天津大学生数学竞赛

2011年天津市大学数学竞赛试题 (理工类)一. 填空题（本题15分，每小题3分）: 1. 设()f x 是连续函数, 且0()lim41cos x f x x →=-, 则01()lim 1x f x x →⎛⎫+= ⎪⎝⎭2e .2. 设223()2x f x ax b x +=++- , 若lim ()0,x f x →∞=则a =2,-4.- 3. 1e ln d x x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰e ln .x x C +4. 设(,)f x y 是连续函数, 且(,)(,)d d ,Df x y xy f x y x y =+⎰⎰其中由x 轴、y 轴以及直线1x y +=围成, 则(,)f x y =1.12xy +5. 椭球面22221x y z ++=平行于平面20x y z -+=的切平面方程为20x y z -++=和20.x y z -+= 二. 选择题（本题15分，每小题3分）:1. 设()(2)ln(1),f x x x =+-则()f x 在0x =处(A) (0)2f '=-, (B) (0)0f '=, (C) (0)2f '=, (D) 不可导. 答: (A)2. 设函数()y f x =具有二阶导数, 且满足方程sin e 0.x y y '''+-=已知0()0,f x '=则 (A) ()f x 在的某个邻域中单调增加, (B)()f x 在的某个邻域中单调增少,(C)()f x 在处取得极小值, (D) ()f x 在处取得极大值. 答: ( C)3. 图中曲线段的方程为()y f x =, 函数()f x 在区间[0,]a 上有连续的导数, 则积分()d a x f x x '表示(A)直角三角形AOB 的面积, (B) 直角三角形AOC 的面积, (C) 曲边三角形AOB 的面积, (D) 曲边三角形AOC 的面积答: (D)4. 设在区间[,]a b 上的函数()0,f x >且()0,f x '<()0.f x ''>令1()d ,ba S f x x =⎰2()(),S fb b a =-31[()()](),2S f a f b b a =+-则 (A) 123,S S S << (B) 312,S S S << (C) 213,S S S << (D) 231.S S S <<答: (C )5. 设曲面22{(,,)|,01},x y z z x y z ∑==+≤≤取上侧为正,是在0x ≥的部分, 则曲面积分(A)d d 0,x y z ∑=⎰⎰ (B) 1d d 2d d .z x y z x y ∑∑=⎰⎰⎰⎰ (C) 122d d 2d d ,y y z y y z ∑∑=⎰⎰⎰⎰ (D) 122d d 2d d ,x y z x y z ∑∑=⎰⎰⎰⎰答: (B)三. (6分) 设函数()202[(1)()d ]d 0sin 00xt t u u t ,x ,f x x,x .ϕ⎧-⎪≠=⎨⎪=⎩⎰⎰其中函数处处连续. 讨论()f x 在0x =处的连续性及可导性.解222[(1)()d ]d (1)()d lim ()limlim2x x x x t x t u u tx u uf x xxϕϕ→→→--==⎰⎰⎰x220()d ()d limlim22x x x x x u uu ux xϕϕ→→=-⎰⎰202()0lim 0(0)2x x x f ϕ→⋅=-==因此, ()f x 在0x =处连续. 200300[(1)()d ]d ()(0)lim lim xx x t t u u t f x f x x ϕ→→--=⎰⎰220(1)()d lim 3x x x u u xϕ→-=⎰ 22002200()d ()d 11lim lim 33x x x x x u u u u x xϕϕ→→=-⎰⎰1(0)3ϕ=- 因此, ()f x 在0x =处可导, 且1(0)(0).3f ϕ'=-四. (6分) 设函数()x x t =由方程cos 0t x x +=确定, 又函数()y y x =由方程2e 1y xy --=确定, 求复合函数(())y y x t =的导数0d d .t yt =解方程cos 0t x x +=两边对求导d d cos sin 0.d d x xx t x t t -⋅+=当t=0时, x=0, 故00d cos 1.d sin 1t t x x xt t x ====--= 方程2e 1y xy --=两边对x 求导2d d e 0.d d y y y y x x x -⋅--⋅= 当0x =时,2,y =故 022d 2.d ex y y x y y xx==-==-=因此,00d d d .d d d 2t x t y yxt xt ====⋅=- 五. (6分) 设函数()f x 在(,)-∞+∞上二阶可导，且0()lim0x f x x→=，记10()()x f xt dt ϕ'=⎰，求)(x ϕ的导数，并讨论)(x ϕ'在0x =处的连续性.解由已知的极限知(0)0,(0)0,f f '==从而有1(0)(0)d 0.f t ϕ'==⎰当0x ≠时, 1100011()()()()d()()d ,x f x x f x t dt f x t x t f u u x x xϕ'''====⎰⎰⎰从而有 (),0()0,0.f x x x xx ϕ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩因为00()lim ()lim0(0),x x f x x xϕϕ→→===所以, ()x ϕ在0x =处连续. 当0x ≠时,2()()(),xf x f x x xϕ'-'=在0x =处, 由(0)0,ϕ=有2000()(0)()()1(0)lim lim lim (0)22x x x x f x f x f x x x ϕϕϕ→→→'-'''====所以,2()(),0()1(0),0.2xf x f x x xx f x ϕ'-⎧≠⎪⎪'=⎨⎪''=⎪⎩而200000()()()()lim ()limlim lim lim 2x x x x x f x f x f x f x x x x x x ϕ→→→→→''''=-=-001()1()(0)1lim lim (0)(0),222x x f x f x f f x x ϕ→→'''-'''====故()x ϕ'在0x =处连续. 六. (7分) 设函数()y y x =在(,)-∞+∞上可导, 且满足: 22,(0)0.y x y y '=+=(Ⅰ) 研究()y x 在区间(0,)+∞的单调性和曲线()y y x =的凹凸性.(Ⅱ) 求极限3()lim.x y x x →解(Ⅰ) 当0x >时, 有220,y x y '=+> 故()y x 在区间(0,)+∞单调增加. 从而当0x >时, 22y x y '=+也单调增加. 可见, 曲线()y y x =在区间(0,)+∞向下凸. (或当0x >时, 可得222222()0.y x y y x y x y '''=+⋅=++> 可见, 曲线()y y x =在区间(0,)+∞向下凸. )(Ⅱ) 由题设知, (0)(0)0.y y '==应用洛必达法则22322000()()lim lim lim 33x x x y x y x x y x x x→→→'+== []22011111lim (0).33333x y y x →⎛⎫'=+=+= ⎪⎝⎭ 七. (7分) 设()f x 在[0,1]上具有连续导数, 且0()1,(0)0.f x f '<≤=试证211300()d ][()]d .f x x f x x ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰证令2300()()d [()]d ,x xF x f t t f t t ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰则()F x 在[0,1]连续, 且对(0,1)x ∈,30()2()()d [()]xF x f x f t t f x '=-⎰20()2()d ().xf x f t t f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰又由题设知, 当(0,1)x ∈时, ()0.f x >令20()2()d (),x g x f t t f x =-⎰则()g x 在[0,1]上连续, 且()2()[1()]0,(0,1),g x f x f x x ''=-≥∈故有()(0)0(0,1).g x g x ≥=∈因此()0,(0,1),F x x '≥∈于是()F x 在[0,1]上单调增加, ()(0)0,[0,1].F x F x ≥=∈取1x =, 即得211300(1)()d [()]d 0.F f t t f t t ⎡⎤=-≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 所证结论成立.八. (7分) 设函数()y f x =具有二阶导数, 且()0.f x ''>直线是曲线()y f x =上任意一点(,())a f a 处的切线, 其中[0,1].a ∈记直线与曲线()y f x =以及直线0,1x x ==所围成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为().V a 试问为何值时()V a 取得最小值.解切线的方程为()()(),y f a f a x a '-=-即()()().y f a x af a f a ''=-+于是1()2[()()()()]d V a x f x f a x af a f a x π''=-+-⎰10112()d ()()().322a xf x x f a f a f a π⎡⎤''=-+-⎢⎥⎣⎦⎰可见, ()V a 在[0,1]连续, 在(0,1)可导. 令1()2[()()]()(32)0323a V a f a f a f a a ππ'''''''=-+=-=,由于()0,f a ''>()V a 在(0,1)内有唯一的驻点2.3a =并且, 当2(0,)3a ∈时, ()0V a '<; 当2(,1)3a ∈时, ()0,V a '>因此, ()V a 在23a =处取得最小值.九. (7分) 计算(sin )d (cos 1)d ,Ly y x x y y -+-⎰其中为从点(0,0)O 沿圆周222x y x +=在第一象限部分到点(1,1)A 的路径.解令sin ,cos 1,P y y Q x y =-=-则 cos (cos 1) 1.Q Py y x y∂∂-=--=∂∂ 取点(1,0).B 作有向直线段,OB 其方程为0(y x =从0变到1).作有向直线段,BA 其方程为1(x y =从0变到1). 由曲线、有向直线段AB 和BO 形成的闭曲线记为(沿顺时针方向), 所围成的区域记为, 则(sin )d (cos 1)d Ly y x x y y -+-⎰()((sin )d (cos 1)d )AB BOLy y x x y y =---+-⎰⎰⎰d (sin )d (cos 1)d D BAy y x x y y σ=-+-+-⎰⎰⎰ (sin )d (cos 1)d OBy y x x y y +-+-⎰101(cos 1)d 04y y π=-+-+⎰1sin1 1.4π=-+-十. (8分) 设（1）有向闭曲线是由圆锥螺线：θθθθθ===z y x ,sin ,cos ，（从0变到）和有向直线段AO构成，其中()0,0,0O ，()2,0,2A ππ； （2）闭曲线将其所在的圆锥面z =.（Ⅰ）如果()x z F -=,1,表示一力场，求沿所做的功；（Ⅱ）如果()x z F -=,1,表示流体的流速，求流体通过流向上侧的流量. (单位从略）解（Ⅰ）作有向直线段,AO 其方程为⎩⎨⎧==x z y 0从变到0).所求沿所做的功为d d d W z x y x z Γ=+-⎰()(d d d )OAAOz x y x z =++-⎰⎰()20cos sin sin cos cos d πθθθθθθθθθθ=-++-⎡⎤⎣⎦⎰()2d x x x π+-⎰a220(cos sin )d 0πθθθθθ=-+⎰24π=.（Ⅱ）所在的圆锥面方程为z =(,,1)x y n z z =--=在xOy 面上的投影区域为, 在极坐标系下表示为: 0,02.r θθπ≤≤≤≤故所求流体通过流向上侧的流量为d d d d d d ()()x y z y z z x x x y z z z x ∑∑⎡⎤Φ=+-=⋅-+--⎣⎦⎰⎰⎰⎰d d x x x y ∑⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰()200d 2cos sin d r r r πθθθθ=-+⎰⎰22302cos sin d 32πθθθθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰26π-=.注: (Ⅰ)的另一解法应用Stokes 公式，可得2d d 2d d y z x z x y ∑∑==-⎰⎰⎰⎰2d x y∑=⎰⎰222000sin 2d d sin d r r r rπθπθθθθθ=-⋅=-⎰⎰⎰24π=.十一. (8分) 设函数(,)u u x y =在心形线:1cos L r θ=+所围闭区域上具有二阶连续偏导数, 是在曲线上的点处指向曲线外侧的法向量(简称外法向), un∂∂是(,)u x y 沿的外法向的方向导数, 取逆时针方向.(Ⅰ) 证明: d d d .L L u u u s x y n y x∂∂∂=-+∂∂∂⎰⎰ (Ⅱ) 若222221,u ux y y x y∂∂+=-+∂∂求d L u s n ∂∂⎰的值. (Ⅰ) 证由方向导数的定义d (cos sin )d .LLuu us s nx y αα∂∂∂=+∂∂∂⎰⎰其中, 是相对于x 轴正向的转角.设是L 的切向量相对于x 轴正向的转角, 则1,2παα=+或1.2παα=-故11d (sin cos )d .L L u u us s n x y αα∂∂∂=-∂∂∂⎰⎰ d d .L u u x y y x ∂∂=-+∂∂⎰(Ⅱ) 解应用格林公式22222d ()d d (1)d d D D Lu u us x y x y y x yn x y ∂∂∂=+=-+∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰由对称性1cos 00d 1d d 2d d D L u s x y x r rn πθ+∂==∂⎰⎰⎰⎰⎰203(1cos )d .2πθθπ=+=⎰十二.(8分) 设圆222x y y +=含于椭圆22221x y a b+=的内部, 且圆与椭圆相切于两点(即在这两点处圆与椭圆都有公共切线).(Ⅰ) 求与满足的等式; (Ⅱ) 求与的值, 使椭圆的面积最小.x解 (Ⅰ) 根据条件可知, 切点不在轴上. 否则圆与椭圆只可能相切于一点. 设圆与椭圆相切于点00(,)x y , 则00(,)x y 既满足椭圆方程又满足圆方程, 且在00(,)x y 处椭圆的切线斜率等于圆的切线斜率, 即2002001b x xa y y -=--. 注意到00,x ≠因此, 点00(,)x y 应满足 2200222200022001(1)2(2)1(3)1x y a b x y y b a y y ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩由(1)和(2)式, 得222200220.b a y y a b--+=(4) 由 (3) 式得2022.b y b a =-代入(4) 式 2242222222220.()b a b b a b b a b a-⋅-+=-- 化简得2222,b a b a=-或22420.a b a b --= (5) (Ⅱ) 按题意, 需求椭圆面积S ab π=在约束条件 (5) 下的最小值.。