全等三角形的综合运用
全等三角形判定综合运用
先学生思考分析，教师点拨技巧，学生板演再点评
学生讨论分析，总结如何逆向思维
思考点评和指导总结，突出如何逆向思维
共同总结注意问题
板
书
设
计
全等三角形的判定综合运用
思路总结例题分析练习
教学
反思
重点
用三角形全等和角平分线的性质进行证明有关问题
பைடு நூலகம்难点
灵活应用所学知识解决问题，精炼准确表达推理过程
教
学
流
程
教学内容
师生活动设计
复备
一、知识再现系统输理
证明两个三角形全等的基本思路：
找第三边（）
(1)已知两边：找夹角（）
一边和邻角（）
(2)已知一边一角：
一边和对角（）
(3)已知两角
三角形全等是证明线段相等、角相等最基本、最常用的方法。
二、题组训练合作探究
例题1、如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。
求证：MB=MC
例题2、已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD
三、变式练习
如图，已知E在AB上，∠1=∠2，∠3=∠4，那么AC等于AD吗？为什么？
四、总结提高布置作业
学科年级
八年级
课题
全等三角形的判定综合运用
总第课时
主备人
杨心武
复备人
上课
时间
教学
目标
1.知识与技能：掌握三角形全等的判定方法，利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式。
2．过程与方法：能用尺规进行一些基本作图．能用三角形全等和角平分线的性质进行证明。
人教版数学八年级上册12.2三角形全等的判定和性质综合应用教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角形全等相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用尺规作图来演示全等三角形的判定方法。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了三角形全等的判定方法和性质，以及它们在实际问题中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对这些概念的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.解决实际问题，如测量不可到达的距离、确定物体位置等，运用三角形全等的判定和性质；
4.通过实际案例分析，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力，通过分析、归纳、总结全等三角形的判定方法和性质，形成严密的数学思维；
2.提高学生的空间想象力，运用全等三角形的性质解决实际问题，培养对几何图形的认知和操作能力；
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解三角形全等的判定方法。全等三角形是指在大小和形状上完全相同的两个三角形。掌握全等三角形的判定方法是解决几何问题的重要工具。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何使用SSS、SAS、ASA、AAS判定方法在实际中确定全等三角形，以及这些方法如何帮助我们解决问题。
三角形全等的应用
经典例题透析类型一：三角形全等的应用1. 如图：BE、CF相交于点D，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，且DE=DF。
求证：AB=AC。
思路点拨：挖掘并合理运用隐含条件：(1)隐含相等的线段：公共边、线段的和(或差)；（2）隐含相等的角：公共角、对顶角、角的和或差。
解析：∵DE⊥AC，DF⊥AB∴∠DFB=∠DEC=90°（垂直的定义）在△BDF和△CDE中∴△BDF≌△CDE（ASA）∴BD=CD（全等三角形对应边相等）又DE=DF∴BE=CF在△ABE和△ACF中∴△ABE≌△ACF（AAS）∴AB=AC（全等三角形对应边相等）总结升华：复杂题目都是由简单题目组合而成，所以要特别注意简单典型题目的解题思想以及图形特点。
举一反三：【变式1】如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。
求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。
解析：∵BE⊥AC，CF⊥AB∴∠AEB=∠AFC=90°（垂直的定义）∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC=90°（直角三角形的两个锐角互余）∴∠1=∠2在△ABM和△NCA中∴△ABM≌△NCA（SAS）∴AM=AN，∠3=∠N（全等三角形对应边、对应角相等）在Rt△AFN中：∠4+ ∠N=90 °（直角三角形两个锐角互余）∴∠3+ ∠4=90 °∴AM⊥AN（垂直的定义）【变式2】如图：∠BAC=90°，CE⊥BE，AB=AC ，∠ABE=∠CBE，求证：BD=2EC。
解析：延长BA、CE相交于点F∵CE⊥BE∴∠BEF=∠BEC=90°（垂直的定义）在△BEC和△BEF中∴△BEC≌△BEF（ASA）∴CE=EF（全等三角形对应边相等）即FC=2CE∵CA⊥BA∴∠BAC=∠FAC=90°（垂直的定义）在Rt△ABD和Rt△BEF中∠ABD+∠ADB=∠ABD+∠F=90°（直角三角形两个锐角互余）∴∠ADB=∠F在△ABD和△ACF中∴△ABD≌△ACF（AAS）∴BD=FC（全等三角形对应边相等）∴BD=2EC类型二：构造全等三角形2．如图，△ABC与△ABD中，AD与BC相交于O点，∠1=∠2，请你添加一个条件（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），使AC=BD，并给出证明。
人教版初中数学八年级上册第12章全等三角形综合应用经典题解析
GEAC B A BD C 1、已知：如图，四边形ABCD 中，AB=CD ，∠A=2、如图，AP 平分∠EAF ，PC ⊥AE 于点C ，PB ⊥求证：AP·BC=2AB·PB.3、已知：如图，DC ∥AB ，且DC=AE ，E 为AB (2)除△EBC 外，请再写出两个与△AED4、如图，在△ABC 中，BG=CG ，∠ACG=∠ABG5、如图，已知AB ＝DC ，AC ＝DB ，BP ＝CPAE=AB ，AF=AC 。
，CN=AB. AD 是整数，求AD 的长. ，F 是CD 中点，求证：∠BAF=∠EAF. ，求证：∠B=2∠C. AB CFA NEM BC F DABECA EB D F 11、已知：AD 平分∠BAC ，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC.12、已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE.13、如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上，求证：BC=AB+DC.14、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=100°，∠B 的平分线交AC 于D ，求证：AD+BD=BC.15、如图所示，AB ∥CD ，在AB 、CD 、BC 上各有一点E 、F 、P ，且BE ＝CF ，P 是BC的中点，试说明三点E 、F 、P 恰好在一条直线上.16、已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC -AB=2BE.18、如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．19、已知：如图，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证：AE ＝AF.20、如图，在四边形ABCD 中，∠A=60º，AD+BC=AB=CD=2，求该四边形的面积.C AB D E B DC C B A DE DCA FB E D C1 2 AB EC P•A EB ••CP DA CB21、如图，在四边形ABCD 中，AB=AC ，∠ABD=60°，∠ADB=75°，∠BDC=30°，求∠DBC的度数.22、P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC ＞AB ，求证：PC -PB ＜AC -AB.23、如图，P 是∠MAN 平分线上一点，PB ⊥AM 于点B ，点C 、D 分别在AM 、AN 上，∠ACP+∠ADP=180°，若AB=3cm ，求AC+AD 的长.24、如图在正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，MN ⊥MD ，BN 平分∠CBE ，求证：MD=MN.25、如图，已知B 、C 、E 三点在同一条直线上，△ABC 与△DCE 都是等边三角形.其中线段BD 交AC 于点G ，线段AE 交CD 于点F. 求证：(1)AE=BD ；(2)GF ∥BE.26、如图，△ABC 中，AB=AC ，点E 在AB 上，点F 在AC 延长线上，BE=CF ，连接EF ，交BC 于点D ，求证：DE=DF.27、如图，∠AOB=30°，OA=1，OB=3，点M 、N 分别为∠AOB 两边上的动点，求AN+NM+MB 的最小值.28、已知等边△ABC 内一点M ，AM=1，BM=3，CM=2，求∠AMC.29、如图，四边形ABCD 中AB ∥CD ，AB≠CD ，BD=AC ，求证：AD=BC.30、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，AE ＝CE ．求证：（1）△AEF ≌△CEB ；（2）AF ＝2CD ．A B D C DACMB AD BCEA MD E B CN A C MP BA M DC ENE A BM D CN31、在△ABC 中,∠ACB=90°,BC=AC,直线MN 经过点C,且AD ⊥MN 于D,BE ⊥MN 于E.(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时,求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD+BE. (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明； 若不成立，说明理由.32、求证：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高.33、如图，在△ABC 中，CA=CB ，∠ACB=90°，E 、F 分别是CA 、CB 边上的点且AE=2CE ，将BF=2CF ，△ECF 绕点C 逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到△MCN ，连接AM ，BN ．(1)求证：AM=BN ；(2)当MA ∥CN 时，若AC=3，求AM 的长．34、如图，在长方形ABCD 中，AB=5，BC=7，点E 是AD 上一个动点，把△BAE 沿BE 向长方内部折叠，当点A 的对应点A1恰落在∠BCD 的平分线上时，求CA1的长.【提示：若a·b =0，则a =0或b =0】35、如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，CD ⊥AB 于点D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于点 E ，与CD 相交于点F ，点H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G .(1)求证：BF=AC ； (2)求证：CE=0.5BF ；(3)CE 与BG 存在怎样的数量关系？试证明你的结论.36、如右图，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落在C′的位置上，(1)若AB=4，BC=8， 求重合部分△EBD 的面积；(2)若CD=2，∠ADB=30°，求DE 的长．37、正方形ABCD 和正方形AEFG 有公共顶点A ，将正方形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF ，BF ，如图。
全等三角形在生活中的应用
全等三角形在生活中的应用在全等图形中，全等三角形是最基本，应用最广泛的一类图形，利用全等三角形的有关知识，不仅可以帮助我们进行决策，还可以帮助我们制作一些仪器，现举例说明这个问题，供同学们学习时参考．一、仪器我也会做例1 如图1是小亮做的一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线．你能说明其中的道理吗？分析：由已知条件易得△ABC 和△ADC 全等，由全等三角形的对应角相等，可知∠BAC=∠DAC ，即AE 是角平分线．解：已知AB=AD ，BC=DC ，又因为AC 是公共边，所以△ABC ≌△ADC ，所以∠BAC=∠DAC ．所以AE 是角平分线．评析：利用三角形全等的知识，常常可以说明两个角相等的问题．二、巧测内口直径例2 小红家有一个小口瓶（如图2所示），她很想知道它的内径是多少？但是尺子不能伸在里边直接测，于是她想了想，唉！有办法了．她拿来了两根长度相同的细木条，并且把两根长木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动，这样只要量出AB 的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少．你知道这是为什么吗？请说明理由．（木条的厚度不计）分析：只要量出AB 的长，就知道内径是多少？显然只需要说明AB 和CD 相等就行． 解：连结AB ，CD ，因为AO=DO ，BO=CO ， 图 1 图2又因为∠AOB=∠DOC，所以△ABO≌△DCO（SAS）．所以AB=CD，也就是AB的长等于内径CD的长．评析：利用三角形全等的知识，可以说明线段长相等的问题．三、距离相等的解释例3 如图3，从小丽家（C处）到学校A和菜市场B的夹角∠C是锐角，又知道从小丽家到学校、菜市场的距离相等，小丽说学校到路段BC的距离AD与菜市场到路段AC的距离BE相等，你认为她说的有道理吗？请说明理由．分析：只要能说明AD与BE相等，就说明她说的有道理．解：小丽说的有道理，理由如下：图3 已知AC=BC，因为∠ADC=∠BEC=90°，又因为∠C是公共角，所以△ACD≌△BCE，所以AD=BE．即学校到路段BC的距离与菜市场到路段AC的距离相等．你还知道全等三角形有哪些应用，说出来和同学们交流交流！应把握的两种模型利用三角形全等测距离，主要有以下两种模型：一、视线模型当需要测量距离的两个点中有一个点无法接近时，常采用这种方法. 视线法简便易行，但有一定的误差，一般在仅适应于目测的情况下使用. 如：例1如图1所示，在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为用炮火实施定点轰炸，需要测量我军阵地与敌军碉堡隔的距离，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来一个办法，他面向碉堡方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐，正好落在碉堡的底部，然后转过一个角度，身体保持刚才的姿势，使视线落在我军一岸的某一点上，接着他用步测法测出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡之间的距离.你能解释其中的道理吗？解：这个战士实际上是运用了全等三角形的知识. 要说明其中的道理，首先要根据实际情景建立数学模型，将情景中示意图抽象为几何图形.如图2所示，我军阵地与敌军碉堡之间的距离无法测量，即AC不可测量，但线段FD的长度可以测得，又因为战士与地面是垂直的，也就是∠BCA＝∠EFD＝90°，另外战士的身高与姿态是不变的，所以BC＝EF，∠ABC＝∠FED.依据“SAS”可知△ABC≌△DEF，所以AC＝FD.所以只要测得FD的距离，就可得到AC的距离.这就是“视线法”的基本模型与解题原理.二、构图模型当需要测量距离的两点均可到达，但两点之间不能通过直接测得距离时，可通过构造两个全等的三角形，进行间接的测量.构图法间接测量的结果比较准确.如：例2如图3所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量这两点之间的距离，但绳子不够长，老师为他出了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B 两点的点C，连接AC并延长到点D，使DC＝AC；连接BC并延长BC到点E，使CE＝CB，连接DE并测出它的长度，DE的长度就是A，B之间的距离.你能说明其中的道理吗？解：池塘两端的A点和B点不好直接测量，取一个可以直接到达A，B两点的点C，连接AC并延长的D，使DC＝AC；连接BC并延长BC到点E，使CE＝CB，这样在△ABC 与△DEC中，有CA＝CD，CB＝CE，且∠ACB＝∠ECD，则依据“SAS”可得△ABC≌△DEC，从而DE＝AB，因为DE是可直接测得的，这样即可得到AB的距离.这就是“构图法”的基本模型与解题原理.。
沪科版八年级上册数学14.2.6 全等三角形的判定方法的综合运用2教案
14.2 三角形全等的判定6.全等三角形的判定方法的综合运用教学目标1. 知识与技能熟练运用判定两个三角形全等的方法，能够将文字叙述转化为符号语言并能画出相应图形。
2. 过程与方法经历运用判定两个三角形全等的方法的过程，熟练掌握两个三角形全等的判定方法3. 情感态度与价值观感受数学思想，激发学生的求知欲，培养良好的逻辑思维能力教学重点三角形全等判定方法的运用教学难点将文字叙述转化为符号语言并画出相应图形。
教学过程一、例题分析1．P 109 例8. 已知:如图AB=CD,BC=DA,E 、F 是AC 上的两点，且AE=CF求证：BF=DE分析：本题需要两次证明三角形全等，首先证明△ABC ≌△CDA(SSS)得出∠1=∠2，再由“边角边”定理证明△DAE ≌△BCF 最后证出BF=DE证明：在△ABC 和△CDA 中∵ ⎪⎩⎪⎨⎧===（公共边）（已知）已知AC CA DA BC CD AB )( ∴ △ABC ≌△CDA （SSS ）∴ ∠1=∠2 (全等三角形的对应角相等)在△BCF 和△DAE 中∵ ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=（已知）（已证）已知AE CF DA BC 21)( ∴ △BCF ≌△DAE (SAS)∴ BF=DE (全等三角形的对应边相等)2．例9 证明：全等三角形的对应边上的高相等分析：本题关键是写出已知、，然后进行证明已知:如图△ABC ≌△A ’B ’C ’,AD,A ’D ’分别是 △ABC 和△A ’B ’C ’的高， 求证：AD=A ’D ’B'证明： ∵ △ABC ≌△A ’B ’C ’（已知）∴ AB=A ’B ’ ∠B=∠B ’（ 全等三角形的对应边、对应角相等） ∵ AD 、A ’D ’ 分别是 △ABC 和△A ’B ’C ’的高∴ ∠ADB=∠A ’D ’B ’=90° （垂直的定义）在△ABD 和△A ’B ’D ’ 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠（已证）（已证）已证''''')('B A AB BD A ADB B B ∴ △ABD ≌△A ’B ’D ’, (AAS)∴ AD=A ’D ’ （全等三角形的对应边相等）二、课堂练习P 110 练习 1. 2. 3. 4三、课堂小结本节课主要学习了选择合适的判定定理证明相应问题；以及将文字题转化为符号语言，并与图形结合，写出已知、求证。
人教版八年级数学上册专题(三) 全等三角形判定与性质的综合运用
类型三：证明两直线平行
4．如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD.求证：AB∥CD.
解：在△DOC 与△BOA 中，O∠CD＝OOC＝ A，∠BOA， OD＝OB，
∴△DOC≌△BOA(SAS)，∴∠D＝∠B，∴AB∥CD
类型四：证明两直线互相垂直 5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点， 将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别 与A，D重合，连接BE，EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证 明你的猜想． 解：BE＝EC，BE⊥EC，证明：∵AC＝2AB，D是AC的中点，∴AB＝ AD＝CD，∵∠EAD＝∠EDA＝45°，∴∠EAB＝∠EDC＝135°，∵EA＝ ED，∴△EAB≌△EDC(SAS)，∴∠AEB＝∠DEC，EB＝EC，∴∠BED＋ ∠DEC＝∠BED＋∠AEB＝90°，∴BE⊥EC
3．如图，AC⊥AD，BC⊥BD，OE⊥CDபைடு நூலகம்AC＝BD.求证：DE＝CE.
解：∵AC⊥AD，BC⊥BD，∴∠A＝∠B＝90°，在 Rt△ADC 和 Rt△BCD 中，DACC＝＝CBDD，，∴Rt△ADC≌Rt△BCD(HL)，∴∠ACD
＝∠BDC，在 Rt△ODE 和 Rt△OCE 中，∠∠OOEDDE＝＝∠∠OOECCE＝，90°，∴ OE＝OE，
∴∠A＝∠D
类型二：证明两线段相等 2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD＝BC， CE⊥BD于点E.求证：AD＝BE. 解：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，又CE⊥BD，∴∠BEC＝90°， 又∵∠A＝90°，∴∠A＝∠BEC，又BD＝CB，∴△ABD≌△ECB(AAS)， ∴AD＝BE
八年级数学上册《三角形全等的判定和性质综合应用》教案、教学设计
（三）情感态度与价值观
1.积极主动：使学生树立积极主动的学习态度，养成良好的学习习惯，不断提高学习效率；
2.勇于探索：培养学生勇于探索、敢于创新的精神，使学生在面对困难和挑战时，能够保持积极向上的心态；
3.知识尊重：教育学生尊重知识、尊重科学，遵循客观规律，树立正确的价值观；
4.作业要求：
-学生在完成作业时，要注意书写规范，保持解答过程的简洁和清晰；
-对于提高作业和拓展作业，学生可以充分利用课余时间，进行小组合作、讨论交流，共同完成任务；
-教师将对学生的作业进行认真批改，并及时给予反馈，帮助学生发现和纠正错误。
5.作业评价：
-评价作业时，注重学生的思考过程和参与程度，鼓励创新思维和团队合作；
-提供丰富的习题和案例分析，帮助学生巩固知识，提高解题能力；
-建议学生使用几何画板等软件，进行自主探索和实验，加深对几何知识的理解。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：
-通过展示生活中全等三角形的实例，如建筑物的三角结构、拼图游戏等，引发学生对三角形全等的思考；
-提问：“同学们，你们在生活中遇到过全等三角形吗？它们有什么特点？”让学生分享自己的观察和发现。
4.部分学生对团队合作、交流分享的学习方式还不够熟悉，教师需在教学过程中加强引导和培养。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.教学重点：
-理解并掌握三角形全等的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）；
-能够运用三角形全等的判定方法解决实际问题；
-培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
在教学过程中，教师应注重引导学生通过自主探究、合作交流、实践操作等学习方法，培养以下过程与方法：
全等三角形的性质与判定的综合应用
全等三角形的性质与判定的综合应用全等三角形的对应角、对应边是相等的，全等三角形的判定是“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”，在说明线段相等或角相等时，常常需要综合运用全等三角形的性质和判定，下面举例予以说明。
一、说明线段相等例1、如图1，在△ABC 与△ABD 的顶点A 和D 均在BC 的同旁，AB=DC ，AC=DB ，AD 与BC 相交于O 点，则OA 与OD 相等吗若相等，请说明理由。
分析：要使OA=OD ，可分析△ABO 与△DCO 是否全等，但是条件中有一组边对应相等（AB=DC ），一组角对应相等（对顶角），显然不具备全等的条件。
但由已知条件可推出△ABC ≌△DCB ，再根据全等的性质可得∠A=∠D ，再根据全等三角形的判定“AAS”推出△ABO ≌△DCO ，从而得到OA=OD 。
解：OA=OD ，理由如下：在△ABC 和△DCB 中，因为AB=DC ，AC=BD ，BC=CB ，所以△ABC ≌△DCB （SSS ），所以∠A =∠D ，在△ABO 与△DCO 中因为∠A =∠D ，∠AOB=∠DOC ，AB=DC所以△ABO ≌△DCO ，所以OA=OD点评：本题考查了全等三角形的判定和性质。
说明两条线段相等时，可考虑着两条线段所在的两个三角形是否全等，若由已知条件不能直接说明这两个三角形全等时，可以由已知条件先推出其它的三角形全等，再由全等三角形的性质得到一些线段或角相等，为说明前面的三角形全等提供条件。
二、说明角相等例2、如图2，AB 、MN 与CD 相交于点O ，OA=OB ，OM=ON ，试问：∠D 与∠C 相等吗若相等，请进行说明理由. O D C B A 图1分析：要得到∠D=∠C，只需说明△BOD≌△AOC Array即可，但是由已知条件不能直接说明这两个三角形全等，但是由已知条件可推出△BON≌△AOM，由全等三角形的性质得到∠A=∠B，再结合OA=OB，∠AOC=∠BOD，即可说明△BOD≌△AOC。
全等三角形性质与判定综合应用【精品】
全等三角形的性质与判定综合应用
1.如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD=CE．（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）若∠D=50°，求∠B的度数．
2.
如图，∠BAC=
∠DAE，∠ABD=∠ACE，BD=CE，试判断AB与AC的大小关系，并说明理由．
3.如图，已知AB=AC，AD=AE，BD=CE，且B、D、E三点共线，求证：∠3=∠1+∠2.
4.如图，已知AB⊥DC于点B，AB=DB，点E在AB上，BE=BC，延长DE，交AC于点F，求证：DE=AC，DE⊥AC．
5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E．AD⊥CE 于点D．
求证：DE=AD-BE ．
6.如图，已知AD∥BC，点E为CD上一点，AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA，BE的延长线交AD的延长线于点F．（1）求证：△ABE≌△A FE；（2）求证：AD+BC=AB．
7.如图所示，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，且AE平分∠BAC，AF=AB，求证：EF∥BC。
8.如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM =CN，AM交BN于点P．（1）求证：△ABM≌△BCN；（2）求∠APN
的度数．
9.如图，已知AB=AE，BC=ED，CF=FD，AC=AD．求证：∠BAF=∠EAF.
10.如图，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE．
求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）∠CBF=∠FEC。
全等三角形在实际生活中的应用
全等三角形在实际生活中的应用三角形全等在解决实际问题中有广泛的应用，如测量无法直接测量的距离时，可根据三角形全等进行转化.有许多图形分割问题，也蕴含着全等思想.一、测量中的全等三角形例1．图1为人民公园中的荷花池,现要测量此荷花池两旁A 、B 两棵树间的距离(我们不能直接量得).请你根据所学知识,以卷尺和测角仪为测量工具设计一种测量方案.要求:(1)画出你设计的测量平面图；(2)简述测量方法，并写出测量的数据(长度用,,,c b a …表示；角度用,,,γβα…表示)；(3)根据你测量的数据,计算A 、B 两棵树间的距离.分析：此题的测量方法很多，这里用全等知识来解决，方案如图2，步骤为：（1）在地上找可以直接到达的一点O ，（2）在OA 的延长线上取一点C ，使OC=OA ；在BO 的延长线上取一点D ，使OD=OB ；（3）测得DC=a ，则AB=a ． 点评：本题是一道全开放式的设计方案题，它的解题策略非常多，可以利用三角函数、三角形中位线定理、全等三角形、三角形相似等许多知识，本题来源于课本、来源于生活，可以激发学生“学有用的数学”，更激发学生的学习热情和创新热情以及求知欲望．例2．如图3所示，在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为用炮火实施定点轰炸，需要测量我军阵地与敌军碉堡隔的距离，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来一个办法，他面向碉堡方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐，正好落在碉堡的底部，然后转过一个角度，身体保持刚才的姿势，使视线落在我军一岸的某一点上，接着他用步测法测出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡之间的距 B A C D O 图2 Ａ • • • Ｂ图1 图3离。
你能解释其中的道理吗？解：这个战士实际上是运用了三角形全等的知识 . 要说明其中的道理，首先要根据实际情景建立数学模型，将情景中示意图抽象为几何图形。
如图4所示，我军阵地与敌军碉堡之间的距离无法测量，即AC不可测量，但线段FD 的长度可以测得，又战士与地面是垂直的，也就是∠BAC ＝∠EFD ＝900，另外战士的身高与姿态是不变的，所以BC ＝EF ，∠ABC ＝∠FED . 依据“SAS”可知△ABC ≌△DEF ，所以AC ＝FD . 所以只要测得FD的距离，就可得到AC 的距离 .二、修路中的全等三角形例3．如图5，有一块不规则土地ABCD ，分别被甲、乙二人承包，一条公路GEFH 穿过这块土地，EF 左边是甲，右边是乙，AB ∥CD.为方便通行，决定将这条公路尽量修直，但要求甲、乙二人的土地面积不变.请你设计一种方案，解决这个问题，并说明方案正确的理由.分析：将公路修直并不困难，关键是要保持甲、乙二人的土地面积不变.这里，我们应注意充分利用AB ∥CD 这一条件来构造全等三角形.解：取EF 的中点O ，连接GO 并延长交FH 于点M ，GM 就是修直后的公路.理由是：设GM 分别交AB 、CD 于点P 、Q ，由AB ∥CD ，可得∠PEO ＝∠QFO ，又因为EO ＝FO ，∠EOP ＝∠FOQ ，故△EOP ≌△FOQ ，所以这个方案能保持甲、乙二人的土地面积不变.三、其他问题中的全等三角形例4．如图6，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，请你设计一个最省事的配玻璃方案，并说明理由.解：最省事的配玻璃方案是带着碎玻璃块③去玻璃店.理由是：玻璃块③含有一条完整的边BC 和夹BC 的两个图 5图4图6完整的角，根据ASA，只需将∠B和∠C的不完整的边延长相交即可，得到的三角形与原三角形全等.例5．如图7，点C是路段AB的中点，两人从C同时出发以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D，E与路段AB的距离相等吗？为什么？分析：因为两人是从点C同时出发，且同时到达D，E两点，所以CD=CE.要说明DA与EB是否相等，则只需说明△ADC和△BEC是否全等.解：D，E与路段AB的距离相等.理由：因为点C是AB的中点，所以CA=CB，又CD=CE，DA⊥AB，EB⊥AB，所以Rt△ADC≌Rt△BEC（Hl）.所以DA=EB.即D，E与路段AB的距离相等.例6．如图8是用两根拉线固定电线杆的示意图，其中，两根拉线的长AB=AC，BD和DC的长相等吗？为什么？分析：因为电线杆和地面垂直，它和两根拉线分别构成两个直角三角形，所以通过全等三角形的知识解决.解:BD和DC相等.因为AD⊥BC,所以∠ADB=∠ADC=90°,又AB=AC,AD=AD,所以Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).所以BD=DC.例7．如图9，海岛上有A，B两个观测点，点B在点A 的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B 图7图8图9的正北方，从观测点A看海岛C、D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C、D 的视角∠CBD相等，那么海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等吗？为什么？分析：本题是一道和三角形全等有关的实际问题，要看海岛C、D到海岸AB的距离是否相等，则要看△ABC与△BAD是否全等.解：海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等.理由：由已知得∠CAB=∠DBA=90°，又∠CAD=∠CBD，所以∠DAB=∠CBA，在Rt△ABC和Rt△BAD中，∠CAB=∠DBA，AB=BA，∠CBA=∠DAB，所以△ABC≌△BAD（ASA），所以CA=DB，即海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等.。
沪科版八年级数学上册：14.2.6全等三角形的判定方法的综合运用课件
探究点二：灵活选用合适方法证明三角形全等 例4：如图，在△ABE中，AB=AE，AD=AC， ∠BAD=∠EAC，BC、DE交于点O． 求证：（1）△ABC≌△AED； （2）OB=OE．
灿若寒星
解析：（1）由∠BAD=∠EAC可知 ∠BAC=∠EAD，所以有
可证△ABC≌△AED（SAS）； （2）由（1）知∠ABC=∠AED，AB=AE可 知∠ABE=∠AEB，所以∠OBE=∠OEB， 则OB=OE． 证明：（1）∵∠BAD=∠EAC， ∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC， 即∠BAC=∠EAD． 在△ABC和△AED中，
灿若寒星
解：（1）如果①③，那么②；如果②③，那么①． （2）对于“如果①，③，那么②”证明如下： ∵BE∥AF，∴∠AFD=∠BEC． ∵AD=BC，∠A=∠B，∴△ADF≌△BCE． ∴DF=CE．∴DF﹣EF=CE﹣EF即DE=CF． 对于“如果②，③，那么①”证明如下： ∵BE∥AF，∴∠AFD=∠BEC． ∵DE=CF，∴DE+EF=CF+EF即DF=CE． ∵∠A=∠B，∴△ADF≌△BCE． ∴AD=BC．
灿若寒星
方法总结： （1）已知一边一角，可任意添加一个角的条件，用AAS或 ASA判定全等；添加边的条件时只能添加夹这个角的边，用 SAS判定全等．若添加另一边即这个角的对边，符合SSA的 情形，不能判定三角形全等． （2）添加条件时，应结合判定图形和四种方法：SSS、SAS、 ASA、AAS，注意不能是SSA的情形．
灿若寒星
【类型二】结论开放
例2：如图，点F在BC上，AB=AE，CB=FE，
∠EAB=∠CAF，请你任意写出一个正确结
论：
．
灿若寒星
人教版八年级上册12.1全等三角形的性质与判定的综合运用教学设计
- HL（Hypotenuse-Leg）：在直角三角形中，如果斜边和一个锐角的对边相等，那么这两个直角三角形全等。
（三）学生小组讨论
1.分组讨论：将学生分成若干小组，让每个小组针对全等三角形的性质和判定方法进行讨论。
2.教师归纳：教师对本节课的全等三角形的性质、判定方法以及应用进行总结。
3.强调重点：全等三角形的性质和判定方法是解决几何问题的有力工具，要熟练掌握。
4.布置作业：布置具有代表性的作业，巩固所学知识，提高学生的应用能力。
五、作业布置
为了巩固全等三角形的性质与判定的综合运用，提高学生的几何思维能力和解决问题的实践能力，特布置以下作业：
- SSS（Side-Side-Side）：如果两个三角形的三组对应边分别相等，那么这两个三角形全等。
- SAS（Side-Angle-Side）：如果两个三角形有两组对应边和它们夹的对应角相等，那么这两个三角形全等。
- ASA（Angle-Side-Angle）：如果两个三角形有两组对应角和它们夹的对应边相等，那么这两个三角形全等。
2.在判断两个三角形是否全等时，对判定方法的选用和运用不够熟练。
3.部分学生对几何图形的观察和分析能力较弱，影响解题效果。
针对以上学情，教师在教学过程中应注重以下方面：
1.强化性质的理解，通过实例分析、变式训练等方法，帮助学生深入掌握全等三角形的性质。
2.着重培养学生的逻辑推理能力，引导学生学会运用判定方法进行推理、论证。
3.教学评价：
-课堂表现：关注学生在课堂上的参与度、思考问题和解决问题的能力。
-作业评价：布置具有代表性的作业，及时批改、反馈，了解学生对知识的掌握情况。
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在△ABC1和△C2DE中，
∴△ABC1≌△C2DE，
∴∠A＝∠EC2D，
又∠A＋∠AC1B＝90°，
∴∠EC2D＋∠AC1B＝90°，
∴∠C1MC2＝90°，
∴AC1⊥EC2．
4、解决问题
例2、（2015北京一五六中学期中）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
（2）①如图2，α+β=180°；理由如下：
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE；
在△BAD与△CAE中，
AB=AC
∠BAD=∠CAE
AD=AE
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B=∠ACE，β=∠ABC+∠ACB，
∴α+β=180°．
②当D在线段BC右侧时，如图所示
五、小结
通过今天的学习，用你自己的话说说你的收获，同时也可以谈谈你还有没有什么困惑……
漳州正兴学校2016-2017学年
七年级数学备课组教案
课题
4.3.4三角形全等的综合运用
教学目标
1、经历探索解决三角形全等的综合问题的过程，总结一般步骤。
2、灵活运用解题步骤和技巧进行对复杂问题的分析与解决。
教学重点
利用三角形全等的性质解决问题
教学难点
对问题进行分类讨论
教学设计
设计意图
教学内容
教学方法
先证全等
?
再得边（角）相等
?
利用边（角）相等推理结论
提升解题难度，
进一步巩固学习的内容，培养学生对难题的解题经验，通过将数学的思考融入不同层次的问题之中，从中培养不同层次的学生应用意识和解决问题的能力
通过回顾对整堂课的知识进行梳理，体验学习的成就感。
利用课后梳理，巩固知识
板
书
设
计
三角形全等的综合运用
分析：（1）可以证明△BAD≌△CAE，得到∠B=∠ACE，证明∠ACB=45°，即可解决问题．
（2）证明△BAD≌△CAE，得到∠B=∠ACE，β=∠ABC+∠ACB，即可解决问题．
（3）证明△BAD≌△CAE，得到∠ABD=∠ACE，借助三角形外角性质即可解决问题．
解答：解：（1）∠BCE=90°，
1、三角形全等的几个判定方法：
①SSS②SAS③ASA④AAS
2、三角形全等的“用途”
“对应边相等，对边（角）相等，利用边（角）相等推理结论
4、常用技巧：等量代换，联系上文
教
学
反
恩
一、复习
1、三角形全等的几个判定方法：
①SSS②SAS③ASA④AAS
2、三角形全等的“用途”
“对应边相等，对应角相等”
2、导入
①师：从分析三角形全等的用途中，可以得到什么启发呢？
生：由三角形全等一定要想到“对应边相等，对应角相等”
②师：同学们回答的很好，那么由此我们就能得到一般问题的解题步骤了：
先证全等
（1）（☆☆）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=______度；
（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．
①（☆☆☆）如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②（☆☆☆☆☆）当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请画出图形并直接写出你的结论．
6、作业
今天的作业就是，将课堂上的两个问题的过程理清楚，做在作业纸上。
教师提问，学生回答
创设问题情境，激发学生思考
采用教师点拨，学生合作探究学习的方式，实现学生自主学习的目的，让学生亲身体验解题的一般步骤。
学生思考，教师点拨题目之间的联系、提示思路，让学生理清解题思路
回顾旧知识
激发学生兴趣
从相对简单的问题入手，让学生体悟解题的一般步骤：
理由是：∵AB⊥BD，
∴∠ABC=90°，
∵ED⊥BD，
∴∠EDC=90°，
在△ABC和△CDE中
，
∴△ABC≌△CDE（SAS），
∴∠A=∠ECD，
∵∠B=90°，
∴∠A+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠ECD=90°，
∴∠ACE=90°，
∴AC与CE垂直．
（2）成立．如题图(2)，
∵AB⊥BD，ED⊥BD，
↓
再得边（角）相等
↓
利用边（角）相等推理结论
3、探索问题
例1、如图1，已知AB⊥BD,ED⊥BD,AB=CD,BC=DE
(1)请说明△ABC≌△CDE,并判断AC是否垂直CE？
（2）若将△ABC沿BC方向平移至如图2的位置时，且其余条件不变，则A1C1是否垂直于CE？请说明为什么？
解：（1）AC与CE垂直；