空间直线及其方程

第六节 空间直线及其方程

Straight Line in Space and Equation

教学目的: 理解空间直线的概念;熟练掌握直线的标准方程、参数方程及一般方程;会判断两

直线的位置关系,并会建立直线方程.

课 题: 直线的标准方程;直线的参数方程;直线的一般方程;两直线的夹角,平行与垂直的

条件.

教学重点: 空间直线的图形及其方程

教学难点: 空间直线方程的求解

教学方法: 精讲直线的标准方程、参数方程和一般方程并能求直线方程

教学内容:

一、直线的标准方程

如果一直线与已知向量平行，这个向量就叫做已知直线的方向向量.

设直线L 过空间一点0000(,,)M x y z ,且有方向向量{,,}m n p =s ,求此直线的方程. 在直线上任取一点(,,)M x y z ,则向量0000{,,}M M x x y y z z =---,且0M M s ,则有 000x x y y z z m n p

---== (1) (1)即为直线L 的方程,称为直线L 的标准方程或对称方程,,,m n p 叫做直线的方向数.

【例1】 求过点0(1,2,3)M -,且垂直于平面23580x y z +-+=的直线方程. 解 已知平面的法向量可作为所求直线的方向向量,即

{2,3,5}=-s

由式(1)可得直线方程为

123235x y z --+==-

【例2】 设直线经过两点12(1,2,3),(4,4,6)M M --,求其方程. 解 取12{3,6,9}M M =为直线的方向向量,并选直线上一点1M ,由式(1)得直线方程为

123369

x y z -++== 即

123123

x y z -++== 注 1.直线的方向向量不是唯一的,但同一条直线的所有方向向量互相平行;

2.直线上点的坐标选取不是唯一的,因此直线方程也不是唯一的;

3.在直线的标准方程中,方向数,,m n p 可以有一个或两个为零,这时方程(1)应理解为当分母为零时,分子必为零.

由例2知,过点11112222(,,),(,,)M x y z M x y z 的直线方程为

111212121

x x y y z z x x y y z z ---==--- 称此方程为直线的两点式方程.

二、直线的参数方程

令直线的标准方程000x x y y z z t m n p

---===,则有 000x x mt y y nt z z pt =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩ (t 为参数)

(2)

方程(2)称为直线的参数方程.

显然直线上任一点都对应唯一确定的t 值.反之,每取定一个t 值,都得到一个确定的点. 直线的标准方程可化为参数方程.反之,由直线的参数方程消去参数t ,即得标准方程.

三、直线的一般方程

空间直线L 可以看作是过该直线的两个不重合的平面1π和2π的交线.如果平面1π的方程为11110A x B y C z D +++=,2π的方程为22220A x B y C z D +++=,那么直线L 上的任一点,既在平面1π上,又在平面2π上,因此直线L 上的任一点的坐标都满足方程组

11112222

00A x B y C z D A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩ (3) 反之,不在直线L 上的点,不能同时在平面1π和2π上.即不在直线L 上的点,不满足方程组(3), 方程组(3),是直线L 的方程,称方程组(3)为直线的一般方程,其中111,,A B C 与22,,A B 2C 不成比例.

由于过直线L 的平面有无穷多个,可以任取两个,将其联立,便得直线L 的一般方程.因此,直线L 的一般方程不是唯一的.

【例3】 将直线的一般方程

23503240x y z x y z -+-=⎧⎨+--=⎩

化为标准方程.

解 首先,求此直线上一个点的坐标,为此先选定该点的一个坐标,例如,设1z =,代入原方程组,得

2340360

x y x y --=⎧⎨+-=⎩ 解之,得2,0x y ==.于是得该直线上一定点(2,0,1).

其次,确定直线的一个方向向量.由于直线L 在两个平面上,所以L 与两个平面的法向量12,n n 都垂直.因此可以选取12⨯n n 为直线L 的方向向量s :

{2,3,1}{3,1,2}{5,7,11}=-⨯-=s

于是得直线的标准方程为

2015711

x y z ---==

四、两直线的夹角，平行与垂直的条件

两直线1L 和2L 的方向向量的夹角(通常指锐角)叫做两条直线的夹角,通常记为ϕ.设1L 和2L 的方程分别为

1111111

3222222::x x y y z z L m n p z z x x y y L m n p ---==---==

它们的方向向量分别为11112222{,,},{,,}m n p m n p ==s s .故它们的夹角θ若不大于2π,则ϕθ=;若θ大于2

π,则ϕπθ=-,故1L 和2L 的夹角ϕ的余弦为

cos ϕ= 由此得两直线1L 和2L 平行的充要条件是

111222m n p m n p == 两直线1L 和2L 垂直的充要条件是

1212120m m n n p p ++=

【例4】 一直线通过点0(3,2,5)M -,且与平面430,2510x z x y z --=---=的交线平行,求该直线的方程.

解 由于所求直线与两平面的交线平行,故可取两平面交线的方向向量为所求直线的方向向量.即

{1,0,4}{2,1,5}{4,3,1}=-⨯--=---s

故所求直线方程为

325431

x y z +--==--- 即

325431

x y z +--==

【例5】 试判定下列直线和平面的位置关系.

(1) 24x y z ==和4210x y z ++-=; (2) 123302

x y z ---==和80y -=. 解 (1)直线的方向向量111,,24⎧⎫=⎨⎬⎩⎭

s ,平面的法向量{4,2,1}=n ,显然111:4:2:124

==,故s n ,所以,直线与平面垂直. (2) 直线的方向向量{3,0,2}=s ,平面的法向量{0,1,0}=n ,显然,0⋅=s n ,故⊥s n ,所以,直线与平面平行.

课堂练习:

1. 将直线方程121513

x y z -+-==-化为参数方程. 2. 写出各坐标轴的一般方程.

小结: