第一章 MATLAB矩阵运算与数组运算

第1章 矩阵运算与数组运算
MATLAB中最基本的数据对象就是数组或矩阵，标量可看作是1*1 的 矩阵，向量可看作是l*n或n*l的矩阵．一维数组是向量，二维数组便是 矩 阵，还有三维甚至更高维的数组。标量运算是数学的基础，然而， 当需要对多个 数执行同样的运算时，采用数组或矩阵运算将非常简洁 和方便． 1．4．1 创建矩阵 1．直接定义 例子 键入:
3．一维数组的操作 例子 键入： x＝［0.1*pi.2*pi.3*pi.4*pi.5*pi.6*pi.7*pi.8*pi.9*pi pi]
y＝sin（x） 输出：
y=
Columns 1 through 7 0 0.3090 0.5878 0.8090 0.9511 1.0000 0.9511
Columns 8 through 11 0.8090 0.5878 0.3090 0.0000
输出： ans= 0.5878 0.3090 0 3:-1:1表示从3开始减1计数，到1为止．又如
键入： x（2：2：7）
输出： ans= 0.3142 0.9425 1.5708 2：2：7表示从2开始加2计数，到7为止．再如
键人： y（［8 2 9 1］）
输出： ans= 0.8090 0.3090 0.5878 0 这里是按照数组[8 2 9 1]提供的次序来提取y数组中的元素
输出： B＝ 456 789
键人： C＝A(1：2，[1 3]) ％ A的第l，2行，第1,3 列
输出： C＝ 13 46 还有A(1：2：3，3：-1：1)想想将输出什么？ 将几个矩阵接在一起称为拼接，左右拼接行数要相同，上下拼接列
数要相同．例如， 键入：
D＝[C，zeros(2，1)] 输出：
D＝ 130 460
l．4．3 矩阵的运算 MATLAB提供了下列矩阵运算
+ 加法; - 减法；’转置运算；* 乘法；^ 乘幂；＼ 左除；／ 右除 除除法外其他运算都与线性代数中定义的一样．这里只介绍一下除法
运算． 设A是可逆矩阵 1）AX＝B的解是A左除B，即X＝A＼B，意为用A-1左乘以B． 2）XA＝B的解是A右除B，即X＝B／A，意为用A-1右乘以B．
矩阵的迹（对角元素之和）
zeros(m,n)
m行n列的零矩阵
ones(m,n)
m行n列的全1矩阵
eye(n)
n阶单位矩阵
rand(m,n)
m行n列的均匀分布随机数矩
阵
randn(m,n)
m行n列的正态分布随机数矩
阵
做：利用帮助了解函数max,min,sum,mean,sort,length,
矩阵函数
键入： E＝［D ； eye（2），ones（2，l）］
输出： E＝ 130 460 101 01l
提示： A(:) 逐列提取A中的所有元素作为一个列向量． A(I) 把A看作列向量则：X提取其中第i个元素． A(r,c) 提取A中，由索引向量r定义的行，和由索引向量c定义的列所构 成的A的子数组． A(r,:) 提取A中，由索引向量r定义的行，和全部列所构成的A的子数 组． A(:,c) 提取A中，由全部行，和由索引向量c定义的列所构成的A的子数 组． 1．4．2 数组运算
A＝[1 2 3；4 5 6] 输出：
A＝ 123 456
这里A为一个2行3列的数组或矩阵．空格或逗号用于分隔某一行的 元素，分号表示开始新的一行． 键入：
A(2，3)＝0 ％将第2行，第3列的元素置为0． 输出：
A= 123 450
2．一维数组的简单构造 前面我们通过键人矩阵或数组中的每个元素来输人一个矩阵或数 组，当数组中的元素有成百上千时，怎么办呢？对于一维数组有两种简 单的输人格式。 例如， X=0:0.1:1 ％从0到l，增量为0.1． X=linspace（0，pi，11） ％11 个从 0到pi的等间隔数， 在MATLAB中这两种创建数组的方式是最常见的． 上述数组创建形式所得到的数组的元素之间是线性分隔的特殊情况，当 需要对数分隔的数组时，MATLAB提供了函数logspace． 格式：x＝logspace(first,last,n) 创建从10的first次方开始，到10的last次方结束，有n个元素的对数分
1．标量一数组运算 标量与数组的加、减、乘、除和点乘方(.^)是对数组的每个元素进 行运算，得到同样大小的数组． 例子 键入：
a＝l：5；3*a-5 输出：
ans＝－2 1 4 7 10 键入：
a.^2 输出：
ans＝1 4 9 16 25 2．数组-数组运算 当两个数组具有相同大小时，加、减、点乘(.*),点除(./).和点乘 方运算（．^）是按元素对元素方式进行的．例如， 键入： g＝［1 2 3；5 6 7；8 9 10］； h= [1 1 1；2 2 2；3 3 3]；
MATLAB中的常用数学函数有 三角函数：正弦sin(x),双曲正弦sinh(x),反正弦asin(x),反双曲 正弦asinh(x),余弦cos(x),正切tan(x),余切cot(x),正割sec(x),余割 csc(x)等． 指数函数：exp(x),自然对数log10(x),以 2为底的对数log2(x),平 方根sqrt(x)等． 整值函数：朝零方向取整fix(x),朝- 方向取整floor(x),朝+ 方 向取整ceil(x),四舍五人到最接近的整数round(x),符号函数sign (x)等． 其他数学函数：绝对值或复数的幅值abs(x)等 2．数组特征及矩阵操作函数 size(A) 返回一个二元素向量，第一个元素为A的行数，第二 个元素为A的列数 size(A，1) 返回 A的行数 siZE(A，2) 返回 A的列数 length(A) 返回max(size(A)) flipud(A) 矩阵作上下翻转 fliplr(A) 矩阵作左右翻转 diag(A) 提取A的对角元素，返回列向量 diag(v) 以向量v作对角元素创建对角矩阵 最大值 max，最小值min，求和sum,求平均值mean，按升序排列 sort等函数，只有当它们作用于向量时才有意义．它们也可作用于矩 阵，此时产生一个行向量，行向量的每个元素是函数作用于矩阵相应列 向量的结果． 例子 键人：
ir= 145
-2.8000 9.5000
738
3.5000 26
5.4000
7.0000
7.3000
3．矩阵函数
d＝eig（A），[v,d]＝eig（A ） 特征值与特征向量
det(A)
行列式计算
inv(A)
矩阵的逆
orth(A)
正交化。
poly(A)
Hale Waihona Puke 特征多项式rank(A)
矩阵的秩
trace(A)
注意： 1）当 A为方阵，p>1为整数时，A＾p表示 A自乘 p次；
2）当 A和P均为矩阵时，不能计算A＾P． 1．4．4 函数 1.常用的数学函数 单变量数学函数的自变量可以是数组，此时，输出的是各元素的函数值 构成的同规格数组． 例子 输人：
a＝[1 2 3；4 5 6]；sin（a） 输出：
ans ＝ 0.8415 0.9093 0.1411 -0.7568 -0.9589 -0.2794
4．矩阵的剪裁与拼接
从一个矩阵中取出若干行（列）构成新矩阵称为剪裁，冒号“：”是 非常重要的剪裁工具。
例子 键入：
A=[1 2 3；4 5 6；7 8 9]； A（3，：） ％A的第3行 输出：
ans＝ 789
键入： A（：，l） ％ A的第 1列
输出： ans= 1 4 7
键入： B=A(2：3：，) ％A的第2,3行
g.*h 输出：
ans= 123 10 12 14 24 27 30
提示： 设 a=[a1 a2 a3],b=[b1 b2 b3],c=标量 标量加法 a＋c＝[a1+c a2+c a3+c]; 标量乘法 a*c=[a1*c a2*c a3*c]; 数组加法 a＋b＝[a1+b1 a2+b2 a3+b3]; 数组乘法 a.*b=[a1*b1 a2*b2 a3*b3]; 数组右除 a./b=[a1/b1 a2/b2 a3/b3]; 数组左除 a.\b=[b1/a1 b2/a2 b3/a3]; 数组求幂 a.^c=[a1^c a2^c a3^c]; c.^a=c^a1 c^a2 c^a3]; a.^b=[a1^b1 a2^b2 a3^b3];
d= 135101
上述所创建的数组都是行向量，如何创建列向量呢？可使用转置算 子（’） 把行向量变成列向量．如 键入：
a=1:4；％表示从1到4，增量为1的行向量 b=a’ ％表示向量的转置 输出： b＝
1 2 3 4 有两种转置的符号： l）当数组是复数时，（’）产生的是复数共轭转置； 2) (．’)只对数组转置，但不进行共轭．
在 MATLAB中，数组元素用下标访问，如 y(2)是y的第2个元素． 例如， 键入：
y(3) ％表示y的第3个元素 输出：
ans＝ 0.5878
为了同时访问一块元素，MATLAB用冒号来表示． 键入：
x(1:5) 输出：
ans= 0 0.3124 0.6283 0.9425 1.2566
键人： y(3:-1:1)
read,size的功能和用法．
隔行向量x. 有时所需的数组不具有易于描述的线性或对数分隔关系，这时使用数组 编址和表达式结合的功能可避免每次一个地输人数组元素． 例子
键入： a=1:5; b=1:2:9;c=[b a] 输出：
C＝ 1357812345
创建的数组c,由b中元素和a中元素构成．又如， 键入：
d=[a(1:2:5)1 0 1] 输出：
a＝[-4.5,5,9,7,-2.8,3.5,9.5,5.4,7.3]; min(a),[m,im]=min(a),[M,iM]=max(a),[ra,ir]=sort(a) 输出： ans=