空间直线及其方程一
空间直线及其方程(1)
空间直线的各种方程 两直线的夹角 直线与平面的夹角 小结 思考题 作业
2009.2.6
北京工商大学
7-6-1
空间直线及其方程
一、空间直线的各种方程形式
1. 空间直线的一般形式 定义 空间直线可看成两平面的交线 z. A1 x B1 y C1 z D1 0 1 L (1) A2 x B2 y C 2 z D2 0 2
m1 n1 p1 , ( 2) L1 // L2 m2 n2 p2
例 直线 L1 :
直线 L2 :
s1 (1,4, 0), s2 (0,0,1),
s1 s2 0, s1 s2 , 即 L1 L2 .
2009.2.6
北京工商大学
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s
例 求过两点M1(1,2,3),M2(2,6,5)的直线方程.
解 向量 M1 M 2 与直线平行 取 s M1 M 2 (1,4,2)
所求直线方程为
x 1 y 2 z 3 4 1 2
· M
· M
1
2
2009.2.6
北京工商大学
7-6-8
空间直线及其方程
例 一直线过点A(2,3,4), 且和 y轴垂直相交,
所求直线的方程
x3 y2 z5 . 4 3 1
2009.2.6 北京工商大学 7-6-23
空间直线及其方程
三、直线与平面的夹角
定义 直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为该直线与平面的夹角. 0 2 x x0 y y0 z z0 L: , s ( m , n, p ), m n p : Ax By Cz D 0, n ( A, B , C ), ^ ^ ( s , n) ( s , n) 2
高等数学 第5讲 空间直线及其方程
与直线
2 3
x x
2 8
y y
z z
23 18
0 0
的夹角的余弦为__________；
3、 直
线
x x
y y
3z 0 z0
和平面
x
y
z
1
0
在平
面 x 2 y z 1 0上的夹角为___________；
4、点(1 , 2 , 0 )在平面x 2 y z 1 0上的投影为
设直线 L 的方向向量为 s (m, n, p) 平面 的法向量为 n (A, B,C )
则直线与平面夹角 满足
︿ sin cos( s , n )
ns L
sn sn
Am Bn C p m2 n2 p2 A2 B2 C2
特别有:
(1) L
D1 D2
0 0
对称式
参数式
x y
x0 y0
m n
t t
z z0 p t
(m2 n2 p2 0)
2. 线与线的关系
直线
L1：x
x1 m1
y
y1 n1
z
z1 p1
,
直线
L2：x
x2 m2
y
y2 n2
z
z2 p2
,
L1 L2
比例，所以对于任何一个 值，方程(3)的系数：
A1 A2、B1 B2、C1 C2不全为零，从而方程(3)表示
空间直线及其方程
x1，y2，z2．
例6 求过点(2，1，3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线的方程．
P
L
M
例6 求过点(2，1，3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线的方程．
解 先作一个过已知点且与已知直线垂直的平面，这个平面 的方程为
直线L 的平面束方程．
通过直线L：
A1x A2 x
B1 y C1z D1 0, B2 y C2 z D2 0
的平面束方程
A 1xB 1yC 1zD 1l( A 2xB 2yC 2zD 2)0．
L
例7
求直线
x y z 1 0, x y z 1 0
的方程．
在平面xyz0上的投影直线
与L的方向向量 s 平行．所以两向量的对应坐标成比例，由于
M 0M {xx 0，yy 0，zz 0}， s{m，n，p}， 从而有
z
s
M
x x0 y y0 z z0 ，
M0
m
n
p
此方程组就是直线 L 的方程，叫做 直线的对称式方程或点向式方程．
O
y
x
方向数： 直线的任一方向向量的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向
条直线的方向向量． z
确定直线的条件：
当直线L上一点M0(x0，y0，x0)
s
和它的一方向向量 s{m，n，p}
M0
为已知时，直线L的位置就完全确定了．
O
y
x
直线的对称式方程：
设直线L上一点M0(x0 , y0 , x0)和它的一方向向量 s {m, n, p}
7-5 空间直线及其方程
x 直线 L : x1 = y y1 = z z1 , 1 m n1 p1 1 x x2 y y2 z z2 直线 L2: = = , m2 n2 p2
L ⊥ L2 1
s1 s2 = 0
L // L2 1
s1 ×s2 = 0
s1 s2 夹角公式: cos = s1 s2
m n1 p1 1 = = m2 n2 p2
平面与直线间的夹角 平面 ∏ : Ax + By + Cz + D = 0, n = ( A, B, C ) xx y y z z 直线 L : = = , s = (m, n, p) m n p m n p = = L⊥∏ s ×n = 0 A B C L // ∏ 夹角公式:
sn=0
sn sin = s n
s 解: 两条直线的方向向量为 s1 = ( 2,4, 3) ,2 = ( 3,1, 2)
s1 s2 由夹角公式 cos = s1 s2
=
4 = 2 2 2 2 2 2 406 2 + 4 + ( 3) 3 + 1 + 2
| 2 × 3 + 4 × 1 + ( 3 ) × 2 |
4 则 = arccos 406
x x1 y y1 z z1 则所求直线方程为 = = x2 x1 y2 y1 z2 z1
x4 y+3 z 例4. 求直线 L : = = 在平面 5 2 1 上的投影直线的方程. ∏ : 4 x y + z = 1 上的投影直线的方程.
解: 设 ∏ 是过 L 垂直于 ∏ 的平面. 其法向量为 的平面.
解:L 的参数方程为 x = t ,
y = 1 + t , z = 1 + 2t . 代入平面方程得 + (1 + t ) (1 + 2t ) = 0
空间直线的方程和性质
空间直线的方程和性质直线是空间几何中最基本的图形之一，它具有许多重要的性质和特征。
本文将介绍空间直线的方程和一些主要性质，以便更好地理解和应用直线的概念。
一、空间直线的方程在三维空间中，直线可以用参数方程、对称方程和一般方程来表示。
1. 参数方程：设直线上一点为P(x0, y0, z0)，直线的方向向量为a(m, n, p)。
则直线的参数方程为：x = x0 + mty = y0 + ntz = z0 + pt其中t为参数，表示直线上的任意一点。
2. 对称方程：设直线过一点P(x0, y0, z0)且平行于向量a(m, n, p)。
则直线的对称方程为：(x - x0) / m = (y - y0) / n = (z - z0) / p这个方程表示直线上的所有点满足这个比值关系。
3. 一般方程：直线的一般方程形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为不全为零的实数。
通过对这个方程的系数进行标准化处理，可以得到一个方便使用的一般方程。
二、空间直线的性质空间直线具有以下几个重要的性质：1. 直线的方向：直线的方向由其方向向量确定。
对于参数方程和对称方程，直线的方向向量就是其参数的系数。
对于一般方程，直线的方向向量可以通过系数A、B、C来确定。
2. 直线的倾斜类型：直线可以是水平的、竖直的或斜的。
根据直线的方向向量，我们可以判断直线的倾斜类型。
若方向向量的两个分量为0，第三个分量不为0，则直线是竖直的；若第三个分量为0，前两个分量不全为0，则直线是水平的；若前两个分量都不为0，直线是斜的。
3. 直线的截距：对于一般方程Ax + By + Cz + D = 0，直线在三个坐标轴上的截距分别为：x轴截距：x = -D / Ay轴截距：y = -D / Bz轴截距：z = -D / C4. 直线的倾斜角和垂直角：直线的倾斜角是指直线与坐标轴正向之间的夹角。
可以通过方向向量求得各个坐标轴的倾斜角。
第六节--空间直线及其方程
第六节 空间直线及其方程教学目的：介绍空间曲线中最常用的直线，与平面同为本章的重点 教学重点：1.直线方程2.直线与平面的综合题教学难点：1.直线的几种表达式2.直线与平面的综合题教学内容：一、空间直线的一般方程空间直线可以看成是两个平面的交线。
故其一般方程为：⎩⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A 二、空间直线的对称式方程与参数方程平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。
已知直线上的一点),,(0000z y x M 和它的一方向向量},,{p n m =s ，设直线上任一点为),,(z y x M ，那么M M 0与s 平行，由平行的坐标表示式有：pz z n y y m x x 000-=-=- 此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。
（写时参照书上注释）如设t pz z n y y m x x =-=-=-000 就可将对称式方程变成参数方程（t 为参数）⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mtx x 000 三种形式可以互换，按具体要求写相应的方程。
例1：用对称式方程及参数方程表示直线⎩⎨⎧=++-=+++043201z y x z y x ．解：在直线上任取一点),,(000z y x ，取10=x ⎩⎨⎧=--=++⇒063020000z y z y ，解得2,000-==z y ，即直线上点坐标)2,0,1(-．因所求直线与两平面的法向量都垂直，取}3,1,4{--=⨯=21n n s ，对称式方程为：321041-+=--=-z y x 参数方程： ⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+=tz t y tx 3241．例2： 一直线过点)4,3,2(-A ，且和y 轴垂直相交，求其方程．解：因为直线和y 轴垂直相交，所以交点为)0,3,0(-B ，于是→==}4,0,2{BA s ，所求直线方程：440322-=+=-z y x 三、两直线的夹角： 两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角。
4空间直线及其方程
l ' l'
: 2x + y + 2z = 0
'：
即
x y 1 ( y z 1) 0 ,
x z 2 0.
故: 投影直线l':
xz 2 = 0 2x+y +2z = 0
作业
P33.2. 3. 5. 10. 11
3 2 3 2
(x – y + z – 1) = 0
即：5x – y + z – 3 = 0
例7 .求直线 l :
x + y 1=0,
y + z + 1=0.
在平面 : 2x + y + 2z = 0
l ' l'
上的投影直线方程. 解：设投影直线为l'，则由l与 l'决定的平面'与平面垂直。
高校理科通识教育平台数学课程
微积分学(二)
多元微积分学
空间解析几何
●
授课教师
孙学峰
向量代数与 空间解析几何
空间直线及其方程
§4
空间直线及其方程
一. 空间直线的方程
(一).空间直线的一般方程 空间直线可看成是两个不平行平面1与 2 的交线 已知平面1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0
( 为任意实数 .)
过直线 l 与点 p0 的平面为:
(A x B y C z D )
1 1 1 1
Ax B y C z D
1 0 1 0 1 0
5.5 空间直线及其方程
y ≡ −2 表示直线上的动点在变动时， 这里， 这里， 表示直线上的动点在变动时，y 坐标始终 等于-2, 即直线与 y 轴是垂直的, 方向向量在 y 轴上投影为0.
(2) s = AB = (1 , 2 , −3), 所求直线方程为:
x +1 y − 3 z − 2 = = . 1 2 −3
x −1 y − 3 z + 2 = = . 3 −2 4
d s
平面束方程： 平面束方程： 设直线 L 的一般方程为
则直线外一点 P 1 到直线 L 的距离 可看作为以 s 和 P0 P 为邻边的平行四边形 s×P 0P 1 d= 在边 s 上的高. 于是由前面的结果知:
cos ϕ =
即
ϕ=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
π
3
1 1 = , 2 2 2
.
直线与平面的夹角： 直线与平面的夹角： 直线与平面的夹角定义为直线与平面法线夹角的余角 (不取钝角). 若直线的方向向量为 s = ( m, n, p ) , 平面的法向为 n = ( A, B, C ) , 直线与平面的夹角为 ϕ θ = ( s , n ), 0 ≤ θ ≤ π ，则 2
L1
s1
s1 ⋅ s2 m1m2 + n1n2 + p1 p2 = . 2 2 2 2 s1 ⋅ s2 m1 + n12 + p12 m2 + n2 + p2
π 0 ≤ ϕ ≤ 2
例8 求直线 特别， 特别，两直线垂直 ⇔ s1 ⊥ s2
x + 2y + z =1 x − y − z = 1 与 的夹角. x − 2y + z = 3 x − y + 2z =1
高等数学第六节空间直线及其方程
空间直线及其方程
P 330
一、空间直线的一般方程 （交面式）
空间直线可看成是两张平面的交线 , 从而得到直线的 一般式方程 :
A1 x B1 y C1 z D1 0 (1) A2 x B2 y C 2 z D2 0 ( 2) ( A1 : A2 B1 : B2 C1 : C 2 不成立 )
再找出 L 上的一点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) ,
x0 1 x0 z0 1 0 . 设 y0 0 , 则 z 0 2 2 x 0 3 z 0 4 0
s ( 4 , 1, 3 ) , M 0 M 0 ( 1, 0 , 2 )
四、两点式方程
已知两点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) , M1 ( x1 , y1 , z1 ) , 直线 L 过点 M 0 , M1 .
L的方向向量 :
( L 存在唯一 )
M0
M1
L
s M 0 M1 ( x1 x0 , y1 y0 , z1 z0 ) ,
L的方程 :
五、两直线的夹角
一 . 两直线夹角 两直线方向向量的夹角( 取锐角 ) . x x1 y y1 z z1 n2 设 L1方程为 , m1 n1 p1 n1 x x2 y y2 z z 2 L2方程为 , m2 n2 p2 为锐角 L1 , L2 夹角为 . 为钝角 s1 s 2 m1m 2 n1n2 p1 p2 cos , 2 2 2 2 2 2 | s1 | | s 2 | m1 n1 p1 m2 n2 p2
L1 // L2 L1 L2 s1 // s2 s1 s2
空间直线及其方程
空间直线及其方程§8.4 空间直线及其方程ü直线的一般方程ü直线的参数方程和对称方程ü两直线的夹角ü直线与平面的夹角一、空间直线的一般方程定义空间直线可看成两平面的交线．Π1:A1x+B1y+C1z+D1Π2:A2x+B2y+C2z+D2A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0空间直线的一般方程y注：表示同一直线的一般方程不唯一。
确定空间直线的条件•由两个平面确定一条直线；•由空间的两点确定一条直线；•由空间的一点和一个方向来确定一条直线。
二、空间直线的参数方程与对称式方程r如果一非零向量sr一条已知直线L，向量s线L的方向向量．设定点M0(x0,y0,z0)∈L,方向向量的定义：yr∀M(x,y,z)∈L,0//srs={m,n,p},M0={x−x0,y−y0,z−z0}则{x−x0,y−y0,z−z0}=t{m,n,p} x=x0+mt y=y0+ntz=z+pt0消去参数t，有直线的参数方程x−xy−yz−z==直线的对称式方程mnp直线的一组方向数方向向量的余弦称为直线的方向余弦.注：1. 表示同一直线的对称方程不唯一；2. 对称式方程可转化为一般方程;x=x0,x−x0y−y0z−z0 3.==理解为:y−y=z−z.0np p n4. 任一条直线均可表示为对称式方程.设直线过两点M(x1,y1,z1),N(x2,y2,z2)r则s={x2−x1,y2−y1,z2−z1}x−x1y−y1z−z1直线的对称方程为：==x2−x1y2−y1z2−z1例1用对称式方程及参数方程表示直线x+y+z+1=0.2x−y+3z+4=0解在直线上任取一点(x0,y0,z0)y0+z0+2=0取x0=1⇒,y0−3z0−6=0解得y0=0,z0=−2点坐标(1,0,−2),因所求直线与两平面的法向量都垂直取rrrs=n1×n2={4,−1,−3}, x−1y−0z+2对称式方程==,4−1−3x=1+4t.参数方程y=−tz=−2−3t例2 一直线过点A(2,−3,4)，且和y轴垂直相交，求其方程.解因为直线和y轴垂直相交,所以交点为B(0,−3,0),r取s=={2,0,4},x−2y+3z−4==.所求直线方程204三、两直线的夹角定义两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）x−x1y−y1z−z1直线L1:==,p1m1n1x−x2y−y2z−z2直线L2:==,m2n2p2 ^cos(L,L)=12|mm+nn+pp|m1+n1+p1⋅m2+n2+p2两直线的夹角公式222222两直线的位置关系：(1)L1⊥L2⇐⇒m1m2+n1n2+p1p2=0,m1n1p1==,(2)L1//L2⇐⇒m2n2p2r例如，直线L1:s1={1,−4,0},r直线L2:s2={0,0,1},rrrrQs1⋅s2=0,∴s1⊥s2,即L1⊥L2.x−4z=3例3 一直线L过点(-3,2,5)，且和直线2x−y−5z=1平行，求其方程.vi解rrrQs=n1×n2=1vj0vk−4=−{4,3,1}2−1−5∴所求直线方程v方法2:设s={m,n,p}x+3y−2z−5==.431m−4p=0mnpvvvvQs⊥n1,s⊥n2∴⇒==4312m−n−5p=0v取s={4,3,1}………x+1y−1z==例4 一直线过点M0(2,1,3)，且与直线L: 32−1垂直相交，求其方程.解设所求直线为l , 先求两直线的交点。
高等数学-空间直线及其方程
的夹角的正弦。
i jk
解：L的一个方向向量
S2
1
0 1, 2,2
中法向量 n 1,1,1
011
则它们的夹角正弦为：
sin 11 1 2 1 2 1 111 12 22 22 3 3
例8：求过直线 L :
x 1 y 1 z 1 1 1 2
与平面
: x y 3z 15 0 的交点，且求垂直直线于与此平平面面交的点坐
向量。一条直线的方向向量有无穷多个，它们是相互
平行的。任一方向向量的坐标称为直线的一组方向数。
由于过空间一点可作而且只能作一条直线平行
于已知直线，
所以，当已知直线L上一点 r
M0
(x,
y,
z)
和它的一方向向量 S m, n, p,直线L的位置就完全
确定了。
建立直线 L 的对称式方程
已知直线上一点 M 0 (x0 , y0 , z0 )和它的方向向量
高等数学(下)
第六节
第七章
空间直线及其方程
一、空间直线方程 二、线面间的位置关系
一、空间直线方程
1. 一般式方程 直线可视为两平面交线，因此其一般式方程
A1x B1y C1z D1 0
z o x
L 1 y 2
通过空间直线L的平面有无穷多个，其中任意两个
平面的方程联立而得到的方程组均可以表示同一直线
r uuuuuur S / / M0M1 ( x1 x0 , y1 y0 , z1 z0 )
空间直线的两点式方程：x x0 y y0 z z0 x1 x0 y1 y0 z1 z0
3. 参数式方程
设 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
空间直线的方程与性质
空间直线的方程与性质一、空间直线的方程在三维空间中，要确定一条直线，我们需要知道直线上的一点和直线的方向。
因此，一般来说，表示空间直线的方程形式为：R: (x-x₁) / l₁ = (y-y₁) / l₂ = (z-z₁) / l₃其中，(x₁, y₁, z₁) 是直线上的一点，l₁, l₂, l₃是直线的方向比例。
二、空间直线的性质1. 直线的方向向量直线上的两个任意点 A(x₁, y₁, z₁) 和 B(x₂, y₂, z₂) ，则直线的方向向量可以表示为：V = [x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁]2. 直线的平行与垂直若两个直线的方向向量分别是 V₁=[l₁₁, l₁₂, l₁₃] 和 V₂=[l₂₁,l₂₂, l₂₃]，则有以下条件：- 若 V₁∥ V₂，则直线平行。
- 若 V₁⊥ V₂，则直线垂直。
3. 直线与平面的关系直线与平面相交时，有以下几种情况：- 若直线和平面有且只有一个交点，则交点为直线上的一点。
- 若直线和平面无交点，且直线与平面平行，则直线在平面上。
- 若直线和平面无交点，且直线与平面垂直，则直线与平面互相平行。
4. 直线的距离直线与一点 P (x₀, y₀, z₀) 之间的距离可以通过点到直线的距离公式来计算：d = |(x₀-x₁, y₀-y₁, z₀-z₁) · V| / |V|其中 |·| 表示向量的模，"·" 表示向量的点积。
5. 直线的参数方程若直线的方向向量为 V=[l₁, l₂, l₃]，直线上的一点为 P(x₁, y₁, z₁)，则直线的参数方程形式为：x = x₁ + l₁ * ty = y₁ + l₂ * tz = z₁ + l₃ * t其中 t 为参数。
6. 直线的对称式方程直线的对称式方程形式是通过点和方向向量来表示的，如下：(x - x₁) / l₁ = (y - y₁) / l₂ = (z - z₁) / l₃ = t其中 (x, y, z) 为直线上的任意一点。
7-6第六节 空间直线及其方程
所求平面和已知平面夹角为π/3,则(n·n1)= π/3或2 π/3 因为n·n1=|n||n1|cos(n·n1),n1=2i+j-√5k,我们得到
高 等 数 学 电 子 教 案
2A + B − 5C A2 + B2 + C2
2
1 C=0 2A + B 1 = → = 22 +1+ 5 2 10( A2 + B2 ) 2
两直线的方向向量分别为S1和S2
i S1 = 1
j 2
k i j k −1 = i − 2 j − 3k .S2 = 2 −1 1 = − j − k 1 1 −1 1
1 −1
学 数
S1 = {1, −2, −3}, S 2 = {0, −1, −1}
于平面和直线平行由,即平面的法向量和两直线方向向量垂直
5 2 7
=
5 2 7
ϕ = cos −1 故两直线的夹角为
高 等 数 学 电 子 教 案 四 直线与平面的夹角
n L φ θ π 1,定义: 直线与它在平面上的投影直线的夹角 θ(0≤θ≤π/2)叫做直线与平面的夹角. 设直线L的方程是 x − x0 y − y0 z − z0 = = . m n p
学 数
和直线 L2 : x − x2 = y − y2 = z − z2 . m2 n2 p2
高 等 数 学 电 子 教 案
它们的方向向量为
n1 = {m1, n1, p1}; n2 = {m2 , n2 , p2}
根据两向量的夹角余弦公式,可得到直线L1和 L2 的夹角余弦
公式
cosϕ =
m1m2 + n1n2 + p1 p2 m +n + p
空间直线及其方程
x −2 y − 3 z −4 = = =t 解 令直线方程 1 1 2
得 x=2+t y=3+t z=4+2t （ 1） 代入平面π方程， 代入平面π方程， 2+t +(3+t)+(4+2t)得 2（2+t）+(3+t)+(4+2t)-6=0 整理得5t= 5,即t=5t=整理得5t=-5,即t=-1 t=- 代回方程组（ 将t=-1代回方程组（1）有x=1,y=2,z=2. 即点（ 即点（1，2，2）为该直线与已知平面的交点
cosϕ =
m m2 + n1n2 + p1 p2 1 m +n + p
2 1 2 1 2 1
m +n + p
2 2 2 2
2 2
两个结论： 两个结论：
1 若 线 1与 2平 ， 有 、 直 L L 行 则
m n p 1 1 1 L // L ⇔ = = 1 2 m n p 2 2 2
2 若 线 1与 2垂 ， 有 、 直 L L 直 则
M0
s s1
L1
因 s平 s1可 s = {2,1,-5}; 为 行 取
又因为直线L过点M0 (4,-1,3)， 又因为直线 过点 ， 故，所求直线方程L为： 所求直线方程 为
x −4 y +1 z −3 = = 2 1 −5
直线与平面位置关系两个结论： 直线与平面位置关系两个结论：
1.若直线 与平面π平行， n⊥s， 1.若直线 L与平面π平行，则 n⊥s，于是
L//π ⇔mA+nB+ pC = 0
L // π图示 图示
x − x0 y − y0 z − z0 = = L： m n p
《高等数学》第七章 6空间直线及其方程
1,3,10.
4,1,1
131,3,1.
在L1上任取一点(3,0,-6),
则1： ( x 3) 3( y 0) (z 6) 0
即 x 3 y z 9 0,
L1
1
x 3y z 9 0
L:
4
x
y
z
1
. 0
L
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x 3y z 9 0
4 x
y
z
1
. 0
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L
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例7
求直线
2x L1 3x
4y z 0 y90
在平面 : 4x y z 1 内的投影直线L的方程.
解法取二s1：n先12求,s14,11的n方3程1,,31,1,00
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二、线面间的位置关系
1. 两直线的夹角
两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)
设直线 L1 , L2 的方向向量分别为
则两直线夹角 满足
cos s1 s2
s1 s2
L1
s1
L2
s2
m1m2 n1n2 p1 p2
m12 n12 p12 m22 n22 p22
交已知直线的两平面的法向量为
s n1 , s n2 s n1 n2
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结束
i jk
s n1 n2 1 1 1 (4, 1, 3) 2 1 3
故所给直线的对称式方程为 x 1 y
空间直线及其方程
三、直线与平面
注意
当直线与平面垂直时,直线在平面上的投影为点，此 时规定直线与平面的夹角为
三、直线与平面
设直线的方向向量为s=（ m,n,p, ）平面的法向量为n=
（ A,B,C, ）直线与平面的夹角为φ,则
，所以
.由两向量夹角余弦的坐标表示式,有
三、直线与平面
【例6】
设直线
，平面π:x-y+2z=3，
一、空间直线方程
同时，这个平行六面体的体积V还可表示为高与底面积的乘 积，即V=d·s1×s2，从而有 由两直线不平行，可知s1×s2≠0，故有
二、两直线的夹角及位置关系
1. 两直线的夹角
把两直线的方向向量的夹角φ称为两直线的夹角，由于方向 向量有两个方向，这里同样约定
设直线L1和L2的方向向量分别为s1=n1,m1,p1和s2=n2,m2,p2，
一、空间直线方程
【例3】
已知直线的一般方程
试求其
点向式方程及参数方程. 解 首先任求直线上的一点，如令x=1，可得到 解得y=-1,z=2，于是点1,-1,2在直线上.
设两平面的法向量分别为n1，n2，直线的方向向量为s，则
一、空间直线方程
因此，直线的点向式方程为
令 程为
，得所给直线的参数方
一、空间直线方程
求直线与平面的夹角.
解 直线L的方向向量为s=（ 2,-1,2, ）平面π的法向量
为n=（ 1,-1,2, ）则L与π的夹角φ满足
因此，L与π的夹角φ为
三、直线与平面
2. 直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有两种情况：相交（包含垂直）， 平行（包含在平面上）.设直线L的方向向量为s=m,n,p,平面π 的方程为Ax+By+Cz+D=0,其法向量为n=A,B,C,则L与π垂直、 平行的充要条件分别为：
空间曲线直线及方程
5. 直线的平面束方程
x y z 1 0
例9 求L : x y z 1 0在Π : x y z 0的投影直线
解：分析：关键是找过L且垂直于Π的平面Π0
由平面束方程, 设 Π0： y z 1) ( x y z 1) 0 (x
即： (1 ) x (1 ) y ( 1) z ( 1) 0 Π0 Π n0 n n0 n 0
1 (1 ) 1 (1 ) 1 ( 1) 0 1
即：Π0 : y z 1 0
x 1 y 2 z L: 0 1 1
例 7
2 x y z 4 0 Π1 将L： 化为对称式、参数式 x y z 1 0 Π2
x 1 或： y 2 t —参数式 z t
例 7 2： 由原式消去z得：x 1 0 解法
第五节
空间曲线及其方程 空间直线及其方程
一、一般方程
空间曲线的一般方程为：
F ( x, y, z ) 0 是一条空间曲线 (7) G( x, y, z ) 0
即：可以看成是空间两条曲 面的交线： S1：F ( x, y, z ) 0, S2：G( x, y, z ) 0
*
注：空间曲线的方程不 唯一！
二、直线及其方程
1. 直线的一般方程
A1 x B1 y C1 z D1 0 — Π1 L： A2 x B2 y C2 z D2 0 — Π2
注：同一条直线可以用不同的相交平面得到。
—相交平面族
图略！
设直线L // s ，且过点M 0 ( x0 , y0 , z0 ), s (m, n, p)
空间直线及其方程
1 1 1
在直线
L
上取一点
M1
1 2
，
1 2
，0
，则
M0M1
1 2
，
3 2
，1
．
*1.5 平面束
例9
求通过直线
L
:
x x
y y
z z
0 ， 和点 1 0
M0 (1，1，1)
的平面方程．
设所求平面的法向量为 n ，因为 n s ，n M0M1 ，所以
例5
用对称式方程及参数方程表示直线
x y 2x
z 1 0， y 3z 4 0
．
解
当
x
1
时，有
y
z y
0 ， 此方程组的解为 3z 2，
y
1 2
，z
1 2
，因此，可得直
线上一个点的坐标
1，
1 2
，1 2
．
直线的方向向量为
i jk s (i j k) (2i j 3k) 1 1 1 4i j 3k ，
s
MN
2 7
2
，13 7
1，
3 7
3
12 7
，6 7
，
24 7
6 7
(2 ，1，4)
．
故所求直线的方程为
x 2 y 1 z 3 ． 2 1 4
1.3 两直线的夹角
两直线方向向量的夹角（通常指锐角或直角）称为两直线的夹角．设 s1 (m1 ，n1 ，p1) 和
s2 (m2 ，n2 ，p2 ) 分 别 为 直 线 L1 和 L2 的 方 向 向 量 ， 则 L1 和 L2 的 夹 角 应 是 (s1 ，s2 ) 和
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江西理工大学理学院第 6 节空间直线及其方程一、空间直线的一般方程江西理工大学理学院定义 空间直线可看成两平面的交线．π 1 : A 1 x + B 1 y + C 1z + D 1 = 0zππ 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0π 2♣ A 1 x + B 1 y + C 1z + D 1 = 0 L♦A x + B y + C z + D = 0 oy♥ 2 2 2 2空间直线的一般方程 xL 上的点都满足原方程，不是L 上的点都不满足原方程.1江西理工大学理学院二、空间直线的对称式方程与参数方程方向向量的定义： z如果一非零向量平行于 sL一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量． ⋅ M⋅ M 0M 0( x 0 , y 0 , z 0 ),M ( x , y , z ),oy∀ M ∈ L ,M 0 M // sxs = {m , n , p },M 0 M = { x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 }z = z + pt ♥x - x 0 =y - y 0 = z - z 0江西理工大学理学院直线的对称式方程m n p令x - x 0 = y - y 0 = z - z 0 = tm n p♣ x = ♠♦ x 0 + mt y 0 + nt 直线的一组方向数 方向向量的余弦称为♠ 直线的方向余弦.直线的参数方程y =♥ y 0- 3z江西理工大学理学院例1 用对称式方程及参数方程表示直线♣ x + y + z+ 1 = 0 . ♦2x - y + 3z + 4 = 0解 在直线上任取一点 ( x 0 , y 0 , z 0 )取 x = 1⇒ ♣ y 0 z 0 + 2 = 0 , ♦ ♥ 0 0 - 6 = 0解得 y 0 = 0, z 0 = -2点坐标(1,0,-2),y因所求直线与两平面的法向量都垂直取 s r= n 1 ⨯ n 2 = {4,-1,-3},对称式方程 x - 1 = y - 0 = z + 2 ,♣ x ♠参数方程 ♦ 4 - 1 - 3= 1 + 4t = -t. ♠♥z = -2 - 3t例2 一直线过点A(2,-3,4)，且和y轴垂直相交，求其方程.解因为直线和y 轴垂直相交,所以交点为B(0,-3,0),取 s =BA ={2, 0, 4},所求直线方程x -2=2y +3=z -4.4三、两直线的夹角江西理工大学理学院定义 两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）直线 L 1 : x - x 1 = m y - y 1 n = z - z 1 ,p 1 1 1直线 L 2 : x - x 2 = m y - y 2 n = z - z 2 ,p 2 cos( L ^, L ) =2 | m 1m 2 2+ n 1n 2 + p 1 p 2 | 12两直线的夹角公式m 2 + n 2 + p 2 ⋅ 1 1 1 m 2 + n 2 + p 2 2 2 21 21 2江西理工大学理学院两直线的位置关系：(1) L 1 ⊥ L 2⇐⇒ m 1m 2 + n 1n 2 + p 1 p 2 = 0,(2) L 1 // L 2 ⇐⇒2= n 1 = n 2 p 1 ,p 2例如，直线 L 1 : s 1 = {1,-4, 0},直线 L 2 : s 2 = {0,0,1},Q s r ⋅ s r= 0, ∴ s ⊥ s , 即 L ⊥L . 1 2m 1 m2江西理工大学理学院例3 求过点(-3, 2, 5)且与两平面x - 4z = 3和2 x - y - 5z = 1的交线平行的直线方程.解 设所求直线的方向向量为 s = {m , n , p },根据题意知 s ⊥ n 1 , s r⊥ n ,取 s = n 1 ⨯ n 2 = {-4,-3,-1},所求直线的方程 x + 3 = 4 y - 2 =3 z - 5 .1♠x + 1 例 4 求过点M (2,1,3)且与直线 3= y - 1 = z2 - 1 垂直相交的直线方程.解 先作一过点M 且与已知直线垂直的平面3( x - 2) + 2( y - 1) - (z - 3) = 0再求已知直线与该平面的交点N ,令 x + 1 =3y - 1 = 2 z = t- 1 ♣ x ⇒ ♦ ♠♥z = 3t = 2t = -t - 1+ 1. y, ,-代入平面方程得 t = 3,7交点 N (2 7 ,13 ,- 3)7 7取所求直线的方向向量为 MNMN = {2 - 2,13 - 1,- 3- 3} = {- 12 6 24},7 7 77 7 7所求直线方程为 x - 2 = 2 y - 1 = - 1 z - 3 .4四、直线与平面的夹角江西理工大学理学院定义 直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角．0 ≤ ϕ ≤ π.2L : x- x 0 = m y - y 0 n = z - z 0 ,ps = {m , n , p }, π : Ax + By + Cz + D = 0,n = { A , B , C }, (s r ^, n r ) = π - ϕ 2 (s r ^, n r ) = π + ϕ 2sin ϕ= cos ( π2 - ϕ ) =cos ( π2+ ϕ ).江西理工大学理学院sin ϕ = | Am + Bn + Cp | A 2 + B 2 + C 2 ⋅ m 2 + n 2 + p 2直线与平面的夹角公式直线与平面的位置关系：(1) L ⊥ π⇐⇒ A = m B = C .n p(2) L // π ⇐⇒ Am + Bn + Cp = 0.例 5 设直线L : x - 1 = 2y = - 1 江西理工大学理学院z + 12 ，平面: x - y + 2z = 3，求直线与平面的夹角.解 n = {1,-1, 2},s = {2,-1, 2},sin ϕ = | Am + Bn + Cp |A 2 +B 2 +C 2 ⋅ m 2 + n 2 + p 2=| 1⨯ 2 + (-1) ⨯ (-1) + 2 ⨯ 2 | = 7 .6 ⋅ 9 3 6∴ ϕ = arcsin 73 6为所求夹角．♣x+ y +3z =0江西理工大学理学院例6 求直线♦♥ -y -z =0和平面x - y -z+1 =0间的夹角.解直线的方向向量s =n1i=11 ⨯n2j1-1k3 ={2,4,-2},-1平面的法向量n ={1,-1,-1},而s ⋅n =2 -4 +2 =0∴s ⊥ n，即直线与平面夹角为0.x五、平面束设直线L 由方程组江西理工大学理学院♣ A 1 x + B 1 y+ C 1z + D 1 = 0 (1)♦A x + B y + C z + D = 0 (2)♥ 2 2 2 2所确定，其中系数A 1 ,B 1 ,C 1与A 2 ,B 2 ,C 2不成比例， 亦即由(1)、(2)所表示的两平面不平行。
建立三元一次方程 A 1 x + B 1 y +C 1z + D 1+ λ ( A 2 x + B 2 y +C 2 z + D 2 ) = 0 (3)其中 为任意常数。
( A1 +λA2 ) x+(B1 +λB2 ) y+(C1+λC2 )z +( D1+λD2 ) =0+λA2 ,B1+λB2 ,C1+λC2不全为零，从而 的系数A1(3)表示一个平面。
通过定直线的所有平面的全体称为平面束，而方程(3)称为过直线L的平面束方程。
例7 求直线L：♣x+ ♦ ♥ y -zy +z-1 =0+1 =0在平面：x + y +z=0上的投影直线L'的方程。
解直线L在平面上的投影直线，也应在过L且垂直于平面的平面上，而过直线L的平面束方程为x +y - z -1 + ( x - y +z +1) =0即(1 + λ)x +(1 - λ) y +(-1 + λ)z +(-1 + λ)=0 其中为任意常数。
使它与平面相垂直条件为(1 + ) ⋅1 +(1 - ) ⋅1 +(-1 + ) ⋅1 =0x-江西理工大学理学院+1 =0 ⇒ =-1故，过直线L且垂直于平面的平面为2 y -2z -2 =0⇒y -z -1 =0从而，投影直线的方程为：♣y- z -1 =0.♦♥ x + y + z = 0六、小结空间直线的一般方程.空间直线的对称式方程与参数方程.两直线的夹角.（注意两直线的位置关系）直线与平面的夹角.（注意直线与平面的位置关系）平面束的概念.思考题x - 4 y 在直线方程 ==z - 2 中，m 、2mn 6 + p n 、 p 各怎样取值时，直线与坐标面xoy 、 yoz 都平行.♥思考题解答s = {2m , n , 6 + p }, 且有 s ≠ 0.Q s ⋅ k = 0,s ⋅ i = 0,♣6 + ♦2m p = 0 = 0∴ p = -6, m = 0,Q s ≠ 0, ∴ n ≠ 0,故当m = 0, n ≠ 0, p = -6时结论成立．⇒♥♥一、 填空题：练 习 题江西理工大学理学院1、通过点( 4 ,-1 , 3 ) 且平行于直线x - 3 = 2y = z - 1 5 的直线方程为 ； 2、直线♣5 x - 3 y + 3z - 9 = 0 与直线♦3 x - 2 y + z - 1 = 0 ♣2 x + 2 y - z + 23 = 0 ♦3 x + 8 y + z - 18 = 0 的夹角的余弦为 ； 3、直线♣ x + y + 3z = 0 和平面 x - y - z + 1 = 0 的夹♦ ♥ 角为 _；4、点(-1 , 2 , 0 )在平面x + 2 y - z + 1 = 0上的投影为 ______________；x - y - z = 0♥5、 直线 x = y = z和平面3 x- 2 y + 7z 江西理工大学理学院= 8 的关系是3 - 2 7 ；6、 直线 x - 2 = y + 2 = z - 3和平面x + y + z = 3 的关3 1 -4 系是 .二、 用 对 称 式 方 程 及 参 数 方 程 表 示 直 线 L ： ♣ x - y + z = 1 . ♦2 x +y + z = 4 三、 求过点( 3 , 1 ,-2 ) 且通过直线x - 4 = 5y + 3 = z 的2 1 平面方程 .♥ ♦ x四、 求直线♣ 2 x- 4 y + z = 0 在平面4 x - y + z = 1 上♦3x - y - 2z - 9 = 0 的投影直线的方程 .五、 求与已知直线L ： x + 3 = y - 5 = z及L ：1 2 3 1 2x - 10 = y + 7 = z都相交且和L ：5 x + 2 = 84 y - 1 = 7 1 3z - 3平行的直线L . 1 六、设一平面垂直于平面z = 0,并通过从点A ( 1 ,-1 , 1 )到直线L ：♣ y♥ - z + 1 = = 00 的垂线，求此平面的方程 .♥七、 求两直线L ： x - 1 = y = z 和L ： x= y = z + 21 0 1 1 22 - 1 0的公垂线L 的方程，及公垂线段的长 . 八、求过点(-1 , 0 , 4 )且平行于平面3 x -4 y + z - 10 = 0又与直线x + 1 = 1 y - 3 = 1 z相交 3 的直线方程 .九、 求点 P ( 3 ,-1 , 2) 到直线♣ x + y - z + 1 = 0 的距离 .♦2x - y + z - 4 = 0♥练习题答案江西理工大学理学院一、1、x - 4 = 2 y + 1 =1 z - 3； 2、0； 3、0； 5 4、(- 5 , 2 , 3 3 2)； 5、垂直； 6、直线在平面上.3♣ x = 1 - 2t二、 x - 1 = y - 1 =z - 1, ♠ y = 1 + t .- 2 1 ♦ 3 ♠♥z = 1 + 3t 三、8 x - 9 y - 22z = 59.四、♣17 x + 31 y - 37z = 117 . ♦4x - y + z - 1 = 0y +65江西理工大学理学院五、x + 28 = 2 = z + 25或x - 72 = y - 55 = z . 8 7 2 8 7 1六、x + 2 y + 1 = 0.x - 1 y + 4 z + 4♣4 x - y + z - 4 = 0 七、 = 3 = 3 或♦ ,d = 1. 1 八、x + 1 = 16 2y =19 - 2 z - 4. 28 ♥2 x + 4 y + 5z + 10 = 0 九、3 22 .。