2022年高考数学二轮复习强化训练 2平面向量与复数

强化训练2 平面向量与复数

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)

1．[2021·河北沧州二模]已知()i －1 z ＝i ，复数z 的共轭复数z －

在复平面内对应的点在( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 2．[2021·湖南六校联考]已知复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为Z 1(3，a )，Z 2(2，1)，且z 1·z 2为纯虚数，则实数a ＝( )

A ．－6

B ．－3

2

C ．6

5

D ．6

3．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，x )，且a ·b ＝－1，则x 的值等于( )

A ．12

B ．－12

C ．32

D ．－32

4．[2021·山东泰安一模]已知i 是虚数单位，若复数z ＝54＋3i

，则z 的共轭复数z －

＝

( )

A ．45 ＋35 i

B ．45 －35 i

C ．－45 ＋35 i

D ．－45 －35

i

5．[2021·石家庄二模]已知i 为虚数单位，复数z ＝1－i 2 021

1－i 2 018

，则z 的虚部为( )

A ．12 B. －12 i

C. －12

D. 12

i

6．[2021·河北衡水中学第二次联考]在五边形ABCDE 中EB → ＝a ，AD →

＝b ，M ，N 分别

为AE ，BD 的中点，则MN →

＝( )

A ．32 a ＋12 b

B ．23 a ＋13 b

C ．12 a ＋12 b

D ．34 a ＋14

b

7．[2021·济南一模]已知单位向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，则a 与b 的夹角为( )

A ．π6

B ．π3

C ．2π3

D ．5π6

8．[2021·山东烟台一模]平行四边形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，∠BAD ＝60°，Q 为CD

中点，点P 在对角线BD 上，且BP → ＝λBD → ，若AP → ⊥BQ →

，则λ＝( )

A ．14

B ．12

C ．23

D ．34

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)

9．[2021·山东德州二模]已知复数z 1＝2

－1＋i

(i 为虚数单位)，下列说法正确的是( )

A ．z 1对应的点在第三象限

B ．z 1的虚部为－1

C ．z 41 ＝4

D. 满足|z |＝|z 1|的复数z 对应的点在以原点为圆心，半径为2的圆上 10．[2021·福建龙岩三模]下列命题中正确的是( )

A ．⎪⎪⎪

⎪2

－1＋i ＝2

B ．复数(1－i)3的虚部是－2

C ．若复数z ＝i 1＋i ，则复数z －

在复平面内对应的点位于第一象限

D ．满足||z ＋3||－z －3 ＝4的复数z 在复平面上对应点的轨迹是双曲线 11．[2021·河北沧州二模]已知平面向量a ＝()2，2 ，b ＝()1，m ，且||2a －b ||＝a ＋b ，则( )

A ．a ·b ＝4

B ．a ·b ＝0

C ．m ＝－1

D ．||b ＝2

12．[2021·河北张家口一模]如果平面向量a ＝(2，－4)，b ＝(－6，12)，那么下列结论中正确的是( )

A ．|b |＝3|a |

B ．a ∥b

C ．a 与b 的夹角为30°

D ．a 在b 方向上的投影为25

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13．[2021·济南一模]已知复数z ＝2＋i

－i

(其中i 为虚数单位)，则||z 的值为________．

14．[2021·广东大联考]已知向量a ＝(1，2)，向量b 与向量a 共线，且a ·b ＝15，则|b |＝________．

15．[2021·山东青岛一模]已知非零向量a ，b 满足|b |＝2|a |，且(a ＋b )⊥a ，则a 与b 的夹角为________．

16．[2021·山东泰安一模]如图，在平面四边形ABCD 中，已知AD ＝3，BC ＝4，E ，F

为AB ，CD 的中点，P ，Q 为对角线AC ，BD 的中点，则PQ → ·EF →

的值为________.

1．解析：∵z ＝i i －1 ＝i ()1＋i －2

＝12 －12 i ，∴z － ＝12 ＋1

2 i ，

复数z 的共轭复数z －

在复平面内对应的点是⎝⎛⎭⎫12，12 ，在第一象限． 故选A. 答案：A

2．解析：因为复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为Z 1（3，a ），Z 2（2，1）， 所以z 1＝3＋a i ，z 2＝2＋i ，

故z 1·z 2＝（3＋a i ）（2＋i ）＝6－a ＋（3＋2a ）i ， 因为z 1·z 2为纯虚数，

所以6－a ＝0且3＋2a ≠0， 解得a ＝6. 故选D. 答案：D

3．解析：因为a ＝（1，2），b ＝（2，x ），所以a·b ＝（1，2）·（2，x ）＝1×2＋2x ＝

－1，解得x ＝－3

2

.

故选D. 答案：D

4．解析：复数z ＝54＋3i ＝5（4－3i ）（4＋3i ）（4－3i ） ＝45 －3

5

i ，

∴z 的共轭复数z － ＝4

5 ＋35

i ，

故选A. 答案：A

5．解析：∵i 4＝1，

∴z ＝1－i 2 0211－i 2 018

＝1－i 2 ＝12 －12 i ，

∴z 的虚部为－1

2

，故选C.

答案：C

6．解析：MN → ＝MA → ＋AB → ＋BN → ＝12 EA → ＋AB →

＋12 BD → ＝12 ()

EA →＋AB → ＋12

()

AB →＋BD → ＝12 EB → ＋12 AD → ＝12 a ＋12

b . 故选C. 答案：C

7．解析：由a ＋b ＋c ＝0，得a ＋b ＝－c ，所以||a ＋b ＝||－c ，即||a ＋b 2＝||a 2＋2a ·b

＋||b 2＝1，所以a ·b ＝－12 ，由a·b ＝||a ||b cos 〈a ，b 〉＝－12 ，得〈a ，b 〉＝2π

3

.

故选C. 答案：C

8．解析：因为Q 为CD 中点，

所以BQ → ＝BC → ＋CQ → ＝AD →

－12

AB → ，

又因为AP → ＝AB → ＋BP → ＝AB → ＋λBD → ＝AB → ＋λ（AD → －AB → ）＝（1－λ）AB → ＋λAD →

，

因为AP → ⊥BQ → ，所以AP → ·BQ → ＝0，即（AD → －12

AB → ）·[（1－λ）AB → ＋λAD →

]＝0，

展开得⎝⎛⎭⎫1－32λ AB → ·AD → －12

（1－λ）AB → 2＋λAD → 2＝0，将AB → ·AD → ＝6，AB → 2＝16，AD → 2＝9代入得，λ＝14

，故选A. 答案：A

9．解析：由题意，复数z 1＝2

－1＋i ＝2（－1－i ）（－1＋i ）（－1－i ）

＝－1－i ，

所以复数z 1在复平面内对应的点（－1，－1）位于第三象限，所以A 符合题意； 由z 1＝－1－i ，可得复数的虚部为－1，所以B 符合题意；

由z 41 ＝（－1－i ）4＝[（－1－i ）2]2＝（2i ）2＝－4，所以C 不正确； 由|z 1|＝（－1）2＋（－1）2 ＝2 ，