全等三角形在生活中的应用

全等三角形在生活中的应用

在全等图形中，全等三角形是最基本，应用最广泛的一类图形，利用全等三角形的有关知识，不仅可以帮助我们进行决策，还可以帮助我们制作一些仪器，现举例说明这个问题，供同学们学习时参考．

一、仪器我也会做

例1 如图1是小亮做的一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ，

将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线

AE ，AE 就是角平分线．你能说明其中的道理吗？

分析：由已知条件易得△ABC 和△ADC 全等，由全等三角形的对应

角相等，可知∠BAC=∠DAC ，即AE 是角平分线．

解：已知AB=AD ，BC=DC ，

又因为AC 是公共边，所以△ABC ≌△ADC ，

所以∠BAC=∠DAC ．

所以AE 是角平分线．

评析：利用三角形全等的知识，常常可以说明两个角相等的问题．

二、巧测内口直径

例2 小红家有一个小口瓶（如图2所示），她很想知道它的内径是多

少？但是尺子不能伸在里边直接测，于是她想了想，唉！有办法了．

她拿来了两根长度相同的细木条，并且把两根长木条的中点固定在一起，

木条可以绕中点转动，这样只要量出AB 的长，就可以知道玻璃瓶的内径是

多少．你知道这是为什么吗？请说明理由．（木条的厚度不计）

分析：只要量出AB 的长，就知道内径是多少？显然只需要说明AB 和CD 相等就行． 解：连结AB ，CD ，

因为AO=DO ，BO=CO ， 图 1 图2

又因为∠AOB=∠DOC，

所以△ABO≌△DCO（SAS）．

所以AB=CD，也就是AB的长等于内径CD的长．

评析：利用三角形全等的知识，可以说明线段长相等的问题．

三、距离相等的解释

例3 如图3，从小丽家（C处）到学校A和菜市场B的夹角∠C是锐角，又知道从小丽家到学校、菜市场的距离相等，小丽说学校到路段BC的距离AD与菜市场

到路段AC的距离BE相等，你认为她说的有道理吗？请说明理由．

分析：只要能说明AD与BE相等，就说明她说的有道理．

解：小丽说的有道理，理由如下：

图3 已知AC=BC，

因为∠ADC=∠BEC=90°，

又因为∠C是公共角，

所以△ACD≌△BCE，

所以AD=BE．

即学校到路段BC的距离与菜市场到路段AC的距离相等．

你还知道全等三角形有哪些应用，说出来和同学们交流交流！

应把握的两种模型

利用三角形全等测距离，主要有以下两种模型：

一、视线模型

当需要测量距离的两个点中有一个点无法接近时，常采用这种方法. 视线法简便易行，但有一定的误差，一般在仅适应于目测的情况下使用. 如：

例1如图1所示，在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为用炮火实施定点轰炸，需要测量我军阵地与敌军碉堡隔的距离，在不能过河测量又没有任何测量工具的

情况下，一个战士想出来一个办法，他面向碉堡方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐，正好落在碉堡的底部，然后转过一个角度，身体保持刚才的姿势，使视线落在我军一岸的某一点上，接着他用步测法测出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡之间的距离.你能解释其中的道理吗？

解：这个战士实际上是运用了全等三角形的知识. 要说明其中的道理，首先要根据实际情景建立数学模型，将情景中示意图抽象为几何图形.如图2所示，我军阵地与敌军碉堡之间的距离无法测量，即AC不可测量，但线段FD的长度可以测得，又因为战士与地面是垂直的，也就是∠BCA＝∠EFD＝90°，另外战士的身高与姿态是不变的，所以BC＝EF，

∠ABC＝∠FED.依据“SAS”可知△ABC≌△DEF，所以AC＝FD.所以只要测得FD的距离，就可得到AC的距离.

这就是“视线法”的基本模型与解题原理.

二、构图模型

当需要测量距离的两点均可到达，但两点之间不能通过直接测得距离时，可通过构造两个全等的三角形，进行间接的测量.构图法间接测量的结果比较准确.如：例2如图3所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量这两点之间的距离，但绳子不够长，老师为他出了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B 两点的点C，连接AC并延长到点D，使DC＝AC；连接BC并延长BC到点E，使CE＝CB，连接DE并测出它的长度，DE的长度就是A，B之间的距离.你能说明其中的道理吗？

解：池塘两端的A点和B点不好直接测量，取一个可以直接到达A，B两点的点C，连接AC并延长的D，使DC＝AC；连接BC并延长BC到点E，使CE＝CB，这样在△ABC 与△DEC中，有CA＝CD，CB＝CE，且∠ACB＝∠ECD，则依据“SAS”可得△ABC≌△DEC，从而DE＝AB，因为DE是可直接测得的，这样即可得到AB的距离.

这就是“构图法”的基本模型与解题原理.