1999年高考数学试题及答案(全国理)

1999年全国高考上海卷数学(理工农医类)试题及答案

1999年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共14小题；第1～10题每小题4分，第11～14题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 ( )(A) （M ∩P ）∩S (B) （M ∩P ）∪S (C) （M ∩P ）∩S(D) （M ∩P ）∪S2.已知映射f ：B A →，其中，集合{},4,3,2,1,1,2,3---=A 集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象，且对任意的,A a ∈在B 中和它对应的元素是a ，则集合B 中元素的个数是( )(A) 4(B) 5(C) 6(D) 73. 若函数()x f y =的反函数是()()0,,≠==ab b a f x g y ，则()b g 等于 ( ) (A) a(B) 1-a(C) b(D) 1-b4.函数()()()0s i n >+=ωϕωx M x f 在区间[]b a ,上是增函数，且()(),,M b f M x f =-=则函数()()ϕω+=x M x g cos 在[]b a ,上( )(A) 是增函数(B) 是减函数(C) 可以取得最大值M(D) 可以取得最小值M -5.若()x x f sin 是周期为π的奇函数，则()x f 可以是( )(A) x sin (B) x cos (C) x 2sin (D) x 2cos6.在极坐标系中，曲线⎪⎭⎫⎝⎛-=3sin 4πθρ关于 ( )(A) 直线3πθ=轴对称(B) 直线πθ65=轴对称 (C) 点⎪⎭⎫⎝⎛3,2π中心对称(D) 极点中心对称7.若干毫升水倒入底面半径为cm 2的圆柱形器皿中，量得水面的高度为cm 6，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是( )(A) cm 36 (B) cm 6(C) cm 3182(D) cm 31238.若(),32443322104x a x a x a x a a x ++++=+则()()2312420a a a a a +-++的值为( )(A) 1(B) －1(C) 0(D) 29.直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为 ( )(A)6π (B)4π (C)3π (D)2π 10.如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF 23=，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为( )(A)29 (B) 5 (C) 6 (D)215 11.若,22sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<->>παπαααctg tg 则∈α( )(A) ⎪⎭⎫⎝⎛--4,2ππ (B) ⎪⎭⎫⎝⎛-0,4π (C) ⎪⎭⎫⎝⎛4,0π (D) ⎪⎭⎫⎝⎛2,4ππ 12.如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R =( )(A) 10(B) 15(C) 20(D) 2513.已知两点,45,4,45,1⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛N M 给出下列曲线方程：①0124=-+y x ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足|MP |=|NP |的所有曲线方程是 ( )(A) ①③(B) ②④(C) ①②③(D) ②③④14.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( )(A) 5种(B) 6种(C) 7种(D) 8种第II 卷（非选择题共90分）二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.15.设椭圆()012222>>=+b a by a x 的右焦点为1F ，右准线为1l ，若过1F 且垂直于x 轴的弦长等于点1F 到1l 的距离，则椭圆的率心率是_____16.在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A 、B 两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有___________种（用数字作答）17.若正数a 、b 满足,3++=b a ab 则ab 的取值范围是______________18.α、β 是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β 之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n②α⊥β③n ⊥β④m ⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．命题：________________________________三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.（本小题满分10分）解不等式()1,01log 22log 3≠>-<-a a x x a a20.（本小题满分12分）设复数.sin 2cos 3θθ⋅+=i z 求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=20arg πθθz y 的最大值以及对应的θ值.21.（本小题满分12分）如图，已知正四棱柱1111D C B A ABCD -，点E 在棱D D 1上，截面EAC ∥B D 1，且面EAC 与底面ABCD 所成的角为.,45a AB =Ⅰ.求截面EAC 的面积；Ⅱ.求异面直线11B A 与AC 之间的距离； Ⅲ.求三棱锥EAC B -1的体积. 22.（本小题满分12分）右图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.Ⅰ.输入带钢的厚度为α，输出带钢的厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过0r .问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？（一对轧辊减薄率输入该对的带钢厚度从该对输出的带钢厚度输入该对的带钢厚度-=）Ⅱ.已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600.mm 若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为.k L 为了便于检修，请计算1L 、2L 、3L 并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）.23.（本小题满分14分）已知函数()x f y =的图像是自原点出发的一条折线，当(),2,1,01=+≤≤n n y n时，该图像是斜率为nb 的线段（其中正常数1≠b ），设数列n x 由()(),2,1==n n x f n 定义.Ⅰ.求1x 、2x 和n x 的表达式；Ⅱ.求()x f 的表达式，并写出其定义域；Ⅲ.证明：()x f y =的图像与x y =的图像没有横坐标大于1的交点. 24.（本小题满分14分）如图，给出定点()()00,>a a A 和直线B x l .1:-=是直线l 上的动点，BOA ∠的角平分线交AB 于点C .求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.1999年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答一、选择题（本题考查基础知识和基础运算）.1. C2. A3. A4. C5. B6. B7. B8. A9. C10. D 11.B12. D13.D14. C二、填空题（本题考查基本知识和基本运算）.15.2116. 12 17. [)+∞,9 18. n m n m ⊥⇒⊥⊥⊥βαβα,,或βαβα⊥⇒⊥⊥⊥n m n m ,,三、解答题19. 本小题主要考查对数函数的性质、对数不等式、无理不等式解法等基础知识，考查分类讨论的思想.解：原不等式等价于()⎪⎩⎪⎨⎧>--<-≥-.01log 2,1log 22log 3,02log 32x x x x a a a a 由①得,32log ≥x a 由②得,43log <x a 或1log >x a ，由③得.21log >x a由此得,43log 32<≤x a 或.1log >x a当1>a 时得所求的解是{}a x x a x a x >⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤||4332 ；当10<<a 时得所求的解是① ② ③{}.0||3243a x x a x a x <<⋃⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤< 20.本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力.解：由20πθ<<得.0>θtg由θθsin 2cos 3i z +=得2arg 0π<<z 及().32cos 3sin 2arg θθθtg tg ==z故 ()z y arg -=θtg tgθθθ232132tg tg tg +-= ,231θθtg tg +=因为,6223≥+θθtg tg 所以.126231≤+θθtg tg 当且仅当⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=2023πθθθtg tg 时，即26=θtg 时，上式取等号. 所以当26arctg=θ时，函数y tg 取得最大值.126由z y arg -=θ得.2,2⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈ππy 由于在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内正切函数是递增函数，函数y也取最大值.126arctg21.本小题主要考查空间线面关系、二面角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力.Ⅰ. 解：如图，连结BD 交AC 于O ，连结EO 因为底面ABCD 是正方形，所以DO ⊥AC又因为ED ⊥底面AC ，因为EO ⊥AC所以∠EOD 是面EAC 与底面AC 所成二面角的平面角. 所以， 45=∠EOD.45sec 22,2,22a a EO a AC a DO =⋅===故.222a S EAC =∆ II. 解：由题设1111D C B A ABCD -是正四棱柱，得A A 1⊥底面AC ，A A 1⊥AC ，又A A 1⊥,11B A所以A A 1是异面直线11B A 与AC 间的公垂线. 因为11B D ∥面EAC ，且面BD D 1与面EAC 交线为EO 所以11B D ∥EO 又O 是DB 的中点，所以E 是D D 1的中点，11B D =2EO =2a 所以D D 1.2221a DB B D =-=异面直线11B A 与AC 间的距离为.2a Ⅲ. 解法一：如图，连结11B D 因为D D 1=DB =.2a 所以11B BDD 是正方形，连结D B 1交B D 1于P ，交EO 于Q 因为D B 1⊥B D 1，EO ∥B D 1，所以D B 1⊥EO 又AC ⊥EO ，AC ⊥ED 所以AC ⊥面11B BDD ，所以D B 1⊥AC ，所以D B 1⊥面EAC .所以Q B 1是三棱锥EAC B -1的高. 由DQ =PQ ，得.234311a D B Q B == 所以.42232231321a a a V EAC B =⋅⋅=- 所以三棱锥EAC B -1的体积是.423a 解法二：连结O B 1，则112EO B A EAC B V V --= 因为AO ⊥面11B BDD ，所以AO 是三棱锥1EOB A -的高，AO .22a =在正方形11B BDD 中，E 、O 分别是D D 1、DB 的中点（如右图），则.4321a S EOB =∆ ∴.422243312321a a a V EAC B =⋅⋅⋅=- 所以三棱锥EAC B -1的体积是.423a 22. 本小题主要考查等比数列、对数计算等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决实际问题的能力.Ⅰ.解：厚度为α的带钢经过减薄率均为0r 的n 对轧辊后厚度为().10nr a -为使输出带钢的厚度不超过β，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应满足()β≤-nr a 01即().10ar nβ≤- 由于(),0,010>>-ar nβ对比上式两端取对数，得().lg1lg 0ar n β≤-由于(),01lg 0<-r 所以().1lg lg lg 0r an --≥β因此，至少需要安装不小于()01lg lg lg r a--β的整数对轧辊.Ⅱ. 解法一：第k 对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积为()⋅-⋅kr a 11600宽度(),%20=r 其中而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为()⋅-⋅41r a L k 宽度.因宽度相等，且无损耗，由体积相等得()=-⋅kr a 11600()41r a L k -⋅ (),%20=r即.8.016004-⋅=k k L由此得(),20003mm L = (),25002mm L = ()mm L 31251= 填表如下轧锟序号k1234疵点间距k L （单位：mm ）3125 2500 2000 1600解法二：第3对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有(),2.0116003-⋅=L所以().20008.016003mm L == 同理(),25008.032mm LL ==().31258.021mm LL ==填表如下轧锟序号k1 2 3 4 疵点间距k L （单位：mm ）312525002000160023.本小题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综合的能力.Ⅰ.解：依题意()00=f ，又由()11=x f ，当10≤≤y 时，函数()x f y =的图像是斜率为10=b 的线段，故由()()10011=--x f x f 得.11=x又由()22=x f ，当21≤≤y 时，函数()x f y =的图像是斜率为b 的线段，故由()()b x x x f x f =--1212，即b x x 112=-得.112b x += 记.00=x 由函数()x f y =图像中第n 段线段的斜率为1-n b，故得()().111---=--n n n n n b x x x f x f 又()()1,1-==-n x f n x f n n ；所以 .2,1,111=⎪⎭⎫ ⎝⎛=---n b x x n n n由此知数列{}1--n n x x 为等比数列，其首项为1，公比为.1b因,1≠b 得(),111111111-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=-=--=-∑b b b b b x x x n n nk k k n即.111-⎪⎭⎫⎝⎛-=-b b b x n nⅡ. 解：当10≤≤y ，从Ⅰ可知,x y =当10≤≤x 时，().x x f = 当1+≤≤n y n 时，即当1+≤≤n n x x x 时，由Ⅰ可知()()().3,2,1,1 =≤≤-+=+n x x x x x b n x f n n n n为求函数()x f 的定义域，须对() ,3,2,1111=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-n b b b x n n 进行讨论.当1>b 时，111limlim 1-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∞→∞→b bb b b x n n n n ；当10<b 时，()x f y =的定义域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,0b b ；当10<b ，11-<成立. 用数学归纳法证明：（ⅰ）由Ⅱ知当1=n 时,在(]2,1x 上, ()(),11-+==x b x f y 所以()()()011>--=-b x x x f 成立（ⅱ）假设k n =时在(]1,+k k x x 上恒有()x x f >成立. 可得 (),111++>+=k k x k x f在(]21,++k k x x 上,()().111++-++=k k x x b k x f 所以 ()()x x x b k x x f k k --++=-++111()()()011111>-++--=+++k k k x k x x b 也成立.由(ⅰ)与(ⅱ)知,对所有自然数n 在(]1,+n n x x 上都有()x x f >成立. 即 11-<. 其次，当1x 时,恒有()x x f <成立. 故函数()x f y =的图像与x y =的图像没有横坐标大于1的交点. 证法二:首先证明当1>b ,11-<成立. 对任意的,1,1⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈b b x 存在n x ,使1+≤<n n x x x ，此时有()()()(),10≥->-=-n x x x x b x f x f n n n所以()().n n x x f x x f ->- 又(),1111n n n x bb n x f =+++>=- 所以()0>-n n x x f ，所以()()0>->-n n x x f x x f ，即有()x x f >成立.其次，当1x 时，恒有()x x f <成立. 故函数()x f 的图像与x y =的图像没有横坐标大于1的交点.24. 本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力.解法一：依题意，记()(),,1R ∈-b b B 则直线OA 和OB 的方程分别为0=y 和.bx y -=设点()y x C ,，则有a x <≤0，由OC 平分∠AOB ，知点C 到OA 、OB 距离相等.根据点到直线的距离公式得.12bbx y y ++=①依题设，点C 在直线AB 上，故有().1a x aby -+-= 由0≠-a x ，得().1ax y a b -+-= ②将②式代入①式得()()(),11122222⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++a x xy a y a x y a y 整理得()()[].0121222=++--y a ax x a y 若0≠y ，则()()()a x y a ax x a <<=++--0012122；若0=y ，则π=∠=AOB b ,0，点C 的坐标为（0，0），满足上式. 综上得点C 的轨迹方程为()()()a x y a ax x a <≤=++--0012122（ⅰ）当1=a 时，轨迹方程化为().102<≤=x x y ③此时，方程③表示抛物线弧段；（ⅱ）当1≠a 时，轨迹方程化为()a x a a y a a a a x <≤=-+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--0111122222④ 所以，当10<<a 时，方程④表示椭圆弧段；当1>a 时，方程④表示双曲线一支的弧段.解法二：如图，设D 是l 与x 轴的交点，过点C 作CE ⊥x 轴，E 是垂足. （ⅰ）当| BD |≠0时，设点C （x ，y ），则.0,0≠<<y a x由CE ∥BD 得().1a xa y EADA CE BD +-=⋅=因为∠COA =∠COB=∠COD －∠BOD =π－∠COA －∠BOD ，所以2∠COA =π－∠BOD 所以(),1222COACOACOA ∠-∠=∠tg tg tg()BOD BOD ∠-=∠-tg tg π因为,xy COA =∠tg().1a xa y ODBD BOD +-==∠tg所以(),11222a x a y xy x y+--=-⋅整理得()()().0012122a x y a ax x a <<=++--（ⅱ）当| BD | = 0时，∠BOA =π，则点C 的坐标为（0，0），满足上式. 综合（ⅰ），（ⅱ），得点C 的轨迹方程为()()().0012122a x y a ax x a <≤=++--以下同解法一.。

1999年高考数学试题及答案(全国理) - 副本

1999年普通高等学校招生全国统一考试一选择题：本大题共14小题；第（1）—（10）题每小题4分，第（11）—（14）题每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）如图，I 是全集，M 、P 、S 是I3个子集，则阴影部分所表示的集合是（A ）（M ∩P ）∩S（B ）（M ∩P ）∪S（C ）（M ∩P ）∩S（D ）（M ∩P ）∪S（2）已知映射f ：B A →，其中，集合{},4,3,2,1,1,2,3---=A射f 下的象，且对任意的,A a ∈在B （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（3）若函数()x f y =的反函数是()()0,,≠==ab b a f x g y ，则()b g 等于（A ）a （B ）1-a （C ）b （D ）1-b（4）函数()()()0sin >+=ωϕωx M x f 在区间[]b a ,上是增函数，且 ()(),,M b f M x f =-=则函数()()ϕω+=x M x g cos在[]b a ,上（A ）是增函数（B ）是减函数（C ）可以取得最大值M （D ）可以取得最小值M -（5）若()x x f sin 是周期为π的奇函数，则()x f 可以是（A ）x sin （B ）x cos （C ）x 2sin （D ）x 2cos（6）在极坐标系中，曲线⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin 4πθρ关于（A ）直线3πθ=轴对称（B ）直线πθ65=轴对称（C ）点⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2π中心对称（D ）极点中心对称（7）若干毫升水倒入底面半径为cm 2的圆柱形器皿中，量得水面的高度为cm 6，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（A ）cm 36 （B ）cm 6 （C ）cm 3182 （D ）cm 3123（8）若(),323322104x a x a x a a x +++=+则()()2312420a a a a a +-++的值为（A ）1 （B ）1- （C ）0 （D ）2（9）直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为（A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）2π（10）如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF 23=，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为（A ）29 （B ）5 （C ）6 （D ）215 （11）若,22sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<->>παπαααctg tg 则∈α （A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛--4,2ππ （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,4π （C ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛4,0π （D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛2,4ππ （12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R=（A ）10 （B ）15 （C ）20 （D ）25（13）已知两点,45,4,45,1⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛N M 给出下列曲线方程： ①0124=-+y x ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④（14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（A ）5种（B ）6种（C ）7种（D ）8种二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

1999年全国统一高考数学试卷(理科)及其参考考答案

1999年全国统一高考数学试卷（理科）及其参考考答案本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3至8。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷（选择题共60分）注意事项：l ．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型（A 或B ）用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后。

再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束。

监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：三角函数的积化和差公式[]1sin cos sin()sin()2αβαβαβ=++- []1cos sin sin()sin()2αβαβαβ=+--[]1cos cos cos()cos()2αβαβαβ=++-正棱台、圆台的侧面积公式：1()2S c c l ='+台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长．球的体积公式：343V r π=球，其中R 表示球的半径．台体的体积公式：h S S S S V )31'++=‘台体（，其中'S ，S 分别表示上下底面积，h表示高。

一、选择题：本大题共14小题；第1—10题每小题4分，第11—14题每小题5分，共60分在每小题给出的四个选顶中，只有一顶是符合题目要求的。

（1）如图,I 是全集,M 、P 、S 、是I 的3个子集，由阴影部分所表示的集合是 ( )（A ）)(N M ⋂S ⋂ （B ）S P M ⋃⋂)(（C ）S P M ⋂⋂)( （D ）S P M ⋃⋂)(（2）已知映射f:A 中中的元素都是集合其中，集合A B A B },,3,2,1,1,2,3{,---=→ 元素在映射f 下的象，且对任意的a ∈A 中则集合中和它对应的元素是在B {a},B ,元素的个数是 ( )（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（3）若函数y=f(x)的反函数是y=g(x),f(a)=b,ab 等于则)(,0b g ≠ ( ) （A ）a（B ）1a -（C ）b （D ）1b -（4）函数f(x)=Msin(在区间)0)(>+ωϕωx [a,b]上是增函数，且f(a)=-M,f(b)=M,则函数g(x)=Mcos(上在],[)b a x φω+ ( )(A)是增函数（B ）是减函数（C ）可以取得最大值M （D ）可以取得最小值－M （5）若f(x)sinx 是周期为π的奇函数，则f(x)可以是（A ）sinx (B)cosx (C)sin2x (D)cos2x （6）在极坐标系中，曲线关于)3sin(4πθρ-= ( )(A)直线3πθ=对称（B ）直线πθ65=轴对称（C ）点(2,)3π中心对称（D ）极点中心对称（７）若干毫升水倒入底面半径为２cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为６cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（）(A)cm 36 （B ）cm 6 （C ）2（D ）3（8）2312420443322104)(),)32(a a a a a x a x a x a x a a x +-++++++=+则（若的值为（）(A)1 (B)-1 (C)0 (D)2(9)直线为得的劣弧所对的圆心角截圆4032322=+=-+y x y x （）（A ）6π (B)4π (C)3π (D)2π(10) 如图，在多面体ＡＢＣＤＥＦ中 , 已知面ＡＢＣＤ是边长为３的正方形ＥＦ∥ＡＢＥＦ＝EF ,23与面ＡＣ的距离为２，则该多面体的体积（）（A ）29 (B)5 (C)6 (D)215（11）若sin (αααctg tg >>∈<<-απαπ则),22（）(A))4,2(ππ--(B) )0,4(π- (C) )4,0(π (D) )2,4(ππ （12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1∶2，那么R ＝（）（A ）10 （B ）15 （C ）20 （D ）25（13）已知丙点M （1，),45,4()45--N 、给出下列曲线方程：4x+2y-1=0 ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足MP P N =的所有曲线方程是（A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④（14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘。

1999年高考数学试题及答案

1999年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷第1至 2页。

第II 卷3至8页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷（选择题共60分）注意事项1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：三角函数的积化和差公式()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin正棱台、圆台的侧面积公式()l c c S +'=21台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长台体的体积公式()h S S S S V +'+'=31台体其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一、选择题：本大题共14小题；第（1）—（10）题每小题4分，第（11）—（14）题每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）如图，I 是全集，M 、P 、S 是I3个子集，则阴影部分所表示的集合是（A ）（M ∩P ）∩S （B ）（M ∩P ）∪S（C ）（M ∩P ）∩S （D ）（M ∩P ）∪S（2）已知映射f ：B A →，其中，集合{},4,3,2,1,1,2,3---=A 集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象，且对任意的,A a ∈在B 中和它对应的元素是a ，则集合B 中元素的个数是（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 （3）若函数()x f y =的反函数是()()0,,≠==ab b a f x g y ，则()b g 等于（A ）a （B ）1-a （C ）b （D ）1-b（4）函数()()()0sin >+=ωϕωx M x f 在区间[]b a ,上是增函数，且()(),,M b f M x f =-=则函数()()ϕω+=x M x g cos 在[]b a ,上（A ）是增函数（B ）是减函数（C ）可以取得最大值M （D ）可以取得最小值M - （5）若()x x f sin 是周期为π的奇函数，则()x f 可以是（A ）x sin （B ）x cos （C ）x 2sin （D ）x 2cos（6）在极坐标系中，曲线⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin 4πθρ关于（A ）直线3πθ=轴对称（B ）直线πθ65=轴对称（C ）点⎪⎭⎫⎝⎛3,2π中心对称（D ）极点中心对称（7）若干毫升水倒入底面半径为cm 2的圆柱形器皿中，量得水面的高度为cm 6，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（A ）cm 36 （B ）cm 6 （C ）cm 3182 （D ）cm 3123（8）若(),323322104x a x a x a a x +++=+则()()2312420a a a a a +-++的值为（A ）1 （B ）1- （C ）0 （D ）2 （9）直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为（A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）2π（10）如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF 23=，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为（A ）29 （B ）5 （C ）6 （D ）215（11）若,22sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<->>παπαααctg tg 则∈α（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛--4,2ππ （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,4π （C ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛4,0π （D ）⎪⎭⎫⎝⎛2,4ππ（12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R=（A ）10 （B ）15 （C ）20 （D ）25（13）已知两点,45,4,45,1⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛N M 给出下列曲线方程：①0124=-+y x ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④ （14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（A ）5种（B ）6种（C ）7种（D ）8种1999年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）第II 卷（非选择题共90分）注意事项：1．第II 卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接写答在试题卷中。

(完整版)高考数学试题及答案(全国理)

1999年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷第1至 2页。

第II 卷3至8页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷（选择题共60分）注意事项1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：三角函数的积化和差公式()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos ()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos ()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin 正棱台、圆台的侧面积公式()l c c S +'=21台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长台体的体积公式()h S S S S V +'+'=31台体其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一、选择题：本大题共14小题；第（1）—（10）题每小题4分，第（11） —（14）题每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）如图，I 是全集，M 、P 、S 是I3个子集，则阴影部分所表示的集合是（A ）（M ∩P ）∩S（B ）（M ∩P ）∪S （C ）（M ∩P ）∩S（D ）（M ∩P ）∪S（2）已知映射f ：B A →，其中，集合{,2,3---=A都是A 中元素在映射f 下的象，且对任意的,A a ∈在B 中和它对应的元素是a ，则集合B 中元素的个数是（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（3）若函数()x f y =的反函数是()()0,,≠==ab b a f x g y ，则()b g 等于（A ）a （B ）1-a （C ）b （D ）1-b（4）函数()()()0sin >+=ωϕωx M x f 在区间[]b a ,上是增函数，且 ()(),,M b f M x f =-=则函数()()ϕω+=x M x g cos 在[]b a ,上（A ）是增函数（B ）是减函数（C ）可以取得最大值M （D ）可以取得最小值M -（5）若()x x f sin 是周期为π的奇函数，则()x f 可以是（A ）x sin （B ）x cos （C ）x 2sin （D ）x 2cos（6）在极坐标系中，曲线⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin 4πθρ关于（A ）直线3πθ=轴对称（B ）直线πθ65=轴对称（C ）点⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2π中心对称（D ）极点中心对称（7）若干毫升水倒入底面半径为cm 2的圆柱形器皿中，量得水面的高度为cm 6，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（A ）cm 36 （B ）cm 6 （C ）cm 3182 （D ）cm 3123（8）若(),323322104x a x a x a a x +++=+则()()2312420a a a a a +-++的值为（A ）1 （B ）1- （C ）0 （D ）2（9）直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为（A ）6π（B ）4π （C ）3π （D ）2π （10）如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF 23=，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为（A ）29 （B ）5 （C ）6 （D ）215（11）若,22sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<->>παπαααctg tg 则∈α （A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛--4,2ππ（B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,4π （C ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛4,0π （D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛2,4ππ （12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R=（A ）10 （B ）15 （C ）20 （D ）25（13）已知两点,45,4,45,1⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛N M 给出下列曲线方程： ①0124=-+y x ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（A ）①③（B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④（14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（A ）5种（B ）6种（C ）7种（D ）8种1999年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）第II 卷（非选择题共90分）注意事项：1．第II 卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接写答在试卷卷中。

1999全国高考数学试题_理_解析

).
A. 1 B. - 1 C. 0 D. 2
解: 令 x= 1, - 1, 得
a0+ a1 + a2 + a3+ a4= ( 2+ 3) 4 ,
a0- a1 + a2 - a3+ a4= ( 2- 3) 4 .
两式相乘, 得
( a0 + a2+ a4) 2- ( a1 + a3 ) 2 = ( 2+ 3) 4 ( 2- 3) 4 = 1, 选 A.= cosx 时,来自f ( x ) sin x =
1 2
sin 2 x
满足题设, 应选
B.
6. 在极坐标系中, 曲线 Q
= 4sin( H-
P 3
)
关于(
).
A1 直线 H=
P 3
轴对称
图2
B. 直线 H=
5 6
P
轴对称
C. 点( 2,
P 3
)
中心对称
D. 极点中心对称
解: 作出已知圆的图形, l : H=
b] 上是增函数, 且 f ( a) = - M , f ( b) = M , 则函数
g( x ) = M cos( Xx + U) 在[ a, b ] 上( ) .
A . 是增函数
B. 是减函数
C. 可以取得最大值 M D. 可以取得最小值- M
解: 由题意知 D = [ a, b] = [ 2 kP-
2>
1,
_
2 3
[
log ax <
3 4
或 log ax >
1.
下同标准答案.
别解 2:

全国高考数学理

?1999年全国普通高等学校招生统一考试（理工农医类）数学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

第I卷1至2页。

第II卷3至8。

共150分。

考试时间120分钟。

第I卷（选择题共60分）注意事项：l．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型（A或B）用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后。

再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束。

监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：三角函数的积化和差公式sinα=cosβ[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα=sinβ[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα=cosβ[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα=sinβ[cos(α+β)-cos(α-β)]正棱台、圆台的侧面积公式：S台侧=(c'+c)L/2其中c'和c表示圆台的上下底面的周长，L表示斜高或母线长。

台体的体积公式：其中s,s'分别表示上下底面积，h表示高。

一、选择题：本大题共14小题；第1—10题每小题4分，第11—14题每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是A．（M∩P）∩S??? B．（M∩P）∪SC．（M∩P）∩??????? D．（M∩P）∪?2．已知映射f：AB，其中，集合A={-3，-2，-1，l，2，3，4，}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是{a}，则集合B中元素的个数是A．4??? B．5??? C．6??? D．73．若函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x），f（a）=b，ab ≠0，则g（b）等于A．a??? B．a-1??? C．b??? D．b-14．函数f（x）＝Msin（ωx+ρ）（ω>0）在区间[a，b]上是增函数，且f（a）=-M，f（b）=M，则函数g （x）=Mcos（ωx+ρ）在[a，b]上A．是增函数????????????B．是减函数C．可以取得最大值M???? D．可以取得最小值-M5．若f（x）sinx是周期为∏的奇函数，则f（x）可以是A．sin x??? B．cos x??? C．sin 2x???D．cos 2x6．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin（θ-π/3）关于A．直线θ=π/3轴对称??????B．直线θ=6/5π轴对称C．点（2，π/3）中心对称??D．极点中心对称7．若于毫升水倒人底面半径为2cm的圆杜形器皿中，量得水面的高度为6cm，若将这些水倒人轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是8．若（2x+ ）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2的值为A．l??? B．-1???? C．0???? D．29．直线x+y2=0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角为A．π/6??? B．π/4??? C．π/3???D．π/2??10．如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF//AB，EF=3/2，EF与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为A．9/2??? B．5???? C．6???? D．15/211．若sina>tga>ctga(-π/2<a<π/2)，则a∈A．(-π/2,-π/4)???? B．（-π/4，0）C．（0，π/4）?????D．（π/4，π/2）12．如果圆台的上底面半径为5．下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R=A．10??? B．15??? C．20??? D．2513．已知两点M（1，5/4）、N（-4，-5/4），给出下列曲线方程：①4x＋2y-1=0②x2+y2=3 ③x2/2+y2=1 ④x2/2-y2=1在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是A．①③?B．②④??? C．①②③??? D．②③④14．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有A．5种???B．6种???C．7种???D．8种第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项：1．第II卷共6页。

1999年普通高等学校招生考试(全国卷)理科数学

1999年普通高等学校招生考试（全国卷）理科数学1.如图, I是全集,M,P,S是I的3个子集, 则阴影部分所表示的集合是(A)(M∩P)∩S(B)(M∩P)∪S(C)(M∩P)∩S(D)(M∩P)∪S2.已知映射f:A→B,其中集合A={−3,−2,−1,1,2,3,4}, 集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象且对任意的a∈A,在B中和它对应的元素是|a|, 则集合B中元素的个数是(A) 4(B) 5(C) 6(D) 73.若函数y=f(x)的反函数是y=g(x),f(a)=b,ab≠0,则g(b)等于(A)a(B)a−1(C)b(D)b−14.函数f(x)=M sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[a,b]上是增函数, 且f(a)=−M,f(b)=M, 则函数g(x)=M cos(ωx+φ)在[a,b]上(A) 是增函数(B) 是减函数(C) 可以取得最大值M(D) 可以取得最小值−M5.若f(x)sin x是周期为π的奇函数, 则f(x)可以是(A)sin x(B)cos x(C)sin2x(D)cos2x)关于6.在极坐标系中, 曲线ρ=4sin(θ−π3(A) 直线θ=π轴对称3π轴对称(B) 直线θ=56)中心对称(C) 点(2,π3(D) 极点中心对称7.将若干毫升水倒入底面半径为 2 cm 的圆柱形器皿中, 量得水面的高度为 6cm , 若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中, 则水面的高度是(A)6√3cm(B) 6cm(C)2√183cm(D)3√123cm8.若(2x +√3)4=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4，则(a 0+a 2+a 4)2−(a 1+a 3)2的值为(A)1(B)−1(C)0(D)29.直线√3x +y −2√3=0截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角为(A)π6 (B)π4 (C)π3(D)π210.如图, 在多面体ABCDEF 中,已知面ABCD 是边长为3的正方形,EF‖AB,EF =32,EF 与面AC的距离为 2, 则该多面体的体积为(A)92 (B)5(C)6(D)15211.若sin α>tan α>cot α(−π2<α<π2),则αϵ(A)(−π2,−π4)(B)(−π4,0)(C)(0,π4)(D)(π4,π2 )12.如果圆台的上底面半径为5,下底面半径为R, 中截面把圆台分为上下两个圆台,它们的侧面积的比为1:2,那么R=(A) 10(B) 15(C) 20(D) 2513.已知两点M(1,54),N(−4,−54), 给出下列曲线方程:①4x+2y−1=0②x2+y2=3③x 22+y2=1④x 22−y2=1在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是(A) ①③(B) ②④(C) ①②③(D) ②③④14.某电脑用户计划使用不超过500 元的资金购买单价分别为60 元、70 元的单片软件和盒装磁盘, 根据需要, 软件至少买3 片, 磁盘至少买2 盒, 则不同的选购方式共有(A) 5 种(B) 6 种(C) 7 种(D) 8 种15.设椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F1, 右准线为l1, 若过F1且垂直于x轴的弦长等于点F1到l1的距离, 则椭圆的率心率是 .16.在一块并排10垄的田地中, 选择2垄分别种植A 、B 两种作物, 每种作物种植一垄, 为有利于作物生长, 要求 A 、B 两种作物的间隔不小于 6 垄, 则不同的选垄方法共有种. (用数字作答)17.若正数a,b满足ab=a+b+3, 则ab的取值范围是 .18.α,β是两个不同的平面,m,n是平面α及β之外的两条不同直线, 给出四个论断: ①m⊥n;②α⊥β; ③n⊥β; ④m⊥α.以其中三个论断作为条件, 余下一个论断作为结论, 写出你认为正确的一个命题:19.解不等式：√3log a x−2<2log a x−1(a>0,a≠1)20.设复数z=3cosθ+i⋅2sinθ, 求函数y=θ−arg z(0<θ<π2)的最大值以及对应的θ值.21.如图, 已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1,点E在棱D1D上,截面EAC‖D1B.且面EAC与底面ABCD所成的角为450，AB=a(1) 求截面EAC的面积;(2) 求异面直线A1B1与AC之间的距离;(3) 求三棱锥B1−EAC的体积.22.如图为一台冷轧机的示意图. 冷轧机由若干对轧辊组成, 带钢从一端输入, 经过各对轧辊逐步减薄后输出.(1) 输入带钢的厚度为α, 输出带钢的厚度为β, 若每对轧辊的减薄率不超过r0.问冷轧机至少需要安装多少对轧辊?(2) 已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊, 所有轧辊周长均为1600 若第k对轧辊有缺陷, 每滚动一周在带钢上压出一个疵点, 在冷轧机输出的带钢上, 疵点的间距为L k，为了便于检修, 请计算L1,L2,L3并填入下表(轧钢过程中, 带钢宽度不变, 且不考虑损耗).23.已知函数y=f(x≤n+1(n=0,1,2,⋯)时, 该图象是斜率为b n的线段(其中正常数b≠1), 设数列{x n}由f(x n)=n(n=1,2,⋯)定义.(1) 求x1,x2和x n的表达式;(2) 求f(x)的表达式, 并写出其定义域;(3) 证明:y=f(x)的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点.24.如图, 给出定点A(a,0)(a>0)和直线l:x=−1.B是直线l上的动点,∠BOA的角平分线交AB于点C。

1999高考数学试题及答案

1999高考数学试题及答案1999年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）一、选择题（每小题5分，共60分）1. 已知集合A={x|x=2n,n∈Z}，B={x|x=2n+1,n∈Z}，则A∩B=（）A. {x|x=2n,n∈Z}B. {x|x=2n+1,n∈Z}C. ∅D. R答案：C2. 已知函数f(x)=x^2+2x+3，g(x)=x^2+3x+3，则f[g(x)]等于（）A. x^2+5x+9B. x^2+5x+12C. x^2+7x+12D. x^2+7x+15答案：C3. 已知向量a=(1,2)，b=(2,3)，则|a+b|等于（）A. 3B. 3√2C. √10D. 5答案：C4. 已知函数f(x)=x^3-3x，x∈R，则f(x)的单调递增区间为（）A. (-∞,-1)∪(1,+∞)B. (-∞,1)∪(1,+∞)C. (-∞,-1)∪(1,+∞)答案：A5. 已知双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1（a>0,b>0）的一条渐近线为y=(√2/2)x，则双曲线的离心率为（）A. √2B. √3C. 2D. 3答案：B6. 已知函数f(x)=x^3+1，x∈R，则f(1)+f(-1)+f(0)的值为（）A. 1B. 3C. -1D. -37. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1+a5=10，a2+a4=6，则S5的值为（）A. 20B. 15C. 10D. 5答案：B8. 已知函数f(x)=x^2-4x+m，x∈R，若对于任意x∈[2,3]，f(x)>0恒成立，则实数m的取值范围为（）A. m>-2B. m>-1C. m>0D. m>1答案：D9. 已知抛物线C：y^2=4x的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|=2，则点P的坐标为（）A. (1,2)B. (1,-2)C. (2,4)D. (2,-4)答案：A10. 已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+1，若f'(x)=3x^2+2ax+b，且f'(1)=0，f'(-1)=0，则a+b的值为（）A. -4B. -2C. 0D. 2答案：C11. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，a4=16，则S3的值为（）A. 7B. 8C. 15D. 31答案：A12. 已知直线l：y=kx+1与圆C：x^2+y^2=4相交于A，B两点，若|AB|=2√2，则k的值为（）A. 1B. -1C. 0D. ±1答案：D二、填空题（每小题4分，共24分）13. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，x∈R，若f(x)=0的根为x1，x2，则|x1-x2|=______。

1999年北京高考理科数学真题及答案

1999年北京高考理科数学真题及答案第I 卷（选择题共60分）注意事项：l ．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型（A 或B ）用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后。

再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束。

监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：三角函数的积化和差公式[]1sin cos sin()sin()2αβαβαβ=++- []1cos sin sin()sin()2αβαβαβ=+-- []1cos cos cos()cos()2αβαβαβ=++-正棱台、圆台的侧面积公式：1()2S c c l ='+台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长．球的体积公式：343V r π=球，其中R 表示球的半径．台体的体积公式：h S S S S V )31'++=‘台体（，其中'S ，S 分别表示上下底面积，h表示高。

一、选择题：本大题共14小题；第1—10题每小题4分，第11—14题每小题5分，共60分在每小题给出的四个选顶中，只有一顶是符合题目要求的。

（1）如图,I 是全集,M 、P 、S 、是I 的3个子集，由阴影部分所表示的集合是 ( ) （A ）)(N M ⋂S ⋂（B ）S P M ⋃⋂)(（C ）S P M ⋂⋂)( （D ）S P M ⋃⋂)(（2）已知映射f:A 中中的元素都是集合其中，集合A B A B },,3,2,1,1,2,3{,---=→元素在映射f 下的象，且对任意的a ∈A 中则集合中和它对应的元素是在B {a},B ,元素的个数是 ( )（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（3）若函数y=f(x)的反函数是y=g(x),f(a)=b,ab 等于则)(,0b g ≠ ( ) （A ）a（B ）1a -（C ）b（D ）1b -（4）函数f(x)=Msin(在区间)0)(>+ωϕωx [a,b]上是增函数，且f(a)=-M,f(b)=M,则函数g(x)=Mcos(上在],[)b a x φω+ ( )(A)是增函数（B ）是减函数（C ）可以取得最大值M （D ）可以取得最小值－M （5）若f(x)sinx 是周期为π的奇函数，则f(x)可以是（A ）sinx (B)cosx (C)sin2x (D)cos2x （6）在极坐标系中，曲线关于)3sin(4πθρ-= ( )(A)直线3πθ=对称（B ）直线πθ65=轴对称（C ）点(2,)3π中心对称（D ）极点中心对称（７）若干毫升水倒入底面半径为２cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为６cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（）(A)cm 36 （B ）cm 6 （C ）2（D ）3（8）2312420443322104)(),)32(a a a a a x a x a x a x a a x +-++++++=+则（若的值为（）(A)1 (B)-1 (C)0 (D)2(9)直线为得的劣弧所对的圆心角截圆4032322=+=-+y x y x （）（A ）6π (B)4π (C)3π (D)2π(10) 如图，在多面体ＡＢＣＤＥＦ中 , 已知面ＡＢＣＤ是边长为３的正方形ＥＦ∥ＡＢＥＦ＝EF ,23与面ＡＣ的距离为２，则该多面体的体积（）（A ）29 (B)5 (C)6 (D)215 （11）若sin (αααctg tg >>∈<<-απαπ则),22（）(A))4,2(ππ--(B) )0,4(π- (C) )4,0(π (D) )2,4(ππ （12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1∶2，那么R ＝（）（A ）10 （B ）15 （C ）20 （D ）25（13）已知丙点M （1，),45,4()45--N 、给出下列曲线方程：4x+2y-1=0 ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足MP P N =的所有曲线方程是（A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④（14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘。

1999年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)

1999年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

第I 卷第1至 2页。

第II 卷3至8页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷(选择题共60分)注意事项1．答第I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上。

3．考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式:三角函数的积化和差公式()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin正棱台、圆台的侧面积公式()l c c S +'=21台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长,l 表示斜高或母线长台体的体积公式()h S S S S V +'+'=31台体其中S '、S 分别表示上、下底面积,h 表示高一、选择题:本大题共14小题；第(1)—(10)题每小题4分,第(11)—(14)题每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

（1）如图,I 是全集,M 、P 、S 是I3个子集,则阴影部分所表示的集合是(A)(M ∩P)∩S (B)(M ∩P)∪S(C)(M ∩P)∩S (D)(M ∩P)∪S（2）已知映射f :B A →,其中,集合{},4,3,2,1,1,2,3---=A 集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象,且对任意的,A a ∈在B 中和它对应的元素是a ,则集合B 中元素的个数是(A)4 (B)5 (C)6 (D)7(3)若函数()x f y =的反函数是()()0,,≠==ab b a f x g y ,则()b g 等于(A)a (B)1-a (C)b (D)1-b(4)函数()()()0sin ωϕω+=x M x f 在区间[]b a ,上是增函数,且 ()(),,M b f M x f =-=则函数()()ϕω+=x M x g cos 在[]b a ,上(A)是增函数 (B)是减函数(C)可以取得最大值M (D)可以取得最小值M - (5)若()x x f sin 是周期为π的奇函数,则()x f 可以是(A)x sin (B)x cos (C)x 2sin (D)x 2cos(6)在极坐标系中,曲线⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin 4πθρ关于(A)直线3πθ=轴对称 (B)直线πθ65=轴对称 (C)点⎪⎭⎫⎝⎛3,2π中心对称 (D)极点中心对称(7)若干毫升水倒入底面半径为cm 2的圆柱形器皿中,量得水面的高度为cm 6, 若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是(A)cm 36 (B)cm 6 (C)cm 3182 (D)cm 3123(8)若(),323322104x a x a x a a x +++=+则()()2312420a a a a a +-++的值为(A)1 (B)1- (C)0 (D)2(9)直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为(A)6π (B)4π (C)3π (D)2π (10)如图,在多面体ABCDEF 中,已知面ABCD 是边长为3的正方形,EF∥AB,EF 23=,EF 与面AC 的距离为2,则该多面体的体积为(A)29 (B)5 (C)6 (D)215(11)若,22sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-παπααα ctg tg 则∈α(A)⎪⎭⎫ ⎝⎛--4,2ππ (B)⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,4π (C) ⎪⎭⎫ ⎝⎛4,0π (D)⎪⎭⎫⎝⎛2,4ππ(12)如果圆台的上底面半径为5,下底面半径为R,中截面把圆台分为上、下两个圆台,它们的侧面积的比为1:2,那么R ＝(A)10 (B)15 (C)20 (D)25(13)已知两点,45,4,45,1⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛N M 给出下列曲线方程:①0124=-+y x ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足|MP|＝|NP|的所有曲线方程是(A)①③ (B)②④ (C)①②③ (D)②③④(14)某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘,根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒, 则不同的选购方式共有(A)5种 (B)6种 (C)7种 (D)8种1999年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类) 第II 卷(非选择题共90分)注意事项:1．第II 卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接写答在试题卷中。

高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试1999

高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，，（2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12 (k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（AB ）32（CD ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

1999全国数学理工试题

1999年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共14小题；第1-10题每小题4分，第11-14题每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( ) A ．(M∩P )∩S B ．(M∩P )∪S C ．(M∩P )∩∁I S D ．(M∩P )∪∁I S2．已知映射f ：A →B ，其中，集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4}, 集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象，且对任意的a ∈A , 在B 中和它对应的元素是|a |，则集合B 中元素的个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．73．若函数y=f (x )的反函数是y=g (x ), f (a )=b , ab ≠0，则g (b )等于( )A ．aB ．a -1C ．bD ．b -14．函数f (x )=M sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[a ,b ]上是增函数，且f (a )=-M , f (b )=M ,则函数g (x )=M cos(ωx+φ)在[a ,b ]上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值-M 5．若f (x )sin x 是周期为π的奇函数，则f (x )可以是( )A ．sin xB ．cos xC ．sin2xD ．cos2x6．在极坐标系中，曲线ρ=4sin(θ-3π)关于( )A ．直线θ=3π轴对称 B ．直线θ=65π轴对称C ．点(2, 3π)中心对称 D ．极点中心对称7．若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是( ) A ．36cm B ．6cm C ．3182cm D ．3123cm8．若(2x+3)4=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4, 则(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2的值为( ) A ．1 B ．-1 C ．0 D ．29．直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角为( )A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π10．如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF=23，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为( )A ．29B ．5C ．6D ．21511．若sin α>tan α>cot α(-2π<α<2π), 则α∈( )A ．(-2π,4π)B ．(-4π,0)C ．(0,4π)D ．(4π,2π)12．如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1 : 2，那么R=( )A ．10B ．15C ．20D ．2513．已知两点M (1,45), N (-4, -45), 给出下列曲线方程：①4x+2y -1=0 ②x 2+y 2=3 ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足|MP |=|NP |的所有曲线方程是( )A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④14．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( )A ．5种B ．6种C ．7种D ．8种第II 卷（非选择题共90分）二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

1999年高考数学试题及答案(全国理)

1999年高考数学试题及答案(全国理)1999年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷第1至 2页。

第II 卷3至8页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷（选择题共60分）注意事项1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：三角函数的积化和差公式()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin正棱台、圆台的侧面积公式()l c c S +'=21台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长台体的体积公式()h S S S S V +'+'=31台体其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一、选择题：本大题共14小题；第（1）—（10）题每小题4分，第（11） —（14）题每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）如图，I 是全集，M 、P 、S 是I3个子集，则阴影部分所表示的集合是（A ）（M ∩P ）∩S （B ）（M ∩P ）∪S（C ）（M ∩P ）∩S （D ）（M ∩P ）∪S（2）已知映射f ：B A →，其中，集合{,2,3---=A都是A 中元素在映射f 下的象，且对任意的,A a ∈在B 中和它对应的元素是a ，则集合B 中元素的个数是（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 （3）若函数()x f y =的反函数是()()0,,≠==ab b a f x g y ，则()b g 等于（A ）a （B ）1-a （C ）b （D ）1-b （4）函数()()()0sin >+=ωϕωx M x f 在区间[]b a ,上是增函数，且()(),,M b f M x f =-=则函数()()ϕω+=x M x g cos 在[]b a ,上（A ）是增函数（B ）是减函数（C ）可以取得最大值M （D ）可以取得最小值M - （5）若()x x f sin 是周期为π的奇函数，则()x f 可以是（A ）x sin （B ）x cos （C ）x 2sin （D ）x 2cos（6）在极坐标系中，曲线⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin 4πθρ关于（A ）直线3πθ=轴对称（B ）直线πθ65=轴对称（C ）点⎪⎭⎫⎝⎛3,2π中心对称（D ）极点中心对称（7）若干毫升水倒入底面半径为cm 2的圆柱形器皿中，量得水面的高度为cm 6，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（A ）cm 36 （B ）cm 6 （C ）cm 3182 （D ）cm 3123（8）若(),323322104x a x a x a a x +++=+则()()2312420a a a a a +-++的值为（A ）1 （B ）1- （C ）0 （D ）2 （9）直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为（A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）2π （10）如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF 23=，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为（A ）29（B ）5 （C ）6 （D ）215 （11）若,22sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<->>παπαααctg tg 则∈α（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛--4,2ππ （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,4π （C ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛4,0π （D ）⎪⎭⎫⎝⎛2,4ππ（12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R=（A ）10 （B ）15 （C ）20 （D ）25（13）已知两点,45,4,45,1⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛N M 给出下列曲线方程：①0124=-+y x ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④（14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（A ）5种（B ）6种（C ）7种（D ）8种1999年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）第II 卷（非选择题共90分）注意事项：1．第II 卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接写答在试题卷中。

高考理科数学试题及答案1999

高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2. 设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．96. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．59. 若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．2310. 若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.111. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB与1C B 所成角的余弦值为（）A ．32 B ．155 C ．105D ．33 12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A.2-B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

99高考数学试题及答案

99高考数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数\( f(x) = \sin x + \cos x \)，则\( f(0) \)的值为：A. 0B. 1C. \(\sqrt{2}\)D. -1答案：B2. 已知等差数列\(\{a_n\}\)的首项\(a_1 = 3\)，公差\(d = 2\)，则\(a_5\)的值为：A. 9B. 11C. 13D. 15答案：C3. 若\(\tan \alpha = 2\)，则\(\sin \alpha \cos \alpha\)的值为：A. \(\frac{1}{5}\)B. \(\frac{2}{5}\)C. \(\frac{4}{5}\)D. \(\frac{3}{5}\)答案：C4. 已知双曲线\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)的离心率为\(e = \sqrt{5}\)，则\(\frac{b}{a}\)的值为：A. 1B. 2C. \(\sqrt{2}\)D. \(\sqrt{3}\)答案：D5. 已知\(\log_2 3 = m\)，则\(\log_8 27\)的值为：A. \(\frac{3}{2}m\)B. \(\frac{3}{4}m\)C. \(\frac{3}{2}m - 1\)D. \(\frac{3}{4}m + 1\)答案：A6. 若\(\sin \theta = \frac{1}{2}\)，则\(\cos 2\theta\)的值为：A. \(-\frac{1}{2}\)B. \(\frac{1}{2}\)C. \(-\frac{3}{4}\)D. \(\frac{3}{4}\)答案：C7. 已知\(\sqrt{x + 1} + \sqrt{y - 1} = 2\)，则\(x + y\)的最小值为：A. 3B. 4C. 5D. 6答案：B8. 若\(\log_3 2 = a\)，则\(\log_3 18\)的值为：A. \(2 + a\)B. \(3 + a\)C. \(3a\)D. \(6a\)答案：C9. 已知\(\tan \alpha = \frac{1}{2}\)，则\(\tan 2\alpha\)的值为：A. \(\frac{1}{3}\)B. \(\frac{2}{3}\)C. \(\frac{4}{3}\)D. \(\frac{3}{4}\)答案：C10. 若\(\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，则\(\theta\)的终边在：A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知\(\sin \theta = \frac{3}{5}\)，\(\cos \theta = -\frac{4}{5}\)，则\(\tan \theta\)的值为\(\frac{3}{4}\)。

(详细解析)1999年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)

1999年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共14小题；第1～10题每小题4分，第11～14题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．如图，I 是全集，,,M P S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是A ．()M P SB ．()M P SC ．()M P SD ．()M P S【答案】C【解析】由图知阴影部分表示M P 与S 的交集．2．已知映射:f A B →，其中，集合{}3,2,1,1,2,3,4A =---，集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象，且对任意的a A ∈，在B 中和它对应的元素是a ，则集合B 中元素的个数是A ．4B ．5C ． 6D ．7 【答案】A【解析】{}1,2,3,4B =．3．若函数()y f x =的反函数是(),(),0y g x f a b ab ==≠，则()g b 等于 A ．a B ．1-a C ．b D ．1-b 【答案】A【解析】根据互为反函数的关系知()f a b =，则()g b a =．4．函数()sin()(0)f x M x ωϕω=+>在区间[]b a ,上是增函数，且(),()f a M f b M =-=，则函数()cos()g x M x ωϕ=+在[]b a ,上 A ．是增函数 B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值M - 【答案】C【解析】由题设0M >，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+，故函数()cos()g x M x ωϕ=+在[]b a ,上不单调，切当2x k ωϕπ+=时取得最大值M ．5．若()sin f x x 是周期为π的奇函数，则()f x 可以是A ．x sinB ．x cosC ．x 2sinD ．x 2cos 【答案】B【解析】取()sin f x x =，2sin x 是偶函数；取()cos f x x =，1sin cos sin 22x x x =是奇函数且期为π．6．在极坐标系中，曲线4sin()3πρθ=-关于A ．直线3πθ=轴对称 B ．直线πθ65=轴对称 C ．点(2,)3π中心对称 D ．极点中心对称【答案】B【解析】54sin()4cos[()]4cos()3236πππρθθθπ=-=--=-表示一个过极点的半径为2，圆心过点5(2,)6π的圆，故关于直线πθ65=轴对称．7．若干毫升水倒入底面半径为cm 2的圆柱形器皿中，量得水面的高度为cm 6，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 A ．cm 36 B ．cm 6 C ．cm 3182 D ．cm 3123 【答案】B【解析】设水面的半径为r ，由题设条件得221263r ππ⋅⋅=，所以3r =r =6=．8．若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为 A ．1 B ．1- C ． 0 D ．2 【答案】A【解析】令1x =得401234(2a a a a a ++++=；令1x =-得401(2a a -=-234a a a +-+，∴2202413012340123()()()(a a a a a a a a a a a a a a ++-+=++++-+-442244)(2(2[(2)]1a +=-=-+=．9．直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得到的劣弧所对的圆心角为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C=2，弦与两半径构成等边三角形，故所求圆心角为3π．10．如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，3//,2EF AB EF =，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为A ．29 B ．5 C ．6 D ．215 【答案】D【解析】考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．分析：由已知中多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF 与面AC 的距离为2，我们易求出四棱锥E ABCD -的体积，然后根据整个几何体大于部分几何体的体积，分析已知中的四个答案，利用排除法，得到答案．法一：如下图所示，连接,EB EC ．则四棱锥E ABCD -的体积133263E ABCD V -=⨯⨯⨯=，又∵整个几何体大于四棱锥E ABCD -的体积，∴所求几何体的体积E ABCD V V ->．法二：连接,EB EC ，依题意，四棱锥E ABCD -的体积为6，又由于//,EF AB AB =2EF ，所以EAB ∆的面积是BEF ∆面积的2倍，从而四面体F EBC -的体积即为四面体C EFB -的体积，等于四面体E ABC -的一半，即四棱锥E ABCD -体积的四分之一，故所求多面体的体积为1156642+⨯=．方法三：分别取,AB CD 的中点,G H 连,,EG GH EH ，把该多面体分割成一个四棱锥与一个三棱柱，可求得四棱锥的体积为3，三棱柱的体积29，整个多面体的体积为215．故选D ．【点评】本题考查的知识点是棱柱、棱锥、棱台的体积，其中根据根据整个几何体大于部分几何体的体积，求出四棱锥E ABCD -的体积，并与已知中的四个答案进行比较，利用排除法是解答此类问题的捷径．11．若sin tan cot ()22ππαααα>>-<<，则∈αA ．(,)24ππ-- B ．(,0)4π- C ．(0,)4π D ．(,)42ππ【答案】B 【解析】若(,0)2πα∈-，则1sin tan ,tan tan αααα>>，即211,tan 1cos αα<<， 11cos α<显然成立，由2tan 1α<可得1tan 0α-<<，所以(,0)4πα∈-；同样，若∈α (,)42ππ时，无解，所以B 正确．12．如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1:2，那么R =A ．10B ．15C ．20D ．25 【答案】D【解析】中截面的半径为52R +，设圆台的母线为l ，由题设得5(5)122(5)3R lS S R l ππ+⋅+⋅==⋅+⋅上总，解得25R =．13．已知两点55(1,),(4,)44M N --，给出下列曲线方程：①0124=-+y x ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足MP NP =的所有曲线方程是A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④ 【答案】D【解析】点P 在直线230x y ++=的垂直平分线上，该直线与曲线②③④都有交点，选D ．14．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有 A ．5种 B ．6种 C ．7种 D ．8种【答案】C【解析】设购买单片软件和盒装磁盘数量分别为,x y ，由题设可得3,2,6070500x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩易知当3x =时，2,3,4y =；当4x =时，2,3y =；当5x =时，2y =；当6x =时，2y =，故共有7种不同的选购方式．第II 卷（非选择题共90分）二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．15．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为1F ，右准线为1l ，若过1F 且垂直于x 轴的弦长等于点1F 到1l 的距离，则椭圆的率心率是．【答案】21 【解析】依题意得222a b c c a-=，又222c a b =-，解得2a c =，从而12c e a ==．16．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植,A B 两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求,A B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有种（用数字作答）．【答案】12【解析】先考虑A 种植在左边的情形，有3类：A 种在最左边1垄，B 有（8，9，10垄）3种种植方法；A 种在左边第2垄，B 有（9，10垄）2种种植方法；A 种在左边第3垄，B 有（10垄）1种种植方法，所以不同的选垄方法共有2(321)12++=种．17．若正数,a b 满足3ab a b =++，则ab 的取值范围是．【答案】[9,)+∞【解析】33ab a b =++≥，即30ab -≥3≥，即9ab ≥．18．,αβ是两个不同的平面，,m n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断： ①m ⊥n ②α⊥β ③n ⊥β ④m ⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．命题：．【答案】n m n m ⊥⇒⊥⊥⊥βαβα,,或βαβα⊥⇒⊥⊥⊥n m n m ,, 【解析】略．三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（本小题满分10分）2log 1(0,1)a x a a <->≠．【解】本小题主要考查对数函数的性质、对数不等式、无理不等式解法等基础知识，考查分类讨论的思想．原不等式等价于()23log 20,3log 22log 1,2log 10.a a a a x x x x -≥⎧⎪-<-⎨⎪->⎩.............4分由①得2log 3a x ≥，由②得3log 4a x <，或log 1a x >，由③得1log 2a x >．由此得23log 34a x ≤<，或log 1a x >． .............8分当1a >时得所求的解是{}2334||x a x a x x a ⎧⎫≤<>⎨⎬⎩⎭；当01a <<时得所求的解是{}2334||0x a x a x x a ⎧⎫<≤<<⎨⎬⎩⎭．.............12分20．（本小题满分12分）设复数3cos 2sin z i θθ=+⋅．求函数arg (0)2y z πθθ=-<<的最大值以及对应的θ值．【解】本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力．由20πθ<<得tan 0θ>．由θθsin 2cos 3i z +=得2arg 0π<<z 及()2sin 2tan arg tan 3cos 3z θθθ==．故()22tan tan 13tan tan arg 231tan 2tan 3tan y z θθθθθθ-=-==++，因为32tan tan θθ+≥132tan tan θθ≤+ 当且仅当32tan (0)tan 2πθθθ=<<时，即tan 2θ=时，上式取等号．所以当arctan2θ=时，函数tan y 取得最大值12由z y arg -=θ得(,)22y ππ∈-．由于在(,)22ππ-内正切函数是递增函数，函数y 也取最大值arctan 12．21．（本小题满分12分）如图，已知正四棱柱1111D C B A ABCD -，点E 在棱D D 1上，截面1//EAC D B ，且面EAC 与底面ABCD 所成的角为45,AB a =．（Ⅰ）求截面EAC 的面积；（Ⅱ）求异面直线11B A 与AC 之间的距离；（Ⅲ）求三棱锥EAC B -1的体积．【解】本小题主要考查空间线面关系、二面角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．（Ⅰ）如图，连结BD 交AC 于O ，连结EO ．因为底面ABCD 是正方形，所以DO AC ⊥．又因为ED ⊥底面AC ，因为EO AC ⊥．所以EOD ∠是面EAC 与底面AC 所成二面角的平面角．所以45EOD ∠=．,,sec45DO AC EO a ===⋅=．故22EAC S a ∆=．（Ⅱ）由题设1111D C B A ABCD -是正四棱柱，得A A 1⊥底面AC ，1A A AC ⊥，又111A A A B ⊥ ，所以A A 1是异面直线11B A 与AC 间的公垂线．因为11//D B 面EAC ，且面BD D 1与面EAC 交线为EO ．所以11//D B EO ．又O 是DB 的中点，所以E 是D D 1的中点，1122D B EO a ==．所以D D 1==．异面直线11B A 与AC ．（Ⅲ）解法一：如图，连结11B D ．因为1D D DB =．所以11B BDD 是正方形，连结D B 1交B D 1于P ，交EO 于Q ．因为11B D D B ⊥，1//EO D B ，所以1B D EO ⊥．又,AC EO AC ED ⊥⊥，所以AC ⊥面11B BDD ，所以1B D AC ⊥，所以D B 1⊥面EAC ．所以Q B 1是三棱锥1B EAC -的高．由DQ PQ =，得113342B Q B D a ==．所以123133224B EAC V a a -=⋅⋅=．所以三棱锥EAC B -1的体积是34a ．解法二：连结O B 1，则112EO B A EAC B V V --=．因为AO ⊥面11B BDD ，所以AO 是三棱锥1EOB A -的高，2AO a =．在正方形11B BDD 中，,E O 分别是1,D D DB 的中点（如右图），则1234EOB S a ∆=．∴1231323424B EAC V a a -=⋅⋅⋅=．所以三棱锥EAC B -1的体积是34a ．22．（本小题满分12分）右图为一台冷轧机的示意图．冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出．（Ⅰ）输入带钢的厚度为α，输出带钢的厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过0r ．问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？（一对轧辊减薄率输入该对的带钢厚度从该对输出的带钢厚度输入该对的带钢厚度-=）（Ⅱ）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm ．若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为k L ．为了便于检修，请计算123,,L L L 并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）．【解】本小题主要考查等比数列、对数计算等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决实际问题的能力．（Ⅰ）厚度为α的带钢经过减薄率均为0r 的n 对轧辊后厚度为()01nr α-．为使输出带钢的厚度不超过β，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应满足()01n r αβ-≤，即()01nr βα-≤．由于()010,0nr βα->>，对比上式两端取对数，得()0lg 1lg n r βα-≤．由于()0lg 10r -<，所以()0lg lg lg 1n r βα-≥-．因此，至少需要安装不小于()0lg lg lg 1r βα--的整数对轧辊．（Ⅱ）解法一：第k 对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积为()16001kr α⋅-⋅宽度（其中20%r =），而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为()41k L r α⋅-⋅宽度．因宽度相等，且无损耗，由体积相等得()()()416001120%kk r L r r αα⋅-=⋅-=，即416000.8k k L -=⋅．由此得()32000L mm =，()22500L mm =，()mm L 31251=．填表如下：解法二：第3对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有()3160010.2L =⋅-，所以()3160020000.8L mm ==．同理()3225000.8LL mm ==，()2131250.8LL mm ==．填表如下：【本题难度】难，一种看不懂的难．23．（本小题满分14分）已知函数()y f x =的图像是自原点出发的一条折线，当1(0,1,2,)n y n n ≤≤+=时，该图像是斜率为n b 的线段（其中正常数1≠b ），设数列{}n x 由()()1,2,n f x n n ==定义．（Ⅰ）求12,x x 和n x 的表达式；（Ⅱ）求()f x 的表达式，并写出其定义域；（Ⅲ）证明：()y f x =的图像与x y =的图像没有横坐标大于1的交点．【解】本小题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综合的能力．（Ⅰ）依题意(0)0f =，又由()11=x f ，当10≤≤y 时，函数()y f x =的图像是斜率为10=b 的线段，故由()()10011=--x f x f ，得11x =．又由()22=x f ，当21≤≤y 时，函数()y f x =的图像是斜率为b 的线段，故由()()b x x x f x f =--1212，即b x x 112=-得211x b =+．记00x =．由函数()y f x =图像中第n 段线段的斜率为1-n b，故得()()111n n n n n f x f x b x x ----=-．又()()1,1-==-n x f n x f n n ，所以111(),1,2,n n n x x n b---==．由此知数列{}1--n n x x 为等比数列，其首项为1，公比为1b．因1b ≠，得11111()11()11n nn k k k n b b x x x b b b --=--=-=+++=-∑，即11()1n n b b x b --=-．（Ⅱ）当10≤≤y ，从（Ⅰ）可知y x =，即当10≤≤x 时，()f x x =．当1+≤≤n y n 时，即当1+≤≤n n x x x 时，由（Ⅰ）可知1()()(,1,2,3,)n n n n f x n b x x x x x n +=+-≤≤=．为求函数()f x 的定义域，须对11()(1,2,3,)1n n b b x n b --==-进行讨论．当1b >时，11()lim lim 11n n n n b b b x b b -→∞→∞-==--；当01b <<时，n x n ,∞→也趋向于无穷大．综上，当1b >时，()y f x =的定义域为[0,)1bb -；当01b <<时，()y f x =的定义域为[)+∞,0．（Ⅲ）证法一：首先证明当1b >，11-<成立．用数学归纳法证明：（ⅰ）由（Ⅱ）知当1=n 时，在(]2,1x 上，()()11y f x b x ==+-，所以()()()110f x x x b -=-->成立．（ⅱ）假设k n =时在(]1,+k k x x 上恒有()f x x >成立．可得 ()111k k f x k x ++=+>，在(]21,++k k x x 上，()()111k k f x k b x x ++=++-．所以 ()()x x x b k x x f k k --++=-++111()()()111110k k k b x x k x +++=--++->也成立．由（ⅰ）与（ⅱ）知，对所有自然数n 在(]1,+n n x x 上都有()f x x >成立．即11-<．其次，当1b <，仿上述证明，可知当1>x 时，恒有()f x x <成立．故函数()y f x =的图像与x y =的图像没有横坐标大于1的交点．证法二:首先证明当1b >，11bx b <<-时，恒有()f x x >成立．对任意的1,1b x b ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，存在n x ，使1n n x x x +<≤，此时有 ()()()()01n n n f x f x b x x x x n -=->-≥．所以()()n n f x x f x x ->-．又()1111n n n f x n x bb -=>+++=，所以()0>-n n x x f ，所以()()0n n f x x f x x ->->，即有()f x x >成立．其次，当1b <，仿上述证明，可知当1>x 时，恒有()f x x <成立．故函数()x f 的图像与x y =的图像没有横坐标大于1的交点．【本题难度】难，一种想不明写不清的难．24．（本小题满分14分）如图，给出定点(,0)(0)A a a >和直线:1l x =-．B 是直线l 上的动点，BOA ∠的角平分线交AB 于点C ．求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系．【解】本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力．解法一：依题意，记()()1,B b b R -∈，则直线OA 和OB 的方程分别为0=y 和y bx =-．设点()y x C ,，则有0x a ≤<，由OC 平分AOB ∠，知点C 到,OA OB 距离相等．根据点到直线的距离公式得y =①依题设，点C 在直线AB 上，故有()1by x a a=--+．由0≠-a x ，得()1a y b x a+=--． ②将②式代入①式得()()()22222111a y a xy y y x a x a ⎡⎤++⎡⎤+=-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦，整理得()()2221210y a x ax a y ⎡⎤--++=⎣⎦．若0≠y ，则()()()2212100a x ax a y x a --++=<<；若0=y ，则π=∠=AOB b ,0，点C 的坐标为(0,0)，满足上式．综上得点C 的轨迹方程为()()()2212100a x ax a y x a --++=≤<．（ⅰ）当1=a 时，轨迹方程化为()201y x x =≤<． ③此时，方程③表示抛物线弧段；（ⅱ）当1≠a 时，轨迹方程化为()a x a a y a a a a x <≤=-+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--0111122222． ④ 所以，当10<<a 时，方程④表示椭圆弧段；当1>a 时，方程④表示双曲线一支的弧段．解法二：如图，设D 是l 与x 轴的交点，过点C 作CE x ⊥轴，E 是垂足．（ⅰ）当0BD ≠时，设点(,)C x y ，则0,0x a y <<≠．由//CE BD 得()1CE DA y BD a EAa x⋅==+-．因为COA COB COD BOD ∠=∠=∠-∠COA BOD π=-∠-∠，所以2COA BOD π∠=-∠．所以22tan tan(2)1tan COACOA COA∠∠=-∠，tan()tan BOD BOD π-∠=-∠．因为()tan ,tan 1y BD y COA BOD a xODa x∠=∠==+-，所以222(1)1y y x a y a x x⋅=-+--，整理得22(1)2(1)0(0)a x ax a y x a --++=<<．（ⅱ）当0BD =时，BOA π∠=，则点C 的坐标为(0,0)，满足上式．综合（ⅰ），（ⅱ），得点C 的轨迹方程为22(1)2(1)0(0)a x ax a y x a --++=≤< 以下同解法一．【本题难度】难，一种冷漠的难．。

1999年全国高考上海卷数学(理工农医类)试题及答案

1999年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共14小题；第1～10题每小题4分，第11～14题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 ( )(A) （M ∩P ）∩S (B) （M ∩P ）∪S (C) （M ∩P ）∩S(D) （M ∩P ）∪S2.已知映射f ：B A →，其中，集合{},4,3,2,1,1,2,3---=A 集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象，且对任意的,A a ∈在B 中和它对应的元素是a ，则集合B 中元素的个数是( )(A) 4(B) 5(C) 6(D) 73. 若函数()x f y =的反函数是()()0,,≠==ab b a f x g y ，则()b g 等于 ( ) (A) a(B) 1-a(C) b(D) 1-b4.函数()()()0s i n >+=ωϕωx M x f 在区间[]b a ,上是增函数，且()(),,M b f M x f =-=则函数()()ϕω+=x M x g cos 在[]b a ,上( )(A) 是增函数(B) 是减函数(C) 可以取得最大值M(D) 可以取得最小值M -5.若()x x f sin 是周期为π的奇函数，则()x f 可以是( )(A) x sin (B) x cos (C) x 2sin (D) x 2cos6.在极坐标系中，曲线⎪⎭⎫⎝⎛-=3sin 4πθρ关于 ( )(A) 直线3πθ=轴对称(B) 直线πθ65=轴对称 (C) 点⎪⎭⎫⎝⎛3,2π中心对称(D) 极点中心对称7.若干毫升水倒入底面半径为cm 2的圆柱形器皿中，量得水面的高度为cm 6，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是( )(A) cm 36 (B) cm 6(C) cm 3182(D) cm 31238.若(),32443322104x a x a x a x a a x ++++=+则()()2312420a a a a a +-++的值为( )(A) 1(B) －1(C) 0(D) 29.直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为 ( )(A)6π (B)4π (C)3π (D)2π 10.如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF 23=，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为( )(A)29 (B) 5 (C) 6 (D)215 11.若,22sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<->>παπαααctg tg 则∈α( )(A) ⎪⎭⎫⎝⎛--4,2ππ (B) ⎪⎭⎫⎝⎛-0,4π (C) ⎪⎭⎫⎝⎛4,0π (D) ⎪⎭⎫⎝⎛2,4ππ 12.如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R =( )(A) 10(B) 15(C) 20(D) 2513.已知两点,45,4,45,1⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛N M 给出下列曲线方程：①0124=-+y x ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足|MP |=|NP |的所有曲线方程是 ( )(A) ①③(B) ②④(C) ①②③(D) ②③④14.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( )(A) 5种(B) 6种(C) 7种(D) 8种第II 卷（非选择题共90分）二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.15.设椭圆()012222>>=+b a by a x 的右焦点为1F ，右准线为1l ，若过1F 且垂直于x 轴的弦长等于点1F 到1l 的距离，则椭圆的率心率是_____16.在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A 、B 两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有___________种（用数字作答）17.若正数a 、b 满足,3++=b a ab 则ab 的取值范围是______________18.α、β 是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β 之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n②α⊥β③n ⊥β④m ⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．命题：________________________________三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.（本小题满分10分）解不等式()1,01log 22log 3≠>-<-a a x x a a20.（本小题满分12分）设复数.sin 2cos 3θθ⋅+=i z 求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=20arg πθθz y 的最大值以及对应的θ值.21.（本小题满分12分）如图，已知正四棱柱1111D C B A ABCD -，点E 在棱D D 1上，截面EAC ∥B D 1，且面EAC 与底面ABCD 所成的角为.,45a AB =Ⅰ.求截面EAC 的面积；Ⅱ.求异面直线11B A 与AC 之间的距离； Ⅲ.求三棱锥EAC B -1的体积. 22.（本小题满分12分）右图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.Ⅰ.输入带钢的厚度为α，输出带钢的厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过0r .问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？（一对轧辊减薄率输入该对的带钢厚度从该对输出的带钢厚度输入该对的带钢厚度-=）Ⅱ.已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600.mm 若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为.k L 为了便于检修，请计算1L 、2L 、3L 并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）.23.（本小题满分14分）已知函数()x f y =的图像是自原点出发的一条折线，当(),2,1,01=+≤≤n n y n时，该图像是斜率为nb 的线段（其中正常数1≠b ），设数列n x 由()(),2,1==n n x f n 定义.Ⅰ.求1x 、2x 和n x 的表达式；Ⅱ.求()x f 的表达式，并写出其定义域；Ⅲ.证明：()x f y =的图像与x y =的图像没有横坐标大于1的交点. 24.（本小题满分14分）如图，给出定点()()00,>a a A 和直线B x l .1:-=是直线l 上的动点，BOA ∠的角平分线交AB 于点C .求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.1999年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答一、选择题（本题考查基础知识和基础运算）.1. C2. A3. A4. C5. B6. B7. B8. A9. C10. D 11.B12. D13.D14. C二、填空题（本题考查基本知识和基本运算）.15.2116. 12 17. [)+∞,9 18. n m n m ⊥⇒⊥⊥⊥βαβα,,或βαβα⊥⇒⊥⊥⊥n m n m ,,三、解答题19. 本小题主要考查对数函数的性质、对数不等式、无理不等式解法等基础知识，考查分类讨论的思想.解：原不等式等价于()⎪⎩⎪⎨⎧>--<-≥-.01log 2,1log 22log 3,02log 32x x x x a a a a 由①得,32log ≥x a 由②得,43log <x a 或1log >x a ，由③得.21log >x a由此得,43log 32<≤x a 或.1log >x a当1>a 时得所求的解是{}a x x a x a x >⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤||4332 ；当10<<a 时得所求的解是① ② ③{}.0||3243a x x a x a x <<⋃⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤< 20.本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力.解：由20πθ<<得.0>θtg由θθsin 2cos 3i z +=得2arg 0π<<z 及().32cos 3sin 2arg θθθtg tg ==z故 ()z y arg -=θtg tgθθθ232132tg tg tg +-= ,231θθtg tg +=因为,6223≥+θθtg tg 所以.126231≤+θθtg tg 当且仅当⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=2023πθθθtg tg 时，即26=θtg 时，上式取等号. 所以当26arctg=θ时，函数y tg 取得最大值.126由z y arg -=θ得.2,2⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈ππy 由于在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内正切函数是递增函数，函数y也取最大值.126arctg21.本小题主要考查空间线面关系、二面角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力.Ⅰ. 解：如图，连结BD 交AC 于O ，连结EO 因为底面ABCD 是正方形，所以DO ⊥AC又因为ED ⊥底面AC ，因为EO ⊥AC所以∠EOD 是面EAC 与底面AC 所成二面角的平面角. 所以， 45=∠EOD.45sec 22,2,22a a EO a AC a DO =⋅===故.222a S EAC =∆ II. 解：由题设1111D C B A ABCD -是正四棱柱，得A A 1⊥底面AC ，A A 1⊥AC ，又A A 1⊥,11B A所以A A 1是异面直线11B A 与AC 间的公垂线. 因为11B D ∥面EAC ，且面BD D 1与面EAC 交线为EO 所以11B D ∥EO 又O 是DB 的中点，所以E 是D D 1的中点，11B D =2EO =2a 所以D D 1.2221a DB B D =-=异面直线11B A 与AC 间的距离为.2a Ⅲ. 解法一：如图，连结11B D 因为D D 1=DB =.2a 所以11B BDD 是正方形，连结D B 1交B D 1于P ，交EO 于Q 因为D B 1⊥B D 1，EO ∥B D 1，所以D B 1⊥EO 又AC ⊥EO ，AC ⊥ED 所以AC ⊥面11B BDD ，所以D B 1⊥AC ，所以D B 1⊥面EAC .所以Q B 1是三棱锥EAC B -1的高. 由DQ =PQ ，得.234311a D B Q B == 所以.42232231321a a a V EAC B =⋅⋅=- 所以三棱锥EAC B -1的体积是.423a 解法二：连结O B 1，则112EO B A EAC B V V --= 因为AO ⊥面11B BDD ，所以AO 是三棱锥1EOB A -的高，AO .22a =在正方形11B BDD 中，E 、O 分别是D D 1、DB 的中点（如右图），则.4321a S EOB =∆ ∴.422243312321a a a V EAC B =⋅⋅⋅=- 所以三棱锥EAC B -1的体积是.423a 22. 本小题主要考查等比数列、对数计算等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决实际问题的能力.Ⅰ.解：厚度为α的带钢经过减薄率均为0r 的n 对轧辊后厚度为().10nr a -为使输出带钢的厚度不超过β，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应满足()β≤-nr a 01即().10ar nβ≤- 由于(),0,010>>-ar nβ对比上式两端取对数，得().lg1lg 0ar n β≤-由于(),01lg 0<-r 所以().1lg lg lg 0r an --≥β因此，至少需要安装不小于()01lg lg lg r a--β的整数对轧辊.Ⅱ. 解法一：第k 对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积为()⋅-⋅kr a 11600宽度(),%20=r 其中而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为()⋅-⋅41r a L k 宽度.因宽度相等，且无损耗，由体积相等得()=-⋅kr a 11600()41r a L k -⋅ (),%20=r即.8.016004-⋅=k k L由此得(),20003mm L = (),25002mm L = ()mm L 31251= 填表如下轧锟序号k1234疵点间距k L （单位：mm ）3125 2500 2000 1600解法二：第3对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有(),2.0116003-⋅=L所以().20008.016003mm L == 同理(),25008.032mm LL ==().31258.021mm LL ==填表如下轧锟序号k1 2 3 4 疵点间距k L （单位：mm ）312525002000160023.本小题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综合的能力.Ⅰ.解：依题意()00=f ，又由()11=x f ，当10≤≤y 时，函数()x f y =的图像是斜率为10=b 的线段，故由()()10011=--x f x f 得.11=x又由()22=x f ，当21≤≤y 时，函数()x f y =的图像是斜率为b 的线段，故由()()b x x x f x f =--1212，即b x x 112=-得.112b x += 记.00=x 由函数()x f y =图像中第n 段线段的斜率为1-n b，故得()().111---=--n n n n n b x x x f x f 又()()1,1-==-n x f n x f n n ；所以 .2,1,111=⎪⎭⎫ ⎝⎛=---n b x x n n n由此知数列{}1--n n x x 为等比数列，其首项为1，公比为.1b因,1≠b 得(),111111111-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=-=--=-∑b b b b b x x x n n nk k k n即.111-⎪⎭⎫⎝⎛-=-b b b x n nⅡ. 解：当10≤≤y ，从Ⅰ可知,x y =当10≤≤x 时，().x x f = 当1+≤≤n y n 时，即当1+≤≤n n x x x 时，由Ⅰ可知()()().3,2,1,1 =≤≤-+=+n x x x x x b n x f n n n n为求函数()x f 的定义域，须对() ,3,2,1111=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-n b b b x n n 进行讨论.当1>b 时，111limlim 1-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∞→∞→b bb b b x n n n n ；当10<b 时，()x f y =的定义域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,0b b ；当10<b ，11-<成立. 用数学归纳法证明：（ⅰ）由Ⅱ知当1=n 时,在(]2,1x 上, ()(),11-+==x b x f y 所以()()()011>--=-b x x x f 成立（ⅱ）假设k n =时在(]1,+k k x x 上恒有()x x f >成立. 可得 (),111++>+=k k x k x f在(]21,++k k x x 上,()().111++-++=k k x x b k x f 所以 ()()x x x b k x x f k k --++=-++111()()()011111>-++--=+++k k k x k x x b 也成立.由(ⅰ)与(ⅱ)知,对所有自然数n 在(]1,+n n x x 上都有()x x f >成立. 即 11-<. 其次，当1x 时,恒有()x x f <成立. 故函数()x f y =的图像与x y =的图像没有横坐标大于1的交点. 证法二:首先证明当1>b ,11-<成立. 对任意的,1,1⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈b b x 存在n x ,使1+≤<n n x x x ，此时有()()()(),10≥->-=-n x x x x b x f x f n n n所以()().n n x x f x x f ->- 又(),1111n n n x bb n x f =+++>=- 所以()0>-n n x x f ，所以()()0>->-n n x x f x x f ，即有()x x f >成立.其次，当1x 时，恒有()x x f <成立. 故函数()x f 的图像与x y =的图像没有横坐标大于1的交点.24. 本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力.解法一：依题意，记()(),,1R ∈-b b B 则直线OA 和OB 的方程分别为0=y 和.bx y -=设点()y x C ,，则有a x <≤0，由OC 平分∠AOB ，知点C 到OA 、OB 距离相等.根据点到直线的距离公式得.12bbx y y ++=①依题设，点C 在直线AB 上，故有().1a x aby -+-= 由0≠-a x ，得().1ax y a b -+-= ②将②式代入①式得()()(),11122222⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++a x xy a y a x y a y 整理得()()[].0121222=++--y a ax x a y 若0≠y ，则()()()a x y a ax x a <<=++--0012122；若0=y ，则π=∠=AOB b ,0，点C 的坐标为（0，0），满足上式. 综上得点C 的轨迹方程为()()()a x y a ax x a <≤=++--0012122（ⅰ）当1=a 时，轨迹方程化为().102<≤=x x y ③此时，方程③表示抛物线弧段；（ⅱ）当1≠a 时，轨迹方程化为()a x a a y a a a a x <≤=-+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--0111122222④ 所以，当10<<a 时，方程④表示椭圆弧段；当1>a 时，方程④表示双曲线一支的弧段.解法二：如图，设D 是l 与x 轴的交点，过点C 作CE ⊥x 轴，E 是垂足. （ⅰ）当| BD |≠0时，设点C （x ，y ），则.0,0≠<<y a x由CE ∥BD 得().1a xa y EADA CE BD +-=⋅=因为∠COA =∠COB=∠COD －∠BOD =π－∠COA －∠BOD ，所以2∠COA =π－∠BOD 所以(),1222COACOACOA ∠-∠=∠tg tg tg()BOD BOD ∠-=∠-tg tg π因为,xy COA =∠tg().1a xa y ODBD BOD +-==∠tg所以(),11222a x a y xy x y+--=-⋅整理得()()().0012122a x y a ax x a <<=++--（ⅱ）当| BD | = 0时，∠BOA =π，则点C 的坐标为（0，0），满足上式. 综合（ⅰ），（ⅱ），得点C 的轨迹方程为()()().0012122a x y a ax x a <≤=++--以下同解法一.。

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