立体几何求体积大题
高中数学立体几何体积计算应用例题
高中数学立体几何体积计算应用例题在高中数学中,立体几何是一个重要的章节,其中涉及到的体积计算是一个常见的考点。
本文将通过具体的例题,来说明一些常见的体积计算方法和技巧,帮助高中学生更好地理解和应用。
例题一:一个正方体的边长为3cm,求其体积。
解析:正方体的体积计算公式为 V = a^3,其中 a 表示正方体的边长。
根据题意,可以得到 a = 3cm,代入公式计算得 V = 3^3 = 27cm^3。
因此,该正方体的体积为27立方厘米。
例题二:一个圆柱体的底面半径为4cm,高度为6cm,求其体积。
解析:圆柱体的体积计算公式为V = πr^2h,其中 r 表示底面半径,h 表示高度。
根据题意,可以得到 r = 4cm,h = 6cm,代入公式计算得V = π * 4^2 * 6 = 96πcm^3。
因此,该圆柱体的体积为96π立方厘米。
例题三:一个球的半径为5cm,求其体积。
解析:球体的体积计算公式为V = (4/3)πr^3,其中r 表示球的半径。
根据题意,可以得到 r = 5cm,代入公式计算得V = (4/3)π * 5^3 = 500π/3 cm^3。
因此,该球的体积为500π/3立方厘米。
通过以上例题,我们可以看到,不同几何体的体积计算方法是不同的。
在解题过程中,我们需要根据题目给出的信息,选择合适的公式进行计算。
同时,需要注意单位的统一,确保最终的结果与题目要求的单位一致。
除了基本的体积计算,有时候我们还需要应用到一些几何体的组合和切割问题。
下面,我们通过一个例题来说明这个问题。
例题四:一个长方体的长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm,如果将其沿着长方向切割成两个相等的部分,求切割面的面积。
解析:首先,我们需要确定切割面的形状。
根据题意,切割面是一个长方形,其中长为6cm,宽为4cm。
因此,切割面的面积为 6 * 4 = 24cm^2。
通过以上例题,我们可以看到,在解决几何体的体积计算问题时,需要根据题目的要求选择合适的计算公式,并注意单位的统一。
文科高考数学立体几何大题求各类体积方法
A BCD PA B CDP文科高考数学立体几何大题求各类体积方法【三年真题重温】1.【2011⋅新课标全国理,18】如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形,∠DAB =60,2AB AD =,PD ⊥底面ABCD . (Ⅰ) 证明:PA ⊥BD ;(Ⅱ) 若PD AD =,求二面角A PB C --的余弦值. 2.【2011 新课标全国文,18】如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形.60,2,DAB AB AD PD ∠==⊥底面ABCD .(Ⅰ) 证明:PA BD ⊥;(Ⅱ) 设1PD AD ==,求棱锥D PBC -的高.根据DE PB PD BD ⋅=⋅,得32DE =.即棱锥D PBC -的高为32.3.【2010 新课标全国理,18】如图,已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形,AB CD,AC ⊥BD ,垂足为H ,PH 是四棱锥的高 ,E 为AD 中点.(1) 证明:PE ⊥BC(2) 若∠APB=∠ADB=60°,求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值【解析】命题意图:本题主要考查空间几何体中的位置关系、线面所成的角等知识,考查空间想象能力以及利用向量法研究空间的位置关系以及线面角问题的能力.4.【2010 新课标全国文,18】如图,已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形,AB ∥CD ,AC BD ⊥,垂足为H ,PH 是四棱锥的高。
(Ⅰ)证明:平面PAC ⊥ 平面PBD ; (Ⅱ)若6AB =,APB ADB ∠=∠=60°,求四棱锥P ABCD -的体积。
5.【2012 新课标全国理】(本小题满分12分)如图,直三棱柱111ABC A B C -中,112AC BC AA ==, D 是棱1AA 的中点,BD DC ⊥1(1)证明:BC DC ⊥1(2)求二面角11C BD A --的大小。
6.【2012 新课标全国文】(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=12AA 1,D 是棱AA 1的中点(I)证明:平面BDC 1⊥平面BDC(Ⅱ)平面BDC 1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比。
专题10:立体几何中的体积问题(解析版)
专题10:立体几何中的体积问题(解析版)⑴圆柱侧面积;l r S ⋅⋅=π2侧面 ⑵圆锥侧面积:l r S ⋅⋅=π侧面⑶圆台侧面积:l R l r S ⋅⋅+⋅⋅=ππ侧面h S V ⋅=柱体h S V ⋅=31锥体()13V h S S S S =+⋅+下下台体上上 球的表面积和体积 32344R V R S ππ==球球,. 正三棱锥是底面是等边三角形,三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。
正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。
1.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,3AC =,4BC =,5AB =,点D 是AB 的中点.(1)求证:1AC BC ⊥;(2)若1CC BC =,求三棱锥1B BCD -的体积.【答案】(1)证明见解析;(2)4【分析】(1)利用勾股定理,可得AC BC ⊥,结合1AC CC ⊥,根据线面垂直的判定定理以及性质定理,可得结果.(2)计算∆BCD S ,1BB ,然后根据三棱锥的体积公式,可得结果.【详解】(1)∵三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱,∴1CC ⊥平面ABC ,∵AC ⊂平面ABC ,∴1CC AC ⊥,∵在ABC ∆中,3AC =,4BC =,5AB =,∴222AC BC AB +=,∴90ACB ∠=︒,∴AC BC ⊥,∵1CC ⊂平面11CC B B ,CB ⊂平面11CC B B ,1CC CB C =,∴AC ⊥平面11CC B B ,∵1BC ⊂平面11CC B B ,∴1AC BC ⊥.(2)∵D 是AB 中点, ∴111343222BCD ABC S S ∆∆==⨯⨯⨯=, ∵1BB ⊥平面ABC ,114BB AA ==,∴111134433B BCD BCD V S BB -∆=⋅=⨯⨯=. 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及性质定理,还考查了锥体的体积公式,难点在于根据线段长度关系利用勾股定理得出垂直,重点在于对定理的应用,属基础题.2.如图所示:在三棱锥V ABC -中,平面VAB ⊥平面ABC ,VAB ∆为等边三角形,AC BC ⊥且2AC BC ==,,O M 分别为,AB VA 的中点.(1)求证:平面MOC ⊥平面VAB ;(2)求三棱锥V ABC -的体积.【答案】(1)详见解答;(23. 【分析】(1)由已知可得OC AB ⊥,再由面面垂直定理可得OC ⊥平面VAB ,即可证明结论; (2)OC ⊥平面VAB ,用等体积法求三棱锥V ABC -的体积.【详解】(1),AC BC O =为AB 中点,OC AB ∴⊥,平面VAB ⊥平面ABC ,平面VAB 平面ABC AB =,OC ⊂平面ABC ,OC ∴⊥平面,VAB OC ∴⊂平面MOC ,平面MOC ⊥平面VAB ;(2)AC BC ⊥且2AC BC ==,O 分别为AB 的中点,11,2,2332VAB OC AB S ∆∴===⨯⨯=, OC ⊥平面VAB ,133V ABC C VAB VAB V V OC S --∆==⨯⨯=, 3V ABC V -∴=. 【点睛】本题考查面面垂直证明,注意空间垂直间的相互转化,考查椎体体积,意在考查直观想象、逻辑推理能力,属于基础题.3.如图所示,四棱锥的底面ABCD 是一个矩形,AC 与BD 交于点M ,VM 是四棱锥的高.若4VM cm =,4cm AB =,5VC cm =,求四棱锥的体积.【答案】35(cm )3. 【分析】在Rt VMC ∆中求出3(cm),MC =在Rt ABC ∆中求出25(cm)BC =,再根据棱锥的体积公式可得结果.【详解】 VM 是棱锥的高,VM MC ∴⊥.在Rt VMC ∆中,2222543(cm),MC VC VM =-=-=.26cm AC MC ∴==,在Rt ABC ∆中,22226425(cm)BC AC AB =-=-=.242585(cm )S AB BC ∴=⨯=⨯=底,3 11325854(cm )333V S VM ∴=⋅=⨯⨯=四棱锥底. 【点睛】本题考查了求三棱锥的体积,属于基础题.4.如图,四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的菱形,PD ⊥底面ABCD .(1)求证:AC ⊥平面PBD ;(2)若2PD =,直线PB 与平面ABCD 所成的角为45,求四棱锥P ABCD -的体积.【答案】(1)证明见解析;(243 【分析】 (1)通过AC ⊥BD 与PD ⊥AC 可得AC ⊥平面PBD ;(2)由题先得出∠PBD 是直线PB 与平面ABCD 所成的角,即∠PBD =45°,则可先求出菱形ABCD 的面积,进而可得四棱锥P - ABCD 的体积.【详解】解:(1)因为四边形ABCD 是菱形,所以AC ⊥BD ,又因为PD ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,所以PD ⊥AC ,又PD BD D ⋂=,故AC ⊥平面PBD ;(2)因为PD ⊥平面ABCD ,所以∠PBD 是直线PB 与平面ABCD 所成的角,于是∠PBD =45°,因此BD =PD =2.又AB = AD =2,所以菱形ABCD 的面积为sin 6023S AB AD ︒=⋅⋅=,故四棱锥P - ABCD 的体积1433V S PD =⋅=. 【点睛】本题主要考查空间线、面关系等基础知识,同时考查空间想象能力、推理论证能力以及运算求解能力,是基础题.5.如图,在边长为2的菱形ABCD 中,60ADC ∠=︒,现将ADC 沿AC 边折到APC △的位置.(1)求证:PB AC ⊥;(2)求三棱锥P ABC -体积的最大值.【答案】(1)见解析;(2)1【分析】(1)取AC 的中点为O ,连接PO OB 、,由线面垂直的判定定理即可证出.(2)由体积相等转化为P ABC ΔPOB 1V AC S 3-=⋅即可求出. 【详解】(1)如图所示,取AC 的中点为O ,连接PO OB 、,易得AC PO AC OB ⊥⊥,,PO OB O = AC POB ∴⊥平面,又PB ⊆ 面POB AC PB ∴⊥(2)由(1)知AC POB 260? AC 2PO OB ABCD ADC ⊥∠=︒===平面,且在边长为的菱形中,,所以,3 ,P ABC A POB C POB V V V ---=+体积转化为 ΔPOB 1AC S 3=⋅ =11233sin sin 32POB POB ⨯⨯⨯⨯∠=∠ ,当POB 90∠=︒时,P ABC V -的最大值为1. 【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理和等体积转化思想,属于基础题.6.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,平面PAD ⊥平面ABCD ,PA PD ⊥,1PA PD ==,E 为AD 的中点.(1)求证:PE ⊥平面ABCD ;(2)求四棱锥P ABCD -的体积.【答案】(1)证明见解析;(2)23【分析】(1)根据等腰三角形证明PE AD ⊥,得到答案. (2)计算得到2AD =,22PE =,再利用体积公式计算得到答案. 【详解】(1)1PA PD ==,E 为AD 的中点,故PE AD ⊥,平面PAD ⊥平面ABCD , 平面PAD 平面ABCD AD =,故PE ⊥平面ABCD .(2)PA PD ⊥,1PA PD ==,故2AD =,22PE =. 故122223P ABCD V -=⨯⨯⨯=. 【点睛】 本题考查了线面垂直,四棱锥的体积,意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 7.如图所示,在长方体ABCD A B C D ''''-中,求棱锥D A CD ''-的体积与长方体的体积之比.【答案】1:6【解析】【分析】棱锥D A CD ''-可以看成棱锥C A DD ''-,然后结合棱锥与棱柱的体积公式求解即可.【详解】解:已知的长方体可以看成直四棱柱ADD A BCC B '''-,设它的底面ADD A ''面积为S ,高为h ,则长方体的体积为ADD A BCC B V Sh '''-=.因为棱锥D A CD ''-可以看成棱锥C A DD ''-,且A DD ''的面积为12S ,棱锥C A DD ''-的高是h ,所以111326D A CD C A DD V V Sh Sh ''''--==⨯=. 因此所求体积之比为1:6.【点睛】本题考查了棱锥及棱柱的体积公式,重点考查了转换顶点求棱锥的体积,属基础题 8.如图,过圆柱的两条母线1AA 和1BB 的截面11A ABB 的面积为S ,母线1AA 的长为l ,11190AO B ︒∠=,求此圆柱的体积.【答案】22S l π. 【分析】 根据已知易得AOB 是等腰直角三角形,根据截面11A ABB 的面积为S 求出AB 长,进而求得底面圆面积再求体积即可。
立体几何大题中有关体积、面积和距离的求法(教师版)
立体几何大题中有关体积、面积和距离的求法(教师版)立体几何大题中有关体积、面积和距离的求法知识点梳理1.柱、锥、台和球的侧面积和体积圆柱:侧面积为$S_\text{侧}=2\pi rh$,体积为$V=\pir^2h$圆锥:侧面积为$S_\text{侧}=\pi rl$,体积为$V=\frac{1}{3}\pi r^2h$圆台:侧面积为$S_\text{侧}=\pi(r_1+r_2)l$,体积为$V=\frac{1}{3}\pi h(r_1^2+r_2^2+r_1r_2)$直棱柱、正棱锥、正棱台、球的表面积和体积公式不再赘述。
2.几何体的表面积直棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和。
圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形;它们的表面积等于侧面积与底面面积之和。
一公式法例1.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形,则它的体积为。
解:因为正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形,所以有以下两种情况:①:2是下底面的周长,4是三棱柱的高,此时下底面的边长为$\frac{2}{\sqrt{3}}$,所以体积为$V=\frac{4}{3}\sqrt{3}$,面积为$S=2\sqrt{3}$。
②:4是下底面的周长,2是三棱柱的高,此时下底面的边长为$\sqrt{3}$,所以体积为$V=\frac{4}{3}\sqrt{3}$,面积为$S=2\sqrt{3}$。
所以正三棱柱的体积为$\frac{4}{3}\sqrt{3}$。
例2.如图,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形,等腰三角形和菱形,则该几何体的体积为()。
解:由题意可知此几何体是一个四棱锥,由图可知底面两条对角线的长分别为2和3,底面边长为2,所以底面菱形的面积为$S=\frac{3}{2}$,侧棱为$\sqrt{2^2+3^2}= \sqrt{13}$,则棱锥的高$h=\sqrt{3^2-(\frac{\sqrt{13}}{2})^2}=\frac{\sqrt{35}}{2}$。
体积的练习题
体积的练习题体积(Volume)是一个物体所占据的三维空间的大小。
在几何学中,体积通常以立方单位(如立方米、立方厘米等)表示。
计算体积是数学和物理中的基本问题之一。
为了帮助读者更好地理解和掌握计算体积的方法,下面将为大家介绍一些有关体积的练习题。
练习题一:长方体的体积计算长方体是最简单和常见的立体几何形状之一,它有六个面,分别是两个长方形和四个矩形。
计算长方体的体积非常简单,只需要乘以三条相互垂直的边的长度即可。
假设一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c,则该长方体的体积V可以计算为:V = abc。
练习题二:球体的体积计算球体是一种具有无限个点到中心点的距离相等的闭合曲面。
计算球体的体积需要使用球体的半径。
假设一个球体的半径为r,则该球体的体积V可以计算为:V =(4/3)πr³,其中π取近似值3.14。
练习题三:圆柱体的体积计算圆柱体是由两个平行圆底和它们之间的曲面组成的立体几何形状。
计算圆柱体的体积需要使用圆柱体的底面积和高度。
假设圆柱体的半径为r,高度为h,则该圆柱体的体积V可以计算为:V = πr²h。
练习题四:锥体的体积计算锥体是一个有一底面和一个顶点的立体几何形状。
计算锥体的体积需要使用锥体的底面积和高度。
假设锥体的底面积为S,高度为h,则该锥体的体积V可以计算为:V = (1/3)Sh。
练习题五:棱柱的体积计算棱柱是一个由两个平行且形状相同的多边形底面和连接相邻顶点的棱所组成的立体几何形状。
计算棱柱的体积需要使用棱柱的底面积和高度。
假设棱柱的底面积为S,高度为h,则该棱柱的体积V可以计算为:V = Sh。
练习题六:圆锥的体积计算圆锥是一个具有圆形底面和尖端的立体几何形状。
计算圆锥的体积需要使用圆锥的底面积和高度。
假设圆锥的底面积为S,高度为h,则该圆锥的体积V可以计算为:V = (1/3)Sh。
练习题七:正方体的体积计算正方体是一种具有六个相等的正方形面的立体几何形状。
数学题目立体几何的表面积与体积练习题
数学题目立体几何的表面积与体积练习题数学题目:立体几何的表面积与体积练习题1. 题目一:计算一个半径为3厘米的球体的表面积和体积。
解答:首先计算球的表面积。
球的表面积公式为S=4πR²,其中R 为球的半径。
代入半径为3厘米,得到表面积S=4π×3²=36π cm²。
接下来计算球的体积。
球的体积公式为V=4/3πR³,代入半径为3厘米,得到体积V=4/3π×3³=36π cm³。
2. 题目二:一个长方体的长、宽和高分别为5厘米、4厘米和6厘米。
求该长方体的表面积和体积。
解答:长方体的表面积公式为S=2(长×宽+长×高+宽×高),代入长为5厘米、宽为4厘米和高为6厘米,得到表面积S=2(5×4+5×6+4×6)=2(20+30+24)=148 cm²。
长方体的体积公式为V=长×宽×高,代入长为5厘米、宽为4厘米和高为6厘米,得到体积V=5×4×6=120 cm³。
3. 题目三:一个圆锥的底面圆半径为2.5厘米,高为7厘米。
求该圆锥的表面积和体积(保留π)。
解答:首先计算圆锥的母线,母线公式为l=√(r²+h²),其中r为底面圆半径,h为圆锥的高。
代入半径为2.5厘米和高为7厘米,得到母线l=√(2.5²+7²)≈7.416 cm。
圆锥的表面积公式为S=πr(r+l),代入底面圆半径为2.5厘米和母线长为7.416厘米,得到表面积S=π×2.5(2.5+7.416)≈82.512 cm²。
圆锥的体积公式为V=1/3πr²h,代入底面圆半径为2.5厘米和高为7厘米,得到体积V=1/3π×2.5²×7≈36.750 cm³。
(完整版)立体几何体积问题-
立体几何体积问题未命名一、解答题1.如图,在三棱锥中,,,为的中点.(1)证明:平面;(2)若点在棱上,且,求点到平面的距离.2.如图,多面体中,为正方形,,,且.(1)证明:平面平面;(2)求三棱锥的体积.3.在如图所示的几何体中,平面,四边形为等腰梯形,,,,,,.(1)证明:;(2)若多面体的体积为,求线段的长.4.如图,在四棱锥中,,,,点在线段上,且,,平面.(1)证明:平面平面;(2)当时,求四棱锥的表面积.5.如图,在四棱锥中,是等边三角形,,,.(Ⅰ)求证:(Ⅱ)若平面平面,,求三棱锥的体积6.如图,三棱柱中,平面平面,平面平面,,点、分别为棱、的中点,过点、的平面交棱于点,使得∥平面.(1)求证:平面;(2)若四棱锥的体积为,求的正弦值.7.如图,在几何体中,平面底面,四边形是正方形,,是的中点,且,.(1)证明:;(2)若,求几何体的体积.8.在多面体中,底面是梯形,四边形是正方形,,,面面,..(1)求证:平面平面;(2)设为线段上一点,,试问在线段上是否存在一点,使得平面,若存在,试指出点的位置;若不存在,说明理由?(3)在(2)的条件下,求点到平面的距离.9.已知直三棱柱,底面是边长为2的等边三角形,,为棱的中点,在棱上,且.(1)证明:平面;(2)求三棱锥的体积.10.如图,在三棱锥中,,,,,为线段的中点,将折叠至,使得且交平面于F.(1)求证:平面⊥平面PAC.(2)求三棱锥的体积.11.在矩形所在平面的同一侧取两点、,使且,若,,.(1)求证:(2)取的中点,求证(3)求多面体的体积.12.如图,在菱形中,,平面,,是线段的中点,.(1)证明:平面;(2)求多面体的表面积.13.如图,在三棱柱中,,,为的中点,.(1)求证:平面平面;(2)求到平面的距离.14.如图,四棱锥中,底面是直角梯形,,,,侧面是等腰直角三角形,,平面平面,点分别是棱上的点,平面平面(Ⅰ)确定点的位置,并说明理由;(Ⅱ)求三棱锥的体积.15.如图,三棱柱中,侧面侧面,,,,为棱的中点,为的中点.(1) 求证:平面;(2) 若,求三棱柱的体积.参考答案1.解:(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=.连结OB.因为AB=BC=,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB==2.由知,OP⊥OB.由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC.(2)作CH⊥OM,垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC==2,CM==,∠ACB=45°.所以OM=,CH==.所以点C到平面POM的距离为.【解析】分析:(1)连接,欲证平面,只需证明即可;(2)过点作,垂足为,只需论证的长即为所求,再利用平面几何知识求解即可.详解:(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=.连结OB.因为AB=BC=,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB==2.由知,OP⊥OB.由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC.(2)作CH⊥OM,垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC==2,CM==,∠ACB=45°.所以OM=,CH==.所以点C到平面POM的距离为.点睛:立体几何解答题在高考中难度低于解析几何,属于易得分题,第一问多以线面的证明为主,解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明;本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解,也可利用等体积法解决.2.(1)见解析;(2)【解析】分析:(1)证明面面垂直可通过证明线面垂直得到,证A平面即可,(2)由已知,连接交于,作于,由等体积法:,进而可得出结论.(1)证明:∵,由勾股定理得:又正方形中,且∴平面,又∵面,∴平面平面(2)由已知,连接交于作于,则又由(1)知平面平面,平面平面,面,得面由,知四边形为平行四边形,即,而,进而又由,所以,三棱锥的体积.点睛:考查面面垂直、几何体体积,能正确分析线条关系,利用等体积法转化求体积是解题关键.3.(1)证明见解析;(2).【解析】分析:(1)通过证明AB平面ACFE得到;(2)作于点G,设,分别计算出四棱锥的体积,再根据已知条件,求出的值,在直角三角形CFG 中求出CF的值。
六年级立体几何组合图形求体积应用题
六年级立体几何组合图形求体积应用题
1、一个圆柱的高是4.2厘米,底面直径是4厘米,它的体积是多少?
2、一个圆柱形水池底面直径8米,池深2米,如果在水池的底面和四周涂上水泥,涂水泥的面积有多少平方米?水池最多能盛水多少立方米?
3、用铁皮制10节同样大小的通风管,每节长5分米,底面直径1.2分米,至少需要多少平方分米铁皮?体积是多少?
4、一种压路机的滚筒是圆柱形的筒宽1.5米,直径是0.8米。
这种压路机每分钟向前滚动5周。
这种压路机1分钟压路多少平方米?
5、一个圆柱形蓄水池,从里面量底面直径是20米,深为5米,
(1)要在这个蓄水池的四周和底面抹上水泥,抹水泥部分的面积是多少平方米?
(2)这个蓄水池最多可以蓄水多少吨?(每立方米水重1吨)。
立体几何大题—利用等体积解题
立体几何大题中有关体积的求法1、求空间距离中,求点到平面的距离是重点,求两条异面直线间的距离是难点2、求点到平面的距离通常有四种方法(1)直接法,即直接由点作垂线,求垂线段的长(2)转移法,转化成求另一点到该平面的距离(3)体积法(4)向量法例题分析:例1、如图,已知ABCD 是矩形,AB =a ,AD =b ,P A ⊥平面ABCD ,P A =2c ,Q 是P A 的中点求 (1)Q 到BD 的距离;(2)P 到平面BQD 的距离例2、如图,在棱长为2的正方体1AC 中,G 是1AA 的中点,求BD 到平面11D GB 的距离.BACDOGH 1A 1C 1D1B 1O1A例3、已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1,点E 在棱D 1D 上,截面EAC ∥D 1B 且面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°,AB =a ,求(1)截面EAC 的面积;(2)异面直线A 1B 1与AC 之间的距离;(3)三棱锥B 1—EAC 的体积参考答案:例1、如图,已知ABCD 是矩形,AB =a ,AD =b ,P A ⊥平面ABCD ,P A =2c ,Q 是P A 的中点 求 (1)Q 到BD 的距离;(2)P 到平面BQD 的距离解 (1)在矩形ABCD 中,作AE ⊥BD ,E 为垂足 连结QE ,∵QA ⊥平面ABCD ,由三垂线定理得QE ⊥BE ∴QE 的长为Q 到BD 的距离 在矩形ABCD 中,AB =a ,AD =b ,∴AE =22ba ab +在Rt △QAE 中,QA =21P A =c ∴QE =22222ba ba c++∴Q 到BD(2)解法一 ∵平面BQD 经过线段P A 的中点, ∴P 到平面BQD 的距离等于A 到平面BQD 的距离 在△AQE 中,作AH ⊥QE ,H 为垂足∵BD ⊥AE ,BD ⊥QE ,∴BD ⊥平面AQE ∴BD ⊥AH∴AH ⊥平面BQE ,即AH 为A 到平面BQD 的距离在Rt △AQE 中,∵AQ =c ,AE =22ba ab +∴AH =22222)(ba cb a abc ++∴P 到平面BD 的距离为22222)(ba cb a abc ++解法二 设点A 到平面QBD 的距离为h ,由V A —BQD =V Q —ABD ,得31S △BQD ·h =31S △ABD ·AQ h =S AQ S BQD ABD ==⋅∆∆例2. 如图,在棱长为2的正方体1AC 中,G 是1AA 的中点,求BD 到平面11D GB 的距离. 思路启迪:把线面距离转化为点面距离,再用点到平面距离的方法求解. 解答过程:解析一 BD ∥平面11D GB ,BD ∴上任意一点到平面11D GB 的距离皆为所求,以下求点O 平面11D GB 的距离,1111C A D B ⊥ ,A A D B 111⊥,⊥∴11D B 平面11ACC A ,又⊂11D B 平面11D GB∴平面1111D GB ACC A ⊥,两个平面的交线是G O 1,作G O OH 1⊥于H ,则有⊥OH 平面11D GB ,即OH 是O 点到平面11D GB 的距离. 在OG O 1∆中,222212111=⋅⋅=⋅⋅=∆AO O O S OG O . 又362,23212111=∴=⋅⋅=⋅⋅=∆OH OH G O OH S OG O . 即BD 到平面11D GB 的距离等于362. 解析二 BD ∥平面11D GB ,BACDOGH 1A 11D1B 1OBD ∴上任意一点到平面11D GB 的距离皆为所求,以下求点B 平面11D GB 的距离.设点B 到平面11D GB 的距离为h ,将它视为三棱锥11D GB B -的高,则,由于632221,111111=⨯⨯==∆--D GB GBB D D GB B S V V 34222213111=⨯⨯⨯⨯=-GBB D V , ,36264==∴h 即BD 到平面11D GB 的距离等于362. 小结:当直线与平面平行时,直线上的每一点到平面的距离都相等,都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点,转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离;解析二是等体积法求出点面距离.例3、已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1,点E 在棱D 1D 上,截面EAC ∥D 1B 且面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°,AB =a ,求(1)截面EAC 的面积;(2)异面直线A 1B 1与AC 之间的距离;(3)三棱锥B 1—EAC 的体积解 (1)连结DB 交AC 于O ,连结EO , ∵底面ABCD 是正方形 ∴DO ⊥AC ,又ED ⊥面ABCD ∴EO ⊥AC ,即∠EOD =45°又DO =22a ,AC =2a ,EO =︒45cos DO =a ,∴S △EAC =22a (2)∵A 1A ⊥底面ABCD ,∴A 1A ⊥AC ,又A 1A ⊥A 1B 1 ∴A 1A 是异面直线A 1B 1与AC 间的公垂线 又EO ∥BD 1,O 为BD 中点,∴D 1B =2EO =2a∴D 1D =2a ,∴A 1B 1与AC 距离为2a(3)连结B 1D 交D 1B 于P ,交EO 于Q ,推证出B 1D ⊥面EAC ∴B 1Q 是三棱锥B 1—EAC 的高,得B 1Q =23a 32422322311a a a V EAC B =⋅⋅=-1A。
高中数学立体几何体积复习 题集附答案
高中数学立体几何体积复习题集附答案高中数学立体几何体积复习题集附答案一、填空题1. 已知四棱锥的底面是一个边长为6cm的正方形,且侧棱长为8cm,求四棱锥的体积。
解答:四棱锥的体积公式为V = (1/3)×底面积×高。
底面积为6^2 = 36cm^2,高为8cm。
所以四棱锥的体积为V = (1/3)×36cm^2×8cm = 96cm^3。
2. 圆柱的底面半径为5cm,高为12cm,求圆柱的体积。
解答:圆柱的体积公式为V = 底面积×高。
底面积为π×5^2 = 25πcm^2,高为12cm。
所以圆柱的体积为V = 25πcm^2×12cm = 300πcm^3。
3. 正方体的体积为64cm^3,求正方体的边长。
解答:正方体的体积公式为V = 边长^3。
已知V = 64cm^3,代入公式可得:64 = 边长^3。
求解得边长 = 4cm。
4. 球的半径为10cm,求球的体积。
解答:球的体积公式为V = (4/3)π×半径^3。
已知半径为10cm,代入公式可得:V = (4/3)π×10^3。
所以球的体积为V = (4/3)π×1000 = 4000πcm^3。
二、选择题1. 下列几何体中,体积最大的是:A. 正方体的棱长为10cmB. 长方体的长、宽、高分别为6cm、8cm、10cmC. 圆柱的底面半径为5cm,高为14cmD. 球的半径为7cm解答:选项C。
计算各几何体的体积,可得:A. 正方体的体积为V = 10^3 = 1000cm^3B. 长方体的体积为V = 6cm×8cm×10cm = 480cm^3C. 圆柱的体积为V = π×5^2×14cm = 350πcm^3D. 球的体积为V = (4/3)π×7^3 = 1434πcm^3可见,C选项的体积最大。
高中数学练习题附带解析立体几何的体积与表面积
高中数学练习题附带解析立体几何的体积与表面积高中数学练习题附带解析立体几何的体积与表面积一、圆柱的体积与表面积问题1:一个圆柱的高度为12 cm,底面半径为8 cm,求其体积和表面积。
解析:首先计算圆柱的体积。
圆柱的体积公式为V = πr²h,其中V 表示体积,π取近似值3.14,r表示底面半径,h表示高度。
代入已知数据,计算得到 V = 3.14 × 8² × 12 = 2419.52 cm³。
接下来计算圆柱的表面积。
圆柱的表面积包括底面积和侧面积两部分。
底面积为圆的面积,即 A₁ = πr²。
侧面积为矩形的面积,即 A₂ = 2πrh。
所以圆柱的总表面积为 A = 2A₁ + A₂ = 2πr² + 2πrh。
代入已知数据,计算得到 A = 2 × 3.14 × 8² + 2 × 3.14 × 8 × 12 = 659.84 cm²。
因此,该圆柱的体积为 2419.52 cm³,表面积为 659.84 cm²。
问题2:一个空心圆柱的高度为10 cm,内半径为4 cm,外半径为6 cm,求其体积和表面积。
解析:首先计算圆柱的体积。
由于是空心圆柱,体积需要减去内部圆柱的体积。
内部圆柱的体积为 V₁ = πr₁²h,外部圆柱的体积为 V₂ =πr₂²h。
所以空心圆柱的体积为 V = V₂ - V₁ = π(r₂² - r₁²)h。
代入已知数据,计算得到 V = 3.14((6²) - (4²)) × 10 = 376.8 cm³。
接下来计算圆柱的表面积。
空心圆柱的表面积也包括底面积和侧面积两部分。
底面积的计算方式与问题1相同。
侧面积为两个圆柱的高度差乘以底面周长,即 A₂ = 2π(r₂ - r₁)h。
立体几何体积计算练习题
立体几何体积计算练习题1. 正方体计算(1) 已知一个正方体的边长为5cm,计算其体积。
解答:正方体的体积计算公式为V = a³,其中a为正方体的边长。
代入已知数据可得,V = 5cm × 5cm × 5cm = 125cm³。
(2) 若正方体的体积为64cm³,求其边长。
解答:将正方体的体积计算公式改写为a³ = V。
代入已知数据可得,a³ = 64cm³。
对等式两边开立方根可得,a = ∛(64cm³) = ∛(4 × 4 × 4cm³) = 4cm。
因此,正方体的边长为4cm。
2. 长方体计算(1) 已知一个长方体的长、宽、高分别为8cm、6cm和4cm,计算其体积。
解答:长方体的体积计算公式为V = lwh,其中l、w和h分别为长方体的长、宽和高。
代入已知数据可得,V = 8cm × 6cm × 4cm = 192cm³。
(2) 若长方体的体积为360cm³,已知长和宽的比为2:3,求长方体的长、宽和高。
解答:设长和宽分别为2x和3x(其中x为比例系数),代入长方体的体积计算公式可得,(2x) × (3x) × h = 360cm³。
化简该方程可得,6x²h = 360cm³。
解方程可得,h = 360cm³ / (6x²)。
同时,已知长和宽的比为2:3,即有 (2x) / (3x) = 2/3。
解方程可得,x = 3。
代入h的表达式可得,h = 360cm³ / (6 × 3²) = 10cm。
因此,长方体的长为2x = 2 × 3 = 6cm,宽为3x = 3 × 3 = 9cm,高为10cm。
3. 圆柱体计算(1) 已知一个圆柱体的底面半径为4cm,高为10cm,计算其体积。
立体几何计算练习题体积与表面积
立体几何计算练习题体积与表面积在几何学中,计算立体图形的体积和表面积是非常重要的。
掌握这些计算方法不仅可以帮助我们理解立体图形的特性,更能应用到实际生活和工作中。
本文将介绍几个常见的立体几何计算练习题,涵盖了体积和表面积的计算方法,希望能够对读者有所帮助。
以下是几个练习题。
练习题一:正方体的体积和表面积计算正方体是最简单的立体图形之一,它的六个面都是正方形。
我们先来计算一个边长为a的正方体的体积和表面积。
体积的计算公式为 V = a^3,其中a表示正方体的边长。
例如,如果正方体的边长为5cm,那么它的体积就是 V = 5^3 = 125 cm^3。
表面积的计算公式为 S = 6a^2,其中a表示正方体的边长。
以边长为5cm的正方体为例,它的表面积就是 S = 6(5^2) = 150 cm^2。
练习题二:圆柱体的体积和表面积计算圆柱体是常见的立体图形,它的底面是一个圆,高度为h。
我们来计算一个半径为r、高度为h的圆柱体的体积和表面积。
体积的计算公式为V = πr^2h,其中π取近似值3.14。
例如,如果圆柱体的半径为3cm,高度为8cm,那么它的体积就是V ≈ 3.14(3^2)(8) ≈ 226.08 cm^3。
表面积的计算公式为S = 2πr^2 + 2πrh,其中π取近似值3.14。
以半径为3cm、高度为8cm的圆柱体为例,它的表面积就是S ≈ 2(3.14)(3^2) + 2(3.14)(3)(8) ≈ 188.64 cm^2。
练习题三:球体的体积和表面积计算球体是没有棱和角的立体图形,它的表面都是由一个半径为r的圆所构成。
我们来计算一个半径为r的球体的体积和表面积。
体积的计算公式为 V = (4/3)πr^3,其中π取近似值3.14。
例如,如果球体的半径为6cm,那么它的体积就是V ≈ (4/3)(3.14)(6^3) ≈ 904.32 cm^3。
表面积的计算公式为S = 4πr^2,其中π取近似值3.14。
立体几何求体积
如图,在六面体ABC-FEDG中,BG⊥平面ABC,平面ABC∥平面FEDG, AF∥BG,FE∥GD,∠FGD=90°,AB=BC=BG=2,GD=2BC,四边 形AEDC是菱形,则六面体ABC-FEDG的体积为____.
如图,连接AG,AD, 则V六面体ABC-FEDG=V四棱锥A-FEDG+V四棱锥A-BCDG=2V四棱锥A-FEDG, 由题意得,EF=2,DG=4,FG=AF=2, ∴S 梯形 FEDG=12×(2+4)×2=6, ∴V 四棱锥 A-FEDG=13×S 梯形 FEDG×AF=4, ∴V六面体ABC-FEDG=8.
∴V三棱锥F-EBC=V三棱锥C-EFB=
1 2
V = 三棱锥C=12×12V四棱锥E-ABCD=4.
∴多面体的体积V=V四棱锥E-ABCD+V三棱锥F-EBC=16+4=20.
球
求体积
求几何体体积的四种常用方法 (1)公式法:规则几何体直接代入公式求解. (2)等积法:如四面体的任何一个面都可以作为底面,只需选用 底面积和高都易求的形式即可. (3)补体法:将几何体补成易求解的几何体,如棱锥补成棱柱、 三棱柱补成四棱柱等. (4)分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积.
一、公式法
例5 (1)(2021·新高考全国Ⅱ)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4, 侧棱长为2,则其体积为
A.20+12 3
B.28 2
C.56 3
D.28 2 3
棱台的高 h= 22-2 2- 22= 2,
下底面面积S1=16,上底面面积S2=4, 所以该棱台的体积 V=13h(S1+S2+ S1S2)
3.如图,在多面体 ABCDEF 中,已知面 ABCD 是边长为 4 的正 方形,EF∥AB,EF=2,EF 上任意一点到平面 ABCD 的距离均为 3, 求该多面体的体积.
文科立体几何大题---变换顶点求体积学生版(答案在卷尾)
文科立体几何大题-------求体积 题型一:变换顶点求体积 例题1如图,在四棱锥P -ABCD 中,PD ⊥底面ABCD ,//AB CD ,2AB =,3CD =,M 为PC 上一点,且2PM MC =.(1)求证:BM ∥平面PAD ; (2)若2AD =,3PD =,3BAD π∠=,求三棱锥P -ADM 的体积.典型题练习1.已知空间几何体ABCDE中,△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形,△ABC为腰长为3的等腰三角形,平面CDE⊥平面BCD,平面ABC⊥平面BCD.(Ⅰ)试在平面BCD内作一条直线,使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行,并给出详细证明;(Ⅱ)求三棱锥E-ABC的体积.练习2在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为平行四边形,AA 1⊥平面ABCD .AB =2AD =4,3DAB π∠=. (1)证明:平面D 1BC ⊥平面D 1BD ;(2)若直线D 1B 与底面ABCD 所成角为6π,M ,N ,Q 分别为BD ,CD ,D 1D 的中点,求三棱锥C —MNQ 的体积.巩固练习1.如图示,在四棱锥P -ABCD 中,PD ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是矩形,PD AD =,E 、F 分别CD 、PB 的中点.(Ⅰ)求证:EF ∥平面PAD ;(Ⅱ)求证:EF ⊥平面PAB ; (Ⅲ)设33==BC AB , 求三棱锥P -AEF 的体积.练习2如图,在四棱锥P -ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是菱形,AB =2,60BAD ∠=︒.(1)求证:平面PBD ⊥平面P AC ;(2)若PA AB =,M 为线段PC 的中点,求三棱锥C -MBD 的体积。
文科立体几何大题-------求体积题型一:变换顶点求体积例题1.解析:1.(1)法一:过作交于点,连接.∵,∴.又∵,且,∴,∴四边形为平行四边形,∴.又∵平面,平面,∴平面.法二:过点作于点,为垂足,连接.由题意,,则,又∵,,∴,∴四边形为平行四边形,∴.∵平面,平面,∴.又,∴.又∵平面,平面;∵平面,平面,;∴平面平面.∵平面,∴平面.(2)过作的垂线,垂足为.∵平面,平面,∴.又∵平面,平面,;∴平面由(1)知,平面,所以到平面的距离等于到平面的距离,即.在中,,,∴.M //MN CD PD N AN 2PM MC =23MN CD=23ABCD =//AB CD //AB MN ABMN//BM AN BM ⊄PAD AN ⊂PAD //BM PAD M MN CD ⊥N N BN 2PM MC =2DN NC =3DC =2DN =//AB DN ABND //BN AD PD ⊥ABCD DC ⊂ABCD PD DC ⊥MN DC ⊥//PD MN BN ⊂MBN MN ⊂,MBN BN MN N =AD ⊂PAD PD ⊂PAD AD PD D ⋂=//MBN PAD BM ⊂MBN //BM PAD B AD E PD ⊥ABCD BE ⊂ABCD PD BE ⊥AD ⊂PAD PD ⊂PAD AD PD D ⋂=BE ⊥PAD //BM PAD M PAD B PAD BE ABC ∆2AB AD ==3BAD π∠=BE =13P ADM M PAD PAD V V S --∆==⨯133BE ⋅=⨯典型题练习1.解析:(Ⅰ)如图所示,取中点,取中点,连结,则即为所求. 证明:取中点,连结,∵为腰长为的等腰三角形,为中点,∴,又平面平面,平面平面,平面,∴平面,同理可证平面,∴,∵平面,平面,∴平面.又,分别为,中点,∴,∵平面,平面,∴平面.又,平面,平面,∴平面平面,又平面,∴平面.(Ⅱ)连结,取中点,连结,则,由(Ⅰ)可知平面,所以点到平面的距离与点到平面的距离相等.又是边长为的等边三角形,∴,又平面平面,平面平面,平面,∴平面,∴平面,∴为中点,∴,又,,∴∴.DC N BD M MN MN BC H AH ABC ∆3H BC AH BC ⊥ABC ⊥BCD ABC BCD BC =AH ⊂ABCAH ⊥BCD EN ⊥BCD //EN AH EN ⊄ABCAH ⊂ABC //EN ABC M N BD DC //MN BC MN ⊄ABC BC ⊂ABC //MN ABC MN EN N =MN ⊂EMN EN ⊂EMN //EMN ABC EF ⊂EMN //EF ABC DH CH G NG //NG DH //EN ABC E ABC N ABC BCD ∆2DH BC ⊥ABC ⊥BCD ABC BCD BC =DH ⊂BCD DH ⊥ABC NG ⊥ABC DH =N CD NG =3AC AB ==2BC =12ABC S BC AC ∆=⋅⋅=V V =1S NG =⋅⋅=练习2解析:(1)证明:∵D 1D ⊥平面ABCD ,, ∴D 1D ⊥BC .又AB =4,AD =2,,∴∵AD 2+BD 2=AB 2,∴AD ⊥BD .又∵AD ∥BC ,∴BC ⊥BD .又∵D 1D∩BD =D ,,,∴BC ⊥平面D 1BD ,而,∴平面D 1BC⊥平面D 1BD ; (2)解:∵D 1D ⊥平面ABCD ,∴∠D 1BD 即为直线D 1B 与底面ABCD 所成的角,即,而,∴DD 1=2.,∴BC ABCD ⊂平面3DAB π∠=BD ==1BD D BD ⊂平面11D D D BD ⊂平面1BC D BC ⊂平面16D BD π∠=BD =14C MNQ Q CMN Q BDC V V V ---==11121432C MNQ V -=⨯⨯⨯⨯=巩固练习1.解析:(Ⅰ)取PA 的中点G ,连FG ,由题可知:BF=FP ,则FG //AB FG = AB ,又CE= ED ,可得:DE//AB 且DE = AB ,∴ FG //DE 且FG = DE ,∴四边形DEFG 为平行四边形,则EF //DG且EF =DG ,DG ⊂平面PAD ;EF ⊄平面PAD ,∴ EF//平面PAD ⋯⋯⋯4分 (Ⅱ)由PD ⊥平面ABCD ,PD ⊂平面PAD ,∴ 平面PAD ⊥平面ABCD ,且交线为AD ,又底面ABCD 是矩形,∴ BA ⊥ AD ,∴BA ⊥ 平面PAD ,∴平面PAB ⊥平面PAD,其交线为PA ,又PD=AD ,G 为PA 的中点,∴DG ⊥ PA ,∴ DG ⊥平面PAB ,由(Ⅰ)知:EF // DG , ∴ EF ⊥平面PAB ⋯⋯⋯8分 (Ⅲ)由BC =1, AB =F 为PB 的中点,∴ = = = == = ⋯⋯⋯⋯12分练习2解析:(Ⅰ)证明:∵四边形ABCD 是菱形,∴. 又∵平面ABCD ,平面ABCD ,∴.又,平面,平面,∴平面, ∵平面,∴平面平面. (Ⅱ)解:1212AEF P V -AEF B V -ABE F V-ABE P V -21PD S ABE ⋅⋅⋅∆3121112213121⋅⋅⋅⋅⋅122AC BD ⊥PA ⊥BD ⊂≠PA BD ⊥PA AC A =PA ⊂≠PAC AC ⊂≠PAC BD ⊥PAC BD ⊂≠PBD PBD ⊥PAC BCD 11=2232C BDM M V V --=⨯⨯⨯。
初中六年级数学试题立体几何的体积计算
初中六年级数学试题立体几何的体积计算解答:初中六年级数学试题立体几何的体积计算立体几何是数学中的一个重要分支,它研究的是各种实体的形状和体积。
在数学学习中,我们经常需要计算不同几何体的体积。
本文将结合初中六年级数学试题,探讨如何计算立体几何的体积。
1. 圆柱体的体积计算圆柱体是指由一个底面为圆形的柱面和两个平行于底面的圆盖构成的立体。
计算圆柱体的体积通常需要使用到圆周率π的近似值3.14。
试题一:某个圆柱体的底面半径为4cm,高度为8cm,求该圆柱体的体积。
解答:根据公式V = πr²h,其中r为圆柱体的半径,h为圆柱体的高度。
将题目中的数据带入公式计算得到:V = 3.14 × 4² × 8 = 3.14 × 16 × 8 = 402.56 cm³所以该圆柱体的体积为402.56 cm³。
2. 球体的体积计算球体是指所有离球心的距离都相等的点的集合,计算球体的体积需要使用到球体的半径。
试题二:某个球体的半径为6cm,求该球体的体积。
解答:根据公式V = (4/3)πr³,将题目中的数据带入公式计算得到:V = (4/3) × 3.14 × 6³ = (4/3) × 3.14 × 216 = 904.32 cm³所以该球体的体积为904.32 cm³。
3. 圆锥体的体积计算圆锥体是指由一个底面为圆形的锥面和一个顶点在底面上方的尖顶构成的立体。
计算圆锥体的体积同样需要使用到圆周率π的近似值3.14。
试题三:某个圆锥体的底面半径为5cm,高度为12cm,求该圆锥体的体积。
解答:根据公式V = (1/3)πr²h,将题目中的数据带入公式计算得到:V = (1/3) × 3.14 × 5² × 12 = (1/3) × 3.14 × 25 × 12 = 314.16 cm³所以该圆锥体的体积为314.16 cm³。
必修二—立体几何体积计算的五种方法
体积计算的五种方法方法1.公式法例1.正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为()A .20+B .C .563D 例2.(2020全国1卷)如图,D 为圆锥的顶点,O 是圆锥底面的圆心,ABC 是底面的内接正三角形,P 为DO 上一点,∠APC =90°.(1)证明:平面PAB ⊥平面PAC ;(2)设DO ,求三棱锥P −ABC 的体积.解析:(1)连接,,OA OB OC ,D Q 为圆锥顶点,O 为底面圆心,OD ∴⊥平面ABC ,P 在DO 上,,OA OB OC PA PB PC ==∴==,ABC 是圆内接正三角形,AC BC ∴=,PAC △≌PBC ,90APC BPC ∴∠=∠=︒,即,PB PC PA PC ⊥⊥,,PA PB P PC =∴⊥ 平面,PAB PC ⊂平面PAC ,∴平面PAB ⊥平面PAC ;(2)设圆锥的母线为l ,底面半径为r ,圆锥的侧面积为,rl rl π=2222OD l r =-=,解得1,r l ==2sin 60AC r =,在等腰直角三角形APC 中,22AP AC ==Rt PAO 中,2PO ===,∴三棱锥P ABC -的体积为11333P ABC ABC V PO S -=⋅==△.方法2.等积转化1.等体积转化法一般情况下是三棱锥才有的特性。
2.尽可能寻找在表面的三个点,通过三棱锥“换底”求解三棱锥的体积。
转化的目的是为了找到易于计算的:“好底”与“好高”.例3.如图,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E 是侧面11BB C C 内的一个动点,则三棱锥1D AED -的体积为_________.例4.如图所示,在正方体1111ABCD A B C D -中,E 为1DD 中点.若正方体棱长为2,求三棱锥1D AEC -的体积.23三、多面体割,补法求体积1.分割法:把不规则的几何体分割成规则的几何体,当规则的几何体用公式不易求出时,再将其分割没转化成比较好求体积的几何体;大多数情况下,可以把不规则几何体分割为三棱锥+四棱锥,从四棱锥底面对角线或者几何体表面四边形对角线处寻找分割的“刀口”2、补形法:把不规则的几何体补成规则的几何体,便于计算;常见的补形有:(1)将正四面体补形成正方体;(2)将等腰四面体(对棱相等)补形成长方体;(3)将三条棱两两相互垂直且相等的三棱锥补成正方体;(4)将台体补成锥体等等。
挑战立体几何的体积练习题
挑战立体几何的体积练习题在学习立体几何的过程中,计算体积是一个重要的技能。
理解和掌握计算不同几何体的体积公式对于解决实际问题和应用数学知识至关重要。
在本篇文章中,将介绍一些挑战性的立体几何体积练习题,帮助读者提高对体积计算的理解和运用能力。
练习题一:长方体与立方体1. 将一个边长为2厘米的正方形面贴在一个长方体的一个面上,这个正方形位于长方体的中心。
如果长方体的高为5厘米,求这个复合体的体积。
解答:首先计算正方形的面积:2cm × 2cm = 4cm²然后计算长方体的体积:4cm² × 5cm = 20cm³所以,这个复合体的体积为20立方厘米。
2. 一个立方体的棱长为3cm,若将这个立方体切割成六个体积相同的小正方体,求每个小正方体的棱长以及它们的体积。
解答:首先计算原立方体的体积:3cm × 3cm × 3cm = 27cm³然后计算每个小正方体的体积:27cm³ ÷ 6 = 4.5cm³由于六个小正方体在空间中组成一个立方体,所以每个小正方体的棱长也相同,记为x。
则x³ = 4.5cm³,解得x ≈ 1.71cm所以每个小正方体的棱长约为1.71cm,体积为4.5立方厘米。
练习题二:圆柱体与锥体1. 一个圆柱体的直径为8cm,高为10cm,求其体积。
解答:首先计算圆柱体的半径:8cm ÷ 2 = 4cm然后计算圆柱体的底面积:π × 4cm × 4cm = 16π cm²最后计算圆柱体的体积:16π cm² × 10cm = 160π cm³所以,圆柱体的体积为160π立方厘米,约等于502.65立方厘米。
2. 一个锥体的底半径为6cm,高为8cm,求其体积。
解答:首先计算锥体的底面积:π × 6cm × 6cm = 36π cm²然后计算锥体的体积:36π cm² × 8cm ÷ 3 = 96π cm³所以,锥体的体积为96π立方厘米,约等于301.59立方厘米。
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立体几何中有关体积问题
一、知识归纳
1、柱体体积公式:.V S h =
2、椎体体积公式:1
.3V S h = 3、球体体积公式:3
43
V R π=
二、点到平面的距离问题 求解方法:
1、几何法:等体积法求h
2、向量法: 点A 到面α的距离AB n d n
•=
其中,n →
是底面的法向量,点B 是面α内任意一点。
题型分析:
1、如图,在三棱柱111ABC A B C -中,AC BC ⊥,1AB BB ⊥
12AC BC BB ===,D 为AB 中点,且1CD DA ⊥
(1)求证:1BB ABC ⊥平面 (2)求证:1BC ∥平面1CA D (3)求三棱椎11-A B DC 的体积
2、如图,在四棱锥E ABCD -中,ADE ∆是等边三角形,侧面ADE ABCD ⊥地面,AB ∥DC ,且
2435BD DC AD AB ====,,.
(1)若F 是EC 上任意一点,求证:面BDF ADE ⊥面 (2)求三棱锥C BDE -的体积。
3、如图,在棱长为2的正方体中,,E F 分别为
1DD DB 、的中点。
(1)求证:EF ∥平面11ABC D (2)求证1EF B C ⊥ (2)求三棱锥1B EFC -的体积。
1
A 1
B 1
C A D
C
B
1
A 1
B 1
C A
E C
B
D
F
1D A
E C
B
D
F
4、如图,已知四棱锥P ABCD
-的底面为等腰梯形,
AB∥CD,AC BD
⊥,垂足为H,PH是四棱锥的
高。
(Ⅰ)证明:平面PAC⊥平面PBD;
(Ⅱ)若6
AB=,APB ADB
∠=∠=60°,求四棱
锥P ABCD
-的体积。
5、如图,四棱锥P ABCD
-中,底面ABCD为平行四
边形,60
DAB
∠=︒,2
AB AD
=,PD⊥底面ABCD.
(I)证明:PA BD
⊥;
(II)设PD=AD=1,求棱锥D-PBC的高.
6、如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,
∠ACB=90°,AC=BC=
1
2
AA1,D是棱AA1的中点。
(I) 证明:平面BDC1⊥平面BDC
(Ⅱ)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积
的比。
7、(2013乌市二诊)如图,在正方体中,E、F分别为
1
C C、BD的中点.
(I)求证:
1
A F丄平面EDB;
(II)若AB =2,求点B到平面A1DE的距离.
8、((如图,在三棱锥P ABC
-中,
B1
C
B
A
D
C1
A1
A
C
B
D
P
H
PA PB PC
===
CA CB
==,AC BC
⊥
(1)求证:PC AB
⊥
(2)求点B到平面PAC的距离。
A
C B
P。