几何画板与椭圆曲线教学整合案例
巧用几何画板探索椭圆轨迹
（ 斛÷） ＾ ２ ２
方程。
教师 ： “ 以上解法是很典 型的。这里设点Ａ、 的 坐标 ， 但 并不需要求出 ， 只是利用Ａ、 曰 的坐标进行过 渡 。这是解析几何 中常用 的一种求轨迹方法——设 而不求 。 寻找动点之 间的关系是求轨迹问题的关 键。 还有其他解法没有？”
２
看 一个具体 的例子 ： 如图 １ ， 过 椭 圆 ＋ ＝ １ （ 。 ＞ ６ ＞
ａ ｚ ｂ
教师： “ 点Ｐ 与Ａ、 Ｂ 两点的坐标的关系怎样 ？” 学生 ： “ 根 据 中点 坐 标 公 式 得 到 ：ｘ ｌ ＋ Ｘ ２， ｖ ：
２ ｙｌ ＋ ） ， ２ ， ，
一
ｆ Ｆ 严
＼ 、 ．
／
，
＼ ～
图３ 图４ “ 猜猜看 ， 点Ｊ Ｐ 的轨迹是什么？” 不少学生 已经利用几何画板演示 了出来 ：拖 动 主 动 点 Ａ， 得到点Ｐ 的轨迹 是一个 小椭 圆 ， 并 且 这 个
小椭圆的长轴是线段０ 即半焦距 。（ 如 图４ ）
２ ２
于 是 有 二 ： 一 ． — Ｘ ｌ ＋ — ｘ ２ 一娑 ： ｋ ： ＿ ｌ ｙ ＿ ， ｒｘ ２ ， ２ ， Ｘ ＋Ｃ
化简得—— 一＋ —Ｌ ： １ ， 此 即为所求 的轨迹
（ ＿ ｃ ＿ ） ｚ （ ｃ） ｂ ｚ
２ ２０
方 程 。”
，
ｉ
图 １
一 ／
图 ２
；
“ 有ｋ ： ￣ Ｙ ｌ － ｙ， 还有 ： ， ｌ。”
Ｘｌ －Ｘ２ Ｘ＋Ｃ
“ 如何 得 ￣ ｌ Ｊ Ｙ Ｉ － Ｙ ２ ７”
Ｘ１ － Ｘ２
几何画板演示 ：拖动 主动点Ａ在椭圆上转动 或 制作点Ａ 在 椭圆上运动 的动画按钮 ， 跟踪 点Ｍ， 得 到 点Ｍ的轨迹是一个小 圆。如 图２ ， 怎样求 出这个小 圆
活用几何画板优化高中数学圆锥曲线定义的教学——以椭圆定义及其定义法求椭圆为例
活用几何画板优化高中数学圆锥曲线定义的教学——以椭圆定义及其定义法求椭圆为例摘要在高中数学教学中，灵活地合理运用几何画板这一辅助教学工具，不仅有助于形象地展示数量、图形的变化过程和理解概念的生成过程，还有助于培养学生的发散思维、创新思维等能力。
本文以椭圆定义及定义法求椭圆为例，突显几何画板在圆锥曲线教学中的应用价值。
关键词：几何画板；定义；椭圆；数学概念；应用价值理解数学概念是学习数学的基本要求，也是学生进一步解决数学问题的基础知识。
数学概念往往有一个核心概念，再由核心概念演绎而成的子概念，核心概念和子概念组成一个知识体系。
解题运用过程中，往往运用核心概念将数学知识有效的整合，形成系统的知识网络，不仅更有效快速地解决问题，而且有助于学生思维能力的发展和核心素养的内化。
圆锥曲线是高考考查的热点，考题以中、高难度为主，题型涵盖选择题、填空题和解答题，解答题中的求解圆锥曲线方程时，待定系数法与定义法求轨迹是常见方法，我们知道，圆锥曲线这一模块知识，主要考查的学科核心素养为数学运算、直观想象和逻辑推理。
然而，以历年的教学经验看来，在圆锥曲线的解答题中，第一问的求解曲线方程的运算出错的学生都不在少数，特别是题干中可以用定义法快速求解的，由于学生未能抓住题目关键条件，对圆锥曲线定义的理解只停留在表面，反而用了直译法列出方程，却又由于计算不到位，未能化简出结果，最终导致整道题丢分。
因此，若要突破解决这一问题，根源在于让学生理解圆锥曲线的定义。
一、几何画板在椭圆定义教学中的意义对于椭圆的定义，如果只是按照传统的理论传授教学方式进行授课的话，那么作为接收理解知识的学生来讲，概念的理解可能更多的只是停留在概念中文字的描述，而至于椭圆的生成过程的动态过程，在他们脑海里显得淡化甚至是没有。
因此，在传统的教学过程，如果我们教师本身能恰当地利用多媒体技术，借助几何画板的图形界面和简单的操作，把曲线轨迹的形成过程用动态的过程展示，并且最后让学生看到直观图形。
信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
*轨迹与轨迹方程
轨迹：动点按照一定条件运动所形成的曲线 （几何图形）
轨迹方程：动点运动，其坐标(x,y)所满足的 关系式
（代数方程）
例1 如图，F是定点，l 是不经过F的定直线，动点 M到定点F的距离与到定直线 l 的距离的比e是小于
1的常数，动点M的轨迹是什么？
所以，这样的动点Q的轨迹即为椭圆.
定义法：利用所学过的曲线的定义直接写出 所求的动点的轨迹方程
课堂小结 1.用几何画板探究点的轨迹. 2.轨迹方程的常见求法.
作业
1、已知点P(2,0),Q(8,0)，点M与点P
的距离是它与点Q的距离的
1 5
，求点M轨
迹方程.并说明轨迹是什么图形.
2、点M与定点F(2,0)的距离和它到定 直线x=8的距离的比是1:2，求点M轨迹
解：设d是M到直线l : x 245的距离，设M(x,y) 根据题意有 MF 4
d 5
即
(x 4)2 y 2 4
x
25 4
5
将上式两边平方并化简，得：9x2 25y2 225
y
.M(x,y) .O
F(-4,0)
即
x2 y2
25 9
1
x 所以，点M的轨迹是长轴、短轴分 别为10、6的椭圆.
又 OQ PQ 为定值 ，等量代换有 OQQAr，分析这个 式子本身的几何意义即得点Q的轨迹.
Pl
Q
..
O
A
演示轨迹三
解：因为点Q是线段PA垂直平 分线上的点，所以有
PQ QA
又 OQPQr
Pl
Q
..
O
A
所以，OQQAr 此即为动点Q到两个定点O、A的距离之和
数学实验----探究轨迹：椭圆 精品教案
《数学实验——探究轨迹：椭圆》教学设计教学流程合作探究学习实验报告单小组名称：小组奖金：小组成员：A组长B记录员C管理员D报信员一、实验课题：用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆（选修2-1课本P50）二、实验准备:根据学生对电脑使用的熟练程度按4人一组,分成16个实验小组，对每个成员进行分工（操作、观察、记录数据）.学生根据老师提供的素材，事先用几何画板软件画出满足条件的动点。
三、实验目标：借助几何画板，观察动点轨迹，探究动点轨迹为什么是椭圆，同时结合具体图象变化，领会由简单到复杂、特殊到一般的思想，从而熟练求轨迹方程的方法——定义法。
同时，也为后面双曲线与抛物线的学习奠定基础。
四、实验过程：环节一：复习定义合作策略：轮流说+随机抽问。
奖励：50班币操作：（1）打开名为《椭圆第一定义》这个文件，拖动点M，猜想轨迹是什么图象？（2）椭圆的第一定义概念：时间：3分钟【设计意图】利用几何画板演示椭圆轨迹的形成过程，让学生一边观察，一边回忆椭圆的定义。
一方面强化“动点到两定点的距离和为定值”这一认识，另一方面提醒学生注意2a>2c是一重要条件,为这节课的探究奠定基础。
环节二实例引入例1 已知M(0,6)是圆22+=100x y内的一个定点, 求经过M且与已知圆内切的动圆圆心p的轨迹。
操作：（1）打开名为《例1》这个文件，拖动点M，猜想轨迹是什么图象？答：轨迹是（2）怎么证明你的猜想？（老师讲解）时间：7分钟【设计意图】通过例题，先让学生拖动点，利用已有经验去猜测轨迹的图象，再用所学知识去验证，使得数学经验得以提升。
我选取的这道例题，椭圆的中心不在原点，即两定点不关于原点对称，打破学生的思维定势，引导学生通过“内切”这一关键条件得出“动点到两定点的距离各为定值”这一结论。
学生无须求写曲线方程。
整个教学过程中，充分体现了学生的主体地位，教师只是教学的组织者和引导者。
环节三：变式练习合作策略：思对论。
奖励：100班币已知圆O的半径为4，A是圆O内一个定点，且OA=2，点P是圆上的动点，若线段AP的中垂线L交半径OP于Q，当P在圆上运动时，求动点Q的轨迹方程？操作：（1）打开名为《练习》这个文件，拖动点M，猜想轨迹是什么图象？答：轨迹是(2)点击《运动对象》，验证轨迹图像；（3）怎么证明？并求出轨迹方程。
信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
2
6 3
，-1
2
MP 2 MF MP MN .MP 2 MF MP MN .
m in
m in
过点P1，-1作PN0
l于N
0交椭圆于M
0
,当M运动
到与M
重合
0
，
即P, M , N三点共线时，MP 2 MF 取得最小值.
答案：MP
2
MF
的最小值为3，此时M
解：（1）依题意可得椭圆左焦点为 F13,0, 右焦点为 F2 3,0，由椭圆第二定义可得
MF1 d1
e
c a
3 5,
而
MF1
3.d1
5
MF1 3
5.
（2）方法一（直接法）：由椭圆定义可得 MF1 MF2 2a 10,而MF1 3, MF2 7
设点M到右准线的距离为d 2 , 由椭圆第二定义可得
4 5
，求点
M 的轨迹.
探究 F是定点，l是不经过F的定直线，动点M到定点F的
距离和它到定直线 l的距离比e是小于1的常数.猜想M
的轨迹是什么？
几何画板探究M的轨迹
发现：M的轨迹是椭圆
信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
概念分析
椭圆的第二定义：
平面内到一个定点F和一条定直线 l 的距离的比
人教A版数学选修1-1 第二章 2.1椭圆
信息技术应用
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
白银市第一中学 陈彦娟
信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
一、回顾旧知
椭圆的定义： PF1 PF2 2a F1F2 .
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
2018年安徽省第三届微课大赛
联系信箱：XXX
2018年安徽省第三届微课大赛
人教版本数学学科高二年级选修1-1第二章第一节
椭圆及其标准方程
滁州市明光市第二中学 明光市第二中学 郑伟
郑伟
课件、微课名
教学目标
01
人教版本数学学科高二年级选修1-1第二章第一节
理解椭圆的定义
02
能由椭圆定义推导椭圆的方程 明确焦点、焦距的概念
熟练掌握椭圆的标准方程，
03
会根据所给的条件画出椭圆的草 图并确定椭圆的标准方程
2018年安徽省第三届微课大赛 2018年安徽省第三届微课大赛
联系信箱：704531508@
2018年安徽省第三届一师一优课
人教版本数学学科高二年级选修1-1第二章2.1椭圆
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
明光市明光第二中学 郑伟
课件名
知识回顾
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
我们在前面学习了椭圆的哪些知识？ 回顾
求曲线方程的方法步骤
建系 点的轨迹：椭圆
例6 点M（x,y)与定点F（4，0）的距离和它到定直线
l: x 25 的距离的比为 4 ，求点M的轨迹.
4
5
课件名
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
课件名
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
课件名
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
课件名
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
课件名
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
几何画板与椭圆曲线教学整合案例论文
几何画板与椭圆曲线教学整合案例摘要：几何画板是理科教学比较成熟的教育软件平台，为老师和学生提供了一个探索几何图形内在关系的环境，能把比较抽象的几何图形形象化，使静态图形动态化、抽象的概念形象化、枯燥的内容趣味化，促进学生发现、提出、探究和解决问题的能力，提高学生表达、交流及使用信息技术的能力。
关键词：几何画板圆锥曲线整合【案例叙述】圆锥曲线的知识点是高考中的重中之重，考点主要放在圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系和求解轨迹方程等。
同时，圆锥曲线的考查也是高中教学的一个难点，原因是圆锥曲线研究的主要对象是图象与方程之间的关系，我们既可以通过方程来研究图象的性质，又可以通过图象来研究方程。
对于圆锥曲线知识，我们应采用什么样的教学方式，才能让学生学好和掌握这一知识？对于圆锥曲线的教学，老师们都有这样的共识，利用传统教学方式存在以下问题：（1）在讲解过程中，教师只能通过一系列枯燥无味的推导、论证然后给出结论；面对这一系列的推导、证明，学生既难理解，又很容易遗忘。
（2）仅仅利用粉笔和黑板，教师既不能呈现出圆锥曲线的整个生成过程，又很难用数形结合的思想帮助学生从本质上正确、全面、深刻地理解圆锥曲线的相关性质。
（3）面对大量圆锥曲线的作图及知识点的机械验证，教师既费时、费力，又难以用图象的动态模拟去直接验证每一个结论的正确性。
运用几何画板，可以将圆锥曲线的生成过程直观地呈现出来，有利于学生用数形结合的思想进行学习。
同时，也可以让他们观察图形的变化过程，提出猜想，并在老师的指导下给出证明，然后运用几何画板直接验证结论的正确性。
这个过程，一方面可以帮助学生从本质上正确、全面、深刻地理解圆锥曲线的相关性质，体现出了新课改下探究式学习的原则；另一方面又能很好地激发学生的学习兴趣及积极性。
【实例制作及应用】题目：椭圆及其性质课件使用方法：（1）利用课件1，如图（1）所示，双击a=3.00及b=2.00输入椭圆的长半轴及短半轴的值，可以得到我们想要的椭圆，同时也可以看到相应椭圆的离心率及准线方程的值。
信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
导学案：用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆反思【学习目标】（1）理解椭圆的第二定义，体验椭圆的另外几种生成形式；（2）通过渗透数形结合、转化等思想方法培养学生的直观想象能力；（3）培养学生利用信息技术解决数学问题的能力。
【重点难点】：重点：1.体验椭圆的生成过程；理解椭圆的第二定义。
2.培养学生利用信息技术解决数学问题的能力。
难点：培养探索问题、解决问题的核心素养【自主探究】【教材助读】（阅读书本P41/例6, 完成书本P43/B组第2题）B组/ 2、点P与定点F（2,0）的距离和它到定直线x=8的距离的比是1:2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.【疑惑记录】【合作探究】知识探究（一）【动手实验】例1.点P与定点F（2,0）的距离和它到定直线x=8的距离的比是1:2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.【试一试】（小组合作，用几何画板动手实验）思考1、改变定点F的位置，其他的都不变，点P的轨迹还会是椭圆吗？思考2、改变定直线的位置，其他的都不变，点P的轨迹还会是椭圆吗？思考3、比值改变，定点和定直线的位置不变，点P的轨迹还会是椭圆吗？由此，你有什么发现？（请一个小组派代表上台展示小组成果，请其他小组的同学补充）结论1：知识探究（二）【猜想证明】猜想：若动点M ()y x ,和定点F ()0,c 的距离与它到定直线ca x l 2:=的距离的比是常数)0(a c ace <<=，则动点M 的轨迹方程是椭圆. （你能证明你的猜想吗？这个椭圆的长轴长、短轴长、离心率分别是什么？）结论2：定点F ()0,c 是椭圆的一个焦点，直线ca x l 2:=称为相应于焦点F 的准线.相应于焦点F ()0,-c ，椭圆的准线是 .当焦点在y 轴上时，准线方程是知识探究（三）【再体验】任务一：用《几何画板》探究书本P 35/例3点M 的轨迹，并试着改变点A 、B 的位置，乘积的大小、符号，思考满足点M 的轨迹是椭圆的条件.任务二：用《几何画板》探究书本P 34/例2点M 的轨迹，完成书本P 43/B 组第1题.【归纳反思】谈谈本节课你的收获（基本知识、基本方法、数学思想）.【课堂延伸】1、椭圆的第二定义中，如果比值大于1，轨迹会发生变化吗？为什么？2、书本P 35/例3中，若乘积的符号发生改变，点M 的轨迹又会发生怎样的变化呢？反思。
几何画板制作椭圆教案
几何画板制作椭圆教案教案标题：几何画板制作椭圆教学目标：1. 了解椭圆的定义和性质。
2. 学习使用简易工具制作椭圆。
3. 掌握椭圆的基本绘制方法。
教学准备：1. 准备一块大白纸板作为画板。
2. 准备一根针、一根细线、一支铅笔和一个固定点。
教学过程：引入活动：1. 向学生展示一张椭圆的图片，并询问学生对椭圆的了解程度。
2. 引导学生思考椭圆的定义和性质，例如：椭圆是一个平面上到两个焦点的距离之和等于常数的点的集合。
步骤一：制作椭圆的简易工具1. 向学生展示一根针和一根细线，并解释它们的作用。
2. 将细线的一端系在针的尖端，另一端系在固定点上。
3. 将针插入白纸板上的一个点，使细线保持紧绷状态。
步骤二：绘制椭圆1. 将铅笔握住，使其与细线的张力保持垂直。
2. 保持细线的张力不变，用铅笔沿着细线的张力方向移动，同时绕着固定点画出一个闭合曲线。
3. 继续移动铅笔，绘制出整个椭圆。
步骤三：椭圆的性质1. 解释椭圆的性质，如两个焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数。
2. 引导学生观察和探究椭圆的其他性质，如长轴、短轴、焦距等。
总结：1. 回顾椭圆的定义和性质。
2. 强调学生通过制作简易工具和绘制椭圆的实践活动，加深对椭圆的理解和记忆。
3. 鼓励学生在日常生活中观察和应用椭圆的知识。
拓展活动：1. 学生可以尝试使用其他方法制作椭圆，如使用两个针和两根细线的方法。
2. 学生可以进一步研究椭圆的性质，如离心率和焦半径的计算等。
评估方式：1. 观察学生在制作椭圆过程中的操作是否正确。
2. 提问学生关于椭圆的定义和性质的问题，检查他们的理解程度。
3. 可以布置一道绘制椭圆的作业题目，以检验学生对椭圆的掌握情况。
教学反思：1. 在制作椭圆的过程中，需要确保细线保持紧绷状态，否则绘制出的图形可能会失真。
2. 需要提前准备好足够数量的针和细线，以便每个学生都能参与到实践活动中。
3. 在教学过程中，要注重引导学生观察和思考，培养他们的探究能力和创造力。
变式——实验——探究——利用几何画板探究椭圆性质的一个案例
结论 １ 已知椭 圆 ｘ 十 Ｚ ２ ｙ．
＝
１。＞６ ） （ ＞０，
椭圆上 的任意一点， 直线Ｐ ＰＢ分别与 Ｘ 、 轴交
Ａ Ｂ和Ｃ Ｄ是椭圆的过定点Ｎ（ ０ （ ｔ＜ａ ｔ ）０＜１ ， Ｉ ）
且关于 ｘ 轴对称的两条 弦， 则直线 Ａ Ｃ和 ＢＤ 的
于点 Ｍ 、 则 Ｘ ・ Ｎ＝ ａ ． Ⅳ， Ｍ Ｘ 这是 ２ １ 学年第 ００
直线 ＢＤ ： ｘ ｏ ｂ ｓ ｃ
：
＋。 ｎ
２上 的交 点在直线 ： ａ ＿
．
．
曲 ｃｓ 。
．
当点Ａ、 Ｃ和 、 Ｄ分别重合时， Ｃ、 Ａ ＢＤ变
两 条 盲 线 交 ． 的槽 坐 标 为 点
ｃ 。ｓ
ｆ ）
为椭 圆的切线， 于是有
ｆ ）
ｎｓ ｎ ｉ
ｂ ｃｓ ｘ ｏ
．
ｓ ｉ ｎ
当其中的一条弦变为椭圆的长轴时， 们有 我 结论 ２ 已知椭 圆 Ｘ ２ ． ２ ２＋ ｙ １（ 。＞６＞ ０ Ｄ
：
０ 的左、 ） 右顶点分别为 、 ＣＤ是椭 圆过定点 Ｂ，
Ｎ（ ０ （ ｔ＜ａ 一条弦， ｔ ） ０＜Ｉ ， Ｉ ） 则直线 Ｃ 、ＢＤ
一
学期徐汇区高三年级诊 断试题． 信 息技术 的使用为我 们更深入探究数学 问
交 为 点（ ，１ 点 定 ０．
特别地， 当定点 Ⅳ 变为椭 圆的焦点 Ｆ（ ０ ｃ） ，
题提供 了可能， 本文利用几何画板对该问题进行
变式、 实验、探究．
．
时直 和 Ｄ 交 为 点 等０ ，线 Ｂ 的 点 定 Ｍ（ ，． ）
参考文献 ［ １ ］黄东坡．数学培优竞赛新方案 （ 八年级） ［ Ｉ Ｍ１武汉： 湖北人民出版社， ０９ ２０． ［ 何淑平． １ ２ 】 ３ 届西班牙数学奥林匹克竞赛 ［ 安振平． ５ ］ 一道西班牙数学竞赛题的探究 ［． Ｊ 中学生数学，０８８： ６ ］ ２０ （） ２． ［ ６ ］张国治． 西班牙数学竞赛一题推广的另 证 ［． Ｊ 中学生数学，０９３： ６ ］ ２０ （） ２．
人教A版高中数学选修1-1《二章 圆锥曲线与方程 2.1 椭圆 信息技术应用 用 《几何画板》》优质课教案_6
专题七数学思想方法教书用书文第1讲函数与方程思想、数形结合思想考查；数形结合思想一般在填空题中考查.1.函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法.2.函数与方程的思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要.(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.3.数形结合是一种数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：①借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；②借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.4.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合.热点一函数与方程思想的应用[微题型1] 不等式问题中的函数(方程)法【例1－1】 (1)f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1，1]，总有f(x)≥0成立，则a＝________.(2)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )＜0的解集是________. 解析 (1)若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立； 当x ＞0即x ∈(0，1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3（1－2x ）x4， 所以g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a ≥4. 当x ＜0即x ∈[－1，0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，设g (x )＝3x 2－1x3，且g (x )在区间[－1，0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4， 从而a ≤4，综上a ＝4.(2)设F (x )＝f (x )g (x )，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，得F (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )g (x )＝－F (x )，即F (x )在R 上为奇函数.又当x ＜0时，F ′(x )＝f ′(x )·g (x )＋f (x )g ′(x )＞0， 所以x ＜0时，F (x )为增函数.因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x ＞0时，F (x )也是增函数. 因为F (－3)＝f (－3)g (－3)＝0＝－F (3).所以，由图可知F (x )＜0的解集是(－∞，－3)∪(0，3). 答案 (1)4 (2)(－∞，－3)∪(0，3)探究提高 (1)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；(2)函数f (x )＞0或f (x )＜0恒成立，一般可转化为f (x )min ＞0或f (x )max ＜0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解. [微题型2] 数列问题的函数(方程)法【例1－2】 已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋p ·3n(n ∈N *，p 为常数)，a 1，a 2＋6，a 3成等差数列.(1)求p 的值及数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n ＝n 2a n ，证明：b n ≤49.(1)解 由a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋p ·3n， 得a 2＝3＋3p ，a 3＝a 2＋9p ＝3＋12p . 因为a 1，a 2＋6，a 3成等差数列， 所以a 1＋a 3＝2(a 2＋6)，即3＋3＋12p ＝2(3＋3p ＋6)， 得p ＝2，依题意知，a n ＋1＝a n ＋2×3n. 当n ≥2时，a 2－a 1＝2×31，a 3－a 2＝2×32，…， a n －a n －1＝2×3n －1.将以上式子相加得a n －a 1＝2(31＋32＋…＋3n －1)，所以a n －a 1＝2×3×（1－3n －1）1－3＝3n－3，所以a n ＝3n(n ≥2).又a 1＝3符合上式，故a n ＝3n. (2)证明 因为a n ＝3n，所以b n ＝n 23n .所以b n ＋1－b n ＝（n ＋1）23n ＋1－n 23n ＝－2n 2＋2n ＋13n ＋1(n ∈N *)， 若－2n 2＋2n ＋1＜0，则n ＞1＋32， 即当n ≥2时，有b n ＋1＜b n ， 又因为b 1＝13，b 2＝49，故b n ≤49.探究提高 数列最值问题中应用函数与方程思想的常见类型：(1)数列中的恒成立问题，转化为最值问题，利用函数的单调性或不等式求解.(2)数列中的最大项与最小项问题，利用函数的有关性质或不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1求解.(3)数列中前n 项和的最值：转化为二次函数，借助二次函数的单调性或求使a n ≥0(a n ≤0)成立时最大的n 值即可求解.[微题型3] 解析几何问题的方程(函数)法【例1－3】 设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点. (1)若ED →＝6DF →，求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值.解 (1)依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0).如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2，且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k2.①由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)， 得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2； 由D 在AB 上知x 0＋2kx 0＝2， 得x 0＝21＋2k.所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简得24k 2－25k ＋6＝0， 解得k ＝23或k ＝38.(2)根据点到直线的距离公式和①式知，点E ，F 到AB 的距离分别为 h 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝2（1＋2k ＋1＋4k 2）5（1＋4k 2）， h 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝2（1＋2k －1＋4k 2）5（1＋4k 2）. 又AB ＝22＋12＝5， 所以四边形AEBF 的面积为S ＝12·AB ·(h 1＋h 2)＝12·5·4（1＋2k ）5（1＋4k 2）＝2（1＋2k ）1＋4k 2＝21＋4k 2＋4k1＋4k2≤22， 当4k 2＝1(k ＞0)，即当k ＝12时，上式取等号.所以S 的最大值为2 2.即四边形AEBF 面积的最大值为2 2.探究提高 解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决. 热点二 数形结合思想的应用[微题型1] 利用数形结合思想讨论方程的根或函数零点【例2－1】 (1)若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________.(2)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的零点个数为________.解析 (1)由f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点， 可得|2x－2|＝b 有两个不等的实根，从而可得函数y ＝|2x－2|的图象与函数y ＝b 的图象有两个交点，如图所示.结合函数的图象，可得0＜b ＜2，故填(0，2).(2)根据题意，函数y ＝f (x )是周期为2的偶函数且0≤x ≤1时，f (x )＝x 3，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x 3，且g (x )＝|x cos(πx )|，所以当x ＝0时，f (x )＝g (x ).当x ≠0时，若0<x ≤12，则x 3＝x cos(πx )，即x 2＝cos πx .再根据函数性质画出⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的图象，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有5个根.所以总共有6个.答案 (1)(0，2) (2)6探究提高 用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数. [微题型2] 利用数形结合思想解不等式或求参数范围【例2－2】 (1)若不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝________.(2)若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________.解析 (1)如图，分别作出直线y ＝k (x ＋2)－2与半圆y ＝9－x 2.由题意，知直线在半圆的上方，由b －a ＝2，可知b ＝3，a ＝1，所以直线y ＝k (x ＋2)－2过点(1，22)，则k ＝ 2.(2)作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a ≤2－2a ，故a ≤12.答案 (1) 2 (2)⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 探究提高 求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答. [微题型3] 利用数形结合思想求最值【例2－3】 (1)已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值为________. (2)(2015·全国Ⅰ卷)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0，66)，当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________.解析 (1)从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC 的面积S Rt △PAC ＝12PA ·AC＝12PA 越来越大，从而S 四边形PACB 也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形PACB 变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直直线l 时，S 四边形PACB 应有唯一的最小值，此时PC ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3， 从而PA ＝PC 2－AC 2＝2 2.所以(S 四边形PACB )min ＝2×12×PA ×AC ＝2 2.(2)设双曲线的左焦点为F 1，连接PF 1，根据双曲线的定义可知PF ＝2＋PF 1，则△APF 的周长为PA ＋PF ＋AF ＝PA ＋2＋PF 1＋AF ＝PA ＋PF 1＋AF ＋2，由于AF ＋2是定值，要使△APF 的周长最小，则PA ＋PF 1最小，即P ，A ，F 1三点共线，如图所示.由于A (0，66)，F 1(－3，0)， 直线AF 1的方程为：x －3＋y66＝1，即x ＝y26－3，代入双曲线方程整理可得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以点P 的纵坐标为2 6.所以S △APF ＝S △AFF 1－S △PFF 1＝12×6×66－12×6×26＝12 6.答案 (1)2 2 (2)12 6探究提高 破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数形结合的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息加以分析与研究.直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种，一种是通过数形结合建立相应的关系式，另一种是通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论.1.当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想.2.借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解.3.许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量.4.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的.5.有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的.6.利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象.。
高中数学新人教版A版精品教案《信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆》
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆一、设计理念本节是人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程中的椭圆——信息技术应用内容，在教学设计上考虑了以下三点：1、数学学科的教学活动是数学学科素养培养的主要途径；2、解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要思想；3、信息技术与课堂教学的深度融合，以信息技术为手段实现学生“做数学”二、内容分析本节内容在椭圆B组题之后，B组题一共四道题（如图1），都与椭圆的生成有关，所以在本节的处理上，就将B组题与本节课的第二定义相整合，以介绍椭圆的生成方式为线索展开图1三、学情分析我校是天津市一所市重点高中，学生的基础好，反应速度快，对数学学习有较高的兴趣。
并且在初中和直线与圆的位置关系中，学生已经接触到如何建立平面直角坐标系，体会将几何问题转化为数学问题的方法，已经了解到数形结合的数学思想了。
在本章的学习过程中，学生对椭圆的定义的理解和掌握都很好，但是对椭圆的斜率积为定值掌握的不是很好，有部分同学不会推导，有相当部分的同学不理解，还有一些同学不会证明这也是生成椭圆轨迹的依据。
本节为信息技术与数学融合的的一节课，意在以几何画板为媒介，以问题为载体，通过渗透数形结合、转化等思想方法，从形的角度帮助学生理解椭圆的生成方式，并培养学生用信息技术解决问题的能力。
四、学习目标表1五、学习重、难点1、理解斜率积为定值小于零且不等于-1的点的轨迹为椭圆；理解椭圆的第二定义。
2、 培养探索问题、解决问题的核心素养 六、教学过程 导入1、回顾椭圆的定义：我们把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距2、在黑板上画椭圆的方法：取一条定长的细绳，把它的两端拉开一段距离，分别固定在黑板的两点处，套上粉笔，拉紧绳子，移动笔尖，则轨迹是椭圆（如图2）图2问题1：如何根据椭圆的定义在几何画板上画椭圆？方法一：圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是椭圆（见图3）图3证明：||||||||||QA QO QO QP r OA+=+=>，所以Q的轨迹是以O、A为焦点的椭圆，当||OA距离变大时，椭圆变得越来越扁方法二：动圆圆Q 与定圆圆1F 、圆2F （圆1F 与圆2F 相交） 一个内切，一个外切，则动圆圆心Q 的轨迹是椭圆（见图4、5）图4图5证明：设圆1F 的半径为1r ，圆2F 的半径为2r ，圆Q 的半径为r 因为圆1F 和圆2F 相交，所以121212||||r r F F r r -<<+当圆Q 与圆1F 内切，与圆2F 外切时，11||QF r r =- ，22||QF r r =+ ，所以121212||||||QF QF r r F F +=+> ，所以动圆圆心 Q 是以1F 、2F 为焦点的椭圆的左部分；当圆Q 与圆2F 内切，与圆1F 外切时，11||QF r r =+ ，22||QF r r =- ，所以121212||||||QF QF r r F F +=+> ，所以动圆圆心 Q 是以1F 、2F 为焦点的椭圆的右部分；所以综上，动圆圆Q 与 定圆圆1F 、圆2F （圆1F 与圆2F 相交） 一个内切，一个外切，则动圆圆心Q 的轨迹是椭圆 问题2:如何将圆变成椭圆？引例：在圆上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点的M 的轨迹是什么？用几何画板演示（如图6），发现可以将圆压缩为椭圆，而且无论点P 运动到哪个位置，||||DM DP 不变，压缩比不变图6由此启发学生：圆不仅可以压缩为椭圆也可以拉伸成为椭圆，几何画板演示（如图7）图7进一步启发学生，不仅可以纵向压伸，还可以横向压伸（如图8），也可以从其他角度压伸图8问题3：设点1A 、2A 为椭圆的左右顶点，M 为椭圆上任意一点，则12MA MA k k ⋅ 是多少？解：当椭圆的焦点在x 轴上时，设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则1(,0)A a - ，2(,0)A a方法一设椭圆上任意一点(,)M x y ，12222MA MA y y y k k x a x a x a⋅=⋅=+-- 因为点(,)M x y 在椭圆上，则22222222(1)()x b y b a x a a =-=- ，则1222MA MA b k k a⋅=-方法二：由图9图9因为tan k α=（α为倾斜角） 则1221212||||||||||||||MA MAMD MD MD k k A D A D A D A D ⋅=-⋅=-连接1PA 、2PA （如图6），因为点P 在圆上，所以12PA PA ⊥ ，根据射影定理所以212||||||DP A D A D =⋅所以1222||||MA MAMD k k DP ⋅=-，取特殊，当点P 为圆与y 轴的交点时，||DP a = ，||MD b = ，则1222MA MAb k k a⋅=- 同理，当椭圆方程为22221(0)x y a b b a +=>>，则1222MA MA a k k b⋅=-方法二有助于学生理解椭圆的这个性质结论：椭圆上的任意一点和椭圆的左右顶点连线的斜率之积为定值，且该定值小于零，且不等于1-，当椭圆的焦点在x 轴上时，该定值大于1-且小于零时，当椭圆的焦点在y 轴上时，该定值小于1- 问题4：能否借助这个性质作出椭圆？设1(,0)A a - ，2(,0)A a ，动点P 满足12A P A P k k t ⋅= （0t < 且1t ≠- ），证明：点P 的轨迹为椭圆 证明：设点(,)P x y依题意可得12A P A Py yk k t x a x a ⋅=⋅=+-，化简可得点P 的轨迹方程22221x y a ta +=- 1t -> ，即1t <- ，则点P 的轨迹为焦点在y 轴上的椭圆； 01t <-< ，即10t -<< ，则点P 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆几何画板演示（如图10）：作矩形，使矩形各边的中点在坐标轴上，D 、C 分别为线段OE ，BE 上的点，且满足||||||||OD BC OE BE λ== ，连接1A D 、2A C ，则1A D 与2A C 的交点P 的轨迹为椭圆图10解释：设矩形的长为2a ，宽为2b （a b ≠ ） ，依题意，可知1(,0)A a - ，(0,)D b λ ，2(,0)A a ，(,)C a a b λ- ，则1A P bk aλ=，2A P b k aλ=- ，则1222A P A Pb k k a⋅=- 问题5：点(,)M x y 与定点)0,2(F 的距离和它到定直线8=x 的距离的比是1:2，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形解：由题意||12MF d = 12= ，整理得2211612x y += ，点M 的轨迹是以F 为焦点，离心率为12的椭圆其中4a =，b =2c =，12e =，(2,0)F ±启发学生给一个定点、定直线和比值能不能画出椭圆，并且定点、定直线、比值分别是什么？问题6：已知定点F ，直线l ，F l ∉ ，动点M 满足||MF d为常数（(0,1)∈ ），则点M的轨迹为椭圆几何画板演示（图11）图11通过观察发现，由定点、定直线、比值可以画出椭圆，并且定点在椭圆内，定直线在椭圆外借助直角坐标系（图12），如果定点是焦点、比值是离心率，哪定直线方程是什么？图12学生探究：取特殊点椭圆的右顶点A ，设定直线方程为x m =，依题意，||AF cd a=， 即a c cm a a -=-，得2a m c =，所以定直线方程是2a x c= 问题7：若点(,)M x y 与定点(,0)F c 的距离和它到定直线2:a l x c= 的距离的比是常数ca（0a c >> ），则点M 的轨迹是一个椭圆 证明：设(,)M x y依题意||MF cd a =||c ax c =- ，经整理得222221x y a a c +=- ，令222a c b -= ，所以点M 的轨迹方程为22221(0)x y a b a b+=>>结论：若点(,)M x y 与定点(,0)F c 的距离和它到定直线2:a l x c = 的距离的比是常数ca（0a c >> ），则点M 的轨迹是一个椭圆定点(,0)F c 是椭圆的一个焦点，直线2:a l x c=称为相应于焦点F 的准线由椭圆的对称性，相应于焦点'(,0)F c - ，椭圆的准线是2':a l x c=-当椭圆的焦点在y 轴时，准线方程即为2a y c=± ，我们又得到了生成椭圆的一种方式 总结椭圆的四种生成方式： 1、 椭圆的定义；2、 将圆压缩或拉伸变成椭圆；3、 斜率积为定值小于零且不等于-1的点 的轨迹为椭圆；4、椭圆的第二定义课堂延伸1、 当点A 在圆外时，点Q 的轨迹是什么？为什么？2、当定圆F与圆2F相离时，动圆圆心Q的轨迹是什么？为什么？1如果动圆圆Q与两个定圆都相切，则轨迹又是什么？为什么？3、如果比值大于1，轨迹会发生变化吗？为什么？。
运用几何画板绘制椭圆的有效方法
在圆锥曲线中，曲线上的点到定点的距离与到定直线的距离的商是常数e，且0<e<1时为椭圆。
椭圆教学是中学数学教学中的重点和难点，椭圆的知识和图像都极为抽象，学生很难理解。
不仅如此，有些教师在绘制椭圆图形时也会感到困难，并且准确性不够。
而运用几何画板软件画出的椭圆既准确又美观，还能增加教学的趣味性，引发学生的学习兴趣，可以让学生轻松、直观地观察并理解椭圆的定义及其性质，从而收到很好的教学效果。
几何画板以点、线、圆作为基础图形，对这些基础图形进行拼接、平移、变换、度量、构造、轨迹追踪以及对基本图形的性质进行运用。
学生可以在此过程中探究图形的内在关系并发现数学的本质，探究数学的奥妙和趣味性，激发学习数学的兴趣。
笔者结合自身教学经验，在总结、归纳、提炼和创新的基础上整理出七种常用的运用几何画板绘制椭圆的方法，分享如下：一、定义法定义法的原理是圆锥曲线的统一定义，即焦点距离与到准线距离的商是定值的点的轨迹。
椭圆的定义，即平面内一个动点到两个定点的距离之和等于常数，这个动点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。
绘制的具体步骤为：打开软件，新建文件，在绘画板内画线段AB 的同时在AB 上绘制出C 点，然后在AB 外选取D 、E 两点，满足DE >AB ；选中A 、C 两点进行标记向量，然后通过标记向量将D 平移，得到D ；选中D 和D 点，绘制出一个以D 为圆心，以D 和D 间距离为半径的圆并且隐藏；同理，标记B 、C 两个点为标记向量，并且作出E 的平移点到E 点，构造出圆，隐藏E 点；运用点工具做出两个圆周交点为F 、G 两点。
接下来分两种方法研究。
分别选中F 、C 和G 、C 两组点进行构造轨迹绘制出椭圆曲线，如图1所示。
图2定义法动态绘制椭圆点击F 点，点击显示、追踪交点，同理操作G 点；点击C 点，选择操作类按钮、动画、确定，完成设置；点击绘画板上的动画键，绘画板就绘制出一个椭圆，如图2所示。
变式-实验-探究——利用几何画板探究椭圆性质的一个案例
变式-实验-探究——利用几何画板探究椭圆性质的一个案例张忠旺
【期刊名称】《数学教学》
【年(卷),期】2012(000)002
【摘要】问题已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0),点A、B是椭圆上关于长轴
对称的两点,点P是椭圆上的任意一点,直线PA、PB分别与x轴交于点M、N,则xM·xN=a2.这是2010学年第一学期徐汇区高三年级诊断试题.信息技术的使用为
我们更深入探究数学问题提供了可能,本文利用几何画板对该问题进行变式、实验、探究.
【总页数】5页(P18-21,封4)
【作者】张忠旺
【作者单位】201600 上海市松江二中
【正文语种】中文
【相关文献】
1.关注参与性探究细节,促进学生思维发展——“椭圆中的一组性质探究”案例分
析 [J], 董荣森
2.利用《几何画板》探究一次函数的图象及其性质的实验设计与思考 [J], 王宗信
3.探究抛物线的焦点弦性质——一堂利用《几何画板》进行课堂整合的案例 [J],
陈荣
4.关注参与性探究细节，促进学生思维发展——“椭圆中的一组性质探究”案例分析 [J], 董荣森
5.历经三重境界探究椭圆性质的一个案例 [J], 任伟芳;江一鸣
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几何画板与椭圆曲线教学整合案例
发表时间：2013-11-12T15:09:22.670Z 来源：《素质教育》2013年8月总第128期供稿作者：方奎李玲仙[导读] 运用几何画板，可以将圆锥曲线的生成过程直观地呈现出来，有利于学生用数形结合的思想进行学习。
方奎李玲仙摘要：几何画板是理科教学比较成熟的教育软件平台，为老师和学生提供了一个探索几何图形内在关系的环境，能把比较抽象的几何图形形象化，使静态图形动态化、抽象的概念形象化、枯燥的内容趣味化，促进学生发现、提出、探究和解决问题的能力，提高学生表达、交流及使用信息技术的能力。
关键词：几何画板圆锥曲线整合【案例叙述】圆锥曲线的知识点是高考中的重中之重,考点主要放在圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系和求解轨迹方程等。
同时，圆锥曲线的考查也是高中教学的一个难点，原因是圆锥曲线研究的主要对象是图象与方程之间的关系，我们既可以通过方程来研究图象的性质，又可以通过图象来研究方程。
对于圆锥曲线知识，我们应采用什么样的教学方式，才能让学生学好和掌握这一知识？
对于圆锥曲线的教学，老师们都有这样的共识，利用传统教学方式存在以下问题： (1)在讲解过程中，教师只能通过一系列枯燥无味的推导、论证然后给出结论；面对这一系列的推导、证明，学生既难理解，又很容易遗忘。
(2)仅仅利用粉笔和黑板，教师既不能呈现出圆锥曲线的整个生成过程，又很难用数形结合的思想帮助学生从本质上正确、全面、深刻地理解圆锥曲线的相关性质。
(3)面对大量圆锥曲线的作图及知识点的机械验证，教师既费时、费力，又难以用图象的动态模拟去直接验证每一个结论的正确性。
运用几何画板，可以将圆锥曲线的生成过程直观地呈现出来，有利于学生用数形结合的思想进行学习。
同时，也可以让他们观察图形的变化过程，提出猜想，并在老师的指导下给出证明，然后运用几何画板直接验证结论的正确性。
这个过程，一方面可以帮助学生从本质上正确、全面、深刻地理解圆锥曲线的相关性质，体现出了新课改下探究式学习的原则；另一方面又能很好地激发学生的学习兴趣及积极
性。
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