导数大题20种主要题型讲解

导数大题20种主要题型讲解
答案详解
：
本题主要考查导数在研究函数中的应用。

（1）求出比较其与的大小，得到的单调性表，于是得到的极值。

（2）将代入到中，并求得当时，此时恒成立，即在单调递增，同理可以得到在上为增函数，则原不等式可化为
在上恒成立，令，对其求导得知若为减函数时其导数恒小于，便可得到的取值范围。

（3）若存在，使得假设成立，也即在上不是单调增或单调减，故，对
求导得到其极小值点为，由于解得此时，此时需证明当，使得即可，此时可取，发现成立，故的取值范围为。

答案详解
（Ⅰ），由是的极值点得，所以。

于是
，定义域为，，函数在上单调递增，且。

因此，当时，；当时，。

所以，在上单调递减，在上单调递增。

（Ⅱ）当，时，，故只需要证明当时，。

当时，函数在单调递增，又，，故在有唯一实根，且。

当时，；当时，；从而当时，取得最小值。

由得：，，故。

综上：当时，。

解析:
本题主要考查函数的求导和函数的单调性的判断。

（Ⅰ）先对函数求导，得导函数，由题，则可得的值，当时，
单调递增，求得的的取值范围即为单调增区间；当时，单调递减，求得的的取值范围即为单调减区间。

（Ⅱ）由分析知，只需证明当时，，此时通过分析函数单调性，求得
即可得证。

例题5：
函数。

（Ⅰ）讨论的导函数零点的个数；
（Ⅱ）证明：当时，。

答案详解
（Ⅰ）的定义域为，（）。

当时，，没有零点；当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增。

又，当满足且时，，故当时，存在唯一零点。

（Ⅱ）由（Ⅰ），可设在的唯一零点为，当时，；当
时，。

故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为。

由于，所以。

故当时，。

解析:
本题主要考查导数的概念及其几何意义以及导数在函数研究中的应用。

（Ⅰ）求导得出的表达式，根据其表达式，对进行分类讨论。

当时，可知没有零点；当时，可知单调递增，且存在使得而，因此
存在唯一零点。

（Ⅱ）由（Ⅰ），可设的最小值在时取到，最小值为。

写出的表达式，再运用均值不等式即可得出。

题型3：先构造，再赋值，证明和式或积式不等式
例题：已知函数。

（1）若，求的值；
（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值。

答案详解
（1）的定义域为，由已知得，。

对求导，得
（），
①若，则恒成立，在上递增，则时，，所以不合题意；
②若，则时，递减，时，，递增，
，令，，时，递增，时，递减，，故当且仅当时，，符合题意。

综上，。

（2）由（1）得在上恒成立，所以，令，即有，因为
，所以若对于任意正整数，，则有，，整数。

解析:
本题主要考查导数在研究函数中的应用。

（1）对分类讨论，利用导数研究函数的单调性，得出满足的的值。

（2）要证不等式等价于，根据（1）中结论，对赋值，得到，从而将放缩成等比数列的前项和，由，知，从而，取最小整数值。

例题：
已知函数发f(x)=(x+1)lnx-ax+2
(1)当a=1时,求在x=1处的切线方程;
(2)若函数f(x)在定义域上具有单调性,求实数a的取值范围;
题型4:恒成立，存在性问题
由此利用导数性质能求出实数a的取值
本题重点考查利用导数研究函数的性质,利用函数的性质解决不等式、方程问题.重点考查学生的代数推理论证能力.解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用.
练习：已知f(x)=xln x,g(x)=-x2+mx-3.
(1)求f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值.
(2)若对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)成立,求实数m的取值范围.
答案详解
解：(1)f′(x)=ln x+1,
令f′(x)=0,得x=.
当x∈(0,),f′(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(,+∞）,f′(x)>0,f(x)单调递增.
因为t>0,t+2>2>,
①当0<t< p="">
②当t≥时,f(x)min=f(t)=tln t.
所以f(x)min=
(2)由2xln x≥-x2+mx-3得m≤2ln x+x+.设h(x)=2ln x+x+(x>0),则
h′(x)=.
令h′(x)=0,得x=1或x=-3(舍),
当x∈(0,1)时,h′(x)<0,h(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递增,
所以h(x)min=h(1)=4.所以m≤h(x)min=4.
的最小值即可.注意不要忽略x>0的条件,导致求导数的方程时产生增根.
练习：设函数，，其中，为自然对数的底数。

（1）讨论的单调性。

（2）证明：当时，。

（3）确定的所有可能取值，使得在区间内恒成立。

答案详解
（1）由题意可得（），设， ......2分
当时，，所以，即在上单调递减；
当时，令，解得，，所以的单调减区间为，单调增区间为。

(4)
分
（2）要证当时，，即，即， ......5分
设，所以，令，解得，所以在上单调递增，所以。

当时，，所以当时，成立。

......8分
（3）由得， ......9分
设，由题意知在上恒成立。

因为，所以必须成立，又，所以，所以。

又
，易知当时，。

......12分
令，则，令，解得，此时单调递增，，又，，所以当时，。

综上，，所以在上单调递增，所以，则有在上单调递增，所以，所以，即。

......14分
解析:
本题主要考查导数在研究函数中的应用。

（1）求出，分别在导函数大于、小于的情况下讨论，即可得出单调区间；
（2）将分解为两个比较容易求导的函数，并将较复杂的函数求导，得出其图象性质，即可通过其与另一函数图象的交点关系求出不等式；
（3）将两函数相减构造新函数，由新函数值的符号可以判断原来两个函数的大小关系。

将新构造的函数求导，并讨论其在函数值为附近导函数的符号，以此判断该函数在对应
区间内的函数值的符号，进而即可判断对应情况两函数值的大小关系。

题型5：极值点偏移应用
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，；
（3）若函数有两个零点，，比较与的大小，并证明你的结论。

答案
（1）时，f（x）在上递增，上递减，上递增；时，f（x）在上递
增；时，f（x）在上递增，上递减，上递增；时，f（x）在上递增，在上递减；（2）见解析；（3）．
（1）
①时，f（x）在（0,1）上递增，在上递减；
②时，f’（x）=0的两根为
A．，即时，f（x）在上递增；
B．，即时，f（x）在上递增，上递减，上递增；
且，故此时f（x）在上有且只有一个零点．
C．，即时，f（x）在上递增，上递减，上递增；
且，故此时f（x）在上有且只有一个零点．
综上所述：时，f（x）在上递增，上递减，上递增；
时，f（x）在上递增；
时，f（x）在上递增，上递减，上递增；
时，f（x）在上递增，在上递减；
（2）
设
∴
∴在上单调递减
∴得证．
（3）由（1）知，函数要有两个零点，，则
∴
不妨设
∴由（2）得
∴
∴
∴
考点：1.导数与函数的单调性；2.函数与方程、不等式．
解析
（1）求导得，当，导数的符号由确定，可确定函数的单调性；当时，由讨论与的大小入手，分别讨论导数在各个区间上的符号，即可确定函数的单调性；
（2）先写出不等式式的等价形式，即，构造函数，求导可得函数在区间单调递减，所以可得；
（3）因为函数要有两个零点，，所以，由此可求得，设，由（2）得，从而有，即有
成立，从而可证结论成立．
练习：
已知函数（）的两个零点为，（）。

（1）求实数的取值范围；
（2）求证：。

答案详解
（1），
当时，，在上单调递增，不可能有两个零点；
当时，由可解得，由可解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，要使得在上有两个零点，则，解得，则的取值范围为。

（2）令，则，由题意知方程
有两个根，即方程有两个根，不妨设，，令，则
，由可得，由可得，所以时，单调递增，时，单调递减，故综上可知，
要证，即证，即，即证，令，下面证对任意的恒成立，
，因为，所以，
，所以，因为，所以，所以在是增函数，所以，所以原不等式成立。

解析:
本题主要考查函数与方程及导数在研究函数中的应用。

（1）先对函数求导，再根据函数的单调性，使得最小值小于以满
足函数有两个零点的条件，即可求出的取值范围。

（2）要证，令，则，再转换成的等式，再建立新的函数，求导，根据单调性判断，再证，建立新的函数，求导证明即可。

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