概率统计3练习题第一章(1)

合集下载

《概率论与数理统计》第三版龙永红第一、二、三章练习及答案

《概率论》第一章练习一、填空题：（1）设A 、B 为随机事件，P （A ）＝0.7，P （A －B ）＝0.3，则P （A B ）＝。

（2）设A 、B 为随机事件，P （A ）＝0.92，P （B ）＝0.93，P （B/A ）＝0.85，则P （A/B ）=_ _，P （A B ）=_ __。

见课本习题—20题（3）设事件A 、B 相互独立，已知P （A ）＝0.5，P （A B ）＝0.8，则P(A B )= , P （A B ）＝。

（4）袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，今两人依次随机地从中各取一球，则第二个人取得黄球的概率是。

（5）设两个独立事件A 、B 都不发生的概率为1/9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则P （A ）＝。

（6）一射手对同一目标独立地进行4次射击，若至少命中一次的概率是80/81，则该射手的命中率为。

(7) 袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地取出4球，其中“恰好2个黑球，2个白球”的概率为：、(8) 事件A 、B 、C 中至少有两个不发生，可用运算符号表示为：；而运算符号C B A -+)(则表示事件。

(9) A 、B 为相互独立的事件，P （A ）=0.4，P （AB ）=0.12，则 P （B ）= ；P （A B ）= 。

(10) 设A 、B 为互不相容事件，P （B ）=0.4，P （A+B ）=0.75，则 P （A ）= ；P （AB ）= 。

（11）设A 、B 为互不相容事件，P （A ）=0.35，P （A+B ）=0.80，则 P （B ）= ；P （A ）-P （AB ）= 。

（12）A 、B 为相互独立的事件，P （A ）=0.4，P （AB ）=0.12，则B）= 。

P（B）= ；P（A（13）某人射击时，中靶的概率为3/4，如果射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为（14）设每次试验成功的概率为：P（0<P<1），则3次重复试验中至少失败1次的概率为（15）甲、乙两个人独立地对同一目标各射击一次，其中命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是二、计算题：1、现有编号为1，2，3的3个盒子，1号盒中有3个红球，2个黄球；2号盒中有2个红球，3个黄球；3号盒中有1个红球，4个黄球。

概率统计第一章每一节习题

概率统计第一章每一节习题第一章随机事件与概率习题一随机事件一、填空题1. E ：将一枚均匀的硬币抛三次，观察结果,则正面出现次数的样本空间=Ω .2．某商场出售电器设备，以事件A 表示“出售74 Cm 海信电视机”，以事件B 表示“出售74 Cm 长虹电视机”，则只出售一种品牌的电视机可以表示为；至少出售一种品牌的电视机可以表示为；两种品牌的电视机都出售可以表示为 .3．设A ，B ，C 表示三个随机事件，试通过A ，B ，C 表示下列随机事件：A 发生而B ，C 都不发生为；A ，B ，C 不多于一个发生 .4.设事件n A A A A ,,,,321 若；，则称n A A A A ,,,,321 为完备事件组.5.对立事件A 与A 在每一次试验中发生.二、设{1,2,,10}Ω= ，{2,3,4}A =，{3,4,5}B =，{5,6,7}.C =写出下列算式表示的集合： 1. AB 2.A B C ++3._____________A B C ++三、写出下式的另外一种形式表达式 1.=++n A A 1 2.=++n A A 1习题二随机事件的概率一、填空题1.概率是事件的自然属性，有事件就一定有 .2.古典概型的两个条件是，.3.今有10张电影票,其中只有2张座号在第一排,现采取抽签方式发放给１０名同学,则.A.先抽者有更大可能抽到第一排座票B.后抽者更可能获得第一排座票C.各人抽签结果与抽签顺序无关D.抽签结果受以抽签顺序的严重制约二、8件产品中有5件是一级品，3件是二级品，现从中任取2件，求下列情况下取得的2件产品中只有一件是一级品的概率：( 1 ) 2件产品是无放回的逐次抽取；( 2 ) 2件产品是有放回的逐次抽取.三、有n位同学（n 365），求他们至少有两个人的生日在同一天的概率（一年按365天计算）.四、从1，2，…，10这十个数中等可能地任取一个，然后还原，先后取出7个数，试求下列各事件的概率：（1）7个数全不相同；（2）不含9和2；（3）8出现三次.习题三概率的运算法则一、填空1.设事件,,B A =+)(B A P ,当A ，B 互斥时=+)(B A P .2.设事件,,B A =-)(B A P , )(A P )(AB P .3.设事件C B A ,, =++)(C B A P .4.设事件组n A A A A ,,,,321 ，)(21n A A A P = .5.=)|(A B P .6.=+)|(21B A A P . (条件概率的加法公式)二、袋中装有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，求取到的三个球中没有红球或没有黄球的概率.三、某工厂生产的产品中，36%为一等品，54%为二等品，10%为三等品，任取一件产品，已知它不是三等品，求它是一等品的概率.四、10个签中有4个是难签，3人参加抽签（无放回），甲先、乙次、丙最后.求甲抽到难签、甲乙都抽到难签、甲没有抽到难签而乙抽到难签及甲乙丙都抽到难签的概率。

《概率论与数理统计》第一章习题及答案

《概率论与数理统计》第一章习题及答案习题1.11. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C,分别表示“第一次出现A,B正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。

试写出样本空间及事件C,中的样本点。

A,B解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A(正，正)，（正，反）}；{=B（正，正），（反，反）} {=C(正，正)，（正，反），（反，正）}2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D,,分别表示“点数之和为A,BC偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。

试写出样本空间及事件D-+,-,,中AB-,ABCABCBCA的样本点。

解：{})6,6(,=Ω；),2,6(),1,6(,),2,1(),1,1(),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,{})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(AB；={})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,+BA；=),5,1(),3,1(),1,1(A；C=Φ{})2,2(),1,1(BC；={})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(BA-DC-=-3. 以C,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。

试用A,B,表示以下事件：A,BC（1）只订阅日报；（2）只订日报和晚报；（3）只订一种报；（4）正好订两种报；（5）至少订阅一种报；（6）不订阅任何报；（7）至多订阅一种报；（8）三种报纸都订阅；（9）三种报纸不全订阅。

解：（1）C B A ；（2）C AB ；（3）C B A C B A C B A ++；（4）BC A C B A C AB ++;（5）C B A ++；（6）C B A ；（7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ；（9）C B A ++4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。

《概率论与数理统计》第三版--课后习题答案.-(1)

习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1)某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故；(2)掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;解：；(3)观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以；(4)从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品;解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：(5)检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则；(6)观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2);解：用表示最低气温, 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故：；(7)在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;解：；(8)在长为的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.解：；1.2(1)A 与B 都发生, 但C 不发生; ；(2)A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;；(3)A,B,C 中至少有一个发生; ；(4)A,B,C 中恰有一个发生;；(5)A,B,C 中至少有两个发生; ；(6) A,B,C 中至多有一个发生;；(7) A;B;C 中至多有两个发生;(8) A,B,C 中恰有两个发生. ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

1.3 设样本空间, 事件=,具体写出下列各事件：(1); (2) ; (3) ; (4)（1）；(2) =；(3) =;(4) =1.6 按从小到大次序排列, 并说明理由.解：由于故，而由加法公式，有：1.7解：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：(2)由于事件可以分解为互斥事件，昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件概率为：(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为：.1.8解：(1) 由于，故显然当时P(AB) 取到最大值。

概率论与数理统计第一章习题及答案

概率论与数理统计习题第一章概率论的基本概念习题1-1 设C B A ,,为三事件，用C B A ,,的运算关系表示下列各事件.（1）A 发生，B 与C 不发生，（2）A 与B 都发生，而C 不发生，（3）C B A ,,中至少有一个发生，（4）C B A ,,都发生，（5）C B A ,,都不发生，（6）C B A ,,中不多于一个发生，（7）C B A ,,中不多于两个发生，（8）C B A ,,中至少有两个发生，解（1）A 发生，B 与C 不发生表示为C B A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C ) （2）A ，B 都发生，而C 不发生表示为C AB 或AB －ABC 或AB －C （3）A ，B ，C 中至少有一个发生表示为A+B+C （4）A ，B ，C 都发生，表示为ABC（5）A ，B ，C 都不发生，表示为C B A 或S － (A+B+C)或C B A ⋃⋃（6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生，相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。

故表示为：C A C B B A ++。

（7）A ，B ，C 中不多于二个发生相当于C B A ,,中至少有一个发生。

故表示为ABC C B A 或++（8）A ，B ，C 中至少有二个发生。

相当于AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。

故表示为AB +BC +AC习题1-2 设B A ,为两事件且6.0)(=A P ，7.0)(=B P ，问（1）在什么条件下)(AB P 取得最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下)(AB P 取得最小值，最小值是多少？解由P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7即知AB ≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.6+0.7=1.3>1与P (A ∪B )≤1矛盾）.从而由加法定理得P (AB )=P (A )+P (B )－P (A ∪B )(*)（1）从0≤P (AB )≤P (A )知，当AB =A ，即A ∩B 时P (AB )取到最大值，最大值为 P (AB )=P (A )=0.6，（2）从(*)式知，当A ∪B=S 时，P (AB )取最小值，最小值为 P (AB )=0.6+0.7－1=0.3 。

概率统计第一章概率论的基础知识习题与答案

概率统计第一章概率论的基础知识习题与答案概率论与数理统计概率论的基础知识习题一、选择题1、下列关系正确的是( )。

A、0∈∅B、{0}∅=∅⊂D、{0}∅∈C、{0}答案：C2、设{}{}2222=+==+=，则( )。

P x y x y Q x y x y(,)1,(,)4A、P Q⊂B、P Q<C、P Q⊂与P Q⊃都不对D、4P Q=答案：C二、填空1、6个学生和一个老师并排照相，让老师在正中间共有________种排法。

答案：6!720=2、5个教师分配教5门课，每人教一门，但教师甲只能教其中三门课，则不同的分配方法有____________种。

答案：723、编号为1，2，3，4，5的5个小球任意地放到编号为A、B、C、D、E、F的六个小盒子中，概率论的基础知识第 1 页（共 19 页）每一个盒至多可放一球，则不同的放法有_________种。

答案：()65432720⨯⨯⨯⨯=4、设由十个数字0，1，2，3，，9的任意七个数字都可以组成电话号码，则所有可能组成的电话号码的总数是_______________。

答案：710个5、九名战士排成一队，正班长必须排在前头，副班长必须排在后头，共有_______________种不同的排法。

答案：77!5040P==6、平面上有10个点，其中任何三点都不在一直线上，这些点可以确定_____个三角形。

答案：1207、5个篮球队员，分工打右前锋，左前锋，中锋，左后卫右后卫5个位置共有_____________种分工方法？答案：5!120=8、6个毕业生，两个留校，另4人分配到4个概率论的基础知识第 2 页（共 19 页）不同单位，每单位1人。

则分配方法有______种。

答案：(6543)360⨯⨯⨯=9、平面上有12个点，其中任意三点都不在一条直线上，这些点可以确定_____________条不同的直线。

答案：6610、编号为1，2，3，4，5的5个小球，任意地放到编号为A，B，C，D，E，F，的六个小箱子中，每个箱子中可放0至5个球，则不同的放法有___________种。

概率统计第一章复习题

第一章练习题一、选择题1.对事件B A ,，下列命题正确的是:（）A. 如果B A ,互不相容，则B A ,也互不相容B. 如果B A ,相容，则B A ,也相容C. 如果B A ,互不相容，且()()0,0>>B P A P ，则B A ,互相独立D. 如果B A ,互相独立，则B A ,也互相独立2.某人射击时,中靶的概率为3/4,如果射击直到中靶为止,则射击次数为3的概率为 ( ).3)43(. A 41)43(.2⨯B 43)41(.2⨯C 3)41(.D 3.设()8.0=A P ，()7.0=B P ，()8.0|=B A P ，则下列结论正确的是( )A. 事件A 与B 互不相容B. B A ⊂C. 事件A 与B 互相独立D. ()()()B P A P B A P +=Y 4. 事件)(C B A ⋃的含义是（）(1)A 出现 (2)A 出现且B ，C 都不出现 (3)A 出现，B 和C 中至少有一个不出现。

5. 设事件A 、B 相互独立，()()0,0>>B P A P , 则（）Φ=AB A . ()()()B P A P B A P B =-. ()()A P B P C -=1. ()0|.=A B P D6. 设()0=AB P ，则（）.A) B A ,互不相容 B) B A ,相互独立 C) ()()00==B P A P 或 D)()()A P B A P =-7. 设B A ,为两个随机事件，且有()1|=AB C P ，则（）正确.A) ()()()1-+≤B P A P C P B) ()()AB P C P =C) ()()()1-+≥B P A P C P D) ()()B A P C P +=二、填空题1. 设B A ,为两个不相容事件，则=-)(B A P _________.2. 设()()()321321,,;31A A A A P A P A P ===相互独立,则 (1) 321,,A A A 至少出现一个的概率为 ,(2)321,,A A A 恰好出现一个的概率为 , (3)321,,A A A 最多出现一个的概率为 .3. 设C B A ,,为三个随机事件，用C B A ,,表示下列事件：(1)C B A ,,中至少有一事件发生_______________, 其对立事件为______________;(2)C B A ,,中至多有一事件发生_______________,C B A ,,中恰好有一事件发生___________________.4. 己知()5.0=A P ,()6.0=B P , ()8.0|=A B P ,则()B A P Y = .5. 设()(),6.0,3.0==B A P A P Y 那么(1)若A 和B 互不相容，则()=B P ,(2)若A 和B 相互独立,则()=B P , (3)若B A ⊂,则()=B P .6. 设事件A 表示“甲产品畅销，乙产品滞销”，则其对立事件A 表示 .7. 某射手在三次独立射击中至少命中一次的概率为, 则该射手在一次射击中命中的概率为 .8. 如果事件A 和B 满足V AB =，则称事件A 与事件B 为事件；如果事件A 和B 满足U B A =⋃，V AB =，则称事件A 与事件B 为事件.三、计算题1. 设试验为从装有三个白球（记号为1，2，3）与两个黑球（记号为4，5）的袋中任取两个球，(1)观察取出的两个球的颜色。

概率统计习题集（含答案）

第一章随机事件及其概率一、选择题：1．设A 、B 、C 是三个事件，与事件A 互斥的事件是：（）A ．AB AC + B ．()A B C + C ．ABCD ．A B C ++2．设B A ⊂ 则（）A ．()P AB =1-P （A ） B ．()()()P B A P B A -=-C ． P(B|A) = P(B)D ．(|)()P AB P A =3．设A 、B 是两个事件，P （A ）> 0，P （B ）> 0,当下面的条件（）成立时，A 与B 一定独立A ．()()()P AB P A P B = B ．P （A|B ）=0C ．P （A|B ）= P （B ）D ．P （A|B ）= ()P A4．设P （A ）= a ，P （B ）= b, P （A+B ）= c, 则 ()P AB 为：（）A ．a-bB ．c-bC ．a(1-b)D ．b-a5．设事件A 与B 的概率大于零，且A 与B 为对立事件，则不成立的是（）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 互不独立D ．A 与B 互不相容6．设A 与B 为两个事件，P （A ）≠P （B ）> 0，且A B ⊃，则一定成立的关系式是（）A ．P （A|B ）=1 B ．P(B|A)=1C ．(|A)1p B =D ．(A|)1p B =7．设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是（）A ．()AB B A -= B ．()A B B A -⊃C ．()A B B A -⊂D ．()A B B A -=8．设事件A 与B 互不相容，则有（）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （AB ）=0C ．A 与B 互不相容D ．A+B 是必然事件9．设事件A 与B 独立，则有（）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （AB ）=0D ．P （A+B ）=110．对任意两事件A 与B ，一定成立的等式是（）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （A|B ）=P （A ）D ．P （AB ）=P （A ）P （B|A ）11．若A 、B 是两个任意事件，且P （AB ）=0，则（）A ．A 与B 互斥 B ．AB 是不可能事件C ．P （A ）=0或P （B ）=0D ．AB 未必是不可能事件12．若事件A 、B 满足A B ⊂，则（）A ．A 与B 同时发生 B ．A 发生时则B 必发生C ．B 发生时则A 必发生D ．A 不发生则B 总不发生13．设A 、B 为任意两个事件，则P （A-B ）等于（）A ． ()()PB P AB - B ．()()()P A P B P AB -+C ．()()P A P AB -D ．()()()P A P B P AB --14．设A 、B 、C 为三事件，则AB BC AC 表示（）A ．A 、B 、C 至少发生一个 B ．A 、B 、C 至少发生两个C ．A 、B 、C 至多发生两个D ．A 、B 、C 至多发生一个15．设0 < P (A) < 1. 0 < P (B) < 1. P(|B)+P(A B A )=1. 则下列各式正确的是（）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 相互对立D ．A 与B 互不独立16．设随机实际A 、B 、C 两两互斥，且P （A ）=0.2，P （B ）=0.3，P （C ）=0.4，则PA B C -= （）（）. A ．0.5 B ．0.1 C ．0.44 D ．0.317掷两枚均匀硬币，出现一正一反的概率为（）A ．1/2B ．1/3C ．1/4D ．3/418．一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为 1p ，第二道工序的废品率为2p ，则该零件加工的成品率为（）A ．121p p --B ．121p p -C ．12121p p p p --+D ．122p p --19．每次试验的成功率为)10(<<p p ，则在3次重复试验中至少失败一次概率为（）。

概率论与数理统计——第一章练习题

第一章随机事件与概率（一）随机事件知识点1、称试验E 的样本空间的子集为随机事件，用A 、B 、C …表示。

事件A 的元素是样本点，它在一次试验中，可能出现，也可能不出现。

A 中的某个样本点出现了，事件A 发生，否则，A 不发生。

因此，在一次试验中，可能发生也可能不发生的事情，就是随机事件。

样本空间S 有两个特殊的子集；S 自身和空集φ。

S 含所有的样本点，每次试验，必然发生；φ不含样本点，每次试验一定不发生。

在一定条件下，每次试验一定发生的事情，称为必然事件。

每次试验一定不发生的事情，称为不可能事件。

必然事件S ，不可能事件φ是事先就能明确是否会发生，属于确定性现象，但在概率统计中，为了研究问题的需要，仍将其作为特殊的随机事件处理，使得事件间有着完整的关系，S A ⊂⊂φ。

此外，在样本空间的子集中，只含一个样本点的事件，称为基本事件。

样本点的个数超过一个的事件，称为复合事件。

2、事件之间的关系和运算由于事件是样本点的集合，因此，事件之间的关系和运算可借助集合之间的关系与运算来定义。

其运算规律也同集合间的运算规律。

(1)事件的包含与相等若事件A 发生必然导致事件B 发生，则称A 包含于B (或B 包含A )，记B A ⊂(或A B ⊃)。

若B A ⊂且A B ⊃，则称事件A 与事件B 相等，记B A =。

(2)事件的和事件A 与事件B 至少有一个发生的事件，记作B A ，称为A 与B 的和事件，有{}B e A e e B A ∈∈=或。

同样地有限个事件n A A A ,,,21 至少有一个发生的事件，记作 ni i A 1=，称为有限个事件的和事件。

可列多个事件 ,,,,21i A A A 至少有一个发生的事件，记作 ∞=1i i A ，称为可列多个事件的和事件。

(3)事件的积事件A 与事件B 同时发生的事件，记作B A (或AB )，称为A 与B 的积事件，{}B e A e e AB ∈∈=且类似地，有限个多个事件n A A A ,,,21 同时发生的事件，记作 ni i A 1=。

2020概率统计模拟题3-答案(1)

7. 设 X1, X 2 , X 3 为来自泊松分布总体 X () (其中未知)的一个样本，
1
1 3
( X1
X
2
X3)
，
2
1 4
( X1
X
2)
1 2
X3
，
3
1 6
( X1
X
2)
2 3
X3
均为参数的估计
量，其中最有效的估计量是 ˆ1 .
8. 设 X1, X 2 , X 3, X 4 , X 5 , X 6 是来自总体 N (0,1) 的样本，则
件 A 在一次实验中出现的概率是 1 3
4. 设随机变量 X，Y 独立同分布，且服从区间[0,3]上的均匀分布，则 P{min( X ,Y ) 1} 4 9
5. 设 D(X)=25,D(Y)=36, XY 0.4, 则 D(X-Y)= 37 6. 设 D(X)=0.004,则由切比雪夫不等式得 P{ X E( X ) 0.2} 0.9
P( A) 3
3
3 4 12
又因为 P( A | B) P( AB) 1 ，所以 P(B) 2P( AB) 2 1 1
P(B) 2
12 6
（1） P( A B) P( A) P(B) P( AB) 1 1 1 1 4 6 12 3
（2） P( AB ) P( A B) 1 P( A B) 1 1 2 33
E(Y ) np 5e2，D(Y ) np(1 p) 5e2 (1 e2 )
五.已知随机变量 X 的概率密度 f X (x) Ae|x| ( x )
试求（1）常数 A ；（2） X 的分布函数；（3）P{0 X 1| X 1}.
解答（1）由概率密度的性质，有 1

概率论与数理统计练习题与答案

概率论与数理统计练习题与答案第一章随机事件及其概率（一）一．选择题1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ]（A）不可能事件（B）必然事件（C）随机事件（D）样本事件2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A）{抽到的三个产品全是合格品}{抽到的三个产品全是废品}（B）{抽到的三个产品全是合格品}{抽到的三个产品中至少有一个废品}（C）{抽到的三个产品中合格品不少于2个}{抽到的三个产品中废品不多于2个}（D）{抽到的三个产品中有2个合格品}{抽到的三个产品中有2个废品}3．下列事件与事件不等价的是 [C ]（A）（B）（C）（D）4．甲、乙两人进行射击，A、B分别表示甲、乙射中目标，则表示 [ C]（A）二人都没射中（B）二人都射中（C）二人没有都射着（D）至少一个射中5．以表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件为. [ D]（A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；（B）“甲、乙两种产品均畅销”；（C）“甲种产品滞销”；（D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销6．设，则表示 [ A]（A）（B）（C）（D）7．在事件，，中，和至少有一个发生而不发生的事件可表示为 [ A]（A）；（B）；（C）；（D）.8、设随机事件满足，则 [ D ] （A）互为对立事件 (B)互不相容(C)一定为不可能事件 (D)不一定为不可能事件二、填空题1．若事件A，B满足，则称A与B 互不相容或互斥。

2．“A，B，C三个事件中至少发生二个”此事件可以表示为。

三、简答题：1．一盒内放有四个球，它们分别标上1，2，3，4号，试根据下列3种不同的随机实验，写出对应的样本空间：（1）从盒中任取一球后，不放回盒中，再从盒中任取一球，记录取球的结果；（2）从盒中任取一球后放回，再从盒中任取一球，记录两次取球的结果；（3）一次从盒中任取2个球，记录取球的结果。

答：（1）｛(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3 )｝（2）｛（1,1）,(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3 ,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)｝(3）｛(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)｝2．设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件。

概率论与数理统计(第三版)课后答案习题1

第一章事件与概率1．写出下列随机试验的样本空间。

（1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。

（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。

（3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。

（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

（5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。

（6）实测某种型号灯泡的寿命。

解（1）},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n为班级人数。

（2）}18,,4,3{ =Ω。

（3）},11,10{ =Ω。

（4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中0表示次品，1表示正品。

（5）=Ω{(x,y)0<x<1,0<y<1}。

（6）=Ω{ t t 0}。

2．设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列各事件，。

（1）A 发生，B 与C 不发生。

（2）A 与B 都发生，而C 不发生。

（3）A，B，C中至少有一个发生。

（4）A，B，C都发生。

（5）A，B，C都不发生。

（6）A，B，C中不多于一个发生。

（7）A，B，C至少有一个不发生。

（8）A，B，C中至少有两个发生。

解（1）C B A，（2）CAB，（3）+，（4）ABC，（5）CA+CBA，B（6）C+或BA+ABCAB+B+，A+CCCBAABC（7）C+，A+B（8）BCAB++或ACCAB⋃⋃A⋃BCABCBAC3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作图说明。

（1）B=（2）AABBAB B A =（3）AB B A B =⊂则若, （4）若 A B B A ⊂⊂则,（5）C B A C B A = （6）若Φ=AB 且A C ⊂，则Φ=BC解 : (1) 成立，因为B A B B B A B B A ==))((。

概率论与数理统计教材第1章习题

47
1.20 把10本书任意地放在书架上, 求其中指定的 3本放在一起的概率。
解基本事件的总数：
N P10 设A =“指定的3本放在一起”，
则A所包含的基本事件的数：
M P3 P8
∴ P( A) M P3 P8 8!3! 1 0.067 N P10 10! 15
48
1.21. 1～100个共100个数中任取一个数，求这个数能被2或3 或5整除的概率。
（1）（2）（3）（4）
A表示B
表示
表A示B
表示
AB
AA
; ; ; ;
解答
返回
1.3设A, B, C 表示三个事件, 试将下列事件用A, B, C 表示.
（1）A, B, C 都发生. （2）A, B, C 都不发生. （3）A, B, C 不都发生. （4）A, B, C 中至少有一个发生. （5）A, B, C 中至少有二个发生. （6）A, B, C 中恰好有一个发生. （7）A, B, C 中最多有一个发生. （8）A 发生而 B, C 都不发生. （9）A 不发生但 B, C 中至少有一个发生.
解: 设A= “被2整除”
B=“பைடு நூலகம்3整除”
C=“被5整除”
PA 50 PB 33 PC 20
100
100
100
PAB 16 PAC 10 PBC 6
100
100
100
PABC 3
100
所以所求事件的概率为
PA BC
PA PB PC PAB PBC PAC PABC
0.74
解答
返回
1.19 某工厂生产的100个产品中，有5个次品，从这批产品中任取一半来检查，设A表示发现次品不多于1个，求A的概率。

概率统计练习题(第3版)

（1）每次取出的产品都不放回；
（2）每次取出的产品都立即放回，然后再取下一件产品；
（3）每次取出一件产品后总以一件合格品放回该产品中。
6. 设 5 个晶体管中有 2 个次品 3 个正品，如果每次从中任取 1 个进行测试，
测试后的产品不放回，直到把 2 个次品都找到为止。求需要进行测试的次数 X
的分布律，并求概率(2 < < 5)。
下列事件的概率：
（1）没有一双配对；
（2）恰有一双配对；
（3）恰有两双配对；
（4）恰有 r 双配对。
6. 掷均匀硬币 2n 次，求出现正面次数多于反面次数的概率。
7. 从 0，1，2，…，9 等十个数字中任意选和 5；
（2）三个数字中不含 0 或 5。
总数超过壹角的概率。
13. 设有某产品 40 件，其中有 10 件次品，其余为正品。现从中任取 5 件，
求取出的 5 件产品中至少有 4 件次品的概率。
14. 某专业研究生复试时，有 3 张考签，3 个考生应试，一个人抽一张看后
立刻放回，再让另一个人抽，如此 3 个人各抽一次，求抽签结束后，至少有一张
38. 一架长机和两架僚机一同飞往某地进行轰炸，但需要到达目的地，非有
无线电导航不可，而只有长机具有此项设备，一旦到达目的地，各机将独立地进
行轰炸且炸毁目标的概率为 0.3，在到达目的地之前必须经过高射炮阵地上空，
此时任一飞机被击落的概率为 0.2，求目标被炸毁的概率。
4 / 22
第2章
1. 投掷两颗骰子，所得点数之和记为 X，求 X 的分布律。
这批元件经检验能出厂的概率。
34. 商店销售 10 台电冰箱，其中 7 台一级品，3 台二级品，已售出 1 台，在

经济数学《概率论与数理统计》习题库(第 1 章)

第一章练习题（A ）一．单项选择题 1．设事件A 与B 互斥,P (A )p ,P (B )q ,则)(B A P 等于( ).(A)(1p )q ;(B)pq ;(C)q ;(D)p .==答 C 2.一批产品的废品率为0.01,从中随机抽取10件,则10是2件的概率为( ).(A)2210)0.01(C (B)28210)0.99()(C (C)82810)()(C (D)28810)()(C 件中废品数0.010.010.990.990.01;.;;答 C3.如果A ,B 为任意事件,下列命题正确的是 ( ). (A)如果A ,B 互不相容,则B A ,也互不相容;(C)如果相容,则B A ,也相容;(D)B A AB .(B)如果A ,B 相互独立,则B A ,也相互独立;A ,B答 B4..;;;( ).,3,2,1,,,310必有一发击中恰好击中一发至多击中一发至少击中一发表示那么事件发击中表示事件发打靶(D)(C)(B)(A)A A i i A i “”答 B 5..;;)(;,(B AB A A B P A A B P B A 是必然事件则正确的是满足和假设事件(A)(B)(C)(D)( ).答 D 6．.)1(;)1(;)1(;)1(4),10(63395449643964410p p C p p C p p C p p C p p 次成功地概率为才取得进行重复试验每次试验成功率为(A)(B)(C)(D)( ).直到第十次试验,答 B7．设有10个人抓阄抽取两张戏票,则第三个人抓到有戏票的事件的概率等于( ).(A)0;(B)41;(C)81;(D)51.答 D 8．).()()();()()();|()|();|()|(( ).),|()|(,0)(,1)(0,B P A P AB P (D)B P A P AB P (C)B A P B A P (B)B A P B A P (A)A B P A B P B P A P B A 则下列各式中成立的是满足设事件答 C 9..1;1);1)(1)(1(;1( ).,,,,321321321321321321p p p p p p (D)p p p (C)p p p (B)p p p (A)p p p 则加工该种零件的成品率为各道工序的废品率分别为加工一种零件需经过三道独立工序答 B 10.).()()((D));|()|(|})(|{(C));()()((B);(A)( ).),|()|(|){(,0)()()(21212121212121212121B A P B A P B A BA P AB P A B P A A B P A P A P A A P A A B A P B A P B A A P A P A P B P 则已知答 D二．填空题 1．E 0,1,2,3,4,5,E ______________.若随机试验是:在六张卡片上分别中任意依次取出两张,取后不放回,组成一个二位数,空间中基本事件个数是标有数字则从的样本251515C C .答2.将3个球随机地放入4个盒子中,记事件A 表示:一盒中”P (A )等于________________.“三个球恰在同.则答161.3.设A , B 是两个互不相容的随机事件,且知)(,)(B P A P ,则)(B AP _______________.答43.4..____2,5,7.0次的概率为则恰好命中次现独立地重复射击设某人打靶的命中率为1323.0答.5..________5,5,,1010,,2,1个数字全不相同的事件的概率等于则所得数字个先后取出然后放回个数字中任取一个共从.3024.0106789105答6..____|,41)(,31)(,B (A P B P A P B A 则条件概率且互不相容与设事件).94答7.设A , B , C 表示3个随机事件, 试以A , B , C 的运算来表示下列事件:(1)C B A ,,恰有1个发生}表示为___________.(2)C B A ,,不多于1个发生}表示为_________.{{(2)填.C B A CB A CB A A (1)C B A ,,恰有1个发生}是一个较复杂的事件, 它可{A 发生, 而B , C 不发生}, {B 发生, 而A , C 不发生},C 发生, 而A , B 不发生}, 它们可以分别表示为C B A C B A BC A ,,.这3它们的和事件即为所要表(2) 所述事件可以分解为{A 发生, B , C 不发生}, {B 发生, A , C 不发生}, {C 发生, A , B 不发生}, {C B A ,,都不发生}.它们分别表示为C B A C B A C B A ,,与C B A ,它们的和事件为C B A C B A C B A CB A .{, 以分解为解(1)填C B A A ;个事件是互不相容的{示的事件.8.设321,,A A A 是随机试验E 的三个相互独立的事件,且知,)()(,)(321A P A P A P 则事件1A 发生且32,A A 至少有一个发生”_________.“的概率是答)].1)(1(1[)(或9.甲,乙,丙三人中恰好有两人出生在同一月份的概率是________.答4811.10. .________概率的可列可加性是指.)(,,,,,:,.)(,,,,,121121n nn n nn A P A A A A A P A PA A A 则是两两互不相容的随机事件设可知概率的可列可加性是指由概率的定义则是两两互不相容的随机事件设答,三．计算题 1.随机试验E 是连续检验某种产品但检查总次数不超过5次, ( 即检验到第五次品也停止检验).试写出E 的样本空间就停止检验,如果出两个废品,,即使未查出两个废,.解若把检出正品记为0,检出废品记为1,则).0,0,0,0,0(),0,0,0,0,1(),0,0,0,1,0(),0,0,1,0,0(),0,1,0,0,0(),1,0,0,0,0(),1,0,0,0,1(),1,0,0,1,0(),1,0,1,0,0()1,1,0,0,0(),1,0,0,1(),1,0,1,0(),1,1,0,0(),1,0,1(),1,1,0(),1,1U , 2.设随机试验为A 为“三颗骰子中最小的点数为3”;随机事件B 为;“点数之和为n ”,如果A 和B 不相容n 应满足怎样的条件?若随机事件,掷三颗骰子:互则,答如果事件A 出现3,故点数之和至少为9,因此A 与B 不同时出现9即"n8".即每一点数至少为,要使,点数之和应小于,,3.任取一自然数m ,设事件A ={m 为偶数},B ={m 为5的倍},C ={m 20},D ={m10},具体写出下列各式表示的集合:(1)B A;(2)C B ;D A ;C A .数(3)(4)答(1)N nn BA10,30,20,10.(2)20,15,10,5C B .(3)9,7,5,3,1DAD A .(4)11,2,26,24,22nN nn CA.4.某人向一目标连续射击直到击中两次为止,k A 表示事件k 击中目标”(k =),试用k A 表示下列事件:(1)“射击次数为3”记为B (2)“射击次数超过3”记为C .1, 2, 3,;次“第解(1)321321A A A A A B .(2)323121A A A A A A C.5..,,",54321B A i A B i i 表示事件请用个开关闭合表示第的事件电路接通表示用表示电路开关、、、、如果12345"答4325315421A A A A A A A A A A B.6..(2);(1):)5432(,"","",5B B i A B i A i i 表示、、、、用的事件次品不多于三件表示件次品发现有表示用件从一批产品中任意取解(1) A 0A 1A 2A 3(2)3210A A A A 或3210A A A A B或54A A B;.7.).()(,0.3(,0.4)(,0.5)(B A P B A P B A P B P A P 和求若解法一因为3.0)(B A P )()(B P A P ,1.0又),()(A P B A P ,,B A 又无包含关系既不互斥与这说明.而是一般的相容关系).()()()(AB P B P A P B A P 又由)()(AB A P B A P ),()(AB P A P 故得)()()(B A P A P AB P 3.05.0.2.0所以2.04.05.0)(B A P .7.0而)()(B A P B A P )(AB P 2.0.8.0解法二,B A 相容与由于B A 可写为因此,)(),(B A B B A B 互斥与从而))(()(B A B P B A P )()(B A P B P 3.04.0.7.0)(B B A A ,B A AB )()()(B A P AB P A P ),()(B A P AB P 所以)()()(B A P A P AB P 3.05.0,2.0于是)()(B A P B A P )(AB P 2.0.8.0,,由加法公式因此有8.某城市中发行2种报纸A, B. 经调查, 在这2种报纸的订户中, A 报的有45%, 订阅B 报的有35%, 同时订阅2种报纸A,的有10%. 求:(1)只订A 报的概率;(2)只订1种报纸的概率.订阅B解(1)记事件订阅A 报}, B 订阅B 报}, 则{只订阅A 报}可表示为AB A BA . 因,A AB故.0.350.10.45)()()()(AB P A P AB A P B A P (2)只订1种报,)()(A B A B B A 要把AB B A ,分别表示为.,AB BAB A 又这2个事件是互不相容的, 由概率加法公式, 有.0.60.10.350.10.45)()()()()()(AB P B P AB P A P AB B P AB A P p {9.52,个男兵和个女兵排成一列?如两头都是男兵共有多少种排法解2025P 种,5,有5!2400!520.两头一定是男兵的排法为剩下个兵排在中间种排法所求共有种排法10.从103,:(1).(2).(3),.名队员中选出名参加比赛试求共有多少种选法如队长必须被选上有多少种选法如某运动员甲不被考虑选上有多少种选法;1203218910(1)310C 解;362189(2)29C .84321789(3)39C11．1204,,5件,?件产品中有件次品在抽样检查时从中任取有且仅有一件次品的抽法共有多少种其中解5,4!112!4!1164116C ,414C 种,4,1).28640980(11319115!112!3!116144116或C C 抽取件产品其中有件正品的抽法有另一件是次品的抽法有故抽取件正品件次品的抽法共有12.在房间里有10人,分别佩戴着1~10号的纪念章,任意选4录其纪念章的号码,求最大的号码为5的概率.人记解A 表示事件“最大的号码为5”基本事件总数410C A 的基本事件数34C ,P (A )10524.,所包含13.20名运动员中有2名优秀选手,现将运动员平分成两组,2秀选手分在同一组的概率是多少？名优问解A 表事件“2名优秀选手分在同一组”.基本事件总数n1020C .A 所包含的基本事件数r8182C ,P (A )1993892.14.圆形靶由三个环形区域I,和III 组成,在射击一次中,命中第环形区域的概率依次为0.15, 0.23, 0.17 ,试求没有命中靶II I,和III II 子的概率. 解设A 为没有命中靶子事件,A 即为命中事件,321,,A A A 为命中I, II, III 区域的事件,于是.321A A A 55.0.023.015.0()()()(321A P A P A P A P 由此得出45.0)(1)(A P A P ..各15.,,5,4,5每次取一个次球从中取个红球个黑球箱中放了..求黑球和红球都取到至少两次的概率取后放回,,},},3},2BCC B A A C B 且则少取到两次黑球数为黑球数为设解.61.0)()()(55C C C P B P A P 由此可得黑球和红球至16.,4,3,,10卷另一套卷一套其中有两套书本书放在书架上任意将:求事件.两套中至少有一套放在一起的概率解,这是一古典概型概率问题,”3“A 卷一套的放在一表示设,4“B 卷一套的放在一起表示”,”“C 起表示两套各自放在一”“D 两套按卷次顺序排好表示.)()()()(AB P B P A P B A P 212.起17.,11名教师某教研室共有,7人其中男教师,3个为优秀教师现该教研室中要任选.13个女教师的概率个教师中至少有问解法一设;”3“A名优秀教师中有女教师,3,2,1,”3“i i A i名女教师名优秀教师中恰有则,321A A A A,,,321A A A 两两互斥由加法公式有)()()()(321A P A P A P A P 311073431117243112714C C C C C C C C C 0.788.),(1)(A P A P ,”3“A个优秀教师全是男的1)(31137C C A P .0.788解法二18.任意取两个正的真分数,记事件E 是两个分数的和介于21与23之间,求事件E 的概率.解设此二真分数分别为x ,y 则(x ,y )OACB .事件E 对应着图中阴影部分G 的面积.故)(OACB G E P 3181811.方形B y 的一切可能值对应着正19.已知.2.0)|(,3.0)(,1.0)(B A P B P A P 求(1)P (AB );(2)P ( AB );(3)P (B A );(4));(B A P (5)).|(B A P |解06.0B A P B P ABP .34.0AB P B P AP B AP .6.0AB P .04.0AB P A P AB A P B A P .66.01B A P BAP BA P .35337.066.0BA P .20.甲,乙两个盒子里各装有10只螺钉,是次品,其余均为正品,现从甲盒中任取二只螺钉放入乙盒中,从乙盒中取出两只,的概率是多少？每个盒子的螺钉中各有一只再一只次品问从乙盒中取出的恰好是一只正品,答)2,(i A i “放入乙盒的螺钉中有i 只正品”.B :“乙盒中出的二只螺钉是一只次品,一只正品”.511019111A P ,3310212110121C C C A B P .4210292C C A P ,61212111112C C C A B P .由全概率公式i i A B P A P BP 2194.03216522106154331051.21.,1,2,5求第三次才打开房门的概率.开房门从中随机地取把可以打开房门其中有把钥匙某人有把试 2.0324253)()()()(,).3,2,1(""213121321A A A P A A P A P A A A P i i A i 所求概率为于是次能打开房门第设解.22..(2);(1),3.0,.2.0,1.0.,,当乙河流泛滥是甲河流泛滥的概率该时期内这个地区遭受水灾的概率求乙河流泛滥的概率为当甲河流泛滥时乙河流泛滥的概设某时期内甲河流泛滥地区即遭受水灾当任一河流泛滥时假设某地区位于甲、乙二河流的汇合处率为该15.02.0.01.0)()()()((2)27.03.01.02.01.0)()()()()()()()(,,,(1),B P A B P A P B A P A B P A P B P A P AB P B P A P B AP B A B A 所求概率为于是该地区遭受水灾可表示为由题意乙河流泛滥甲河流泛滥设解..“”“”.23.)？每个字母的工作是相互独立的的概率是多少(问输入的是已知输出为其输入概率分别为之一输入信道，今将字母串输出为其他一字母的概率都是输出原字母的概率为，三个字母之一输入信道将AAAA ABCA p p p p p p CCCC BBBB AAAA aa C B A ,),(,,,,.21,,,21321而设信道传输ap a ap ap B P B A P B P B A P B P B A P B P B A P A B P ABCA A CCCC BBBB AAAA B B B 1)13(22)()|()()|()()|()()|()|(,,,11321133221111131的事件，由页贝斯公式为输出的事件，，分别为输入解 2设事件24.在18盒同类电子元件中有5盒是甲厂生产的,7盒是乙厂生产的,4盒是丙厂生产的,其余是丁厂生产的,0.8,0.7,0.6,0.5,现任意从某一盒中任取一个元件,现是不合格品,次为该四厂的产品合格品率依经测试发试问该盒产品属于哪一个厂生产的可能性最大？答)4,3,2,(i A i “所取一盒产品属于甲,乙,丙,丁厂生产”B :“所取一个元件为不合格品”,则1851A P ,1872A P ,1843A P ,1824A P .2.1A B P ,3.2A B P ,4.A B P ,5.A B P .由全概率公式ii A B P A P BP 418057.由贝叶斯公式5710,5716,5721,57104321B A P BA PB A P B A P 故该盒产品由乙厂生产的可能性最大.,.25..,)2(;)1(.一半,,%25.0%5求该人是男人的概率若已知此人不是色盲求此人是色盲的概率现随机挑选一人假设男人和女人各占女人是色盲患者的男人和已知21)(,21)()1(,,A P A P B A A 由题知出的是色盲选出的是女人则选出的是男人设解4878.097375.021)05.01()()2(02625.0)(0025.(,05.)(B A P B P A B P A B P 由逆概率公式知由全概率公式知)(A P )(A B P )(A P )(A B P )(A B P )(A P )(B P .“”“”“”.选,26.?,,.6,6,4的为要我们在随机地选出一名学生时名二年级女名一年级女生名一年级男生一个教室里有教室里还应有多少名二年级男生生性别与年级是相互独立.4,4.164104),()|(,,.1041610)|()()(.164)(,1610)(}.},{.名二年级男生即还应有解之得即必有独立欲则任选一名学生为男生任选一名学生为一年级个二年级男生设还应有解NNNB P A B P B A N A B P A P AB P NNB P N A P B A N .4,4.164104),()|(,,.104)|()()(.164)(,1610)(}.},{.名二年级男生即还应有解之得即必有独立欲则任选一名学生为男生任选一名学生为一年级个二年级男生设还应有解NNNB P A B P B A A B P A P AB P NNB P N A P B A N27.(0.70.9,,只要有一架飞机投中目标即完成使使完成使命有较大的概率、、同时投弹员驾驶员必须要找到目标轰炸机要完成它的使命.必须要投中目标设驾驶员甲、乙找到目标的概率分别为;0.8投弹员丙、丁在找到目标的条件下投中的概率分别为,.0.6问甲现在要配备两组轰炸人员丁怎样配合才能、丙乙、、.?)求此概率是多少命解,1为甲找到目标设A ,1为丙投中目标B ,2为乙找到目标A (1),甲丙搭配乙丁搭配)(W P )()()(两机均命中乙丁机命中甲丙机命中P P P )()()()()()()()(222111222111A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P ||||6.08.07.09.06.08.07.09.08076.0:注意,”,标丙投中目标而且乙找到目.丁投中目标(2),乙丙搭配甲丁搭配)(W P )()()(两机均命中乙丙机命中甲丁机命中P P P 7.08.06.09.07.08.06.09.07976.0,所以甲丙搭配,乙丁搭配好.8076.0此时命中率为,2为丁投中目标B .为完成任务W .两机均命中“指甲找到目标.28.设有二类各三个相同的元件A 和把成一组,再把这三组并联成一个系统,p ,又各元件损坏与否是相互独立的,求此系统能正常工作的概率.,A ,A B ,B ,B ,B A ,0.8)B (p ,0.7)A (两两串联设每个元件正常工作的概率解)]()(1[B p A p P 3)8.07.01()915.0(44.013.29..,5.0,6.0,试求敌机被射中的概率乙炮的命中率为已知甲炮的命中率为甲乙二门炮同时独立地向一敌机开炮、)(,:5.06.0)(()(,:}.P P C P B A P A P B AP C P B A B A C得相互独立和由第二种方法相互独立和由第一种方法被击中甲炮射中敌机令事件解.8.02.05.04.)()()()(,.8.03.01.5.06.0)()()()()()(),},},B P A P B A P C B A B P A P B AB P B P A P C B 则有也相互独立和则有乙炮射中敌机敌机30.实验室器皿中产生甲类细菌与乙类细菌的机会是相同的,若某次发现产生了20个细菌,求甲,乙二类细菌各占一半的概率.解PC 2021!10!!20)1762.0(21113171918.31.甲、,投篮命中率分别为0.8和0.7,每人投篮3次,求两人进球相等的概率.乙两篮球运动员解甲投篮命中概率p 不中概率q 0.2乙投篮命中概率p 10.7,不中概率q 1甲在 3次中m 次概率mm mq p C m P 31133)(mm mq p C m P 32233)(则P )3()3()2()2()1()1()0()0(33333333P P P P P P P P 22333.07.032.08.033.02.033227.08.03.07.032.08.03 0.363乙在n 3次中m 次概率;,.32.,,,,.4,3,2,144321它们的可靠性分别为个独立工作的元件设有p p p p 将它们按右图的方式连接),(称为并串.试求这个系统的可靠性1234联系统解,5,4,3,2,1,,,,工作正常分别表示元件设事件E D C B A }.系统工作正常G .对图中的串联系统AD ABC G)()(AD ABC P G P )()()(ABCD P AD P ABC P )()()()()()()()()(D P C P B P A P D P A P C P B P A P .432141321p p p p p p p p p33.一袋中装有1N 个黑球及1个白球. 每次从袋中随机地摸出1球, 并换入1个黑球, 如此进行下去. 求:(1)第k 次摸球时, 摸到白球的概率;(2)第k 次摸球时, 摸到黑球的概率.解(1)因为袋中只有1只白球, 而每次摸球总是换入黑球, 故k 次摸球摸到白球, 则前面)1(k 次一定不能摸到白球, 也就, 前)1(k 次都摸到黑球.在前)1(k 次摸到黑球时, 皆放, )1(k 次中, 摸到黑球的概率皆为.111NN N 试验是独立的, 故.1111Np (2)它为(1)中事件的对立事件, 故故在这.112Np 1第是说入黑球解(1)因为袋中只有1只白球, 而每次摸球总是换入黑球, 故k 次摸球摸到白球, 则前面)1(k 次一定不能摸到白球, 也就, 前)1(k 次都摸到黑球.在前)1(k 次摸到黑球时, 皆放, )1(k 次中, 摸到黑球的概率皆为.111NN N 试验是独立的,故.1111Np (2)它为(1)中事件的对立事件, 故故在这.112Np 1第是说入黑球34..,2.0,2.0,3.0,,.2C B A C B A 求电路发生间断的概率损坏的概率分别是设电池串联而成及个并联的电池与电路由电池 328.0.02.03.02.02.03.0)()()()()()()]([)()(.,,,3,,C P B P A P C P B P A P BC AD P BC A D C B A C B A 于是则生间断损坏个电池分别表示设解.表示电路发,35.,,85.0,8.0,9.0,.1,3因无人照管而停工的概率.求在这段时间内不需要照管的概率依次是某段时间个人照管由部机床独立地工作甲、乙、丙它们机床 059.0)15.02.01.0(215.02.015.01.02.01.0)()()(2)()()()()()()(2)()()()(,.,,,,C P B P A P C P B P C P A P B P A P ABC P BC P AC P AB P BC ACABP BC AC AB C B A 所求概率为于是事件可表示为因无人照管而停工即有两台或两台以上机床需要照管照管分别表示在这段时间内机床甲、乙、丙需要工人设解.此36..,..1.0,8.0,.3.0,4.0,3.0.,,,的概率求被传送的字符为字母为若接收到的假定前后字母是否被歪曲互不影响的概率为而接收到其他两个字母每个字母被正确接收的概率为扰由于通道噪声的干定传送这三组字符的概率分别为三者之一传送的字符为某通信渠道中BBBB ABBC CCCC BBBB AAAA 假 .842.0)()|()()|(.00304.0)|()()(.0008.0)|(,0064.0)|(,0008.0)|(,3.0)(,4.0)(,3.0)(,.,,,,2223321321321A P B A P B P A B P B A P B P A P B A P B A P B A P B P B P B P ABBC A CCCC BBBB AAAA B B Bi i 于是由全概率公式则的事件表示接收到的字符为事件分别表示传送的字符为设解的37..,,,出现偶数次的概率事件次独立实验中求在出现的概率为事件在伯努利实验中A n p A 解事件A 出现偶数次的概率为a22222200mqp C q p C q p C a mnm m n n n n n 12121233311qp qp C pq C b m n m m n nn nn 而a b p q )a b (q p )n 2p )n解得n p a)21(2121事件A 出现奇数次的概率为b (1,.,.38..(2);(1),3,8.07.02甲比乙进球数多的概率两人进球数相等的概率求次每人投篮和人投篮命中率分别为甲、乙343.0)7.0()(411.0.07.0)(189.03.07.0)(027.03.0)(,,,,3,3332232213130A P C A P C A P A P C i B i A i i 甲比乙进球数多甲、乙进球数相等个球乙投中个球投中甲设重伯努利概型分别为次设甲、乙个投篮解21476.0)()()()()()()()()()()()()()((2)36332.0)()()()()()()()()()()()(()1(512.0)(;384.0)(096.0)(;008.0)(23130312020123130312020133221100332211003210B P A P B P A P B P A P B P A P B P A P B P A P B A B A B A B A B A B A P D P B P A P B P A P B P A P B P A P B A P B A P B A P B A P C P B P B P B P B P 同理可得.“”“”“”“”.,,,.;.;39.某车间中, 一位工人操作甲、乙2台没有联系的自动车床. 由积累的数据知道, 这2台车床在某段时间里停车的概率分别为0.15及0.20. 求这段时间里至少有1台车床不停车的概率.解法一设A 甲车床不停车}, B {乙车床不停车}.则A , B 独立, 且.0.8)(,0.85)(B P A P 所求概率为.0.970.80.850.80.85)()()()()()()()(B P A P B P A P AB P B P A P B A P p解法二{2台都停车}.B A 因为B A ,相互独立, 因此2台车床都停车的概率为.0.030.200.15)()()(B P A P B A P 从而,至少有1台不停车的概率为.0.970.03p 40..,:不相互独立但两两独立,举例说明C B A C B A ,,,解,一个均匀正四面体,其第一面染成白色,第二面染成蓝色.白、蓝色,一次四面体.蓝色分别表示出现红、、、以C B A 白、,有两个面有红色故;)(A P 同理)()(C P B P .1/2,因为只有一个面含有两种颜色所以)()(AC P AB P )(BC P ,1/4因而),()()(B P A P AB P ),()()(C P A P AC P ),()()(C P B P BC P .两两独立、、故C B A 但是)(ABC P )()()(C P B P A P ,1/8.不是相互独立、、故C B A ,第三面染成红色,3块第四面分成分别染成红、投因四面体四．综合与证明题 1.设E 、F 、G 是三个随机事件各式(1));()(F E F E (2));()()(F E F E F E (3)).()(G F F E试利用事件的运算性质化简下列,:解(1)原式E F F F E F E E E .(2)原式.E F FE F F E F E F E (3)原式.G EF FFGEFE2.,,,21A A A 发生则同时发生已知事件.1)()()(21A P A P AP 证明:1)()()(1)()()()()()()()(,21212121212121A P A P A P A P A P A A P A P A P A A P A A P A P A A A 所以又于是由题意证,3.).()(),3,2,1(,3321321A A A A A A i i A i 次射击击中靶子”表示“第用次设某人向靶子射击试用语言描述事件解.)()(321321表示恰好连续两次击中靶子A A A A A A4..2)()()()(),3,2,(,,3321321A P A P A P A P i A A A A A i证明:都满足个事件已知2)()()()(1)()()()()()(1)()()()()()()(,,,),3,2,(32121212121321321321321321A P A P A P A P A P A P A A P A P A P A A P A P A A PA AA P A P A A P A A A P A P A A A A i A A i 所以又于是所以因为证.5.盒中有9个白球,1个红球,从盒中一个一个地取球(取出的球不再放回),证明:第k 次取得红球的概率为101.证k A “第k 次取得红球”(1k 10)由题设条件知k kkA A A A A 121kkk A A A A P 12111kk A A A P A P P 291298109k 101..,6.设0P (C )试证对任意的随机事件A ,恒有:P (A C ).1)|(C A P 1,|证)()()()|()|(C P C A P AC P C A P C A P )()(C P C A AC P .1)()(C P C P7.)()((,,,1)(0212121B A P B A P B A A P A A B P 证明互不相容若事件设.)()()()()()()()()(212121B P B A P B P B A P B P B A B A B P B A B A P 有因为证)(21B A A P )()(21B A P B A P ).()(21B A P B A8．.,独立与证明独立与设事件B A B A .)()()()()()(1)()()()(1)](1)][(1[)()()(也独立与因此得由证B A B A P B AP B AP AB P B P A P B P A P B P A P B P A P B P A P AB P )()(B P A P9..,:,,,独立肯定与证明三个事件相互独立设C AB B A C B A 相互证(1))(])[(BC AC P C B A P )()()(ABC P BC P AC P )()()()()()()(C P B P A P C P B P C P A P )]()()()[(AB P B P A P C P )()(B A P C P .相互独立与故C B A (2))(])[(ABC P C AB P )()()(C P B P A P )()]()(C P B P A P )()(C P AB P .相互独立与故C AB10．设P (A )P (B )研究事件A ,B 相互独立与A ,B 同时成立.0,0,互斥能否解A ,B 相互独立,则P (AB )P (A )P (B ).若A ,B 互斥,则0.由于假设故两者不能同时成立.P (AB )P (A )P (B )0,0,练习题（B ）一．单项选择题 1．设A ,B 为两个不同事件,下列等式中有哪个是正确的( ).(A)B A B A ;(B)B A B A ;(C) B ABA;(D)AB BABA.答(B).2..3(D);(C);(B);(A)( ).,3,2,1,0,,3321发击中必然击中至少有一发击中全部击中表示那么事件发击中表示事件发打靶A A A Aii A i “”答(B).3.设c B P b A P a B A P )(,)(,)(,则)(B A P 等于( ).(A);)(c c a (B);a c b (C);c b a (D).)1(c b答(B).设A ,B 相互独立,P (A ),P (B ,则( ).)(B AP (A)0.45;(B)0.95;(C)0.6;(D)0.55.0.8答(B).5.).()();()(;;( ).,1)(,0)(A P AB P (D)B p AB p (C)A B (B)A (A)A B P A P 为必然事件则有设答(D).6.).()()();()();()();()(( ).)(,AB P B P A P (D)B P A P (C)AB P A P (B)B P A P (A)B A P B A 、对于任意两个事件答(B).7.).()()();()()();()()();()()(,AB P B P A P A P AB P B P AB P B P A P A P B P A B P B A则已知(A)(B)(C)(D)( ).A.答8..)(;)(;0)();()(,0)(,0)(,2,AB P B A P B A P B P A P B P A P B A 成立.则个互不相容的事件是设(A)(B)(C)(D)( )一定答B.9.).()()(;;;,8.(,7.0)(,8.(B P A P B AP A BB A B A B A P B P A P 互斥与独立与则下列结论正确的是设(A)(B)(C)(D)( ).A.答10..)(;)(;0)();()(,0)(,0)(,,B A P B A P B A P B P A P B P A P B A 则下列式子不正确的是( ).是两个对立事件设(A)(B)(C)(D)D.答).()();()((;;,0)(,0)(,A P B A P B P A AB P B A B P A P B A 相容不相容与列结论中肯定正确的是并且是任意两个不相容的事件和设B A 与(A)(B)(C)(D)( ).则下D.答12..)((,)(B P A P AB AB B A AB P B A 或未必是不可能事件;是不可能事件;不相容(相斥);和则同时出现的概率和若两事件(A)(B)(C)(D)( ).答C.13..,,,(D);,,,(C);,,,(B);,,,(A)( ).,,也互为对立则互为对立如果不独立则相容如果相互独立则互不相容如果也互不相容则互不相容如果下列命题中正确的是对事件B A B A B A B A B A B A B A BA B AD.答14.下列结论中,错误的是(A)若P (A 则A 为不可能事件;(B)P (A )P (B )(B A P ;(C)P (B A P (B ) P (A );(D)P (BA P (B ) P (BA ).),( ).A.答15..;;)(;,3,,C B AC AC B A C A B A A C B A 互斥的事件是与事件个事件是设(A)(B)(C)(D)( ).D.答16..])[(;)(;2)(;)(( ).,,2B A B B A A (D)AB A B A A (C)B A BB A (B)A B B A (A)B A 则以下等式正确的是是任意两个随机事件设D.答17.).|()|()|((D));|()()|()()((C));|()|()((B));()())(((A)( ).).|()|()|(,0)(,,,C B P C A P C B A P B C P B P A C P A P C P C B P C A P B A P BC P AC P B A C P C B P C A P C B A P C P C B A 则下列不等式成立的是且若为随机事件设A.答18.相互独立与事件互不对立与事件互相对立与事件互不相容与事件则设B A (D)B A B A (B)B A B A P B A P B P A P (C)(A),|()|(,1)(0,1)(0( ).;;;.D.答19..;;;.()(()((D)(C)(B)(A)B A P A B P B P A P 则设( )A.答20..);1(;;(,)(,)(,(a b b a b c b a B A P c B A P b B P A P 则设(A)(B)(C)(D)答B.21.).|()()|()()();|()|()();()()();|()|(]|)[(),|()|(]|)[(,1)(022112121212121212121A B P A P A B P A B P B A P B A P A A P B A P B A P B A B A P B A P B A P B A A P B A P B A P B A A P B P 则下列选项成立的是且已知(A)(B)(C)(D)( ).答B.22.从1, 2, 3, 4, 5五个数码中, 任取2个不同数码排成2位数, 则所得位数为偶数的概率为( ).(A) 0.4; (B) 0.3; (C) 0.6; (D) 0.5.A.答23.设袋中有4只白球,只黑球. 从袋中任取2只球(不放回抽样), 2只白球的概率是( ).(A)53;51;52;54.2则取得(B)(C)(D)答C.24.甲再能活20年的概率为0.7, 乙再能活20年的概率为0.9. 则二人均无法活20年的概率是( ).(A) 0.63; (B) 0.03; (C) 0.27; (D) 0.07.答B.25.每次试验的成功率为p(0p 1),进行重复独立试验,直到第10次试验才取得4次试验成功的概率为( ).(A)64410)1(p p C ;(B)6439)1(p p C ;(C)6449)1(p p C ;(D)6339)1(p p C .答B.26..1;;1;,)(,)(,p (D)p (C)q (B)q (A)B P q B P p A P B A 则互斥、设随机事件D.答27.在编号为n ,,2,1的n 张赠券中采用不放回方式抽签, 则在第k 次)(n k 抽签时抽到1号赠券的概率是( ).(A)k n 1;11k n ;n 1;11k n .(B)(C)(D) 答C.二．填空题 1．_________.随机试验是对同一目标连续独立射击次,观察中靶的次数,的样本空间E 10E U则{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.答设A 表示事件B 表示事件子出现2点”A 与B 的关系是 ______.“掷一颗骰子出现偶数点”,“掷一颗骰则,答A B .3.如果,A B A 且AB A ,则事件A 与B 满足的关系是_______.答A B .4.._____________,,15A ,i AA A A i i 则表示若用的事件子的点数和大于掷三个骰表示的事件点掷一个骰子恰好出现表示设“”“”答A 4A 6A 6A 5A 6A 6A 6A 6A 6A 5A 5A 6.5.从含有6个红球,4个白球和5个蓝球的盒子里随机地摸取一个球,则取到的是红球的事件的概率等于 _____________.答52.6.一只袋中有4只白球和2只黑球,另一只袋中有3只白球和5黑球,的概率等于___________.只:“两只球都是黑球”则事件如果从每只袋中各摸一只球,答245.7.一个盒中有8只红球,3只白球,9只蓝球,如果随机地无放回地3只球,则摸到的没有一只是白球的事件的概率等于________.摸答5734.8.设A ,B 为两个随机事件,且P (B )则由乘法公式知P (AB )__________.0,答).|()(B A P B P9.已知P (A )1,41A B P ,则B A P _______________.答83.设n 个事件n A A A ,,,21互相独立,且),,2,(,{n k p A P k ,则这n 个事件恰好有一件不发生的概率是________________.答.)1(1np p n11.某产品的次品率为0.002,现对其进行重复抽样检查,共取200样品,则查得其中有4件次品的概率p 的计算式是.___________件答19644200)998.0()002.0(C .12.独立重复地掷一枚匀质硬币三次,A 事件,则P (A ) ________.表示至少有一次出现正面的答87.13.._______)(,3.0)(,3.0)(,4.0)(:B AP B A P B P A P 则已知答0.6.14.._____1,2,3,2,4个黑球的概率是白球则取得个球从中随机地取出个黑球个白球口袋中有个6.0答.15..________)(,31)(,41)(,,B A P B P A P B A 则且是两个相互独立的随机事件设.61答16..__________50,9,,1,0是的概率或则这三个数中不包含中任取三个数字从 .1514答17.._____,,3.0)(,8.()(都不发生的概率为则已知B A AB P B P A P.5.0答18..__________,,,},.,}},},:,,,321321BB A A A B A A A 则有表示若用目标被摧毁设则该目标被摧毁又若目标至少被击中两次丙击中目标乙击中目标甲击中目标令丙三个各自向同一目标射击一次乙甲..,.321321321321133221321321321321321133221A A A A A A A A A A A A A A A A A A B A A A B A A A A A A A A A A A A A A A A A A 或者因此至少有两发生等价于随机事件可知随机事件由题意或者答个发生,,19.._________)(,3.0)(,4.0)(,,B A P B P A P B A 则且互不相容设两个随机事件.3.03.04.0)(,0(,),()()()()()(.3.0B A P AB P B A AB P B P A P B AP B AP B A P 故所以互不相容与因为答20.从1,2,…,10共十个数字中任取一个5字__________.先后取出然后放回,,个数则所得个数字全不相同的事件的概率等于,答.3024.0106789421.9,,3,2,1,0____________.设由十个数字的任意七个数字都可以组成电话号码,则所有可能组成的电话号码的总数是....107个答22..________,5,至少发生一次的概率是次重复独立试验则在发生的概率为设在一次试验中事件A p A 中答5)1(1p .23.._____)(,,3.0)(,1.0)(则互不相容与且设B P B A B A P A P2.0答.24._________.)(,21)(,41(,31)(则设B AP B A P B P A P1211答.25.B P p A P B A AB P B A __________.(,)(),((,则且两个事件满足已知p 1.答26.______.)(,3.0)(,2.0(,则已知事件A B P B P A P B A1.0答.27..__,则有三个空盒的概率为把四个球随机地投入四个盒子中去.641答28.掷一对骰子, 则2个骰子点数总和是8的概率是________.此题是古典概型, 按古典概率定义求. 掷2个骰子, 情况总,3666即.36N出现点数总和是8的情况为:{2, 6}, {3, 5}, {4, 4}, {5, 3}, {6, 2}而总和是8的情况数,5M故所求概率.365N Mp 解填.365数是29..__________)(,7.0)(,3.0)(,B P B AP A P B A 则是相互独立的随机事件与设.747.04.0)(,),(3.0)(3.07.0,7.0(,3.0())()()()()()()()(.74B P B P B P B A P A P B A B P A P B P A P AB P B P A P B A P 得解方程得代入将是相互独立的随机事件与答(.30.._________)(,)()()(:B P p A P B A P AB P B A 则且适合、设随机事件答p 1.31._______.,,03.0(02.)(,01.0)(,,求他至少有一张奖券中奖的概率为奖是相互独立的且各奖券是否中和次为三种不同种类的奖券各一张某人买了C P B P A P C B A 已知中奖概率依.0589.0答.32.._______)(,5.0)(,4.0(,7.)(,,,,,C AB P AB P C A P A P C B C A C B A 则为三个随机事件设.2.0答33..__________)(72,2,52p 列式的概率数为张不同花且最大点则恰取到张随机抽取张扑克牌中在.171]1[252161224C C C C 答34..__________,5),(15,,2,1则甲取到的数大于乙取到的数的概率为倍数知甲取到的数是不重复的十五个数字中各取一数甲、乙二人从已故且甲取到的数大于乙取到的数的倍数甲取到的数是的倍数甲取到的数是令事件个样本点样本空间答},,5{};5},2101415)}14,15(,),2,5(),1,5(,),3,1(),2,1.149AB A S.1494227)|(,1494227210/42210/27)()()|(}271494},42143A B P A A P AB P A B P AB A 则得作为样本空间或将于是个样本点个样本点,,三．计算题 1.用5,4,3,2,1,0,个六位数?六个数码排成数字不重复的六位数共有多少多少个偶数其中有多少个奇数,解600!55288!443312288600)312!442!5(或六位数总数奇数个数偶数个数;;.2.设D C B A ,,,,(A BC )[(A C B )D ]化简下式为任意集合. 解因(A CB )D (ABC )D A B C 故(A BC )[(A CB )D ]A BC ,.3.E a ,b ,c 1,2,3E U .随机试验是三只球三只球任意放入三只盒子中去的情况的样本空间的三个盒子有编号为,,:将观察放球使每只盒子放一只球,,写出,则U 解用序组表示基本事件第一只盒子放球第三只盒子放入a ,b ,c )(第二只盒子放入球a ,b ,c .球a ,b ,c )(, a ,c ,b )(, b ,a ,c )(, b ,c ,a )(, c ,a ,b )(, c ,b ,a )(}.:4.设随机试验为A 为“三颗骰子中最小的点数为3”;随机事件B 为;“点数之和为n ”,如果A 和B 不相容n 应满足怎样的条件若随机事件,掷三颗骰子:互则,答如果事件A 出现3,故点数之和至少为9,因此A 与B 不同时出现9即"n8".即每一点数至少为,要使,点数之和应小于,,5.从自然数1至10中任取一数,设A 表示事件“取得的数是偶数”B 表示事件“取得的数是奇数”;C 表示事件“取得的数小于5”,试问:(1)B A;AB ;C ;C B 分别表示什么事件？;(2)(3)(4)答(1)A B 表示事件“必然事件”.(2) AB 表示事件“不可能事件”.(3)C 表示事件“取得的数大于或等于5”.(4)C B表示事件“取得的数是6、8、10、”.6..,"","",654321,B B A i A B i i 及表示事件请用个开关闭合第表示电路接通表示用表示开关、、、、、设如果123456解(1) 6543231A A A A A A A B (2) ()()()6543231A A A A A A A B或()[]()654321A A A A A A .7..),3,2,1(,3321A A A i i A i 次射击击中靶子”表示“第用次设某人向靶子射击试用语言描述事件解.3321次射击至少一次没击中靶子表示A A A8.设随机试验E 是从包含两件次品21,a a 和二件正品21,b b 产品中依次取出一件(每次取后放回),连续取2次E 空间和下列事件的集合表示( 1 )“恰好取到k 件正品”记为);2,1(kA k ( 2 )“两次取出的是同一件产品”记为B ;( 3 )“第一次取到的是第一件正品”记为C .写出的四件,的样本:解}.,,,}.,,,{}.,,,,,,,{}.,,,,,,,,,,,,,,,{112111212211122122221121122122111122112221121112312212122221112111b b a b a b b b C b b b b b b b b A a b a b a b a b b a b a b a b a A b b b b a b a b a b a b b b b b b a b a a a a a b a b a a a a a U9..,20,,,,A BC B A y x 事件之差为零”设事件分别表示第一、二两颗骰子出现的点数、同时掷两颗骰子”为“点数之积不超过表示“两颗骰子出现点数之和为奇数”用样本点的集合表示表示“点数解试验的样本空间}6,,2,;6,,2,),y x y x |S )};5,6(),3,6(),1,6(),6,5(),4,5(),2,5(),5,4(),3,4(),1,4(),6,3(),4,3(),2,3(),5,2(),3,2(),1,2(),6,1(),4,1(),2,1A 事件)};6,6(),5,5(),4,4(),3,3(),2,2(),1,1B 事件)}.3,6(),2,6(),1,6(),4,5(),3,5(),2,5(),1,5(),5,4(,),2,3(),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1C 事件),1,3(,),2,4(),1,4(),6,3( .6,6(),5,5(),4,4(),3,3(),2,2(),1,1{(B AB 从而10.。

(1)概率统计第一章

5、某仓库有同样规格的产品6箱，其中有3箱，2箱和1箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三厂的次品率分别为，现从这6箱中任取一箱，再从取得的一箱中任取一件，试求取得的一件是次品的概率。
6、甲袋中有4只红球，6只白球，乙袋中有6只红球，10只白球，现从两袋中各任取一球，试求两球颜色相同的概率。
A.P（A）=1-P（B）B.P（AB）=P（A）P（B）
C.P D.P（A∪B）=1
2.设A，B为两个随机事件，且P（A）>0，则P（A∪B｜A）=（）
A.P（AB）B.P（A）C.P（B）D.1
3．从标号为1，2，…，101的101个灯泡中任取一个，则取得标号为偶数的灯泡的概率为（）
A． B． C． D．
4.一批产品，由甲厂生产的占，其次品率为5%，由乙厂生产的占，其次品率为10%，从这批产品中随机取一件，恰好取到次品的概率为___________。
5．设A，B为随机事件，且P(A)=0.8，P(B)=0.4，P(B|A)=0.25，则P(A|B)=______________．
二、选择题
1.设A与B互为对立事件，且P（A）>0，P（B）>0，则下列各式中错误的是（）
4．设事件A、B满足P（A ）=0.2，P（B）=0.6，则P（AB）=（）
A．0.12B．0.4C．0.6 D．0.8
5．设事件A，B互不相容，已知P（A）=0.4，P(B)=0.5，则P( )=（）
A．0.1B．0.4C．0.9D．1
三、计算下列各题
1、设袋中有5个白球，4个黑球，每次有放回地从中任取一个，直到取得白球为止，试求取出的黑球数恰好是3的概率。
2、袋中有16个球，颜色与材料如下表所示：
木质球玻Leabharlann 球红球23

概率论与数理统计第一章习题参考答案

1第一章随机事件及其概率1．解：（1）{}67,5,4,3,2=S （2）{} ,4,3,2=S （3）{} ,,,TTH TH H S =（4）{}6,5,4,3,2,1,,T T T T T T HT HH S = 2．解：81)(,21)(,41)(===AB P B P A P\)()()()(AB P B P A P B A P -+= 85812141=-+=)()()(AB P B P B A P -==838121=-= 87811)(1)(=-=-=AB P AB P)])([(AB B A P )]()[(AB B A P -=)()(AB P B A P -= )(B A AB Ì 218185=-=3．解：用A 表示事件“取到的三位数不包含数字1” 2518900998900)(191918=´´==C C C A P4、解：用A 表示事件“取到的三位数是奇数”，用B 表示事件“取到的三位数大于330330””(1)455443)(2515141413´´´´==A C C C C A P =0.482）455421452)(251514122512´´´´+´´=+=A C C C A C B P =0.485、解：用A 表示事件“表示事件“44只中恰有2只白球，只白球，11只红球，只红球，11只黑球”，用B 表示事件“表示事件“44只中至少有2只红球”，用C 表示事件“表示事件“44只中没有只白球”只中没有只白球” （1）412131425)(C C C C A P ==495120=338（2）4124838141)(C C C C B P +-==16567495201= 或16567)(4124418342824=++=C C C C C C B P（3）99749535)(41247===CC C P6．解：用A 表示事件“某一特定的销售点得到k 张提货单”张提货单” nkn k n MM C A P --=)1()(7、解：用A 表示事件“表示事件“33只球至少有1只配对”，用B 表示事件“没有配对”表示事件“没有配对” （1）3212313)(=´´+=A P 或321231121)(=´´´´-=A P（2）31123112)(=´´´´=B P8、解、解 1.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P（1）313.01.0)()()(===B P AB P B A P ，515.01.0)()()(===A P AB P A B P7.01.03.05.0)()()()(=-+=-+=AB P B P A P B A P)()()()()()]([)(B A P AB P B A P AB A P B A P B A A P B A A P ===757.05.0==717.01.0)()()()])([()(====B A P AB P B A P B A AB P B A AB P1)()()()]([)(===AB P AB P AB P AB A P AB A P（2）设{}次取到白球第i A i = 4,3,2,1=i则)()()()()(32142131214321A A A A P A A A P A A P A P A A A A P =0408.020592840124135127116==´´´=9、解：用A 表示事件表示事件“取到的两只球中至少有“取到的两只球中至少有1只红球”，用B 表示事件表示事件“两只都是红球”“两只都是红球”方法1651)(2422=-=C C A P ，61)(2422==C C B P ，61)()(==B P AB P516561)()()(===A P AB P A B P方法2 在减缩样本空间中计算在减缩样本空间中计算在减缩样本空间中计算 51)(=A B P1010、解：、解：A 表示事件“一病人以为自己得了癌症”，用B 表示事件“病人确实得了癌症”表示事件“病人确实得了癌症” 由已知得，%40)(%,10)(%,45)(%,5)(====B A P B A P B A P AB P （1）B A AB B A AB A 与,=互斥互斥5.045.005.0)()()()(=+=+==\B A P AB P B A AB P A P同理同理15.01.005.0)()()()(=+=+==B A P AB P B A AB P B P （2）1.05.005.0)()()(===A P AB P A B P（3）2.05.01.0)()()(,5.05.01)(1)(====-=-=A P B A P A B P A P A P（4）17985.045.0)()()(,85.015.01)(1)(====-=-=B P B A P B A P B P B P（5）3115.005.0)()()(===B P AB P B A P1111、解：用、解：用A 表示事件“任取6张，排列结果为ginger ginger””92401)(61113131222==A A A A A A P1212、、解：用A 表示事件“A 该种疾病具有症状”，用B 表示事件“B 该种疾病具有症状”由已知2.0)(=B A P3.0)(=B A P 1.0)(=AB P （1）,B A AB B A B A S=且B A AB B A B A ,,,互斥互斥()6.01.03.02.0)()()(=++=++=\AB P B A P B A P B A P4.06.01)(1)()(=-=-==B A P B A P B A P ()()()4.0)(1=---=AB P B A P B A P B A P（2）()()()6.01.03.02.0)(=++=++=AB P B A P B A P AB B A B A P（3）B A AB B =， B A AB ,互斥互斥4.03.01.0)()()()(=+=+==B A P AB P B A AB P B P )()()(])[()(B P AB P B P B AB P B AB P ==414.01.0==1313、解：用、解：用i A 表示事件“讯号由第i 条通讯线输入”，,4,3,2,1=i B 表示“讯号无误差地被接受”接受”;2.0)(,1.0)(,3.0)(,4.0)(4321====A P A P A P A P9998.0)(1=A B P ，9999.0)(2=A B P ，,9997.0)(3=A B P 9996.0)(4=A B P 由全概率公式得由全概率公式得9996.02.09997.01.09999.03.09998.04.0)()()(41´+´+´+´==å=ii iA B P A P B P99978.0=1414、、解：用A 表示事件“确实患有关节炎的人”，用B 表示事件“检验患有关节炎的人”由已知由已知1.0)(=A P ，85.0)(=A B P ，04.0)(=A B P ，则9.0)(=A P ，85.0)(=A B P ，96.0)(=A B P ，由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得 017.096.09.015.01.015.01.0)()()()()()()(=´+´´=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P1515、解：用、解：用A 表示事件“程序交与打字机A 打字”，B 表示事件“程序交与打字机B 打字”， C 表示事件“程序交与打字机C 打字”；D 表示事件“程序因计算机发生故障被打坏”坏”由已知得由已知得6.0)(=A P ，3.0)(=B P ，1.0)(=C P ； 01.0)(=A D P ，05.0)(=B D P ，04.0)(=C D P由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得)()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P A D P A P D A P ++=24.025604.01.005.03.001.06.001.06.0==´+´+´´=)()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P B D P B P D B P ++=6.05304.01.005.03.001.06.005030==´+´+´´=)()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P C D P C P D A P ++=16.025604.01.005.03.001.06.004.01.0==´+´+´´=1616、解：用、解：用A 表示事件“收到可信讯息”，B 表示事件“由密码钥匙传送讯息”表示事件“由密码钥匙传送讯息”由已知得由已知得 95.0)(=A P ，05.0)(=A P ，1)(=A B P ，001.0)(=A B P由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得999947.0001.005.0195.0195.0)()()()()()()(»´+´´=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P1717、解：用、解：用A 表示事件“第一次得H ”，B 表示事件“第二次得H ”， C 表示事件“两次得同一面”表示事件“两次得同一面”则,21)(,21)(==B P A P ,21211)(2=+=C P ,4121)(2==AB P ,4121)(2==BC P ,4121)(2==AC P )()()(),()()(),()()(C P A P AC P C P B P BC P B P A P AB P ===\C B A ,,\两两独立两两独立而41)(=ABC P ，)()()()(C P B P A P ABC P ¹C B A ,,\不是相互独立的不是相互独立的1818、解：用、解：用A 表示事件“运动员A 进球”，B 表示事件“运动员B 进球”， C 表示事件“运动员C 进球”，由已知得由已知得5.0)(=A P ，7.0)(=B P ，6.0)(=C P 则5.0)(=A P ，3.0)(=B P ，4.0)(=C P （1）{})(C B A C B A C B A P P =恰有一人进球)()()(C B A P C B A P C B A P ++= （C B A C B A C B A ,,互斥）互斥） )()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++=相互独立）C B A ,,(29.06.03.05.04.07.05.04.03.05.0=´´+´´+´´=（2）{})(C B A BC A C AB P P =恰有二人进球)()()(C B A P BC A P C AB P ++= （C B A BC A C AB ,,互斥）互斥） )()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++= 相互独立）C B A ,,(44.06.03.05.06.07.05.04.07.05.0=´´+´´+´´= （3）{})(C B A P P =至少有一人进球)(1C B A P -= )(1C B A P -=)()()(1C P B P A P -=相互独立）C B A ,,( 4.03.05.01´´-=94.0= 1919、解：用、解：用i A 表示事件“第i 个供血者具有+-RHA 血型”， ,3,2,1=iB 表示事件“病人得救”表示事件“病人得救”,4321321211A A A A A A A A A A B=4321321211,,,A A A A A A A A A A 互斥，i A （ ,3,2,1=i ）相互独立）相互独立 ()()(1P A P B P +=\+)21A A )()(4321321A A A A P A A A P +8704.04.06.04.06.04.06.04.032=´+´+´+=2020、解：设、解：设i A 表示事件“可靠元件i ” i=1,2,3,4,5 ，B 表示事件“系统可靠”由已知得p A P i =)(1,2,3,4,5)(i = 54321,,,,A A A A A 相互独立相互独立法1：54321A A A A A B =)()(54321A A A A A P B P =\()()()()()()542154332154321A A A A P A A A P A A A P A A P A P A A P ---++=()54321A A A A A P +543322p p p p p p p +---++= ()相互独立54321,,,,A A A A A543222p p p p p +--+=法2：)(1)(54321A A A A A P B P -=)()()(154321A A P A P A A P -= ()相互独立54321,,,,A A A A A()()]1][1)][(1[154321A A P A P A A P ----=()()()]1][1)][()(1[154321A P A P A P A P A P ----=()相互独立54321,,,,A A A A A()()()221111pp p----=543222p p p p p +--+=2121、解：令、解：令A ：“产品真含杂质”，A ：“产品真不含杂质”“产品真不含杂质” 则4.0)(=A P ，6.0)(=A P2.08.0)|(223´´=C A B P 9.01.0)|(223´´=C A B P \)()|()()|()(A P A B P A P A B P B P +=6.09.01.04.02.08.0223223´´´+´´´=C C\)()|()()|()()|()()()|(A P A B P A P A B P A P A B P B P AB P B A P +==905.028325660901********.02.08.0223223223»=´´´+´´´´´´=C C C第二章习题答案 1、{}()4.04.011´-==-k k Y Pk=1,2,… 2、用个阀门开表示第i A i))()()()()(())((}0{32321321A P A P A P A P A P A A A P X P -+=== 072.0)2.02.02.02.0(2.0=´-+=23213218.02.0)04.02.02.0(8.0])([}1{´+-+===A A A A A A P X P416.0=512.08.0)(}2{3321====A A A P X P 3、()2.0,15~b X{}kkk C k X P -´==15158.02.0 k=0,1,2,……,15（1）{}2501.08.02.03123315=´==C X P（2）{}8329.08.02.08.02.01214115150015=´-´-=³C C X P（3）{}6129.08.02.08.02.08.02.031123315132215141115=´+´+´=££C C C X P（4）{}0611.08.02.01551515=´-=>å=-k kkk C X P4、用X 表示5个元件中正常工作的个数个元件中正常工作的个数9914.09.01.09.01.09.0)3(54452335=+´+´=³C C X P5、设X={}件产品的次品数8000 则X~b(8000,0.001)由于n 很大，P 很小，所以利用)8(p 近似地～X {}3134.0!8768==<å=-k k k eX P6、(1)X~p (10){}{}0487.09513.01!101151151510=-=-=£-=>\å=-k k k eX P X P (2)∵ X~p ( l ) {}{}!01010210ll --==-=>=\e X P X P{}210==\X P21=\-le7.02ln ==\l {}{}1558.08442.01!7.0111217.0=-=-=£-=³\å=-k k k eX P X P或{}{}{}2ln 2121!12ln 21110122ln -=--==-=-=³-e X P X P X P 7、)1( )2(~p X 1353.0!02}0{22====--e e X P )2( 00145.0)1()(24245=-=--eeC p)3( 52)!2(å¥=-=k kk e p8、(1) 由33)(11312k x k dx kx dx x f ====òò¥+¥- 3=\k（2）{}()2713331331231====£òò¥-xdx x dx x f X P（3）64764181321412141321412=-===þýüîíì££òxdx x X P（4）271927813)(321323132232=-====þýüîíì>òò¥+xdx x dx x f X P9、方程有实根04522=-++X Xt t ，则，则 0)45(4)2(2³--=D X X 得.14£³X X 或有实根的概率有实根的概率937.0003.0003.0}14{104212=+=£³òòdx x dx x X X P10、)1( 005.01|100}1{200110200200122»-=-==<---òeedx ex X P x x)2(=>}52{X P 0|100200525220020052222»-=-=-¥--¥òeedx exx x)3( 25158.0}20{}26{}20|26{200202002622==>>=>>--ee X P X P X X P 11、解：、解：（1）{}()275271942789827194491)(12132121=+--=÷øöçèæ-=-==>òò¥+x x dx x dx x f X P（2）Y~b(10，275){}kk kC k Y P -÷øöçèæ´÷øöçèæ==10102722275k=0,1,2,……,10（3）{}2998.027*******2210=÷øöçèæ´÷øöçèæ==C Y P{}{}{}1012=-=-=³Y P Y P Y P 5778.027222752722275191110100210=÷øöçèæ÷øöçèæ-÷øöçèæ´÷øöçèæ-=C C 12（1）由()()òòò++==-+¥¥-10012.02.01dy cy dy dy y f24.0)22.0(2.01201c y c y y +=++=-2.1=\c ()ïîïíì£<+£<-=\其它102.12.0012.0y yy y f ()()ïïïïîïïïïíì³+<£++<£--<==òòòòòò--¥-¥-12.12.0102.12.02.0012.010)()(100011y dyy y dy y dy y dt y dtdt t f y F y yyyYïïîïïíì³<£++<£-+-<=11102.02.06.0012.02.0102y y y y y y y{}()()25.02.05.06.05.02.02.005.05.002=-´+´+=-=££F F Y P {}()774.01.06.01.02.02.011.011.02=´-´--=-=>F Y P {}()55.05.06.05.02.02.015.015.02=´-´+-=-=>F Y P{}{}{}{}{}7106.0774.055.01.05.01.01.0,5.01.05.0==>>=>>>=>>\Y P Y P Y P Y Y P Y Y P(2) ()()ïïïîïïïíì³<£+<£<==òòòò¥-41428812081002200x x dtt dt x dt x dt t f x F xxxïïïîïïïíì³<£<£<=4142162081002x x x x xx{}()()167811691331=-=-=££F F X P{}()16933==£F X P{}{}{}9716916733131==£££=£³\X P X P X X P 13、解：{}111,-´===n nj Y i X Pn j i j i ，¼¼=¹,2,1,,{}0,===i Y i X P 当n=3时，（X ，Y ）联合分布律为）联合分布律为14、)1(2.0}1,1{===Y X P ，}1,1{}0,1{}1,0{}0,0{}1,1{==+==+==+===££Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P42.020.004.008.010.0=+++= )2( 90.010.01}0,0{1=-===-Y X P)3(}2,2{}1,1{}0,0{}{==+==+====Y X P Y X P Y X P Y X P60.030.020.010.0=++= }0,2{}1,1{}2,0{}2{==+==+====+Y X P Y X P Y X P Y X P28.002.020.006.0=++= 15、()()()88104242c ee cdxdy ce dx x f yx y x =-×-===+¥-+¥-+¥+¥+-+¥¥-òòò8=\c{}()()()4402042228,2-+¥-+¥-+¥+-+¥>=-×-===>òòòòe ee dy edxdxdy y x f X P yyxx y x xY X 1 2 31 0 1/6 1/62 1/6 0 1/6 31/6 1/6 0D ：xy x ££¥<£00{}()òò>=>yx dxdy y x f Y X P ,()()dx e e dy edxx yx xy x 0402042028-+¥-+-+¥-×==òòò()ò¥++¥----=÷øöçèæ-=+-=2626323122x x xxe e dx eeD ：xy x -££££101{}()dy edxY X P xyx òò-+-=<+10421081 ()()òò------=-=1422101042222dx eedx eex xx yx()()22104221----=--=e e ex x16、（1）61)2(122=-=òdx x x s ， îíìÎ=其他,0),(,6),(G y x y x f（2）îíì<<==ò其他,010,36)(2222x x dy x f x xXïïïîïïíì<£-=<<-==òò其他,0121),1(66210),2(66),(12y y yY y y dx y y y dx y x f17、（1）Y X0 1 2 P{X=x i } 0 0.10 0.08 0.06 0.24 1 0.04 0.20 0.14 0.38 20.02 0.06 0.300.38 P{Y=y i } 0.16 0.34 0.501（2）D ：+¥<£+¥<£y x x 0或：yx y <£+¥<£00()()ïîïíì£>==\òò+¥-¥+¥-00,x x dye dy y xf x f xy Xîíì£>=-00x x e x()()ïîïíì£>==òò-¥+¥-00,0y y dxe dx y xf y f yy Yîíì£>=--00y y ye y22、（1）Y 1 Y 2 -11-14222qq q =×()q q-124222qq q =×()q q-12()21q -()q q-1214222qq q =×()q q-124222qq q =×且{}{}{}{}1,10,01,121212121==+==+-=-===Y Y P Y Y P Y Y P Y YP()12234142222+-=+-+=q qqqq（2）{}10.00,0===Y X P{}{}0384.000==×=Y P X P 又 {}0,0==Y X P {}{}00=×=¹Y P X P∴X 与Y 不相互独立不相互独立23、()1,0~U X ()ïîïíì<<=其它2108y yy f Y且X 与Y 相互独立相互独立则()()()ïîïíì<<<<=×=其它0210,108,y x yy f x f y x f Y XD ：1210<£<£x y y32|)384()8(8}{21032212=-=-==>òòò>y y dy y y ydxdy Y X P yx24X-2-11 3 k p51 61 51151301112+=X Y 52 1 2 10Y 12 510k p5115161+513011即Y 12 5 10 k p5130751301125、U=|X|，当0)|(|)()(0=£=£=<y X P y Y P y F y U时，1)(2)()()()|(|)()(0-F =--=££-=£=£=³y y F y F y X y P y X P y Y P y F y X X U 时，当故ïîïíì<³==-0,00,2)(||22y y e y f X U y U p的概率概率密度函数为26、（1）X Y =，当0)()()(0=£=£=<y X P y Y P y F y Y 时，)()()()()(022y F y X P y X P y Y P y F y X Y =£=£=£=³时，当故 ïîïíì<³==-0,00,2)(2y y ye y f X Y y Y 的概率概率密度函数为（2）)21(+=X Y ，当0)21()()(0=£+=£=£y X P y Y P y F y Y 时，1)(1)12()12()21()()(01=³-=-£=£+=£=>>y F y y F y X P y X P y Y P y F y Y X Y 时，当时，当故 ïîïíì>>=+=其他的概率概率密度函数为,001,21)(21y y f X Y Y（3）2X Y =，当0)()()(02=£=£=£y X P y Y P y F y Y 时，)()()()()()(02y F y F y X y P y XP y Y P y F y X X Y --=££-=£=£=>时，当故 ïîïíì£>==-0,00,21)(22y y e yy f X Y y Y p 的概率概率密度函数为27、()()ïîïíì<<+=其它201381x x x f X()()p p 4,02,02Î=ÞÎx y x 当y 0£时,()0=y F Yp 40<<y (){}þýüîíì££-=£=p p p y X yP y X P y F Y2()()òò+==-pppyyyx dx x dx x f 01381p 4³y()()113812=+=þýüîíì££-=òdx x y X yP y F Y p p时当p 4,0¹¹\y y ()()ïîïíì><<<×÷÷øöççèæ+×==pp p p 4,0040211381'y y y y yy F y f Y Y()ïîïíì<<+=\其它40161163p p p y yy f Y28、因为X 与 Y 相互独立，且服从正态分布),0(2s N2222221)()(),(sp sy x Y X ey f x f y x f +-==由知，22Y XZ+=0)(0=£z f z Z 时，当时，当0>z òò----=xxx z x z Z z F 2222)(2222221spsy x e+-dydx=2222220202121sspq p sz r zedr rd e---=òòïîïíì³=-其他,0,)()2(222z ez z f z Z ss29、ïîïíì<<-=其他,011,21)(x x f X))1arctan()1(arctan(21)1(21)()()(112--+=+=-=òò+-¥¥-z z dy y dy y f y z f z f z z Y X Z pp30、0)(0=£z f z Z时，当时当0>z2)()()(2302)(z e dy ye edy y f y z f z f zyzyz YX Zll l l l l ----¥¥-==-=òò31、îíì<<=其他,010,1)(x x f X ， íì<<=其他,010,1)(y y f Y ，ïïîïïíì££-=<£==-=òòò-¥¥-其他,021,210,)()()(110z zY X Z z z dy z z dy dy y f y z f z f32 解（1）()()îíì£>=ïîïíì£>==---¥+¥-òò00030023,3203x x e x x dye dy y xf x fxxX()()ïîïíì££=ïîïíì££==òò¥+-¥+¥-其它其它20212023,03y y dx e dx y x f y f xY（2）()()îíì>-£=ïîïíì>£==--¥-òò100030303x e x x dt e x dt t f x F xx txX X()()ïïîïïíì³<£<=ïïîïïíì³<£<==òò¥-21202121202100y y yy y y dt y dt t f y F y yY Y ()(){}()()Z F Z F Z Y X P Z FY X ×=£=\,max max ()ïïîïïíì³-<£-<=--21201210033z e z z ez Z z（3）()÷øöçèæ-=þýüîíìì£<211121max max F F Z P ()21121121233×÷÷øöççèæ---=--e e 233412141--+-=ee33、（1）ïîïíì<<=其他率密度为）上服从均匀分布，概，在（,00,1)(10l x lx f X X（2）两个小段均服从上的均匀分布),0(l ,ïîïíì<<=其他,010,1)(1x lx f X),m i n (21X X Y =, 2)1(1)(ly y F Y --=ïîïíì<<-=其他,00,)(2)(2l y l y l y f Y 34、（1）U 的可能取值是0，1，2，31201}2,3{}1,3{}0,3{}3{12029}2,1{}2,0{}2,2{}1,2{}0,2{}2{32}1,1{}0,1{}1,0{}1{121}0,0{}0{===+==+=======+==+==+==+=======+==+=========Y X P Y X P Y X P U P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P U P Y X P Y X P y X P U P Y X P U P U 0 1 2 3 P12132120291201(2) V 的可能取值为0,1,2}2{4013}1,3{}1,2{}2,1{}1,1{}1{4027}0,3{}0,2{}0,1{}2,0{}1,0{}0,0{}0{=====+==+==+=======+==+==+==+==+====V P Y X P Y X P Y X P Y X P V P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P V PV 0 1 2 P40274013(3) W 的可能取值是0，1，2，3，4，5 0}5{}4{121}2,1{}1,2{}0,3{}3{125}2,0{}1,1{}0,2{}2{125}1,0{}0,1{}1{121}0,0{}0{=======+==+=======+==+=======+=========W P W P Y X P Y X P Y X P W P Y X P Y X P Y X P W P Y X P Y X P W P Y X P W PW 0 1 2 3 P121125125121概率统计第三章习题解答1、52}7{,51}6{}5{}4{========X P X P X P X P529)(=X E2、2914}7{,296}6{,295}5{,294}4{========Y P Y P Y P Y P29175)(=Y E 3、设X 为取到的电视机中包含的次品数，为取到的电视机中包含的次品数， 2,1,0,}{3123102===-k CC C k X P kkX 0 1 2 p k 221222922121)(=X E4、设X 为所得分数为所得分数 5,4,3,2,1,61}{===k k X P 12,11,10,9,8,7,361}{===k k X P1249)(=X E5、（1）由}6{}5{===X P X P ，则，则l l l l --=e e !6!565 解出6=l ，故6)(==l X E（2）由于åå¥=-¥=--=-11212211)1(66)1(k k k k kkkpp 不是绝对收敛，则)(X E 不存在。

概率论与数理统计课程第一章练习题及解答

概率论与数理统计课程第一章练习题及解答一、判断题（在每题后的括号中对的打“√”错的打“某”）1、若P(A)1，则A与任一事件B一定独立。

（√）2、概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。

（√）3、样本空间是随机现象的数学模型。

（√）4、试验中每个基本事件发生的可能性相同的试验称为等可能概型。

（某）5、试验的样本空间只包含有限个元素的试验称为古典概型。

（某）6、实际推断原理就是“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”。

（√）7、若S为试验E的样本空间，B1,B2,称B1,B2,,Bn为E的一组两两互不相容的事件，则（某）,Bn为样本空间S的一个划分。

8、若事件A的发生对事件B的发生的概率没有影响，即P(BA)P(B)，称事件A、B独立。

（√）9、若事件B1,B2,独立的。

（√）10、若事件B1,B2,,Bn(n2)相互独立，则其中任意k(2kn)个事件也是相互,Bn(n2)相互独立，则将B1,B2,,Bn中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的n个事件仍相互独立。

（√）二、单选题1．设事件A和B相互独立，则P(AB)（C）1P(A)P(B)A、P(A)P(B)B、P(A)P(B)C、1P(A)P(B)D、2、设事件A与B相互独立，且0P(A)1,0P(B)1，则正确的是（A）A、A与AB一定不独立C、A与BA一定独立B、A与AB一定不独立D、A与AB一定独立3、设当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则（B）A、P(C)P(A)P(B)1B、P(C)P(A)P(B)1C、P(C)P(AB)D、P(C)P(AB)4、在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电，以E表示事件“电炉断电”，而T(1)T(2)T(3)T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于（）A、{T(1)t0}B、{T(2)t0}C、{T(3)t0}D、{T(4)t0}分析事件{T(4)t0}表示至少有一个温控器显示的温度不低于临界温度t0；事件{T(3)t0}表示至少有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0，即E{T(3)t0}，选C。

(完整版)概率统计章节作业答案

第一章随机事件与概率一、单项选择题1.掷一枚骰子，设A ={出现奇数点}，B ={出现1或3点}，则下列选项正确的是( B ).A. AB ={出现奇数点}B. AB ={出现5点}C. B ={出现5点}D. A B =ΩU2.设A 、B 为任意两个随机事件，则下列选项中错误的是 ( A ).A. ()A B B A +-=B. ()A B B A B A AB +-=-=-C. ()A B B A B -+=+D.AB AB A +=3.将一枚匀称的硬币投掷两次，令A i ={第i 次正面向上}（i =1,2），则“至少有一次正面向上”可表示为( D ).A.1212A A A A UB.12A AC.12A AD.12A A U4.某人向一目标射击3次，设A i 表示“第i 次射击命中目标”（i =1，2，3），则3次都没有命中目标表示为( A ).A.123A A AB.123A A A ++C.123A A AD.123A A A5.设A 与B 为互为对立事件，且()0,()0P A P B >>，则下列各式中错误的是( A).A.(|)0P A B =B. (|)0P B A =C. ()0P AB =D. ()1P A B =U6.设事件A 与B 相互独立,P (A )=0.2, P (B )=0.4, 则(|)P A B =( D ).A. 0.2B. 0.4C. 0.6D. 0.87.已知事件A 与B 互不相容, P (A )>0, P (B )>0, 则( C ).A.()1P A B =UB.()()()P AB P A P B =C. ()0P AB =D.()0P AB >8.设P (A )=0, B 为任一事件, 则 ( C ).A.A =ΦB.A B ⊂C.A 与B 相互独立D. A 与B 互不相容9.已知P (A )=0.4, P (B )=0.5, 且A B ⊂,则P (A |B )= ( C ).A. 0B. 0.4C. 0.8D. 110.设A 与B 为两事件, 则AB = ( B ).A.A BB. A B UC. A B ID. A B I11.设事件A B ⊂, P (A )=0.2, P (B )=0.3,则()P A B =U ( A ).A. 0.3B. 0.2C. 0.5D. 0.4412.设事件A 与B 互不相容, P (A )=0.4, P (B )=0.2, 则P (A|B )=( D ).A. 0.08B. 0.4C. 0.2D. 013.设A , B 为随机事件, P (B )>0, P (A |B )=1, 则必有 ( A ).A.()()P A B P A =UB.A B ⊂C. P (A )=P (B )D. P (AB )=P (A )14.从1,2,3,4,5中任意取3个数字,则这3个数字中不含5的概率为 ( A ).A. 0.4B. 0.2C. 0.25D. 0.7515.某学习小组有10名同学，其中6名男生、4名女生，从中任选4人参加社会活动，则4人中恰好2男2女的概率为( A ).A.37B.0.4C. 0.25D.16 16.某种动物活20年的概率为0.8，活25年的概率为0.6，现有一只该种动物已经活了20年，它能活到25年的概率是 ( B ).A. 0.48B. 0.75C. 0.6D. 0.817.将两封信随机地投到4个邮筒内，则前两个邮筒内各有一封信的概率为( A ).A. 0.125B. 0.25C. 0.5D. 0.418.一批产品的合格品率为96%，而合格品中有75%是优质品，从该批产品中任取一件恰好是优质品的概率为( A ).A. 0.72B. 0.75C. 0.96D. 0.7819.设有10个产品，其中7个正品，3个次品，现从中任取4个产品，则这4个都是正品的概率为( C ).A. 710B. 44710C. 47410C C D. 4710⨯ 20.设有10个产品，其中8个正品，2个次品，现从中抽取3次，每次任取1个，取后放回，则取到的3个产品都是正品的概率为( C ).A. 810B. 38310C C C. 33810 D. 38310C 21.某人打靶的命中率为0.4，现独立地射击5次，则5次中恰有2次命中的概率为( C ).A. 20.4B. 30.6C. 22350.40.6CD. 23250.40.6C22.随机地抛掷质地匀称的6枚骰子,则至少有一枚骰子出现6点的概率为( D ).A.15615()66CB.156151()66C - C.15651()66C D.651()6- 23.把3个不同的球分别放在3个不同的盒子中,则出现2个空盒的概率为(A ).A. 19B. 12C. 23D. 13 24.从1,2,3,4,5,6六个数字中,等可能地、有放回地连续抽取4个数字，则取到的4个数字完全不同的概率为( A ).A.518B.4!6!C.4446AAD.44!625.某人每次射击命中目标的概率为p(0<p<1)，他向目标连续射击，则第一次未中第二次命中的概率为( D ).A. p2B. (1-p)2C. 1-2pD. p(1-p)二、填空题1.一个盒子中有6颗黑棋子、9颗白棋子，从中任取两颗，则这两颗棋子是不同色的概率为18/35 .2.甲乙两人，每人扔两枚均匀硬币，则两人所扔硬币均未出现正面的概率为1/16 .3.设袋中有5个红球、3个白球和2个黑球，从袋中任取3个球，则恰好取到1个红球、1个白球和1个黑球的概率为0.25 .4.从数字1，2，…，10中有放回地任取4个数字，则数字10恰好出现两次的概率为0.0486 .5.甲乙丙三人各自独立地向一目标射击一次，三人的命中率分别是0.5，0.6，0.7，则目标被击中的概率为0.94 .6.甲袋中装有两白一黑共3个球，乙袋中装有一白两黑共3个球，从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，则取到白球的概率为5/12 .7.设事件A与B互不相容，P(A)=0.2, P(B)=0.3, 则()P A BU= 0.5 .8.设事件A与B相互独立，且P(A+B)=0.6, P(A)=0.2, 则P(B)= 0.5 .9.设()0.3,(|)0.6P A P B A==，则P(AB)= 0.42 .10.设11()()(),()(),()046P A P B P C P AB P AC P BC======，则P(A+B+C)=5/12 .11.已知P (A )=0.7, P (A -B )=0.3, 则()P AB = 0.6 .12.某射手对一目标独立射击4次，每次射击的命中率为0.5，则4次射击中恰好命中3次的概率为 0.25 .13.已知P (A )=0.4, P (B )=0.8, P (B|A )=0.25, 则P (A|B )= 0.125 .14.设111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===，则()P A B U = 1/3 . 15.一批产品的废品率为4%，而正品中的一等品率为60%，从这批产品中任取一件是一等品的概率为 0.576 .16.甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮，甲、乙击中飞机的概率分别为0.4，0.5，则飞机至少被击中一炮的概率为 0.7 .三、计算题1.设P (A )=0.4, P (B )=0.2, (|)0.3P B A =, 求P (AB )以及P (A |B ).解:由(|)0.3P B A =得:()0.3,()P AB P A =即()()0.31()P B P AB P A -=-, 解得:P (AB )=0.02. 从而, ()0.02(|)0.1()0.2P AB P A B P B ===.2.已知,()0.2,()0.3,A B P A P B ⊂==求：(1)(),()P A P B ；(2)P (AB )；(3)()P AB ；(4) ()P A B U ；(5)P (B -A ).(1)由概率的性质，知()1()0.8,P A P A =-=()1()0.7P B P B =-=；(2)因为A B ⊂，所以AB A =，P (AB )=P (A )=0.2； (3)()P AB =P (A -AB )=P (A )-P (AB )=P (A )-P (A )=0；(4) 因为A B ⊂，所以A B B =U , ()P A B U =P (B )=0.3；或者，()P A B U =P (A )+P (B )-P (AB )=0.2+0.3-0.2=0.3；3.若事件A 与B 互不相容，P (A )=0.6, P (A+B )=0.9, 求：(1)()P AB ；(2)(|)P A B ；(3)()P AB .解:(1) 因A 与B 互不相容，故AB =Φ，P (AB )=0，所以()P AB =1-P (AB )=1；(2) 因A 与B 互不相容，由加法公式：P (A+B )=P (A )+P (B )，得P (B )=0.3，从而 (|)P A B =()()()0.661()0.77()P AB P A P AB P B P B -===-； (3) ()P AB =1()1()10.90.1P AB P A B -=-+=-=.4.已知事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.4, P (A+B )=0.6, 求(1)P (B )；(2) ()P AB ；(3)P (A|B ).解：(1)因为事件A 与B 相互独立，所以P (AB )=P (A )P (B )，()()()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P B +=+-=+-0.6=0.4+P (B )-0.4P (B )，解得：P (B )=13； (2) 因为事件A 与B 相互独立，所以A 与B 也相互独立，故()P AB =4()()15P A P B =； (3) 因为事件A 与B 相互独立，所以P (A|B )=P (A )=0.4.四、应用题 1.一批产品共有50个，其中40个一等品、6个二等品、4个三等品，现从中任取3个产品，求3个产品中至少有2个产品等级相同的概率.解：设A “3个产品中至少有2个产品等级相同”，A “3个产品等级都不同”，由古典概率定义，得111406435012()0.049245C C C P A C ==≈，从而 ()10.0490.951P A =-=.2.10把钥匙中有3把能打开门，现从中任取2把，求能打开门的概率.解：A “取出2把钥匙能打开门”，由古典概率知：1123732108()15C C C P A C +==.3.将5双不同的鞋子混放在一起，从中任取4只，求这4只鞋子至少能配成一双的概率.解：A “4只鞋子中至少能配成一双”，则A “4只鞋子都不同”.由古典概率得：41111522224108()21C C C C C P A C ==，故13()1()21P A P A =-=. 4.从0，1，2，3这4个数中任取3个进行排列，求取得的三个数字排成的数是三位数且是偶数的概率.解：A “排成的数是三位数且是偶数”，A 0“排成的三位数末位是0”，A 2“排成的三位数末位是2”，则A =A 0+A 2，且A 0与A 2互不相容，因为230342!1(),3!4C P A C ==11222341(),3!6C C P A C == 所以，015()()()12P A P A P A =+=. 5.一批零件共100个，次品率为10%，每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求下列事件的概率：(1)第三次才取得合格品；(2)如果取得一个合格品后就不再取零件，在三次内取得合格品.解：设A i “第i 次取到合格品”（i =1,2,3），则(1)第三次才取到合格品的概率为：12312131210990()()(|)(|)0.00831009998P A A A P A P A A P A A A ==⨯⨯≈. (2)A “三次内取得合格品”，则112123A A A A A A A =++，所求概率为： 112123()()()()P A P A P A A P A A A =++1121121312()()(|)()(|)(|)P A P A P A A P A P A A P A A A =++90109010990100100991009998=+⨯+⨯⨯0.9993.≈ 6.盒子中有8个红球和4个白球，每次从盒子中任取一球，不放回地抽取两次，试求：(1) 两次取出的都是红球的概率；(2)在第一次取出白球的条件下，第二次取出红球的概率；(3)第二次取到红球的概率.解：A 1“第一次取出的是红球”，A 2“第二次取出的是红球”，则(1)由乘法公式得，两次取出的都是红球的概率为：121218714()()(|)121133P A A P A P A A ==⨯=； (2)在第一次取出白球的条件下，第二次取出红球的概率为：218(|)11P A A =； (3)由全概率公式得，第二次取到红球的概率为：2121121()()(|)()(|)P A P A P A A P A P A A =+7.某工厂有三台设备生产同一型号零件，每台设备的产量分别占总产量的25%，35%，40%，而各台设备的废品率分别是0.05，0.04，0.02，今从全厂生产的这种零件中任取一件，求此件产品是废品的概率.解：设A i “第i 台设备生产的零件”(i =1，2)，B “产品是废品”，由题意知：P (A 1)=25%，P (A 2)=35%，P (A 3)=40%，P (B |A 1)=0.05, P (B |A 2)=0.04, P (B |A 3)=0.02,由全概率公式得，产品是废品的概率为：112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++25%0.0535%0.0440%0.020.0345=⨯+⨯+⨯=.8.两台车床加工同一种零件，加工出来的零件放在一起，已知第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02，且第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.(1)求任取一个零件是合格品的概率；(2)如果取出的是废品，求它是由第二台车床加工的概率.解：设B “零件是合格品”，A “第一台车床加工的零件”，则A “第二台车床加工的零件”，由题意知：21(),()33P A P A ==. (1)由全概率公式得：()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+21(10.03)(10.02)0.97333=⨯-+⨯-≈； (2)由贝叶斯公式得，如果取出的是废品，求它是由第二台车床加工的概率为：10.02()()(|)3(|)0.252.921()()13P A B P A P B A P A B P B P B ⨯====--9.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,假设男人女人各占一半.现随机地挑选一人，求：(1)此人恰是色盲的概率是多少？(2)若随机挑选一人，此人是色盲，问他是男人的概率多大？(3)若随机挑选一人，此人不是色盲，问他是男人的概率多大？解：设B “色盲患者”，A “随机挑选一人是男人”，由题设知：11(),(),(|)5%,(|)0.25%22P A P A P B A P B A ====，则 (1)由全概率公式得，随机挑选一人是色盲的概率为：()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+115%0.25%0.0262522=⨯+⨯=； (2)由贝叶斯公式得，随机选一人是色盲，他是男人的概率为：15%()()(|)2(|)0.952()()0.02625P AB P A P B A P A B P B P B ⨯===≈； (3)由贝叶斯公式得，随机选一人不是色盲，他是男人的概率为：195%()()(|)2(|)0.48781()0.97375()P AB P A P B A P A B P B P B ⨯===≈-. 10.现有10张考签，其中4张是难签，甲、乙、丙三人抽签考试(取后不放回)，甲先乙次丙最后，求下列事件的概率：(1)甲乙都抽到难签；(2)甲没有抽到难签，而乙抽到难签；(3)甲乙丙都抽到难签；(4)证明：甲乙丙抽到难签的机会均等.解：设A ，B ，C 分别表示“甲、乙、丙抽到难签”，则(1)甲乙都抽到难签的概率为：432()()(|)10915P AB P A P B A ==⨯=； (2)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率为：644()()(|)10915P AB P A P B A ==⨯=； (3)甲乙丙都抽到难签的概率为：4321()()(|)(|)109830P ABC P A P B A P C AB ==⨯⨯=； (4)由古典概率知，甲抽到难签的概率为：4()0.410P A ==. 由全概率公式得，乙抽到难签的概率为：()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+43640.4109109=⨯+⨯=. 丙抽到难签的概率为：()()(|)()(|)()(|)()(|)P C P AB P C AB P AB P C AB P AB P C AB P AB P C AB =+++ 4326434636541098109810981098=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=0.4. 得，P (A )=P (B )=P (C )=0.4，所以，甲乙丙抽到难签的机会均等，各占40%.11.三个人向同一敌机射击，设三人命中飞机的概率分别为0.4，0.5和0.7.若三人中只有一人击中，飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机必被击落.求飞机被击落的概率.解：设A i 表示“三人中恰有i 人击中飞机”，i =0，1，2，3.B “飞机被击落”. A 0, A 1, A 2, A 3构成完备事件组，且0()(10.4)(10.5)(10.7)0.09P A =-⨯--=，1()0.4(10.5)(10.7)(10.4)0.5(10.7)(10.4)(10.5)0.70.36P A =⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=, 2()0.40.5(10.7)0.4(10.5)0.7(10.4)0.50.70.41P A =⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=, 3()0.40.50.70.14P A =⨯⨯=.由题设知：0123(|)0,(|)0.2,(|)0.6,(|)1P B A P B A P B A P B A ====.故，由全概率公式得，飞机被击落的概率为：00112233()()(|)()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A =+++ 0.0900.360.20.410.60.1410.458=⨯+⨯+⨯+⨯=.12.在上题中，假设三人的射击水平相当，命中率都是0.6，其他条件不变，再求飞机被击落的概率.解：设A i 表示“三人中恰有i 人击中飞机”，i =0，1，2，3.B “飞机被击落”. A 0, A 1, A 2, A 3构成完备事件组，且由贝努里公式得：00303()0.60.40.064P A C =⨯⨯=，1213()0.60.40.288P A C =⨯⨯=， 2223()0.60.40.432P A C =⨯⨯=，3333()0.60.216P A C =⨯=.由题设知：0123(|)0,(|)0.2,(|)0.6,(|)1P B A P B A P B A P B A ====. 故由全概率公式得，飞机被击落的概率为：30()()(|)i i i P B P A P B A ==∑0.06400.2880.20.4320.60.21610.5328=⨯+⨯+⨯+⨯=13.已知一批产品中有95%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.02，一个次品被误判为合格品的概率为0.03，求：(1)任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；(2)一个经检查被判为合格的产品，它确实是合格品的概率.解：设A “产品是合格品”，B “经检查产品被判为合格品”，且由题意知：P (A )=95%, ()195%5%,(|)10.020.98,(|)0.03P A P B A P B A =-==-==.则(1)由全概率公式得，任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率为： ()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+ 95%0.985%0.030.9325=⨯+⨯=；(2)由贝叶斯公式得，一个经检查被判为合格的产品，它确实是合格品的概率为：()0.950.98(|)0.9984()0.9325P AB P A B P B ⨯==≈. 14.一个工人看管三台机床，在一小时内机床不需要工人看管的概率第一台为0.9，第二台为0.8，第三台为0.7，且三台机床是否需要看管彼此独立.求在一小时内三台机床中最多有一台需要工人看管的概率.解：设A i “第i 台机床需要看管”，i =1，2，3. “三台机床中最多有一台需要工人看管”表示为123123123123A A A A A A A A A A A A +++，且这4个事件两两互不相容，由加法与独立性知，所求的概率为： 123123123123()P A A A A A A A A A A A A +++ 123123123123()()()()P A A A P A A A P A A A P A A A =+++123123123123()()()()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A =+++0.10.80.70.90.20.70.90.80.30.90.80.70.902=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=15.加工某一零件共需经过三道工序，设第一、第二、第三道工序的次品率分别是2%，3%，5%.假定各道工序是互不影响的，问加工出来的零件的次品率是多少？解：设A i “第i 道工序加工出次品”，i =1，2，3.则加工出来的零件是次品表示为A 1+A 2+A 3，且A 1，A 2，A 3相互独立，从而123,,A A A 也相互独立. 所求概率为：123123123(++)1()1()()()P A A A P A A A P A P A P A =-=- 1(12%)(13%)(15%)0.09693=----=.16.甲、乙、丙三人独立地破译一密码，他们各自能破译出的概率分别是0.4，0.6，0.7，求此密码被破译的概率.解：设A ，B ，C 分别表示“甲、乙、丙破译出密码”，则A+B+C 表示“密码被破译”，且A ，B ，C 相互独立，从而,,A B C 也相互独立，故所求概率为：(++)1()1()()()P A B C P A B C P A P B P C =-=- 1(10.4)(10.6)(10.7)0.928=----=.17.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，各在两批中随机取一粒，求： (1)两粒种子都能发芽的概率； (2)至多有一粒种子能发芽的概率； (3)至少有一粒种子能发芽的概率.解：设A ，B 分别表示“甲、乙种子发芽”，由题设知：()0.8,()0.7,()10.80.2,()10.70.3P A P B P A P B ===-==-=. (1)两粒种子都能发芽的概率为：()()()0.80.70.56P AB P A P B ==⨯=； (2)至多有一粒种子能发芽的概率为：()()()()P AB AB A B P AB P AB P A B ++=++ ()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++ 0.80.30.20.70.20.30.44=⨯+⨯+⨯=； (3)至少有一粒种子能发芽的概率为：()()()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P B =+-=+-U0.80.70.80.70.94=+-⨯=.18.一批产品有70%的一级品，进行重复抽样检查，共抽取5件样品，求： (1)取出5件样品中恰有2件一级品的概率p 1； (2)取出5件样品中至少有2件一级品的概率p 2； (3)取出5件样品中至少有一件一级品的概率p 3.解：该问题是参数p =0.7的5重贝努里试验，由贝努里公式得： (1)取出5件样品中恰有2件一级品的概率p 1=22350.70.30.1323C ⨯⨯=； (2)取出5件样品中至少有2件一级品的概率为：p 2=55520.70.3k k k k C -=⨯⨯∑=005145510.70.30.70.30.96922C C -⨯⨯-⨯⨯=； (3)取出5件样品中至少有一件一级品的概率为： p 3=55510.70.3k k k k C -=⨯⨯∑=005510.70.30.99757C -⨯⨯=.19.一射手对一目标独立地射击4次,若至少命中一次的概率为8081, 求射手射击一次命中目标的概率..解：设射手射击一次命中目标的概率为p ，由贝努里定理知，4次射击中至少有一次命中目标的概率为：41(1)p --，由题设知：4801(1)81p --=，解得：23p =.20.一射手对一目标独立地射击, 每次射击命中率为p , 求射击到第4次时恰好两次命中的概率.解：射手射击到第4次恰好有两次命中目标，即第四次命中，而前三次中恰有一次命中，由贝努里定理知，所求概率为：12223(1)3(1)P pC p p p p =-=-. 五、证明题1.设0<P (B )<1，证明事件A 与B 相互独立的充分必要条件是(|)(|)P A B P A B =. 证：必要性设事件A 与B 相互独立，则P (AB )=P (A )P (B )，P (A|B )=P (A )，又()()()()()(|)()1()1()()P AB P A AB P A P A P B P A B P A P B P B P B --====--，所以，(|)(|)P A B P A B =.充分性若(|)(|)P A B P A B =，则()()()()()()1()1()()P AB P AB P A AB P A P AB P B P B P B P B --===--，对上式两端化简，得：()()()P AB P A P B =，所以A 与B 相互独立2.证明条件概率的下列性质：(1)若P (B )>0，则0(|)1,(|)1,(|)0P A B P B P B ≤≤Ω=Φ=；(2)若A 与B 互不相容，()0P C >，则(|)(|)(|)P A B C P A C P B C =+U ； (3)(|)1(|)P A B P A B =-. 证：(1)因为()(|)()P AB P A B P B =，而0()()P AB P B ≤≤，所以，0(|)1P A B ≤≤，且()()(|)1()()P B P B P B P B P B ΩΩ===，()()(|)0()()P B P P B P B P B ΦΦΦ===； (2)若A 与B 互不相容，则AC 与BC 也互不相容，从而 ()()()(|)(|)(|)()()P AC BC P AC P BC P A B C P A C P B C P C P C +===+U U ；(3)由性质(2)得：(|)(|)(|)P A A B P A B P A B =+U ，又A A =ΩU ，由性质(1)知，(|)1P B Ω=，所以，(|)(|)1P A B P A B +=，即(|)1(|)P A B P A B =-第二章随机变量及其概率分布一、单项选择题1.设随机变量X 的分布律为则P {X <1}=( C ).A. 0B. 0.2C. 0.3D. 0.5 2.设随机变量X 的概率分布为则a =( D ).A. 0.2B. 0.3C. 0.1D. 0.43.设随机变量X 的概率密度为2,1(),0,1cx f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩则常数c =( D ).A. 1-B.12 C. -12D. 1 4.设随机变量X 的概率密度为3,01(),0,ax x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它则常数a =( D ).A.14 B. 12C. 3D. 4 5.下列函数中可作为某随机变量的概率密度函数的是 (A ).A.2100,1000,100x x x ⎧>⎪⎨⎪≤⎩ B.10,00,0x xx ⎧>⎪⎨⎪≤⎩ C. 1,020,x -≤≤⎧⎨⎩其它D.113,2220,x ⎧≤≤⎪⎨⎪⎩其它6.设函数()f x 在区间[,]a b 上等于sin x ，而在此区间外等于0；若()f x 可以作为某连续型随机变量的概率密度函数，则区间[,]a b 为 ( A ).A. [0,]2πB. [0,]πC. [,0]2π-D. 3[0,]2π7.下列函数中，可以作为某随机变量X 的分布函数的是 ( C ).A. 0,00.3,01()0.2,121,2x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩B. 0.5,0()0.8,011,1x x F x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩C. 0,00.1,05()0.6,561,6x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩ D. 0,2()sin ,021,0x F x x x x ππ⎧<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩8.设()F x 是随机变量X 的分布函数，则 ( B ). A. ()F x 一定连续 B. ()F x 一定右连续 C. ()F x 是不增的 D. ()F x 一定左连续9.设()()F x P X x =≤是随机变量X 的分布函数，则下列结论错误的是(D ).A.()F x 是定义在(,)-∞+∞上的函数B.lim ()lim ()1x x F x F x →+∞→-∞-=C.()()()P a X b F b F a <≤=-D.对一切实数x ，都有0<()F x <110.设随机变量的概率分布为2()(),(1,2,3...)3k P X k a k ===，则常数a =( B ).A. 1B. 12C. 2D. 12-11.已知随机变量X 的分布律为()F x 是X 的分布函数，则F (2.5)=( B ). A. 0.7 B. 0.8 C. 0.1 D. 112.随机变量X 的概率密度2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它，则11{}22P X -≤≤=( A ).A.14B.13C.12D.3413.已知随机变量X 的分布律为若随机变量Y =X 2，则P {Y =1}=( C ).A. 0.1B. 0.3C. 0.4D. 0.2 14.设随机变量X ~B (4, 0.2)，则P {X >3}=( A ).A. 0.0016B. 0.0272C. 0.4096D. 0.819215.设随机变量X ~N (1，4)，Y =2X +1，Y ~ ( C). A. N (1, 4) B. N (0, 1) C. N (3, 16) D. N (3, 9) 16.设2~(,)X N μσ，()x Φ是N (0, 1)的分布函数，则()P a X b ≤≤= ( D ). A.()()b a Φ-Φ B.()()b a Φ+ΦC.22()()b a μμσσ--Φ-Φ D.()()b a μμσσ--Φ-Φ17.设X ~N (-1，4)，()x Φ是N (0, 1)的分布函数，则P (-2<X <0)= ( A ).A.12()12Φ- B.(0)(2)Φ-Φ- C.1(2)2Φ- D.(2)(0)Φ-Φ18.设X ~N (0，1)，()x ϕ是X 的概率密度函数，则(0)ϕ= (C ). A. 0 B. 0.5C.D. 1 19.设X 服从均匀分布U[0，5]，Y =3X +2，则Y 服从 ( B ). A. U[0, 5] B. U[2, 17] C. U[2, 15] D. U[0, 17] 20.某种商品进行有奖销售，每购买一件有0.1的中奖率.现某人购买了20件该商品，用随机变量X 表示中奖的件数，则X 的分布为 ( D ).A.正态分布B.指数分布C.泊松分布D.二项分布 21.设X 服从参数2λ=的泊松分布，()F x 是X 的分布函数，则下列正确的选项是 ( B ).A.2(1)F e -=B.2(0)F e -=C.P (X =0)=P (X =1)D.2(1)2P X e -≤= 22.设X 服从参数λ的泊松分布，且2(1)(3)3P X P X ===，则λ= ( C ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题1.若2()1P X x β≤=-,1()1P X x α≥=-,其中x 1<x 2, 则12()P x X x ≤≤= 1 .2.设随机变量X 的概率分布为记Y =X 2, 则P (Y =4)= 0.5 .3.若X 是连续型随机变量, 则P (X =1)= 0 .4.设随机变量X 的分布函数为F (x ), 已知F (2)=0.5, F (-3)=0.1, 则(32)P X -<≤= 0.4 .5.设随机变量X的分布函数为212()xt F x edt --∞=⎰,则其密度函数为 .6.设连续型随机变量X 的分布函数为0,0()sin ,021,2x F x x x x ππ⎧⎪<⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩, 其密度函数为()f x ,则()6f π= 1/2 .7.设随机变量X 的分布函数为1,0()0,x e x F x x -⎧-≥=⎨<⎩, 则当x >0时, X 的概率密度()f x = 1 . .8.设随机变量X 的分布律为则(01)P X ≤≤= 0.6 .9.设随机变量X ~N (3, 4), 则(45)P X <<= 0.148 . (其中(1)0.8413,(0.5)0.6915Φ=Φ=)10.设随机变量X 服从参数为6的泊松分布, 写出其概率分布律 P(X=K)=6K/K! K=0，1，2，3 .11.若随机变量X ~B (4, 0.5), 则(1)P X ≥= 15/16 .12.若随机变量X ~U (0, 5),且Y =2X ,则当010y ≤≤时, Y 的概率密度()Y f y = 1/10 .13.设随机变量X ~N (0, 4)，则(0)P X ≥= 0.5 .14.设随机变量X ~U (-1, 1)，则1(||)2P X ≤= 0.5 .15.设随机变量X 在[2, 4]上服从均匀分布，则(23)P X <<= 0.5 .16.设随机变量X ~N (-1, 4)，则1~2X Y +=N(0，1) . 17.设随机变量X 的分布律为(),0,1,2, (3)k aP X k k ===，则a = 2/3 .18.设连续型随机变量X 的概率密度为1,02()0,kx x f x +<<⎧=⎨⎩其它，则k =-1/2 .19.若随机变量X ~N (1, 16)，Y =2X -1，则Y ~ N(1，64) . 20.若随机变量X ~U (1, 6)，Y =3X +2，则Y ~ U(5，20) . 三、计算题1.设连续型随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，求X 的概率密度函数.解：由分布函数与概率密度函数之间的关系()()F x f x '=知，当0<x <1时， 2()()2f x x x '==，当1x ≥或0x ≤时，()f x =0，所以，X 的概率密度为2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它.2.设X 服从参数p =0.2的0-1分布，求X 的分布函数及P (X <0.5). 解：X 的分布律为当0x <时，()()F x P X x =≤=0；当01x ≤<时，()()F x P X x =≤=(0)0.8P X ==；当1x ≥时，()()F x P X x =≤=(0)(1)0.80.21P X P X =+==+=.所以，X 的分布函数为0,0()0.8,011,1x F x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩；而P (X <0.5)= P (X =0)=0.8.3.设随机变量X ~U (a , b )，求X 的密度函数与分布函数.解：X 的密度函数为1,()0,a xb f x b a ⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其它；分布函数()()x F x f t dt -∞=⎰，当x a <时，()()xF x f t dt -∞=⎰00xdt -∞==⎰；当a x b ≤<时，()()x F x f t dt -∞=⎰10a xax adt dt b a b a-∞-=+=--⎰⎰；当x b ≥时，()()x F x f t dt -∞=⎰1001abx ab dt dt dt b a-∞=++=-⎰⎰⎰.所以，X 的分布函数为0,(),1,x a x a F x a x b b ax b <⎧⎪-⎪=≤<⎨-⎪≥⎪⎩.4.设随机变量X ~N (3, 4)，求：(1)P (2<X <3)；(2) P (-4<X <10)；(3) P (|X|>2)；(4)P (X >3).解：(1)P (2<X <3)=3323(3)(2)()()22F F ---=Φ-Φ(0)(0.5)=Φ-Φ- (0)[1(0.5)]=Φ--Φ=0.1915；(2) P (-4<X <10)=10343(10)(4)()()22F F -----=Φ-Φ=(3.5)( 3.5)2(3.5)1Φ-Φ-=Φ-=0.9996； (3) P (|X|>2)=1(||2)P X -≤=1(22)1[(2)(2)]P X F F --≤≤=---=23231[()()]22----Φ-Φ=(0.5)(2.5)1Φ-Φ+=0.6977； (4)P (X >3)=1(3)P X -≤=331(3)1()1(0)2F --=-Φ=-Φ=0.5.5.已知随机变量X 的密度函数为2,01()0,kx x f x ⎧<<=⎨⎩其它，求：(1)常数k ；(2)分布函数；(3)(10.5)P X -<<..解：(1)因为()1f x dx +∞-∞=⎰，所以123100|133k kkx dx x ===⎰，故k =3. 即随机变量X 的概率密度为23,01()0,x x f x ⎧<<=⎨⎩其它；(2)当0x <时，()()xF x f t dt -∞=⎰=0，当01x ≤<时，()()xF x f t dt -∞=⎰=023003xdt t dt x -∞+=⎰⎰，当1x ≥时，()()x F x f t dt -∞=⎰=012010301xdt t dt dt -∞++=⎰⎰⎰所以，随机变量X 的分布函数为30,0(),011,1x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩；(3)(10.5)P X -<<3(0.5)(1)0.500.125F F =--=-=；6.设随机变量X 的概率密度为,011(),1220,x x f x x <<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎩其它，求X 的分布函数.解：当0x <时，()()xF x f t dt -∞=⎰=0；当01x ≤<时，()()xF x f t dt -∞=⎰=020102xdt tdt x -∞+=⎰⎰；当12x ≤<时，()()x F x f t dt -∞=⎰=010111022x dt tdt dt x -∞++=⎰⎰⎰；当2x ≥时，()()x F x f t dt -∞=⎰=01201210012xdt tdt dt dt -∞+++=⎰⎰⎰⎰.所以，随机变量X 的分布函数为20,01,012()1,1221,2x x x F x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩.7.设随机变量X~,01()2,120,x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它，求：(1)1()2P X ≥；(2)13()22P X <<.解：(1)1()2P X ≥=+1211122()(2)f x dx xdx x dx ∞=+-⎰⎰⎰=2122112117|(2)|228x x x +-=； (2)13()22P X <<=3312211122()(2)f x dx xdx x dx =+-⎰⎰⎰=32122112113|(2)|224x x x +-=.8.设随机变量X 在[0，5]上服从均匀分布，求方程24420x Xx X +++=有实根的概率.解：X ~1,05()50,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它，而方程24420x Xx X +++=有实根的充分必要条件是21616(2)0X X ∆=-+≥，即220X X --≥，故所求概率为：2{20}(1)(2)P X X P X P X --≥=≤-+≥=0+5215dx ⎰=0.6.9.设随机变量X 的分布律为求：(1)Y =2X 的分布律；(2)Z =|X |的概率分布；(3)X 2的分布律.解：(1)由X 的分布律知，Y 的取值为-2，0，2，4.且(2)(1)0.1P Y P X =-==-=，(0)(0)0.2P Y P X ====， (2)(1)0.3P Y P X ====，(4)(2)0.4P Y P X ====. 所以，Y 的分布律为(2)Z =|X |的取值为0，1，2.2(0)(0)0.2P X P X ====，2(1)(1)(1)0.4P X P X P X ===-+==，2(4)(2)0.4P X P X ====.所以，X 2的分布律为：10.设X ~U [0，4]， Y =3X +1，求Y 的概率密度.解：X ~1,04()40,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它，Y =3X +1的取值范围是[1，13].Y 的分布函数131()()(31)()()3y Y y F y P Y y P X y P X f x dx --∞-=≤=+≤=≤=⎰ 当1y <时，有103y -<，13()00y Y F y dx --∞==⎰；当113y ≤<时，有1043y -≤<，103011()0412y Y y F y dx dx --∞-=+=⎰⎰；当13y ≥时，有143y -≥，1043041()0014y Y F y dx dx dx --∞=++=⎰⎰⎰.11.已知随机变量X ~N (1，4)，Y =2X +3，求Y 的概率密度..解：X~2(1)8(),()x f x x --=-∞<<+∞，建立Y 的分布函数与X 的分布函数之间的关系.因为：33()()(23)()()22Y X y y F y P Y y P X y P X F --=≤=+≤=≤=，两边对y 求导：3313()()()()2222Y X X y y y f y F f ---''=⋅=223(1)(5)2832y y -----==，即Y ~N (5，16).12.已知X 服从参数1λ=的指数分布，Y =2X -1，求Y 的概率密度.解：由题设知，X ~,0()0,0x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩，方法1 11()()(21)()()22Y X y y F y P Y y P X y P X F ++=≤=-≤=≤=，两边对y 求导：1111()()()()2222Y X X y y y f y F f +++''=⋅=，又因为12121,012,1()210,10,02y y X y e y e y f y y +-+-⎧+>⎧⎪+⎪⎪>-==⎨⎨+⎪⎪≤-⎩≤⎪⎩，所以，Y 的概率密度为：121,1()20,1y Y e y f y y +-⎧>-⎪=⎨⎪≤-⎩.四、应用题1.一批零件中有10个合格品和2个废品，安装机器时，从这批零件中任取一个，如果每次取出废品后不再放回，用X 表示在取得合格品以前已取出的废品的个数，求：(1)随机变量X 的分布律；(2)随机变量X 的分布函数.解：(1)随机变量X 的可能取值为0，1，2，且105(0)126P X ===，2105(1)121133P X ==⨯=，21101(2)12111066P X ==⨯⨯=，得到X 的分布律为：(2)X 的可能取值0，1，2将分布函数F (x )的定义域(,)-∞+∞分为四部分：当0x <时，()()0F x P X x =≤=，当01x ≤<时，()()F x P X x =≤5(0)6P X ===，当12x ≤<时，()()F x P X x =≤65(0)(1)66P X P X ==+==，当2x ≤时，()()F x P X x =≤(0)(1)(2)1P X P X P X ==+=+==. 从而得到X 的分布函数为：0,05,016()65,12661,2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩.2.袋中有标号为1，2，2，3，3，3的六个球，从中任取一个球，求所取出的球的号码X 的概率分布及分布函数..解：X 的可能取值为1，2，3.且1(1)6P X ==，21(2)63P X ===，31(3)62P X ===，所以，X 的概率分布为：当1x <时，()()0F x P X x =≤=，当12x ≤<时，()()F x P X x =≤1(1)6P X ===，当23x ≤<时，()()F x P X x =≤1(1)(2)2P X P X ==+==，当3x ≥时，()()F x P X x =≤(1)(2)(3)1P X P X P X ==+=+==. 从而得到X 的分布函数为：0,11,126()1,2321,3x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩3. 袋中有标号为1，2，2，3，3，3的六个球，从中任取两个球，X 表示取出的两个球的最大号码，求X 的概率分布..解：X 的所有可能的取值为2，3.且112122261(2)5C C C P X C +===，112333264(3)5C C C P X C +===，从而得到X 的概率分布为：4.设一批产品共1000个，其中40个是次品，随机抽取100个样品，按下列两种方式抽样，分别求样品中次品数X 的概率分布.(1)不放回抽样； (2)有放回抽样.解：(1)不放回抽样，X 的可能取值为0，1，2，…，40.{X =k }表示100个样品中恰好有k 个次品，则100401000401001000()k kC C P X k C --==，得到X 的概率分布为： 100409601001000(),0,1,2,...,40.k kC C P X k k C -=== (2)有放回抽样，X 的可能取值为0，1，2，…，100.由于有放回抽样，抽取100个样品可看作进行了100重贝努里试验，且每次抽到次品的概率都是0.04，抽到正品的概率为0.96，X ~B (100,0.04).则X 的概率分布为：100100()0.040.96,0,1,2,...,100.kk k P X k C k -===5.抛掷一枚质地不均匀的硬币，每次正面出现的概率为13，连续抛掷10次，以X 表示正面出现的次数，求X 的分布律.由题设知，X ~B (10，13). 则X 的分布律为：101012()()(),0,1,2,...,10.33k k kP X k C k -===6.有一繁忙的交通路口，每天有大量的汽车经过，设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001.在某天的该段时间内有1000辆汽车经过，问出事故的次数不小于2的概率.解：设X 表示1000辆汽车通过路口时出事故的次数，由题意知，X ~B (1000，0.0001).由于n =1000很大，p =0.0001很小，故利用泊松分布近似代替二项分布计算.其中，10000.00010.1np λ==⨯=，0.10.1(),0,1,2,...!k P X k e k k -=≈=，查泊松分布表可得，所求概率为：7.以电话交换台每分钟收到的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求： (1)每分钟恰有4次呼唤的概率； (2)每分钟的呼唤次数至少有4次的概率.解：设X 表示电话交换台每分钟收到的呼唤次数，由题意知，X ~P (4)，其分布律为：44(),0,1,2...!k P X k e k k -===，则(1)每分钟恰有4次呼唤的概率444(4)0.1953674!P X e -===；(2)每分钟的呼唤次数至少有4次的概率444(4)0.56653!k k P X e k ∞-=≥==∑8.袋中装有8个球，其中3个红球、5个白球，现从袋中任取3个球，求取出红球数的概率分布.解：X 表示取出3个球中含有红球的个数，则X 的可能取值为0，1，2，3. 且35385(0)28C P X C ===，12353815(1)28C C P X C ===，21353815(2)56C C P X C ===，33381(3)56C P X C ===，于是，X 的概率分布为：9.已知某类电子元件的寿命X （单位：小时）服从指数分布，其概率密度为110001,0()10000,0x e x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，一台仪器装有3个此种类型的电子元件，其中任意一个损坏时仪器便不能正常工作，假设3个电子元件损坏与否相互独立.试求：(1)一个此类电子元件能工作1000小时以上的概率p 1； (2)一台仪器能正常工作到1000小时以上的概率p 2. 解：(1)一个此类电子元件能工作1000小时以上的概率为：p 1=11110001000100010001(1000)|1000x x P X e dx e e --+∞+∞-≥==-=⎰； (2)一台仪器能正常工作到1000小时以上，需要这3个电子元件的寿命都在1000小时以上，由独立性知，所求概率为：p 2=33[(1000)]P X e -≥=.10.公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头的机会在0.01以下来设计的.设男子身高X 服从170μ=（厘米），6σ=（厘米）的正态分布，即2~(170,6)X N .问车门高度应如何确定？解：设车门高度为h 厘米，由题意知，()0.01P X h >≤，即()0.99P X h ≤≥. 因为X ~N (170，36)，所以170()()()0.996h P X h F h -≤==Φ≥，查表得：(2.33)0.99010.99Φ=>，所以1702.336h -=，解得h =183.98. 设计车门的高度为183.98厘米时，可使男子与车门碰头的机会不超过0.01.五、综合题1.设10件产品中有2件次品，现进行连续无放回抽样，直至取到正品为止，求：(1)抽样次数X 的概率分布； (2)X 的分布函数F (x )； (3)(2),(13)P X P X >-<<. .解：(1)X 的可能取值为1，2，3.且84(1)105P X ===，288(2)10945P X ==⨯=，2181(3)109845P X ==⨯⨯=. 所以，X 的概率分布为：(2)当1x <时，()()0F x P X x =≤=，当12x ≤<时，4()()(1)5F x P X x P X =≤===，当23x ≤<时，44()()(1)(2)45F x P X x P X P X =≤==+==，当3x ≥时，()()(1)(2)(3)1F x P X x P X P X P X =≤==+=+==. 所以，X 的分布函数为：0,14,125()44,23451,3x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩；(3)(2)(1)(2)(3)1P X P X P X P X >-==+=+==；或(2)1(2)1(2)101P X P X F >-=-≤=-=-=.8(13)(2)45P X P X <<===.2.司机通过某高速路收费站等候的时间X （单位：分钟）服从参数15λ=的指数分布.(1)求某司机在此收费站等候时间超过10分钟的概率p ；(2)若该司机一个月要经过此收费站两次，用Y 表示等候时间超过10分钟的次数，写出Y 的分布律，并求(1)P Y ≥.解：(1)由题设知，151,0~()50,0x e x X f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，则司机在此收费站等候时间超过10分钟的概率为：125101(10)5x p P X e dx e -+∞-=>==⎰； (2)由题意知，2~(2,)Y B e -，Y 的分布律为：22222222()()(1)(1),0,1,2.k k k k k k P Y k C e e C e e k ------==-=-= 2224(1)1(0)1(1)2P Y P Y e e e ---≥=-==--=-.3.甲乙丙三人独立地等1，2，3路公共汽车，他们等车的时间（单位：分钟）都服从[0，5]上的均匀分布，求三人中至少有两人等车不超过2分钟的概率.解：设一个人等车的时间为X ，由题设知，X ~U [0，5]，其密度函数：1,05()50,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它. 则一个人等车不超过2分钟的概率为：221(2)()0.45p P X f x dx dx -∞=≤===⎰⎰. 设Y 表示三人中等车时间不超过2分钟的人数，则Y ~B (3，0.4)，则三人中至少有两人等车不超过2分钟的概率为：223333(2)(2)(3)0.40.60.4P Y P Y P Y C C ≥==+==+=0.352.4.设测量距离时产生的随机误差X ~N (0，102)（单位：米），现作三次独立测量，记Y 为三次测量中误差绝对值大于19.6的次数，已知(1.96)0.975.Φ=(1)求每次测量中误差绝对值大于19.6的概率p ； (2)问Y 服从何种分布，并写出其分布律；(3)求三次测量中至少有一次误差绝对值大于19.6的概率. 解：(1) p =(||19.6)1(||19.6)P X P X >=-≤019.601(||)1[2(1.96)1]1010X P --=-≤=-Φ-=0.05. (2)由题意知，Y ~B (3, 0.05)，Y 的分布律为：33()0.050.95,0,1,2,3.k k k P X k C k -===(3)三次测量中至少有一次误差绝对值大于19.6的概率为： 3(1)1(0)10.95P Y P Y ≥=-==-=0.142625.5.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （单位：分钟）服从参数110λ=的指数分布.某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示他未等到服务而离开窗口的次数.(1)写出Y 的分布律；(2)求该顾客一个月至少有一次未等到服务而离开窗口的概率.解：(1)由题设知，等待服务的时间X ~1101,0()100,0x e x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，顾客离开银行的概率为：1110101(10)10x p P X e dx e -+∞-=>==⎰.由题意知，Y ~B (5，e -1)，其分布律为：1155()()(1),0,1,...,5.k k k P Y k C e e k ---==-=(2)所求概率为(1)P Y ≥=151(0)1(1)P Y e --==--0.899≈.6.设连续型随机变量X 的分布函数为：20,0(),011,1x F x Ax x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，求：(1)系数A ； (2)X 的概率密度； (3)(0.30.7)P X <≤； (4)Y =X 2的概率密度.解：(1)由F (x )的连续性知，11lim ()lim ()(1)x x F x F x F -+→→==，有21lim 1x Ax -→=，得1A =； (2)X 的概率密度2,01()()0,x x f x F x <<⎧'==⎨⎩其它；(3)(0.30.7)P X <≤22(0.7)(0.3)0.70.30.4F F =-=-=，或(0.30.7)P X <≤=0.720.70.30.32|0.4xdx x ==⎰； (4)因为20Y X =≥，所以，当0y <时，()()0Y F y P Y y =≤=，当01y ≤<时，2()()()(Y F y P Y y P X y P X =≤=≤=≤≤()f x dx xdx y ===，当1y ≥时，101()(()21Y F y P X f x dx xdx dx =≤≤==+=⎰所以，X 的分布函数为：0,0(),011,1Y y F y y y y <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，X 的概率密度为：1,01()0,Y y f y <<⎧=⎨⎩其它.7.连续型随机变量X 的分布函数为()arctan ,()F x A B x x =+-∞<<+∞，求：。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

概率统计3练习题（第一章）
一、填空题
1、设A 、B 、C 为3个事件，则这3个事件中恰有2个事件发生的事件可表示为（）
2、设P(A)=0.1,P(A+B)=0.5,（1）A 与B 互不相容，则P(B)=( )（2）P(A|B)=0.5,求P(B)=( )
3、设P(A)=1/3, P(B)=1/4,P(A+B)=1/2,则()()P A B =
4、4个人独立地猜一谜语，他们能够猜破的概率都是1/4，则谜语被猜破的概率为（）
5、假设一批产品一二三等品各占60%，30%，10%。

从中随机取出一种，结果不是三等品，则取到的为一等品的概率为（）
6、口袋中有4个白球2个黑球，从中随机取出3个球，则取得2个白球1个黑球的概率为（）
7、设某人打靶的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰好命中2次的概率为（）
二、选择题
1、设A 、B 、C 为3个事件，则与事件A 互斥的事件是（）
()
()()()()A AB AC B A B C C A C D A B C ++
2、设A 、B 为2个事件，则P(A-B)=( )
()()()
()()()()()()()
()()()()A P A P B B P A P B P AB C P A P AB D P A P B P AB --+-+- 3、设A 、B 为2个互不相容的事件，P(A)>0,P(B)>0,则（）一定成立。

()()1()
()(|)0()(|)1()()0A P A P B B P A B C P A B D P AB =-===
4、设P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(A|B)=0.8,则下列结论正确的是：
(A) A 与B 独立（B ） A 与B 互斥
(C) B A ⊃ (D) P(A+B)=P(A)+P(B)
5、设每次实验成功的概率为p(0<p<1),则三次重复试验中至少失败一次的概率为（）
3233()
()1()(1)()1A p B p C p D p ---
三、计算题
1、某人有5把钥匙，有两把可以打开房门，从中随机取一把试开房门，求第三次才打开房门的概率？
2、甲乙丙三台机床加工同一种零件，零件由各台机床加工的百分比分别为50%,30%,20%,各机床加工的优质品率分别为80%,85%,90%,将加工的零件混在一起，从中任取1个，（1）求取得的优质品的概率；（2）如果拿到的是次品，求正好来自乙机床的概率。

3、四人独立破译密码，能译出的概率分别为0.2、0.3、0.5、0.7，求此密码译出的概率。

4、一射手命中10环的概率为0.7,命中9环的概率为0.8,求该射手3发子弹达到不少于29环的概率。

四、证明题
设A 与B独立，证明B A
与也独立。