八年级数学中位线定理
(完整版)八年级数学中位线定理
8.4 中位线定理教学目标：1、理解并掌握三角形中位线的概念、性质，会利用三角形中位线的性质解决有关问题。
2、经历探索三角形中位线性质的过程，让学生实现动手实践、自主探索、合作交流的学习过程,体会转化的思想方法。
3、通过对问题的探索研究，培养学生分析问题和解决问题的能力以及思维的灵活性。
教学重点：探索并运用三角形中位线的性质。
教学难点：运用转化思想解决有关问题。
教学过程一、创设情境，引入新课如图，A 、B 两点被池塘隔开，现在要测量出A 、B 两点间的距离 ，但又无法直接去测量，怎么办？这时，在A 、B 外选一点C ，连结AC 和BC ，并分别找出AC 和BC 的中点D 、E ，如果能测量出DE 的长度，也就能知道AB 的距离了。
这是什么道理呢？今天这堂课我们就要来探究其中的学问。
二、探究活动（一）学生看书：了解三角形中位线的概念：连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。
学生思考：（1）一个三角形有几条中位线？你能画出来么？请学生画出三角形的中位线。
学生活动：动手画图，与同伴交流，得出三角形的中位线有三条。
（2）请学生画出三角形的中线，并说出三角形的中线与中位线的不同教师：（3）正确理解中位线的含义：三角形的中位线定义的两层含义：①∵D 、E 分别为AB 、AC 的中点∴DE 为△ABC 的中位线②∵ DE 为△ABC 的中位线 ∴ D 、E 分别为AB 、AC 的中点三、探索中位线的性质1、提出猜想：如右图,已知，在△ABC 中，DE 是△ABC 的中位线，ΔABC 的中位线DE 与BC 有怎样的位置和数量关系？EDAB C三角形的中位线平行于第三边，并等于它的一半。
2、如何验证你的猜想？学生活动：动手证明，并与同伴交流。
老师用几何画板演验证学生猜想，并通过三角形全等证明 请同学们总结一下三角形中位线的性质三角形的中位线平行于第三边，并等于第三边的一半。
如图，∵DE 是△ABC 的中位线 ∴DE ∥BC, DE=21BC 定理证明过程： 已知:DE 是△ABC 的中位线 求证：DE ∥BC, DE=21BC 证明:如图,延长DE 至点F,使EF=DE,连接CF ∵ AE=CE,∠AED=∠CEF ∴△ADE ≌△CFE(SAS).∴AD=CF,∠ADE=∠F. ∴BD ∥CF. ∵AD=BD,∴BD=CF.∴四边形BCFD 是平行四边形.(一组对边平等且相等的四边形是平行四边形)FEDCBAEDBC∴DF ∥BC,DF=BC. ∴DE ∥BC, DE=21BC 穿插练习：1、如图：在△ABC 中，DE 是中位线 （1）若∠ADE=60°， 则∠B= ，为什么？ （2）若BC=8cm ， 则DE= 为什么？2、如图：D 、E 、F 是△ABC 各边的中点，那么四边形ADEF 是 四边形。
初中数学八年级中位线定理基础讲义
【练】1、如图，在四边形 ABCD 中，Q 是 CD 上的一定点， P 是 BC 上的一动点，点 E 、 F 分别是 PA 、 PQ 的
中点，当点 P 在 BC 上移动时，线段 EF 的长度 ( )
A．先变大，后变小 B．保持不变
C．先变小，后变大
D．无法确定
2、如图，点 D、E、F、G 分别是 AB、OB、OC、AC 的中点，求证：四边形 DEFG 是平行四边形.
A．4.5
B．9
C．5.5
D．11
2、如图，在△ABC 中，点 M 为 BC 的中点，AD 为△ABC 的外角平分线，且 AD⊥BD，若 AB＝6，AC＝9，则 MD 的长为（ ）
A．3
B．
C．5
D．
【变】1、如图，BD、CE 是△ABC 的两条角平分线，AN⊥BD 于点 N，AM⊥CE 于点 M，连接 MN，若△ABC 的周长为 17，BC＝7，则 MN 的长度为（ ）
2、如图，△ABC 中，N 是 BC 边上的中点，AM 平分∠BAC，BM⊥AM 于点 M，若 AB＝8，MN＝2．则 AC 的
长为（ ）
A．10
B．11
C．12
D．13
【练】1、如图，在 ABC 中，AB 17 ，BC 26 ，BD 平分 ABC ，AD BD ，点 E 是 AC 的中点，则线段 DE 的长为 ( )
【变】1、如图，△ABC 的中线 BE、CF 相交于 G，且 AB＝12，AC＝16，BC＝20，求 GC 的长．
2、如图， ABC 的周长为18cm ， BE 、 CF 分别为 AC 、 AB 边上的中线， BE 、 CF 相交于点 O ， AO 的延长 线交 BC 于 D ，且 AF 3cm ， AE 2cm ，求 BD 的长．（倍长 AO，连接 C，证 D 为 BC 中点）
中位线定理
中位线定理中位线定理是指一个三角形的三条中线交于一点且这个点离三角形三个顶点的距离相等，这个点就是三角形的重心。
这个定理是三角形的基本定理之一，能够应用到许多数学问题中。
中位线的定义是连接三角形一边的中点和对面顶点的线段，一个三角形有三条中线。
所有三角形的中线交于一点，这个点被称为三角形的重心。
三角形的重心在中位线上的比例是2:1，即重心距离每条中位线的距离为中点距离这条中线的距离的两倍。
中位线定理的证明可以通过相似三角形和平行四边形的性质来得到。
设ABC是一个三角形，D、E和F分别是AB、BC和AC上的中点，G是三条中线的交点。
我们需要证明GD和EF平行且相等。
首先，我们知道DG和GE分别是DC和EB的一半，因为D和E是AB的中点，也就是说DE是AB的一半。
同样地，CG和GF分别是BE和AF的一半，因为F和B是AC的中点，所以FB的长度等于AC的一半，也就是GF和CG的长度。
因为DG和CG交于点G，所以DGCG是一个平行四边形。
同样地，GE和GF交于点G，所以GEFG也是一个平行四边形。
DG和GE的长度相等，CG和GF的长度也相等。
由平行四边形的性质可以得到，GD和EF平行且相等。
三角形的重心还有一些特殊的性质，比如它是三角形内心、外心和垂心的平均点，也是三条中线所构成的小三角形的面积最小的点。
这些性质可以通过三角形的其他定理和性质来证明。
在实际应用中，中位线定理可以用于计算三角形的重心的位置。
如果已知三角形的三个顶点的坐标，可以用中点公式计算中点的坐标，然后用重心的性质计算重心的坐标。
这对于计算三角形的重量、质心、离心率等问题非常有用。
此外，中位线定理还有一些扩展，比如垂径定理、角平分线定理、内心坐标公式等。
这些扩展定理都与三角形相关，可以用于解决各种数学问题。
数学：8.4《中位线定理》课件(鲁教版八年级下)
DE和BC 有什么位 置关系?
定义:连接三角ห้องสมุดไป่ตู้两边中点的线段叫做三角形的 中位线
中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的 第三边,且等于第三边的一半.
一个三角形有 几条中位线? 中位线和三角 形的中线一样 吗?
思考
Ａ
Ｈ
Ｄ
已知：Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别 是四边形ＡＢＣＤ的中点， 连接ＥＦ，ＦＧ，ＧＨ，Ｈ Ｅ．求证：四边形ＥＦＧＨ 是平行四边形．
小结
三角形的中位线有哪些作用?
位置关系:可以证明两条直线平行. 数量关系:可以证明线段的倍分关系.
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他们还是忍不住要去领上一份，感觉那些东西不领白不领。之前还有老太太跟我说家里那些东西根本就没地方放，就咋们这个片区、很多老头 子、老太太家里的柴、米、油、盐、酱、醋、茶，这些生活用品从来都不用买的，反正有那么多地方愿意白送”李姐想了想总结道“嗯、爱占 便宜是一种通病！” 虽然十足认可李姐的总结语，但是梁可馨还是心不在焉的“哦”了声，自从知道自己所从事的工作跟骗人差不多之后，梁可馨便再无心思在工 作上面，前期人事经理告知她的关于其他人可以每个月可以挣两三万的时候她不是没有心动，只是当时有点纳闷凭白无故坐在店里就可以拿么 高的工资也未免太有点馅饼从天而降了吧！现下总是得以明白，高新哪有那么容易拿，她自从进入那个地方后每个月销量都不及两三万，前期 说好的只要有销售就会有提成，可最后财务告诉她、她们店每个月都属于负盈利，她就没再好意思纠结提成的问题了。 李姐每每不屑地说“你看看我们店里的那个陈老太太，每次都要说她投了多少钱的工程，只要那些工程的钱下来了后，她就要买多少多少我们 的货品，也真是没意思，我在这个店里都待了一年多，就听她念叨了一年多，听其他老太太说她好像一直都是这样，到现在也没看她买过任何 东西，都一把年纪了，还搞得自己多有能力似的，有没有意思”未了又嗤之以鼻地表示“像这样的老人还真是不少，腆着脸就知道去这样的地 方白拿东西！” 梁可馨每天要做的工作便是如此，静候在店内等着上门来做理疗的老头、老太太跟她唠叨如此这般无关痛痒的鸡皮蒜毛之事，然后定期给那些 来访的老人发一些小礼品，等到地点上头派讲师下来的时候，能够很好地邀约那些老头老太太到店面内进行“洗脑大会”的召开，反正于她而 言，那些所谓的“讲师”跟“狗头军师”也没甚区别，甚至比狗头军师还要不如，至少狗头军师不会天天拿一些生死的问题去刺激那帮原本就 担心自己快死掉的老头子、老太太。
初二数学中位线的知识点总结
初二数学中位线的知识点总结在初中所学的中位线知识包括了三角形中位线和梯形中位线定理。
中位线概念(1)三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
(2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
注意：(1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。
三角形中线是连结一顶点和它对边的中点，而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段。
(2)梯形的中位线是连结两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段。
(3)两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时梯形的中位线就变成三角形的中位线。
2.中位线定理(1)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.三角形两边中点的连线(中位线)平行于第BC边，且等于第三边的一半。
三角形的中位线所构成的小三角形(中点三角形)面积是原三角形面积的四分之一。
比起梯形中位线的知识要领，三角形的中位线定理更加的容易出现在试题中。
初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。
初中数学知识点：平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。
平面直角坐标系的构成在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。
八年级数学中位线定理
E F
H
2
A
B
思考
下列说法是否正确? 1.三角形三条中位线组成一个三角形,其周长为 原三角形周长的一半. 2.三角形三条中位线将原三角形分割为四个全 等的三角形. 3.三角形三条中位线三角形三条中位线可从原 三角形中划分出面积相等的三个平行四边形. 4.三角形任两条中位线的夹角与这个夹角所对 的三角形的顶角相等.
8.4中位线定理
小明家的村 头有一大水 塘,要量出池 塘两端点 A,B之间的 距离,你能想 出几种方法?
A
B
C
D
E
下面的方法是不是更简单?
A
B
D
E
C
已知:点D,E分别是△ABC的边 AB,AC的中点. 1 求证:DE= BC DE∥BC
2
B
A D E
F
C
证明:延长DE到F,使EF=DE.连接FC,DC,AF. ∵AE=EC, ∴四边形ADCF是平行四边形, DE和BC 有什么位 置关系?
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三角形的中位线有哪些作用?
位置关系:可以证明两条直线平行. 数量关系:可以证明线段的倍分关系.
武汉搬家公司 武汉搬家 武汉搬家公司 武汉搬家
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请少爷示下，是看看差不多，收了，发付外头人回去呢，还是真要在这儿装起来，扰少奶奶姑奶奶 们清赏。”这话一出，众人再不放过， 都问什么东西。明柯拉了拉那青翘双髻底梳在耳边的小辫子：“就你嘴快。”青翘不但嘴快，而且甜：“少爷若不想小姑奶奶 们看，巴巴 的叫送到这儿做什么？运回去，婢子们收着，您慢慢儿验看不成？您有了好琴，便想给小姑奶奶 们看，婢子能不揣摩您的心意吗？”苏含 萩笑道：“果然是个好丫头！五小子，你就快叫把那琴搬进来！哎哟！连我都心痒痒了。”明柯道声：“得令！”果然传命下去。俩力大 的小厮把那口大箱子吭哧吭哧搬到外头，换了腰圆膀粗的婆子接手，且喜那箱子下是装轮子的，半抬半推的弄进了暖阁里，拆开了。先见 着上头是几片雕花榆木板，花色倒也巧妙新奇。这几片木板拿出来，可以勾连组合在一起，成了个落地架子，再下头方是那琴，倒也有琴 弦、琴轴，只不过跟通行的琴都长得不一样。明柯在旁边跳来跳去的献宝：“不错吧？听说是古物哦！传说中的古琴就是这样子的吧？” 苏含萩好气又好笑道：“老五，你且数数这琴板上有多少弦呢！”明柯“呃”一声，看那宽阔琴板上，密密排着，一时也数不清，但三四 十根总有的。“我们妇道人家都晓得，如今的琴叫‘文武七弦琴’，是从前圣人加了文武二弦，传为定式。那末再古之前的琴，形状且不 论，弦数最多不过五根。”苏含萩道，“你且把这密麻麻的东西叫什么？”明柯“哎呀”一声：“那天杀的戎商跟我说是古琴，指天誓日 的！回去看我不拆了他那店！”北胡、南蛮、西戎。戎商便是西边来的商人。那里的人，个子比中原人健壮、肤色比中原人深、鼻子比中 原人挺、眉睫都比中原人浓重，说起话来，舌头都好像比中原人硬朗一点。如果一个戎人穿起汉人衣冠，乍看是不容易分辨的，但细细察 认，也总能认出些端倪，就好像——对了！就好像苏明远的影子一样！那被戏称为“明犬”的大汉，实在是很具备戎人特征的。第十七章 暗度戎琴成新赏（3）戎人向来剽悍，同汉人也起过不少冲突，可以说胜多败少，只是他们极恋故土，不太乐意移居东土，所以几乎不会主 动发起大规格入侵战事。近百年来，中原力量强盛，一发压住了他们。他们不再与汉人征战、每年向汉人朝廷朝拜纳贡，还有一些头脑灵 活的戎人，到中原来做生意，做得比北胡好得多，仅次于南蛮，但异域风致更胜于南蛮，成了中原街头一大风景。四 明秀一直凝神端详那 琴，听得“戎商”二字，点头向明柯道：“他未必是骗了你。你且看，这琴架虽然新些，琴身上木头的光泽，却显是有年头了。并琴钉等 处，光泽温润如一，应不是新做出来的。又看它纹饰风格，敢问何尝是我们中土偏好？琴上
中位线的定理
中位线的定理
中位线定理又称为中位定理，是指一条直线将一个图形分成两边，其中左边的面积与右边面积相等。
它可应用到多边形，圆，椭圆等图形上，它是由荷兰数学家乔治·杰斐森（George-Jouffroy）于1860年提出，现在它在数学的图形学中运用较为广泛。
中位线定理可以用如下方法来证明：
（1）绘制一个带有任意多个边的多边形，用线段l连接该多边形runing顶点，于此同时将其分为两部分，所构成的新多边形称为原多边形的子多边形。
（2）分别计算子多边形左边和右边的面积，然后将它们相加再各自除以2，余下的面积就是原多边形的1/2面积。
（3）将l line向右移动，然后重复上述步骤，得出的结论是不论移动的位置如何，左边的面积仍然等于右边的面积，从而得出中位线定理——原多边形的1/2面积等同于所有可能的两个子多边形的1/2面积之和。
中位线定理的最重要的应用之一就是计算多边形的面积，通过运用中位线定理可以把多边形的面积分成多个面积相等的子多边形，然后再求出每个小子多边形的面积，最后再把它们累加起来，就可以求出原多边形的面积了。
因此，大多数多边形的面积计算都是建立在中位线定理之上的。
此外，由于多边形可以把一个图形分割成两部分，因此中位线定理还可以用来求出扇形和圆周的面积。
我们可以把一个扇形或圆周等分成相等的子扇形或者子圆周，再用中位线定理求出每个小子扇形或子圆周的面积，最后累加起来，就可以得出扇形或圆周的面积了。
总之，中位线定理是数学中一个很好用的定理，其应用非常广泛，既可用于多边形面积计算，也可用于求出扇形或圆周的面积。
虽然这一定理已经存在了150多年，但是它仍然对现在的数学学习、研究和应用都有着重要的意义。
数学：8.4《中位线定理》课件(鲁教版八年级下)(201911)
小结
三角形的中位线有哪些作用? 位置关系:可以证明两条直线平行. 数量关系:可以证明线段的倍分关系.
求证:EF › AB-CD.
2
A
C
H F
B
思考
下列说法是否正确? 1.三角形三条中位线组成一个三角形,其周长为
原三角形周长的一半. 2.三角形三条中位线将原三角形分割为四个全
等的三角形. 3.三角形三条中位线三角形三条中位线可从原
三角形中划分出面积相等的三个平行四边形. 4.三角形任两条中位线的夹角与这个夹角所对
∴CF∥DA,且CF=DA. ∴CF∥DB,且CF=DB
DE和BC 有什么位 置关系?
∴四边形DBCF是平行四边形. ∴DF=BC. ∴DE= 1BC.
2
定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的 中位线
中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的 第三边,且等于第三边的一半.
一个三角形有 几条中位线? 中位线和三角 形的中线一样
吗?
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起家为赵王属 未有节文 赐帛千匹 与迥将刘子昂 德戡辄复遣骑 攻陷郡县 诚极难耐 使富贵功名永垂竹帛也 帝不从 以前后渡辽之役 迁给事上士 以行军总管率步骑三万出白道 开皇初 席毗十万之众 襄 即欲斫之 棱击败之 仲文诣孝宽有所计议 及宣帝嗣位 越 录前后勋 邑三千户 昔史 赵有言曰 俘男女千馀口 又闻帅旅进取江州 楚 及还 性仁孝 同死何益 以慰众望 追草昧之始 快生平之心 杨玄感之作乱也 "帝悟曰 虏获千馀口 有赤光之瑞 其日雾雨晦冥 请于陕县沿流东下 忧惧称疾 仍发羽林殿脚 资爱之道 此决在一人 时高丽遣使先通于突厥 义臣功竟不录 厚加礼 敬 寻转河内太守 故虽至厮役 所从骑士皆腰斩 毗罗军大溃 顗乃
八年级数学中位线定理
小结
三角形的中位线有哪些作用? 位置关系:可以证明两条直线平行. 数量关系:可以证明线段的倍分关系.
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晚众叛亲离.悦悦,动作快些,这地方我一刻都不想呆.”一看见她就想起自己以前の白痴样,简直无地自容.“哎.”陈悦然开心地应下.所以,等陆羽收拾好东西出来客厅,发现早已人去楼空,留下一室の凌乱与垃圾.她没说什么,挽起袖子开始打扫卫生.傍晚时分,房东带着人来了,三下五除二就 把门锁换成新の,给了陆羽一把,其余の交还给房东.陆羽顺便告诉房东退租の事,并叮嘱说：“我那舍友已经搬出去,以后她找您拿钥匙不必给.”“好,”房东太太应下,语气关切地问,“那你找到房子了？剩下の三个月你一个人交租？”“嗯.”陆羽笑笑说,“我有事要出去一趟,可能需要三 两个月の时间,房租我会定期转帐の.”在人们眼里,一个十八岁就已经本科毕业の女孩跟天才儿童没区别,因此格外看重偏心.“哦,那这样吧,房租我给你减两百,”既送了人情自己又不会亏太多,房东太太琢磨着说,“水电费就不用交了.你提前退租也行,押金全额退返.”“谢谢颜姨.”小便 宜也是便宜,陆羽开心至极.乖巧の女生讨人喜欢,颜姨笑眯眯地加了句,“如果要继续租,你得提前一个月跟我说.”免得大家麻烦.“好.”当天晚上,陆羽仔细清点自己の出行行装,确定无误之后,正要用手机订票,却在此时接到一个电话.“谢妙妙？”稀客呀！按原定の命运,重见谢妙妙应该 是好多年以后.“你要找世外桃源？！”晚上九点多,两人约在陆羽家附近の一间咖啡厅聊天.听陆羽说起即将开始の旅程,谢妙妙一向冷瘫の面容罕见地出现一丝裂痕,颇无奈地看着她.“世外桃源只是一个传说,基本上都是农家乐.”这姑娘受刺激太过改看小说了么？她向来不愿与人太接近, 但是,这人推荐自己进了文教授の工作室,于情于理应该过来一趟.这也是文教授の意思,老人始终怕她年岁小一个人容易想歪,或者被某些人带歪,不如找个靠谱の去看看.至于陈悦然,她就是某些人の其中一个.“不管农家乐还是乡土风情,我都想去看看.”“你一个人？”见她点头,谢妙妙顿 感无力,难怪老师担心.“你打算怎么去？有详细计划吗？”“有啊,我标了路线一个一个去.”“我记得好像有些地方要整改但网上没注明...唉,我有个朋友做旅游公司の,这些情况她比我清楚,不如给她看看？”陆羽一听,“好呀！我正担心白跑一趟呢.”正好她存有电子版,马上发给谢妙 妙.谢妙妙也不拖拉,当下就传给她朋友让尽快搞定.“谢谢了.”陆羽松了一口气,有专业人士帮忙,心里安定些.她懒得去旅游公司问,也不想跟团.“不客气,这是我欠你の.”谢妙妙意有所指道.陆羽明白她の意思,“没什么欠不欠,我只是提个名字,行不行得教授自己决定.”能进去是她の本 事,如果没能力,谁提都不管用.谢妙妙笑了笑,不再谈论这个话题.两位女生平时没什么话说,今晚坐在一起聊天,结果聊到十一点多才各回各家.第二天中午,一张全新の列表发到陆羽の邮箱,在对方の删删减减之下,原本三十多个地方被筛出九个.“...前几个比较热门,每逢节假日万人出游, 天天爆满;后边两条线行情一般般,而且前段时间闹水灾暂时不建议你去;最后一个附加の是最新开发の一条路线,可惜太远暂时还没开.不过有几位学生想体验原生态农家乐,要包车去.怎样？你要不要考虑一下？他们跟你一样...”同是应届毕业生,比较有话聊.谢妙妙の朋友亲自联系她说. 第26部分于是三天后,陆羽终于踏上寻找世外桃源の漫长之旅.谢妙妙介绍の那几个高校生包了一辆8人座の面包车,最终目の地是一个叫梅林村の.车上除了司机年长几岁,其余七人都是学生,其中一位是导游,今年刚考の.这是他第一次带队上路,半玩半实习の性质.一路上,大家显得异常兴奋, 叽叽喳喳の十分热闹.出发之前,陆羽跟他们提过,如果梅林村不错,她可能要在那儿住一段时间,不能跟他们一起回来.也就是说,她只出去の钱,不参与回程の.大家都是出来玩の,年岁差不多,没人跟她计较那点钱,反而显得陆羽有点老成.因为她年龄最小本来就招眼,见她说话做事圆滑世故, 路上没少被人取笑她早熟.陆羽不以为意,凡事先说清楚,免得以后生出矛盾来.所以,大家在路上相处和睦,旅途愉快.而且年轻人の爱好和意见相差不远,但凡路上遇见些风景不错の地方,纷纷要求停车下去逛一会儿.昨天也是,他们路过一个古镇,看见路上客人不多马上就住下了.逛街时,陆羽 买了几样小玩意,其中有一把油纸伞和两个精致の陶笛,一个黑陶一个木质の.她本身会吹笛子,玩这个比较简单,梦里の她出远门时常常随身携带,闲时吹着解闷.之所以买两个,实在是它们の款式太多太美,她拒绝不了.除了中途买の特产,她随身携带の物品除了衣服,还有笔记本和一台笔电, 既用来记录沿途风景与感慨,又能写点什么赚些车费.她现在成了无业游民,虽有存款不影响目前の生活,长期下去可不行,得另找生计.其实,说到自毁前程,她打从心底有些犹豫,有些抗拒.所以她没把工作和出租屋の路说死,为了给自己留条后路,怕将来后悔.要知道,她の未来除了狄、陆两家 是人生败笔,其余一切和乐.如今狄陆两家被她撇清关系,继续走自己喜欢の路不是不可以.当然了,凭她の本事与存款想在城里大富大贵耀武扬威是不可能の,衣食无忧,再买一套房子倒是勉强可以.钱少些无所谓,够用就行,她只怕自己の能力.她还没怎么练,不清楚过程中是否有异 常,但在城里生活肯定得小心谨慎,哪天手机被抢了也不能追.还有,如果重走考古之路呢？万一遇到危险,她能控制自己不露馅吗？万一露馅,她绝对是实验品no.1,这辈子算白活了.独自在客房里走来走去,陆羽越想越烦,相当不耐地挥挥手,重新回到窗边の小圆桌前坐下.唉,先适应适应吧.从 现在开始,除了爹妈给の资金,她得习惯靠自己の一支笔赚取生活费.老实说,曾经有一段时间她被金钱迷过眼.年轻人嘛,发现赚钱の技能当然是兴趣大增,全情投入.那些年她写过不少东西,有散文,有社会纪实,经同学介绍参与媒体征文之类の,学术类の诸如古文鉴赏与评论等.她从不一稿多 投,而是多稿多投,一开始抱着玩乐の心态写の.被采纳之后,收到稿酬尝到了甜头,投稿の次数才渐渐多了起来.后来跟编辑们混熟了被主动约稿,收入稳定.个别熟悉の编辑有时找她写广告文案,不小心占用时间太多被导师发现,训斥她不务正业.担心她被金钱腐蚀糟塌天赋,便安排她去工作室 当临时工.所以,她毕业后就成了正式工,不曾为钱财担心过.一直以来,她把写作当成一个日常发泄の途径,没想到今天成了维持生计の手段.打开电脑,创建一个新文档,面对空荡荡の白板一时间不知写些什么好.望向窗外,雨下个不停,把石板街道洗得很干净,很湿滑光亮,充满岁月沧桑の窄巷 深院让人流连忘返.大家今天还在古镇停留,住在一间古色古香略显简陋の客栈里.这客栈虽小,卫生讲究,窗几明净,独坐室内,能闻到新床铺散发出来の阳光味道,让人心境特别の好.古镇の附近景致清幽,民风纯朴,屋宇の构造极具古风特色,颇有观赏价值.尤其是镇上の古式茶楼,摊档,各类 精美纪念品の小店等最能吸引游客の心.哪怕今天下雨,那几个学生依旧兴致勃勃地跑出去,一个个撑着油纸伞在街上招摇显摆.没出去の人只有司机和陆羽.司机是去の地方多了见多识广,不以为怪.后来嫌无聊,他索性跑对面茶楼听曲儿去了.陆羽是心里藏着事,昨天逛得很开心,今天一下雨 好心境就飞了.对面茶楼与客栈の距离不远,她坐在窗边听得清,看不见唱曲人在台上戏袖挥舞罢了.她想写些东西,又不知写什么好.不是患了圣母病,她自知能力有限阻止不了战乱.战乱之重由全人类一起扛,但有些悲剧只发生在少数人身上.整天提心吊胆,焦躁不安,生怕自己成为下一个被亲 人出卖逮去做实验の人.这是她の亲身经历,犹如惊弓之鸟の日子特别煎熬.天地很大,他们の生存空间却很小很小.那种让人窒息乃至崩溃の氛围,和眼前の一切不断地在她脑海里切换.今天,这些年轻人笑得越开心,未来の惨状越清晰,凄厉惨叫越响亮,令她头痛欲裂.心底仿佛有个声音,让她 必须做些什么提高大家の危机意识,让更多潜变者躲过那场劫难.直言不讳,写实照搬肯定不行,万一世上有第二个甚至无数个她这样の人怎么办？所以,她要婉转地换一种风格把潜变者の异常与注意事项说出来,比如小说.未来の她在厨房里总听到那些人憧憬着小说里の各种异能,说明他们爱 看书.而现在の年轻人,不正是未来の老年人吗？潜变者就在其中.陆羽撑着腮帮子,若有所思地遥望对面茶楼,对面曲调婉转,声声幽怨の唱腔若隐若现,“...记得那年花开日,我弹琵琶朗吹箫,香衾乍暖惊好梦...”记得那年花开日...是了,当时正值春夏交替,花开灿烂.那一天,晴朗の天空突 然被远方の一声巨响撕裂,瞬间风起云涌,厚重の云层遮住整个天空,四周黑漆漆の,不久之后开始下起滂沱大雨.谁也没想到,那天之后,宁静祥和の日子离大家越来越远,越来越远...外边の雨仍在下,女生独坐窗前,十只纤细の手指在键盘上灵活飞舞...第27部分梅林村,据说最大の特点是漫 山遍野外,梅花盛似海,清风中香闻数里,让人心旷神怡.可惜他们来得不是时候,花期早过了.而梅雨时节刚过不久,时不时下一场大雨没什么,淋湿就淋湿了.糟糕の是他们刚穿过省城,所面对の这段是一条泥泞路,路面坎坷不平,走得小心翼翼の.不成想,迎面来了一辆载人の摩托车,明明公路 宽大各走一边,他们喝醉了似地在路中间走蛇形道.为了闪避,面包车只好往路边慢慢开.没想到,路边の一滩水下居然是个泥坑,刚到边缘就滑下去了.摩托车上の两个男人不但不帮忙,还幸灾乐灾地向他们高举中指飚车而去,气死人了.幸好泥坑浅,多努力一些应该能上来.“...一,二,三, 推！”男生们全身湿透,脸庞憋得通红,全身紧绷,推车の双手青筋爆凸,“用力啊...”司机在车里操作,三个女生打着伞站旁边看着,身上衣物微湿.夏天炎热,她们穿の衣服很单薄,雨水一打湿立马贴身显透明,特别の尴尬.于是,体贴の男生们让她们边上呆着.本来给他们打伞の,结果双方の 衣物湿得更快,女生们只好旁观省得越帮越忙.但见他们使尽力气,面包车晃来晃去就是上不来,三个女生面面相觑.“天快黑了,姐妹们...”是呀,天黑了,衣物湿透也看不见.更重要の是,天黑了,车还在坑里,她们怎么办？在野外站一宿？那不行.权衡再三,三个女生
人教版八年级下册三角形的中位线定理
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
2、三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.
二、思想方法方面：倍长短线，转化思想．
平行四边形的判定 （3）
----三角形的中位线定理
温故知新
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
平
边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
行 四
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
边
形
角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
的
判
定
对角线 对角线 互相平分 的四边形是平行四边形
情景导入
如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点
5
F6
∴DF＝ 1 BC=5cm
2
同理：EF＝
1
AB=6cmB源自36 CDE＝ 12 AC=3cm
E 10
∴三角形DEF2的周长=DF+EF+DE=14cm。 你有何
发现？
5：如图，△ABC中，D是AB上一点，且
AD=AC ， AE⊥CD于E，F是CB的中点。
求证：BD=2EF
证明：
C
A D A C ， A E C D C E D E （ 等 腰 三 角 形 三 线 合 一 ）
F是CB的中点
EF
∴CF BF
∵CE=DE,CF=BF
EF1BD,即BD2EFA
2
B D
6、如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点， 中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想。
AF与DE互相平分 理由如下： 证明：连接DF
∵ E,F分别是AC、BC的中点 ∴EF∥AB, EF=½ AB ∵ D是AB中点 ∴AD =½ AB; ∴ EF∥AD, EF=AD ∴四边形ADFE平行四边形
中位线的判定定理
中位线的判定定理
中位线是一个数学术语，是平面几何内的三角形任意两边中点的连线或梯形两腰中点的连线。
1判定方法
1,根据定义：三角形两边中点之间的线段为三角形的中位线。
2.经过三角形一边中点与另一边平行的直线与第三边相交,交点与中点之间的线段为三角形的中位线。
3.端点在三角形的两边上与第三边平行且等于第三边的一半的线段为三角形的中位线。
2中位线定义
三角形：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线平行于第三边，其长度为第三边长的一半，通过相似三角形的性质易得。
其两个逆定理也成立，即经过三角形一边中点平行于另一边的直线，必平分第三边；以及三角形内部平行于一边且长度为此边一半的线段必为此三角形的中位线。
但是注意过三角形一边中点作一长度为底边一半的线段有两个，不一定与底边平行。
梯形：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
梯形的中位线平行于上底和下底，其长度为上、下底长度和的一半，可将梯形旋转180°、将其补齐为平行四边形后易证。
其逆定理正确与否与上相仿。
1,根据定义：三角形两边中点之间的线段为三角形的中位线.
2.经过三角形一边中点与另一边平行的直线与第三边相交,交点与中
点之间的线段为三角形的中位线.
3.端点在三角形的两边上与第三边平行且等于第三边的一半的线段为三角形的中位线.
三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
平行于第三边,并且是一边的中点的线段是中位线.这条还是一个定理,可以证明出来。
人教版初二数学下册 中位线定理 讲义
中位线定理三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段梯形的中位线：连接梯形两腰中点的线段中位线定理：1、三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半2、梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半例1、△ABC 的三条边AB 、AC 、BC 的中点分别是点D 、E 、F ，且DE=4，EF=3，DF=6，则△ABC 的周长为（ ）A 、22B 、26C 、20D 、24例2、如图，DE 是△ABC 的中位线，下面的结论中错误的是（ ）A 、AB DE 21 B 、AB//DEC 、BC=2DED 、AB=2DE例3、如图，在四边形ABCD 中，∠C=60°，AD//BC ，AD=DC=8，E 、F 分别为AB 和DC 的中点，则EF 的长为___________1、如图，已知△ADE周长为4，且DE是△ABC的中位线，则△ABC的周长为（）A、6B、8C、12D、162、在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF的周长是（）A、10B、20C、30D、403、如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF=2，则菱形ABCD的周长是（）A、4B、8C、12D、162cm，则这个等边三角形的中位线为（）4、等边三角形的一边上的高为3A、3cmB、2.5cmC、2cmD、4cm5、若三角形的三边分别是6cm、8cm、10cm，则分别连接三边中点所组成的三角形的周长是（）A、24cmB、48cmC、12cmD、无法确定6、如图，△ABC 的周长为a ，以各边中点为顶点组成一个新三角形，以新三角形各边中点为顶点又组成一个三角形，则这个小三角形的周长等于（ ）A 、2aB 、3aC 、4a D 、6a7、如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处。
若∠CDE=48°，则∠APD 等于（ ）A 、42°B 、48°C 、52°D 、58°8、如图，△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，BF 平分∠ABC ，交DE 于点F ，若BC=6，则DF 的长是（ ）A 、2B 、3C 、25D 、49、如图，△ABC 中，AB=AC=8，BC=6，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ，则△CDE 的周长为（ ）A 、10B 、11C 、12D 、1310、如图，△ABC中，D、E、F、G分别是AB、AC、AD、AE的中点，若BC=8，则DE+FG等于（）A、4.5B、6C、7D、811、如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）A、7B、9C、10D、1112、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是线段AO，BO的中点。
8.4中位线定理
随堂练习
′
已知:如图,A,B两地被池塘隔 开,在没有任何测量工具的情 况下,有通过学习方法估测出 了A,B两地之间的距离:先在 AB外选一点C,然后步测出 AC,BC的中点M,N,并测出MN 的长,由此他就知道了A,B间的 距离.你能说出其中的道理吗?
A
M
C B
N
三角形中位线性质
1 ∴DE∥BC, DE BC . 2 这个定理提供了证明线段平行,和线 段成倍分关系的根据.
证明后的结论,以后可以直接运用.
想一想
你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗?
连接每两边的中点,看看得到了什么样的图形?
A
四个全等的三角形. 请你设法验证.
D E
连接三角形两边中点的线段 B 叫做三角形的中位线. 猜一猜,三角形中位线有什么性质?
F
C
引入新知 定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半. 已知:如图,DE是△ABC的中位线. 1 求证:DE∥BC, DE 2 BC . 分析:要证明线段的倍分关系,可将DE加倍后证明与BC相等. A 从而转化为证明平行四边形的对边的关系 于是可作辅助线,利用全等三角形来 证明相应的边相等. D E 证明:如图,延长DE至F, 使EF=DE,连接CF. B C ∵ AE=CE,∠AED=∠CEF, ∴△ADE≌△CFE(SAS). (一组对边平等且相等的四 边形是平行四边形.) NhomakorabeaC
D
C D C
Q
N
证明后的结论,以后可以直接运用.
平行四边形判定
定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形. A D ∵AB=CD,AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形 B C 定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ∵AB∥CD,AB=CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. 定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形. A D ∵AO=CO,BO=DO, O ∴四边形ABCD是平行四边形.
人教版八年级下册18.1.3中位线定理(教案)
举例：
a.难点一：理解中位线定理的证明过程。在教学过程中，教师需要引导学生通过观察图形，发现相似三角形的性质，理解平行线分线段成比例的原理，从而理解中位线定理的证明过程。
b.难点二：在解决复杂问题时，如何运用中位线定理。教师可以通过以下方法帮助学生突破难点：
其次，在新课讲授环节，我发现案例分析这一部分学生对实际问题的解决能力还有待提高。这可能是因为他们在运用中位线定理时，还不太熟练。针对这个问题，我考虑在以后的课堂上增加一些类似的例题，让学生多加练习，提高他们运用定理解决问题的能力。
此外，在实践活动和小组讨论环节，我发现学生们的参与度很高，他们积极讨论、分享观点，这是一个很好的现象。但同时我也注意到，有些学生在讨论过程中过于依赖同伴，缺乏独立思考。因此，在接下来的教学中，我会注重培养学生的独立思考能力，鼓励他们在讨论中提出自己的见解。
还有一个问题是在总结回顾环节，部分学生表示对中位线定理在实际生活中的应用还不够了解。为了解决这个问题，我计划在课后布置一些与实际生活相关的作业，让学生通过实践来加深对中位线定理的理解。
最后，我希望通过这次教学反思，能够找出课堂教学中存在的问题，并在今后的教学过程中进行改进，让每位学生都能在中位线定理这一章节中学有所获，真正提高他们的几何素养。
五、教学反思
今天我们在课堂上学习了中位线定理，回顾整个教学过程，我觉得有几个方面值得反思。
首先，我发现学生在理解中位线定理的概念时，普遍存在一定的困难。可能是因为这个定理涉及到几何图形的观察和空间想象能力，对学生来说是一个挑战。在今后的教学中，我需要更加注重引导学生通过观察和实际操作来理解几何概念，帮助他们建立几何直观。
数学：8.4《中位线定理》课件(鲁教版八年级下)
思考
Ｈ
Ｄ
Ａ
已知：Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别
Ｇ
是四边形ＡＢＣＤ的中点，
Ｅ
连接ＥＦ，ＦＧ，ＧＨ，Ｈ
Ｅ．求证：四边形ＥＦＧＨ
是平行四边形．
Ｂ
Ｆ
Ｃ
思考
已知：在△ＡＢＣ中，Ｄ， Ｅ，Ｆ分别是ＢＣ，ＡＣ， ＡＢ的中点．
F
求证：∠ＦＤE= ∠A.
A E
B
C
D
思考
D
在四边形ABCD
中,AB›CD,E,F分别是
E
AC,BD的1 中点.
∴CF∥DA,且CF=DA. ∴CF∥DB,且CF=DB
DE和BC 有什么位 置关系?
∴四边形DBCF是平行四边形. ∴DF=BC. ∴DE= 1BC.
2
定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的 中位线
中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的 第三边,且等于第三边的一半.
一个三角形有 几条中位线? 中位线和三角 形的中线一样
的三角形的顶角相等.
小结
三角形的中位线有哪些作用? 位置关系:可以证明两条直线平行. 数量关系:可以证明线段的倍分关系.
吗?
；佛山图文店 佛山图文店
；
，每一片沙滩，每一缕幽林里的气息，每一种引人自省、鸣叫的昆虫，都是神圣的你我的生活完全不同，印第安人的眼睛一见你们的城市就疼痛。你们没有安静，听不见春天里树叶绽开的声音、昆虫振翅的声音，听不到池塘边青蛙在争论你们的噪音羞辱我的双耳，这种生活，算活着？ 我是印第 安人，我不懂。” 我是印第安人，我不懂。 后来，华盛顿州首府取了这位酋长的名字：西雅图。 有个当代故事：一个长年住山里的印第安人，受纽约人邀请，到城里做客。出机场穿越马路时，他突然喊：“你听到蟋蟀声了吗？”纽约人笑：“您大概坐飞机久
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8.4 中位线定理
教学目标：
1、理解并掌握三角形中位线的概念、性质，会利用三角形中位线的性质解决有关问题。
2、经历探索三角形中位线性质的过程，让学生实现动手实践、自主探索、合作交流的学习过程,体会转化的思想方法。
3、通过对问题的探索研究，培养学生分析问题和解决问题的能力以及思维的灵活性。
教学重点：探索并运用三角形中位线的性质。
教学难点：运用转化思想解决有关问题。
教学过程
一、创设情境，引入新课
如图，A 、B 两点被池塘隔开，现在要测量出A 、B 两点间的距离 ，但又无法直接去测量，怎么办？这时，在A 、B 外选一点C ，连结AC 和BC ，并分别找出AC 和BC 的中点D 、E ，如果能测量出DE 的长度，也就能知道AB 的距离了。
这是什么道理呢？今天这堂课我们就要来探究其中的学问。
二、探究活动（一）
学生看书：了解三角形中位线的概念：连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。
学生思考：（1）一个三角形有几条中位线？你能画出来么？请学生画出三角形的中位线。
学生活动：动手画图，与同伴交流，得出三角形的中位线有三条。
（2）请学生画出三角形的中线，并说出三角形的中线与中位线的不同教师：
（3）正确理解中位线的含义：三角形的中位线定义的两层含义：①∵D 、E 分别为AB 、AC 的中点∴DE 为△ABC 的中位线②∵ DE 为△ABC 的中位线 ∴ D 、E 分别为AB 、AC 的中点
三、探索中位线的性质
1、提出猜想：如右图,已知，在△ABC 中，
DE 是△ABC 的中位线，ΔABC 的中位线DE 与BC 有怎样的位置和数量关系？
E
D
A
B C
三角形的中位线平行于第三边，并等于它的一半。
2、如何验证你的猜想？学生活动：动手证明，并与同伴交流。
老师用几何画板演验证学生猜想，并通过三角形全等证明 请同学们总结一下三角形中位线的性质
三角形的中位线平行于第三边，并等于第三边的一半。
如图，∵DE 是△ABC 的中位线 ∴DE ∥BC, DE=
2
1BC 定理证明过程： 已知:DE 是△ABC 的中位线 求证：DE ∥BC, DE=
2
1BC 证明:如图,延长DE 至点F,使EF=DE,连接CF ∵ AE=CE,∠AED=∠CEF ∴△ADE ≌△CFE(SAS).
∴AD=CF,∠ADE=∠F. ∴BD ∥CF. ∵AD=BD,
∴BD=CF.
∴四边形BCFD 是平行四边形.
(一组对边平等且相等的四边形是平行四边形)
F
E
D
C
B
A
E
D
B
C
∴DF ∥BC,DF=BC. ∴DE ∥BC, DE=
2
1BC 穿插练习：1、如图：在△ABC 中，DE 是中位线 （1）若∠ADE=60°， 则∠B= ，为什么？ （2）若BC=8cm ， 则DE= 为什么？
2、如图：D 、E 、F 是△ABC 各边的中点，那么四边形ADEF 是 四边形。
3、学习了中位线定理，本节课开始时老师提出的问题你能否解决了呢？
如图，A 、B 两点被池塘隔开，现在要测量出A 、B 两点间的距离 ，但又无法直接去测量，怎么办？这时，在A 、B 外选一点C ，连结AC 和BC ，并分别找出AC 和BC 的中点D 、E ，如果能测量出DE 的长度，也就能知道AB 的距离了。
这是什么道理呢？
四、应用示例:
1、利用三角形中位线定理,说明课本P91的分割三角形题目
2、在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，四边形EFGH 是平行四边形吗？为什么？
拓展：依次连接菱形或矩形各边的中点，能得到一个什么图形？先猜一猜，再证明你的结论。
（注意引导学生把四边形转化为三角形来考虑）
五、巩固练习
1．课本 练习1，2 习题8.4 3
H
G
F
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六、课堂小结
1．三角形中位线是三角形中一种重要的线段，它与三角形中线不同。
2．三角形的中位线定理是三角形的一个重要性质定理。
注意定理的条件、结论，结论有两个，具体应用时，可视具体情况，选用其中一个关系或用两个关系。
熟悉三角形中位线所在的图形的结构，适当地构造三角形中位线定理的条件是用好定理的关键。
3．在这节课中我们一起经过实验、探索，发现了三角形中位线定理，其中学会了一种很重要的探究问题的方法。
4．本节课开始提出的测量问题，通过大家今后不断地学习新知识，将会有更多的解决办法
七、作业：课本习题8.4 1、2。