第一章 MATLAB矩阵运算与数组运算
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a＝[-4.5,5,9,7,-2.8,3.5,9.5,5.4,7.3]; min(a),[m,im]=min(a),[M,iM]=max(a),[ra,ir]=sort(a) 输出： ans=
-4.5000 m=
-4.5000
im= 1
M= 9.5000
iM= 6
ra= -4.5000 9.0000
第1章 矩阵运算与数组运算
MATLAB中最基本的数据对象就是数组或矩阵，标量可看作是1*1 的 矩阵，向量可看作是l*n或n*l的矩阵．一维数组是向量，二维数组便是 矩 阵，还有三维甚至更高维的数组。标量运算是数学的基础，然而， 当需要对多个 数执行同样的运算时，采用数组或矩阵运算将非常简洁 和方便． 1．4．1 创建矩阵 1．直接定义 例子 键入:
d= 135101
上述所创建的数组都是行向量，如何创建列向量呢？可使用转置算 子（’） 把行向量变成列向量．如 键入：
a=1:4；％表示从1到4，增量为1的行向量 b=a’ ％表示向量的转置 输出： b＝
1 2 3 4 有两种转置的符号： l）当数组是复数时，（’）产生的是复数共轭转置； 2) (．’)只对数组转置，但不进行共轭．
g.*h 输出：
ans= 123 10 12 14 24 27 30
提示： 设 a=[a1 a2 a3],b=[b1 b2 b3],c=标量 标量加法 a＋c＝[a1+c a2+c a3+c]; 标量乘法 a*c=[a1*c a2*c a3*c]; 数组加法 a＋b＝[a1+b1 a2+b2 a3+b3]; 数组乘法 a.*b=[a1*b1 a2*b2 a3*b3]; 数组右除 a./b=[a1/b1 a2/b2 a3/b3]; 数组左除 a.\b=[b1/a1 b2/a2 b3/a3]; 数组求幂 a.^c=[a1^c a2^c a3^c]; c.^a=c^a1 c^a2 c^a3]; a.^b=[a1^b1 a2^b2 a3^b3];
隔行向量x. 有时所需的数组不具有易于描述的线性或对数分隔关系，这时使用数组 编址和表达式结合的功能可避免每次一个地输人数组元素． 例子
键入： a=1:5; b=1:2:9;c=[b a] 输出：
C＝ 1357812345
创建的数组c,由b中元素和a中元素构成．又如， 键入：
d=[a(1:2:5)1 0 1] 输出：
ir= 145
-2.8000 9.5000
738
3.5000 26
5.4000
7.0000
7.3000
3．矩阵函数
d＝eig（A），[v,d]＝eig（A ） 特征值与特征向量
det(A)
行列式计算
inv(A)
矩阵的逆
orth(A)
正交化。
poly(A)
特征多项式
rank(A)
矩阵的秩
trace(A)
1．标量一数组运算 标量与数组的加、减、乘、除和点乘方(.^)是对数组的每个元素进 行运算，得到同样大小的数组． 例子 键入：
a＝l：5；3*a-5 输出：
ans＝－2 1 4 7 10 键入：
a.^2 输出：
ans＝1 4 9 16 25 2．数组-数组运算 当两个数组具有相同大小时，加、减、点乘(.*),点除(./).和点乘 方运算（．^）是按元素对元素方式进行的．例如， 键入： g＝［1 2 3；5 6 7；8 9 10］； h= [1 1 1；2 2 2；3 3 3]；
矩阵的迹（对角元素之和）
zeros(m,n)
m行n列的零矩阵
ones(m,n)
m行n列的全1矩阵
eye(n)
n阶单位矩阵
rand(m,n)
m行n列的均匀分布随机数矩
阵
randn(m,n)
m行n列的正态分布随机数矩
阵
做：利用帮助了解函数max,min,sum,mean,sort,length,
矩阵函数
MATLAB中的常用数学函数有 三角函数：正弦sin(x),双曲正弦sinh(x),反正弦asin(x),反双曲 正弦asinh(x),余弦cos(x),正切tan(x),余切cot(x),正割sec(x),余割 csc(x)等． 指数函数：exp(x),自然对数log10(x),以 2为底的对数log2(x),平 方根sqrt(x)等． 整值函数：朝零方向取整fix(x),朝- 方向取整floor(x),朝+ 方 向取整ceil(x),四舍五人到最接近的整数round(x),符号函数sign (x)等． 其他数学函数：绝对值或复数的幅值abs(x)等 2．数组特征及矩阵操作函数 size(A) 返回一个二元素向量，第一个元素为A的行数，第二 个元素为A的列数 size(A，1) 返回 A的行数 siZE(A，2) 返回 A的列数 length(A) 返回max(size(A)) flipud(A) 矩阵作上下翻转 fliplr(A) 矩阵作左右翻转 diag(A) 提取A的对角元素，返回列向量 diag(v) 以向量v作对角元素创建对角矩阵 最大值 max，最小值min，求和sum,求平均值mean，按升序排列 sort等函数，只有当它们作用于向量时才有意义．它们也可作用于矩 阵，此时产生一个行向量，行向量的每个元素是函数作用于矩阵相应列 向量的结果． 例子 键人：
A＝[1 2 3；4 5 6] 输出：
A＝ 123 456
这里A为一个2行3列的数组或矩阵．空格或逗号用于分隔某一行的 元素，分号表示开始新的一行． 键入：
A(2，3)＝0 ％将第2行，第3列的元素置为0． 输出：
A= 123 450
2．一维数组的简单构造 前面我们通过键人矩阵或数组中的每个元素来输人一个矩阵或数 组，当数组中的元素有成百上千时，怎么办呢？对于一维数组有两种简 单的输人格式。 例如， X=0:0.1:1 ％从0到l，增量为0.1． X=linspace（0，pi，11） ％11 个从 0到pi的等间隔数， 在MATLAB中这两种创建数组的方式是最常见的． 上述数组创建形式所得到的数组的元素之间是线性分隔的特殊情况，当 需要对数分隔的数组时，MATLAB提供了函数logspace． 格式：x＝logspace(first,last,n) 创建从10的first次方开始，到10的last次方结束，有n个元素的对数分
read,size的功能和用法．
输出： B＝ 456 789
键人： C＝A(1：2，[1 3]) ％ A的第l，2行，第1,3 列
输出： C＝ 13 46 还有A(1：2：3，3：-1：1)想想将输出什么？ 将几个ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ阵接在一起称为拼接，左右拼接行数要相同，上下拼接列
数要相同．例如， 键入：
D＝[C，zeros(2，1)] 输出：
D＝ 130 460
注意： 1）当 A为方阵，p>1为整数时，A＾p表示 A自乘 p次；
2）当 A和P均为矩阵时，不能计算A＾P． 1．4．4 函数 1.常用的数学函数 单变量数学函数的自变量可以是数组，此时，输出的是各元素的函数值 构成的同规格数组． 例子 输人：
a＝[1 2 3；4 5 6]；sin（a） 输出：
ans ＝ 0.8415 0.9093 0.1411 -0.7568 -0.9589 -0.2794
在 MATLAB中，数组元素用下标访问，如 y(2)是y的第2个元素． 例如， 键入：
y(3) ％表示y的第3个元素 输出：
ans＝ 0.5878
为了同时访问一块元素，MATLAB用冒号来表示． 键入：
x(1:5) 输出：
ans= 0 0.3124 0.6283 0.9425 1.2566
键人： y(3:-1:1)
l．4．3 矩阵的运算 MATLAB提供了下列矩阵运算
+ 加法; - 减法；’转置运算；* 乘法；^ 乘幂；＼ 左除；／ 右除 除除法外其他运算都与线性代数中定义的一样．这里只介绍一下除法
运算． 设A是可逆矩阵 1）AX＝B的解是A左除B，即X＝A＼B，意为用A-1左乘以B． 2）XA＝B的解是A右除B，即X＝B／A，意为用A-1右乘以B．
键入： E＝［D ； eye（2），ones（2，l）］
输出： E＝ 130 460 101 01l
提示： A(:) 逐列提取A中的所有元素作为一个列向量． A(I) 把A看作列向量则：X提取其中第i个元素． A(r,c) 提取A中，由索引向量r定义的行，和由索引向量c定义的列所构 成的A的子数组． A(r,:) 提取A中，由索引向量r定义的行，和全部列所构成的A的子数 组． A(:,c) 提取A中，由全部行，和由索引向量c定义的列所构成的A的子数 组． 1．4．2 数组运算
4．矩阵的剪裁与拼接
从一个矩阵中取出若干行（列）构成新矩阵称为剪裁，冒号“：”是 非常重要的剪裁工具。
例子 键入：
A=[1 2 3；4 5 6；7 8 9]； A（3，：） ％A的第3行 输出：
ans＝ 789
键入： A（：，l） ％ A的第 1列
输出： ans= 1 4 7
键入： B=A(2：3：，) ％A的第2,3行
3．一维数组的操作 例子 键入： x＝［0.1*pi.2*pi.3*pi.4*pi.5*pi.6*pi.7*pi.8*pi.9*pi pi]
y＝sin（x） 输出：
y=
Columns 1 through 7 0 0.3090 0.5878 0.8090 0.9511 1.0000 0.9511
Columns 8 through 11 0.8090 0.5878 0.3090 0.0000
输出： ans= 0.5878 0.3090 0 3:-1:1表示从3开始减1计数，到1为止．又如
键入： x（2：2：7）
输出： ans= 0.3142 0.9425 1.5708 2：2：7表示从2开始加2计数，到7为止．再如
键人： y（［8 2 9 1］）
输出： ans= 0.8090 0.3090 0.5878 0 这里是按照数组[8 2 9 1]提供的次序来提取y数组中的元素
-4.5000 m=
-4.5000
im= 1
M= 9.5000
iM= 6
ra= -4.5000 9.0000
第1章 矩阵运算与数组运算
MATLAB中最基本的数据对象就是数组或矩阵，标量可看作是1*1 的 矩阵，向量可看作是l*n或n*l的矩阵．一维数组是向量，二维数组便是 矩 阵，还有三维甚至更高维的数组。标量运算是数学的基础，然而， 当需要对多个 数执行同样的运算时，采用数组或矩阵运算将非常简洁 和方便． 1．4．1 创建矩阵 1．直接定义 例子 键入:
d= 135101
上述所创建的数组都是行向量，如何创建列向量呢？可使用转置算 子（’） 把行向量变成列向量．如 键入：
a=1:4；％表示从1到4，增量为1的行向量 b=a’ ％表示向量的转置 输出： b＝
1 2 3 4 有两种转置的符号： l）当数组是复数时，（’）产生的是复数共轭转置； 2) (．’)只对数组转置，但不进行共轭．
g.*h 输出：
ans= 123 10 12 14 24 27 30
提示： 设 a=[a1 a2 a3],b=[b1 b2 b3],c=标量 标量加法 a＋c＝[a1+c a2+c a3+c]; 标量乘法 a*c=[a1*c a2*c a3*c]; 数组加法 a＋b＝[a1+b1 a2+b2 a3+b3]; 数组乘法 a.*b=[a1*b1 a2*b2 a3*b3]; 数组右除 a./b=[a1/b1 a2/b2 a3/b3]; 数组左除 a.\b=[b1/a1 b2/a2 b3/a3]; 数组求幂 a.^c=[a1^c a2^c a3^c]; c.^a=c^a1 c^a2 c^a3]; a.^b=[a1^b1 a2^b2 a3^b3];
隔行向量x. 有时所需的数组不具有易于描述的线性或对数分隔关系，这时使用数组 编址和表达式结合的功能可避免每次一个地输人数组元素． 例子
键入： a=1:5; b=1:2:9;c=[b a] 输出：
C＝ 1357812345
创建的数组c,由b中元素和a中元素构成．又如， 键入：
d=[a(1:2:5)1 0 1] 输出：
ir= 145
-2.8000 9.5000
738
3.5000 26
5.4000
7.0000
7.3000
3．矩阵函数
d＝eig（A），[v,d]＝eig（A ） 特征值与特征向量
det(A)
行列式计算
inv(A)
矩阵的逆
orth(A)
正交化。
poly(A)
特征多项式
rank(A)
矩阵的秩
trace(A)
1．标量一数组运算 标量与数组的加、减、乘、除和点乘方(.^)是对数组的每个元素进 行运算，得到同样大小的数组． 例子 键入：
a＝l：5；3*a-5 输出：
ans＝－2 1 4 7 10 键入：
a.^2 输出：
ans＝1 4 9 16 25 2．数组-数组运算 当两个数组具有相同大小时，加、减、点乘(.*),点除(./).和点乘 方运算（．^）是按元素对元素方式进行的．例如， 键入： g＝［1 2 3；5 6 7；8 9 10］； h= [1 1 1；2 2 2；3 3 3]；
矩阵的迹（对角元素之和）
zeros(m,n)
m行n列的零矩阵
ones(m,n)
m行n列的全1矩阵
eye(n)
n阶单位矩阵
rand(m,n)
m行n列的均匀分布随机数矩
阵
randn(m,n)
m行n列的正态分布随机数矩
阵
做：利用帮助了解函数max,min,sum,mean,sort,length,
矩阵函数
MATLAB中的常用数学函数有 三角函数：正弦sin(x),双曲正弦sinh(x),反正弦asin(x),反双曲 正弦asinh(x),余弦cos(x),正切tan(x),余切cot(x),正割sec(x),余割 csc(x)等． 指数函数：exp(x),自然对数log10(x),以 2为底的对数log2(x),平 方根sqrt(x)等． 整值函数：朝零方向取整fix(x),朝- 方向取整floor(x),朝+ 方 向取整ceil(x),四舍五人到最接近的整数round(x),符号函数sign (x)等． 其他数学函数：绝对值或复数的幅值abs(x)等 2．数组特征及矩阵操作函数 size(A) 返回一个二元素向量，第一个元素为A的行数，第二 个元素为A的列数 size(A，1) 返回 A的行数 siZE(A，2) 返回 A的列数 length(A) 返回max(size(A)) flipud(A) 矩阵作上下翻转 fliplr(A) 矩阵作左右翻转 diag(A) 提取A的对角元素，返回列向量 diag(v) 以向量v作对角元素创建对角矩阵 最大值 max，最小值min，求和sum,求平均值mean，按升序排列 sort等函数，只有当它们作用于向量时才有意义．它们也可作用于矩 阵，此时产生一个行向量，行向量的每个元素是函数作用于矩阵相应列 向量的结果． 例子 键人：
A＝[1 2 3；4 5 6] 输出：
A＝ 123 456
这里A为一个2行3列的数组或矩阵．空格或逗号用于分隔某一行的 元素，分号表示开始新的一行． 键入：
A(2，3)＝0 ％将第2行，第3列的元素置为0． 输出：
A= 123 450
2．一维数组的简单构造 前面我们通过键人矩阵或数组中的每个元素来输人一个矩阵或数 组，当数组中的元素有成百上千时，怎么办呢？对于一维数组有两种简 单的输人格式。 例如， X=0:0.1:1 ％从0到l，增量为0.1． X=linspace（0，pi，11） ％11 个从 0到pi的等间隔数， 在MATLAB中这两种创建数组的方式是最常见的． 上述数组创建形式所得到的数组的元素之间是线性分隔的特殊情况，当 需要对数分隔的数组时，MATLAB提供了函数logspace． 格式：x＝logspace(first,last,n) 创建从10的first次方开始，到10的last次方结束，有n个元素的对数分
read,size的功能和用法．
输出： B＝ 456 789
键人： C＝A(1：2，[1 3]) ％ A的第l，2行，第1,3 列
输出： C＝ 13 46 还有A(1：2：3，3：-1：1)想想将输出什么？ 将几个ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ阵接在一起称为拼接，左右拼接行数要相同，上下拼接列
数要相同．例如， 键入：
D＝[C，zeros(2，1)] 输出：
D＝ 130 460
注意： 1）当 A为方阵，p>1为整数时，A＾p表示 A自乘 p次；
2）当 A和P均为矩阵时，不能计算A＾P． 1．4．4 函数 1.常用的数学函数 单变量数学函数的自变量可以是数组，此时，输出的是各元素的函数值 构成的同规格数组． 例子 输人：
a＝[1 2 3；4 5 6]；sin（a） 输出：
ans ＝ 0.8415 0.9093 0.1411 -0.7568 -0.9589 -0.2794
在 MATLAB中，数组元素用下标访问，如 y(2)是y的第2个元素． 例如， 键入：
y(3) ％表示y的第3个元素 输出：
ans＝ 0.5878
为了同时访问一块元素，MATLAB用冒号来表示． 键入：
x(1:5) 输出：
ans= 0 0.3124 0.6283 0.9425 1.2566
键人： y(3:-1:1)
l．4．3 矩阵的运算 MATLAB提供了下列矩阵运算
+ 加法; - 减法；’转置运算；* 乘法；^ 乘幂；＼ 左除；／ 右除 除除法外其他运算都与线性代数中定义的一样．这里只介绍一下除法
运算． 设A是可逆矩阵 1）AX＝B的解是A左除B，即X＝A＼B，意为用A-1左乘以B． 2）XA＝B的解是A右除B，即X＝B／A，意为用A-1右乘以B．
键入： E＝［D ； eye（2），ones（2，l）］
输出： E＝ 130 460 101 01l
提示： A(:) 逐列提取A中的所有元素作为一个列向量． A(I) 把A看作列向量则：X提取其中第i个元素． A(r,c) 提取A中，由索引向量r定义的行，和由索引向量c定义的列所构 成的A的子数组． A(r,:) 提取A中，由索引向量r定义的行，和全部列所构成的A的子数 组． A(:,c) 提取A中，由全部行，和由索引向量c定义的列所构成的A的子数 组． 1．4．2 数组运算
4．矩阵的剪裁与拼接
从一个矩阵中取出若干行（列）构成新矩阵称为剪裁，冒号“：”是 非常重要的剪裁工具。
例子 键入：
A=[1 2 3；4 5 6；7 8 9]； A（3，：） ％A的第3行 输出：
ans＝ 789
键入： A（：，l） ％ A的第 1列
输出： ans= 1 4 7
键入： B=A(2：3：，) ％A的第2,3行
3．一维数组的操作 例子 键入： x＝［0.1*pi.2*pi.3*pi.4*pi.5*pi.6*pi.7*pi.8*pi.9*pi pi]
y＝sin（x） 输出：
y=
Columns 1 through 7 0 0.3090 0.5878 0.8090 0.9511 1.0000 0.9511
Columns 8 through 11 0.8090 0.5878 0.3090 0.0000
输出： ans= 0.5878 0.3090 0 3:-1:1表示从3开始减1计数，到1为止．又如
键入： x（2：2：7）
输出： ans= 0.3142 0.9425 1.5708 2：2：7表示从2开始加2计数，到7为止．再如
键人： y（［8 2 9 1］）
输出： ans= 0.8090 0.3090 0.5878 0 这里是按照数组[8 2 9 1]提供的次序来提取y数组中的元素