问题minφ(x, r(k), m(k)) (5.56)ｘ∈Ｒn构造的新目标函数一般形式为φ(x,r(k),m(k))＝Ｆ(x)＋ｒ(k)∑=pu1Ｇ［ｇｕ（ｘ）］＋ｍ(k)∑=qv1Ｈ［ｈｖ（ｘ）］（5.57）式中，φ(x,r(k),m(k))为增广函数，称为惩罚函数，简称罚函数，是式（5.56）无约束优化问题的目标函数；ｒ(k)、ｍ(k)称为惩罚因子，是大于零的可调参数；Ｇ[ｇｕ（ｘ）]、Ｈ[ｈｖ（ｘ）]为分别由ｇｕ（ｘ）、ｈｖ（ｘ）构造出来的泛函数。
惩罚函数法概述_内点法
第五节 惩罚函数法
一 基本原理
惩罚函数法是应用广泛,非常有效的间接解 法.又称为序列无约束极小化方法(SUMT法). 该方法通过将原约束优化问题中的等式和 不等式约束函数加权处理后与原目标函数结合, 得到新的目标函数(惩罚函数).原问题转化为新的 无约束优化问题,求解该新的无约束优化问题,间 接得到原约束优化问题的最优解.
内 点 法 程 序 框 图
举例
用内点法求最优点:
2 min f ( x) x12 x2
解： r ( x, r ) f ( x ) g ( x) r 2 2 ( x, r ) x1 x2 1 x1
s.t.g ( x ) 1 x1 0
or ( x, r ) f ( x) r ln( g ( x))
r1 , r2
加权因子(惩罚因子)
原约束优化问题转化为无约束优化问题:
min ( x, r1 , r2 ) f ( x) r1 G[ g j ( x)]
j 1
m
r2 H [hk ( x)]
k 1
l
改变惩罚因子r1, r2的值,就会得到一系列的无约束优 化问题,求解得到一系列的无约束最优解(系列迭代点),这些 最优解逐渐的逼近原约束优化问题的最优解.
min f ( x) g j ( x) 0 ( j 1,2,...,m) hk ( x) 0 (k 1,2,...,l)
( x, r1 , r2 ) f ( x) r1 G[ g j ( x)] r2 H [hk ( x)]
j 1 k 1 m l
障碍项
惩罚项
二 惩罚函数法分类
内点惩罚函数法(内点法)
外点惩罚函数法(外点法) 混合惩罚函数法(混合法)
一 基本原理
惩罚函数法是应用广泛,非常有效的间接解 法.又称为序列无约束极小化方法(SUMT法). 该方法通过将原约束优化问题中的等式和 不等式约束函数加权处理后与原目标函数结合, 得到新的目标函数(惩罚函数).原问题转化为新的 无约束优化问题,求解该新的无约束优化问题,间 接得到原约束优化问题的最优解.
内 点 法 程 序 框 图
举例
用内点法求最优点:
2 min f ( x) x12 x2
解： r ( x, r ) f ( x ) g ( x) r 2 2 ( x, r ) x1 x2 1 x1
s.t.g ( x ) 1 x1 0
or ( x, r ) f ( x) r ln( g ( x))
r1 , r2
加权因子(惩罚因子)
原约束优化问题转化为无约束优化问题:
min ( x, r1 , r2 ) f ( x) r1 G[ g j ( x)]
j 1
m
r2 H [hk ( x)]
k 1
l
改变惩罚因子r1, r2的值,就会得到一系列的无约束优 化问题,求解得到一系列的无约束最优解(系列迭代点),这些 最优解逐渐的逼近原约束优化问题的最优解.
min f ( x) g j ( x) 0 ( j 1,2,...,m) hk ( x) 0 (k 1,2,...,l)
( x, r1 , r2 ) f ( x) r1 G[ g j ( x)] r2 H [hk ( x)]
j 1 k 1 m l
障碍项
惩罚项
二 惩罚函数法分类
内点惩罚函数法(内点法)
外点惩罚函数法(外点法) 混合惩罚函数法(混合法)
第五章惩罚函数法详解
㈣关于几个参数的选择
⑴初始罚因子r(0)的选取
如果 值选得太大，则在一开始罚函数的惩罚项的 值将远远超出原目标函数的值，因此，它的第一次无约束极 小点将远离原问题的约束最优点。在以后的迭代中，需要很 长时间的搜索才能使序列无约束极小点逐渐向约束最优点逼近。
如果 值选得太小，则在一开始惩罚项的作用甚小，
而在可行域内部惩罚函数
与原目标函数F(x)很相近，
只在约束边界附近罚函数值才突然增高。这样，使其罚函数
在在约束边界附近出现深沟谷地，罚函数的性态变得恶劣。
如下图，对于有深沟谷地性态差的函数，不仅搜索所需的 时间长，而且很难使迭代点进入最优的邻域，以致极易使 迭代点落入非可行域而导致计算的失败。
或
r（0）=1~50
函数
的一系(x,列r(k最) ) 优点，
xk* (k 0,1,2, )
显见，无约束最优点序列将逐渐趋近于原约
束优化问题的最优点x*。
㈡内点罚数法的形式及特点
⑴具有不等式约束的优化问题的数学模型
S.T. :
u=1，2……，p
⑵构造如下形式的内点罚函数
p
(x, r (k) ) F (x) r (k)
而且，当x越趋近于约束边界时，由于惩罚项 r(k) 1
增大，所以罚函数 (x, r(的k) )值越大。当x←b时，罚g１函(x)
数的值将趋近于+∞。因此，当初始点取在可行域内，求
函数 (x, r(k)的) 极小值时，只要适当控制搜索步长，
防止迭代点跨入非可行域，则所搜索到的无约束极小点 x*必可保持在可行域内。
⑹由终止准则，若满足则转步骤⑺，否则转⑸⑺,输出最优解(x*,F*)
入口
给定：x(0) ∈D,r(0),C,ε1,ε2
约束问题的最优化方法
3. 优化方法： 选用内点惩罚法，惩罚函数形式为： 6 1 T k k x,r f x r 取 x 0 1,30 , r 0 3 , c 0.7 u 1 g x u 调用 Powell 法求序列无约束优化极值，以逐渐逼近原问 题的极值点。
k 2 x r ( 1 x ) x 1时； x, r k x 1时。 x
4
min.
s.t
f (x) = x
x ∈ R1
g (x) = 1-x ≤ 0
§5.3 外点惩罚函数法
二. 惩罚函数的形式：
①
x, r ( k ) f x r k maxg u x ,0 I u g u x 0 u 1,2,...,m,
(k ) (k ) m
1 u 1 g ( x ) u
m
其中：gu ( x) 0, u 1,2,...m
1 u 1 g ( x ) u m 1 (k ) (k ) ③ . ( x, r ) f ( x) ru u 1 g u ( x) m 1 (k ) (k ) ④ .( x, r ) f ( x) r 2 u 1 [ g ( x )] u
§5.2 内点惩罚函数法
4. 求解过程分析：
§5.3 外点惩罚函数法 (衰减函数法）
一. 基本思想： 外点法将新目标函数
Φ( x , r )
构筑在可行域 D
外，随着惩罚因子 r(k) 的不断 递增，生成一系列新目标函数
Φ(xk ,r(k))，在可行域外逐步
迭代，产生的极值点 xk*(r(k)) 序列从可行域外部趋向原目标 函数的约束最优点 x* 。 例：求下述约束优化问题的最优点。 新目标函数：
1120 罚函数法 (罚函数法与乘子法合订)
具体说：根据约束的特点，构造某种惩罚函数，
然后把它加到目标函数中去，将约束问题的求解 化为一系列无约束问题的求解（准确地说，是将 这些无约束问题的极小点依次作为迭代点）．
Page 2
辅助函数: F x, f x P x
根据惩罚函数表达式（构造方法的不同），形 成不同的罚函数法。我们重点介绍三种：
2 罚函数的特点
Page 20
min f x x Rn
(2)
s.t. gi x 0 i 1, 2, m
构造： F x, r f x rB x , r 0
其中：B
x
m
i 1
gi
1
x
或
m
B x ln
i 1
这相当于对它进行惩罚，从而阻止迭代点穿越边界，
这样就可以把最优解“挡”在可行域内了．
Page 19
1. 解法：
min f ( x), x Rn s.t. gi ( x) 0, i 1, , m
(1)构造: F x, r f x rB x , r 0为很小的正数
Page 7
解：构造罚函数和辅助函数：
F
x,
x2 1
x22
x1
x2
22
其中 是很大的正数．
令： F F 0
x1 x2
得：
x1
x2
2 2 1
又因该点处
2F x12
2
1,
2F x22
2
1,
2F 2
然后把它加到目标函数中去，将约束问题的求解 化为一系列无约束问题的求解（准确地说，是将 这些无约束问题的极小点依次作为迭代点）．
Page 2
辅助函数: F x, f x P x
根据惩罚函数表达式（构造方法的不同），形 成不同的罚函数法。我们重点介绍三种：
2 罚函数的特点
Page 20
min f x x Rn
(2)
s.t. gi x 0 i 1, 2, m
构造： F x, r f x rB x , r 0
其中：B
x
m
i 1
gi
1
x
或
m
B x ln
i 1
这相当于对它进行惩罚，从而阻止迭代点穿越边界，
这样就可以把最优解“挡”在可行域内了．
Page 19
1. 解法：
min f ( x), x Rn s.t. gi ( x) 0, i 1, , m
(1)构造: F x, r f x rB x , r 0为很小的正数
Page 7
解：构造罚函数和辅助函数：
F
x,
x2 1
x22
x1
x2
22
其中 是很大的正数．
令： F F 0
x1 x2
得：
x1
x2
2 2 1
又因该点处
2F x12
2
1,
2F x22
2
1,
2F 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
这样构造的混合罚函数为：
(k ) (k ) x, r f ( x ) r m
1 g u ( x)
1 r (k )
u 1
hv x v 1
p
2式中 r Fra bibliotek(k ) u 1
m
1 g u ( x)
障碍项,惩罚因子 r 按内点法选取
0
r
( 0)
（3）如 x r ( k ) 满足收敛精度， 则停止迭代，否则转入下一步。
*
* (k ) (k ) 和 x r , r
（4）取 r ( k 1) r ( k ) ; x (0) x * r ( k ) 转向第二步。 问题： 外点法：初始点X在可行域内时，不管 r>0取何值，惩罚项总为零，因此惩罚函数 * (k ) x, r 的极小点 x r ( k ) ，如果在可行域内，则 该点必为原问题的最优解。 即:
f ( x)
f
j 1 q j s 1
s
j
( x) ( x)
f
j
(s项最小函数 q - s项最大函数)
④乘除法 2)主要目标法 3)协调曲线法 4)设计分析法
见教材
P96~97
四 优化结果分析
优化设计计算完成后,必须对计算好结果, 进行仔细分析.比较,检查其合理性,发现和改正 一切可能的错误,以便得到一个符合工程实际的 最优化设计方案,检查优化设计结果可行性和全 理性. 1)与原始设计方案的目标函数作比较,通过 作图,曲线或列表,等原始方案的目标函数进 行比较,查看优化结果是否正常. 2)检查最优设计变量满足约束条件
制定恰当的最合理值 f j
(0)
③功效函数法:
q 1 2 q
因此
0 j 1那总功效求数
q 1 2 q
每个分目标函数 f j ( x) ( j 1, 2 q) 用功效系数 j 表示该项设计指标的好坏 ( j＝1表示最好 j ＝0表示最坏)
(拟合曲线近似描述离散点的变化规律)
（1） 平均法：
找出这些离散点的公共值。这些离散点 相对于公共值，上下偏差代数和为零。以 这些公共值构造的代表表征这些离散数值 的规律。
具体步骤如下：
a)有m组数值,预选一个用以拟合的方程式。 将此组数值分别代入y ax 2 bx c 得到m个方程。
工程实际设计中的.设计变量即有连续型, 又有离散型,
1)对于设计变量全为整数型的最优化设计 问题,可用整数规划方法去求解. 2)对于混合型设计变量的最优化设计问 题:将全部设计变量都假定为连续型,取得最 优解后,再进行处理.将原为整数型和离散型 的设计变量的非整数值和非应有的离散数值, 调整到离它最近的整数值和离散值(在可行域 内进行)
min f 1 ( x ) min f 2 ( x ) min f q ( x )
st . g a ( x ) 0
( u 1, 2 m )
统一目标法：
1）基本思想：人为地构成一种新函数,将多 目标优化问题转化为求统一目标函数的 单目标函数优化问题.
查找原因,数学模型是否有误,选择其它优 化方法重新计算. 3)优化结果是否合理:
优化所得的结果一般只能认为是局部最优 解,并一定是全局最优解,处理方法:一是选几个 初始点进行试计算或选用不同的优化方法进行 试计算,从所得各个最优解中筛选出最佳的结果 作为最优解,这时虽然还不能确定为全局最优解, 但能肯定是几个局部最优解最佳的结果. 4)设计变量的处理:
①明确所建立的数学模型的特点：
如:优化问题的维数，目标函数的连续性及 其一阶、二阶偏导数是否存在，是否容易求 解，有无约束，约束条件是不等式约束；还 是等式约束，或者两者兼有。
如具有等式约束，显然不能直接用复合形法 和内点惩罚函数法。 ②优化方法特点及其计算程序特点： 如：该方法的收敛速度，计算精度，可靠 性、稳定性。通用及普遍性。有无现成程序 可用。
st . g j ( x) 0 ( j 1, 2 m)
此解,即为多目标问题的最优解
关键是:确定加权因子,如何选择这些加数 因子是一个比较复杂的问题,至今在理论 上尚未得到完善的解决.加权因子由设计 者选定。
②目标规划法:
基本思想:先求出各分目标函数的最优值
f j (x )
*
根据多 目标优化设计的总体要求
对这些最优值作适当调整.定出各分目标 函数最合理的值. f j ( 0) ( j 1, 2 p) 然后按如下的平方和法来构造统一目标函数
(0) p f ( x ) f j j f ( x) (0) fj j 1 2
这就意味着各个分目标函数分别达到各自最 (0) 合理值 f j 统一目标函数 f ( x) 为最小式中除 以 f j ( 0) 是使i无量纲化.理该法关键是如何
二.离散型变量的处理
在实际工程优化设计问题中，有些变量 只能是离散变量。如齿轮的模型，齿数，型 材的规格。设计手册中的一些标准化、规范 化离散变量如何处理。离散设计变量及优化 所得离散变量的处理。
1) 曲线拟合技术：
选定一种曲线去折合那些离散点，从而获得 可以描述该点列离散规律的近似函数表达式， 建立数学模型。
初始点x 惩罚因子初始值 r ( 0 )均可参考内点 法选取。 计算步骤及程序框图与内点法相近。 混合罚函数综合了内外罚函数法的特点及长 处，因而应用非常广泛。 （1）先在可行域内选择一个严格满足所有不等
(0)
式约束的初始点 x 选择适当的惩罚因子初始值
，通常可取 r ( 0 ) =1 * (k ) (k ) 得 min x , r x r （2）求 1
c 1 c 5 ~ 10
4.混合惩罚函数法 既可求解不等式约束又可求解等式约束， 它是将内点法和外点法的惩罚函数形式结合 在一起，综合了两种方法的长处，初始点应 在可行域内，惩罚因子按内点法选取，具有 内点法特点。
总之，每一种约束优化方法都有其各自 的特点，有时一种优化方法对其一优化问题 有效而对另一个优化问题就不一定有效，这 就要求设计人员在掌握各种优化方法的特点 的基础上，对具体问题进行具体分析，灵活 适用优化方法，直至得出最优设计方案。
p (k ) (k ) (k ) ( x, r ) f ( x) r max 0, g u x r hv x u 1 v 1
k 1, 2
约束优化设计方法小结： 1.复合形法 复合形法:是求解约束优化问题的一种重 要的直接方法。由于这种方法在迭代计算中 不必计算目标函数的一阶和二阶导数，也不 用一维搜索方法，因此对目标函数和约束函 数的性态无特殊要求，程序比较简单，适用 性较广。但是当设计变量和约束条件较多时 计算效率较低，另外还需要给出多变量的敬 意及初始内点。
第六节 优化设计中应注意的的几个问题
一.优化方法的选择 二.离散型变量的处理
三.多目标函数优化问题的处理
四 . 优化结果分析
前面几节所讲的优化方法；没有哪一种 方法是万能的，几种优化方法各有优缺点， 究竟哪一种方法好，经结合具体实际问题的 数学模型及约束条件。实际运用中，往往不 是选择具体的某一种最优方法，而是把几种 方法结合起来。扬长避短，以获得较好的设 计结果。一般在选择最优化方法时，主要考 虑两方面的问题：
此法计算较繁.但较为有效,比较直观且调整不易.
功效函数法适用于: 目标函数既不是愈大愈好,也不是愈小愈好 的情况. 此法将一多目标函数最优化问题中的全 部q个目标分为: 目标函数愈小愈好的所谓基用类(材料,工时,成 本,重量等) 目标函数值愈大愈好的所谓效益类(产量,产值, 利润,效益等) 则:统一目标函数可取
在工程实际中的确存在大量的多目标优 化问题。此类问题往往比较复杂。目前求解 这一类问题的方法还不够完美，有许多理论 性问题尚待进一步探讨。 这里简单介绍几种多目标函数最优化问题所 处理方法： 多目标函数的最优化问题，其数学模型的一 般表达式为：
x x1
x 2 xn
T
xR
n
求解：
b)如预选方程中有J个待定常数，则将m个方 程分为J组。
c)对每组方程两端各自相加，合并为一式， 得到J个方程。 d) J个方程联立求解。得J个待定常数，从 而求得具体拟合方程。
②最小二乘法。 （上学期讲过，在此不在重复）
三.多目标函数优化问题的处理
在实际中，对于一个零件、部件、机构 及分析设计，常常期望几项设计指标达到最 优值。这就提出了多目标优化设计问题。 例如：车床齿轮变速箱的设计。 提出下列要求： 1）所有齿轮的体积尽可能小。 2）齿轮的最大圆周速度尽可能低。 3）变速箱的宽度尽可能小。 4）各传动轴间的中心距的布局尽可能小。
:表示设计方案的好坏
max
j＝0表明这种设计方案不可行,此时
j＝0需要调整约束条件或分目标函数
的界值.用总功效系数.
j＝1表示取得最理想的设计方案.
必有某分目标函数.
“统一目标函数”
j 作为
f ( x) : f ( x) q 1 2 q max
j 1 2 q
wj 1 wj 0
i 1
q
j 1, 2 q
再取 f j ( x) 与
wj
的线性组合为统一目标函数即
q
f ( x) w j f j ( x)
j 1
然后,求解单目标优化问题.
q min f ( x) min w j f j ( x) j 1
(k ) (k ) x, r f ( x ) r m
1 g u ( x)
1 r (k )
u 1
hv x v 1
p
2式中 r Fra bibliotek(k ) u 1
m
1 g u ( x)
障碍项,惩罚因子 r 按内点法选取
0
r
( 0)
（3）如 x r ( k ) 满足收敛精度， 则停止迭代，否则转入下一步。
*
* (k ) (k ) 和 x r , r
（4）取 r ( k 1) r ( k ) ; x (0) x * r ( k ) 转向第二步。 问题： 外点法：初始点X在可行域内时，不管 r>0取何值，惩罚项总为零，因此惩罚函数 * (k ) x, r 的极小点 x r ( k ) ，如果在可行域内，则 该点必为原问题的最优解。 即:
f ( x)
f
j 1 q j s 1
s
j
( x) ( x)
f
j
(s项最小函数 q - s项最大函数)
④乘除法 2)主要目标法 3)协调曲线法 4)设计分析法
见教材
P96~97
四 优化结果分析
优化设计计算完成后,必须对计算好结果, 进行仔细分析.比较,检查其合理性,发现和改正 一切可能的错误,以便得到一个符合工程实际的 最优化设计方案,检查优化设计结果可行性和全 理性. 1)与原始设计方案的目标函数作比较,通过 作图,曲线或列表,等原始方案的目标函数进 行比较,查看优化结果是否正常. 2)检查最优设计变量满足约束条件
制定恰当的最合理值 f j
(0)
③功效函数法:
q 1 2 q
因此
0 j 1那总功效求数
q 1 2 q
每个分目标函数 f j ( x) ( j 1, 2 q) 用功效系数 j 表示该项设计指标的好坏 ( j＝1表示最好 j ＝0表示最坏)
(拟合曲线近似描述离散点的变化规律)
（1） 平均法：
找出这些离散点的公共值。这些离散点 相对于公共值，上下偏差代数和为零。以 这些公共值构造的代表表征这些离散数值 的规律。
具体步骤如下：
a)有m组数值,预选一个用以拟合的方程式。 将此组数值分别代入y ax 2 bx c 得到m个方程。
工程实际设计中的.设计变量即有连续型, 又有离散型,
1)对于设计变量全为整数型的最优化设计 问题,可用整数规划方法去求解. 2)对于混合型设计变量的最优化设计问 题:将全部设计变量都假定为连续型,取得最 优解后,再进行处理.将原为整数型和离散型 的设计变量的非整数值和非应有的离散数值, 调整到离它最近的整数值和离散值(在可行域 内进行)
min f 1 ( x ) min f 2 ( x ) min f q ( x )
st . g a ( x ) 0
( u 1, 2 m )
统一目标法：
1）基本思想：人为地构成一种新函数,将多 目标优化问题转化为求统一目标函数的 单目标函数优化问题.
查找原因,数学模型是否有误,选择其它优 化方法重新计算. 3)优化结果是否合理:
优化所得的结果一般只能认为是局部最优 解,并一定是全局最优解,处理方法:一是选几个 初始点进行试计算或选用不同的优化方法进行 试计算,从所得各个最优解中筛选出最佳的结果 作为最优解,这时虽然还不能确定为全局最优解, 但能肯定是几个局部最优解最佳的结果. 4)设计变量的处理:
①明确所建立的数学模型的特点：
如:优化问题的维数，目标函数的连续性及 其一阶、二阶偏导数是否存在，是否容易求 解，有无约束，约束条件是不等式约束；还 是等式约束，或者两者兼有。
如具有等式约束，显然不能直接用复合形法 和内点惩罚函数法。 ②优化方法特点及其计算程序特点： 如：该方法的收敛速度，计算精度，可靠 性、稳定性。通用及普遍性。有无现成程序 可用。
st . g j ( x) 0 ( j 1, 2 m)
此解,即为多目标问题的最优解
关键是:确定加权因子,如何选择这些加数 因子是一个比较复杂的问题,至今在理论 上尚未得到完善的解决.加权因子由设计 者选定。
②目标规划法:
基本思想:先求出各分目标函数的最优值
f j (x )
*
根据多 目标优化设计的总体要求
对这些最优值作适当调整.定出各分目标 函数最合理的值. f j ( 0) ( j 1, 2 p) 然后按如下的平方和法来构造统一目标函数
(0) p f ( x ) f j j f ( x) (0) fj j 1 2
这就意味着各个分目标函数分别达到各自最 (0) 合理值 f j 统一目标函数 f ( x) 为最小式中除 以 f j ( 0) 是使i无量纲化.理该法关键是如何
二.离散型变量的处理
在实际工程优化设计问题中，有些变量 只能是离散变量。如齿轮的模型，齿数，型 材的规格。设计手册中的一些标准化、规范 化离散变量如何处理。离散设计变量及优化 所得离散变量的处理。
1) 曲线拟合技术：
选定一种曲线去折合那些离散点，从而获得 可以描述该点列离散规律的近似函数表达式， 建立数学模型。
初始点x 惩罚因子初始值 r ( 0 )均可参考内点 法选取。 计算步骤及程序框图与内点法相近。 混合罚函数综合了内外罚函数法的特点及长 处，因而应用非常广泛。 （1）先在可行域内选择一个严格满足所有不等
(0)
式约束的初始点 x 选择适当的惩罚因子初始值
，通常可取 r ( 0 ) =1 * (k ) (k ) 得 min x , r x r （2）求 1
c 1 c 5 ~ 10
4.混合惩罚函数法 既可求解不等式约束又可求解等式约束， 它是将内点法和外点法的惩罚函数形式结合 在一起，综合了两种方法的长处，初始点应 在可行域内，惩罚因子按内点法选取，具有 内点法特点。
总之，每一种约束优化方法都有其各自 的特点，有时一种优化方法对其一优化问题 有效而对另一个优化问题就不一定有效，这 就要求设计人员在掌握各种优化方法的特点 的基础上，对具体问题进行具体分析，灵活 适用优化方法，直至得出最优设计方案。
p (k ) (k ) (k ) ( x, r ) f ( x) r max 0, g u x r hv x u 1 v 1
k 1, 2
约束优化设计方法小结： 1.复合形法 复合形法:是求解约束优化问题的一种重 要的直接方法。由于这种方法在迭代计算中 不必计算目标函数的一阶和二阶导数，也不 用一维搜索方法，因此对目标函数和约束函 数的性态无特殊要求，程序比较简单，适用 性较广。但是当设计变量和约束条件较多时 计算效率较低，另外还需要给出多变量的敬 意及初始内点。
第六节 优化设计中应注意的的几个问题
一.优化方法的选择 二.离散型变量的处理
三.多目标函数优化问题的处理
四 . 优化结果分析
前面几节所讲的优化方法；没有哪一种 方法是万能的，几种优化方法各有优缺点， 究竟哪一种方法好，经结合具体实际问题的 数学模型及约束条件。实际运用中，往往不 是选择具体的某一种最优方法，而是把几种 方法结合起来。扬长避短，以获得较好的设 计结果。一般在选择最优化方法时，主要考 虑两方面的问题：
此法计算较繁.但较为有效,比较直观且调整不易.
功效函数法适用于: 目标函数既不是愈大愈好,也不是愈小愈好 的情况. 此法将一多目标函数最优化问题中的全 部q个目标分为: 目标函数愈小愈好的所谓基用类(材料,工时,成 本,重量等) 目标函数值愈大愈好的所谓效益类(产量,产值, 利润,效益等) 则:统一目标函数可取
在工程实际中的确存在大量的多目标优 化问题。此类问题往往比较复杂。目前求解 这一类问题的方法还不够完美，有许多理论 性问题尚待进一步探讨。 这里简单介绍几种多目标函数最优化问题所 处理方法： 多目标函数的最优化问题，其数学模型的一 般表达式为：
x x1
x 2 xn
T
xR
n
求解：
b)如预选方程中有J个待定常数，则将m个方 程分为J组。
c)对每组方程两端各自相加，合并为一式， 得到J个方程。 d) J个方程联立求解。得J个待定常数，从 而求得具体拟合方程。
②最小二乘法。 （上学期讲过，在此不在重复）
三.多目标函数优化问题的处理
在实际中，对于一个零件、部件、机构 及分析设计，常常期望几项设计指标达到最 优值。这就提出了多目标优化设计问题。 例如：车床齿轮变速箱的设计。 提出下列要求： 1）所有齿轮的体积尽可能小。 2）齿轮的最大圆周速度尽可能低。 3）变速箱的宽度尽可能小。 4）各传动轴间的中心距的布局尽可能小。
:表示设计方案的好坏
max
j＝0表明这种设计方案不可行,此时
j＝0需要调整约束条件或分目标函数
的界值.用总功效系数.
j＝1表示取得最理想的设计方案.
必有某分目标函数.
“统一目标函数”
j 作为
f ( x) : f ( x) q 1 2 q max
j 1 2 q
wj 1 wj 0
i 1
q
j 1, 2 q
再取 f j ( x) 与
wj
的线性组合为统一目标函数即
q
f ( x) w j f j ( x)
j 1
然后,求解单目标优化问题.
q min f ( x) min w j f j ( x) j 1