高考抛物线专题做题技巧与方法总结

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探讨高中数学抛物线的解题方法与技巧

探讨高中数学抛物线的解题方法与技巧高中数学作为一门重要的学科，其内容的难度也相对较高。

抛物线作为高中数学中的一个常见知识点，其涉及到的解题方法与技巧也非常重要。

在本文中，我将借助我的学习经验，向大家浅谈关于探讨高中数学抛物线的解题方法与技巧。

一、基本概念在探讨解题方法与技巧之前，首先我们需要了解抛物线的基本概念。

抛物线是一种在平面上呈现出u形的曲线。

其方程通常为y = ax² + bx + c。

抛物线有两个基本特性：首先，抛物线是对称的，它的对称轴是垂直于x轴的线，其公式为x = -b/2a。

其次，抛物线的最高点叫做顶点，其y坐标为y = c - b²/4a。

二、解题方法1. 求解抛物线的相关参数在解题的过程中，如果我们要求解抛物线的方程，我们需要知道其中的相关参数。

在抛物线方程y = ax² + bx + c中，参数a、b、c分别代表什么意思？我们可以这样理解：参数a代表抛物线的开口方向和开口的大小，参数b代表抛物线的上下平移位置，参数c代表抛物线的左右平移位置。

2. 求解抛物线与其他曲线的交点在解题的过程中，我们还需要求解抛物线与其他曲线（如直线、另一条抛物线等）的交点。

这时我们需要用到解方程的方法。

以求解抛物线和直线的交点为例，我们先将抛物线和直线的方程联立起来，然后将抛物线的方程中的x用直线的方程表示，我们最后就能够解出x的值。

将x的值代入其中一个方程就可以求出y的值。

3. 求解离散数据的抛物线方程在实际生活中，我们有时候需要通过一组离散的数据来求解抛物线的方程。

这时候我们需要用到最小二乘法。

最小二乘法是一种通用的解决线性回归问题的办法，将数据点投影到一个平滑的函数上，通过求解该函数的系数，最终得到最优的函数曲线。

三、解题技巧1. 确定坐标系在解题的过程中，我们应该确定好坐标系的选择，通常可以根据题目的要求来选择合适的坐标系。

如果我们要求解抛物线上的某一个点，可以选择原点为顶点，则求解过程更容易进行。

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高考数学秒杀公式之抛物线必考秒杀结论大全高考数学秒杀公式：抛物线必考秒杀结论大全！冲刺名校，高考必备高考命题具有连续性和稳定性的特点，认真研究高考题的高频题型，总结出题目隐含的速解结论，可以极大地提高学生高考时的解题效率。

下面将抛物线中常考题型的结论归纳如下，并配有真题，让考生达到知结论，会应用的目的。

家长收藏，让学生熟记，考试中定会突破高分，就读清北名校！抛物线y2=2px（p>0）,斜率为k过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),过焦点垂直于AB的直线交抛物线与CD两点.直线AB的倾斜角为θ.例1：(2017全国新课标卷Ⅰ)已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为( )A．16 B．14 C．12 D．10例2：(2014·全国新课标卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|=( )例3：(2013·全国新课标卷Ⅱ)设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B 两点．若|AF|=3|BF|，则l的方程为( )三、面积类规律公式例4：(2014·全国新课标卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )例5：(2013年高考福建卷)在四边形ABCD中，AC=(1，2)，BD=(－4，2)，则该四边形的面积是( )四、有关垂直和切线的其它规律线段AB的中点为M，点A，M，B在准线l的上的射影分别为A1，M1，B1：(9)M1F⊥AB(10)∠AM1B=90°，M1F=p/sinθ,以AB为直径的圆与准线l相切于点M1．(11)∠A1FB1=90°，以A1B1为直径的圆与直线AB相切于点F．(12)以AF，BF为直径的圆与y轴分别相切于点E，N．(13)AM1平分∠A1AF，BM1平分∠B1BF;A1F平分∠AFO，B1F平分∠BFO．(14)①A，F，B共线;②A，O，B1共线；③BB1∥x轴．(15)M1A与M1B是抛物线的切线，或者说以A，B两点为切点的两条切线互相垂直且交点在抛物线的准线上．解一：由结论（8）知MA，MB为抛物线的两条切线,故lAB：2y=4(x－2),即y=2x－4,故k=2,选D.解二：由结论(10)知MF⊥AB,∵kMF=-1/2,∴kAB=2,故选D.用上述结论做抛物线的选择和填空题，过程简洁，省时高效。

高中数学抛物线的公式及复习技巧

高中数学抛物线的公式及复习技巧高中数学抛物线的公式1、抛物线：y=ax__+bx+c就是y等于ax的平方加上bx再加上c。

a0时，抛物线开口向上;a0时抛物线开口向下;c=0时抛物线经过原点;b=0时抛物线对称轴为y轴。

2、顶点式y=a(x+h)__+k就是y等于a乘以(x+h)的平方+k，-h是顶点坐标的x，k是顶点坐标的y，一般用于求最大值与最小值。

3、抛物线标准方程:y^2=2px它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0)。

4、准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程：y^2=2pxy^2=-2p__^2=2pyx^2=-2py。

高考数学复习技巧1、训练想像力。

有的数学问题既要凭借图形，又要进行抽象思维。

同学们不但要学会看图，而且要学会画图，通过看图和画培养自己的空间想象能力比如，几何中的“点”没有大小，只有位置。

现实生活中的点和实际画出来的点就有大小。

所以说，几何中的“点”只存在于大脑思维中。

2、准确理解和牢固掌握各种数学运算所需的概念、性质、公式、法则和一些常用数据，概念模糊，公式、法则含混，必定影响数学运算的准确性。

为了提高运算的速度，收集、归纳、积累经验，形成熟练技巧，以提高运算的简捷性和迅速性。

3、审题。

有些题目的部分条件并不明确给出，而是隐含在文字叙述之中。

把隐含条件挖掘出米，常常是数学解题的关键所在，对题目隐含条件的挖掘，都要仔细思考除了明确给出的条件以外，是否还隐含着更多的条件，这样才能准确地理解数学题意。

高三提高数学成绩的窍门1、培养良好的学习兴趣常言到：兴趣是最好的老师，有兴趣才能产生爱好，爱好它才会去实践它，达到乐在其中，才会形成学习的主动性和积极性就自然的会立志学好数学，成为数学学习的成功者就连孔子不是也说过：知之者不如好之者，好之者不如乐之者“好”和“乐”就是愿意学，喜欢学，这就是兴趣2、培养良好的学习习惯很多数学成绩不好或是基础差的同学都没有好的学习习惯良好的学习习惯会让你的学习感到有序和轻松，高中数学良好的学习习惯应该是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用在跟着老师脚步学习的过程中应该养成把老师讲的知识翻译成自己的特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中数学答题技巧有什么1.检查关键结果。

重难点14三种抛物线解题方法(核心考点讲与练新高考专用)(解析版)

重难点14三种抛物线解题方法（核心考点讲与练）题型一:定义法求焦半径一、单选题1．（2022·全国·模拟预测（文））对于正数a ，p ，抛物线()24y a px -=的焦点为1F ，抛物线24y x =-的焦点为2F ，线段12F F 与两个抛物线的交点分别为P ，Q ．若123F F =，1PQ =，则22a p +的值为（） A ．6 B ．254C ．7D ．274【答案】C【分析】由抛物线方程求出其焦点和顶点坐标，由条件结合抛物线的定义列方程求出,a p 即可. 【详解】抛物线()24y a px -=的焦点1F 的坐标为(),p a ，抛物线24y x =-的焦点2F 的坐标为(1,0)-，又123F F =，所以22(1)9p a ++=，设11(,)P x y ，()22,Q x y ，则11||=+PF x p ，22||+1QF x =-，所以12213||||2PQ PF QF x x p =--=+--，又1PQ =，所以12=1x x p --，又1212||1||13x x PQ F F p -==+，所以12p =，又22(1)9p a ++=，所以22=9127a p p +--=，故选：C.能力拓展2．（2022·湖北·模拟预测）已知抛物线C 的焦点为F ，点,A B 在抛物线上，过线段AB 的中点M 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为N ，以AB 为直径的圆过点F ，则MN AB的最大值为（）A ．12B ．33C ．22D ．1【答案】C【分析】先设出,AF BF ，由抛物线定义求出MN ，勾股定理求出AB ，结合基本不等式求出MN AB的最大值即可. 【详解】如图，以开口向右的抛物线为例，过,A B 作,AA BB ''垂直于准线，垂足为,A B ''，设,AF a BF b ==，则222AA BB AF BF a bMN ''+++===，以AB 为直径的圆过点F ，则AF BF ⊥，22AB a b =+ 则222222a b a b M a N B bA +=+=+，则()()22222222114242a b a MN a a b ab b b AB ⎛⎫++==+≤ ⎝++⎪ ⎪⎭，当且仅当a b =时取等，即MN AB2故选：C.3．（2022·广东佛山·模拟预测）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，过焦点且斜率为22的直线l与抛物线C 交于A ，B （A 在B 的上方）两点，若AF BF λ=，则λ的值为（） A ．2 B ．3 C ．2 D ．5【答案】C【分析】设直线l 的倾斜角为θ，求得1cos 3θ=．过A 作1AA ⊥准线于1A ，过B 作1BB ⊥准线于1B ，过B 作1BC AA ⊥于C .由抛物线定义求出()1AC BF λ=-和()1AB BF λ=+.在直角三角形ABC 中，利用余弦的定义表示出1cos 3ACAB θ==,即可解得．【详解】设直线l 的倾斜角为θ，根据条件可得tan 22θ=，则可得1cos 3θ=．过A 作1AA ⊥准线于1A ，过B 作1BB ⊥准线于1B ，过B 作1BC AA ⊥于C . 由抛物线定义可得：11,AF AA BF BB ==.因为AF BF λ=，所以()11111AC AA AC AA BB AF BF BF λ=-=-=-=-. 而()1AB AF BF BF λ=+=+. 在直角三角形ABC 中，()()11cos 13AC BF AB BF λθλ-===+,解得：2λ=．故选：C4．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，Q 为C 上一点，M 为C 的准线l 上一点且//QM x 轴.若O 为坐标原点，P 在x 轴上，且在点F 的右侧，4OP =，QF QP =，120MQP ∠=︒，则准线l 的方程为（）A ．165x =-B ．25x =-C ．45x =-D ．85x =-【答案】C【分析】根据抛物线的定义以及已知的几何关系，判断出PFQ △为等边三角形，再运用焦半径公式求出边长，进而解得p 的取值，求出准线方程. 【详解】由题意得，如图，点P 在焦点F 的右边，且()4,0P ，QM l ⊥，由抛物线的定义知QF QM =，∵QF QP =，∴QP QM =，又120MQP ∠=︒，//QM x 轴，60QPF ∴∠= ∴PFQ △为等边三角形， ∴点Q 的横坐标为422224Q pp p x -=+=+，∴322424p p pQM =++=+，又42p QM QP FP ===-，∴32442p p +=-，解得85p =， ∴准线l 的方程为45x =-，故选：C. 二、多选题5．（2022·全国·模拟预测）已知抛物线24y x =，焦点为F ，直线l 与抛物线交于A ，B 两点，则下列选项正确的是（）A ．当直线l 过焦点F 时，以AF 为直径的圆与y 轴相切B ．若线段AB 中点的纵坐标为2，则直线AB 的斜率为1C ．若OA OB ⊥，则弦长AB 最小值为8D ．当直线l 过焦点F 且斜率为2时，AB ，AF ，BF 成等差数列【答案】ABC【分析】设()11,A x y ，根据抛物线定义，可得11AF x =+，即可得AF 为直径的圆的半径和圆心坐标，又圆心到y 轴距离为112x +，即可判断A 的正误；由题意，求得直线l 的方程，即可判断B 的正误；根据题意，结合韦达定理及弦长公式，可得AB 长表达式，根据m 的范围，即可判断C 的正误；由题意得2AF AB BF =+，根据焦半径公式结合韦达定理，可求得k 值，即可判断D 的正误，即可得答案.【详解】设直线l 的方程为x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y ．联立24x my n y x =+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y my n --=，由韦达定理得124y y m +=，124y y n =-．对于A ：11AF x =+，以AF 为直径的圆半径为112x +，圆心为111,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭，圆心到y 轴距离为112x +，故以AF 为直径的圆与y 轴相切，故选项A 正确；对于B ：∵1222y y +=，∴44m =，即1m =， ∴直线l 的方程为y x n =-，∴直线AB 的斜率为1，故选项B 正确；对于C ：若OA OB ⊥，则2212121212016y y x x y y y y +=+=， ∴12164y y n =-=-，∴4n =，则12AB y =-=又20m ≥，∴当20m =时，AB 取最小为8，故选项C 正确；对于D ：根据题意可得直线l 的斜率存在．∵抛物线24y x =的焦点()1,0F ， ∴直线l 的方程可设为(1)y k x =-，与抛物线方程联立()214y k x y x⎧=-⎨=⎩，消去y 整理得()2222220k x k x k -++=．设()11,A x y ，()22,B x y ，∴()212222k x x k++=，121=x x ．若AB ，AF ，BF 成等差数列，则有2AF AB BF =+，即()112221111x x x x +=+++++，化简得1221x x =+．又121=x x ，解得21122x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩或2111x x =-⎧⎨=-⎩（舍去）．∵()212222k x x k ++=，∴()222252k k+=，解得28k =，所以k =±D 错误，故选：ABC ．【点睛】解题的关键是熟练掌握抛物线的定义、焦半径公式、弦长公式等基础知识，并灵活应用韦达定理进行求解，综合性较强，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.6．（2022·福建泉州·模拟预测）已知A （a ，0），M （3，-2），点P 在抛物线24y x =上，则（） A ．当1a =时，PA 最小值为1 B ．当3a =时，PA 的最小值为3 C ．当1a =时，PA PM +的最小值为4 D ．当3a =时，PA PM -的最大值为2 【答案】ACD【分析】当1a =时，得到1,0A 为抛物线焦点，利用焦半径求出011PA x =+≥，从而判断A 选项；作辅助线，得到当N ，P ，M 三点共线时，PA PM +取得最小值，求出最小值，判断C 选项；延长AM 交抛物线于点P '，此时AM 为PA PM -的最大值，求出最大值，判断D 选项；当3a =时，利用两点间距离公式和配方求出最小值，判断B 选项.【详解】当1a =时，1,0A 为抛物线的焦点，设()000,,0P x y x ≥，则011PA x =+≥，故PA 的最小值为1，A 正确；设抛物线的准线为:l 1x =-，过点P 作PN ⊥l 于点N ，此时PA PM PN PM +=+，故当N ，P ，M 三点共线时，PA PM +取得最小值，此时()min314PA PM+=+=，C 正确；当3a =时，()3,0A ，连接AM ，并延长AM 交抛物线于点P '，此时PA PM P A P M AM '='--=为PA PM -的最大值，当P 在其他位置时，根据三角形两边之差小于第三边，可知均小于AM ，因为()()2233202AM =-+--=，故D 正确；此时()()()22220000033418PA x y x x x =-+-+-+当01x =时，min 22PA =B 错误. 故选：ACD7．（2022·全国·模拟预测）已知O 为坐标原点，抛物线E 的方程为214y x =，E 的焦点为F ，直线l 与E 交于A ，B 两点，且AB 的中点到x 轴的距离为2，则下列结论正确的是（） A ．E 的准线方程为116y =- B ．AB 的最大值为6C ．若2AF FB =，则直线AB 的方程为21y x =+ D ．若OA OB ⊥，则AOB 面积的最小值为16【答案】BCD【分析】直接求出准线方程即可判断A 选项；由26AF BF MN +==以及抛物线的定义结合AF BF AB +≥即可判断B 选项；设出直线AB 的方程为1y kx =+，联立抛物线，由2AF FB =解出A 点坐标，即可判断C 选项；由OA OB ⊥求得直线AB 恒过点()0,4结合1216x x =-即可求出面积最小值，即可判断D 选项. 【详解】由题意知E 的标准方程为24x y =，故E 的准线方程为1y =-， A 错误；设AB 的中点为M ，分别过点A ，B ，M 作准线的垂线，垂足分别为C ，D ，N ，因为M 到x 轴的距离为2，所以213MN =+=.由抛物线的定义知AC AF =，BD BF =，所以26MN AC BD AF BF =+=+=. 因为AF BF AB +≥，所以6AB ≤，所以B 正确；由2AF FB =得直线AB 过点()0,1F ，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为1y kx =+，联立方程得21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩化简得2440x kx --=，则4A B x x =-.由于2AF FB =，所以()(),12,1A A B B x y x y --=-，得2A B x x =-，得22A x =±2124A A y x ==，所以2k =AB 的方程为21y =+，故C 正确；设()11,A x y ，()22,B x y ，由OA OB ⊥，得12120x x y y +=，又21122244x y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，所以()212121016x x x x +=，由题意知120x x ≠，所以1216x x =-.又222121122121444ABx x y y x x kx x x x --+===--，故直线AB 的方程为()12114x x y y x x +-=-. 由于2114x y =，所以1212124444x x x x x x y x x ++=-=+，则直线AB 恒过点()0,4，所以1214162OAB S x x =⨯-=△，所以AOB 面积的是小值为16，故D 正确. 故选：BCD.8．（2022·广东佛山·模拟预测）已知直线l ：2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与抛物线C ：()220y px p =>相交于A ，B 两点，点A 在x 轴上方，点()1,1M --是抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（）A ．2p =B ．2k =-C ．MF AB ⊥D ．25FA FB = 【答案】ABC【分析】由题意可知，抛物线C 的准线为1x =-，利用抛物线的几何性质求出2p =和抛物线C 的方程和焦点坐标()1,0F ，结合直线l 的方程可知，直线l 经过焦点()1,0F ，利用抛物线的定义表示出以AB 为直径的圆的半径和圆心Q ,由2ABQM r ==得到关于k 的方程，解方程求出k ，利用抛物线的定义求得焦半径计算可判断25FA FB =的对错. 【详解】由题意知，抛物线C 的准线为1x =-，即12p=，解得2p =，故选项A 正确；因为2p =，所以抛物线C 的方程为：24y x =，其焦点为()1,0F ，又直线:l ()1y k x =-，所以直线l 恒过抛物线的焦点()1,0F ，设点()()1122,,,A x y B x y ，因为,A B 两点在抛物线C 上，联立方程21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减可得，1212124y y k x x y y -==-+，设AB 的中点为()00,Q x y ，则02y k=，因为点()00,Q x y 在直线l 上，解得可得0221x k =+，所以点2221,Q kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是以AB 为直径的圆的圆心，由抛物线的定义知，圆Q 的半径012222222222x x x AB r k+++====+，因为222222221QM r k k ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22222222212k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得2k =-，故选项B 正确；因为2k =-，101112MF k --==--,1MF k k ⋅=-所以MF AB ⊥，故选项C 正确；过A 做1AA x ⊥轴，过B 做1BB x ⊥轴，抛断线的准线交x 轴与点C ，设1BFB θ∠=, 11cos CB CF FB p BF BF θ∴=+=+=，1cos pBF θ∴=-，11cos CA CF FA p AF AF θ∴=+=-=，1cos pAF θ∴=+，又2p =，2k =-，则5cos 5θ=， ∴255(55)3010535,25520255FAFB ----====-+则D 错误. 故选：ABC【点睛】关键点睛：本题考查抛物线的标准方程及其几何性质、圆的性质、直线与抛物线的位置关系、弦长公式、点到直线的距离公式；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握直线与抛物线的位置关系和抛物线的几何性质、圆的性质是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.9．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交该抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，点T （-1，0），则下列结论正确的是（）A ．124y y =-B ．111AF BF+= C ．若三角形TAB 的面积为S ，则S的最小值为D ．若线段AT 中点为Q ，且2AT BQ =，则4AF BF -= 【答案】ABD【分析】A 选项，设出直线AB ：1x my =+，与24y x =联立后得到两根之积；B 选项，利用抛物线的定义得到11AF x =+，21BF x =+，转化为两根之和与两根之积的关系式，代入求解；C选项，表达出12142S TF y y =-，求出最小面积；D 选项，根据2AT BQ =得到90TBF ∠=︒，0BT BF ⋅=，得到22x，进而计算出12x ，求出4AF BF -=. 【详解】将直线AB ：1x my =+与24y x =联立得：2440y my --=设()()112212,,,,0A x y B x y x x ≥>，则121244y y my y +=⎧⎨=-⎩，故A 正确；由抛物线的定义可知：11AF x =+，21BF x =+，则()()122121212124111111112224m y y AF BF x x my my m y y m y y +++=+=+=+++++++ 222441484m m m +==-++，B 正确；12142S TF y y =-==，当且仅当0m =时等号成立，故S 的最小值为4，C错误；由2AT BQ =可得：90TBF ∠=︒，即0BT BF ⋅=，所以()()222222222221,1,1140x y x y x y x x ---⋅--=-+=-+=，解得：22x或22x =（舍去），又因为221212116y y x x ==，所以12x ，因此()12114AF BF x x -=+-+=，D 正确. 故选：ABD【点睛】抛物线的焦点弦的性质是比较多的，要重点记忆一些，比如2124p x x =，212y y p =-，112AF BF p +=等. 三、解答题10．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）曲线C 10x +=，点D 的坐标()1,0，点P 的坐标()1,2.(1)设E 是曲线C 上的点，且E 到D 的距离等于4，求E 的坐标：(2)设A ，B 是曲线C 上横坐标不等于1的两个不同的动点，直线P A ，PB 与y 轴分别交于M ､N 两点，线段MN 的垂直平分线经过点P .证明；直线AB 的斜率为定值，并求出此值.【答案】(1)(3,或(3,-.(2)证明见解析，定值为1-.【分析】（1）化简曲线曲线C 的方程得24y x =，根据抛物线的定义可求出结果；（2）联立直线与抛物线方程求出,M N 的坐标，利用MN 的垂直平分线经过P 得到PA 与PB 的斜率为相反数，再联立直线与抛物线方程得到,A B 的坐标，根据斜率公式可证结论成立.(1)曲线C 10x +=，移项平方得()()22211x y x -+=+，化简得24y x =， ∴曲线C 的方程为24y x =.∴()1,0D 为抛物线24y x =的焦点，直线1x =-为抛物线24y x =的准线. 设()00,E x y ，则01ED x =+.∵4ED =，014x +=，解得03x =.∴200412y x ==，解得0y =±∴E 的坐标为(3,或(3,-. (2)∵()1,2P ，曲线C 的方程为24y x =，点()1,2P 在曲线C 上，∵A ､B 是曲线C 上横坐标不等于1的两个不同的动点，直线P A ､PB 与y 轴分别交于点M ､N ，∴直线P A ､PB 的斜率都存在，且都不为0，分别设为k ､1k ，则10kk ≠，直线P A 的方程为()21y k x -=-，即2y kx k =+-. 当0x =时，2y k =-，即()0,2M k -. 同理可得()10,2N k -.∵线段MN 的垂直平分线经过点P ，∴12222k k -+-=，即1k k =-.由224y kx k y x=+-⎧⎨=⎩，得：()2222222440k x k k x k k --++-+=. 设()11,A x y ，则1，1x 是()2222222440k x k k x k k --++-+=的解.由书达定理得：2112441k k x x k -+=⋅=∴22444,2k k A k k ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，同理可得22444,2k k B k k ⎛⎫++- ⎪-⎝⎭∴2222442214444ABk k k k k k k k k ---+==-++-+-，∴直线AB 的斜率为定值1-. 11．（2022·河南焦作·三模（理））已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线8y =与抛物线C 交于点P ，且5||2PF p =． (1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作抛物线C 的两条互相垂直的弦AB ，DE ，设弦AB ，DE 的中点分别为P ，Q ，求PQ 的最小值．【答案】(1)28y x =(2)8【分析】（1）设出()0,8P x ，由焦半径得到方程，求出4p =，进而求出抛物线方程；（2）设出直线方程，表达出P ，Q 两点坐标，用两点间距离公式表达出PQ ，利用基本不等式求出最小值. (1)依题意，设()0,8P x ．由抛物线的定义得05||22p PF x p =+=，解得：02x p =，因为()0,8P x 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，所以2082px =，所以2822p p =⋅，解得：4p =．故抛物线C 的方程为28y x =．(2)由题意可知(2,0)F ，直线AB 的斜率存在，且不为0．设直线AB 的方程为2(0)x my m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ．联立228x my y x=+⎧⎨=⎩，整理得：28160y my --=，则128y y m +=，从而()21212484x x m y y m +=++=+．因为P 是弦AB 的中点，所以()242,4P m m +，同理可得2442,Q mm ⎛⎫+- ⎪⎝⎭．则||PQ ==8=≥，当且仅当441m m =且221m m =，即1m =±时等号成立，故PQ 的最小值为8．【点睛】圆锥曲线与直线相交问题，一般设出直线方程，联立后得到两根之和，两根之积，结合题目条件列出方程，或表达出弦长，常常结合基本不等式或二次函数等进行求解.12．（2022·贵州毕节·三模（理））已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且点F 与()22:21M x y +-=上点的距离的最大值为114． (1)求p ；(2)当01p <≤时，设B ，D ，E 是抛物线C 上的三个点，若直线BD ，BE 均与M 相切，求证：直线DE 与M 相切．【答案】(1)152p =或12p =(2)证明见解析【分析】(1)作图，分析图中的几何关系即可求解；(2)分别写出BD ，BE ，ED 的直线方程，化简，利用点到直线距离公式即可. (1)依题意作下图：由于0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，依题意有112124p -+=解得152p =或12p =； (2)当01p <≤时，抛物线2:C x y =，设B ，D ，E 的坐标分别为()00,B x y ，()11,D x y ，()22,E x y ，由题意可知直线BD ，BE ，DE 的斜率均存在，所以221010011010BDy y x x k x x x x x x --===+-- ，直线BD 的方程为()()0010y y x x x x -=+-，即()01010x x x y x x +--=，直线BD 均与M 相切，()01201211x x x x +=++，即()010102130x x y y y +--+=…①，同理()020202130x x y y y +--+=…②，-①② 得：()()()01201221x x x y y y -=--- ，01212021x y y x x y -=--- ，所以直线DE 的方程为()011021x y y x x y -=--- ，()0002130x x y y y +--+=，所以圆心()0,2到直线DE ()()()00022200021311411y y y x y y --++==+-+ ，所以直线DE 与M 相切；题型二：定义转换法求距离的最值问题一、单选题1．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知定点(3,3)M -，点P 为拋物线2:4C x y =上一动点，P 到x 轴的距离为d ，则||d PM +的最小值为（） A ．4 B ．5 C1 D【答案】A【分析】设焦点为(0,1)F ，P 到准线的距离为d '，根据抛物线的定义，可得1||1d d PF '=-=-，故将||d PM +变为||||1PM PF +-,求得答案.【详解】设焦点为(0,1)F ，P 到准线的距离为d '，则1d d '=-，所以1||d PM PM d PM '+=+-=+||1||11514PF MF -≥-=-=，当且仅当P ,M,F 三点共线时取等号，故选：A ．2．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（文））已知抛物线28y x =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，则9AF BF-的最小值为（） A ．1 B ．32C ．52D ．6【答案】B 【分析】根据11AF BF+=12，代入得9992AF AF BF AF -=+-利用基本不等式处理．【详解】设直线l 的方程为2x my =+，与抛物线方程联立228x my y x =+⎧⎨=⎩，得28160y my --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则128y y m +=，1216y y =-，所以21284x x m +=+，()21212464y y x x ==，11AF BF AF BF AF BF++=()()121241222x x x x ++==++，所以9992AF AF BF AF -=+-93622≥-=，当且仅当3AF =时，等号成立．故选：B ．3．（2022·河北张家口·三模）已知点P 是抛物线24y x =上的动点，过点P 向y 轴作垂线，垂足记为N ，动点M 满足||||PM PN +最小值为3，则点M 的轨迹长度为（） A ．163πB ．8πC ．16433π+ D ．823π+【答案】C【分析】分点M 在抛物线外部，点M 在抛物线上或内部两种情况讨论得解.【详解】当点M 在抛物线外部时，||||||||11||||1||13PM PN PM PN PM PF MF +=++-=+--=，||4MF ∴=，点M 的轨迹方程为22(1)16x y -+=（在抛物线外部的部分），与24y x =联立解得3x =，∴ 轨迹与抛物线的两个交点为(3,23)A ，(3,23)B -，则120AFB ∠=︒，圆在抛物线外部的弧长为2162433ππ⨯⨯=；当点M 在抛物线上或内部时，,,N P M 三点共线时，||||PM PN +最小，此时点M 的轨迹方程为3(2323)x y =-，其长度为43.所以点M 的轨迹长度为16433π+故选：C.4．（2022·全国·模拟预测）已知点P 为抛物线2:4C y x =上的动点，点F 为抛物线的焦点，点()3,2A ，设点Q 为以点P 为圆心，PF 为半径的圆上的动点，QA 的最大值为Q d ，当点P 在抛物线上运动时，则Q d 的最小值为（）A ．BC ．4D ．5【答案】C【分析】根据圆内的定点与圆上的点的距离关系确定Q d 的最大值，结合抛物线的定义求其最小值. 【详解】设圆P 的半径为r ，则PQ PF r ==．易知QA 的最大值Q d PA r PA PF =+=+．设点P 到准线的距离为P d ，点A 到准线的距离为A d ，根据抛物线的定义得4Q P A d PA d d =+≥=，故选：C ．5．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知M 是抛物线212x y =上一点，F 为其焦点，()3,6C ，则MF MC +的最小值为（） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】B【分析】过M 作直线3y =-的垂线，垂足为N ，根据抛物线的定义可知MF MN =，即求MN MC +的最小值，结合三点共线时两点之间距离最短可求解.【详解】由题意直线3y =-为抛物线212x y =的准线. ()0,3F过M 作直线3y =-的垂线，垂足为N ，根据抛物线的定义可知MF MN =，故MF MC MN MC +=+,即求MN MC +的最小值，当,,C M N 三点不共线时，MN MC CN +>当,,C M N 三点共线时，即过点C 作直线3y =-的垂线，此时MN MC CN +=所以过点C 作直线3y =-的垂线，与抛物线的交点就是所求点M ，此时9MN MC +=，故MF MC +的最小值为9 故选：B6．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 且倾斜角为4π的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，||8AB =，过A ，B 两点分别作抛物线的切线，交于点Q ．下列说法正确的是( ) A ．QA QB ⊥B ．AOB (O 为坐标原点)的面积为2C ．112||||AF BF += D ．若()1,1M ，P 是抛物线上一动点，则||||PM PF +的最小值为52【答案】A【分析】设l 的方程，和抛物线方程联立，得到根与系数关系，求出AB ，根据8AB =求出p 的值. A ：用导数求出切线斜率，验证两斜率之积是否为－1； B ：利用三角形面积公式即可求解； C ：根据抛物线焦点弦的几何性质可判断；D ：数形结合，利用抛物线的定义转化PF 为P 到准线的距离即可求出最值. 【详解】∵l 过点F 且倾斜角为4π， ∴直线l 的方为2px y =+，与抛物线方程联立，得2220y py p --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则122y y p +=，212y y p =-，∴123x x p +=，()221212244y y p x x p ==，又12||48AB p x x p =++==，∴2p =，∴24y x =；不妨设10y >，当0y >时，y x'=∴过A 的切线斜率为111A x x k y x '＝＝＝，同理可得过B 的切线斜率为221B x x k y x '-＝＝＝， ∴12121A B k k p x x =-=-=-，∴QA QB ⊥，故A 正确；1211||22AOBSOF y y =⋅-=()221212148222y y y y p +-==，故B 错误；1121||||AF BF p +==，故C 错误；设点M 到准线的距离为d ，若(1,1)M ，则||||PM PF +≥122pd =+=，则D 错误．故选：A ．二、多选题7．（2022·河北·模拟预测）设抛物线2:8C x y =的焦点为F ，准线为l ，()00,P x y 为C 上一动点，(2,1)A ，则下列结论正确的是（）A ．当02x =时，抛物线C 在点P 处的切线方程为220x y --=B ．当04x =时，||PF 的值为6C ．||||PA PF +的最小值为3D ．||||PA PF -5【答案】BCD【分析】A 选项，求导，求出在02x =的导函数值，即切线斜率，进而用点斜式求出切线方程；B 选项，由焦半径求出||PF 的值；C 选项，利用抛物线定义得到PA PF PA PB +=+，当三点共线时和最小，求出最小值；D 选项，作出辅助线，找到415PA PF AF -=+【详解】当02x =时，012y =，又()14f x x '=，所以()122f '=，所以抛物线C 在点P 处的切线方程为()11222y x -=-，整理得：210x y --=，A 错误；当04x =时，02y =，故04246PF y =+=+=，B 正确；如图，过点P 作PB ⊥准线于点B ，则由抛物线定义可知：PF PB =，则PA PF PA PB +=+，当A 、P 、B 三点共线时，和最小，最小值为1+2=3，C 正确；由题意得：()0,2F ，连接AF 并延长，交抛物线于点P ，此点即为||||PA PF -取最大值的点，此时415PA PF AF -==+=，其他位置的点P '，由三角形两边之差小于第三边得：5P A P F AF ''-<=，故||||PA PF -的最大值为5，D 正确.故选：BCD8．（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）已知F 是抛物线24y x =的焦点，P 是抛物线24y x =上一动点，Q 是()()22:411C x y -+-=上一动点，则下列说法正确的有（） A ．PF 的最小值为1 B ．QF 10C ．PF PQ +的最小值为4 D ．PF PQ +101【答案】AC【分析】根据抛物线的性质判断A ，根据圆的性质判断B ，结合抛物线的定义判断C ，D. 【详解】抛物线焦点为()1,0F ，准线为1x =-，作出图象，对选项A ：由抛物线的性质可知：PF 的最小值为1OF =，选项A 正确；对选项B ：注意到F 是定点，由圆的性质可知：QF 的最小值为101CF r -，选项B 错误；对选项CD ：过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，由抛物线定义可知PF PM =，故PF PQ PM PQ +=+，PM PQ +的最小值为点Q 到准线1x =-的距离，故最小值为4，从而选项C 正确，选项D 错误．故选：AC.9．（2022·福建福州·三模）已知抛物线()220y px p =>的准线为l ，点M 在抛物线上，以M 为圆心的圆与l相切于点N ，点()5,0A 与抛物线的焦点F 不重合，且MN MA =，120NMA ∠=︒，则（） A ．圆M 的半径是4 B ．圆M 与直线1y =-相切C ．抛物线上的点P 到点A 的距离的最小值为4D ．抛物线上的点P 到点A ，F 的距离之和的最小值为4 【答案】AC【分析】由抛物线的定义，得MN MF MA ==，又MN l ⊥，120NMA ∠=︒，易得MAF △是等边三角形，结合图像得到2p OG MN =-，即可求解p ；求得M 的坐标，则判断出A 和B 选项；对于C 选项，设2,4t P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用两点间的距离公式得到AP ，结合二次函数的图象性质，得到AP 的最小值；设PP l '⊥交l 于点P '，通过抛物线的定义结合三点共线得，PA PF PP PA P A ''+=+≥，当且仅当A 、F 、P '三点共线时取得最小值，即可判断D 选项.【详解】由抛物线的定义，得MN MF =，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线:2p l x =-以M 为圆心的圆与l 相切于点N ，所以MN l ⊥，即MN x ∥轴，又120NMA ∠=︒，所以60MAF ∠=︒；因为MN MF MA ==，所以MAF △是等边三角形，即MN MF MA AF ===；设点M 在第一象限，作AF 的中点G ，连接MG ，()5,0A ，52p AF MN MF MA ∴====-，则2p OG MN =-，即15522222pppp⎛⎫⨯-+=-- ⎪⎝⎭，解得：2p =，则抛物线的方程为：24y x =，则OG =3，对于A 选项，有514MN MF MA ===-=，故A 选项正确；对于B 选项，3m x OG ==，所以23m y =±，易得圆M 与直线1y =-不相切，故B 选项错误；对于C 选项，设抛物线上的点2,4t P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22254t AP t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭化简，得()2211216416AP t -+，当且仅当212t =时等号成立，故C 选项正确；对于D 选项，设过点P 作准线:1l x =-的垂线交l 于点P '，由抛物线的定义，知PP PF '=，则PA PF PP PA P A ''+=+≥，当且仅当A 、F 、P '三点共线时取得最小值，所以516PA PF P A '+≥≥+=，故D 选项错误；故选：AC. 三、填空题10．（2021·山东·青岛西海岸新区第一高级中学高三期末）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点(00102p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线C 上一点，圆M 与线段MF 相交于点A ，且被直线2px =3MA ，若2MAAF=，则AF =___________.【答案】52【分析】先将点M 代入抛物线方程得到一个关系式，而后利用抛物线的定义将A 到焦点的距离转化为到准线的距离，然后根据圆的弦长公式用勾股定理得到第二个关系式，进一步解出即可. 【详解】如图所示，()0,10M x 在抛物线上，则001025px px =⇒=……①易知，0||2p DM x =-，由0222=2332MA p MA AF MF x AF ⎛⎫=⇒==+ ⎪⎝⎭，因为被直线2px =3MA ，则03|||23p DE MA x ⎫=+⎪⎭，由MA ME r ==，于是在Rt MDE 中，222000014+32292p p p x x x x p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭……② 由①②解得：05x p ==01532p AF x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5. 【点睛】本题应当结合抛物线的简单几何性质和定义以及勾股定理在抛物线中的应用，一定要结合图形找到各个量之间的联系，抛物线题目切记抛物线上点到焦点的距离等于其到准线的距离. 四、解答题11．（2022·浙江·高三专题练习）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，经过拋物线22:2(0)C y px p =>的焦点F的直线1l 与2C 交于,P Q 两点，2C 在点P 处的切线2l 交1C 于,A B 两点，如图.(1)当直线PF 垂直x 轴时，2PF =，求2C 的准线方程； (2)若三角形ABQ 的重心G 在x 轴上，且2a b <，求PFQF的取值范围. 【答案】(1)x =-1；(2)51171++⎝⎭，【分析】(1)根据抛物线的性质可得(0)2p F ，，根据题意可得(2)2p P ，，将点P 的坐标代入抛物线方程求出p 的值即可；(2)根据题意设2pPQ x my =+：，22121222y y P y Q y p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，由导数的几何意义求出直线PB 的斜率进而表示出方程，联立椭圆方程并消去x ，利用韦达定理求出A B y y +，根据三角形的重心可得2A B y y y +=-，列出方程并解之得出21y ，利用抛物线的定义表示PFFQ，结合换元法化简计算即可. (1)由222(0)C y px p =>：知，(0)2pF ，，当直线PF 垂直于x 轴时，由2PF =，得(2)2pP ，，有22222pp p =⨯⇒=，所以2C 的准线方程为：12px =-=-，即1x =-； (2)由题意知，(0)2p F ，，设直线2pPQ x my =+：，22121222y y P y Q y p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，则PF =22122222y y p p FQ p p +=+，，2222022p x my y pmy p y px⎧=+⎪⇒--=⎨⎪=⎩，222212124402p m p y y pm y y p ∆=+>+==-，，，由22y px y y '=⇒==PB1py =，所以直线PB 的方程为：2111()2y py y x y p-=-，即11()2y y x y p =-， 1122232422221112222222()2()041y y x y p b y b y b y a y y a b p p p x y a b ⎧=-⎪⎪⇒+-+-=⎨⎪+=⎪⎩， 23122221A B b y y y b y a p +=+，又G 为ABQ △的重心，且G 在x 轴上，故A B y y +20y +=，所以231222221b y y b y a p =-+，又221p y y =-，所以23122221b y b y a p -=+21p y -，整理，得2422224110b y b p y a p --=，解得21y =221422222242212111122224224222222111222()22y p a p p y PF y py p y p y pb y p p FQy p p p y p p y p y p+++++=====+++++=⋯①，令a t b =，则12t <<，所以①式=22=⋯②，令nn <<所以②式221493222232(3)2n n n n n ----=+=+=+∈++，故PF FQ的取值范围为. 【点睛】解决直线与圆锥曲线的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、曲线的条件；(2)强化有关直线与联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积和取值范围等问题．题型三：定义法求焦点弦一、单选题1．（2022·河北石家庄·高三阶段练习）过抛物线2:4C y x =的焦点作直线交抛物线于A ，B 两点，若A 、B 两点横坐标的等差中项为2，则||AB =（） A ．8 B ．6C．D ．4【答案】B【分析】由题可得4A B x x +=，然后利用焦点弦公式即得.【详解】∵过抛物线2:4C y x =的焦点作直线交抛物线于A ，B 两点，A 、B 两点横坐标的等差中项为2， ∴4A B x x +=， ∴26A B x x AB =++=. 故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 分别作两条直线12,l l ，直线1l 与抛物线C 交于A 、B 两点，直线2l 与抛物线C 交于D 、E 两点，若1l 与2l 的斜率的平方和为2，则AB DE +的最小值为（） A ．24 B ．20 C ．16 D ．12【答案】C【分析】设两条直线方程，与抛物线联立，求出弦长的表达式，根据基本不等式求出最小值【详解】抛物线的焦点坐标为()1,0F ，设直线1l ：()11y k x =-，直线2l ：()21y k x =-，联立()1214y k x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩得：()2222111240k x k x k -++=，所以211222112442k x x k k ++==+，所以焦点弦122144AB x x p k =++=+，同理得：2244DE k =+，所以2212448k AB DE k +=++，因为22122k k +=，所以 ()22222112222222121212444414418822k k k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()min 16AB DE += 故选：C 二、多选题3．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知抛物线24y x =，过焦点F 作一直线l 交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，以下结论正确的有（）A ．AB 没有最大值也没有最小值 B ．122AB x x =++C ．124y y =-D ．111FA FB+= 【答案】BCD【分析】可设直线AB 的方程为1x ty =+，将其与抛物线的方程联立，得到关于y 的一元二次方程，得到124y y =-，判断出C 选项，由抛物线的定义知，11AF x =+，21BF x =+，求出122AB AF BF x x =+=++，判断出B 选项，由基本不等式判断出A 选项，表达出()1212122111x x FA FB x x x x +++=+++，代入两根之和，两根之积即可.【详解】由题意知，()1,0F ，直线AB 的斜率不可能为0，故可设其方程为1x ty =+，联立214x ty y x =+⎧⎨=⎩，消去x ，得2440y ty --=，124y y t +=，124y y =-，即选项C 正确；由抛物线的定义知，11AF x =+,21BF x =+，所以122AB AF BF x x =+=++，即选项B 正确；∵()()()222121212*********x x ty ty t y y t y y t t =++=+++=-++=，∴122x x +≥=，∴1224AB x x =++≥，∴AB 有最小值，即选项A 错误；又()21212242x x t y y t +=++=+，∴()21221212122111142211111421x x t FA FB x x x x x x t +++++=+===++++++++，即选项D 正确；故选：BCD4．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点()11,P x y 、()22,Q x y ，点P 在l 上的射影为1P ，则（） A ．若126x x +=，则8PQ = B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设()0,1M ，则12PM PP +≥D ．过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条【答案】ABC【分析】利用抛物线焦点弦长公式可判断AB 选项；利用抛物线的定义结合三点共线可判断C 选项；求出过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线的方程，可判断D 选项. 【详解】对于选项A ，因为2p =，所以122x x PQ ++=，则8PQ =，故A 正确；对于选项B ，线段PQ 的中点为1212,22x x y y T ++⎛⎫⎪⎝⎭，抛物线的准线l 的方程为1x =-，点T 到直线l 的距离为1212211222x x x x PQ ++++==，所以，以PQ 为直径的圆与准线l 相切，B 对；对于选项C ，因为()1,0F ，所以12PM PP PM PF MF +=+≥=，当且仅当点M 、P 、F 三点共线，且点P 为线段MF 与抛物线的交点时，等号成立，故C 正确；对于选项D ，显然直线0x =，1y =与抛物线只有一个公共点，设过M 且斜率不为零的直线为()10y kx k =+≠，联立214y kx y x =+⎧⎨=⎩，可得()222410k x k x +-+=，令()222440k k ∆=--=，则1k =，所以直线1y x =+与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D 错误. 故选：ABC. 三、填空题5．（2022·全国·模拟预测）抛物线2:2C y px =的焦点F 恰好是圆()2211x y -+=的圆心，过点F 且倾斜角为45︒的直线l 与C 交于不同的A ，B 两点，则AB =______．【答案】8【分析】根据题意可得：2:4C y x =，:1l y x =-，联立方程利用韦达定理求12AB x x p =++．【详解】由题意知，焦点()1,0F ，则抛物线2:4C y x =，直线:1l y x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立214y x y x=-⎧⎨=⎩消去y 并整理得2610x x -+=．则126x x +=，所以12628AB x x p =++=+=．故答案为：8．6．（2022·辽宁·模拟预测）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，直线l 过点F 与C 交于A ，B 两点，与C 的准线交于点P ，若3AP BP =，则l 的斜率为______．【答案】3±【分析】分点A 在第一象限和第四象限考虑，由3AP BP =结合抛物线定义求得4AB m =，2BP m =，由勾股定理求得3B P m '=，由tan B BP '∠即可求出斜率. 【详解】如图，当点A 在第一象限时，过A ，B 两点分别作准线的垂线，垂足分别为A '，B '．设BB m '=，则由3AP BP =，可得3AA m '=，从而4AB m =，所以2BP m =，则223B P BP BB m ''=-=，所以tan 3B PB BP BB ''∠='故直线l 3同理，当点A 在第四象限时，可求得直线l 的斜率为3-综上，直线l 的斜率为3故答案为：3±. 四、解答题 7．（2022·吉林长春·模拟预测（理））已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为3π的直线被E 所截得的弦长为16.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点C 为抛物线上的任意一点，以C 为圆心的圆过点F ，且与直线12y =-相交于,A B 两点，求FA FB FC ⋅⋅的取值范围.【答案】(1)24x y =(2)[)3,+∞【分析】（1）设直线方程，与抛物线方程联立，利用抛物线焦点弦长公式可构造方程求得p ，由此可得抛物线方程；（2）设AFB θ∠=，圆C 的半径为r ，利用面积公式，借助AFB S 可求得3FA FB r ⋅=，结合抛物线定义可知1r ≥，由此可得333FA FB FC r ⋅⋅=≥，进而得到所求范围.(1)由抛物线方程得：0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可设过点F 且倾斜角为3π的直线为：32p y x =+，由2322p y x x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：22230x px p --=，由抛物线焦点弦长公式可得：()121232816y y p x x p p ++=++==，解得：2p =，∴抛物线E 的方程为：24x y =.(2)。

抛物线的知识点总结【通用5篇】

抛物线的知识点总结【通用5篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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高中数学抛物线解题方法总结归纳

圆锥曲线抛物线知识点归纳1抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．2抛物线的图形和性质： ①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

②焦准距：FK p = ③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p 。

④顶点平分焦点到准线的垂线段：2p OF OK ==。

3抛物线标准方程的四种形式：特点：焦点在一次项的轴上，开口与“±2p ”方向同向4抛物线px y 22=的图像和性质：①焦点坐标是：⎪⎭⎫⎝⎛02，p ，②准线方程是：2p x -=。

③焦半径公式：（称为焦半径）是：02pPF x =+， ④焦点弦长公式：过焦点弦长121222p pPQ x x x x p =+++=++ ⑤抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y p y或2(2,2)P pt pt5一般情况归纳：题型讲解（1）过点（－3，2）的抛物线方程为；y 2=－34x 或x 2=29y ，（2）焦点在直线x －2y －4=0y 2=16x 或x 2=－8y ，（3）抛物线的焦点坐标为；（4）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，抛物线上的点到焦点F 的距离为5，则抛物线方程为；或或.（5）已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82=的焦点,M 是抛物线上的动点,当MF MA +最小时,M 点坐标是 )4,2(例2．斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ,且与抛物线相交于A B 、两点,求线段AB 的长．解：法一通法法二设直线方程为1y x =-， 1122(,)(,)A x y B x y 、，则由抛物线定义得1212||||||||||22p pAB AF FB AC BD x x x x p =+=+=+++=++，又1122(,)(,)A x y B x y 、是抛物线与直线的交点，由24,1,y x y x ⎧=⎨=-⎩得2610x x -+=，则126x x +=，所以||8AB =．例3．求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切．证明：（法一）设抛物线方程为22y px =，则焦点(,0)2p F ，准线2px =-．设以过焦点F 的弦AB 为直径的圆的圆心M ，A 、B 、M 在准线l 上的射影分别是1A 、1B 、1M ，则11||||||||||AA BB AF BF AB +=+=，又111||||2||AA BB MM +=，∴11||||2MM AB =，即1||MM 为以AB 为直径的圆的半径，且准线1l MM ⊥， ∴命题成立．（法二）设抛物线方程为22y px =，则焦点(,0)2p F ，准线2px =-．过点F 的抛物线的弦的两个端点11(,)A x y ，22(,)B x y ，线段AB 的中点00(,)M x y ，则1212||22p pAB x x x x p =+++=++，∴以通过抛物线焦点的弦为直径的圆的半径1211||()22r AB x x p ==++．M 1M点M 到准线2p x =-的距离120121()2222p x x p d x x x p +=+=+=++，∴圆M 与准线相切．例4．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 22(0)y px p =>上，求这个正三角形的边长．解：设正三角形OAB 的顶点A 、B 在抛物线上，且设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2112y px =，2222y px =，又||||OA OB =，所以22221122x y x y +=+，即221212()2()0x x p x x -+-=， 1212()(2)0x x x x p -++=．∵10x >，20x >，20p >，∴12x x =．由此可得12||||y y =，即线段AB 关于x 轴对称．因为x 轴垂直于AB ，且30AOx ∠=，所以113tan 303y x ==． ∵2112yx p=，∴123y p =，∴1||243AB y p ==．例5 A,B 是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点，满足OA ⊥OB(O 为坐标原点)求证：(1)A,B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；(2)直线AB 经过一个定点解：(1)设A(x 1,y 1), B(x 2,y 2), 则y 12=2px 1, y 22=2px 2, ∴y 12y 22=4p 2x 1x 2,∵OA ⊥OB, ∴x 1x 2+y 1y 2=0,由此即可解得：x 1x 2=4p 2, y 1y 2=─4p 2 (定值)(2)直线AB 的斜率k=1212x x y y --=py p y y y 22212212--=212y y p+, ∴直线AB 的方程为y─y 1=212y y p+(x─p y 221),即y(y 1+y 2)─y 1y 2=2px, 由(1)可得 y=212y y p+(x─2p),直线AB 过定点C(2p,0) 例6．定长为3的线段AB 的两端点在抛物线2y x =上移动，设点M 为线段AB 的中点，求点M 到y 轴的最小距离．解：抛物线焦点1(,0)4F ，准线l ：14x =-，设点A 、B 、M 在准线l 上的射影分别是 1A 、1B 、1M ，设点00(,)M x y ，则11||||||||||AA BB AF BF AB +=+≥，M1M A又11111||(||||)||22MM AA BB AB =+≥，又101|4MM x =+，||3AB =，∴01342x +≥，所以054x ≥，即0x 的最小值是54．∴点M 到y 轴的最小距离是54，当且仅当AB 过点F 是取得最小距离例7 设抛物线y 2=2px （p >0）的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴证明直线AC 经过原点O分析：证直线AC 经过原点O ，即证O 、A 、C 三点共线，为此只需证k OC =k OA 本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决证法一：设AB ：x =my +2p ，代入y 2=2px ，得y 2－2pmy －P 2=0由韦达定理，得y A y B =－p 2，即y B =－Ay p2∵BC ∥x 轴，且C 在准线x =－2p上， ∴C （－2p，y B ）则k OC =2p y B -=A y p 2=A Ax y =k OA 故直线AC 经过原点O证法二：如图，记准线l 与x 轴的交点为E ，过A 作AD ⊥l ，垂足为D 则AD ∥EF ∥BC 连结AC 交EF 于点N ，则||||AD EN =||||AC CN =||||AB BF ，BCNF ||=||||AB AF ∵|AF |=|AD |，|BF |=|BC |， ∴|EN |=||||||AB BF AD ⋅=||||||AB BC AF ⋅=|NF |，即N 是EF 的中点从而点N 与点O 重合，故直线AC 经过原点O点评：本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到y A ·y B =－p 2这个重要结论还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目例8 、已知抛物线，点A(2,3)，F 为焦点，若抛物线上的动点到A 、F 的距离之和的最小值为，求抛物线方程.N O CBD EF A y x分析：在解析几何中，关于到两个定点的距离之和的最小值（或距离之差的最大值）问题，运用纯代数方法解，导致复杂运算，因而常运用几何方法与相关曲线的定义。

抛物线【九大题型】(举一反三)(新高考专用)(解析版)—2025年高考数学一轮复习

抛物线【九大题型】专练【题型1 抛物线的定义及其应用】........................................................................................................................3【题型2 抛物线的标准方程】................................................................................................................................5【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】............................................................................................................6【题型4 抛物线的轨迹方程】................................................................................................................................7【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】....................................................................................................9【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】..............................................................................11【题型7 抛物线的焦半径公式】..........................................................................................................................14【题型8 抛物线的几何性质】..............................................................................................................................16【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 (18)1、抛物线【知识点1 抛物线及其性质】1．抛物线的定义(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.(2)集合语言表示设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.2．抛物线的标准方程与几何性质(0,0)(0,0)3．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是e=1；⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.【知识点2 抛物线标准方程的求解方法】1．抛物线标准方程的求解待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.【知识点3 抛物线的焦半径公式】1．焦半径公式设抛物线上一点P的坐标为，焦点为F.(1)抛物线：；(2)抛物线：(3)抛物线：；(4)抛物线：.注：在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式.【知识点4 与抛物线有关的最值问题的解题策略】1．与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.(2)转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.【方法技巧与总结】1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.2．抛物线P，也称为抛物线的焦半径.【题型1 抛物线的定义及其应用】【例1】（2024·贵州贵阳·二模）抛物线y2=4x上一点M与焦点间的距离是10，则M到x轴的距离是（）A．4B．6C．7D．9【解题思路】借助抛物线定义计算即可得.【解答过程】抛物线y2=4x的准线为x=―1，由抛物线定义可得x M+1=10，故x M=10―1=9，则|y M|===6，即M到x轴的距离为6.故选：B.【变式1-1】（2024·河北·模拟预测）已知点P为平面内一动点，设甲：P的运动轨迹为抛物线，乙：P到平面内一定点的距离与到平面内一定直线的距离相等，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解题思路】根据已知条件，结合充分条件、必要条件的定义，即可求解．【解答过程】解：当直线经过定点时，点的轨迹是过定点且垂直于该直线的另一条直线，当直线不经过该定点时，点的轨迹为抛物线，故甲是乙的充分条件但不是必要条件．故选：A．【变式1-2】（2024·北京大兴·三模）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F且斜率为―1的直线与直线x=―1交于点A，点M在抛物线上，且满足|MA|=|MF|，则|MF|=（）A．1B C．2D．【解题思路】由题意先求出过F且斜率为―1的直线方程，进而可求出点A，接着结合点M在抛物线上且|MA|=|MF|可求出x M，从而根据焦半径公式|MF|=x M+1即可得解.【解答过程】由题意可得F(1,0)，故过F且斜率为―1的直线方程为y=―(x―1)=―x+1，令x=―1⇒y=2，则由题A(―1,2)，因为|MA|=|MF|，所以MA垂直于直线x=―1，故y M=2，又M 在抛物线上，所以由22=4x M ⇒x M =1，所以|MF |=x M +1=2.故选：C.【变式1-3】（2024·福建莆田·模拟预测）若抛物线C 的焦点到准线的距离为3，且C 的开口朝左，则C 的标准方程为（）A ．y 2=―6xB ．y 2=6xC ．y 2=―3xD ．y 2=3x【解题思路】根据开口设抛物线标准方程，利用p 的几何意义即可求出.【解答过程】依题意可设C 的标准方程为y 2=―2px(p >0)，因为C 的焦点到准线的距离为3，所以p =3，所以C 的标准方程为y 2=―6x .故选：A.【题型2 抛物线的标准方程】【例2】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知点A (a,2)为抛物线x 2=2py (p >0)上一点，且点A 到抛物线的焦点F 的距离为3，则p =（）A ．12B ．1C ．2D ．4【解题思路】由题意,根据抛物线的性质,抛物线x 2=2py (p >0),则抛物线焦点为F 0,M (x 1,y 1)为抛物线上一点,有|MF |=y 1+p 2,可得|AF |=2+p2=3,解得p =2.【解答过程】因为抛物线为x 2=2py (p >0),则其焦点在y 轴正半轴上,焦点坐标为由于点A (a,2)为抛物线x 2=2py ,(p >0)为上一点,且点A 到抛物线的焦点F 的距离为3, 所以点A 到抛物线的焦点F 的距离为|AF |=2+p2=3,解得p =2,故选：C.【变式2-1】（2024·陕西安康·模拟预测）过点(2,―3)，且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是（）A ．x 2=―3yB ．x 2=―43yC ．x 2=―23yD ．x 2=―4y【解题思路】利用待定系数法，设出抛物线方程，把点代入求解即可.【解答过程】设抛物线的标准方程为x 2=ay (a ≠0)，将点点(2,―3)代入，得22=―3a，解得a=―43，所以抛物线的标准方程是x2=―43y.故选：B.【变式2-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（）A．y2=x B．y2=2x C．y2=4x D．y2=8x【解题思路】根据抛物线的定义求解．【解答过程】由题意抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离与它到直线x=―1的距离相，因此―p2=―1，p=2，抛物线方程为y2=4x．故选：C．【变式2-3】（2024·宁夏石嘴山·三模）如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于两点A、B，交其准线于C，AE与准线垂直且垂足为E，若|BC|=2|BF|,|AE|=3，则此抛物线的方程为（）A．y2=3x2B．y2=9xC．y2=9x2D．y2=3x【解题思路】过点A,B作准线的垂线，设|BF|=a，得到|AC|=3+3a，结合抛物线的定义，求得a=1，再由BD//FG，列出方程求得p的值，即可求解.【解答过程】如图所示，分别过点B作准线的垂线，垂足为D，设|BF|=a，则|BC|=2|BF|=2a，由抛物线的定义得|BD|=|BF|=a，在直角△BCD中，可得sin∠BCD=|BD||BC|=12，所以∠BCD=30∘，在直角△ACE中，因为|AE|=3，可得|AC|=3+3a，由|AC |=2|AE |，所以3+3a =6，解得a =1，因为BD //FG ，所以1p =2a3a ，解得p =32，所以抛物线方程为y 2=3x .故选：C.【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】【例3】（2024·内蒙古赤峰·二模）已知抛物线C 的方程为 x =―116y 2, 则此抛物线的焦点坐标为（）A ．(-4,0)B ．―14,C ．(-2,0)D ．―12,【解题思路】由抛物线的几何性质求解．【解答过程】依题意得：y 2=―16x ，则此抛物线的焦点坐标为：―4，0，故选：A.【变式3-1】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知抛物线C:y =6x 2，则C 的准线方程为（）A ．y =―32B ．y =32C ．y =―124D ．y =124【解题思路】根据抛物线的准线方程直接得出结果.【解答过程】抛物线C ：y =6x 2的标准方程为x 2=16y ，所以其准线方程为y =―124.故选：C.【变式3-2】（2024·河南·三模）抛物线y 2=―28x 的焦点坐标为（）A ．(0,―14)B ．(0,―7)C ．(―14,0)D ．(―7,0)【解题思路】根据抛物线的标准方程直接得出结果.【解答过程】∵2p =28,∴p =14,∴抛物线y 2=―28x 的焦点坐标为(―7,0).故选：D.【变式3-3】（2024·福建厦门·模拟预测）若抛物线y 2=mx 的准线经过双曲线x 2―y 2=2的右焦点，则m的值为（）A．―4B．4C．―8D．8【解题思路】根据题意，分别求得双曲线的右焦点以及抛物线的准线方程，代入计算，即可得到结果.【解答过程】因为双曲线x2―y2=2的右焦点为(2,0)，又抛物线y2=mx的准线方程为x=―m4，则―m4=2，即m=―8.故选：C.【题型4 抛物线的轨迹方程】【例4】（2024·湖南衡阳·三模）已知点F(2,0)，动圆P过点F，且与x=―2相切，记动圆圆心P点的轨迹为曲线Γ，则曲线Γ的方程为（）A．y2=2x B．y2=4x C．y2=8x D．y2=12x【解题思路】分析题意，利用抛物线的定义判断曲线是抛物线，再求解轨迹方程即可.【解答过程】由题意知，点P到点F的距离和它到直线x=―2的距离相等，所以点P的轨迹是以(2,0)为焦点的抛物线，所以Γ的方程为y2=8x，故C正确.故选：C.【变式4-1】（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1的动点且动点不在x轴的负半轴的轨迹方程是（）A．y2=8x B．y2=C．y2=2x D．y2=x【解题思路】根据抛物线的定义即可得解.【解答过程】因为动点到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，所以动点到定点F(1,0)的距离等于到x=―1的距离，所以动点的轨迹是以F(1,0)为焦点，x=―1为准线的抛物线，所以动点的轨迹方程是y2=4x.故选：B.【变式4-2】（23-24高二上·重庆·期末）已知点P(x,y)=|x+1|，则点P的轨迹为（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆【解题思路】根据已知条件及抛物线的定义即可求解.P(x,y)到点(1,0)的距离；|x+1|表示点P(x,y)到直线x=―1的距离.=|x+1|，所以点P(x,y)到点(1,0)的距离等于点P(x,y)到直线x=―1的距离，所以P的轨迹为抛物线.故选：C.【变式4-3】（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）一个动圆与定圆F：(x+2)2+y2=1相内切，且与定直线l:x=3相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程是（）A．y2=8x B．y2=4x C．y2=―4x D．y2=―8x【解题思路】先利用圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系找到动点M的几何条件，再根据抛物线的定义确定动点M的轨迹，最后利用抛物线的标准方程写出轨迹方程．【解答过程】设动圆M的半径为r，依题意：|MF|=r―1，点M到定直线x=2的距离为d=r―1，所以动点M到定点F(―2,0)的距离等于到定直线x=2的距离，即M的轨迹为以F为焦点，x=2所以此动圆的圆心M的轨迹方程是y2=―8x.故选：D．【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】【例5】（2024·全国·模拟预测）已知A是抛物线C：y2=4x上的点，N(4,0)，则|AN|的最小值为（）A．2B．C．4D．【解题思路】由抛物线的方程，利用二次函数的性质求最值【解答过程】设,t，则|AN|===≥当且仅当t=±故选：D．【变式5-1】（2024高三·全国·专题练习）已知P是抛物线y2=2x上的点，Q是圆(x―5)2+y2=1上的点，则|PQ |的最小值是（）A ．2B ．C ．D ．3【解题思路】将问题转化为求|PC|的最小值，根据两点之间的距离公式，求得|PC|的最小值再减去半径即可.【解答过程】如图，抛物线上点P (x,y )到圆心C (5,0)的距离为|PC |,|CP |≤|CQ |+|PQ |，因此|PQ |≥|CP |―1，当|CP |最小时，|PQ |=|CP |―1最小，而|CP |2=(x ―5)2+y 2=―52+y 2=2―82+9，当y =±|CP |min =3，因此|PQ |的最小值是2．故选：A.【变式5-2】（2024·湖南益阳·三模）已知M 是抛物线y²=4x 上一点，圆C 1:(x ―1)2+(y ―2)2=1关于直线y =x ―1对称的圆为C 2，N 是圆C 2上的一点，则|MN |的最小值为（）A ．1B ―1C―1D ．37【解题思路】根据对称性求出圆C 2的方程，设y 0，求出|MC 2|的最小值，即可求出|MN |的最小值.【解答过程】圆C 1:(x ―1)2+(y ―2)2=1圆心为C 1(1,2)，半径r =1，设C 2(a,b )，=―1―1=0，解得a =3b =0，则C 2(3,0)，所以圆C2 :(x ―3)2+y 2=1，设y 0，则|MC 2|==所以当y 20=4，即y 0=±2时，|MC 2|min=所以|MN |的最小值是―1.故选：A.【变式5-3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，M为C上的动点，N为圆A:x2+ y2+2x+8y+16=0上的动点，设点M到y轴的距离为d，则|MN|+d的最小值为（）A．1B C D．2【解题思路】作出图形，过点M作ME垂直于抛物线的准线，垂足为点E，利用抛物线的定义可知d=|MF|―2，分析可知，当且仅当N、M为线段AF分别与圆A、抛物线C的交点时，|MN|+d取最小值，即可得解.【解答过程】根据已知得到F(2,0)，圆A:(x+1)2+(y+4)2=1，所以A(―1,―4)，圆A的半径为1，抛物线C的准线为l:x=―2，过点M作ME⊥l，垂足为点E，则|ME|=d+2，由抛物线的定义可得d+2=|ME|=|MF|，所以，|MN|+d=|MN|+|MF|―2≥|AM|+|MF|―1―2≥|AF|―1―2=1―2=2.当且仅当N、M为线段AF分别与圆A、抛物线C的交点时，两个等号成立，因此，|MN|+d的最小值为3.故选：D.【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】【例6】（2024·四川成都·模拟预测）设点A(2,3)，动点P在抛物线C:y2=4x上，记P到直线x=―2的距离为d，则|AP|+d的最小值为（）A．1B．3C1D【解题思路】根据抛物线的定义，P到焦点F的距离等于P到准线的距离，可得d=|PF|+1，从而转化为求|AP|+|PF|+1的值，当A,P,F三点共线时，d=|PF|+1取得最小值，即可求解.【解答过程】由题意可得，抛物线C的焦点F(1,0)，准线方程为x=―1，由抛物线的定义可得d=|PF|+1，所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1，因为|AP|+|PF|≥|AF|==所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1≥+1.当且仅当A,P,F三点共线时取等号，所以|AP|+d+1.故选：D.【变式6-1】（2024·湖南常德·一模）已知抛物线方程为:y2=16x，焦点为F.圆的方程为(x―5)2+(y―1)2 =1，设P为抛物线上的点，Q|PF|+|PQ|的最小值为（）A．6B．7C．8D．9【解题思路】根据抛物线定义将点到焦点的距离转化为点到直线的距离，即|PF|=|PN|，从而得到|PF|+ |PQ|=|PN|+|PQ|，P、Q、N三点共线时和最小；再由Q在圆上，|QN|min=|MN|―r得到最小值.【解答过程】由抛物线方程为y2=16x，得到焦点F(4,0)，准线方程为x=―4，过点P做准线的垂线，垂足为N，因为点P在抛物线上，所以|PF|=|PN|，所以|PF|+|PQ|=|PN|+|PQ|，当Q点固定不动时，P、Q、N三点共线，即QN垂直于准线时和最小，又因为Q在圆上运动，由圆的方程为(x―5)2+(y―1)2=1得圆心M(5,1)，半径r=1，所以|QN|min=|MN|―r=8，故选：C.【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy中，已知点F(1,0)，E(―2,0)，M(2,2)，动点P满足线段PE的中点在曲线y2=2x+2上，则|PM|+|PF|的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【解题思路】设P(x,y)，由题意求出P的轨迹方程，继而结合抛物线定义将|PM|+|PF|的最小值转化为M 到直线l的距离，即可求得答案.【解答过程】设P(x,y)，则PE y2=2x+2，可得y2=4x，故动点P的轨迹是以F为焦点，直线l：x=―1为准线的抛物线，由于22<4×2，故M(2,2)在抛物线y2=4x内部，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，则|PM|+|PF|=|PM|+|PQ|，（抛物线的定义），故当且仅当M，P，Q三点共线时，|PM|+|PQ|最小，即|PM|+|PF|最小，最小值为点M到直线l的距离，所以(|PM|+|PF|)min=2―(―1)=3，故选：B．【变式6-3】（2024·陕西西安·一模）设P为抛物线C：y2=4x上的动点，A(2,6)关于P的对称点为B，记P到直线x=―1、x=―4的距离分别d1、d2，则d1+d2+|AB|的最小值为（）A B．C+3D．+3【解题思路】根据题意得到d1+d2+|AB|=2d1+3+2|PA|=2(d1+|PA|)+3，再利用抛物线的定义结合三角不等式求解.【解答过程】抛物线C：y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=―1，如图，因为d 2=d 1+3，且A (2,6)关于P 的对称点为B ，所以|PA |=|PB |，所以d 1+d 2+|AB |=2d 1+3+2|PA |=2(d 1+|PA |)+3 =2(|PF |+|PA |)+3≥2|AF |+3 ==.当P 在线段AF 与抛物线的交点时，d 1+d 1+|AB |取得最小值，且最小值为.故选：D.【题型7 抛物线的焦半径公式】【例7】（2024·青海西宁·一模）已知F 是抛物线C:x 2=4y 的焦点，点M 在C 上，且M 的纵坐标为3，则|MF |=（）A ．B ．C ．4D ．6【解题思路】利用抛物线的标准方程和抛物线的焦半径公式即可求解.【解答过程】由x 2=4y ，得2p =4，解得p =2.所以抛物线C:x 2=4y 的焦点坐标为F (0,1)，准线方程为y =―1，又因为M 的纵坐标为3，点M 在C 上，所以|MF |=y M +p2=3+22=4.故选：C.【变式7-1】（2024·河南·模拟预测）已知抛物线C:y 2=2px (p >0)上的点(m,2)到原点的距离为为F ，准线l 与x 轴的交点为M ，过C 上一点P 作PQ ⊥l 于Q ，若∠FPQ =2π3，则|PF |=（）A ．13B ．12C D ．23【解题思路】根据点(m,2)到原点的距离为再设点P 坐标，利用抛物线的定义和等腰三角形的性质列出方程即可求解.【解答过程】因为点(m,2)到原点的距离为所以m 2+22=8，解得m =2，（负值舍），将点(2,2)代入抛物线方程y 2=2px (p >0)，得4=4p ，所以p =1，所以C:y 2=2x,F(12,0),l:x =―12.由于抛物线关于x 轴对称，不妨设，因为|PQ|=|PF|=x +12，∠FPQ =2π3，所以△PQF 为等腰三角形，∠PQF =π6，所以|QF|=+12)，所以|QF|==+12)，解得x =16或x =―12(舍)，所以|PF |=16+12=23.故选：D.【变式7-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，在抛物线C 上存在四个点P ，M ，Q ，N ，若弦PQ 与弦MN 的交点恰好为F ，且PQ ⊥MN ，则1|PQ |+1|MN |=（）A B ．1C D ．2【解题思路】由抛物线的方程可得焦点F 的坐标，应用抛物线焦点弦性质|PF |=p1―cos θ，|QF |=p1+cos θ，|MF |=p1+sin θ，|NF |=p1―sin θ，结合三角的恒等变换的化简可得1|PQ |+1|MN |=12p ，即可求解.【解答过程】由抛物线C:y 2=x 得2p =1，则p =12，F(14,0)，不妨设PQ 的倾斜角为θ0<θ<则由|PF |cos θ+p =|PF |，p ―|QF |cos θ=|QF |，得|PF |=p 1―cos θ，|QF |=p1+cos θ，所以|MF |==p1+sin θ，|NF |==p1―sin θ，得|PQ |=|PF |+|QF |=p1―cos θ+p1+cos θ=2psin 2θ，|MN |==2pcos 2θ，所以1|PQ |+1|MN |=12p =1.故选：B.【变式7-3】（2024·北京西城·三模）点F 抛物线y 2=2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若FA +FB +FC =0，则|FA |+|FB |+|FC |=（）A ．2B ．C ．3D ．【解题思路】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)，根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由FA +FB +FC =0可得F 为△ABC 的重心，从而可求出x 1+x 2+x 3，再根据抛物线的定义可求得结果.【解答过程】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)，由y 2=2x ，得p =1，所以F(12,0)，准线方程为x =―12，因为FA +FB +FC =0，所以F 为△ABC 的重心，所以x 1+x 2+x 33=12，所以x 1+x 2+x 3=32，所以|FA |+|FB |+|FC |=x 1+12+x 2+12+x 3+12=x 1+x 2+x 3+32=32+32=3，故选：C.【题型8 抛物线的几何性质】【例8】（2024·重庆·模拟预测）A,B 是抛物线y 2=2px(p >0)上的不同两点，点F 是抛物线的焦点，且△OAB 的重心恰为F ，若|AF|=5，则p =（）A ．1B ．2C ．3D ．4【解题思路】根据重心可得x 1+x 2=3p 2y 1=―y 2，结合对称性可得x 1=3p4，再根据抛物线的定义运算求解.【解答过程】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，因为△OAB 的重心恰为F=p2=0，解得x 1+x 2=3p2y 1=―y 2，由y 1=―y 2可知A,B 关于x 轴对称，即x 1=x 2，则x 1+x 2=2x 1=3p2，即x 1=3p 4，又因为|AF |=x 1+p2=5p 4=5，解得p =4.故选：D.【变式8-1】（23-24高二下·福建厦门·期末）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y 2=2x 上，则这个等边三角形的边长为（）A ．2B ．C ．4D．【解题思路】正三角形的另外两个顶点关于x 轴对称，设另外两个顶点坐标分别是A ),B―a)，把顶点代入抛物线方程化简即可求解.【解答过程】设正三角形得边长为2a ，由图可知正三角形的另外两个顶点关于x 轴对称，可设另外两个顶点坐标分别是A),B―a )，把顶点代入抛物线方程得a 2=解得a =所以正三角形的边长为故选：D.【变式8-2】（23-24高三下·北京·阶段练习）设抛物线C 的焦点为F ，点E 是C 的准线与C 的对称轴的交点，点P 在C 上，若∠PEF =30°，则sin ∠PFE =（）A B C D 【解题思路】先设P(x 0,y 0)，根据图形分别表示出tan ∠ P EF 和sin ∠ P FE 即可得解.【解答过程】由于抛物线的对称性，不妨设抛物线为C:y 2=2px(p >0)，则其焦点为F(p2,0)，点E 是C 的准线与C 的对称轴的交点，其坐标为E(―p2,0)，点P 在C 上，设为P(x 0,y 0)，若∠ P EF =30∘，则tan ∠ P EF =|y 0|x 0+p 2=且|PF|=x 0+p 2，则sin ∠ P FE =sin (π―∠ P FE )=|y 0||PF|=故选：B.【变式8-3】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知x 轴上一定点A (a,0)(a >0)，和抛物线y 2=2px (p >0)上的一动点M ，若|AM |≥a 恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．B ．(0,p ]C ．D ．(0,2p ]【解题思路】设M (x 0,y 0) (x 0≥0)，表示出|AM |，依题意可得x 20―(2a ―2p )x 0≥0恒成立，分x 0=0和x 0>0两种情况讨论，当x0>0时x0≥2a―2p恒成立，即可得到2a―2p≤0，从而求出a的取值范围.【解答过程】设M(x0,y0)(x0≥0)，则y20=2px0，所以|AM|====因为|AM|≥a恒成立，所以x20―(2a―2p)x0+a2≥a2恒成立，所以x20―(2a―2p)x0≥0恒成立，当x0=0时显然恒成立，当x0>0时x0≥2a―2p恒成立，所以2a―2p≤0，则a≤p，又a>0，所以0<a≤p，即实数a的取值范围为(0,p].故选：B.【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】【例9】（2024·江西新余·二模）已知点Q(2,―2)在抛物线C：y2=2px上，F为抛物线的焦点，则△OQF （O为坐标原点）的面积是（）A．12B．1C．2D．4【解题思路】将点Q代入抛物线C的方程，即可求解p，再结合抛物线的公式，即可求解【解答过程】∵点Q(2,―2)在抛物线C:y2=2px上，F为抛物线C的焦点，∴4=4p，解得p=1，故抛物线C的方程为y2=2x，F(12,0)，则△OQF的面积S△OQF=12×12×2=12．故选：A．【变式9-1】（23-24高二上·广东广州·期末）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，直线l与C相交于A、B两点，与y轴相交于点E．已知|AF|=5，|BF|=3，若△AEF的面积是△BEF面积的2倍，则抛物线C的方程为（）A ．y 2=2xB ．y 2=4xC ．y 2=6xD ．y 2=8x【解题思路】过A,B 分别作C 的准线的垂线交y 轴于点M,N ，根据抛物线定义可得|AM |=5―p2，|BN |=3―p 2，再由S △AEF S △BEF=|AE ||BE |=|AM ||BN |即可求参数p ，进而可得抛物线方程.【解答过程】如图，过A,B 分别作C 的准线的垂线交y 轴于点M,N ，则AM //BN ，故|AE ||BE |=|AM ||BN |，因为C 的准线为x =―p2，所以|AM |=|AF |―p2=5―p2，|BN |=|BF |―p2=3―p2，所以S △AEFS △BEF=12|EF ||AE |sin ∠AEF 12|EF ||BE |sin ∠BEF =|AE ||BE |=|AM ||BN |=5―p 23―p 2=2，解得p =2，故抛物线C 的方程为y 2=4x .故选：B.【变式9-2】（23-24高二上·广东广州·期末）设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A,B,C 为该抛物线上不同的三点，且FA +FB +FC =0,O 为坐标原点，若△OFA 、△OFB 、△OFC 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 21+S 22+S 23=（）A ．3B ．4C ．5D ．6【解题思路】设点A,B,C 的坐标，再表示出△OFA,△OFB,△OFC 的面积，借助向量等式即可求得答案.【解答过程】设点A,B,C 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3)，而抛物线的焦点F(1,0)，|OF|=1，FA =(x 1―1,y 1),FB =(x 2―1,y 2),FC =(x 3―1,y 3)，由FA +FB +FC =0，得x 1+x 2+x 3=3，于是S 1=12|y 1|,S 2=12|y 2|,S 3=12|y 3|，所以S 21+S 22+S 23=14(y 21+y 22+y 23)=x 1+x 2+x 3=3.故选：A.【变式9-3】（23-24高二·全国·课后作业）已知抛物线C：y2=8x，点P为抛物线上任意一点，过点P向圆D：x2+y2―4x+3=0作切线，切点分别为A，B，则四边形PADB的面积的最小值为（）A．1B．2C D【解题思路】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接PD，则S四边形PADB=2S Rt△PAD=|PA|，而|PA|=|PD|最小时，四边形PADB的面积最小，再抛物线的定义转化为点P到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果【解答过程】如图，连接PD，圆D：(x―2)2+y2=1，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，则S四边形PADB=2S Rt△PAD=|PA|．又|PA|=PADB的面积最小时，|PD|最小．过点P向抛物线的准线x=―2作垂线，垂足为E，则|PD|=|PE|，当点P与坐标原点重合时，|PE|最小，此时|PE|=2．==故S四边形PADBmin故选：C.一、单选题1．（2024·江西·模拟预测）若抛物线x 2=8y 上一点(x 0,y 0)到焦点的距离是该点到x 轴距离的2倍．则y 0=（）A ．12B ．1C ．32D ．2【解题思路】根据抛物线的方程，结合抛物线的标准方程，得到抛物线的焦点和准线，利用抛物线的定义，得到抛物线上的点(x 0,y 0)到焦点的距离，根据题意得到关于y 0的方程，求解即可．【解答过程】已知拋物线的方程为x 2=8y ，可得p =4．所以焦点为F (0,2)，准线为l ：y =―2．抛物线上一点A (x 0,y 0)到焦点F 的距离等于到准线l 的距离，即|AF |=y 0+2，又∵A 到x 轴的距离为y 0，由已知得y 0+2=2y 0，解得y 0=2．故选：D ．2．（2024·四川·模拟预测）已知抛物线C:x 2=8y 的焦点为F,P 是抛物线C 上的一点，O 为坐标原点，|OP |=4|PF |=（）A ．4B ．6C ．8D ．10【解题思路】求出抛物线焦点和准线方程，设P (m,n )(m ≥0)，结合|OP |=n =4，由焦半径公式得到答案.【解答过程】抛物线C:x 2=8y 的焦点为F (0,2)，准线方程为y =―2，设P (m,n )(m ≥0)=，解得n =4或n =―12（舍去），则|PF |=n +2=6．故选：B ．3．（23-24高二下·甘肃白银·期中）若圆C 与x 轴相切且与圆x 2+y 2=4外切，则圆C 的圆心的轨迹方程为（）A ．x 2=4y +4B ．x 2=―4y +4C ．x 2=4|y |+4D ．x 2=4y ―4【解题思路】设圆心坐标为(x,y )=2+|y |，化简整理即可得解.【解答过程】设圆心坐标为(x,y)=2+|y|，化简得x2=4|y|+4，即圆C的圆心的轨迹方程为x2=4|y|+4.故选：C.4．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线y2=4x的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若|MF|=6，则△MNF的面积为（）A．8B．C．D．【解题思路】确定抛物线的焦点和准线，根据|MF|=6得到M.【解答过程】因为抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=―1，所以|MF|=x M+1=6，故x M=5，不妨设M在第一象限，故M×(5―0)×=所以S△MNF=12故选：C.5．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知抛物线y2=8x上一点P到准线的距离为d1，到直线l:4x―3y+12=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】点P到直线l:4x―3y+12=0的距离为|PA|，到准线l1:x=―2的距离为|PB|，利用抛物线的定义得|PF|=|PB|，当A，P和F共线时，点P到直线l:4x―3y+12=0和准线l1:x=―2的距离之和的最小，由点到直线的距离公式求得答案.【解答过程】由抛物线y2=8x知，焦点F(2,0)，准线方程为l:x=―2，根据题意作图如下；点P到直线l:4x―3y+12=0的距离为|PA|，到准线l1:x=―2的距离为|PB|，由抛物线的定义知：|PB|=|PF|，所以点P到直线l:4x―3y+12=0和准线l1:x=―2的距离之和为|PF|+|PA|，=4，且点F(2,0)到直线l:4x―3y+12=0的距离为d=|8―0+12|5所以d1+d2的最小值为4.故选：D.6．（2024·四川雅安·三模）已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆(x―2)2+(y+1)2=4的一条直径与拋物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则p=（）B．1C．2D．4A．12【解题思路】根据圆的通径的上端点就是抛物线通径的上右端点，可得抛物线x2=2py(p>0)经过点(2,1)，从而可得答案.【解答过程】因为圆(x―2)2+(y+1)2=4的一条直径与抛物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，而抛物线x2=2py(p>0)的通径与y轴垂直，所以圆(x―2)2+(y+1)2=4的这条直径与x轴垂直，且圆的直径的上端点就是抛物线通径的右端点，因为圆(x―2)2+(y+1)2=4的圆心为(2,―1)，半径为2，所以该圆与x轴垂直的直径的上端点为(2,1)，即抛物线x2=2py(p>0)经过点(2,1)，则4=2p，即p=2.故选：C.7．（2024·山西运城·三模）已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，动点M 在C 上，点B 与点A (1,―2)关于直线l:y =x ―1对称，则|MF ||MB |的最小值为（）AB ．12CD ．13【解题思路】根据对称性可得B(―1,0)，即点B 为C 的准线与x 轴的交点，作MM ′垂直于C 的准线于点M ′，结合抛物线的定义可知|MF ||MB |=|MM ′||MB |= cos θ(∠MBF =θ)，结合图象可得当直线MB 与C 相切时，cos θ最小，求出切线的斜率即可得答案.【解答过程】依题意，F(1,0)，A(1,―2)，设B(m,n)=―1m+12―1，解得m =―1n =0，即B(―1,0)，点B 为C 的准线与x 轴的交点，由抛物线的对称性，不妨设点M 位于第一象限，作MM ′垂直于C 的准线于点M ′，设∠MBF =θ,θ∈ (0,π2)，由抛物线的定义得|MM ′|=|MF |，于是|MF ||MB |=|MM ′||MB |= cos θ，当直线MB 与C 相切时，θ最大，cos θ最小，|MF||MB|取得最小值，此时直线BM 的斜率为正，设切线MB 的方程为x =my ―1(m >0)，由x =my ―1y 2=4x消去x 得y 2―4my +4=0，则Δ=16m 2―16=0，得m =1，直线MB 的斜率为1，倾斜角为π4，于是θmax =π4，(cos θ)min =，所以|MF||MB|的最小值为故选：A.8．（2024·江西九江·二模）已知抛物线C:y 2=2px 过点A (1,2)，F 为C 的焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，则（）A ．C 的准线方程为x =―2B ．△AFO 的面积为1C ．不存在点P ，使得点P 到C 的焦点的距离为2D ．存在点P ，使得△POF 为等边三角形【解题思路】求解抛物线方程，得到准线方程，判断A ；求解三角形的面积判断B ；利用|PF|=2．判断C ；判断P 的位置，推出三角形的形状，判断D ．【解答过程】由题意抛物线C:y 2=2px 过点A(1,2)，可得p =2，所以抛物线方程为C:y 2=4x ，所以准线方程为x =―1，A 错误；可以计算S △AFO =12×1×2=1，B 正确；当P(1,2)时，点P 到C 的焦点的距离为2，C 错误；△POF 为等边三角形，可知P 的横坐标为：12，当x =12时，纵坐标为：则12×=≠则△POF 为等腰三角形，不是等边三角形，故等边三角形的点P 不存在，所以D 错误．故选：B ．二、多选题9．（2024·湖南长沙·二模）已知抛物线C 与抛物线y 2=4x 关于y 轴对称，则下列说法正确的是（）A ．抛物线C 的焦点坐标是(―1,0)B ．抛物线C 关于y 轴对称C ．抛物线C 的准线方程为x =1D ．抛物线C 的焦点到准线的距离为4【解题思路】依题意可得抛物线C 的方程为y 2=―4x ，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性。

探讨高中数学抛物线的解题方法与技巧

探讨高中数学抛物线的解题方法与技巧高中数学中，抛物线是一种非常重要的曲线，对于学习与应用数学都具有重要意义。

本文将对高中数学抛物线的解题方法与技巧进行详细探讨，帮助同学们更好地理解与掌握这一知识点。

一、了解抛物线的基本特征抛物线是一种平面曲线，具有对称轴、顶点、焦点等基本特征。

在解析几何中，常用的抛物线方程有三种形式。

顶点形式、一般形式与焦点形式。

不同形式的方程适用于不同的题型，因此学生需要熟练掌握它们的转换与运用。

二、求抛物线的焦点与顶点1.平移法求焦点。

通过将抛物线平移至标准位置（顶点为原点），可以简化求解焦点的过程。

平移法还可以被运用在其他抛物线的应用题中，如求凸面镜或抛物面的顶点与焦点位置等。

2.定义法求焦点。

对于给定的抛物线方程，可以利用定义法求解焦点。

定义法是以准线和焦点的定义出发，利用准线与焦点到平面上任意一点的距离和定义（如焦点到准线距离等于焦点到该点的距离）得到焦点的坐标。

3.判断抛物线的开口方向。

可以通过方程的二次项系数的符号来判断抛物线的开口方向。

当二次项系数大于零时，抛物线开口向上；当二次项系数小于零时，抛物线开口向下。

三、求抛物线与坐标轴交点通过解方程来求解抛物线与坐标轴的交点，这是很常见的题型。

有两种常用的方法。

1.因式分解法。

将抛物线的方程进行因式分解后，可以得到解析解或根的个数。

进一步，通过观察与分析，可以得出与坐标轴交点的具体坐标。

2.二次函数求根公式。

通过应用二次函数求根公式，可以得到抛物线与坐标轴交点的解析解。

需要注意的是，二次函数求根公式只适用于已经化为标准形式的抛物线。

四、求抛物线的切线与法线求抛物线的切线与法线是一类较难的题型，需要熟练掌握相关的知识与求解方法。

下面将介绍两种常见的方法。

1.切线与法线的斜率法。

通过斜率法可以求得切线与法线的斜率表达式。

具体而言，对于给定的抛物线方程，我们可以通过计算其导数来求得切线或法线的斜率表达式，然后利用该斜率表达式求解切线或法线的方程。

数学复习破解抛物线问题“五法”

破解抛物线问题“五法”安徽李昭平1、定义法抛物线是一种重要的圆锥曲线,解题中活用它的定义,常常能收到事半功倍之效.例1动点P 到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，求动点P 的轨迹方程.解析：此问题的条件可转化为“动点P 到定点F(4,0)和它到定直线x=—4的距离相等"。

由抛物线的定义可知, 动点P 的轨迹是以F(4，0）为焦点、定直线x=-4为准线的抛物线。

显然，8,42==p p , 动点P 的轨迹方程是.162x y=2、取特殊位置动点、动直线、动弦、动角、动轨迹常常是抛物线问题中出现的动态图形，利用这些动态图形的特殊位置往往能帮助我们迅速解决某些选择题或填空题.例2设坐标原点为O ，抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA 与OB 的数量积为（）A 。

43 B 。

43- C 。

3 D.－3解析：对动直线AB ，取其垂直于x 轴的特殊位置，即线段AB为抛物线的通径(如图1)。

由于焦点A )1,21(-、 B )1,21(，于是OA 。

OB=)1,21(- 。

)1,21(=41- 可知,答案B 正确。

(图1)3、巧设方程确定抛物线的方程是一类重要的题型，在许多情况下,若恪守常规,不但过程繁琐，运算量大，对于有些问题甚至还可能陷入困境．若能根据题目的特点，采用相应的设法，则可达到避繁就简的目的．例3 抛物线的顶点为原点,焦点在x 轴上，且被直线1y x =+所截的解：设抛物线的方程为2y ax =(0a ≠，则有21y axy x ⎧=⎨=+⎩，消去y 得2(2)10xa x +-+=，设弦AB 的端点为11(,)A x y ,22(,)B x y ,则122x x a +=-，121x x ===解得1,a =-或5a =所以所求抛物线方程为2y x =-或25y x =．.4、整体相减法涉及到抛物线上若干个动点的问题，我们常常由点的坐标满足抛物线的方程而得到若干个方程，将这若干个方程实施整体相减，往往能帮助我们顺利解题.例4求抛物线y x22-=中斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程。

高三抛物线的知识点归纳

高三抛物线的知识点归纳一、抛物线的定义及方程抛物线是二次函数的图像，它的一般方程可以表示为 y = ax^2 + bx+ c。

在这个方程中，a、b、c 是常数，其中 a 决定抛物线的开口方向和大小，b 影响抛物线沿着 x 轴的位置，而 c 则决定了抛物线与y 轴的交点。

二、抛物线的性质1. 开口方向：当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。

2. 对称性：抛物线是轴对称图形，对称轴为直线 x = -b/(2a)。

3. 顶点：抛物线的最高点或最低点称为顶点，其坐标可以通过公式(-b/(2a), -Δ/(4a)) 计算得出，其中Δ = b^2 - 4ac 称为判别式。

4. 焦点和准线：对于开口向上或向下的抛物线，可以定义一个焦点和一条准线。

焦点位于距离顶点 a/(4a) 的位置，准线则是与抛物线对称轴平行且距离顶点 a/(2a) 的直线。

三、抛物线的应用1. 物理现象：在物理学中，抛物线常用于描述物体在重力作用下的抛射运动轨迹。

2. 工程建筑：在建筑设计中，抛物线形状常用于拱桥、穹顶等结构，以实现良好的力学性能。

3. 艺术设计：在艺术领域，抛物线因其优美的曲线被广泛应用于雕塑和装饰品的设计。

四、解题技巧1. 确定方程：根据题目条件确定抛物线的一般方程 y = ax^2 + bx + c。

2. 计算顶点：通过公式 (-b/(2a), -Δ/(4a)) 快速求出抛物线的顶点坐标。

3. 判断交点：通过代入 x 值或 y 值，可以求出抛物线与 x 轴或 y轴的交点。

4. 应用对称性：利用抛物线的对称性简化计算，特别是在求解与抛物线相关的最值问题时。

五、例题分析例1：已知抛物线 y = 2x^2 - 4x + 3，求其顶点坐标和对称轴方程。

解：首先计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4*2*3 = 16 - 24= -8。

由于Δ < 0，该抛物线与 x 轴无交点。

高三抛物线函数知识点总结

高三抛物线函数知识点总结高三抛物线函数知识点总结抛物线函数是高中数学中的重要内容之一，它具有广泛的应用和深厚的理论基础。

在高三阶段，学生需要掌握并熟练运用抛物线函数的各种知识点，因为它在高考中占据了较大的比重。

本文将对高三抛物线函数的关键知识点进行总结，帮助同学们更好地掌握和应用。

一、抛物线函数的定义和形式抛物线函数是一个二次函数，其定义域为一切实数，其一般形式为：y=ax^2+bx+c。

其中，a、b和c是实数且a≠0，它们分别决定了抛物线的开口方向、对称轴位置和顶点坐标。

二、抛物线的图像特征1. 开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2. 对称轴：对称轴是与抛物线垂直且能将抛物线分为两个对称的部分的一条直线。

它的方程可以通过求解抛物线函数的一阶导数来求得：x=-b/2a。

3. 顶点坐标：顶点是抛物线的最高点（开口向下时为最低点），它的坐标为(-b/2a，f(-b/2a))。

其中f(x)为抛物线函数。

4. 焦点和准线：当抛物线开口向上时，焦点在抛物线的上方且在对称轴上，准线在抛物线的下方且与对称轴平行。

当抛物线开口向下时，则焦点在抛物线的下方且在对称轴上，准线在抛物线的上方且与对称轴平行。

三、抛物线函数的性质1. 定义域和值域：抛物线函数的定义域是一切实数，值域则取决于开口方向和顶点坐标。

2. 单调性：对于开口向上的抛物线，当a>0时，抛物线是上升的；对于开口向下的抛物线，当a<0时，抛物线是下降的。

3. 最大值与最小值：对于开口向上的抛物线，最小值为顶点的纵坐标，不存在最大值；对于开口向下的抛物线，最大值为顶点的纵坐标，不存在最小值。

4. 对称性：抛物线函数关于其对称轴是对称的。

5. 零点：零点是指抛物线函数与x轴相交的点，可以通过求解方程ax^2+bx+c=0来求得。

零点的个数和位置取决于判别式Δ=b^2-4ac的值。

四、抛物线函数的应用1. 物理问题中的应用：抛物线函数在物理学中具有广泛的应用，比如抛体运动、弹道轨迹等。

高考数学专题13 抛物线解答题解法荟萃(解析版)

专题13 抛物线解答题解法荟萃一．【学习目标】1.掌握抛物线的定义；2.掌握焦点三角形的应用和几何意义；3.掌握抛物线方程的求法；4.掌握直线与抛物线的位置关系；5.熟练掌握定点、定值、最值和范围问题。

二．【知识点】 1．抛物线的定义平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离______的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程、图形及几何性质标准y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0)方程图形焦点 )0,2(p F 准线x ＝p 2范围 ① x ≥0，y ∈R ② x ≤0，y ∈R③ x ∈R ，y ≥0 ④ x ∈R ，y ≤0对称轴 ⑤________ ⑥_________ 顶点 O (0，0) O (0，0) 离心率 e ＝1e ＝1开口⑦____ ⑧____⑨____ ⑩____3.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点)0,2(pF 的距离|PF |＝x 0＋p 2.三．【方法总结】1.求抛物线标准方程的实质是求p 值，常用的方法是待定系数法，若开口不定时，可以设抛物线方程为y 2＝mx(m≠0)或x 2＝ny(n≠0).2.利用抛物线定义可知，抛物线的焦半径与焦点弦有许多特殊的性质，应用起来非常方便.如：已知AB 是抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点弦，且A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，点F 是抛物线的焦点(如图)，可以证明：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24. (2)|AB|＝x 1＋x 2＋p.(3)1|AF|＋1|BF|为定值2p .(4)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. (5)以AF(或BF)为直径的圆与y 轴相切. (6)∠CFD ＝90°. 四．【题型方法】（一）抛物线的轨迹方程（二）定点问题（三）直线与抛物线涉及的面积问题（四）直线与抛物线中涉及的角的问题（五）定值问题（六）范围问题（七）抛物线与向量的综合（八）最值问题五．【题型举例】（一）抛物线的轨迹方程例1. 已知曲线()2C:2y x =+上有一点A ，定点()B 2,0，求线段AB 中点P 的轨迹方程。

高考数学复习重难点三种抛物线解题方法(核心考点讲与练)

重难点14三种抛物线解题方法（核心考点讲与练）能力拓展题型一:定义法求焦半径一、单选题1．（2022·全国·模拟预测（文））对于正数a ，p ，抛物线()24y a px -=的焦点为1F ，抛物线24y x =-的焦点为2F ，线段12F F 与两个抛物线的交点分别为P ，Q ．若123F F =，1PQ =，则22a p +的值为（）A ．6B ．254C ．7D ．2742．（2022·湖北·模拟预测）已知抛物线C 的焦点为F ，点,A B 在抛物线上，过线段AB 的中点M 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为N ，以AB 为直径的圆过点F ，则MNAB的最大值为（）A ．12B C ．2D ．13．（2022·广东佛山·模拟预测）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，过焦点且斜率为的直线l 与抛物线C 交于A ，B （A 在B 的上方）两点，若AF BF λ=，则λ的值为（）A BC ．2D4．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，Q 为C 上一点，M 为C 的准线l 上一点且//QM x 轴.若O 为坐标原点，P 在x 轴上，且在点F 的右侧，4OP =，QF QP =，120MQP ∠=︒，则准线l 的方程为（）A ．165x =-B ．25x =-C ．45x =-D ．85x =-二、多选题5．（2022·全国·模拟预测）已知抛物线24y x =，焦点为F ，直线l 与抛物线交于A ，B 两点，则下列选项正确的是（）A ．当直线l 过焦点F 时，以AF 为直径的圆与y 轴相切B ．若线段AB 中点的纵坐标为2，则直线AB 的斜率为1C ．若OA OB ⊥，则弦长AB 最小值为8D ．当直线l 过焦点F 且斜率为2时，AB ，AF ，BF 成等差数列6．（2022·福建泉州·模拟预测）已知A （a ，0），M （3，-2），点P 在抛物线24y x =上，则（）A ．当1a =时，PA 最小值为1B ．当3a =时，PA 的最小值为3C ．当1a =时，PA PM +的最小值为4D ．当3a =时，PA PM -的最大值为27．（2022·全国·模拟预测）已知O 为坐标原点，抛物线E 的方程为214y x =，E 的焦点为F ，直线l 与E 交于A ，B 两点，且AB 的中点到x 轴的距离为2，则下列结论正确的是（）A ．E 的准线方程为116y =-B ．AB 的最大值为6C ．若2AF FB = ，则直线AB 的方程为14y x =±+D ．若OA OB ⊥，则AOB 面积的最小值为168．（2022·广东佛山·模拟预测）已知直线l ：2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与抛物线C ：()220y px p =>相交于A ，B 两点，点A 在x 轴上方，点()1,1M --是抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（）A ．2p =B ．2k =-C ．MF AB ⊥D ．25FA FB =9．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交该抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，点T （-1，0），则下列结论正确的是（）A ．124y y =-B ．111AF BF+=C ．若三角形TAB 的面积为S ，则S 的最小值为D ．若线段AT 中点为Q ，且2AT BQ =，则4AF BF -=三、解答题10．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）曲线C 10x +=，点D 的坐标()1,0，点P 的坐标()1,2.(1)设E 是曲线C 上的点，且E 到D 的距离等于4，求E 的坐标：(2)设A ，B 是曲线C 上横坐标不等于1的两个不同的动点，直线PA ，PB 与y 轴分别交于M ､N 两点，线段MN 的垂直平分线经过点P .证明；直线AB 的斜率为定值，并求出此值.11．（2022·河南焦作·三模（理））已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线8y =与抛物线C 交于点P ，且5||2PF p =．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作抛物线C 的两条互相垂直的弦AB ，DE ，设弦AB ，DE 的中点分别为P ，Q ，求PQ 的最小值．12．（2022·贵州毕节·三模（理））已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且点F 与()22:21M x y +-= 上点的距离的最大值为114．(1)求p ；(2)当01p <≤时，设B ，D ，E 是抛物线C 上的三个点，若直线BD ，BE 均与M 相切，求证：直线DE 与M 相切．题型二：定义转换法求距离的最值问题一、单选题1．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知定点(3,3)M -，点P 为拋物线2:4C x y =上一动点，P 到x 轴的距离为d ，则||d PM +的最小值为（）A ．4B ．5C1D2．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（文））已知抛物线28y x =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，则9AF BF-的最小值为（）A ．1B ．32C ．52D ．63．（2022·河北张家口·三模）已知点P 是抛物线24y x =上的动点，过点P 向y 轴作垂线，垂足记为N ，动点M 满足||||PM PN +最小值为3，则点M 的轨迹长度为（）A ．163πB ．8πC ．163π+D ．8π+4．（2022·全国·模拟预测）已知点P 为抛物线2:4C y x =上的动点，点F 为抛物线的焦点，点()3,2A ，设点Q 为以点P 为圆心，PF 为半径的圆上的动点，QA 的最大值为Q d ，当点P 在抛物线上运动时，则Q d 的最小值为（）A ．B C ．4D ．55．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知M 是抛物线212x y =上一点，F 为其焦点，()3,6C ，则MF MC +的最小值为（）A ．10B ．9C ．8D ．76．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 且倾斜角为4π的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，||8AB =，过A ，B 两点分别作抛物线的切线，交于点Q ．下列说法正确的是()A ．QA QB⊥B ．AOB (O 为坐标原点)的面积为C ．112||||AF BF +=D ．若()1,1M ，P 是抛物线上一动点，则||||PM PF +的最小值为52二、多选题7．（2022·河北·模拟预测）设抛物线2:8C x y =的焦点为F ，准线为l ，()00,P x y 为C 上一动点，(2,1)A ，则下列结论正确的是（）A ．当02x =时，抛物线C 在点P 处的切线方程为220x y --=B ．当04x =时，||PF 的值为6C ．||||PA PF +的最小值为3D ．||||PA PF -8．（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）已知F 是抛物线24y x =的焦点，P 是抛物线24y x =上一动点，Q 是()()22:411C x y -+-= 上一动点，则下列说法正确的有（）A ．PF的最小值为1B ．QF C ．PF PQ +的最小值为4D ．PF PQ +19．（2022·福建福州·三模）已知抛物线()220y px p =>的准线为l ，点M 在抛物线上，以M 为圆心的圆与l 相切于点N ，点()5,0A 与抛物线的焦点F 不重合，且MN MA =，120NMA ∠=︒，则（）A ．圆M 的半径是4B ．圆M 与直线1y =-相切C ．抛物线上的点P 到点A 的距离的最小值为4D ．抛物线上的点P 到点A ，F 的距离之和的最小值为4三、填空题10．（2021·山东·青岛西海岸新区第一高级中学高三期末）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点(002p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线C 上一点，圆M 与线段MF 相交于点A ，且被直线2px=MA ，若2MA AF=，则AF =___________.四、解答题11．（2022·浙江·高三专题练习）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，经过拋物线22:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线1l 与2C 交于,P Q 两点，2C 在点P 处的切线2l 交1C 于,A B 两点，如图.(1)当直线PF 垂直x 轴时，2PF =，求2C 的准线方程；(2)若三角形ABQ 的重心G 在x 轴上，且2a b <，求PF QF的取值范围.题型三：定义法求焦点弦一、单选题1．（2022·河北石家庄·高三阶段练习）过抛物线2:4C y x =的焦点作直线交抛物线于A ，B 两点，若A 、B 两点横坐标的等差中项为2，则||AB =）A ．8B ．6C ．D ．42．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 分别作两条直线12,l l ，直线1l 与抛物线C 交于A 、B 两点，直线2l 与抛物线C 交于D 、E 两点，若1l 与2l 的斜率的平方和为2，则AB DE +的最小值为（）A ．24B ．20C ．16D ．12二、多选题3．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知抛物线24y x =，过焦点F 作一直线l 交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，以下结论正确的有（）A ．AB 没有最大值也没有最小值B ．122AB x x =++C ．124y y =-D ．111FA FB+=4．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点()11,P x y 、()22,Q x y ，点P 在l 上的射影为1P ，则（）A ．若126x x +=，则8PQ =B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设()0,1M ，则1PM PP +≥D ．过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条三、填空题5．（2022·全国·模拟预测）抛物线2:2C y px =的焦点F 恰好是圆()2211x y -+=的圆心，过点F 且倾斜角为45︒的直线l 与C 交于不同的A ，B 两点，则AB =______．6．（2022·辽宁·模拟预测）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，直线l 过点F 与C 交于A ，B 两点，与C 的准线交于点P ，若3AP BP =，则l 的斜率为______．四、解答题7．（2022·吉林长春·模拟预测（理））已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为3π的直线被E 所截得的弦长为16.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点C 为抛物线上的任意一点，以C 为圆心的圆过点F ，且与直线12y =-相交于,A B 两点，求FA FB FC ⋅⋅的取值范围.8．（2022·全国·模拟预测）直线l ：kx －y －k ＝0过抛物线C ：()220y px p =>的焦点F ，且与C 交于不同的两点A ，B ．(1)若AF ，BF ，AB 成等差数列，求实数k 的值；(2)试判断在x 轴上存在多少个点()(),00T t t >，总在以AB 为直径的圆上．高考一轮复习专项。

要想抛物线数学高考题取得满分，必须要掌握这四点！

要想抛物线数学高考题取得满分，必须要掌握这四点！
1
抛物线的标准方程与几何性质
2
字母p的几何意义
抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，p/2等于焦点到抛物线顶点的距离，记牢对解题非常有帮助。

用抛物线定义解决问题，体现了等价转换思想的应用。

由y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0)求焦点坐标时，只需将x或y 的系数除以4，再确定焦点位置即可。

涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物
线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解。

典型例题1：
3
利用待定系数法
求抛物线的方程一般是利用待定系数法，即求p但要注意判断标准方程的形式。

研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用。

4
设置方程
典型例题2：
—end—。

高中数学抛物线几个常用秘技及其推导

高中数学抛物线几个常用秘技及其推导
二、易误点
1.抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线。

2.抛物线标准方程中参数p易忽视只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义。

三、与抛物线有关的最值问题的解题策略
该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关。

实现由点
到点的距离与点到直线的距离的转化。

(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解。

(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决。

(3)引入变量，建立目标函数，利用不等式或者函数性质求解
四、求抛物线方程应注意的问题
(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；
(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；
(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题。

五、解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系。

(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式。

(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解
法。

提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解。

高考数学解题方法微专题(28)抛物线中的最值问题(含解析)

微专题(二十八) 抛物线中的最值问题求解与抛物线有关的最值问题方法较多，一般需要通过数形结合或利用函数思想来求最值，下面就抛物线最值问题的求法作一归纳．1．定义转换法[例1] 已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，B (－1,1)，点P 到直线l ：x ＝－12的距离为d ，求d ＋|PB |的最小值．解析：由题意得抛物线y 2＝2x 的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线l 是抛物线的准线，如图，连接BF ，PF ，所以d ＝|PF |，则d ＋|PB |＝|PF |＋|PB |≥|BF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－122＋(1－0)2＝132，当且仅当B ，P ，F 三点共线时取等号，所以d ＋|PB |的最小值为132. 名师点评与抛物线上的点到准线距离有关的最值问题，一般都是利用抛物线的定义，将到准线的距离转化为到焦点的距离，然后通过数形结合直接判断出取得最值时所要满足的条件，这样就能避免烦琐的代数运算.[例2] 抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________．解析：解法一如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x＋3y ＋b ＝0，切线方程与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0，消去y 整理得3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b ＝0，解得b ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －43＝0，抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝|8－43|5＝43.解法二由y ＝－x 2，得y ′＝－2x .如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线与抛物线的切点是T (m ，－m 2)，则切线斜率k ＝y ′|x ＝m ＝－2m ＝－43，所以m ＝23，即切点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－49，点T 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪83－43－816＋9＝43，由图知抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是43.答案：43名师点评若抛物线上的点P 到直线l 的距离最小，则过点P 与l 平行的直线与抛物线相切，且最小距离为两平行直线间的距离，所以可将问题转化为求与抛物线相切的直线，然后求两平行直线间的距离．3．函数法针对上面的例2，我们给出第三种解决方法：解法三设P (x ，－x 2)，则点P 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝|4x －3x 2－8|16＋9＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋203＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋43，在抛物线y ＝－x 2中，x ∈R ，所以当x ＝23时，d 取得最小值43，即抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是43.[例3] 若点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆(x －3)2＋y 2＝1上，则|PQ |的最小值为________．解析：由题意得抛物线与圆不相交，且圆的圆心为A (3,0)，则|PQ |≥|PA |－|AQ |＝|PA |－1，当且仅当P ，Q ，A 三点共线时取等号，所以当|PA |取得最小值时，|PQ |最小．设P (x 0，y 0)，则y 20＝x 0，|PA |＝(x 0－3)2＋y 20＝x 20－6x 0＋9＋x 0＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0－522＋114，当且仅当x 0＝52时，|PA |取得最小值112，此时|PQ |取得最小值112－1. 答案：112－1 名师点评解与抛物线有关的最值问题可通过两点间距离公式或者点到直线的距离公式建立目标函数，再用求函数最值的方法求解．解题的关键是根据所给抛物线方程设出动点坐标．。

抛物线问题解决中的一些技巧

抛物线问题解决中的一些技巧抛物线是三大圆锥曲线之一，在高考中占有重要的地位。

求解抛物线问题我们应掌握一些解题的技巧，从而使得我们的解题更简洁、思路更清晰。

一、正确选用标准方程例1、求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过点(24)P --，的抛物线的标准方程．解：由题意，抛物线有两种情形：（1）设抛物线22(0)y px p =>，将(24)P --，代入得4p =．故标准方程为28y x =-；（2）设抛物线22(0)x py p =->，将(24)P --，代入得12p =，故标准方程为2x y =-．所以满足条件的抛物线的标准方程为28y x =-或2x y =-．点评：求圆锥曲线的标准方程，关键是确定类型，设出方程，待定系数法是常用方法之一。

本题应结合图形，分析出两种情形，避免漏解。

练习1：已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点(,3)M m -到焦点距离为5，求m 的值。

解：设抛物线方程为22(0)x py p =->，准线方程：2p y =∵点M 到焦点距离与到准线距离相等，∴532p=-+，解得：4p =，∴抛物线方程为28x y =-。

把(,3)M m -代入得：m =±二、合理使用定义例2、已知点(32)P ，在抛物线24y x =的内部，F 是抛物线的焦点，在抛物线上求一点M ，使MP MF +最小，并求此最小值．解：过M 作准线l 的垂线MA ，垂足为A ，则由抛物线的定义有M F M A =．MP MF MP MA +=+∴，显然当P M A ，，三点共线时，MP MF +最小．此时，M 点的坐标为(12)，，最小值为4．点评：抛物线的定义用法：一是根据定义求轨迹；二是两个相等距离（动点到焦点的距离与动点到准线的距离）的互化．在解题中，应正确合理地使用定义，同时应注意“看到准线想焦点，看到焦点想准线”。

练习2：已知动点M 的坐标满足方程，则动点M 的轨迹是（）A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 以上都不对解：由题意得：，即动点到直线的距离等于它到原点（0，0）的距离。

高中数学抛物线解题技巧

高中数学抛物线解题技巧抛物线是高中数学中一个重要的概念，也是解题中经常出现的题型。

掌握抛物线的解题技巧，对于高中数学的学习非常重要。

本文将介绍一些常见的抛物线解题技巧，并通过具体题目进行说明，帮助读者更好地理解和应用这些技巧。

一、求抛物线的顶点坐标抛物线的顶点是抛物线的最高点或最低点，是抛物线的最重要的特征之一。

求抛物线的顶点坐标可以通过平移变换的方法来实现。

具体步骤如下：1. 将抛物线的方程表示为标准形式：y = ax^2 + bx + c。

2. 利用平移变换的性质，将方程中的x项系数消去，即将方程化为形如y = a(x - h)^2 + k的形式。

3. 通过比较系数，求出顶点坐标为(h, k)。

例如，给定抛物线y = 2x^2 + 4x + 1，我们可以按照上述步骤求出其顶点坐标：1. 将方程表示为标准形式：y = 2x^2 + 4x + 1。

2. 利用平移变换的性质，将方程化为形如y = 2(x - h)^2 + k的形式。

3. 比较系数，得到2(x - h)^2 + k = 2x^2 + 4x + 1。

展开并整理得到2x^2 + 4hx -2h^2 + k = 2x^2 + 4x + 1。

4. 比较常数项和一次项的系数，得到4h = 4和-2h^2 + k = 1。

5. 解方程组，得到h = 1和k = -1。

6. 因此，抛物线的顶点坐标为(1, -1)。

通过这个例子，我们可以看到，通过平移变换的方法可以快速求出抛物线的顶点坐标，这是解题中常用的一种技巧。

二、求抛物线与坐标轴的交点抛物线与坐标轴的交点也是解题中常见的问题。

我们可以通过方程的根来求解。

具体步骤如下：1. 将抛物线的方程表示为标准形式：y = ax^2 + bx + c。

2. 将方程中的y置为0，得到一个二次方程ax^2 + bx + c = 0。

3. 利用求根公式或配方法，解出方程的根。

例如，给定抛物线y = x^2 - 4x + 3，我们可以按照上述步骤求出抛物线与坐标轴的交点：1. 将方程表示为标准形式：y = x^2 - 4x + 3。

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抛物线问题解决中的一些技巧

高中数学抛物线解题技巧

高考数学专题13 抛物线解答题解法荟萃(解析版)