电磁场、微波技术与天线

在与分析矩形截面波导相同的前提 条件下同样可以得到矢量波动方程
2E k 2E 0 2H k 2H 0
k 2 2
电磁场、微波技术与天线
3-3 圆波导
3
1 圆波导中场方程的求解（2/6）
我们可把矢量波动方程化为关于E和H的各三个标量方程，只
有纵向分量 E和z 求函数。
的H z方程仍具有矢量方程的形式，且只含一个待
Pmn
H
0
J
m
Pmn R
cosm
r
e jz
sin m
3-3 圆波导
12
2 圆波导的传输特性（5/9）
TE类模的截止波长为
c
2R Pmn
圆截面波导导行TEmn波的条件是
c
从以上分析可知，圆截面波导中正规模的截止波长 与c波导
由麦克斯韦方程中两个旋度方程在圆柱坐标系中的展开式， 可得到圆截面波导内场的横向分量用纵向分量表示的关系式 。
E r
1 kc2
j ( E z
r
百度文库
H z
r
)
E H r H
1 kc2
j ( 1
r
E z
H z r
1 kc2
j (
E z
r
H z r
)
1 kc2
j (
E z r
H z )
j(t z)
解式中的常数 A1 , A2 , B要1 ,由B2 波源及边界条件来确定。
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3-3 圆波导
6
1 圆波导中场方程的求解（5/6）
考察 B1 cos m B2 sin m B cos(m 0 )。当 2
时函数值应不变，即
cos(m 0 ) cos[m( 2) 0 ] 参数m应为整数。
电磁场、微波技术 与天线
本节主要内容
1 圆波导中场方程的求解 2 圆波导的传输特性 3 圆波导中三个重要模式
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3-3 圆波导
2
1 圆波导中场方程的求解（1/6）
分析圆截面波导导行电磁波的方法步骤，与分析矩形截面波 导时相似，不过对于圆截面波导采用圆柱坐标系会更加方便。如
图所示，圆截面波导轴线与坐标系z轴重合，其横向有变量r（最 大值为横截面圆半径R）和。
E r
m,n
j
R
Pmn
E 0
J
m
Pmn R
cosm
r
e jz
sin m
E
m,n
j
mR2
rPm2n
E 0
J
m
Pmn R
sin m
r
e jz
cosm
H r
m,n
j
mR
rPm2n
2
E 0
J
m
Pmn R
sin m
r
e jz
cosm
H
m,n
j R
Pmn
E 0
J
m
Pmn R
cosm
式中 J m是(kc第r) 一类m阶贝塞尔函数， N是m第(kc二r) 类m阶贝塞尔
函数（亦称Neumann函数），它们的数学表达式很复杂，通常 只给出函数曲线或函数表。这样就可写出 和E z 的H通 z解
E z H z
[ A1 J
m
(kc
r)
A2
Nm
(kc
r)](B1
cos
m
B2
sin
m )e
方向上场量幅值分布的过零次数。这就是说圆波导中不同模
式波的幅值横向分布式是不一样的。
那么，圆波导中导行TMmn波的条件是
c
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3-3 圆波导
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2 圆波导的传输特性∴（4/9）
TE类模（H波） 圆波导中TE类模式 的场量表达式
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H z
m,n
H
0
J
m
Pmn R
再则，当 r 0，即波导轴线上，解式中 Nm (kcr) |r0
这不符合圆波导内导行波的场量为有限值的事实，因此
这样
A2 0
HEzz
A1Jm (kcr)(B1 cosm B2 s
HE00
J
m
(kcr)
cosm sin m
e
jz
in
m
)e
j(t
z
)
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3-3 圆波导
7
1 圆波导中场方程的求解（6/6）
r
e jz
sin m
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2 圆波导的传输特性（3/9）
用截止波长表示，TM类模式的截止波长c 为
c
2R Pmn
这样对于每一组m和n的取值，就是一个确定的模式，记为
TMmn。标数m和n，其中贝塞尔函数的阶数m表示在横面上 圆周方向上场量幅值分布的驻波数，其中根序数n则表示半径
TM类模（E波） H z 0
E z
E0
J
m
(
Pmn R
cos m
r)
sin m
e jz
Pm，n 即m阶第一类贝塞尔函数的第n个根。
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2 圆波导的传输特性（2/9）
圆波导中TM类模的 场量表达式
E
z
m,n
E 0
J
m
Pmn R
r cos m e jz sin m
m2 )R(r)
0
d 2( ) m 2( ) 0 d 2
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3-3 圆波导
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1 圆波导中场方程的求解（4/6）
() B1 cos m B2 sin m B cos(m 0 )
而含参型贝塞尔（Bessel）方程，其解为
R(r) A1J m (kcr) A2 Nm (kcr)
cosm
r
e jz
sin m
H r
m,n
j
R
Pmn
H
0
J
m
Pmn R
cosm
r
e jz
sin m
H
m,n
j
mR2
r Pmn 2
H
0
J
m
Pmn R
sin m
r
e jz
cosm
E r
m,n
mR2
j r Pmn 2
H
0
J
m
Pmn R
sin m
r
e jz
cosm
E
m,n
j R
3-3 圆波导
4
1 圆波导中场方程的求解（3/6）
将所设解式代入方程，并令
kc 2 k 2 2 2 2
经过整理后可得
r2 R(r)
2R(r) r 2
r R(r)
R(r) r
kc2r
1
( )
2( ) 2
变量分离，得到如下两个常微分方程
r2
d2 R(r) dr 2
r
dR(r) dr
(kc 2r 2
r
)
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2 圆波导的传输特性（1/9）
圆波导不能导行TEM波，因为 E和z 不H z可同时为零，否则将导 致全部场量为零。这一点和矩形截面波导是一致的。
圆波导中也同样可以存在多种模式，因为参数m可以任取整
数。在圆截面波导中 E和z H之 z一为零是可以的，这就是TM类模 和TE类模，统称为正规模。
2 2
E z H z
k 2 E z k 2 H
z
0 0
以关于 E的z 标量方程为例，在圆柱坐标系中展开来写应为
2 E z r 2
1 E z r r
1 r2
2 E z
2
2 E z z 2
k 2 E z
0
用分离变量法求解，设方程解式为
E z H z
R(r)(
)e
j(t z)
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