二次根式的小结与复习

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二次根式知识点总结

二次根式知识点总结1. 二次根式的定义和性质二次根式是指具有形式√a的数，其中a是非负实数。

以下是二次根式的一些重要性质：•非负性：对于任何非负实数a，√a也是一个非负实数。

•平方性：对于任何非负实数a，(√a)2=a。

•唯一性：每个非负实数都有唯一的平方根。

2. 化简和计算二次根式化简和计算二次根式是处理二次根式的基本操作。

下面是一些常见的规则和方法：•合并同类项：如果两个或多个二次根式具有相同的根指数并且根下的值相同，则可以合并它们。

•分解因子：对于某些特定的二次根式，可以将其分解为更简单的形式，例如√ab=√a⋅√b。

•有理化分母：当一个二次根式出现在分母中时，可以通过乘以适当的形式来有理化分母，例如√2=√22。

•乘法和除法规则：二次根式可以与其他数进行乘法和除法运算，例如√a⋅√b=√ab和√a√b =√a√b⋅√b√b=√abb。

3. 二次根式的性质和定理二次根式具有许多重要的性质和定理，这些性质和定理可以帮助我们解决各种问题。

以下是一些常见的性质和定理：•无理数性质：对于大多数非完全平方数a，√a是一个无理数。

•比较大小：对于两个非负实数a和b，如果a<b，那么√a<√b。

•平方根的加法公式：√a+√b不能化简为一个更简单的形式，除非a和b 存在某种特殊关系（例如互为有理数倍）。

•平方根的乘法公式：√a⋅√b=√ab，其中a和b可以是任意非负实数。

4. 解二次根式的方程和不等式解二次根式的方程和不等式是应用二次根式知识的重要方面。

以下是一些解决这类问题的方法：•方程：将方程两边进行平方操作，然后化简为二次根式形式，最后解得方程的解。

•不等式：根据二次根式的性质，可以比较大小或使用其他方法来解决不等式。

5. 与其他数学概念的关系二次根式与其他数学概念之间存在着密切的关系。

以下是一些与二次根式相关的重要概念：•平方数：对于某个非负实数a，如果存在另一个非负实数b，使得b2=a，那么a就是一个平方数。

二次根式知识点总结

二次根式知识点总结二次根式是数学中的一种常见的根式表达式，它可以表示为$\sqrt{a}$ 的形式，其中 $a$ 是一个非负实数。

在学习二次根式时，常常会涉及到以下几个方面的知识点。

一、二次根式的性质：1. 非负性：对于任何非负实数 $a$，二次根式 $\sqrt{a}$ 都是非负实数。

2. 平方性：相对应的，对于任何非负实数 $a$，二次根式$\sqrt{a}$ 的平方等于 $a$，即 $(\sqrt{a})^2=a$。

3. 两个二次根式可以相等：如果两个二次根式 $\sqrt{a}$ 和$\sqrt{b}$ 相等，那么 $a$ 和 $b$ 必须相等，即$\sqrt{a}=\sqrt{b}$ 可推出 $a=b$。

二、二次根式的运算：1. 加减运算：两个二次根式可以进行加减运算，只要它们的被开方数相同即可。

即 $\sqrt{a} \pm \sqrt{b}=\sqrt{a \pm b}$。

2. 乘法运算：两个二次根式相乘，可以将它们的被开方数相乘并开方。

即 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}$。

3. 除法运算：两个二次根式相除，可以将它们的被开方数相除并开方。

即 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$。

4. 有理化分母：当二次根式的分母不含二次根式时，可以通过有理化分母的方法将其转化为含有二次根式的形式。

有理化分母的基本方法是将分母有理化，即乘以一个适当的形式为 $\sqrt{x}$ 的分子与分母相等的有理数，从而使得分母成为没有二次根式的有理数。

三、二次根式的化简：1.合并同类项：当二次根式相加或相减时，可以合并同类项，即将其中具有相同被开方数的二次根式相加或相减，并保持其他二次根式不变。

2.分解因式：当一个二次根式的被开方数可以分解成互质因子的乘积时，可以利用分解因式的方法进行化简。

3.化简根式：当二次根式的被开方数可以开方时，可以进行化简，即将其转化为整数、分数或者更简单的二次根式的形式。

二次根式知识点归纳

二次根式知识点归纳二次根式是数学中的一个重要概念，也是我们在中学阶段学习的数学知识之一、学好二次根式的知识，不仅可以提高我们的数学实力，还能够帮助我们更好地理解和应用数学。

下面是对二次根式的知识点进行归纳总结。

一、二次根式的定义与性质1.二次根式的定义：如果一个数x的平方等于一个有理数a，那么称x是a的二次根，记作√a=x。

其中，a是被开方数，x是二次根。

2.二次根式的性质：二次根式具有以下基本性质：-非负性：对于所有的a≥0，√a≥0。

-唯一性：对于任意一个正数a，二次根√a是唯一确定的。

-传递性：对于任意的a≥0和b≥0，如果√a=√b，那么a=b。

-加减性：对于任意的a≥0和b≥0，有√a±√b=√(a±b)。

-乘除性：对于任意的a≥0和b≥0，有√(a×b)=√a×√b，√(a/b)=√a/√b（其中，b不为零）。

二、二次根式的化简1.因式分解法：将二次根式的被开方数进行因式分解，然后利用乘除性质化简。

2.合并同类项法：将二次根式中相同的根号项合并，然后根据加减性质化简。

三、二次根式的比较大小1.当被开方数相同时，二次根式相等，即√a=√b，当且仅当a=b。

2.当被开方数不同时，可以通过平方的方式来比较大小。

即对于a≥b≥0，有√a≥√b。

四、二次根式的运算1.加减运算：对于任意的a≥0和b≥0，可以进行二次根式的加减运算。

-加法：√a+√b=√(a+b)。

-减法：√a-√b=√(a-b)（需要满足a≥b）。

2.乘法运算：对于任意的a≥0和b≥0，可以进行二次根式的乘法运算。

-乘法：√a×√b=√(a×b)。

3.除法运算：对于任意的a≥0和b>0，可以进行二次根式的除法运算。

-除法：√a/√b=√(a/b)（需要满足b≠0）。

五、二次根式的应用二次根式在实际问题中的应用非常广泛1.几何问题：二次根式可以用来表示长度、面积、体积等物理量，例如计算一个正方形的对角线长度、一个圆的半径等等。

21.4第二十一章《二次根式》小结与复习(陈沃根)

∴原式＝
(3)若化简|1－x|－
x2－8x＋16 的结果为2x－5，则x的取
值范围是________． 1≤x≤4 解析：∵|1－x|－ x2－8x＋16 ＝(x－1)－(4－x)＝2x－5， ∴|1－x|＝x－1≥0，x≥1，且 x2－8x＋16 ＝4－x≥0，x≤4. ∴1≤x≤4.
知能迁移2
2012 10＋3)]
ห้องสมุดไป่ตู้
[2分] [4分]
＝[( 10 )2－32]2012 ＝(10－9)2010＝1
题型四
二次根式运算中的技巧
【例4】 (1)已知x＝2－ 3 ，y＝2＋ 3 ，求：x2＋xy＋y2的值； (2)已知x＋ 1 ＝－3，求x－ 1 的值． x x 解：(1)∵x＝2－ 3 ，y＝2＋ 3 ， ∴x＋y＝(2－ 3 )＋(2＋ 3 )＝4， xy＝(2－ 3 )×(2＋ 3 )＝1， ∴x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy＝42－1＝15.
1 1 (2)∵ ( x－ )2 ＝( x＋ )2 －4＝(－3)2－4＝5， x x ∴x－ 1 ＝± 5 . x
(2)已知a＝3＋2 5 ，b＝3－2 5 ，求a2b－ab2的值；
解：∵a－b＝(3＋2
5)－(3－2 5 )＝4 5 ， ab＝(3＋2 5 )(3－2 5 )＝－11，
∴a2b－ab2＝ab(a－b)＝(－11)×4 5 ＝－44 5 .
|6－3m|＋(n－5)2＋|n|· m－3＝3m－6， ∴m－3＝0且n－5＝0，
∴m＝3，n＝5，m－n＝3－5＝－2.
思想方法感悟提高
方法技巧
1.二次根式相加减，必须先化成最简二次根式，才能有效地合并同类二次根式；二次根式乘除，不必化简为最简二次根式，

第1课时：《二次根式》知识点总结复习(学生版)

《二次根式》题型分类知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．【例1】下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+，其中是二次根式的是_________（填序号）． 1、下列各式中，一定是二次根式的是（） A 、a B 、10- C 、1a + D 、21a+2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个【例2】若式子13x -有意义，则x 的取值范围是． 1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（） A 、x>3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠42、使代数式221x x-+-有意义的x 的取值范围是3、如果代数式m nm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=1、若11x x ---2()x y =+，则x －y 的值为（） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．32、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值3、当a 取什么值时，代数式211a ++取值最小，并求出这个最小值。

1.已知a 是5整数部分，b 是 5的小数部分，求12a b ++的值。

2.若7-3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。

3.若172+的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 12+的值.知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2. ()()a aa 20=≥．注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()203. a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()() 注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系（1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数．（2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数．（3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的．【例4】若()22340a b c -+-+-=，则=+-c b a ．1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为。

关于二次根式的知识点总结

二次根式的知识点总结关于二次根式的知识点总结导语：一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。

当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，√a的值为纯虚数。

以下是小编整理关于二次根式的知识点总结，以供参考。

1．二次根式：一般地，式子a,(a0)叫做二次根式.注意：（1）若a0这个条件不成立，则（2）是一个重要的非负数，即；a ≥0. a不是二次根式；2．重要公式：（1）(a)2a(a0),（2）a2aa(a0) ；注意使用a()(a0). a(a0)3．积的算术平方根：abab(a0,b0)，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求.4．二次根式的乘法法则：abab(a0,b0).5．二次根式比较大小的方法：（1）利用近似值比大小；（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；（3）分别平方，然后比大小.6．商的算术平方根：式的'算术平方根.7．二次根式的除法法则：（1）a(a0,b0)； baa(a0,b0)，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除bb（2）abab(a0,b0)；（3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式.8．常用分母有理化因式：a与a，b与ab， mnb与manb，它们也叫互为有理化因式.9．最简二次根式：（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式是整式。

② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式；（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母；（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.10．二次根式化简题的几种类型：（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题.11．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.12．二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.形如a,(a0)的式子，叫做二次根式（1）二次根式a中，被开方数必须是非负数。

二次根式总结归纳

二次根式总结归纳一、二次根式的定义及性质1. 二次根式的定义二次根式是指形如√a的根式，其中a为一个非负实数。

2. 二次根式的化简二次根式可以进行化简，满足以下规则： - √a⋅√b=√ab，其中a≥0，b≥0。

- √a√b =√ab，其中a≥0，b>0。

3. 二次根式的运算二次根式可以进行加、减、乘、除等基本运算。

- 加法：√a+√b无法化简，保留原样。

- 减法：√a−√b无法化简，保留原样。

- 乘法：(√a)(√b)=√ab。

-除法：√a√b =√ab，其中b≠0。

二、二次根式的应用1. 二次根式的几何意义二次根式在几何学中有着重要的应用，特别是在求解面积和边长时。

- 面积应用：当我们需要计算一些形状的面积时，经常会遇到二次根式。

例如，矩形的对角线长度可以表示为√a2+b2，其中a和b分别是矩形的两个边长。

- 边长应用：在某些情况下，已知一个图形的面积，需要求解该图形某一个边的长度。

二次根式的运算可以帮助我们求解这些问题。

例如，等边三角形的边长可以表示为√√3，其中S是等边三角形的面积。

2. 二次根式的化简与证明二次根式的化简和证明是数学中的重要内容，常见的方法包括有理化分母、提取公因式等。

- 有理化分母：当二次根式出现在分母中时，为了简化运算，可以通过有理化分母的方法消除分母中的二次根式。

例如，√2可以通过乘以√2√2来有理化分母得到√22。

- 提取公因式：当一个二次根式等于另一个二次根式的倍数时，可以通过提取公因式的方式进行化简。

例如，√24可以化简为2√6，因为√6是√24的公因式。

三、二次根式的解法1. 二次根式的简单求解对于形如x 2=a 的二次根式方程，可以通过平方根的性质求解，得到x =±√a 。

例如，对于方程x 2=16，其解为x =±4。

2. 二次根式的复杂求解对于形如x 2+bx +c =0的二次根式方程，可以通过求解二次根式的不同情况来得到解。

二次根式的知识点的总结

二次根式的知识点的总结二次根式是高中数学中重要的一个内容，也是学习代数的基础。

在学习二次根式时，需要了解其定义、性质、运算法则等知识点。

下面是对二次根式知识的总结：一、二次根式的定义和性质：1. 定义：对于非负实数a，b，如果存在非负实数x使得$x^2=a$，则称x为a的平方根，记作$x=\sqrt{a}$。

简记作$\sqrt{a}$，a称为二次根式的被开方数。

2.性质：（1）非负实数的平方根是唯一的。

即对于非负实数a，其平方根也是非负实数且唯一（2）非负实数a的平方根如果记作±$\sqrt{a}$，则规定非负实数a的平方根仅指称为非负实数$\sqrt{a}$。

（3）非负实数a的平方根的平方等于a。

即$(\sqrt{a})^2=a$。

（4）非负实数的平方根存在且非负。

即对于非负实数a，总是存在非负实数x使得$x^2=a$，且x唯一（5）相等的二次根式具有相等的平方根。

即如果$\sqrt{a}=\sqrt{b}$，则有a=b。

（6）平方根的运算：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$、$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$。

二、二次根式的化简：1. 因式分解法：将二次根式的被开方数进行因式分解，然后利用性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$和$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$对二次根式进行简化，最后利用性质$\sqrt{a^2}=，a，$化简。

2. 合并同类项法：对于同根号的二次根式，可以合并同类项进行简化。

如$\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{2}=\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{3}=2\sqrt{2}+\sqrt{3}$。

3.有理化法：对于含有分母的二次根式，可以通过有理化的方法将其化简为一个无理数。

三、二次根式的比大小：1. 利用性质$\sqrt{a^2}=，a，$，我们可以对二次根式的大小进行比较。

二次根式的知识点汇总

二次根式的知识点汇总二次根式是指含有平方根（开方）的代数式。

学习和掌握二次根式的知识点，对于进一步理解和应用高等数学和物理学等学科内容至关重要。

以下是二次根式的知识点汇总：一、基本概念与性质：1.平方根与二次根式的概念：平方根的定义及其在代数中的性质，二次根式的定义与示例。

2.约分与化简：二次根式的约分、化简及约分规则。

3. 同类二次根式的合并与分解：同类二次根式的合并与分解法则，如$\sqrt{a} \pm \sqrt{b} = \sqrt{(\pm \sqrt{a})^2 + (\pm\sqrt{b})^2}$。

二、四则运算：1. 加减法：同类二次根式的加减法规则，如$\sqrt{a} \pm \sqrt{b} = \sqrt{(\pm \sqrt{a})^2 + (\pm \sqrt{b})^2}$。

2. 乘法：二次根式的乘法规则，如$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$。

3. 除法：二次根式的除法规则，如$\frac{a+b}{c+d}=\frac{(a+b)(c-d)}{(c+d)(c-d)}$。

4.有理化方法：如分子、分母都有二次根式时的有理化方法，分别是乘以共轭式和有理化因式。

三、二次根式的化简与证明：1.合并同类项：在二次根式的化简中，将同类项合并为一个二次根式。

2.分解因式：在二次根式的化简中，将二次根式分解为若干个二次根式相乘的形式。

3.公因式提取：在二次根式的化简中，提取公因式使其化简为整数或其他形式。

四、二次根式的应用：1.代数方程的解：使用二次根式求解一元二次方程。

2.几何意义：二次根式在几何中的应用，例如计算三角形的边长、面积等。

3.物理问题：通过建立代数模型和运用二次根式，解决物理问题，如自由落体、速度、力等。

五、常见的二次根式：1. $\sqrt{a^2}=，a，$，其中$a$表示任意实数。

2. $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，其中$a$和$b$分别表示任意非负实数。

二次根式知识点总结

二次根式知识点总结1. 二次根式的定义二次根式是指形如√a的数式，其中a是一个非负实数。

在二次根式中，a被称为被开方数，√a被称为二次根号。

二次根式可以是完全平方数，也可以是非完全平方数。

2. 二次根式的化简化简二次根式的目的是将其写成最简形式。

对于完全平方数，化简的过程比较简单，只需要将√a的值直接提取出来即可。

而对于非完全平方数，需要用到分解质因数的方法来化简。

比如对于√18，可以分解质因数得到√(2×3×3)，然后将成对的质因数提取出来得到3√2。

3. 二次根式的运算（1）二次根式的加减法二次根式的加减法遵循着类似项相加的原则。

即对于同一次幂的二次根式，可以进行加减运算。

比如√8 + √32，可以将8和32分解质因数得到√(2×2×2) + √(2×2×2×2×2)，然后将相同的项加在一起得到2√2 + 4√2，再进行合并得到6√2。

（2）二次根式的乘法二次根式的乘法用到了平方根的性质，即√a×√b=√(a×b)。

对于二次根式的乘法，可以直接将被开方数相乘再提取出来即可。

比如(√5 + √3)×(√5 - √3)，可以将其展开得到√5×√5 - √5×√3 +√3×√5 - √3×√3，再合并得到5 - 3=2。

（3）二次根式的除法二次根式的除法也用到了平方根的性质，即√a/√b=√(a/b)。

对于二次根式的除法，可以直接将被开方数相除再提取出来即可。

比如(√12 + √3)/(√3)，可以将其展开得到√12/√3 + √3/√3，再化简得到2√3 + 1。

4. 二次根式的化简与支配数在二次根式的运算中，有时候会出现需要化简的情况。

这就需要用到支配数的概念。

支配数是指对于一个二次根式，可以找到一个更小的数，使得原二次根式是这个数的倍数。

比如对于√75，可以找到√25×3，这里25就是√75的支配数。

二次根式知识点归纳及题型总结-精华版

一、知识框图
二次根式知识点归纳和题型归类
二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：
1.
； 2.
4. 积的算术平方根的性质：
； 3.
；；
5. 商的算术平方根的性质：
.
6.若
，则
.
知识点二、二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算
(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2) 注意每一步运算的算理；
1.估算 31－2 的值在哪两个数之间（）A．1～2 B.2～3
C. 3～4
D.4～5
2．若 3 的整数部分是 a，小数部分是 b，则 3a b
3.已知 9+ 13与9 13 的小数部分分别是 a 和 b，求 ab－3a+4b+8 的值
4.若 a，b 为有理数，且 8 + 18 + 1 =a+b 2 ，则 b a =
.
8
六．二次根式的比较大小（1） 1 200和2 3 5
（2）－5 6和 6 5
（3） 17 15和 15 13
（4）设 a= 3 2 , b 2 3 , c 5 2 , 则（）A. a b c B. a c b C. c b a D. b c a
1.下列各式中一定是二次根式的是（
）。 A、 3 ； B、 x ； C、 x2 1 ； D、 x 1
2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
（1）
（2） 1 （3） 5 x (6)
2x 1
x4
（7）若 x(x 1) x x 1 ，则 x 的取值范围是
。
. （8）若 x 3 x 3 ，则 x 的取值范围是 x 1 x 1

二次根式知识点总结大全

二次根式知识点总结大全二次根式是含有平方根的代数表达式，在高中数学中，学习和掌握二次根式的相关知识点是非常重要的。

下面是二次根式的知识点总结：一、二次根式的定义与性质1.定义：二次根式是形如√a的代数式，其中a为非负实数。

2.平方根的性质：a)非负实数的平方根是唯一的。

b)负实数不能作为平方根。

3.二次根式的性质：a)如果a≥0，则√a≥0。

即非负数的平方根是非负数。

b)如果a≥b≥0，则√a≥√b。

c)如果a>b≥0，则√a>√b。

二、二次根式的化简与运算1.化简二次根式：a) 利用化简公式√(ab) = √a · √b，可以将二次根式中的因数分解为二个较简单的二次根式。

b)利用化简公式√(a/b)=√a/√b，可以将二次根式中的因式进行有理化，即分子或分母有理化。

2.二次根式的四则运算：a)加减：对于同根号下的项，进行加减运算，其他项保持不变。

b)乘法：将同根号下的对应项相乘，其他项保持不变。

c)除法：将被除数和除数分别有理化后进行除法运算。

三、二次根式的大小比较1.二次根式的大小比较：a)在同号的情况下，二次根式的大小比较与内部的实数部分大小比较一致。

b)在异号的情况下，二次根式的大小比较与内部的实数部分的大小关系相反。

2. 已知ab≥0，√a ≥ √b的条件：a)若a≥0，b≥0，则√a≥√b。

b)若a<0，b<0，则√a≤√b。

c)若a<0，b≥0，则√a≤√b。

d)若a≥0，b<0，则√a≥√b。

四、求二次根式的值1.简单二次根式的值：如求√4的值等，可以直接得到结果。

2.复杂二次根式的值：如求√(2+√3)的值等，可以通过有理化的方法，先进行化简，再进行求值。

五、二次根式的应用1.几何应用：二次根式可以用来计算各种几何图形的边长、面积、体积等。

2.物理应用：在物理学中，二次根式可以用来求解力、速度、加速度等物理量。

3.经济应用：在经济学中，二次根式可以用来描述成本、效益等经济指标。

初中数学二次根式知识点总结

初中数学二次根式知识点总结一、二次根式的定义和性质1.二次根式：形如√a（其中a≥0）的数叫做二次根式，其中a叫做被开方数。

2.平方数：一些数的平方的结果叫做平方数，如1、4、9等。

平方数的平方根是有理数。

3.二次根式化简：将二次根式中含有相同因式的项合并，并将二次根式的指数化简为最简整数。

4.二次根式的乘除法：二次根式的乘除法可以通过对被开方数和指数进行运算和化简来进行。

二、二次根式的运算1.二次根式的加减法：a)加法：将两个二次根式的被开方数相加，并将其指数化简。

b)减法：将两个二次根式的被开方数相减，并将其指数化简。

2.二次根式的乘法：a)二次根式的乘法使用分配律，将被开方数和指数分别相乘，并将结果进行化简。

b)若二次根式与实数相乘，则可将实数与二次根式的被开方数相乘，并将指数进行化简。

3.二次根式的除法：a)二次根式的除法可以通过将分子和分母的被开方数相除，并将指数进行化简来进行。

b)若二次根式除以实数，可以将实数除以二次根式的被开方数，并将指数进行化简。

三、二次根式的化简1.二次根式化简的基本方法：a)将被开方数分解成素数的乘积。

b)将二次根式的指数约分为最简整数。

c)将二次根式的含有相同因式的项合并。

2.平方根的化简：a)平方根下的分数：将分子和分母分别进行开方，然后化简。

b)分数的平方根：将分子和分母分别进行开方，然后化简。

c)同解式的平方根：可以适用平方根的基本性质将二次根式进行化简。

四、二次根式的应用1.几何意义：二次根式可以表示一些图形的边长或斜边的长度。

a)两点间的距离：利用两点间的距离公式可以将二次根式化简为实数。

b)直角三角形的斜边：利用勾股定理可以将二次根式化简为实数。

2.分数的运算：在分数运算中，往往会出现二次根式，需要将二次根式进行化简并进行运算。

3.实际问题的应用：解决实际问题时，需利用已知条件建立方程，通过方程的求解，将二次根式进行化简。

综上所述，初中数学二次根式是重要的基础知识点，掌握二次根式的运算和化简方法，了解二次根式的几何意义和实际应用，在解决问题中能熟练运用二次根式的相关知识，将有助于提高数学解题能力。

3二次根式小结与复习

二次根式小结与复习【主要内容】本单元是在学习了平方根和算术平方根的意义的基础上，引入一个符号“”．主要内容有：（1）二次根式的有关概念，如：二次根式定义、最简二次根式、•同类二次根式等；（2）二次根式的性质；（3）二次根式的运算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加减法等．【要点归纳】1.二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．EX:10．若代数式有意义，则的取值范围是（）A．且B．C．且D．且2. 二次根式的性质：①②③④Ex：1．化简：______；_________．2．当______时，．3．等式成立的条件是______．4．当，化简_______．5．比较与的大小：_______．6．分母有理化：（1）__________；（2）__________；（3）__________．9．如果，那么的值为___________．10．若有意义，则的取值范围是___________．选择题：1．下式中不是二次根式的为（）A．；B．；C．；D．9．的值为（）A．B．C．D．3. 二次根式的运算二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减．（1）二次根式的加减：需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。

注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．（2）二次根式的乘法：（3）二次根式的除法：注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．EX:7．已知，，，那么________．8．计算_________．（4）二次根式的混合运算：先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算．注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便．二次根式运算结果应尽可能化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数．例如不能写成．EX: 2．计算得（）A．；B．C．D．173．若，则化简等于（）A．B．C．D．14．化简的结果是（）A．B．C． D．5．计算的结果是（）A．B．C． D．6．化简的结果是（）A．2 B．C．D．以上答案都不对（5）有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类：①与；②与；③与；④与．说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化．【难点指导】1、如果是二次根式，则一定有；当时，必有；2、当时，表示的算术平方根，因此有；反过来，也可以将一个非负数写成的形式；3、表示的算术平方根，因此有，可以是任意实数；4、区别和的不同：中的可以取任意实数，中的只能是一个非负数，否则无意义．5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：（1）因式的内移：因式内移时，若，则将负号留在根号外．即：．（2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即：EX: 7．把式子中根号外的移到根号内，得（）A．B．C．D．8．等式成立的条件是（）A．B．C．D．6、二次根式的比较：（1）若，则有；（2）若，则有．说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小．强化训练【时间60分钟满分100分】计算与化简：（每小题2分，共16分）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）求值题：（每小题4分，共16分）1．已知：，求的值．2．已知，求的值。

第21章《二次根式》复习小结

2 2
2
3
11.如图，有一艘船在点 O 处测得一小岛上的电视塔 A 在北偏西 600 的方向上，前进 20 海里到达 B 处，测得 A 在船的西北方向，问再向西航行多少海里，船离电视塔最近？归纳：这组题是本章知识的深化运用，有一定的难度，与实数，有理式，勾股定理等知识综合运用. (三)构建知识体系
2 2
3 4 ○ 5 32 ； ○ 3 2 5 3 3 2 5 3 归纳：本组训练题目典型，易错，旨在进一步理解二次根式相关知识，熟练进行二次根式化简与运算. 解答下列各题，注意避免犯上组题中的错误，看是否有新的发现. 1.若 4 5x 有意义，则 x 的取值范围是 . 2.下列各式中不是最简二次根式的是（） A. 7 B. 0.5 C. 3 D . 15 3.下列二次根式中，和 32 不是同类二次根式的是（） A. 8 B. 18 C. 28 D. 98 4.下列计算正确的是（） A. 8 2 2 B. 3 2 5 2 C. 3 3 D. 3 2 1 1 5.计算：○ (2 24 3 12) 6 ； 2 ○
课题：第 21 章《二次根式》复习小结教学内容：第 21 章小结知识技能教学目标重点难点教学准备过程方法 1. 学生构建知识体系 2. 通过解决典型的题目，抓住本章要点；解决易出错的题目，找出错陷阱和错因. 3. 联系实数，整式，勾股定理等相关知识进行综合运用.
1. 从知识生成的本质和思想方法的本质养成学习数学的能力. 2. 经历观察、思考、交流，熟练、灵活解题. 重点：深化理解二次根式的概念和性质，熟练进行二次根式的化简与运算．难点：进一步理解二次根式的性质和运算法则的合理性教师准备学生准备是否需要课件留白：ຫໍສະໝຸດ x x 成立的 x 3 x3

二次根式的复习和小结

12
2

2
2 1

2

2 1 2

1

2 1

例题5.
已知x 1 2 3 ，求代数式

7 4
3 x

2
2

3 x

3 的值.
例题பைடு நூலகம்.
已知 a b 4, ab 2 ，求 a b b a 的值.
例题7.比较大小.
1 a
3 2,b 2 3,c 4 b c d 0, x 则 a , b , c的大小关系是＿＿＿＿＿＿＿ . ab cd , y ac bd , z ad bc ,
2x 4
2
2 x 5 _______ .
3.最简二次根式.
满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式: ①____________________________________; ②____________________________________.
练习:
1.下列各式属于最简二次根式的是(
A . 8 B. x
2
)
D. 1 2
1
C.
y
3
2.下列各式中，哪些是同类二次根式？
75 1 50 1 27 12 32
例题4.计算.
1 2 3 4
5a b
3
a
2
b 1 2 3
2
a
b 0 2 2 7 3
28 5 1 2 3
1
x y
3 2
2
1 3x 5
(3) x 5 3 2 x

二次根式知识点归纳

二次根式知识点归纳二次根式是指含有平方根的式子，一般形式为√a，其中a为非负实数。

下面将对二次根式的知识点进行归纳：1. 二次根式的定义：二次根式是指形如√a的式子，a为非负实数。

2. 简化二次根式：对于二次根式√a，如果a可以写成两个数的乘积，其中一个因数的平方是a，那么就可以将二次根式简化为这个因数。

3. 二次根式的运算：- 加减法：只有当二次根式的根数相同才能相加或相减。

即√a ± √b = √a ±√b。

- 乘法：二次根式的乘法可以按照分配律进行计算，即√a * √b = √(a * b)。

- 除法：二次根式的除法可以借助有理化的方法进行计算，即√a / √b = √(a / b)。

4. 二次根式的合并：- 同根式的合并：当两个二次根式的根数相同且系数相同时，可以合并为一个二次根式。

例如：3√2 + 2√2 = 5√2。

- 合并同类项：当两个二次根式的根数和系数都相同时，可以合并为一个二次根式。

5. 化简含有二次根式的表达式：- 分解因式法：对于含有二次根式的表达式，可以利用分解因式的方法将其化简为乘积的形式。

- 有理化法：利用有理化的方法将含有二次根式的分母有理化，即将分母中的二次根式去除。

6. 二次根式的平方与立方：- 二次根式的平方：(√a)^2 = a。

- 二次根式的立方：(√a)^3 = a * √a。

7. 二次根式的应用：- 几何意义：二次根式可以用来表示一些几何问题中的长度或面积，例如表示一个正方形的对角线长度。

- 物理意义：在物理问题中，二次根式可以用来表示某些量的大小，例如速度的大小。

以上是关于二次根式的一些基本知识点的归纳总结。

掌握这些知识点，可以帮助我们更好地理解和运用二次根式。