7年级春季班第12讲：全等三角形的综合 (教案教学设计导学案)

初一数学春季班（教师版）

本节课通过推理和专题训练，学会运用全等三角形的判定方法去解决三角形全等的综合问题．通过添加辅助线解决相关的边角证明问题，本节的内容相对综合，难度稍大．

全等三角形综合主要是通过全等得出结论，进而求出相应的边和角之间的关系．对于稍复杂的会通过添加平行线，倍长中线或截长补短等方法，解决综合问题．

【例1】已知：AE＝ED，BD＝AB，试说明：CA＝CD．

【难度】★

【答案】见解析．

【解析】在△ABE与△DBE中，

，，

，．

在△ACE与△DCE中，

，，

（全等三角形的对应边相等）．

【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理的应用．

【例2】如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，试说明：AE＝DE．【难度】★

【答案】见解析．

【解析】在△ABC和△DCB中，

，∴△ABC≌△DCB（S.S.S），

∴∠ABC=∠DCB．

在△ABE和△DCE中，

，∴△ABE≌△DCE（S.A.S），

∴AE=DE（全等三角形的对应边相等）．

【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理的应用．

【例3】已知：AB∥CD，OE＝OF，试说明：AB＝CD．

【难度】★

【答案】见解析．

【解析】，．

（全等三角形的对应边相等）．

【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的综合应用．

【例4】如图：A、E、F、C四点在同一条直线上，AE=CF，过E、F分别作BE⊥AC、DF⊥AC，且AB=CD，AB∥CD．试说明：BD平分EF．

【难度】★★

【答案】见解析．

【解析】∵AB∥CD，∴∠A=∠C．

在△AGB和△CGD中，

∴ΔAGB≌ΔCGD(AAS)，∴BG=DG．

∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠BEG=∠DFG=90°．

在△BGE和△DGF中，

∴ΔBGE≌ΔDGF(A.A.S)，∴GE=GF，即BD平分EF．

【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的应用．

【例5】如图，已知AD=AE，AB=AC．试说明：BF=FC．

【难度】★★

【答案】见解析．

【解析】

，，．

．

，，

【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的应用．

【例6】如图，在△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．试说明：BD＝CG．

【难度】★★

【答案】见解析．

【解析】

．

．

．

．

．

，，．

，．

【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的综合应用．

【例7】如图1，△ABD和△AEC中，AB=AD=BD，AE=EC=AC，连接BE、CD．（1）请判断：线段BE与CD的大小关系是___________；

（2）观察图2，当△ABD和△AEC分别绕点A旋转时，BE、CD之间的大小关系是否会改变；

（3）观察图3和图4，若四边形ABCD、DEFG都是正方形，猜想类似的结论是______，在图4中证明你的猜想；

（4）这些结论可否推广到任意正多边形（不必证明），如图5，BB1与EE1的关系是_________；它们分别在哪两个全等三角形________________；请在图6中标出较小的正六边形AB1C1D1E1F1的另五个顶点，连接图中哪两个顶点，能构造出两个全等三角形?

【难度】★★★

【答案】（1）；（2）不变；（3），证明见解析；

（4），，连接FF1，可证．

【解析】（3）如图4，

．

在△ADE和△CDG中，

，

【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的综合应用．

【例8】已知△ABC中，AB=AC=6cm，BC=4cm，，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是

否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能

够使△BPD与△CQP全等?

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC 的哪条边上相遇？

【难度】★★★

【答案】见解析．

【解析】（1）①全等，理由如下：

．

在△BPD和△CQP中，，．

②．．

．

（2），

，解得：．

此时点P的运动路程为24厘米．

因为，所以．

即

【总结】本题综合性加强，主要考查了动点与全等三角形判定定理和性质定理的结合，解题时注意分析动点的运动轨迹．

1、倍长中线法；

2、添加平行线构造全等三角形；

3、截长补短构造全等的三角形；

4、图形的运动构造全等三角形．

【例9】已知三角形的两边分别为5和7，求第三边上的中线长x的取值范围．【难度】★★

【答案】．

【解析】．

∵AD是BC边上中线，∴BD=CD．

在△BDE与△CDA中，

∴，∴．

在中，∵，∴，

∴．

【总结】本题主要考查了中线倍长辅助线及三角形三边关系的综合应用．