信号时域频域及其转换

信号分析方法概述：通用的基础理论是信号分析的两种方法：1 是将信号描述成时间的函数 2 是将信号描述成频率的函数。

也有用时域和频率联合起来表示信号的方法。

时域、频域两种分析方法提供了不同的角度，它们提供的信息都是一样，只是在不同的时候分析起来哪个方便就用哪个。

思考：原则上时域中只有一个信号波（时域的频率实际上是开关器件转动速度或时钟循环次数，时域中只有周期的概念），而对应频域（纯数学概念）则有多个频率分量。

人们很容易认识到自己生活在时域与空间域之中（加起来构成了三维空间），所以比较好理解时域的波形（其参数有：符号周期、时钟频率、幅值、相位）、空间域的多径信号也比较好理解。

但数学告诉我们，自己生活在N维空间之中，频域就是其中一维。

时域的信号在频域中会被对应到多个频率中，频域的每个信号有自己的频率、幅值、相位、周期（它们取值不同，可以表示不同的符号，所以频域中每个信号的频率范围就构成了一个传输信道。

时域中波形变换速度越快（上升时间越短），对应频域的频率点越丰富。

所以：OFDM中，IFFT把频域转时域的原因是：IFFT的输入是多个频率抽样点（即各子信道的符号），而IFFT之后只有一个波形，其中即OFDM符号，只有一个周期。

时域时域是真实世界，是惟一实际存在的域。

因为我们的经历都是在时域中发展和验证的，已经习惯于事件按时间的先后顺序地发生。

而评估数字产品的性能时，通常在时域中进行分析，因为产品的性能最终就是在时域中测量的。

时钟波形的两个重要参数是时钟周期和上升时间。

时钟周期就是时钟循环重复一次的时间间隔，通产用ns度量。

时钟频率Fclock，即1秒钟内时钟循环的次数，是时钟周期Tclock的倒数。

Fclock=1/Tclock上升时间与信号从低电平跳变到高电平所经历的时间有关，通常有两种定义。

一种是10-90上升时间，指信号从终值的10%跳变到90%所经历的时间。

这通常是一种默认的表达方式，可以从波形的时域图上直接读出。

第二种定义方式是20-80上升时间，这是指从终值的20%跳变到80%所经历的时间。

时域波形的下降时间也有一个相应的值。

根据逻辑系列可知，下降时间通常要比上升时间短一些，这是由典型CMOS输出驱动器的设计造成的。

在典型的输出驱动器中，p管和n 管在电源轨道Vcc和Vss间是串联的，输出连在这个两个管子的中间。

在任一时间，只有一个晶体管导通，至于是哪一个管子导通取决于输出的高或低状态。

假设周期矩形脉冲信号f(t)的脉冲宽度为τ，脉冲幅度为E,重复周期为T，频域频域最重要的性质是：它不是真实的，而是一个数学构造。

时域是惟一客观存在的域，而频域是一个遵循特定规则的数学范畴。

正弦波是频域中唯一存在的波形，这是频域中最重要的规则，即正弦波是对频域的描述，因为时域中的任何波形都可用正弦波合成。

这是正弦波的一个非常重要的性质。

然而，它并不是正弦波的独有特性，还有许多其他的波形也有这样的性质。

正弦波有四个性质使它可以有效地描述其他任一波形：（1）时域中的任何波形都可以由正弦波的组合完全且惟一地描述。

（2）任何两个频率不同的正弦波都是正交的。

如果将两个正弦波相乘并在整个时间轴上求积分，则积分值为零。

这说明可以将不同的频率分量相互分离开。

（3）正弦波有精确的数学定义。

（4）正弦波及其微分值处处存在，没有上下边界。

使用正弦波作为频域中的函数形式有它特别的地方。

若使用正弦波，则与互连线的电气效应相关的一些问题将变得更容易理解和解决。

如果变换到频域并使用正弦波描述，有时会比仅仅在时域中能更快地得到答案。

而在实际中，首先建立包含电阻，电感和电容的电路，并输入任意波形。

一般情况下，就会得到一个类似正弦波的波形。

而且，用几个正弦波的组合就能很容易地描述这些波形，如下图2.2所示：图2.2 理想RLC电路相互作用的时域行为频域的图如下?\时域与频域的互相转换时域分析与频域分析是对模拟信号的两个观察面。

时域分析是以时间轴为坐标表示动态信号的关系；频域分析是把信号变为以频率轴为坐标表示出来。

一般来说，时域的表示较为形象与直观，频域分析则更为简练，剖析问题更为深刻和方便。

时域与频域的对应关系是：时域里一条正弦波曲线的简谐信号，在频域中对应一条谱线，即正弦信号的频率是单一的，其频谱仅仅是频域中相应f0频点上的一个尖峰信号。

按照傅里叶变换理论：任何时域信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的叠加。

1、正弦波时域信号是单一频率信号；2、正弦波以外的任何波型的时域信号都不是单一频率信号；3、任何波型都可以通过不同频率正弦波叠加得到；解释1：初学者一个经常的困惑是：无法理解信号为何会有多个频率，加上许多书中的描述不够严谨，比如：语音信号的频率是在4k以下，是3~4千赫正弦波。

正确的解释是：一个信号有两种表示方法，时域和频域。

在时域，信号只有周期，正是因为有了傅立叶变换，人们才能理解到信号频域的概念。

（先有傅立叶变换的结果才让你认识到声音信号里包含了某种频域的正弦波,它仅仅是声音信号里的一个分量.用你的眼睛你可能永远看不出这些幅度变动里包含了你所熟悉的3~4KHZ的正弦波!）注：大家应牢记：频域最重要的性质是：它不是真实的，而是一个数学构造。

频域实际上是时域信号进行傅立叶变换的数学结果。

通过数学方法，可以更方便的观察到信号内含的信息、可以分解合成信号。

无线通信中传输资源包括了时间、频域、空间等。

时间比较好理解，就是：时间周期1发送符号1，时间周期2发送符号2.。

，时域的波形可以用三角函数多项式表示，函数参数有：时间、幅度、相位。

在载波传输中，载波信号由振荡器产生，它的时钟频率是固定的，倒数就是时间周期。

频域比较难理解，按傅立叶分析理论，任何时域信号都对应了频域的若干频率分量（称为谐波）的叠加，频域的频率与时域的时钟频率不同。

可以认为：时域不存在频率，只存在时间周期。

信号处理与通信中所指的频率一般都是指频域的频率分量。

而每个频率分量都可从数学意义上对应时域的一个波形（称为谐波，基波是一种特殊的谐波，它的频率与时域波形的时钟频率相同）。

因为载波一般都是正弦波，所以定义信号在1秒内完成一个完整正弦波的次数就是信号的频率（以Hz为单位)，即1Hz。

时间周期T=1/f。

载波的功能参见调制解调部分内容。

这里可以先不理解何为载波，关键是时域与频域的对应关系。

以这个时域波形为例设时域波形（图中的合成波）的时间周期=T（如2秒），其时钟频率则为f0=1/2 Hz。

那么基波的频率、周期与合成波一样。

每个谐波之间频率间隔=基波频率。

而谐波1的频率f1=1/2+1/2=1Hz，周期T1=1。

谐波2的频率f2=1+1/2=3/2 Hz，周期T2=2/3。

谐波8的频率f8=1/2+(1/2)*8=4.5Hz，周期T8=0.2222在频域中，每个频率分量都有自己的幅度与相位。

按谐波的频率、幅度、相位信息可以得到谐波所对应时域的波形。

将各谐波的时域波形叠加起来，即得到时域中合成波。

解释2：时域信号的数据传输速率，常用 bps，如100Kbps，指1s内传输了100K bits的二进制数据。

即：时域的传输效率。

引入频域后，带来一个新的数据：频谱效率，作为频域的传输效率。

如 80bps/Hz 指1Hz频率上能传输80bps数据。

按信息论，带宽越大，数据速率越高。

解释3：为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以用方波或三角波来代替呀，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。

用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。

一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。

且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。

注：此处仍要牢记：频域是数学构造，只要有助于我们分析信号，对应的数学方法就是有用的。

-------------------------傅立叶变换原理傅立叶变换分类根据原信号的不同类型，我们可以把傅立叶变换分为四种类别：周期性连续信号傅立叶级数(Fourier Series)非周期性连续信号傅立叶变换（Fourier Transform）非周期性离散信号离散时域傅立叶变换（Discrete Time Fourier Transform）周期性离散信号离散傅立叶变换(Discrete FourierTransform)-DFT下图是四种原信号图例：这四种傅立叶变换都是针对正无穷大和负无穷大的信号，即信号的的长度是无穷大的，我们知道这对于计算机处理来说是不可能的，那么有没有针对长度有限的傅立叶变换呢？没有。

因为正余弦波被定义成从负无穷小到正无穷大，我们无法把一个长度无限的信号组合成长度有限的信号。

面对这种困难，方法是把长度有限的信号表示成长度无限的信号，可以把信号无限地从左右进行延伸，延伸的部分用零来表示，这样，这个信号就可以被看成是非周期性离解信号，我们就可以用到离散时域傅立叶变换的方法。

还有，也可以把信号用复制的方法进行延伸，这样信号就变成了周期性离解信号，这时我们就可以用离散傅立叶变换方法进行变换。

这里我们要学的是离散信号，对于连续信号我们不作讨论，因为计算机只能处理离散的数值信号，我们的最终目的是运用计算机来处理信号的。

但是对于非周期性的信号，我们需要用无穷多不同频率的正弦曲线来表示，这对于计算机来说是不可能实现的。

所以对于离散信号的变换只有离散傅立叶变换（DFT）才能被适用，对于计算机来说只有离散的和有限长度的数据才能被处理，对于其它的变换类型只有在数学演算中才能用到，在计算机面前我们只能用DFT方法，后面我们要理解的也正是DFT方法。

这里要理解的是我们使用周期性的信号目的是为了能够用数学方法来解决问题，至于考虑周期性信号是从哪里得到或怎样得到是无意义的。

每种傅立叶变换都分成实数和复数两种方法，对于实数方法是最好理解的，但是复数方法就相对复杂许多了，需要懂得有关复数的理论知识，不过，如果理解了实数离散傅立叶变换(real DFT)，再去理解复数傅立叶就更容易了，所以我们先把复数的傅立叶放到一边去，先来理解实数傅立叶变换，在后面我们会先讲讲关于复数的基本理论，然后在理解了实数傅立叶变换的基础上再来理解复数傅立叶变换。

还有，这里我们所要说的变换(transform)虽然是数学意义上的变换，但跟函数变换是不同的，函数变换是符合一一映射准则的，对于离散数字信号处理（DSP），有许多的变换：傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换、希尔伯特变换、离散余弦变换等，这些都扩展了函数变换的定义，允许输入和输出有多种的值，简单地说变换就是把一堆的数据变成另一堆的数据的方法。