空间直线及其方程
空间直线及其方程
M( x, y, z) L,
z s
L
有 M0M （x x0, y y0, z z0）
且 M0M// s
M0 o
M
y
即 x x0 y y0 z z0 x
m
n
p
直线的对称式方程 或点向式方程
说明:
在直线方程中某些分母为零时, 其分子也
理解为零.
例如
x2 y z5 002
再求已知直线与该平面的交点N, L
过M,N的直线L即为所求直线.
M
求交点：
L1
N
把已知直线化为参数方程
n1
x 3t 1
直线与平面的位置关系：
(1) L A B C . mn p
(2) L // Am Bn Cp 0.
例4 求过点(1,－2 , 4) 且与平面 垂直的直线方程.
解 取已知平面的法向量
n (2, 3, 1)
(1,－2 , 4)
n
为所求直线的方向向量.
则直线的对称式方程为
s1 s2 s1 s2
| m1m2 n1n2 p1 p2 |
m12 n12 p12 m22 n22 p22
两直线的位置关系：
(1) L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0,
(2)
L1 //
L2
m1 n1 m2 n2
p1 , p2
一、空间直线的一般方程
定义 空间直线可看成两平面的交线．
1 : A1 x B1 y C1z D1 0
2 :
A2 x B2 y C2z D2
0
z
空间直线及其方程
再求已知直线与该平面的交点N,
令 x1 y1 z t 3 2 1
x 3t 1
y
2t
1.
z t
高等数学七⑥
12/28
代入平面方程得 t 3 , 交点 N (2 ,13 , 3)
7
77 7
取所求直线的方向向量为 MN
MN {2 2,13 1, 3 3} { 12 , 6 , 24},
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
空间直线的一般方程 x
z 1
2
L
o
2/28
y
高等数学七⑥
3/28
1、方向向量
如果一非零向量平行于
一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量．
2、直线的方程
z s
L
M
M0
M0( x0 , y0 , z0 ), M( x, y, z),
o
y
M L,
M0M// s
x
s {m, n, p}, M0M {x x0 , y y0 , z z0 }
高等数学七⑥
4/28
x x0 y y0 z z0mn Nhomakorabeap
直线的对称式方程
令 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
x x0 mt
x 1 4t
参数方程
y
t
.
z 2 3t
高等数学七⑥
7/28
例 2 一直线过点 A(2,3,4)，且和y 轴垂直相
第二节空间直线及其方程
设直线 L的方向向量 s={m,n,p} 设平面π的法线向量 n ={A,B,C} 则定义s 与n 的夹角为直线 L与平 面π的夹角.记作φ.
直线与平面的夹角（图示）
这是平面π与 直线L的交角
s={m,n,p}
n={A,B,C}
φθ
这是直线L与其在平 面π上投影的交角
L
L:xx0 yy0 zz0
1i017jk
四.两直线的夹角 两直线夹角的定义：两直线方向向量之间的
夹角（锐角）叫作两直线的夹角.
s2={m2,n2,p2} φ
s1={m1,n1,p1}
L2 L1
两直线的夹角的余弦公式 设直线 L1的方向向量s1={m1,n1,p1}, 设直线 L2的方向向量s2={m2,n2,p2}, 则直线 L1与直线L2的夹角的余弦公式为：
即为所要求的一般方程.
3.将直线的一般方程L化 为标准方程
（即对称式方程）.
x y z y ,
解 先求点Mo，不妨令y=0, 则有 x=1,z=-2，即
Mo(1,0,-2); 再求 s, 由 n {,,}
n {,,},
s nn
i jk
i j k
x1 y z2 4 1 3
• 方向向量:
– 如果一个非零向量s平行于一 条已知直线，这个向量s就叫 做该直线的方向向量。
对称式方程的建立
直线上任一向 量都与s平行.
s
L
M(x,y,z)
依据：
M(x,y,z)
过空间一点可以做且只可做一条直线与已知直 线平行，故当已知直线上一点M0与一个方向向 量s，则直线位置完全可以确定下来。
续上
1. 求点P(0,-1,1)到直线 y+2=0 x+2z-7=0 的距离.
空间直线及其方程
x1，y2，z2．
例6 求过点(2，1，3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线的方程．
P
L
M
例6 求过点(2，1，3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线的方程．
解 先作一个过已知点且与已知直线垂直的平面，这个平面 的方程为
直线L 的平面束方程．
通过直线L：
A1x A2 x
B1 y C1z D1 0, B2 y C2 z D2 0
的平面束方程
A 1xB 1yC 1zD 1l( A 2xB 2yC 2zD 2)0．
L
例7
求直线
x y z 1 0, x y z 1 0
的方程．
在平面xyz0上的投影直线
与L的方向向量 s 平行．所以两向量的对应坐标成比例，由于
M 0M {xx 0，yy 0，zz 0}， s{m，n，p}， 从而有
z
s
M
x x0 y y0 z z0 ，
M0
m
n
p
此方程组就是直线 L 的方程，叫做 直线的对称式方程或点向式方程．
O
y
x
方向数： 直线的任一方向向量的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向
条直线的方向向量． z
确定直线的条件：
当直线L上一点M0(x0，y0，x0)
s
和它的一方向向量 s{m，n，p}
M0
为已知时，直线L的位置就完全确定了．
O
y
x
直线的对称式方程：
设直线L上一点M0(x0 , y0 , x0)和它的一方向向量 s {m, n, p}
7-5 空间直线及其方程
x 直线 L : x1 = y y1 = z z1 , 1 m n1 p1 1 x x2 y y2 z z2 直线 L2: = = , m2 n2 p2
L ⊥ L2 1
s1 s2 = 0
L // L2 1
s1 ×s2 = 0
s1 s2 夹角公式: cos = s1 s2
m n1 p1 1 = = m2 n2 p2
平面与直线间的夹角 平面 ∏ : Ax + By + Cz + D = 0, n = ( A, B, C ) xx y y z z 直线 L : = = , s = (m, n, p) m n p m n p = = L⊥∏ s ×n = 0 A B C L // ∏ 夹角公式:
sn=0
sn sin = s n
s 解: 两条直线的方向向量为 s1 = ( 2,4, 3) ,2 = ( 3,1, 2)
s1 s2 由夹角公式 cos = s1 s2
=
4 = 2 2 2 2 2 2 406 2 + 4 + ( 3) 3 + 1 + 2
| 2 × 3 + 4 × 1 + ( 3 ) × 2 |
4 则 = arccos 406
x x1 y y1 z z1 则所求直线方程为 = = x2 x1 y2 y1 z2 z1
x4 y+3 z 例4. 求直线 L : = = 在平面 5 2 1 上的投影直线的方程. ∏ : 4 x y + z = 1 上的投影直线的方程.
解: 设 ∏ 是过 L 垂直于 ∏ 的平面. 其法向量为 的平面.
解:L 的参数方程为 x = t ,
y = 1 + t , z = 1 + 2t . 代入平面方程得 + (1 + t ) (1 + 2t ) = 0
8-4 空间直线及其方程
二、线面间的位置关系
在平面
过定直线L的平面束方程 设直线L的方程为
z
A1 x B 1 y C 1 z D1 0
则三元一次方程
1
L1 x B1 y C1 z D1 ( A2 x B2 y C2 z D2 ) 0
为过定直线L的所有平面（即平面束）的方程.
课堂小结
第四讲 空间直线及其方程
一、空间直线方程
1. 一般式方程 直线可视为两平面交线
z
A1 x B 1 y C 1 z D1 0
一般式方程 2. 对称式方程 过点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )
1
L
y
x
o
2
设直线l
平行于非零向量
方向向量
设直线上的动点为 M ( x, y, z )
n ( A, B , C )
n s
L
则直线与平面夹角满足
sin cos( s , n )
A m Bn C p sn 2 2 2 2 2 2 s n m n p A B C
︿
特殊情况
(1) L (2) L //
垂直的直线方程.
s // n
A B C m n p
sn
Am B n C p 0
例3 求过点(1,－2,4)且与平面
n
例4 求与两平面 的交线平行且过点（-3，2，5）的直线方程. 例5 求直线 的交点. 与平面
例6 求过点（2，1，3）且与直线
垂直相交的直线方程. 例7 求直线 上的投影直线的方程.
L2 的方向向量分别为
L1
s1
空间及其直线方程省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
因所求直线与两平面旳法向量都垂直
取
s n1 n2 {4,1,3},
对称式方程 x 1 y z 2 , 4 1 3
x 1
z 2 3t
解题思绪: 先找直线上一点;
再找直线旳方向向量.
三、两直线旳夹角
定义 两直线旳方向向量旳夹角.（锐角）
直线 L1 : 直线 L2 :
(2)
L1 //
L2
m1 m2
n1 n2
p1 , p2
例如，直线 L1 : 直线 L2 :
s1 {1,4, 0}, s2 {0,0,1},
s1
s2
0,
s1 s2 ,
即 L1 L2 .
例2. 求下列两直线旳夹角
L1 :
x 1 y z 3 1 4 1
L2 :
x y2 z 2 2 1
所以对于任何一种 值，方程(13)旳系数：
A1 λA2、B1 λB2、C1 λC2 不全为零， 从而方程(13)表达一种平面， 若一点在直线L上，则点旳坐标必满足方程(a),因而 也满足方程(b)，故方程(b)表达经过直线L旳平面，
而且对于不同旳 值，方程(b)表达经过直线L
旳不同旳平面.
代入得与所给平面垂直旳平面(称为投影平面)旳方程为
2y 2z 2 0 即 y z 1 0
所以投影直线旳方程为
y z 1 0, x y z 0.
内容小结
1. 空间直线方程
一般式
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 D2
0 0
对称式 x x0 y y0 z z0
o
y
M L,
M0M // s
x
s {m, n, p}, M0M { x x0 , y y0 , z z0 }
空间直线及其方程
1 1 1
在直线
L
上取一点
M1
1 2
，
1 2
，0
，则
M0M1
1 2
，
3 2
，1
．
*1.5 平面束
例9
求通过直线
L
:
x x
y y
z z
0 ， 和点 1 0
M0 (1，1，1)
的平面方程．
设所求平面的法向量为 n ，因为 n s ，n M0M1 ，所以
例5
用对称式方程及参数方程表示直线
x y 2x
z 1 0， y 3z 4 0
．
解
当
x
1
时，有
y
z y
0 ， 此方程组的解为 3z 2，
y
1 2
，z
1 2
，因此，可得直
线上一个点的坐标
1，
1 2
，1 2
．
直线的方向向量为
i jk s (i j k) (2i j 3k) 1 1 1 4i j 3k ，
s
MN
2 7
2
，13 7
1，
3 7
3
12 7
，6 7
，
24 7
6 7
(2 ，1，4)
．
故所求直线的方程为
x 2 y 1 z 3 ． 2 1 4
1.3 两直线的夹角
两直线方向向量的夹角（通常指锐角或直角）称为两直线的夹角．设 s1 (m1 ，n1 ，p1) 和
s2 (m2 ，n2 ，p2 ) 分 别 为 直 线 L1 和 L2 的 方 向 向 量 ， 则 L1 和 L2 的 夹 角 应 是 (s1 ，s2 ) 和
第六节--空间直线及其方程
第六节 空间直线及其方程教学目的：介绍空间曲线中最常用的直线，与平面同为本章的重点 教学重点：1.直线方程2.直线与平面的综合题教学难点：1.直线的几种表达式2.直线与平面的综合题教学内容：一、空间直线的一般方程空间直线可以看成是两个平面的交线。
故其一般方程为：⎩⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A 二、空间直线的对称式方程与参数方程平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。
已知直线上的一点),,(0000z y x M 和它的一方向向量},,{p n m =s ，设直线上任一点为),,(z y x M ，那么M M 0与s 平行，由平行的坐标表示式有：pz z n y y m x x 000-=-=- 此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。
（写时参照书上注释）如设t pz z n y y m x x =-=-=-000 就可将对称式方程变成参数方程（t 为参数）⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mtx x 000 三种形式可以互换，按具体要求写相应的方程。
例1：用对称式方程及参数方程表示直线⎩⎨⎧=++-=+++043201z y x z y x ．解：在直线上任取一点),,(000z y x ，取10=x ⎩⎨⎧=--=++⇒063020000z y z y ，解得2,000-==z y ，即直线上点坐标)2,0,1(-．因所求直线与两平面的法向量都垂直，取}3,1,4{--=⨯=21n n s ，对称式方程为：321041-+=--=-z y x 参数方程： ⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+=tz t y tx 3241．例2： 一直线过点)4,3,2(-A ，且和y 轴垂直相交，求其方程．解：因为直线和y 轴垂直相交，所以交点为)0,3,0(-B ，于是→==}4,0,2{BA s ，所求直线方程：440322-=+=-z y x 三、两直线的夹角： 两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角。
4空间直线及其方程
l ' l'
: 2x + y + 2z = 0
'：
即
x y 1 ( y z 1) 0 ,
x z 2 0.
故: 投影直线l':
xz 2 = 0 2x+y +2z = 0
作业
P33.2. 3. 5. 10. 11
3 2 3 2
(x – y + z – 1) = 0
即：5x – y + z – 3 = 0
例7 .求直线 l :
x + y 1=0,
y + z + 1=0.
在平面 : 2x + y + 2z = 0
l ' l'
上的投影直线方程. 解：设投影直线为l'，则由l与 l'决定的平面'与平面垂直。
高校理科通识教育平台数学课程
微积分学(二)
多元微积分学
空间解析几何
●
授课教师
孙学峰
向量代数与 空间解析几何
空间直线及其方程
§4
空间直线及其方程
一. 空间直线的方程
(一).空间直线的一般方程 空间直线可看成是两个不平行平面1与 2 的交线 已知平面1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0
( 为任意实数 .)
过直线 l 与点 p0 的平面为:
(A x B y C z D )
1 1 1 1
Ax B y C z D
1 0 1 0 1 0
5.5 空间直线及其方程
y ≡ −2 表示直线上的动点在变动时， 这里， 这里， 表示直线上的动点在变动时，y 坐标始终 等于-2, 即直线与 y 轴是垂直的, 方向向量在 y 轴上投影为0.
(2) s = AB = (1 , 2 , −3), 所求直线方程为:
x +1 y − 3 z − 2 = = . 1 2 −3
x −1 y − 3 z + 2 = = . 3 −2 4
d s
平面束方程： 平面束方程： 设直线 L 的一般方程为
则直线外一点 P 1 到直线 L 的距离 可看作为以 s 和 P0 P 为邻边的平行四边形 s×P 0P 1 d= 在边 s 上的高. 于是由前面的结果知:
cos ϕ =
即
ϕ=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
π
3
1 1 = , 2 2 2
.
直线与平面的夹角： 直线与平面的夹角： 直线与平面的夹角定义为直线与平面法线夹角的余角 (不取钝角). 若直线的方向向量为 s = ( m, n, p ) , 平面的法向为 n = ( A, B, C ) , 直线与平面的夹角为 ϕ θ = ( s , n ), 0 ≤ θ ≤ π ，则 2
L1
s1
s1 ⋅ s2 m1m2 + n1n2 + p1 p2 = . 2 2 2 2 s1 ⋅ s2 m1 + n12 + p12 m2 + n2 + p2
π 0 ≤ ϕ ≤ 2
例8 求直线 特别， 特别，两直线垂直 ⇔ s1 ⊥ s2
x + 2y + z =1 x − y − z = 1 与 的夹角. x − 2y + z = 3 x − y + 2z =1
高等数学第六节空间直线及其方程
空间直线及其方程
P 330
一、空间直线的一般方程 （交面式）
空间直线可看成是两张平面的交线 , 从而得到直线的 一般式方程 :
A1 x B1 y C1 z D1 0 (1) A2 x B2 y C 2 z D2 0 ( 2) ( A1 : A2 B1 : B2 C1 : C 2 不成立 )
再找出 L 上的一点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) ,
x0 1 x0 z0 1 0 . 设 y0 0 , 则 z 0 2 2 x 0 3 z 0 4 0
s ( 4 , 1, 3 ) , M 0 M 0 ( 1, 0 , 2 )
四、两点式方程
已知两点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) , M1 ( x1 , y1 , z1 ) , 直线 L 过点 M 0 , M1 .
L的方向向量 :
( L 存在唯一 )
M0
M1
L
s M 0 M1 ( x1 x0 , y1 y0 , z1 z0 ) ,
L的方程 :
五、两直线的夹角
一 . 两直线夹角 两直线方向向量的夹角( 取锐角 ) . x x1 y y1 z z1 n2 设 L1方程为 , m1 n1 p1 n1 x x2 y y2 z z 2 L2方程为 , m2 n2 p2 为锐角 L1 , L2 夹角为 . 为钝角 s1 s 2 m1m 2 n1n2 p1 p2 cos , 2 2 2 2 2 2 | s1 | | s 2 | m1 n1 p1 m2 n2 p2
L1 // L2 L1 L2 s1 // s2 s1 s2
空间直线及其方程
空间直线及其方程§8.4 空间直线及其方程ü直线的一般方程ü直线的参数方程和对称方程ü两直线的夹角ü直线与平面的夹角一、空间直线的一般方程定义空间直线可看成两平面的交线．Π1:A1x+B1y+C1z+D1Π2:A2x+B2y+C2z+D2A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0空间直线的一般方程y注：表示同一直线的一般方程不唯一。
确定空间直线的条件•由两个平面确定一条直线；•由空间的两点确定一条直线；•由空间的一点和一个方向来确定一条直线。
二、空间直线的参数方程与对称式方程r如果一非零向量sr一条已知直线L，向量s线L的方向向量．设定点M0(x0,y0,z0)∈L,方向向量的定义：yr∀M(x,y,z)∈L,0//srs={m,n,p},M0={x−x0,y−y0,z−z0}则{x−x0,y−y0,z−z0}=t{m,n,p} x=x0+mt y=y0+ntz=z+pt0消去参数t，有直线的参数方程x−xy−yz−z==直线的对称式方程mnp直线的一组方向数方向向量的余弦称为直线的方向余弦.注：1. 表示同一直线的对称方程不唯一；2. 对称式方程可转化为一般方程;x=x0,x−x0y−y0z−z0 3.==理解为:y−y=z−z.0np p n4. 任一条直线均可表示为对称式方程.设直线过两点M(x1,y1,z1),N(x2,y2,z2)r则s={x2−x1,y2−y1,z2−z1}x−x1y−y1z−z1直线的对称方程为：==x2−x1y2−y1z2−z1例1用对称式方程及参数方程表示直线x+y+z+1=0.2x−y+3z+4=0解在直线上任取一点(x0,y0,z0)y0+z0+2=0取x0=1⇒,y0−3z0−6=0解得y0=0,z0=−2点坐标(1,0,−2),因所求直线与两平面的法向量都垂直取rrrs=n1×n2={4,−1,−3}, x−1y−0z+2对称式方程==,4−1−3x=1+4t.参数方程y=−tz=−2−3t例2 一直线过点A(2,−3,4)，且和y轴垂直相交，求其方程.解因为直线和y轴垂直相交,所以交点为B(0,−3,0),r取s=={2,0,4},x−2y+3z−4==.所求直线方程204三、两直线的夹角定义两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）x−x1y−y1z−z1直线L1:==,p1m1n1x−x2y−y2z−z2直线L2:==,m2n2p2 ^cos(L,L)=12|mm+nn+pp|m1+n1+p1⋅m2+n2+p2两直线的夹角公式222222两直线的位置关系：(1)L1⊥L2⇐⇒m1m2+n1n2+p1p2=0,m1n1p1==,(2)L1//L2⇐⇒m2n2p2r例如，直线L1:s1={1,−4,0},r直线L2:s2={0,0,1},rrrrQs1⋅s2=0,∴s1⊥s2,即L1⊥L2.x−4z=3例3 一直线L过点(-3,2,5)，且和直线2x−y−5z=1平行，求其方程.vi解rrrQs=n1×n2=1vj0vk−4=−{4,3,1}2−1−5∴所求直线方程v方法2:设s={m,n,p}x+3y−2z−5==.431m−4p=0mnpvvvvQs⊥n1,s⊥n2∴⇒==4312m−n−5p=0v取s={4,3,1}………x+1y−1z==例4 一直线过点M0(2,1,3)，且与直线L: 32−1垂直相交，求其方程.解设所求直线为l , 先求两直线的交点。
空间直线及其方程
7.8 空间直线及其方程7.8.1空间直线方程的几种形式1．空间直线的一般式方程空间直线L 可看作是两个平面π与π的交线（图7.37）设有平面1π： 01111=+++D z C y B x A 和平面2π： 02222=+++D z C y B x A若},,{1111C B A n =与},,{2222C B A n =不平行，则平面1π与平面2π相交，那么空间直线L 上的点的坐标同时满足平面1π与平面2π的方程，即满足方程组⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A （1）反过来，若点M 不在直线上，则它的坐标不可能即满足平面1π的方程，又满足平面2π的方程，所以M 的坐标不满足方程组（1），因此直线L 可用方程组（1）来表示，称方程组为空间直线的一般方程或交面式方程.由于通过直线L 的平面有无数个，其中任何两个平面方程的联立都表示直线L 的方程,因此空间直线的方程不是唯一的，例如方程组⎩⎨⎧==00y x 与⎩⎨⎧=-=+0y x y x 都表示z 轴。
2，空间直线的点向式方程假如已知一点和一个不为零的向量},,{p n m s =那么通过已知点且平行于已知向量的直线在空间的位置就可以完全确定，已知非零向量s 叫做直线的方向向量.设空间直线通过点),,(0000z y x M ，且直线的方向向量为（图7.38）,下面求直线的方程.在直线L 上任取一点),,(z y x M ,由题意知,向量M 0与s 平行,而},,{0000z z y y x x M M ---= 所以pz z n y y m x x 000-=-=- (2) 即在直线上L 的点的坐标满足方程（2）.反过来若M 不在直线上，则M M 0与不平行，从而点M 的坐标不满足（2），所以（2）式就是我们所求的直线L 的方程，称（2）为直线的点向式方程或标准式方程或对称式方程.方程（2）中如果p n m ,,三数中有一个为零或两个为零,如0=m ,此时式子pz z n y y x x 0000-=-=- 应理解为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=p z z n y y x x 000若0==n m ,此时式子 pz z y y x x 00000-=-=- 应理解为 ⎩⎨⎧==0y y x x若一直线通过两点),,(1111z y x M ,),,(2222z y x M ,则此直线的方向向量可取为 },,{12121221z z y y x x M M ---==于是通过21,M M 两点的直线方程为121121121z z z z y y y y x x x x --=--=-- (3)我们称（3）式为直线的两点式方程.若设t pz z n y y m x x =-=-=-000,则得到 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mt x x 000 (4)方程组（4）称为空间直线的参数式方程，其中t 为参数.例1求过点)3,2,1(-,方向向量}2,1,2{-=的直线方程. 解 代入(2)式得直线的点向式方程; 231221-=-+=-z y x 它的参数方程是:⎪⎩⎪⎨⎧+=--=+=t z t y t x 23221也可以写成两面交线的形式:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+-+=-23121221z y y x 或⎩⎨⎧+-=++=+-342421z y y x例2一直线通过点)2,0,1(-M ，且垂直于平面032=+-z y x ，求此直线的对称式方程和参数方程.解 所求直线与一平面垂直，则直线的方向向量与平面的法向量平行，故可取}3,1,2{-==,代入（2）式得直线的对称式方程为:321021+=--=-z y x 直线的参数方程为:⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=+=t z t y t x 3221直线方程的几种形式之间可以互化，由标准方程可写出一般式方程和参数方程.下面的例子说明直线的一般方程可以化为标准方程.例3用对称式方程及参数方程表示直线⎩⎨⎧=++-=+++043201z y x z y x （5） 解 求直线的标准方程，需要求出直线上一个点和直线的方向向量.首先求直线上一点),,(000z y x ，方程（5）中两个方程三个未知数，可有无穷多组解，任意选定000,,z y x 中的一个为已知，例如可以取10=x ,代入方程（5）得 ⎩⎨⎧=--=+632z y z y解这个二元一次方程组得2,000-==z y ，于是求出)2,0,1(0-M 为直线上一点. 其次求出直线的方向向量,因为所求直线是平面1π:01=+++z y x 及平面2π:0432=++-z y x 的交线,所以直线同时垂直于1π与2π的法向量，故可取}3,1,4{1121--=-=⨯=n n代入（2）式得直线的对称式方程为：32141-+=-=-z y x 令 t z y x =-+=-=-32141即得所给直线的参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+=t z t y tx 3241注意在本题中也可以用另一种方法得对称式方程，例如再设01=x 代入方程（5）得⎩⎨⎧=++-=++04301z y z y解之得45,4111-==z y ，因此又得直线上的另一点)45,41,0(1-M ，由于向量10M M 平行于直线，因此可取}43,41,1{10-==M M ，于是所求直线方程为4324111+==--z y x 即32141+==--z y x 7.8.2两直角的夹角空间两直线可相交也可不相交，两直线的夹角是指两直线的方向向量的夹角.设有两条直线:1L :111111p z z n y y m x x -=-=- 1L :222222p z z n y y m x x -=-=- 它们的方向向量分别为},,{1111p n m s =、},,{2222p n m s =，于是计算两直线之间夹角θ的公式为222222212121212121cos pn m pn m p p n n m m ++++++==θ （6）由此得到若直线1L 与直线2L 互相垂直，即1s 垂直于2s 的充分必要条件是 0212121=++p p n n m m若直线1L 与直线2L 平行，即1s 平行于2s 的充分必要条件是212121p p n n m m == 例4求两直线121123--=+=-z y x 和112713+=+=+z y x 间的夹角. 解 代入公式（6）得21121)1(121)1(2112cos 222222=++-++⨯-+⨯+⨯==θ 所以 3πθ=或π32.例5直线⎪⎩⎪⎨⎧+=-=+=tz t y t x 22332与⎪⎩⎪⎨⎧+=-==t z t y t x 25416平行还是垂直?解 两直线的方向向量分别为}1,2,3{1-=s 和}2,4,6{2-=,显然1s 与2s 平行,所以,两直线平行.必须注意,若两条直线的方向向量平行,则两直线平行.若两直线的方向向量不平行,则两直线或相交或为异面直线，须区别这两种情形.7.8.3直线和平面的夹角直线和它在平面上的投影直线所成的两邻角中的任何一个均可定义为直线与平面的夹角θ(图7.39).这两个角互为补角，它们的正弦相等，我们不妨规定20πθ≤≤.设直线L:pz z n y y m x x 000-=-=- 平面π: 0=+++D Cz By Ax求它们的夹角，直线L 的方向向量},,{p n m =，平面π的法向量},,{C B A =，s 与n 的夹角为θπ-2或θπ+2，又因为)2cos()2cos(sin θπθπθ+=-=，而)2cos()2cos(θπθπ+=-=所以 222222sin pn m CB A Cp Bn Am ++++++=θ （7）特别，若直线L 垂直于平面π，即平行于，其充分必要条件是pC n B m A == 若直线L 与平面π垂直，即垂直于，其充分必要条件是 0=++Cp Bn Am图7.39例6 当B A ,为何值时，平面086=+++z By Ax 与直线314321+=-+=+z y x 垂直. 解 平面的法向量为}6,,{B A n =,直线的方向向量为}3,4,2{-=s ,若直线与平面垂直必有3642=-=B A 解得 8,4-==B A例7 求过点)4,2,1(-且与平面0432=--+z y x 垂直的直线方程.解 由于所求直线与平面0432=--+z y x 垂直,所以直线的方向向量s 与向量}1,3,2{-=n 平行,故可取}1,3,2{-==n s ,所求直线的方程为143221--=+=-z y x 总结上两节对平面和直线的讨论可知，建立平面和直线方程的条件是，对于直线只须知道其通过的一个点和它的方向向量，对于平面，只须知道其通过的一个点和它的法向量，建立方程时，若给出的是其它条件，应设法找出一个点并得到直线的方向量，或平面的法向量，求两直线或两平面的夹角都归结为求方向向量或法向量的夹角，它们互相垂直或平行的条件也就是两向量垂直或平行的条件.习题7-81． 求过点)1,2,3(和)3,3,4(的直线方程.2．求过点)3,0,2(-且与直线⎩⎨⎧-=-+=+-1253742z y x z y x 垂直的平面方程.3．求过点)2,1,3(-且通过直线321121-=-+=-z y x 的平面方程. 4．求满足下列条件的直线方程 （1）过点)3,1,4(-且平行于直线5123-==-z y x ;（2）经过点)4,4,3(-，方向角为πππ32,4,3; （3）过)4,2,0(且与两平面23,12=-=+z y z x 平行（4）过点)2,0,1(-且与平面0643=+-+z y x 平行，又与直线才垂直？？？？？？？？？？. 5．试确定下列各组中直线与平面间的关系.（1）3224,37423=--=-+=-+z y x zy x ; （2）8723,723=+-=-=z y x z y x ;（3）3,431232=++--=+=-z y x z y x .6．求直线⎩⎨⎧=+-=+-1239335z y x z y x 与直线⎩⎨⎧=++=-+18832322z y x z y x 的夹角的余弦.7．求点)0,2,1(-在平面012=+-+z y x 上的投影.8．求点)2,1,3(-P 到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离.。
高等数学-空间直线及其方程
的夹角的正弦。
i jk
解：L的一个方向向量
S2
1
0 1, 2,2
中法向量 n 1,1,1
011
则它们的夹角正弦为：
sin 11 1 2 1 2 1 111 12 22 22 3 3
例8：求过直线 L :
x 1 y 1 z 1 1 1 2
与平面
: x y 3z 15 0 的交点，且求垂直直线于与此平平面面交的点坐
向量。一条直线的方向向量有无穷多个，它们是相互
平行的。任一方向向量的坐标称为直线的一组方向数。
由于过空间一点可作而且只能作一条直线平行
于已知直线，
所以，当已知直线L上一点 r
M0
(x,
y,
z)
和它的一方向向量 S m, n, p,直线L的位置就完全
确定了。
建立直线 L 的对称式方程
已知直线上一点 M 0 (x0 , y0 , z0 )和它的方向向量
高等数学(下)
第六节
第七章
空间直线及其方程
一、空间直线方程 二、线面间的位置关系
一、空间直线方程
1. 一般式方程 直线可视为两平面交线，因此其一般式方程
A1x B1y C1z D1 0
z o x
L 1 y 2
通过空间直线L的平面有无穷多个，其中任意两个
平面的方程联立而得到的方程组均可以表示同一直线
r uuuuuur S / / M0M1 ( x1 x0 , y1 y0 , z1 z0 )
空间直线的两点式方程：x x0 y y0 z z0 x1 x0 y1 y0 z1 z0
3. 参数式方程
设 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
7-6第六节 空间直线及其方程
所求平面和已知平面夹角为π/3,则(n·n1)= π/3或2 π/3 因为n·n1=|n||n1|cos(n·n1),n1=2i+j-√5k,我们得到
高 等 数 学 电 子 教 案
2A + B − 5C A2 + B2 + C2
2
1 C=0 2A + B 1 = → = 22 +1+ 5 2 10( A2 + B2 ) 2
两直线的方向向量分别为S1和S2
i S1 = 1
j 2
k i j k −1 = i − 2 j − 3k .S2 = 2 −1 1 = − j − k 1 1 −1 1
1 −1
学 数
S1 = {1, −2, −3}, S 2 = {0, −1, −1}
于平面和直线平行由,即平面的法向量和两直线方向向量垂直
5 2 7
=
5 2 7
ϕ = cos −1 故两直线的夹角为
高 等 数 学 电 子 教 案 四 直线与平面的夹角
n L φ θ π 1,定义: 直线与它在平面上的投影直线的夹角 θ(0≤θ≤π/2)叫做直线与平面的夹角. 设直线L的方程是 x − x0 y − y0 z − z0 = = . m n p
学 数
和直线 L2 : x − x2 = y − y2 = z − z2 . m2 n2 p2
高 等 数 学 电 子 教 案
它们的方向向量为
n1 = {m1, n1, p1}; n2 = {m2 , n2 , p2}
根据两向量的夹角余弦公式,可得到直线L1和 L2 的夹角余弦
公式
cosϕ =
m1m2 + n1n2 + p1 p2 m +n + p
《高等数学》第七章 6空间直线及其方程
1,3,10.
4,1,1
131,3,1.
在L1上任取一点(3,0,-6),
则1： ( x 3) 3( y 0) (z 6) 0
即 x 3 y z 9 0,
L1
1
x 3y z 9 0
L:
4
x
y
z
1
. 0
L
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x 3y z 9 0
4 x
y
z
1
. 0
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L
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例7
求直线
2x L1 3x
4y z 0 y90
在平面 : 4x y z 1 内的投影直线L的方程.
解法取二s1：n先12求,s14,11的n方3程1,,31,1,00
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二、线面间的位置关系
1. 两直线的夹角
两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)
设直线 L1 , L2 的方向向量分别为
则两直线夹角 满足
cos s1 s2
s1 s2
L1
s1
L2
s2
m1m2 n1n2 p1 p2
m12 n12 p12 m22 n22 p22
交已知直线的两平面的法向量为
s n1 , s n2 s n1 n2
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i jk
s n1 n2 1 1 1 (4, 1, 3) 2 1 3
故所给直线的对称式方程为 x 1 y
空间直线及其方程
三、直线与平面
注意
当直线与平面垂直时,直线在平面上的投影为点，此 时规定直线与平面的夹角为
三、直线与平面
设直线的方向向量为s=（ m,n,p, ）平面的法向量为n=
（ A,B,C, ）直线与平面的夹角为φ,则
，所以
.由两向量夹角余弦的坐标表示式,有
三、直线与平面
【例6】
设直线
，平面π:x-y+2z=3，
一、空间直线方程
同时，这个平行六面体的体积V还可表示为高与底面积的乘 积，即V=d·s1×s2，从而有 由两直线不平行，可知s1×s2≠0，故有
二、两直线的夹角及位置关系
1. 两直线的夹角
把两直线的方向向量的夹角φ称为两直线的夹角，由于方向 向量有两个方向，这里同样约定
设直线L1和L2的方向向量分别为s1=n1,m1,p1和s2=n2,m2,p2，
一、空间直线方程
【例3】
已知直线的一般方程
试求其
点向式方程及参数方程. 解 首先任求直线上的一点，如令x=1，可得到 解得y=-1,z=2，于是点1,-1,2在直线上.
设两平面的法向量分别为n1，n2，直线的方向向量为s，则
一、空间直线方程
因此，直线的点向式方程为
令 程为
，得所给直线的参数方
一、空间直线方程
求直线与平面的夹角.
解 直线L的方向向量为s=（ 2,-1,2, ）平面π的法向量
为n=（ 1,-1,2, ）则L与π的夹角φ满足
因此，L与π的夹角φ为
三、直线与平面
2. 直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有两种情况：相交（包含垂直）， 平行（包含在平面上）.设直线L的方向向量为s=m,n,p,平面π 的方程为Ax+By+Cz+D=0,其法向量为n=A,B,C,则L与π垂直、 平行的充要条件分别为：
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第六节 空间直线及其方程
Straight Line in Space and Equation
教学目的: 理解空间直线的概念;熟练掌握直线的标准方程、参数方程及一般方程;会判断两
直线的位置关系,并会建立直线方程.
课 题: 直线的标准方程;直线的参数方程;直线的一般方程;两直线的夹角,平行与垂直的
条件.
教学重点: 空间直线的图形及其方程
教学难点: 空间直线方程的求解
教学方法: 精讲直线的标准方程、参数方程和一般方程并能求直线方程
教学内容:
一、直线的标准方程
如果一直线与已知向量平行，这个向量就叫做已知直线的方向向量.
设直线L 过空间一点0000(,,)M x y z ,且有方向向量{,,}m n p =s ,求此直线的方程. 在直线上任取一点(,,)M x y z ,则向量0000{,,}M M x x y y z z =---,且0M M s ,则有 000x x y y z z m n p
---== (1) (1)即为直线L 的方程,称为直线L 的标准方程或对称方程,,,m n p 叫做直线的方向数.
【例1】 求过点0(1,2,3)M -,且垂直于平面23580x y z +-+=的直线方程. 解 已知平面的法向量可作为所求直线的方向向量,即
{2,3,5}=-s
由式(1)可得直线方程为
123235x y z --+==-
【例2】 设直线经过两点12(1,2,3),(4,4,6)M M --,求其方程. 解 取12{3,6,9}M M =为直线的方向向量,并选直线上一点1M ,由式(1)得直线方程为
123369
x y z -++== 即
123123
x y z -++== 注 1.直线的方向向量不是唯一的,但同一条直线的所有方向向量互相平行;
2.直线上点的坐标选取不是唯一的,因此直线方程也不是唯一的;
3.在直线的标准方程中,方向数,,m n p 可以有一个或两个为零,这时方程(1)应理解为当分母为零时,分子必为零.
由例2知,过点11112222(,,),(,,)M x y z M x y z 的直线方程为
111212121
x x y y z z x x y y z z ---==--- 称此方程为直线的两点式方程.
二、直线的参数方程
令直线的标准方程000x x y y z z t m n p
---===,则有 000x x mt y y nt z z pt =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩ (t 为参数)
(2)
方程(2)称为直线的参数方程.
显然直线上任一点都对应唯一确定的t 值.反之,每取定一个t 值,都得到一个确定的点. 直线的标准方程可化为参数方程.反之,由直线的参数方程消去参数t ,即得标准方程.
三、直线的一般方程
空间直线L 可以看作是过该直线的两个不重合的平面1π和2π的交线.如果平面1π的方程为11110A x B y C z D +++=,2π的方程为22220A x B y C z D +++=,那么直线L 上的任一点,既在平面1π上,又在平面2π上,因此直线L 上的任一点的坐标都满足方程组
11112222
00A x B y C z D A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩ (3) 反之,不在直线L 上的点,不能同时在平面1π和2π上.即不在直线L 上的点,不满足方程组(3), 方程组(3),是直线L 的方程,称方程组(3)为直线的一般方程,其中111,,A B C 与22,,A B 2C 不成比例.
由于过直线L 的平面有无穷多个,可以任取两个,将其联立,便得直线L 的一般方程.因此,直线L 的一般方程不是唯一的.
【例3】 将直线的一般方程
23503240x y z x y z -+-=⎧⎨+--=⎩
化为标准方程.
解 首先,求此直线上一个点的坐标,为此先选定该点的一个坐标,例如,设1z =,代入原方程组,得
2340360
x y x y --=⎧⎨+-=⎩ 解之,得2,0x y ==.于是得该直线上一定点(2,0,1).
其次,确定直线的一个方向向量.由于直线L 在两个平面上,所以L 与两个平面的法向量12,n n 都垂直.因此可以选取12⨯n n 为直线L 的方向向量s :
{2,3,1}{3,1,2}{5,7,11}=-⨯-=s
于是得直线的标准方程为
2015711
x y z ---==
四、两直线的夹角，平行与垂直的条件
两直线1L 和2L 的方向向量的夹角(通常指锐角)叫做两条直线的夹角,通常记为ϕ.设1L 和2L 的方程分别为
1111111
3222222::x x y y z z L m n p z z x x y y L m n p ---==---==
它们的方向向量分别为11112222{,,},{,,}m n p m n p ==s s .故它们的夹角θ若不大于2π,则ϕθ=;若θ大于2
π,则ϕπθ=-,故1L 和2L 的夹角ϕ的余弦为
cos ϕ= 由此得两直线1L 和2L 平行的充要条件是
111222m n p m n p == 两直线1L 和2L 垂直的充要条件是
1212120m m n n p p ++=
【例4】 一直线通过点0(3,2,5)M -,且与平面430,2510x z x y z --=---=的交线平行,求该直线的方程.
解 由于所求直线与两平面的交线平行,故可取两平面交线的方向向量为所求直线的方向向量.即
{1,0,4}{2,1,5}{4,3,1}=-⨯--=---s
故所求直线方程为
325431
x y z +--==--- 即
325431
x y z +--==
【例5】 试判定下列直线和平面的位置关系.
(1) 24x y z ==和4210x y z ++-=; (2) 123302
x y z ---==和80y -=. 解 (1)直线的方向向量111,,24⎧⎫=⎨⎬⎩⎭
s ,平面的法向量{4,2,1}=n ,显然111:4:2:124
==,故s n ,所以,直线与平面垂直. (2) 直线的方向向量{3,0,2}=s ,平面的法向量{0,1,0}=n ,显然,0⋅=s n ,故⊥s n ,所以,直线与平面平行.
课堂练习:
1. 将直线方程121513
x y z -+-==-化为参数方程. 2. 写出各坐标轴的一般方程.
小结:
学习了直线的三种方程,两直线的夹角、平行与垂直的条件.要求理解空间直线的概念，熟练掌握直线的标准方程、参数方程及一般方程，会判断两直线的位置关系，并会建立直线方程。
作业:P148-3,5.。