高数下册常用常见知识点
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高等数学下册常用常见知识点
第八章 空间解析几何与向量代数
(一) 向量及其线性运算
1、 向量,向量相等,单位向量,零向量,向量平行、共线、共面;
2、 线性运算:加减法、数乘;
3、 空间直角坐标系:坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式;
4、 利用坐标做向量的运算:设),,(z y x a a a a =
,),,(z y x b b b b = ,
则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±
, ),,(z y x a a a a λλλλ= ;
5、 ;
6、
7、
向量的模、方向角、投影:
1) 向量的模:
2
22z y x r ++=
;
2) 两点间的距离公式:
2
12212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=
3)
方向角:非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,
4) 方向余弦:r
z r y r x ===γβαcos ,cos ,cos
1cos cos cos 222=++γβα
5) 投影:ϕcos Pr a a j u
=,其中ϕ为向量a 与u 的夹角。 |
(二)
(三) 数量积,向量积 1、
数量积:θcos b a
b a
=⋅
1)2
a a a =⋅
2)⇔⊥b a 0=⋅b a
z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅
2、 向量积:b a c
⨯=
—
大小:θsin b a
,方向:c b a
,,符合右手规则
1)0 =⨯a a
2)b a //⇔
=⨯b a
z y x
z
y x
b b b a a a k j i
b a
=⨯
运算律:反交换律 b a a b ⨯-=⨯
(四) 曲面及其方程 1、
]
2、
曲面方程的概念:
),,(:=z y x f S
3、 旋转曲面:(旋转后方程如何写)
yoz 面上曲线0),(:=z y f C ,
绕y 轴旋转一周:
0),(22=+±z x y f
绕
z 轴旋转一周:
0),(22=+±z y x f
4、 柱面:(特点)
0),(=y x F 表示母线平行于z 轴,准线为⎪⎩⎪⎨⎧==0
0),(z y x F 的柱面
5、
@
6、
二次曲面(会画简图)
1)
椭圆锥面:2
2222z b
y a x =+ 2)
椭球面:122
2222=++c
z b y a x
旋转椭球面:122
2222=++c
z
a y a x 3)
4)
*单叶双曲面:122
2222=-+c
z b y a x
5)
*双叶双曲面:122
2222=--c
z b y a x 6) 椭圆抛物面:z b
y
a x =+22
22 7)
《
8)
*双曲抛物面(马鞍面):z b y
a x =-22
22
9)
椭圆柱面:122
22=+b
y a x 10) 双曲柱面:122
22
=-b y a x 11) 抛物柱面:ay x
=2
(五) (六) 空间曲线及其方程
1、 一般方程:⎪⎩⎪⎨⎧==0
),,(0
),,(z y x G z y x F
2、
$
3、
参数方程:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ,如螺旋线:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===bt
z t a y t a x sin cos
4、 空间曲线在坐标面上的投影
⎪⎩⎪⎨⎧==0
),,(0),,(z y x G z y x F ,消去z ,得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0
),(z y x H
(七) 平面及其方程(法向量) 1、 点法式方程:
0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A
法向量:),,(C B A n =
,过点)
,,(000z y x
2、
~
3、
一般式方程:
0=+++D Cz By Ax (某个系数为零时的特点)
截距式方程:
1=++c
z
b y a x
4、
两平面的夹角:),,(1111C B A n = ,),,(2222C B A n = ,
22
22
22
21
21
2
1
2
12121cos C
B A
C B A C C B B A A ++⋅++++=
θ ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ⇔∏∏21// 2
1
2121C C B B A A ==
5、 点
),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离:
¥
2
22000C B A D
Cz By Ax d +++++=
(八) 空间直线及其方程(方向向量)
1、
一般式方程:⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0
022221111D z C y B x A D z C y B x A
2、
对称式(点向式)方程:
p
z z n y y m x x 0
00-=-=-