全国高中物理竞赛简谐运动问题解题导引

简谐运动问题解题导引

山西太原61中学（030027） 王东升

摘要：简谐运动问题是全国中学生物理竞赛考查的重点内容，本文对这类问题的常见类型以及解决问题的思路作了比较详尽的阐述，希望对参加竞赛的同学有所裨益。

关键词：简谐运动 解题导引

简谐运动问题是历届全国中学生物理竞赛考查的重点内容之一。这类问题大体上可以分为三类：（1）判断物体的运动是否是简谐运动，并求其振动周期；（2）确定物体做简谐运动的振动方程；（3）确定物体在简谐运动过程中的时间、位移、速度、能量等。本文旨在就这几类问题求解的基本思路作些指导，希望对准备参赛的同学有所帮助。 1. 判断物体的运动是否是简谐运动，并求其振动周期 1.1 判断物体的运动是否是简谐运动的基本方法 简谐运动的基本判据：

（1） 动力学判据：判断物体所受回复力是否满足

F= －kx 其中k ——回复力系数

（2） 运动学判据：判断物体运动的加速度是否满足

a= －ω2x 其中ω——简谐运动的圆频率

无论采用那种方法判断，其基本步骤都是：首先确定振动物体的平衡位置，然后令物体偏离平衡位置一段位移x ，再求物体所受的回复力或物体具有的加速度。进而，可确定回复

力系数k 或圆频率ω，从而由T=2πm

k 或ω=T π2求出振动周期。

例1．如图1所示，一个质量为m 2的光滑滑轮由劲度系数为k 的轻弹簧吊

在天花板上，一根轻绳一端悬挂一个质量为m 1的重物，另一端竖直固定在地板上。试证明重物沿竖直方向的振动是简谐运动，并求其振动周期。

解析：设：系统平衡时弹簧的伸长量是x 0。则有 kx 0=2m 1g+m 2g （1）

当重物m 1向下偏离平衡位置x 时，滑轮m 2向下偏离平衡位置（x 0+

2

x ），假设此时绳上的拉力是F ，m 1的加速度为a 1，m 2的加速度为a 2，则由牛顿第二定律得

对m 1： F －m 1g=m 1a 1 （2）

对m 2： k （x 0+

2

x

）－2F －m 2g=m 2a 2 （3） 由位移关系有： a 1=2a 2 （4） 由以上各式可得 F=m 1g+2

11

4m m m +kx （5）

所以，m 1所受的合力

F 合 = F －m 1g =

2

11

4m m m +kx （6）

可见 ，F 合∝x ，且方向与x 相反，因此，m 1的运动是简谐运动。回复力系数

m 1 m 2

k

图—1

'k =

2

11

4m m m +k

因此，振动周期T=2π

'

1k m =2πk m m 2

14+ （7）

从上面的推导可见，重物和滑轮的重力m 1g 、m 2g 在运算中被抵消，对回复力的表达式

没有影响。因此，我们可得到如下结论：物体在振动方向上所受的恒力只影响物体振动的平衡位置，一般不会改变物体的振动周期。 基于这一想法，如果我们忽略重物和滑轮的重力，则上面的运算可得到很大简化，读者不妨一试。

“刚体力学”是近年来新增加的考查内容。当刚体做微小振动时，常用转动定律求出刚体的角加速度β，再求出刚体上某点的切向加速度，进而由a= －ω2x 判断其做简谐运动，求出振动周期。

例2．如图2所示，质量均匀的杆AB 长为L ，质量为m ，其A 端用光滑铰链接在墙壁上，其B 端用一劲度系数为k 的轻弹簧悬挂，平衡时，杆水平而弹簧竖直，求此杆做上下微小振动时的振动周期。

解析：当杆水平时，设弹簧的伸长量为x 0，由力矩平衡条件，有

mg ·L

2 =k x 0·L （1）

当杆的B 端向下偏离平衡位置一微小位移x 时，弹簧伸长量为x 0+x 由转动定律有

mg ·L

2 －k （x 0+x ）·L= I ·β （2）

其中 I = 1

3 mL 2 ——杆对A 轴的转动惯量

β——杆的角加速度 解得 β= －

mL

kx

3 所以，B 端运动的切向加速度为a =β·L= －

m

k 3x 可见，a ∝x ，且与x 方向相反。所以，杆的运动是简谐运动。

其圆频率为 ω2=

m

k 3 振动周期为 T=

ω

π

2=2π

k

m 3 1.2确定振动周期的两种特殊方法 1.2.1能量法

例3. 用能量的观点求例1中系统的振动周期。

解析：如果我们把滑轮和重物看成一个体系，这个体系在弹簧的拉力作用下振动，那么这个体系的动能可表示为

A B

x

L θ

图—2

E K =

21m 1v 12+2

1

m 2v 22 因为 v 1=2v 2

所以E K = 2

1

（4m 1+m 2）v 22 和E K =

2

1'm v 22

比较，可知这个体系的等效质量为 'm = 4m 1+m 2

所以，系统的振动周期为

T=2πk

m '

=2πk m m 214

例4.有一粗细均匀的U 形管中装有一定量的水（如图3），水柱的总长度为L ，受扰

动后水在管内振动，如果忽略管壁对水的阻力，求振动周期。 解析：设：U 形管的横截面积为S ，水的密度为ρ，

管内水的总质量为m 。

当右边的水面升高x 时，系统增加的势能为 E p =ρgxSx=

L

mg x 2

与简谐运动系统所具有的势能E p =

2

1kx 2

对比可知，系统所受的回复力一定是弹性回复力，回复力系数为 k =

L

mg

2 所以，振动周期为 T=2π

k m =2πg

L 2 1.2.2等效法确定“异形单摆”的周期

单摆实质上是一个动点到某一定点的距离恒定，且受一个在平衡位置时沿定点和动点连线方向的恒力作用的物理模型。根据单摆的这一特点，对一些“异形单摆”，我们可以通过类比、等效求出振动系统的等效摆长、等效重力加速度，然后，利用单摆周期公式T=2π

g

L

，求出异形单摆的振动周期。 例5.如图4所示是一种地震记录装置的水平摆，摆球m 固定在边长为L ，质量可忽略不计的等边三角形的顶点A 上，它的对边BC 跟竖直线成不大的夹角α，摆线可绕固定轴BC 摆动，求摆球做微小摆动的周期。

解析：在这个摆中，g 和L 同时都发生了异化。如图5所示，当m 做小角度摆动时，实际上是围绕AB 的中点O （定点）运动，所以，其等效摆长为

x

x

图— 3

α A

B

C

图——4