均值方差正态分布学生用
正态分布均值和方差的关系
正态分布均值和方差的关系正态分布，这个听起来高大上的词，其实就像个老朋友，常常在我们生活中悄悄地出现。
想象一下，早晨你起床，走到厨房，打开冰箱，看到一瓶牛奶。
牛奶的保质期通常是个正态分布，简单来说，绝大部分的牛奶保质期都在一个平均范围内，偶尔有些牛奶可能早早过期，或者在冰箱里能坚持得更久。
这就是正态分布的魅力。
均值和方差在这里就是两位重要的角色，均值就像是大家聚在一起聊天时的平均发言时间，方差则是聊得热火朝天，时间各不相同的情形。
说到均值，这就相当于所有数据的中间位置。
就像班里成绩的平均分，大家围绕这个均值转悠。
均值高了，大家的表现就不错，均值低了，那可就得好好反思了。
这种情况下，均值就成了你我他心中的“灯塔”，指引着方向。
然而，均值虽然重要，但光靠它可不行，咱还得看看方差。
方差就像是一位不拘一格的艺术家，表达出每个数据之间的差异。
想象一下，班里同学的成绩，大家可能都在及格线附近，但有的同学考了满分，有的同学却只拿了个及格，这种差异就是方差在发挥作用。
方差大，说明大家成绩差别大，方差小，说明大家水平差不多。
让我们换个角度来看看这两位角色之间的关系。
均值和方差就像是一对小夫妻，互相依赖又互为补充。
均值负责稳定地把大家聚在一起，方差则负责让生活多姿多彩。
没有均值，方差就像是无头苍蝇，四处乱窜；没有方差，均值就显得单调乏味。
两者结合，形成了一个和谐的正态分布，仿佛是在说：“我们一起来，生活才有趣！”很多人一听到“正态分布”，就开始打瞌睡，觉得这和他们没关系。
正态分布无处不在。
想想你每天的社交，朋友圈里总有几个人在搞笑、几个人在分享心情，还有一些人在抱怨工作。
这就是生活的正态分布，大家的情绪也是围绕着某个均值波动。
看看那些火爆的社交媒体，评论区的留言就像是一个正态分布，热点评论总是处于中间，偏离的声音则少之又少。
再说说方差，方差可不是个“独行侠”，它总是在和均值打交道。
比如说，你一个人在健身，大家都在讨论减脂，均值可能是每周锻炼三次。
正态分布-学生用卷
正态分布一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.某地市高三理科学生有30000名，在一次调研测试中，数学成绩，已知，若按分层抽样的方式取200份试卷进行成绩分析，则应从120分以上的试卷中抽取A. 5份B. 10份C. 15份D. 20份2.设两个正态分布和曲线如图所示，则有A. B.C. D.3.设随机变量服从正态分布，若，则a的值为A. B. C. 5 D. 34.已知随机变量，且，，则A. B. C. D.5.已知：，且，，则A. B. C. D.6.已知随机变量服从正态分布，则A. 4B. 6C. 8D. 117.设随机变量服从正态分布，则函数不存在零点的概率A. B. C. D.8.某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，则部件正常工作：设三个电子元件的使用寿命单位：小时均服从正态分布，若每个元件使用寿命超过1200小时的概率为，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过800小时的概率为A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）9.随机变量X服从正态分布，，，则的最小值为______．10.若随机变量，则，已知随机变量，则______．11.若随机变量服从正态分布，，，设，且，在平面直角坐标系xOy中，若圆上有四个点到直线的距离为1，则实数c的取值范围是______12.下列说法中错误的有_________________残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高．两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好。
设随机变量X服从正态分布，若则根据下表提供的数据，线性回归方程为，那么表中13.某县10000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，其密度函数曲线如图，则成绩X位于区间的人数大约是______ ．，，．三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）14.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗，2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标．求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布，利用该正态分布，求Z落在内的概率；将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为X，求X的分布列和数学期望．附：计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；若，则，．15.十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加．为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入单位：千元同一组数据用该组数据区间的中点值表示；由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得；，利用该正态分布，求：在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民．若每个农民的年收人相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于千元的人数最有可能是多少？附：参考数据与公式，若，则；；；16.第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项，共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技．前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民，武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分满分100分数据，统计结果如下：若此次问卷调查得分总体服从正态分布，用样本估计总体，设，分别为这200人得分的平均值和标准差同一组数据用该区间的中点值作为代表，求，的值的值四舍五入取整数，并计算．在的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1次抽奖机会，得分不低于的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值15元的纪念品A的概率为，抽中价值为30元的纪念品B的概率为现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额．参考数据：；；。
高考数学一轮复习---离散型随机变量的均值与方差、正态分布
离散型随机变量的均值与方差、正态分布一、基础知识1.均值一般地，若离散型随机变量X的分布列为：则称E(X)＝x1p1＋x2p2i i n n.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.,(2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态.,(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n直接给出了E(X)的求法，即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加.2.方差设离散型随机变量X的分布列为：则(x i－E(X))2描述了x i(i＝)＝(x i－E(X))2p i为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根D(X)为随机变量X的标准差.(1)随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.D(X)越大，表明平均偏离程度越大，X的取值越分散.反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近.,(2)方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负.3.两个特殊分布的期望与方差4.正态分布(1)正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.(2)正态分布的三个常用数据①P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)≈0.682 6；②P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)≈0.954 4；③P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)≈0.997 4.二、常用结论若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 是常数，X 是随机变量，则 (1)E (k )＝k ，D (k )＝0，其中k 为常数； (2)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )； (3)E (X 1＋X 2)＝E (X 1)＋E (X 2)； (4)D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2；(5)若X 1，X 2相互独立，则E (X 1·X 2)＝E (X 1)·E (X 2).(6)若X ～N (μ，σ2)，则X 的均值与方差分别为：E (X )＝μ，D (X )＝σ2. 三、考点解析考点一 离散型随机变量的均值与方差例、为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E (ξ)，方差D (ξ).跟踪训练1.随机变量X 的可能取值为0,1,2，若P (X ＝0)＝15，E (X )＝1，则D (X )＝( )A.15B.25C.55D.1052.随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化.某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店.(1)若从10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率； (2)若从这10名购物者中随机抽取3名，设X 表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X 的分布列和数学期望.考点二 二项分布的均值与方差例、某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况，对其每天的用水量做了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图(单位：吨).若用水量不低于95吨，则称这一天的用水量超标.(1)从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天的用水量超标的概率；(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天中用水量超标的天数，记随机变量X 为未来这3天中用水量超标的天数，求X 的分布列、数学期望和方差.[解题技法]二项分布的期望与方差(1)如果ξ ～B (n ，p )，则用公式E (ξ)＝np ，D (ξ)＝np (1－p )求解，可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E (a ξ＋b )＝aE (ξ)＋b 以及E (ξ)＝np 求出E (a ξ＋b )，同样还可求出D (a ξ＋b ).跟踪训练1.设X 为随机变量，且X ～B (n ，p )，若随机变量X 的数学期望E (X )＝4，D (X )＝43，则P (X ＝2)＝________.(结果用分数表示)2.一个盒子中装有大量形状、大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量(单位：克)，重量分组区间为[5,15]，(15,25]，(25,35]，(35,45]，由此得到样本的重量频率分布直方图(如图).(1)求a 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5,15]内的小球个数为X ，求X 的分布列和数学期望(以直方图中的频率作为概率).考点三 均值与方差在决策中的应用例、某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p (0＜p ＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立. (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )，求f (p )的最大值点p 0.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p 0作为p 的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用. ①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ； ②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？[解题技法]离散型随机变量的期望和方差应用问题的解题策略(1)求离散型随机变量的期望与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用期望、方差公式进行计算.(2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属于二项分布，可用二项分布的期望与方差公式计算，则更为简单.(3)在实际问题中，若两个随机变量ξ1，ξ2，有E (ξ1)＝E (ξ2)或E (ξ1)与E (ξ2)较为接近时，就需要用D (ξ1)与D (ξ2)来比较两个随机变量的稳定程度.即一般地将期望最大(或最小)的方案作为最优方案，若各方案的期望相同，则选择方差最小(或最大)的方案作为最优方案.跟踪训练某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.考点四 正态分布例、(1)设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )A.P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B.P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C.对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )D.对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t ) (2)已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (X ≥4)＝0.158 7，则P (2＜X ＜4)＝( ) A.0.682 6 B.0.341 3 C.0.460 3 D.0.920 7(3)某校在一次月考中有900人参加考试，数学考试的成绩服从正态分布X ～N (90，a 2)(a ＞0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有________人.[解题技法]正态分布下2类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x ＝μ对称，曲线与x 轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.跟踪训练1.已知随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，若P (ξ＜2)＝P (ξ＞6)＝0.15，则P (2≤ξ＜4)等于( ) A.0.3 B.0.35 C.0.5 D.0.72.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2). (1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. ①试说明上述监控生产过程方法的合理性； ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得x ＝9.97，s ≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数x 作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ＜Z ＜μ＋3σ)＝0.997 4.0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.课后作业1.口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X 的期望为( )A.13B.23C.2D.832.已知随机变量X 服从正态分布N (a,4)，且P (X ＞1)＝0.5，P (X ＞2)＝0.3，则P (X ＜0)＝( ) A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.83.已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：克)服从正态分布N (100,4)，现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在[98,104]内的产品估计有( )(附：若X 服从N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝0.954 5) A.4 093件 B.4 772件 C.6 827件 D.8 186件4.某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为23，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X 的期望是( )A.3B.83C.2D.535.某学校为了给运动会选拔志愿者，组委会举办了一个趣味答题活动.参选的志愿者回答三个问题，其中两个是判断题，另一个是有三个选项的单项选择题，设ξ为回答正确的题数，则随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝( )A.1B.43C.53D.26.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D (X )＝________.7.若随机变量ξ的分布列如表所示，E (ξ)＝1.6，则a －b ＝________.8.一个人将编号为1,2,3,4每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了.设放对的个数为ξ，则ξ的期望值为________. 9.某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴200元、300元、300元、400元、400元，从2018年享受此项政策的自主创业人员中抽取了100人进行调查统计，选择的贷款期限的频数如下表：. (1)某大学2019年毕业生中共有3人准备申报此项贷款，计算其中恰有2人选择的贷款期限为12个月的概率；(2)设给某享受此项政策的自主创业人员的补贴为X 元，写出X 的分布列；该市政府要做预算，若预计2019年全市有600人申报此项贷款，则估计2019年该市共要补贴多少万元.10.某厂有4台大型机器，在一个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修.每台机器出现故障的概率为13.(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%?(2)已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资.每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润.若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值.提高练习1.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立.设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX ＝2.4，P (X ＝4)＜P (X ＝6)，则p ＝( )A.0.7B.0.6C.0.4D.0.32.设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ 没有零点的概率是12，则μ等于( )A.1B.2C.4D.不能确定 3.已知离散型随机变量X 的分布列如表所示，若E (X )＝0，D (X )＝1，则P (X ＜1)＝________.4.甲、乙两家外卖公司，元，每单送餐员抽成4元；乙公司，无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超出40单的部分送餐员每单抽成7元.假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从这两家公司各随机选取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表(1)现从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天的送餐单数，求这3天送餐单数都不小于40的概率.(2)若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望E(X)；②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.5.计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的入流量相互独立.(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？。
离散型随机变量均值和方差、正态分布
课堂互动讲练
ξ 0 2345 P 0.03 p1 p2 p3 p4
(1)求q2的值； (2)求随机变量ξ的数学期望Eξ； (3)试比较该同学选择都在B处投篮得 分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3 分的概率的大小．
课堂互动讲练
【思路点拨】 首先由P(ξ＝0)＝ 0.03计算出q2，从而可写出分布 列．本题便可求解．
课堂互动讲练
P(X≥7)＝P(X≤3) ＝12×[1－P(3＜X＜7)]， ＝12×(1－0.9544)＝0.0228， ∵P(4＜X＜6)＝0.6826， ∴P(5＜X＜6)＝12P(4＜X＜6) ＝0.3413.
课堂互动讲练
考点二 求离散型随机变量的均值与方差
求离散型随机变量X的均值与方差的步 骤：
【解】 (1)由题设知，“ξ＝0”对 应的事件为“在三次投篮中没有一次投 中”，由对立事件和相互独立事件性质 可知
P(ξ＝0)＝(1－q1)(1－q2)2＝0.03， 解得q2＝0.8.
课堂互动讲练
(2)根据题意 p1＝P(ξ＝2)＝(1－q1)C21(1－q2)q2 ＝0.75×2×0.2×0.8＝0.24. p2＝P(ξ＝3)＝q1(1－q2)2＝0.25×(1－ 0.8)2＝0.01. p3＝P(ξ＝4)＝(1－q1)q22＝0.75×0.82 ＝0.48. p4＝P(ξ＝5)＝q1q2＋q1(1－q2)q2 ＝0.25×0.8＋0.25×0.2×0.8＝0.24. 因此Eξ＝0×0.03＋2×0.24＋3×0.01 ＋4×0.48＋5×0.24＝3.63.
基础知识梳理
参数μ，σ在正态分布中的实际 意义是什么？
【思考·提示】 μ是正 态分布的期望，σ是正态分布 的标准差．
1．若随机变量X的分布列如下，则X 的数学期望是( )
7离散型随机变量的均值、方差及正态分布
§12.7 离散型随机变量的均值、方差及正态分布了解离散型随机变量的均值、方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值、方差或标准差。
理解公式“E （a ξ+b ）=aE ξ+b ”，以及“若ξB （n,p ），则E ξ=np ”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望；了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
教学重点：离散型随机变量的均值或期望的概念；正态分布曲线的性质、标准正态曲线N(0，1) 。
教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。
再现型题组1．若离散型随机变量ξ的分布列为则称E ξ＝ 为随机变量ξ的均值，也称为期望，它反映了离散型随机变量取值的 。
把 叫做随机变量方差，D ξξ的 ，记作 。
随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的 。
其中标准差与随机变量本身有 。
2．若η＝a ξ+b (a,b 为常数)，则E η＝E(a ξ+b )=______________；D η＝D(a ξ+b )=____________；若ξ服从两点分布，则E ξ＝ ，D ξ= ，若X 服从二项分布，即~(,)B n p ξ，则E ξ＝ ，D ξ= 。
3．函数,()______________x μσϕ=的图象称为正态密度曲线，简称正态曲线。
4．对于任何实数a b <，随机变量X 满足()____________,P a X b <≤≈则称X 的分布为正态分布，正态分布完全由参数 确定。
因此正态分布常记作 ，如果X 服从正态分布，则记为 。
5．正态分布的特点：（1）曲线在 ；（2）曲线关于直线 对称； （3）曲线在x μ=时 ；（4）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线 ，表示总体的分布越 ；σ越小，曲线 ，表示总体的分布越 。
(广东专用)高考数学总复习 第十章第九节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布课件 理
【思路点拨】 (1)获奖则摸出2个白球或摸出3个白球，
利用互斥事件概率加法不难求解；(2)在2次游戏中，获奖的次
数X服从二项分布，进而可求分布列与数学期望．
【尝试解答】 (1)设 Ai 表示“在 1 次游戏摸出 i 个白 球”(i＝0,1,2,3)．
①摸出 3 个白球的概率 P(A3)＝CC3225·CC1223＝15， ②设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B，则 B＝A2∪A3， ∵P(A2)＝CC5322··CC2322＋CC31C25 12·CC1223＝21，又 A2 与 A3 互斥， ∴P(B)＝P(A2＋ A3)＝ P(A2)＋P(A3)＝15＋12＝170， 因此，在一次游戏中获奖的概率为170.
【解析】 设 P(ξ＝1)＝x，则 P(ξ＝3)＝x， 由分布列性质，∴P(ξ＝2)＝1－2x， 因此 Eξ＝1·x＋2·(1－2x)＋3·x＝2.
【答案】 2
正态分布下的概率
(2011·湖北高考)已知随机变量ξ服从正态分布N(2， σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)＝( )
A．0.6
【解】 ∵随机变量 ξ～μ(3,1)， ∴正态曲线关于直线 x＝3 对称， 由 P(2≤ξ≤4)＝0.682 6，得 P(ξ＞4)＝12[1－P(2≤ξ≤4)]＝12(1 －0.682 6)＝0.158 7.
离散型随机变量的均值与方差
(2011·天津高考)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲 箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑 球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随 机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏 结束后将球放回原箱) (1)求在1次游戏中， ①摸出3个白球的概率；②获奖的概率． (2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X)．
正态分布的均质和方差
正态分布的均质和方差
正态分布是一种常见的概率分布，它在自然界和人类社会中广泛应用。
它的均值和方差是描述这种分布特征的重要参数。
均值是正态分布的中心位置，它代表了数据的平均值。
均值越大，分布的中心越靠右；均值越小，分布的中心越靠左。
例如，我们可以用正态分布来描述人们的身高。
如果均值为170厘米，那么大多数人的身高会集中在这个数值附近。
而方差则决定了分布的扩散程度。
方差越小，数据点越集中在均值附近；方差越大，数据点分布得越广。
正态分布在很多领域都有应用。
在医学研究中，正态分布常被用来分析人群的生理指标，如血压、血糖等。
在财经领域，正态分布可以用来描述股市的波动情况，帮助投资者做出决策。
在社会科学中，正态分布可以用来研究人们的意见、行为等。
正态分布的特点使得它成为了统计学中重要的工具。
通过对数据的分析，我们可以了解到数据的分布情况，进而做出合理的判断和预测。
然而，正态分布并不适用于所有情况。
有些数据可能不服从正态分布，可能需要使用其他的概率分布进行分析。
正态分布的均值和方差是描述分布特征的重要参数。
它在各个领域都有广泛的应用，帮助我们理解和解释数据。
虽然正态分布并不适用于所有情况，但它仍然是统计学中不可或缺的工具之一。
通过对
均值和方差的理解和应用，我们可以更好地分析数据，做出准确的判断和预测。
高考数学 第十章第九节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布课件 新A
2．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝ aE(X)＋b . (2)D(aX＋b)＝ a2D(X) ．(a，b 为常数)
3．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X服从两点分布，则E(X)＝ p，D(X)＝ p(1－p) ． (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝ np ，D(X)＝ np(1－p) ．
在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多 投3次：在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分； 如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三 次．某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2， 该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用X表示该 同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为
P(ξ＝k)＝C3k(16)k(56)3－k，k＝0,1,2,3.…………………(8 分)
所以中奖人数 ξ 的分布列为
ξ
0
1
2
3
P 125 216
25 5
1
72 72 216
………………………………………………………(10 分)
Eξ＝0×122156＋1×2752＋2×752＋3×2116＝12………(12 分)
P(a<X≤b)＝ a φμ，σ(x)dx ，则称X的分布为正态
分布，记作X～N(μ，σ2) ．
(2)正态分布的三个常用数据
①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝
0.；6826
②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝
0.；9544
③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝
0.9.974
考点一
离散型随机变量的数学期望
离散型随机变量的均值与方差、正态分布-概率、统计与统计案例
直线x=μ
1 a 2π
对称；
; ；
处达到峰值 1
（4）曲线与x轴之间的面积为
（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿 平移； （6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定.σ越 小 曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越 大 曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.
x轴
， ，
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考点一 求期望与方差 一接待中心有A，B，C，D四部热线电话,已知某一时 刻电话A，B占线的概率均为0.5,电话C，D占线的概率 均为0.4,各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该 时刻有ξ部电话占线,试求随机变量ξ的概率分布和它的 期望. 返回目录
P（a<X≤b）=
∫
b φμ,σ(x)dx, a
则称X的分布为正态分布.正态分布完全由参数μ和 N(μ,σ2) .如果随机变量 σ确定，因此正态分布常记作 N(μ,σ2) . X服从正态分布，则记为X~ 正态曲线有以下特点: 返回目录
（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于
【分析】利用ξ,η的分布列，用期望、方差公式计算 出它们的值，再根据期望、方差的实际意义作出分析. 【解析】依题意，有Eξ=10×0.5+9×0.2+8×0.1 +7×0.1+6×0.05+5×0.05+0×0=8.85（环）. Eη=10×0.1+9×0.1+8×0.1+7×0.1+6×0.2+5×0.2
返回目录
【解析】因为灯管的使用寿命X~N（1 000，
302），为了查表方便，先化为标准正态分布N(0,1);令
Y= X - 1 000 ,即X=1 000+30Y,故Y~N(0,1).
人教版高数选修2-3第6讲：数学期望与方差及正态分布(学生版)
数学期望与方差及正态分布__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1.理解离散型变量的数学期望与方差的概念.2.熟练掌握离散型变量的数学期望与方差的公式.3.熟练掌握离散型变量的数学期望与方差的性质.4.能利用数学期望与方差解决简单的实际问题.5.理解概率密度曲线和正态分布的概念.1.离散型随机变量X 的数学期望一般地，若离散型随机变量X 的概率分布如下表所示，则称______________________为离散型随机变量X 的数学期望，记为______，其中0i p ≥，i =1，2，…，n ，12p p + 1.n p ++=L2.离散型随机变量X 的方差一般地，若离散型随机变量X 的概率分布如下表所示，则称____________________________________为离散型随机变量X 的方差，记为_________，即2;σi p ≥0，i =1，2，…，n ，121,n p p p +++=L ()E X μ=3.离散型随机变量X 的标准差随机变量X 的方差也称为X 的概率分布的方差，X 的方差V (X )的算术平方根称为X 的标准差，即σ=_____________4.必备公式(1)离散型随机变量：X 的数学期望（均值）公式、方差公式、标准差公式 E(X)=____________________________；V (X )=_____________________________________________； σ=______________.(2)二项分布的数学期望、方差的计算公式 当X ～B (n ，p )时，E (X )=np ；V (X )=np(1-p). 5.离散型随机变量方差的性质设ξ是离散型随机变量，则其方差具有如下性质： (1)V (k )=_____(k 为常数)； (2)()_________;V k ξ= (3)()V k ξ+=___________;(4)()___________(,).V a b a b ξ+=∈R6.概率密度曲线(1)若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率直方图的顶边无限缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线.(2)正态密度曲线的函数表达式为22()2()e,,0,x P x x μσσμ--=∈>∈R R7.正态分布(1)若X 是一个随机变量，对任给区间(a ，b ]，P (a <X ≤b )恰好是正态密度曲线下方和X 轴上(a ，b ]上方所围成的图形的面积；我们就称随机变量X 服从参数为μ和2σ的正态分布，简记为X ～N (2,μσ).(2)我们将正态分布N (0，1)称为标准正态分布，通过查标准正态分布表可以确定服从标准正态分布的随机变量的有关概率.8.正态密度曲线图象的特征(1)当x <μ时，曲线上升；当x >μ时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸以____为渐近线. (2)正态曲线关于直线x =μ对称；(3)σ越大，正态曲线越________；σ越小，正态曲线越________. (4)在正态曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积为_____.类型一.离散型随机变量X 的数学期望则E (X )等于( ) A.0B.-1C.13-D.12-练习1：某学校要从5名男生和2名女生中选出2人做上海世博会志愿者,若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望E ξ______.(结果用最简分数表示) 类型二.离散型随机变量的方差、标准差例2：已知随机变量X 的分布表为：求V (X ).练习1：甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布表如下： 射手甲：射手乙：类型三.二项分布的数学期望与方差例3：已知随机变量ξ～B (n ，p )，且 2.4, 1.44,E V ξξ==则n ，p 的值为( ) A.8，0.3B.6，0.4C.2，0.2D.5，0.6练习3：设随机变量ξ服从二项分布,即ξ~(,)B n P ,且13,,7E P ξ==则n =______,D ξ=______. 类型四.离散型随机变量方差的性质例4：一次测试有25道选择题，每题选对得4分，选错或不选得0分，满分为100分，某生选对每道题的概率为0.8，则这名考生在这次考试中成绩的数学期望与标准差为( )A.80，8B.80，64C.70，4D.70，3练习4：已知ξ的分布列如下表,设23,ηξ=+则E η=()A .3B .4C .-1D .1类型五.数学期望与方差的计算与应用例5：一个人每天开车上班，从他家到上班的地方有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件互相独立，并且概率都是1.3假定他只在遇到红灯或到达上班地点时才停止前进.(1)设ξ为这个人的首次停止前经过的路口数.求ξ的分布表；(2)设η为这个人的途中遇到红灯的次数，求η的期望和方差；(3)求这个人首次停止前已经过两个交通岗的概率.练习5：有一名运动员投篮的命中率为0.6，现在他进行投篮训练，若没有投进则继续投篮，若投进则停止，但最多投篮5次，求他投篮次数的数学期望.类型六.正态密度曲线的特征例6：下面给出了关于正态曲线的四个叙述：①曲线在x 轴上方且与x 轴不相交；②当x >μ时，曲线下降；当x <μ时，曲线上升；③当μ一定时，σ越小，总体分布越分散；σ越大，总体分布越集中；④曲线关于直线x =μ对称，且当x =μ时，位于最高点.其中正确的是（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个练习6：若2(1)2(),x f x x R --=∈,则下列判断正确的是( )A .f (x )有最大值,也有最小值B .f (x )有最大值,无最小值C .f (x )无最大值,有最小值D .f (x )无最大值,也无最小值 类型七.正态分布例7：已知正态总体的数据落在区间(-3，-1)内的概率和落在(3，5)内的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________.练习7：设随机变量ξ服从标准正态分布N (0,1),已知( 1.96)0.025Φ-=,那么(|| 1.96)P ξ<=( )A .0.025B .0.050C .0.950D .0.9751.若某篮球运动员投篮命中率P =0.6,则其两次投篮命中次数η的数学期望为( ) A .0.6B .1.2C .1.3D .0.82.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量ξ描述1次试验的成功次数,则(0)P ξ==( )A .0B.12C.13D.233.已知连续型随机变量ξ的概率密度函数f (x )=()()01,1(14),504,x x x <-⎧⎪⎪-≤≤⎨⎪⎪>⎩则P (ξ=3)的值为( )A.15B .0C .3D .不确定4.如果随机变量ξ服从(,0)N μ,而且()P C ξ≤=()P C ξ>=P ,那么P 等于( ) A .0 B .0.5 C .1 D .不确定5.若从1,2,4,6,9这5个数字之中任取2个,则这2个数之积的数学期望是( ) A .8 B .17.3 C .9 D .9.56.两封信随机投入A ,B ,C 三个空邮箱,则A 邮箱的信件数ξ的教学期望E ξ=______.7.某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有5名工人,其中有3名女工人,现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核.(1)求从甲、乙两组各抽取的人数;(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;(3)记ξ表示抽取的3名工人中男工人数,求ξ的分布列及数学期望.8.设篮球队A 与B 进行比赛,每场比赛均有一球队获胜,若一球队胜4场,则比赛结束,假定A ,B 两队在每场比赛中获胜的概率都是12,试求需要比赛场数ξ的分布列及数学期望._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.如果两名士兵在一次射击比赛中,士兵甲得1分,2分,3分的概率分别为0.4,0.1,0.5;士兵乙得1分,2分,3分的概率分别为0.1,0.6,0.3,那么两名士兵得胜希望较大的是( )A .甲B .乙C .甲与乙相同D .无法确定2.同时抛掷2枚相同的均匀硬币,随机变量ξ=1表示结果中有正面向上的,ξ=0表示结果中没有正面向上的,则E ξ=( )A .0.6B .0.75C .0.85D .0.953.如果ξ是离散型随机变量,32,ηξ=+那么( ) A.32,9E E D D ηξηξ=+= B.3,32E E D D ηξηξ==+ C.32,94E E D E ηξηξ=+=+D.34,32E E D D ηξηξ=+=+4.某地有A ,B ,C ,D 四人先后感染了甲型H1N1流感,其中只有A 到过疫区,B 肯定是受A 感染的,对于C ,因为难以断定他是受A 还是受B 感染,于是假定他受A 和受B 感染的概率都是12,同样也假定D 受A ,B 和C 感染的概率都是13,在这种假定之下,B ,C ,D 中直接受A 感染的人数X 就是一个随机变量,X 的均值(即数学期望)=( )A.125 B.116 C.87D.23 5.设随机变量ξ服从二项分布,即ξ~(,)B n P ,且13,,7E P ξ==则n =______,D ξ=______.6.在某次测量中,测量结果ξ服从正态分布N (1,2σ)(σ>0),若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率为______.7.(2014浙江卷)随机变量X 的取值为0，1，2.若P (X ＝0)＝15，E (X )＝1，则D (X )＝________．8.(2015东城二模)某校高一年级开设A ，B ，C ，D ，E 五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A 课程，不选B 课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．(1)求甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率；(2)用X 表示甲、乙、丙选中C 课程的人数之和，求X 的分布列和数学期望．能力提升1.如果~(5,0.1)B ξ,那么P (ξ≤2)=( )A .0.0729B .0.00856C .0.91854D .0.991442.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．4003.1盒产品中有9件正品和3件废品,若每次取1件产品,取出后不再放回,则在取得正品前已取出的废品数ξ的数学期望E ξ=______.4.某射击选手每次射击击中目标的概率为0.8,现在他连续向一个目标射击,直到第一次击中目标为止,则射击次数ξ这一随机变量的数学期望为______.5.从分别标有数字1,2,3,…,n 的n 张卡片中任取一张,若卡片上数字ξ是随机变量,则ξ的数学期望为______.6.(2014湖南卷)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．7.(2015湖南)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望.8.(2014天津)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.。
第十章 第十节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布(理)
3．正态分布密度函数满足的性质 ． (1)函数图像关于直线 x＝ 对称． 函数图像关于直线 ＝ 对称． (2)σ(σ>0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”． 的大小决定函数图像的“ ”“瘦 的大小决定函数图像的 (3)P(μ－σ<X<μ＋σ)＝ － ＋ ＝ P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝ － ＋ ＝ P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝ － ＋ ＝ 68.3% . 95.4% . 99.7% .
＋0× × (0＋ ＋
＋1× × )2×
＝－ ＋ (1＝0)＝ ＝ ＝ 答案： 答案：C
，故①③正确，②错误． ①③正确， 错误． 正确
4．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出 个球，以X表 ．从装有 个红球， 个白球的袋中随机取出2个球， 表 个红球 个白球的袋中随机取出 个球 示取得红球的个数， 示取得红球的个数，则P(X＝1)＝______________，EX ＝ ＝ ， ＝ ______________. 解析：由已知可得 ＝ ＝ 解析：由已知可得P(X＝0)＝ 0.6，P(X＝2)＝ ， ＝ ＝ 答案： 答案：0.6 1.2 ＝0.1，P(X＝1)＝ ， ＝ ＝ ＝
某市出租车的起步价为6元 行驶路程不超过 某市出租车的起步价为 元，行驶路程不超过3 km 时，租车费为6元，若行驶路程超过 km，则按每超出 租车费为 元 若行驶路程超过3 ，则按每超出1 km(不足 km也按 km计程 收费3元计费．设出租车一次行 不足1 也按1 计程)收费 元计费． 不足 也按 计程 收费 元计费 驶的路程数X(按整 数计算，不足 km的自动计为 km)是 的自动计为1 驶的路程数 按整km数计算 不足1 按整 数计算， 的自动计为 是 一个随机变量，则其收费也是一个随机变量． 一个随机变量，则其收费也是一个随机变量．已知一个司 机在某一天每次出车都超过了3 机在某一天每次出车都超过了 km，且一次的总路程数可 ， 能的取值是20、 、 、 、 、 能的取值是 、22、24、26、28、30 (km)，它们出现的概 ， 率依次是0.12、0.18、0.20、0.20、100a2＋3a、4a. 率依次是 、 、 、 、 、
第十章 第九节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布1
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称E(X)＝ x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为随机变量 X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值 的 平均水平 ．
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2．若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，
且E(aX＋b)＝ aE(X)＋b . 3． (1)若X服从两点分布，则E(X)＝ p ； (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝ np.
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9 9 81 P(X＝110)＝10×10＝100. X的分布列为： X P 50 1 100 70 9 100 90 9 100 110 81 100
1 9 9 81 E(X)＝50×100＋70×100＋90×100＋110×100＝104.
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[冲关锦囊] 1．求离散型随机变量的均值关键是先求出随机变量的分
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记“该运动员获得第一名”为事件C，依题意得 3 3 1 3 3 P(C)＝P(AB)＋P( A B)＝4×4＋4×4＝4. 3 该运动员获得第一名的概率为4.
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(2)若该运动员选择乙系列，X的可能取值是50,70,90,110，则P(X＝50) 1 1 1 ＝10×10＝100， 1 9 9 P(X＝70)＝10×10＝100， 9 1 9 P(X＝90)＝10×10＝100，
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np＝12， 解析：由 np1－p＝4
2 得n＝18，p＝3.
答案： A
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4．(教材习题改编)有10件产品，其中3件是次品，从 中任取两件．若X表示取到次品的个数．则E(X)＝
________.
1 C2 21 C1C3 21 7 7 解析：X＝0时，C2 ＝45，X＝1时，P＝ C2 ＝45， 10 10
6均值与方差、正态分布
例4、箱中装有大小相同的黄、白两种颜色 箱中装有大小相同的黄、 的乒乓球， 白乒乓球的数量比为s:t s:t， 的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为s:t， 现从箱中每次任意取出一个球， 现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是 黄球则结束，若取出的是白球， 黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回 箱中，并纠结继续从箱中任意取出一个球， 箱中，并纠结继续从箱中任意取出一个球， 但取球的次数最多不超过n 但取球的次数最多不超过n次，以ξ表示取 球结束时已取到的白球的次数。（ 。（1 球结束时已取到的白球的次数。（1）求ξ 的分布列；（ ；（2 的数学期望。 的分布列；（2）求ξ的数学期望。 P(ξ=k)=P(A1…AkAk+1)=q.pk A
a=b=2或a=a=b=2或a=-2,b=4
练习： 练习：设p为非负实数，随机变量ξ的概率 为非负实数，随机变量ξ 分布为： 分布为： ξ P
1 −p 2
0
1 p
2 1 2
则Eξ的最大值为 ，Dξ的最大值为 1 。 Dξ的最大值为 Eξ的最大值为 3 2 注：公式的直接应用，注意p的范围。 公式的直接应用，注意p的范围。
对阵队员 A 1和B 1 A 2和B 2 A 3和B 3 A队队员胜率 A队队员负率 2/3 2/5 2/5 1/3 3/5 3/5
现按表中对阵方式出场胜队得1 现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0 负队得0 队最后所得总分分别为ξ 分，设A队，B队最后所得总分分别为ξ，η ξ,η的概率分布；（2 的概率分布；（ Eξ， （1）求ξ, 的概率分布；（2）求Eξ，E η
注：随机变量的方差与标准差都反映了随机变 量取值的稳定与波动 集中与分散的程度 稳定与波动， 的程度. 量取值的稳定与波动，集中与分散的程度.如果 值越小, 则表示X DX 值越小, 则表示X 的取值越集中
高二数学创新白老师 4离散型随机变量的均值与方差、正态分布
则 X 的均值为____2____.
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考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
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考点一 离散型随机变量的均值与方差 [师生共研过关]
[典例精析]
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为迎接 2022 年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑
雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过 1 小时
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[熟记常用结论]
若 Y＝aX＋b，其中 a，b 是常数，X 是随机变量，则 (1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中 k 为常数； (2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)； (3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)； (4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2； (5)若 X1，X2 相互独立，则 E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2). (6)若 X～N(μ，σ2)，则 X 的均值与方差分别为：E(X)＝μ， D(X)＝σ2.
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[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)随机变量的均值是常数，样本的均值是随机变量.( √ )
(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均
值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度
越小.
(√)
(3)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因
此它们是一回事.
(或最小)的方案作为最优方案，若各方案的期望相同，则选择
方差最小(或最大)的方案作为最优方案.
[过关训练]
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某投资公司在 2019 年年初准备将 1 000 万元投资到“低碳”
项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底
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§12.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X(1)均值称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差称D (X )＝∑ni ＝1 (x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根D ?X ?为随机变量X 的标准差． 2．均值与方差的性质(1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(a ，b 为常数) 3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝__p __，D (X )＝p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝__np __，D (X )＝np (1－p )． 4．正态分布(1)正态曲线：函数φμ，σ(x )＝12πσe －?x －μ?22σ2，x ∈(－∞，＋∞)，其中μ和σ为参数(σ>0，μ∈R )．我们称函数φμ、σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的性质：①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称；③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x 轴之间的面积为__1__；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着__μ__的变化而沿x 轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ__越小__，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ__越大__，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示． (3)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a ，b (a <b )，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝?ba φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布，记作X ～N (μ，σ2)．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682_6；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954_4；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997_4.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．()(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小．()(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．()(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．()2．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝15(k＝2,4,6,8,10)，则D(ξ)等于()A．5 B．8 C．10 D．163．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，则c等于() A．1 B．2 C．3 D．44．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件数，则D(X)＝________.5．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是________．题型一离散型随机变量的均值、方差例1(2013·浙江)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的分布列、期望和方差；(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．题型二二项分布的均值、方差例2(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p的值；(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5.记此时教室里敞开的窗户个数为X.(1)求X的分布列；(2)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y ，求Y 的数学期望． 题型三 正态分布的应用例3 在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N (80,52)，现已知该班同学中成绩在80～85分的有17人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N (100,100)，已知满分为150分．(1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120]内的概率；(2)若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数．离散型随机变量的均值与方差问题典例：(12分)甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m 个球，乙袋中共有2m 个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为25，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P 2.(1)若m ＝10，求甲袋中红球的个数；(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是13，求P 2的值；(3)设P 2＝15，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次．设ξ表示摸出红球的总次数，求ξ的分布列和均值．思维启迪 (1)概率的应用，知甲袋中总球数为10和摸1个为红球的概率，求红球．(2)利用方程的思想，列方程求解．(3)求分布列和均值，关键是求ξ的所有可能值及每个值所对应的概率． 规范解答解 (1)设甲袋中红球的个数为x ，依题意得x ＝10×25＝4.[3分](2)由已知，得25m ＋2mP 23m ＝13，解得P 2＝310.[6分](3)ξ的所有可能值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝35×45×45＝48125，P (ξ＝1)＝25×45×45＋35×C 12×15×45＝56125， P (ξ＝2)＝25×C 12×15×45＋35×⎝⎛⎭⎫152＝19125， P (ξ＝3)＝25×⎝⎛⎭⎫152＝2125.[8分]所以ξ的分布列为[10分]所以E (ξ)＝0×48125＋1×56125＋2×19125＋3×2125＝45.[12分]求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤： 第一步：确定随机变量的所有可能值． 第二步：求每一个可能值所对应的概率．第三步：列出离散型随机变量的分布列．第四步：求均值和方差．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．温馨提醒(1)本题重点考查了概率、离散型随机变量的分布列、均值．(2)本题解答中的典型错误是计算不准确以及解答不规范．如第(3)问中，不明确写出ξ的所有可能值，不逐个求概率，这都属于解答不规范．方法与技巧1．均值与方差的常用性质．掌握下述有关性质，会给解题带来方便：(1)E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b；E(ξ＋η)＝E(ξ)＋E(η)；D(aξ＋b)＝a2D(ξ)；(2)若ξ～B(n，p)，则E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)．2．基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．3．关于正态总体在某个区域内取值的概率求法(1)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(x<μ－a)＝P(X≥μ＋a)．(3)3σ原则在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量只取(μ－3σ，μ＋3σ]之间的值，取该区间外的值的概率很小，通常认为一次试验几乎不可能发生．失误与防范1．在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式．2．对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差.A组专项基础训练一、选择题1．正态总体N(1,9)在区间(2,3)和(－1,0)上取值的概率分别为m，n，则() A．m>n B．m<nC．m＝n D．不确定2．已知某一随机变量X( )A.5B ．6C ．7D ．83．(2013·湖北) 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的均值E (X )等于( )A.126125B.65C.168125D.754．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．4005．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X 的期望值为( )A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.4二、填空题6．从装有3个红球、2X 个红球，则随机变量X 的分布列为7．已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝12k－1，k ＝1,2,3，…，n ，则P (2<ξ≤5)＝________.8．已知某次英语考试的成绩X 服从正态分布N (116,64)，则10 000名考生中成绩在140分以上的人数为________． 三、解答题9．某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予9.6折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠．假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取两人．(1)求这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；(2)设这两人中享受折扣优惠的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．10．为了某项大型活动能够安全进行，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选．假定某基地有4名武警战士(分别记为A 、B 、C 、D )拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为23，23，12.这三项测试能否通过相互之间没有影响．(1)求A 能够入选的概率；(2)规定：按入选人数得训练经费(每入选1人，则相应的训练基地得到3 000元的训练经费)，求该基地得到训练经费的分布列与数学期望．。