2016上海初一数学绝对值难题解析

2016上海初一数学绝对值难题解析

绝对值是初一数学的一个重要知识点，它的概念本身不难，但却经常拿来出一些难题，考验的是学生对基本概念的理解程度和基本性质的灵活运用能力。

绝对值有两个意义：

（1）代数意义：非负数（包括零）的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。

即|a|＝a（当a≥0）, |a|＝－a （当a＜0）

（2）几何意义：一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。

灵活应用绝对值的基本性质：

（1）|a|≥0；（2）|ab|＝|a|·|b|；（3）|a/b|＝|a|/|b|(b≠0)

（4）|a|－|b|≤ |a＋b|≤|a|＋|b|；（5）|a|－|b|≤ |a－b|≤|a|＋|b|；

思考：|a＋b|＝|a|＋|b|，在什么条件下成立？

|a－b|＝|a|－|b|，在什么条件下成立？

常用解题方法：

（1）化简绝对值：分类讨论思想（即取绝对值的数为非负数和负数两种情况）

（2）运用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。

（3）零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。

例题解析：

第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用

1、在数轴上表示a、b两个数的点如图所示，并且已知表示c的点在原点左侧，请化简下列式子：

（1）|a－b|－|c－b|

解：∵a＜0，b＞0 ∴a－b＜0

c＜0，b＞0 ∴c－b＜0

故，原式＝（b－a）－(b－c) ＝c－a

（2）|a－c|－|a＋c|

解：∵a＜0，c＜0 ∴a－c要分类讨论，a＋c＜0

当a－c≥0时，a≥c，原式＝（a－c）＋(a＋c)＝2a

当a－c＜0时，a＜c，原式＝（c－a）＋(a＋c)＝2c

2、设x＜－1，化简2－|2－|x－2|| 。

解：∵x＜－1 ∴x－2＜0

原式＝2－|2－（2－x）|＝2－|x|＝2＋x

3、设3＜a＜4，化简|a－3|＋|a－6| 。

解：∵3＜a＜4 ∴a－3＞0，a－6＜0

原式＝（a－3）－(a－6) ＝3

4、已知|a－b|＝a＋b，则以下说法：（1）a一定不是负数；（2）b可能是负数；哪个是正确的？

答：当a－b≥0时，a≥b，|a－b|＝a－b，由已知|a－b|＝a＋b，得a－b＝a＋b，

解得b＝0，这时a≥0；

当a－b＜0时，a＜b，|a－b|＝b－a，由已知|a－b|＝a＋b，得b－a＝a＋b，

解得a＝0，这时b＞0；

综上所述，（1）是正确的。

第二类：考察对绝对值基本性质的运用

5、已知2011|x－1|＋2012|y＋1|＝0，求x＋y＋2012的值？

解：∵|x－1|≥0，|y＋1|≥0∴2011|x－1|＋2012|y＋1|≥0

又∵已知2011|x－1|＋2012|y＋1|＝0，∴|x－1|＝0, |y＋1|＝0

∴x＝1，y＝－1，原式＝1－1＋2012＝2012

6、设a、b同时满足：

(1)|a－2b|＋|b－1|＝b－1

(2) |a－4|＝0

那么ab等于多少？

解：∵|a－2b|≥0，|b－1|≥0∴|a－2b|＋|b－1|＝b－1≥0

∴（1）式＝|a－2b|＋b－1＝b－1 ，得|a－2b|＝0，即a＝2b

∵ |a－4|＝0 ∴a－4＝0，a＝4

∵ a＝2b ∴ b＝2 ，ab＝4×2＝8

7、设a、b、c为非零有理数，且|a|＋a＝0，|ab|＝ab，|c|－c＝0,

请化简：|b|－|a＋b|－|c－b|＋|a－c| 。

解：∵|a|＋a＝0，a≠0 ∴a＜0

∵|ab|＝ab≥0 ，b≠0，a＜0 ∴b＜0，a＋b＜0

∵|c|－c＝0，c≠0 ∴c＞0 ，c－b＞0，a－c＜0

∴原式＝b＋（a＋b）－（c－b）＋c－a＝b

8、满足|a－b|＋ab＝1的非负整数（a，b）共有几对？

解：∵a，b都是非负整数∴|a－b|也是非负整数，ab也是非负整数

∴要满足|a－b|＋ab＝1，必须|a－b|＝1，ab＝0 或者|a－b|＝0，ab＝1

分类讨论：

当|a－b|＝1，ab＝0时，a＝0，b＝1 或者a＝1，b＝0 有两对（a，b）的取值；

当|a－b|＝0，ab＝1时，a＝1，b＝1有一对（a，b）的取值；

综上所述，（a，b）共有3对取值满足题意。

9、已知a、b、c、d是有理数，|a－b|≤9，|c－d|≤16，且|a－b－c＋d|＝25，

求|b－a|－|d－c|的值？

分析：此题咋一看无从下手，但是如果把a－b和c－d分别看作一个整体，并且运用绝对值基本性质：|x－y|≤|x|＋|y|即可快速解出。

解：设x＝a－b，y＝c－d，则|a－b－c＋d|＝|x-y|≤|x|＋|y|

∵|x|≤9，|y|≤16 ∴|x|＋|y|≤25 ,|x-y|≤|x|＋|y|≤25

∵已知|x-y|＝25 ∴|x|＝9，|y|＝16

∴|b－a|－|d－c|＝|－x|－|－y|＝|x|－|y|＝9－16＝－7

第三类：多个绝对值化简，运用零点分段法，分类讨论

以上这种分类讨论化简方法就叫做零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合。

根据以上材料解决下列问题：

（1）化简：2|x－2|－|x＋4|

（2）求|x－1|－4|x＋1|的最大值。

解：（1）令x－2＝0，x＋4＝0，分别求得零点值：x＝2，x＝-4，分区段讨论：

当x≤-4时，原式＝－2（x－2）＋（x＋4）＝－x＋8

当-4＜x≤2时，原式＝－2（x－2）－（x＋4）＝－3x

当x＞2时，原式＝2（x－2）－（x＋4）＝x－8

综上讨论，原式＝…（略)

（2）使用“零点分段法”将代数式简化，然后在各个取值范围内求出最大值，再加以比较，从中选出最大值。

令x－1＝0，x＋1＝0，分别求得零点值：x＝1，x＝-1，分区段讨论：

当x≤-1时，原式＝－（x－1）＋4（x＋1）＝3x＋5 ，当x=-1时，取到最大值等于2；当-1＜x≤1时，原式＝－（x－1）－4（x＋1）＝－5x－3，此时无最大值；

当x＞1时，原式＝（x－1）－4（x＋1）＝－3x＋3，此时无最大值。

综上讨论，当x=-1时，原式可以取到最大值等于2。

11、若2x＋|4－5x|＋|1－3x|＋4的值恒为常数，则此常数的值为多少？

解：我们知道，互为相反数的两个数，它们的绝对值相等，利用这条性质，可以把绝对值内带x的项的符号由负号都变成正号，以便于区段内判断正负关系。

即原式＝2x＋|5x－4|＋|3x－1|＋4

令5x－4＝0，3x－1＝0，分别求得零点值：x＝4/5 , x＝1/3，分区段讨论：