高三年级期中考试数学试卷

南京师大附中2007-2008学年度第一学期高三年级期中考试数学试卷命题人：徐昌根 审阅人：孙居国一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知a 与b均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么a b + 等于 ▲ ．2．向量(1,2),(2,1),(1,3)O A O B O C m ==-=+，若点A B C 、、三点共线，则实数m 应满足的条件为 ▲ ．3．条件:1p a >；条件:[02]q x a x ∈>存在，，使．则p 是q 的 ▲ 条件． (填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，或“既不充分也不必要”) 4．若,36x ππ-<<要使cos 21x m =-成立，则实数m 的取值范围是 ▲ ．5．{||1|2},{|(1)()0},A x x B x x x a A B B =-<=+-<= 且， 则实数a 的取值范围是 ▲ ．6．等比数列{}n a 的前n 项和为136nn S x =⋅-，则常数x 的值为 ▲ ．7．已知函数1()lg1x f x x-=+，若1()2f a =，则()f a -= ▲ ．8．设1x ≥，则函数(2)(3)1x x y x ++=+的最小值是 ▲ ．9．函数2()cos cos f x x x x ωωω=+(其中02ω<<),若函数()f x 图象的一条对称轴为3x π=，那么ω= ▲ ．10．已知数列{}n a 中，*121212(,3)n n n a a a a a n N n --===-∈≥，，，则2007a = ▲ ．11．已知函数),(1)(22R b R a b b ax x x f ∈∈+-++-=,对任意实数x 都有)1()1(x f x f +=-成立，若当[]1,1-∈x 时，0)(>x f 恒成立，则b 的取值范围是 ▲ ．12．定义运算,(),()a a b a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩，例如，121*=，则函数2()(1)f x x x =*-的最大值为 ▲ ．13．估测函数xe xf x1)(-=的零点所在的区间是 ▲ ．（要求区间长度不超过0.25， 2.71e ≈）14．数列}{n a 是正项等差数列，若nna a a a b nn ++++++++=32132321，则数列}{n b 也为等差数列．类比上述结论，若}{n c 为正项等比数列，写出 n d = ▲ ，则数列{n d }也为等比数列．（请将此卷的答案填写在答题卷上）南京师大附中2007-2008学年度第一学期高三年级期中考试数学试卷答题卷（1）班级学号姓名得分一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1.______ _____2.______ __ ______3.______ __ _____4.____ __ ______5. _______ ________6._____ __ ____7.____ __ ______ 8. _______ ________ 9._____ __ ____10.____ __ ______ 11. _______ _______ 12._____ __ ____13.____ __ ______ 14. _______ _______二．解答题：本大题共6题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分12分）解关于x的不等式：1(0)1aa ax->≥-．16．（本小题满分14分）已知A B C 、、的坐标分别为(3,0),(0,3),(cos ,sin ),A B C αα3(,)22ππα∈．（I ）若||||A C B C =，求角α的值；（II ）若1AC BC ⋅=- ，22sin sin 21tan ααα++求的值．南京师大附中2007-2008学年度第一学期 高三年级期中考试数学试卷答题卷（2）班级 学号 姓名17．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和n S n 69-=，且12(*)n n n a b n N +=⋅∈． （Ⅰ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列21(2log )3n b n ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪-⎪⎪⎩⎭的前n 项和n T ．18．(本题满分16分)某市原水价为1.5元/吨，从2006年5月1日起执行新的水价标准，实行分段计量水价：当家庭人口数不超过4人时，月用水量．．．．如表1所示；当家庭人口数超过4人时，人均月用水量．．．．．．如表2所示．水费由第一级别开始逐级计算，月用水量超出第一级别的部分按第二级别水价收取水费，月用水量超出第二级别的部分按第三级别水价收取水费．新的水价标准如表3所示．准之前多多少元； (Ⅱ)如果按新的水价标准收费，试写出某人口数为*(5)n n N n ∈≥且的家庭某月的用水水费总额y (元)关于月用水量x (吨)的函数．19．（本题满分16分）设函数()f x 的定义域是()0,+∞，对任意正实数,m n 恒有)()()(n f m f mn f +=． 且当1x >时，()0f x >．()21f =．(Ⅰ)求12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）求证：()f x 在()0,+∞上是增函数； （Ⅲ）求方程()4sin x f x =的根的个数．20．（本题满分18分）已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c 的通项公式满足n n n a a b -=+1 ，n n n b b c -=+1（*∈N n ），若数列{}n b 是一个非零常数列，则称数列{}n a 是一阶等差数列；若数列{}n c 是一个非零常数列，则称数列{}n a 是二阶等差数列．(Ⅰ)试写出满足条件11=a ，11=b ，1=n c （*∈N n ）的二阶等差数列{}n a 的前五项； （Ⅱ）求满足条件(Ⅰ)的二阶等差数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅲ）若数列{}n a 首项21=a ，且满足)(2311*++∈-=+-N n a b c n n n n ， 求数列{}n a 的通项公式．南京师大附中2007-2008学年度第一学期 高三年级期中考试数学试卷参考答案一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1.2. 13m =- 3. 充分不必要条件4. 3(,1]4 5. [1,3]- 6.167. 12- 8. 6 9. 2110.1 11. 1-<b 或 2>b 12.213. (0.5,0.75)不唯一含0．57即可 14. n nnc c c c ++++⋅⋅⋅⋅⋅ 321133221)(二．解答题：本大题共6题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分12分） 解：不等式可化为101ax x -<-，即(1)(1)0x ax --<，………………2分(1)若0=a ，则不等式的解集是}1|{>x x ；………………………………………4分 (2)若0>a ，则不等式可化为1(1)()0x x a--<，………………………………6分①当01a <<时，11a<，不等式的解集为1{|1}x x a<<；…………8分②当1a >时，11a>，不等式的解集为1{|1}x x a<<；…………10分③当1a =时，不等式的解集为φ。

………………………………………12分16．（本小题满分14分）解：(Ⅰ))3sin ,(cos ),sin ,3(cos -=-=ααααBC AC ，…………2分αααcos 610sin )3(cos ||22-=+-=∴AC ，||BC == ……………………4分由||||BC AC =得ααcos sin =. 又45),23,2(παππα=∴∈ .…………6分（Ⅱ）由.1)3(sin sin cos )3(cos ,1-=-+--=⋅αααα得BC AC.32cos sin =+∴αα①…………………………………………………………9分又.cos sin 2cos sin 1cos sin 2sin 2tan 12sin sin 222αααααααααα=++=++………………12分由①式两分平方得,94cos sin 21=+αα.95tan 12sin sin 2.95cos sin 22-=++∴-=∴ααααα……………………14分17．（本小题满分14分）解：(Ⅰ)当1n =时,113,a S == ………………………………………2分12,6,n n n n a S S -≥=-=-当时…………………………………………………4分即数列的通项公式为 3(1),6(2).n n a n =⎧⎪=⎨-≥⎪⎩……………………………6分1622n n n n a b +==- ………………………………………………………8分(Ⅱ)21111(1)1(2log )3n b n n nn n ==-++-……………………………………11分故11111(1)()()22311n n T nn n =-+-++-=++ ……………………………14分18．(本题满分16分)解：(Ⅰ)如果按原来的水价,水费为35 1.552.5⨯=元, ………………………………3分如果按新标准则,3525> ,∴水费按三个级别来收取,25 1.9(3325) 2.5(3533)373.5⨯+-⨯+-⨯=元, ……………………6分相差73.552.521-=元答：该家庭在5月份的水费比实施新的水价标准之前多21元．……………………8分 (Ⅱ)若5n ≥时,当月用水量06x n ≤≤时,水费 1.9y x =；……………………………………………10分 当月用水量68n x n <≤时,水费 1.96 2.5(6)y n x n =⨯+⨯-；……………………12分 当月用水量8x n >时, 1.96 2.5(86)3(8)y n n n x n =⨯+⨯-+-，………………14分 综上所述: 若5n ≥时,某家庭某月的用水水费总额()y 元关于月用水量()x 立方米的函数为 1.902.53.6 6837.6n 8x x n y x nn x n x x n ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩………………………………………16分 19．（本题满分16分）解(Ⅰ)令1m n == ，则()()()()111110f f f f ⨯=+⇒=令12,2m n ==，则()()1112222f f f f ⎛⎫⎛⎫=⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………2分 ()()11212f f f ⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭……………………………………4分（Ⅱ）设120x x << ，则211x x > 当1x >时，()0fx > 210x f x ⎛⎫∴> ⎪⎝⎭……6分 )()(1212x x x f x f ⨯==)()()(1121x f x x f x f >+……………………………………8分()fx ∴在()0,+∞上是增函数…………………………………………………………10分（Ⅲ）∵x y sin 4=的图象如下所示，由图可知y 最大值为4，又()()()422222f f f =⨯== ，4)4(2)44()16(==⨯=f f f …………12分 由)(x f y =在0>x 单调递增，且0)1(=f ，4)16(=f 可得)(x f 的图象大致形状如下所示，由图可知，x y sin 4=的图象与)(x f y =的图象在[]π2,0内有一个交点，在(]ππ4,2内有两个交点，在(]ππ5,4内有两个交点，又ππ6165<<，所以总共有5个交点．∴方程()4sin x fx =的根的个数是520．（本题满分18分）解：(Ⅰ) 11=a ，22=a ，43=a ，74=a ，115=a ……………………4分 （Ⅱ） 依题意 ,3,2,1,11===-+n c b b n n n 所以 11232211)()()()(b b b b b b b b b b n n n n n n n +-++-+-+-=-----.1111n =+⋅⋅⋅++++= …………………………………8分又 ,3,2,1,1===-+n n b a a n n n所以11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----)(x112)2()1(++++-+-= n n 2212)1(2+-=+-=n n n n …………12分（Ⅲ）由已知1123++-=+-n n n n a b c ，可得11123+++-=+--n n n n n a b b b ， 即 123+=-n n n a b ，∴1124+++=n n n a a …………………………14分解法一：整理得: )2(4211n n n n a a +=+++, …………………16分因而数列{}n n a 2+是首项为421=+a ,公比为4的等比数列,∴ n n n n a 44421=⋅=+-, 即 n n n a 24-= ……………………18分解法二： 在等式1124+++=n n n a a 两边同时除以12+n 得：122211+⋅=++nn n n a a ……………………………16分令nn n a k 2=，则121+=+n n k k ,即)1(211+=++n n k k .故数列{}1+n k 是首项为2,公比为2的等比数列.所以n n n k 22211=⋅=+-，即12-=nn k ∴ nn n n n n n k a 24)12(22-=-== ………………………………18分解法三： ∵21=a ，∴)12(212222-⨯==a ，)12(256333-⨯==a ，)12(232444-⨯==a猜想：nn n n n a 24)12(2-=-= ……………………………………16分下面用数学归纳法证明如下：（ⅰ）当1=n 时，2421-==a ，猜想成立；（ⅱ）假设k n =时，猜想成立，即kk k a 24-=那么当 1+=k n 时，()11111242)24(424+++++-=+-=+=k k k k k k k k a a ，结论也成立∴ 由(ⅰ)、(ⅱ）可知，nn n a 24-= ………………………………18分。