极坐标下求加速度
极坐标公式
极坐标公式什么是极坐标公式？极坐标公式是一种用于描述平面上点的坐标系统。
与直角坐标系不同，极坐标系使用一个极径和一个极角来表示一个点的位置。
极径表示点与原点的距离，而极角表示点与参考方向的夹角。
极坐标公式可以使用以下形式来表示一个点的坐标：(r, θ)其中，r表示极径，单位可以是长度单位，例如米或英尺；θ表示极角，单位可以是角度（°）或弧度（rad）。
极坐标与直角坐标的关系极坐标与直角坐标之间可以相互转换。
对于平面上的点P(x, y)：•极径r的值可以通过以下公式计算得出：r = √(x^2 + y^2)•极角θ的值可以通过以下公式计算得出：θ = tan^(-1)(y / x)•直角坐标(x, y)则可以通过以下公式计算得出：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)如何使用极坐标公式？极坐标公式在数学、物理、工程等领域中具有广泛的应用。
以下是一些常见的用途：1. 描述圆形和椭圆形极坐标可以方便地描述圆形和椭圆形。
对于一个圆心为原点、半径为r的圆，极坐标参考方向可以是任意方向，极径始终保持为r。
椭圆形则可以通过调整极径来改变其形状。
2. 函数图像表示极坐标可以用来表示一些特殊的函数图像，例如极坐标方程r = f(θ)可以表示函数图像。
这在图形学和可视化编程中经常使用，可以绘制出美观的图形。
3. 矢量运算极坐标公式也被用于进行矢量运算。
例如，在物理学中，可以使用极坐标来描述物体的速度和加速度。
通过将速度和加速度分解为径向和切向分量，可以更方便地进行计算。
4. 坐标变换极坐标可以用于进行坐标变换。
在某些情况下，极坐标可以更简洁地描述物体的位置和方向。
因此，当需要进行坐标变换时，可以将直角坐标转换为极坐标进行计算，然后再转换回直角坐标。
总结极坐标公式提供了一种描述平面上点位置的坐标系统。
它与直角坐标系有不同的表示方法，但二者之间可以相互转换。
极坐标公式在数学、物理、工程等领域中有广泛的应用，可用于描述圆形和椭圆形、函数图像表示、矢量运算以及坐标变换等。
极坐标系速度加速度
在日常生活中的应用
导航系统
现代导航系统使用极坐标系来描 述航向和距离，帮助人们确定方
向和目的地。
地图绘制
地图上的经纬线可以转换为极坐标 系，方便人们计算距离和方向。
气象学
在气象学中，极坐标系用于描述风 向和风速，以及分析气象数据。
06
结论
总结极坐标系中速度和加速度的特点
总结词
极坐标系中速度和加速度具有旋转和平移的特性，与直角坐标系中的速度和加速度存在 差异。
03
加速度在极坐标系中的表示
加速度的定义
总结词
加速度是描述物体速度变化快慢的物理量，等于速度的变化量与发生这一变化所 用时间的比值。
详细描述
加速度的大小等于速度的变化率，方向与速度变化量的方向相同。在极坐标系中 ，速度可以表示为矢量，其大小和方向分别对应于极坐标中的模和角度。因此， 加速度的大小和方向也可以通过速度矢量的变化来描述。
详细描述
在极坐标系中，速度表示为矢量，其大小和方向随时间变化而变化。速度矢量在极坐标 系中具有旋转和平移两种特性，与直角坐标系中的速度矢量存在差异。同样地，加速度 在极坐标系中也具有旋转和平移的特性，其表示方法与直角坐标系中的加速度存在差异。
02
速度在极坐标系中的表示
速度的定义
总结词
速度是描述物体运动快慢的物理量，定义为单位时间内物体位移的变化量。
详细描述
在极坐标系中，速度定义为单位时间内质点位置矢量的变化量。质点的位置矢 量由极径和极角共同确定，因此速度的极坐标表示需要考虑这两个因素的变化。
速度的极坐标表示
总结词
速度的极坐标表示需要考虑质点在极坐标系中的位移和时间 的变化。
在工程学中的应用
机械工程
极坐标的知识点总结PPT
极坐标的知识点总结极坐标是一种描述平面上点的坐标系统，与直角坐标系相对应。
在极坐标中，点的位置由极径和极角表示，极径代表点到原点的距离，极角代表点与正半轴的夹角。
极坐标具有一些独特的性质和应用，下面将逐步介绍极坐标的基本概念、转换公式以及在数学和物理等领域的应用。
一、极坐标的基本概念 1. 极坐标系：极坐标系是由极轴和极角组成的坐标系，其中极轴是由原点O出发的射线，极角是由极轴和射线OP所夹的角度。
2. 极点和极径：极点是极坐标系的原点O，极径是点P到极点O的距离，用r表示。
3.极角：极角是由极轴和射线OP所夹的角度，通常用θ表示，取值范围为0到360度或0到2π弧度。
二、极坐标与直角坐标的转换公式 1. 极坐标到直角坐标的转换： - x = r * cosθ - y = r * sinθ 2. 直角坐标到极坐标的转换： - r = √(x^2 + y^2) - θ = arctan(y / x)三、极坐标的应用 1. 数学中的应用： - 极坐标方程：用极径和极角表示的方程，常用于描述曲线、圆和椭圆等几何图形。
- 极坐标下的微积分：在极坐标下，可以使用极坐标系的雅克比行列式来进行积分运算。
- 极坐标下的曲线积分：极坐标下的曲线积分可以简化对于弧长的计算，常用于求解环形路径上的物理量。
2. 物理中的应用： - 极坐标下的速度和加速度：利用极坐标转换公式，可以将速度和加速度从直角坐标系转换到极坐标系，从而更方便地描述物体的运动状态。
- 极坐标下的力和力矩：在某些情况下，使用极坐标可以更直观地描述物体受力和力矩的情况，尤其是涉及到旋转运动的问题。
总结：极坐标是一种用极径和极角表示点的坐标系统，可以简化某些数学和物理问题的描述和计算。
通过极坐标与直角坐标的转换公式，可以在不同坐标系之间进行转换。
在数学和物理等领域，极坐标具有广泛的应用，如曲线方程、微积分、曲线积分、运动学和动力学等。
了解和掌握极坐标的知识点有助于我们更好地理解和应用相关的数学和物理概念。
极坐标运动学-概述说明以及解释
极坐标运动学-概述说明以及解释1.引言1.1 概述极坐标运动学是运动学的一个重要分支，它研究了极坐标系下物体的运动规律和运动属性。
极坐标系是一种常用的坐标系，它通过极径和极角来描述物体的位置。
相比直角坐标系，极坐标系在某些问题的描述上更加简洁和方便。
在极坐标系中，物体的位置由距离原点的极径和与一个参考方向之间的极角来表示。
通过极径和极角的变化，我们可以得到物体在极坐标系中的位置变化情况以及速度、加速度等相关参数的变化规律。
极坐标运动学正是研究这些问题的数学工具和方法。
本文将介绍极坐标运动学的基本概念和原理，并探讨其在实际应用中的重要性。
我们将首先对极坐标系进行简单介绍，包括其定义、基本属性和运动规律。
然后，我们将讨论极坐标运动学的基本概念，包括极坐标运动学方程和相关参数的表示方法。
接着，我们将详细探讨极坐标运动学在各个领域中的具体应用，如机械工程、天文学、物理学等。
最后，我们将展望极坐标运动学的发展趋势，并提出一些可能的研究方向和挑战。
通过对极坐标运动学的研究，我们可以更深入地了解物体在极坐标系中的运动规律和变化规律。
这对于许多领域的研究和应用都具有重要意义，能够为相关领域的工程设计、数据分析和问题解决提供理论支持和实践指导。
本文希望能够对读者对极坐标运动学有一个全面的了解，激发更多有关极坐标运动学的研究和探索。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构进行论述极坐标运动学的相关内容：1.2.1 简要介绍极坐标系概念：首先，我们将简单介绍什么是极坐标系以及它的基本特点。
通过引入极坐标系的概念，我们能够更好地理解接下来要讨论的极坐标运动学概念。
1.2.2 论述极坐标运动学的基本概念：在本节中，我们将详细讨论极坐标运动学的基本概念和相关理论。
包括描述极坐标下物体运动的方法、极坐标坐标系与直角坐标系的转换关系等。
通过深入理解这些基本概念，我们能够为后续的应用和发展提供更坚实的基础。
1.2.3 探讨极坐标运动学的应用：本节将介绍一些重要的极坐标运动学的应用场景。
高中极坐标与参数方程知识点总结
高中极坐标与参数方程知识点总结1. 极坐标与参数方程的概念极坐标和参数方程都是描述平面上点的位置的数学表示方法。
极坐标的表示方式是使用极径和极角来确定一个点的位置，而参数方程则是使用两个参数来表示一个点的横纵坐标。
在极坐标中，一个点的位置由它到极点的距离（极径）和与极轴的夹角（极角）确定。
极坐标通常表示为(r,θ)，其中r表示极径，即点到极点的距离，而θ表示极角，即点与极轴的夹角。
参数方程则是使用参数来表示点的横纵坐标。
常见的参数方程形式是x=f(t)和y=g(t)，其中x和y表示点的横纵坐标，而t是参数。
通过改变参数t的取值，可以得到点的坐标。
2. 极坐标的转换极坐标与直角坐标（笛卡尔坐标）之间可以相互转换。
下面是极坐标到直角坐标的转换公式：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)其中(x, y)是点在直角坐标系中的坐标，r是极径，θ是极角。
而直角坐标到极坐标的转换公式如下：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y / x)其中√表示开平方，arctan表示反正切函数。
3. 参数方程的性质参数方程可以用来描述一条曲线或图形。
通过改变参数的取值范围，可以观察到曲线的形态和特点。
•曲线方程：将参数方程解析为表达式形式，得到的就是曲线的方程。
例如，参数方程为x=f(t)和y=g(t)，将其解析为y=f(x)的形式，即可得到曲线方程。
•曲线的对称性：通过观察参数方程中各个参数的表达式，可以得到曲线的对称性。
例如，如果x=f(t)中含有关于t的奇函数，那么对应的曲线关于y轴对称；如果y=f(t)中含有关于t的偶函数，那么对应的曲线关于x轴对称。
•曲线的特殊点：通过令参数值为特定的数值，可以得到曲线上的特殊点。
例如，在参数方程x=f(t)和y=g(t)中，当t=a时，对应的点就是曲线上的一个特殊点。
4. 极坐标和参数方程的应用极坐标和参数方程在数学和物理等领域有广泛的应用。
§2、速度、加速度的分量表达式
§2、速度、加速度的分量表达式上一次课，我们为了将运动的一些特征能直接的表示出来，而定义了速度和加速度，22;dt r d dt v d a dt r d v =≡≡ 。
在一般情况下它们往往都是时间t 的函数。
何谓定义呢？定义它本身不是可以用什么方法或者数学手段加以证明得到的，而是根据实际需要常常用到而定义下来的名称和概念。
例如过两点成一条直线……。
由于速度和加速度都是矢量，因此都可以将它们表示成分量的形式。
这次课将准备讨论速度、加速度在各种坐标系中的表达式。
一、 直角坐标系——直角坐标系又称笛卡儿坐标系在直角坐标系中，质点的位置矢径可以写成为：........z k y j x i r ++= （1）根据速度的定义可知dtr d v ≡将（1）代入，则有 1、速度： z y x v k v j v i dt dz k dt dy j dt dx i z k y j x i dt d dt r d v ++=++=++==...........................................)(于是，我们比较上面的等式，就可得到速度在直角坐标系中的分量表达式为：z dtdz v y dt dy v x dt dx v z y x ======;;可见速度沿三直角坐标轴的分量（即分速度）就等于其相应的坐标对时间t 的一阶导数。
速度的大小：222z y x v v v v v ++== 速度的方向就用方向余弦来表示：vv k v v v j v v v i v z y y ===),cos(;),cos(;),cos( 。
同理，我们由加速度的定义不难得到它的分量表达式。
2、加速度根据加速度的定义：zy x z y x a k a j a i dt dv k dt dv j dt dv i dt z d k y d j x d i dt dz k dy j dx i dt d dt v d a ++=++=++=++==2222)(比较这些恒等式可得加速度的直角坐标分量表达式：z dt z d v dv a y dt y d v dt dv a x dtx d v dt dv a z t z y y y x x x ============222222 于是可得加速度的大小为：222z y x a a a a a ++== 加速度的方向用方向余弦表示。
不同坐标系下描述的圆周运动
不同坐标系下描述的圆周运动曲线运动是相对于直线运动而言的一种物理运动形式，指物体的运动轨迹是曲线. 当物体所受的合力和它运动的方向不在同一直线上，物体的运动就是曲线运动. 在曲线运动中，当力矢量与速度矢量间的夹角等于90°时，作用力仅改变物体速度的方向，不改变速度的量值；当夹角小于90°时，作用力不仅改变物体运动速度的方向，并且增大速度的量值；当夹角大于90°时，同样改变物体运动速度的方向，但是却减小速度的量值. 曲线运动中速度的方向时刻在变，因为它是个矢量，既有大小，又有方向。
不论速度的大小是否改变，只要速度的方向发生改变，就表示速度矢量发生变化，也就具有了加速度，所以曲线运动是变速运动.匀速圆周运动是常见的曲线运动. 为了描述物体的运动而引入了参考系. 参考系指研究物体运动时所选定的参照物体或彼此不做相对运动的物体系. 根据牛顿力学定律在参考系中是否成立这一点，可把参考系分为惯性系和非惯性系，两类参考系的选择是任意的，但应以观察方便和使运动的描述尽可能简单为原则. 研究地面上物体的运动常选择地面为参考系.从运动学的角度来讲，参考系的选择原则上是任意的，但是参考系选择不同，对运动学问题研究的难易程度有很大影响，因此，选择参考系通常遵循简单、方便的原则. 在选择了恰当的参考系以后，要定量地描述物体的运动，还必须建立合适的坐标系. 目前经常用到的坐标系有直角坐标系、自然坐标系和极坐标系，这三种坐标系在描述物体的运动方面有异曲同工之妙，但针对不同的运动形式，三种坐标系处理问题的繁简程度却迥异. 下面我们从圆周运动的角度分别来分析这三种坐标系的应用特点.一、直角坐标系下的圆周运动的分析参照图1，圆周运动的运动学方程在直角坐标系中可描述为根据质点的瞬时速度的定义，可以得出质点做圆周运动时各个时刻的瞬时速度和合速度速度与x 轴的夹角为直角坐标系下圆周运动的加速度可表示为：其中B =■为角加速度.如果物体做匀速圆周运动，贝U B =0, 进而可知其合加速大小为■ =R?棕2,与x轴负半轴方向夹角为 e ,即指向圆心.由以上分析可见，直角坐标系在分析一般圆周运动时，涉及加速度的研究计算结果比较繁琐. 因此关于涉及圆周运动加速度分析时，采取自然坐标系.二、自然坐标系下的圆周运动的分析参照图2，圆周运动的运动学方程在自然坐标系中可描述为：s（t ）=R e （t ）（6）其中e （t）是物体从参考位置B点到任意位置A点转动的角度.在自然坐标系中对矢量分解为沿曲线切线方向且指向s 增加方向，记作■，曲线法线方向指向曲线的凹侧，记作■.又因曲线运动的瞬时速度方向始终沿着切线方向，故在自然坐标系下法线方向速度始终为零.圆周运动的线速度在自然坐标系下表示为■=■■ =r ?棕・（7）因为圆周运动的合速度在切线方向，因此切线方向的速度即其合速度.圆周运动加速度可表示为■ =a?子・+an・=■■ +r ?棕2・（8）当物体做匀速圆周运动时，■ =0,质点的加速度为・=r?棕2・.三、极坐标系下的圆周运动的分析参照图3，我们可以建立极坐标下的运动方程：因为圆周运动的质点在径向的位置矢量为定值，因此■ r=0■ r，其中・r表示径向方向.在垂直于径向的横向方向速度为■ e =r?棕・e，其中■ e表示横向方向.质点的加速度可以由加速度的定义式■ =■求得，因为在极坐标系下■e的方向随时间发生变化，因此通过分析直角坐标系、自然坐标系和极坐标系在圆周运动求解速度和加速度中的应用，可以发现自然坐标系和极坐标系在求物体圆周运动的速度和加速度时比较简洁. 因此在有关曲线运动的分析时一般首先考虑自然坐标系. 如果质点做螺旋运动，可在极坐标系下分析其运动情况. 涉及质点做直线运动，则直角坐标系可以显示出其优越性。
极坐标下的速度表达式
在极坐标下，速度的表达式的推导需要用到极坐标的一些基本性质和物理学的相关知识。
首先，我们知道在极坐标中，速度的表达式通常为：v = r * ω，其中r是距离（在极坐标中是角度θ的改变量），而ω是角速度（在极坐标中是θ对时间的导数）。
在极坐标系中，速度的表达式可以表示为：v = dr/dt = r * (dθ/dt)。
这个表达式适用于任何坐标系，包括直角坐标系和极坐标系。
现在，让我们考虑一个质点在极坐标系中的运动。
假设质点在直角坐标系中的位置为(x, y)，它在极坐标系中的位置为(r, θ)。
我们知道，当质点沿着θ方向运动时，它的速度在θ方向上的分量等于dθ/dt。
另一方面，如果质点以恒定的角速度ω转动，那么质点的位置在每一时刻都应该是θ+ ωt的倍数。
所以，我们得到了v = dr/dt = r * (dθ/dt) = r * ω这个表达式。
回到题目中的情况，如果你有一个粒子在极坐标系中的运动，且你正在尝试用这个粒子来回答这个问题。
这个粒子在空间中的运动轨迹是以一定的角度θ向着某个方向移动。
如果你知道这个粒子的初始角度θ(t=0)和角速度ω，那么这个粒子的速度v就可以通过上面的公式来计算。
具体来说，假设粒子的初始角度为θ(t=0) = θ?，角速度为ω= dθ/dt。
粒子经过时间Δt 后，其角度θ会改变Δθ= θ? + ωΔt。
因为角速度ω是与距离改变量（也就是θ的变化量）成正比的，所以我们可以通过求导来得到粒子的速度v = dr/dt = r * ω。
这个表达式包含了所有的重要物理信息，可以用来描述粒子的运动轨迹和速度。
总的来说，极坐标下的速度表达式为v = r * ω，其中r是距离（在极坐标中是角度θ的改变量），而ω是角速度（在极坐标中是θ对时间的导数）。
这个表达式适用于任何坐标系，包括直角坐标系和极坐标系。
当你知道了粒子的初始角度和角速度时，你就可以用这个表达式来计算粒子的速度了。
曲线运动公式
曲线运动公式引言：曲线运动是物体在运动过程中沿着曲线路径移动的运动形式。
曲线运动广泛应用于物理学、工程学和生物学等领域。
在研究曲线运动时，我们通常使用一些数学模型来描述物体在运动中位置、速度和加速度等的变化规律。
本文将详细介绍曲线运动公式及其应用。
一、曲线运动公式的推导与表达曲线运动的数学表达通常涉及到位置、速度和加速度三个方面。
在推导曲线运动公式时，我们需要首先明确运动路径，并确定某时刻物体的位置。
1. 位置函数物体在曲线运动中的位置可以用位置函数来描述。
位置函数通常用参数方程或者极坐标方程表示。
- 参数方程：在平面直角坐标系中，设物体运动路径为曲线C，以参数t为自变量，则物体在任意时刻t的位置可以表示为(x(t), y(t))，其中x(t)和y(t)是t的函数。
例如，对于抛物线曲线运动，其参数方程为：x(t) = v0cosθty(t) = v0sinθt - (1/2)gt^2其中，v0是初速度，θ是抛射角度，g是重力加速度。
- 极坐标方程：在二维极坐标系中，设物体运动路径为曲线C，以参数t为自变量，则物体在任意时刻t的位置可以表示为(r(t), θ(t))，其中r(t)和θ(t)是t的函数。
例如，对于圆周运动，其极坐标方程为：r(t) = Rθ(t) = ωt其中，R是圆的半径，ω是角速度。
2. 速度函数物体在曲线运动中的速度可以用速度函数来描述。
速度函数是位置函数对时间的导数，表示物体在各个时刻的速度大小和方向。
- 参数方程速度函数：v(t) = (x'(t), y'(t))其中，x'(t)和y'(t)分别表示位置函数x(t)和y(t)对时间t的导数。
- 极坐标速度函数：v(t) = (r'(t), θ'(t))其中，r'(t)和θ'(t)分别表示位置函数r(t)和θ(t)对时间t的导数。
3. 加速度函数物体在曲线运动中的加速度可以用加速度函数来描述。
理力答案_第二章
2-4 曲柄OA 以角速度s rad O /5.2=ω绕半径是cm r 152=的固定齿轮的轴O 转动，并带动装在曲柄A 端的、半径是cm r 51=的齿轮。
已知BD CE ⊥，求动齿轮上E D C B A 、、、、各点的速度大小。
解：由图可知，B 点在固定的齿轮上，所以：0=B v曲柄OA 以角速度0ω转动，可求得：120()50/A r r cm s ω=+=v ττ由此可求得小齿轮的角速度为：sr v A 1101==ω 因为B A AB =+⨯v v ωr5AB =r n所以50105⨯=-=-τωn τ 则：5050100D A AD =+⨯=+=v v ωr τττ 5055050E A AE =+⨯=+⨯=+v v ωr τωττn 5055050C A AC =+⨯=-⨯=-v v ωr τωττn综上所述：50/0100/70.7/A B D C E v cm s v v cm s v v cm s=====2-5 曲柄长cm OA 20=，以角速度s rad /2绕垂直于图面的固定轴O 转动。
在曲柄末端A 装习题 2-4有半径等于cm 10的齿轮2，后者与定齿轮1处于内啮合，而齿轮1则与曲柄同轴。
已知OC BD ⊥，求齿轮2边缘上E D C B 、、、各点的速度大小。
解：根据题意,齿轮2作刚体平面运动：0=C v)/(4.02.02s m v A =⨯= )/(41.0/4.0s rad w ==由于C 是速度瞬心，因此：)/(2404210s cm v v B D =⨯==)/(80420s cm v E =⨯=2-6 已知杆AB 恒与半径为R 的半圆台相切，A 端速度为常量；求杆的角速度与角θ的关系。
解：杆AB 与圆台相切于AB 上的点C ，C ν沿AB 方向，又知道点A 的速度沿水平方向，从而得到AB 的瞬时速度中心为如图所示的点D 。
CD习题 2-6习题 2-5从而有：A AB AD νω=又，2/sin cos tan tan sin OA OC R AD θθθθθ=== 得到：2sin /cos ABA v AD R θωνθ==(逆时针)2-7 已知OA 杆以匀角速度ωω=e 逆时针转动，圆盘B 相对AB 杆以ωω4=r 作顺时针纯滚动，圆盘半径为r ，r OP 3=。
各种坐标法
::矢径::...选取参考系上某确定点 O 为坐标原点，自点O 向动点M 作矢量，称为点 M 相对原点 O 的位置矢量，简称矢径。
::运动方程::...当动点M 运动时，矢径随时间而变化，并且是时间的单值连续函数，即=(t)。
上式称为以矢量表示的点的运动方程。
::轨迹::...动点M 在运动过程中，其矢径的末端描绘出一条连续曲线，称为矢端曲线。
显然，矢径的矢端曲线就是动点M 的运动轨迹，如图所示。
::速度::...动点的速度矢等于它的矢径对时间的一阶导数，即：。
动点的速度矢沿着矢径的矢端曲线的切线，即沿动点运动轨迹的切线，并与此点运动的方向一致。
::加速度::...点的速度矢对时间的变化率称为加速度。
动点的加速度矢等于该点的速度矢对时间的一阶导数，或等于矢径对时间的二阶导数，即：为方便起见，记为如在空间任意取一点O ，把动点M在连续不同瞬时的速度矢，…等都平行地移到点O ，连接各矢量的端点M ，，…，就构成了矢量端点的连续曲线，称为速度矢端曲线，如下图所示。
动点的加速度矢的方向与速度矢端曲线在相应点M 的切线相平行。
::运动方程::...取一固定的直角坐标系Oxyz ，如下图所示。
由于原点与直角坐标系的原点重合，因此有如下关系式中分别为沿三个定坐标轴的单位矢量。
由于是时间的单值连续函数，因此x ，y ，z 也是时间的单值连续函数，即：这些方程称为以直角坐标表示的点的运动方程。
当点在某一平面运动时，运动方程为：::轨迹::...将运动方程中的时间 t 消去，可以得到点的轨迹方程。
对于平面问题有：f （x ，y ） =0::速度::...有结论：速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的一阶导数。
::加速度::...结论：加速度在直角坐标轴上的投影等于动点各对应坐标对时间的二阶导数。
::例一::...已知：椭圆规的曲柄OC 可绕定轴O 转动，其端点C 与规尺AB 中点以铰链相连接，而规尺A ，B 两端分别在相互垂直的滑槽中运动，如图所示。
径向加速度
径向加速度
径向加速度应当是极坐标系下采用的概念，与横向加速度相对。
径向加速度指的是质点运动用极坐标系描述时，质点的加速度在极坐标系径向方向的分量。
而“沿半径方向的加速度”就是个稀有的说法了……按照我的理解，应当是法向加速度，这是自然坐标系下采用的概念，与切向加速度相对。
法向加速度指的是质点运动用自然坐标系描述时，质点的加速度在质点运动轨迹曲率半径正向方向投影的分量。
即质点加速度在主法线方向的分量。
径向加速度和法向加速度通常会不一样。
最简单的例子如地球在椭圆轨道上围绕太阳的运动：径向加速度始终指向太阳（极点），而法向加速度始终垂直于运动方向，即轨道切线方向，其大小明显会和径向加速度不一样。
平面极坐标系中质点的加速度公式及其物理意义
g
j 和 j
=
一
O
( 二 ) 加 速 度 公 式 中各 项 的 物 理 意 义
在径 向 加 速度
a
r
=
(Y
一
丫O
“
)
i
中
;
-
.
第 一项
.
丫 i
,
盏
,
是 径 向速 度 V
“
~、
.
r
曰盏
=
Y i
的 量 值 的 时 间变 化 率
.
。
当丫 >
o
时
,
此 项 与 质点 矢 径
孟 卜
二`
丫 的方向 相同
当丫 <
,
,
:
当e >
。
,
其 方 向 垂 直于 矢 径
。
,
龙 指向 极
=
角 0 增加 的方 向
当 O <
o
,
其 方ห้องสมุดไป่ตู้向 则垂 直 于
,
丫
且指 向
` 卜
减 小的方 向
、
特 殊地
。
,
当
丫
常量
,
质 点 以 极点 为 园 心 作 园 周 运 动 第二 项 2
r
则 横 向 加 速度 就 只 等 于 此 切 向加 速 度 了
~
一
、
Y e“ i
合成 的
二.
。
、
“ 。
在 横 向 加速 度 a
.
~ 福 、
二
( Ye
+
Z Y e)
一、 。
… 」中
二
:
极坐标系
4．平面极坐标系在平面问题中，也常应用极坐标系，有些问题用极坐标系，比用直角坐标系来处理方便得多。
(1)质点的位置矢径在所研究的平面内取固定于参考系统的—点为原点，称为极点．又在上述平面内取一条通过极点的固定射线，称为极轴。
这就组成了极坐标系。
质点与极点的距离叫极径，记作 ρ；质点相对于极轴的方位角叫极角，记作 ϕ。
ρ与 ϕ即是质点的极坐标。
图1-6因为矢径的方向总是径向的。
所以 它只有径向分量 ρ，没有横向分量．即 ρ=r i （1. 36）i为沿径向的单位矢量，它的方向表明质点的方位角 ϕ。
虽然极坐标的极轴与极点固定于参考系不变，但不同的位置的径向单位矢量 i 却不同。
所以在极坐标中， i 不再是常矢量，也就是单位矢量 j 也是一样，不是常矢量这一点和直角坐标系大不一样，在求质点运动的速度和加速度时需要特别加以注意。
位置矢径()()()t t t ρ=r i 用极坐标表示可以写为()()t t ρρϕϕ=⎧⎨=⎩ （1. 37）这也就是轨道的参数方程，消去 t 可求得轨道方程 (,)0f ρϕ= （1. 38） （2）速度即（1. 39）可以证明v 可以表示为（1. 40）式中的 j 为横向的单位矢量。
速度的分量式为：v v ρϕ=+v i j。
这是很容易理解的，因就等于径向距离的时间变化率，横向速度就等于径向距离与角速度的乘积。
横向速度来源于极角 ϕ的变化，而矢径方向的单位矢量 i 的指向随着 ϕ的变化而变化。
3）加速度即（1. 41）可以证明所以2()(2)ρρϕρϕρϕ=-++ a i j ， （1. 42）即2a ρρρϕ=- ， 2a ϕρϕρϕ=+最终得 a a ρϕ=+a i j5．自然坐标系在不少情况下，如已知质点运动的轨道时，质点的位置常用从某个选定的点O 算起的曲线距离来表示。
（1）质点的位置设一个质点沿如图1-7所示轨道运动，在轨道上选一固定点O ，质点位于A 点时，它与O 点的曲线距离为 ()s s t =.(2) 速度质点沿轨道运动时，它的速度方向必沿轨道切线方向，速度的大小即速率为速度（1.43）图1-7上式中 τ 为切线方向的单位矢量。
极坐标系下的速度和加速度
活动坐标系以极坐标系下任意点P(r,θ)为原点，建立一个活动坐标系，该坐标系的两个主方向分别为径向(radial)和横向(transverse)。
径向与OP⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向一致。
横向与径向垂直且朝向θ增加的方向。
该坐标系下的任一点或物理量可以通过主方向上的两个单位矢量（基）表示出来。
例如，假设P是一运动质点，则它的速度和加速度可以分解为v P=v r e r+vθeθ,a P=a r e r+aθeθ其中e r是径向单位矢量，eθ是横向单位矢量。
e r的直角坐标表示可以通过对OP⃗⃗⃗⃗⃗ 单位化获得。
e r=OP⃗⃗⃗⃗⃗|OP|=(cosθ,sinθ)而eθ的直角坐标表示可将e r逆时针旋转90°获得。
eθ=(−sinθ,cosθ)可以看出，{e r,eθ,P(r,θ)}刚好也是一个右手系。
并且该活动坐标系是与r的取值无关的（只要r≠0）。
所以当点P径向运动时，活动坐标系不发生改变；只有当点P有横向运动分量时活动坐标系才会发生改变。
e r,eθ关于θ的导数ddθe r=(−sinθ,cosθ)=eθddθeθ=−(cosθ,sinθ)=−e r极坐标系下的速度方法一设质点P(r,θ)的运动方程为{r=r(t)θ=θ(t)。
以时刻t为起点，建立活动坐标系{e r,eθ,P(r(t),θ(t))}，则经过∆t时刻质点运动到P′=[r(t+∆t)−r(t)]e r+[θ(t+∆t)−θ(t)]r(t)eθ因此，在时刻t，质点速度在坐标系{e r,eθ,P(r(t),θ(t))}下可以表示为v P=lim∆t→0PP′∆t=ṙe r+rθeθ其中，径向速度为ṙ，横向速度为rθ。
方法二以r P代表质点P的坐标。
r P(t)就代表了质点P的运动方程。
由于r P(t)=(r(t)cosθ(t),r(t)sinθ(t))=r(t)e r(t)所以d dt r P(t)=ddt(r(t)e r(t))=(ddtr(t))e r(t)+r(t)(ddte r(t))其中d dte r=de rdθ·dθdt=θeθ这一项可以理解为由质点位置矢量的方向(e r)改变所引起的。
第二讲 点运动的自然坐标法、极坐标法
图难于其易， 为大于其细。天下难事必作于易，天 下大事必作于细 。 ——老子
（1）矢量描述法（基本） （2）直角坐标法 （3）自然坐标法（难点） （4）极坐标法 （5）联合应用例题
1-3 描述点运动的自然坐标法
运动轨迹的参数方程 r = r(s)
自然坐标 s 具有坐标性质：
r(s)
• 自然轴系 切线PT, 单位矢τ 主法线PN, 在α内, PN ⊥ PT,单位矢 n 副法线PB, 单位矢b = τ × n
作业: 李俊峰、张雄主编《理论力学》,清华-Springer出版
习题 1-10，1-12，1-13, 1-14
密切面
例题 1.4 单摆的自然坐标描述。
单摆的运动规律为 ϕ =ϕ0 sinωt ，ω为常数， OA = l。求摆锤A的速度v和加速度a。
aτ
ap
an
ϕ (t )
x
o
a = &s&τ +(s&2 / ρ)n = Rϕ&&τ + Rϕ&2n
aτ
an
圆的曲率半径就是其半径 ρ = R 。
刚体定轴转动及其上点的运动
若刚体上的两点始终保持不动，则刚体上通过这两点直线 上的点也保持不动。 这种刚体运动称为定轴转动
定轴转动刚体上任一点 P 作圆周运动。
主法线单位矢： n = d τ dϕ
曲率半径：
ρ
=
ds dϕ
切向加速度 aτ = &s&
法向加速度 an = s&2 / ρ = v2 / ρ
1
讨论
点沿着一螺旋线自 外向内运动。点所走过的 弧长与时间的一次方成正 比 s = αt + β 。请判断点的运 动性质：
极坐标系速度加速度
•说明：
–v 、ar、a 并非单纯由该方向相关量的变化引起； –表面看来，极坐标系中速度和加速度的表达式比直角坐标系中复杂，实际 上在解决某些具体问题时，例如质点作圆周运动时，利用极坐标系来描述比 较方便。
6
4
v r – 径向速度（radial velocity)：
vr
dr dt
– 横向速度(transverse velocity)：
d
dt
– 速度的大小：v vr2 v2
r dr 2
dt
d 2 dt
四、极坐标系中的加速度
a
dv
d
dr
i r
d
j
dt dt dt
dt
d 2r dt 2
i
dr dt
di dt
dr dt
d
dt
j
r
d 2
dt 2
j
r
d
dt
dj dt
d 2rˆ dt 2 i
dr dt
d
dt
j dr d
dt dt
j
r
d 2
dt 2
j r d
dt
d (i )
dt
d 2r dt 2
r d
dt
2
i
r
d 2
dt 2
2 dr dt
d
dt
j
(
r
r 2
• •
运质动点学的方位程置：矢量r=r：(tr),
=(t) r (t)
r
(t)rˆ
• 质点的轨迹方程：r=r()
三、极坐标系中的速度
v
dr
d
[ ri ]
dr
极坐标加减
极坐标加减
极坐标是用于描述二维平面上点位置的坐标系，其由两个参数组成：极径和极角。
其中，极径是点到原点的距离，极角是点与正半轴之间的夹角。
在极坐标下，点的坐标表示为(r,θ)，其中r为极径，θ为极角。
在极坐标下，点的运算涉及极径和极角的加减。
极坐标加减的规则与直角坐标下的加减不同，需要根据极坐标的定义进行推导。
极坐标加法的规则如下：
设P(r1,θ1)和Q(r2,θ2)为两点，其和点为R(r,θ)。
则有：
r = sqrt(r1^2 + r2^2 + 2r1r2cos(θ2 –θ1))
其中，第一个公式表示极径的计算，第二个公式表示极角的计算。
需要注意的是，第二个公式中的arctan函数需要适当的调整取值范围。
需要注意的是，在进行极坐标的加减运算时，需要先将极角统一表示在同一范围内。
一般来说，极角在[0,2π)内表示，如果出现角度超出该范围，需要通过简单的数学运算将其调整到该范围内。
综上所述，极坐标加减运算的规则和直角坐标系下相比略显复杂。
但是，在特定的应用场景下，极坐标能够更好的描述数据，并且进行各种复杂的变换和计算，因此具有很高的应用价值。
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极坐标系下速度与加速度的推导过程：
一、极坐标系（ plane polar coordinates ）
1 ．极坐标系
在参考系上取点 O ，引有刻度的射线 OX 称为极轴（有方向的），建成极坐标系。
矢径：由参考点 O 引向质点位置 A 的线段长度
由 r 表示矢径。
如图示： r=
幅角：质点的位置矢量与极轴所夹的角θ （也称：极角）
规定：自极轴逆时针转至位置矢量的幅角为正，反之为负。
（ r ，θ）确定平面上质点的位置，称为极坐标。
质点的运动学方程：、
质点的轨迹：
2 ．极坐标系中矢量的正交分解
如图示：质点在 A 点，沿位置矢量方向称为径向
径向单位矢量：沿质点所在处位置矢量的方向。
横向单位矢量：与径向方向垂直且指向增加的方向。
任何矢量均可在和方向上作正交分解。
注意：径向和横向随地点而异。
二、径向速度与横向速度
讨论质点平面运动速度在极坐标系中的正交分解式，如图示：
（ 1 ）用微元法推导速度
设： t t+ 时间内，图中质点自 A （ r， t）经历一微小的位移，到达
由速度的定义：
（ 1 ）位移对应于质点矢量的改变——径向位移；
位移对应于质点相对于极点幅角的改变——横向位移。
时，指向趋于方向。
，时，指向趋于方向。
(2)
故 : 速度的径向分量：，速度的径横向分量：
即：径向速度等于矢径对时间的变化率
横向速度等于矢径与角速度的乘积。
（ 2 ）矢量运算法推导速度
（ 5 ）对于径向速度是矢径的变化而引起的速度的大小。
下面讨论：
如图所示是单位径向方向，模的大小为 1 。
（）
另外的推导也可如下进行：
右端展开是 :
即：
所以 : 。
三、加速度矢量
用“矢量法”推导“加速度”
已知：
加速度另外一种表示；。