第四章 水文统计基础知识
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4第四章 水文统计基础知识
P-Ⅲ型概率密度曲线的 特点：
（1）单峰型； （2）与x轴有一交点，对应水文 变量的最小值； （3）后端与x轴不相交
P-Ⅲ 型曲线的应用
将P-Ⅲ型曲线的方程式进行一定的积分演算，就可以得到频率曲 线纵坐标值 的计算公式，即频率曲线的方程式（分布函数）为： P
x
xP (Cv 1) x K P x
3、偏态系数
偏态系数是反映随机变量系列中各随机变量对其均 值对称性的参数。 对于总体
Cs
Cs
( xi x) 3
i 1
n
n x C v3
3
对于样本
Cs
( xi x) 3
i 1
n
(n 3) x Cv3
3
频率曲线的三个参数，其中均值（ x ）一般直接采用矩 法计算值；变差系数（Cv）可先用矩法估算，并根据适线拟 合最优的准则进行调整；偏态系数（Cs）一般不进行计算， 而直接采用倍比，我国绝大多数河流可采用 Cs=(2~3)Cv。
Ki
2）.中值 x
xi x
中值的大小能反映系列中间项和密度曲线的位置。
3）.众值
x
众值的大小能反映系列中最大几率项和密度曲线的位置。
4）.均值、中值、众值的位置关系
y y
y
o
xxx a)
x 0
xxx b)
x 0
xxx
c)
x
a）正偏态；
b）正态； 密度曲线图
c）负偏态
水文现象为不对称分布，年洪峰流量频率分布多为正偏。
频率曲线（ P-Ⅲ 型曲线） 设计洪水水位 设计洪水流量
工程设计标准
设计洪水频率 （洪水重现期） 经验频率曲线
公式4-18~公式4-20
第四章 水文统计
m P 100% （4-6） n 1 2. 频率与重现期的关系
重现期——随机事件平均的重现时间间隔T，如100年 一遇，指平均每100年遇到1次，并非每隔100年一定遇 到1次
·对于暴雨洪水（防洪，设计频率 P≤50%）
1 1 T （年） P P ( x p )
三峡：P=0.01%，Q0.01%=91100m3 /s，指平均每 10000 年遇到
1．经验频率公式 （1）纯经验频率公式
P
m 100% n
P—— x m 的经验频率；m——变量 xi 从大—→小排列的序号 n——观测资料的总项数
（2）数学期望公式
对于纯经验频率公式，当m=n时，p=100%，即样本的 末项就是总体的最小值，显然不合理。为了由样本比 较好的估计总体概率，我国采用数学期望公式
（五） x 、CV、CS对频率曲线的影响
1．C V、C S 固定， x 改变 如 x 2 x1 ， x 增大， 频率曲线位置抬高，且变陡。
2．x 、C S 固定， C V 变大，使频率曲线顺时针旋转 V
3．x 、CV固定，CS变大，使频率曲线上端变陡，中间曲率变大， 下端趋于水平，CS2>CS1
曲线相关
④以两变量的变化步调分
正相关
负相关
3．相关分析的内容
（1）判断变量之间是否存在相关
（2）确定相关关系的数学形式和相关的密切程度
（3）插补延长倚变量，并作误差分析。
二、简直线相关（一元线性回归）
（一）相关图解法 x、y 同期（同步）观测资料，点绘在图上，根据相关 点的分布趋势，绘出相关线，使相关点均匀分布在相 关线的两旁。可近似看出相关类型及程度 （二）相关分析法 1．建立回归方程 第一步：确定线型——直线，如图 x1，x2，…，xn y1，y2，…，yn
工程水文学 第四章水文统计基本知识
f(x)()(xa0)e(xa0) （密度分布图）
其中：
4 ； 2 ；
Cs
XCsCv
a0
X(1 2Cv Cs
)
三个参数： X，Cs，Cv
分布函数：
F(Xxp) xp f(x)dx
x p X X (C v 1 ) K pX
查值表K； p值表
如何求 X，Cs，Cv 在以后介绍
@COPY RIGHT 扬大陈平
600 500 400 300 200
0.01
1
10
50
图XX XXX站年雨量频率曲线
90 99.9%
@COPY RIGHT 扬大陈平
四、三参数对曲线的影响规律
前面配线时，如果配合不好，则改变参数，继 续求Xp值，第二次配线。
参数有3个，改变哪一个呢？无从下手。 这就需要弄清3参数对曲线的影响规律。
第四节 统计参数估计
一、样本与总体 1.总体：随机变量所有可能取值的全体。 水文总体往往是无限的。 2.样本：从总体中任意抽取的一部分。 3.样本容量：样本中包含的项数。n 4.总体与样本的关系：样本来自总体； 样本的分布基本上反映总体的分布规律。 水文的总体是无限的，所以采用样本来估计总 体；样本（实测资料）的分布反映总体分布规律。
@COPY RIGHT 扬大陈平
二、样本统计参数的估算
1.矩法估计
X 1 n
X
；
i
(Xi X)2
n
离差系数：
Cv
X
； 偏态系数：
Cs
(Ki 1)3 (n3)Cv3
2.无偏估计
X
1 n
Xi
1
CvX
(XiX)2 (ki1)2
工程水文学水文第四章统计1
这种以简便的形式显示出随机变量分布规律的某些特征数字， 称为随机变量的统计参数（或统计特征值）。
统计参数不仅能反映水文系列的基本规律，用简明的数字来概括 水文现象的基本特性，即具体又明确，又便于与邻近地区比较，进 行地区综合，对解决缺乏资料地区中小河流的水文计算问题具有重 要的实际意义。
1、均值
第四章 水文统计基本原理与方法
第一节 概述
水文现象是一种自然现象，一切自然现象都包含有必然性的一 面，也包含着随机性的一面。水文现象也是如此。
必然性——成因法来研究确定性的水文现象。
例：P，
Pa
成因分析法
汇流
———— 净雨————
Q—t（确定性水文现象）
扣损
河流中的流量Q每年不一样，看上去好象没有什么规律。因为 影响因素多且错综复杂，它具有随机性。
除此之外还研究随机变量的取值大于等于某一值的概率。
水文上习惯研究随机变量不小于某值的概率。P（X x）。
数学上习惯研究随机变量小于某值的概率。P（X<x）。
显然，P（X x）（即概率）是变量X取值 x的函数。这个函数
称为随机变量X的分布函数。
二、连续型随机变量的概率分布
F（x)=P (X x )
随机变量的概率分布能比较完整地刻划随机变量的统计规律。然 而在一些实际问题中，随机变量的分布函数不易确定。有一些实际 问题也不一定需要完整的形式来说明随机变量，只要知道某些特征 值，能说明随机变量的主要特性就行了。
例：某地年降水量是一个随机变量，各年不同，有一定的概率 分布曲线。但若只了解该地年降水量的概括情况，那么多年平均 年降水量就是反映该地年降水量多少的一个重要指标。
权函数法的实质在于用一、二阶权函数矩来推求Cs 具体计算式如下：
统计参数不仅能反映水文系列的基本规律，用简明的数字来概括 水文现象的基本特性，即具体又明确，又便于与邻近地区比较，进 行地区综合，对解决缺乏资料地区中小河流的水文计算问题具有重 要的实际意义。
1、均值
第四章 水文统计基本原理与方法
第一节 概述
水文现象是一种自然现象，一切自然现象都包含有必然性的一 面，也包含着随机性的一面。水文现象也是如此。
必然性——成因法来研究确定性的水文现象。
例：P，
Pa
成因分析法
汇流
———— 净雨————
Q—t（确定性水文现象）
扣损
河流中的流量Q每年不一样，看上去好象没有什么规律。因为 影响因素多且错综复杂，它具有随机性。
除此之外还研究随机变量的取值大于等于某一值的概率。
水文上习惯研究随机变量不小于某值的概率。P（X x）。
数学上习惯研究随机变量小于某值的概率。P（X<x）。
显然，P（X x）（即概率）是变量X取值 x的函数。这个函数
称为随机变量X的分布函数。
二、连续型随机变量的概率分布
F（x)=P (X x )
随机变量的概率分布能比较完整地刻划随机变量的统计规律。然 而在一些实际问题中，随机变量的分布函数不易确定。有一些实际 问题也不一定需要完整的形式来说明随机变量，只要知道某些特征 值，能说明随机变量的主要特性就行了。
例：某地年降水量是一个随机变量，各年不同，有一定的概率 分布曲线。但若只了解该地年降水量的概括情况，那么多年平均 年降水量就是反映该地年降水量多少的一个重要指标。
权函数法的实质在于用一、二阶权函数矩来推求Cs 具体计算式如下：
水文统计介绍
P-III型曲线的特点： 一端有限另一端无限的不对称单峰正偏曲线
f(x)
皮尔逊Ⅲ 型概率密度曲线
a0 M0(x)
Me(x)
xP
P f ( x)dx
xP
x
在水文计算中，一般要求出指定概率P所相应的随
机变量的取值xP，即求出的 xP满足下列等式：
P
P( X
xP )
xP
(
)
(
x
a0
)
1
e
(
x
因此，由给定的CS 及P，从P-III型曲线离均系数 值表，查出P ，再由下式求：
xP (PCV 1)x
xP即为指定概率 P 所相应的随机变量的取值。这是 水文统计分析中要求计算的一个量
如求频率P=1/100（水文学常称为百年一遇）时的径 流量QP=0.01。
【算例】
已知: 某地年平均降雨量 x =1000 mm, CV =0.5, CS =1.0,若年降雨量符合P - III型分布 试求：P=1% 的年降雨量。
其反映年降雨量(Xx)的经验频率P(Xx)和x的关系。随
着样本容量n的增加，频率P就非常接近于概率，而该经 验分布曲线就非常接近于总体的分布曲线。
三、理论曲线线型
1．正态分布
x
式中， x ：均值（平均数）；
：均方差（标准差）。 许多随机变量如水文测量误差、抽样误差 等一般服从正态分布。
正态分布曲线的特点：
料中出现大于或等于某一值 x 的次数。
注意：样本的每一项的经验频率用公式P=m/n进
行计算，当m=n时，P=100%，说明样本的最末项 为总体的最小值，这是不合理的。故必须进行修 正，常采用下面的公式进行计算：
经验频率的计算公式： P m n1
第四章水文统计
7.7 15.4 23.1 30.8 38.5 46.2 53.8 61.5 69.2 76.9 84.6 92.3
由此得到经验分布曲线:
X（年降雨量：mm）
1400
1300
1200
验频率分布 900
是否80符0 合实际？ 700
600
P (Xx)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
其反映年降雨量(Xx)的经验频率P(Xx)和x的关系。随
着样本容量n的增加，频率P就非常接近于概率，而该经 验分布曲线就非常接近于总体的分布曲线。
三、理论曲线线型
1．正态分布
x
式中， x ：均值（平均数）；
：均方差（标准差）。 许多随机变量如水文测量误差、抽样误差 等一般服从正态分布。
量及其过程，以确定工程的规模。
对未来长期径流情势（属随机变量）的估计，只能依 据其统计规律，利用数理统计方法进行概率预估。 所谓“概率预估”，即分析水文变量出现超过某个数 值的可能性为多少。
水文统计的任务
（1）频率计算 根据已有的资料（样本），应用概率理论和频率 计算，推求指定频率的水文特征值。
水文统计的任务
（2）概率密度曲线和分布曲线画法习惯不同
g(x)
G(x)(%)
100
g(x)
0 xP
x
(a) xp
p(x xp ) G(xp ) g(x) dx
G(xp) 0 xP
G(x)
x (b)
2. 水文统计与概率论和数理统计的主要差别
（2）概率密度曲线和分布曲线画法习惯不同
水文上通常称概 率分布曲线为累 积频率曲线
G(X) p(X x)
水文学上，习惯研究随机变量的取值等于或大于某 个值的概率，采用超过制累积概率形式：
由此得到经验分布曲线:
X（年降雨量：mm）
1400
1300
1200
验频率分布 900
是否80符0 合实际？ 700
600
P (Xx)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
其反映年降雨量(Xx)的经验频率P(Xx)和x的关系。随
着样本容量n的增加，频率P就非常接近于概率，而该经 验分布曲线就非常接近于总体的分布曲线。
三、理论曲线线型
1．正态分布
x
式中， x ：均值（平均数）；
：均方差（标准差）。 许多随机变量如水文测量误差、抽样误差 等一般服从正态分布。
量及其过程，以确定工程的规模。
对未来长期径流情势（属随机变量）的估计，只能依 据其统计规律，利用数理统计方法进行概率预估。 所谓“概率预估”，即分析水文变量出现超过某个数 值的可能性为多少。
水文统计的任务
（1）频率计算 根据已有的资料（样本），应用概率理论和频率 计算，推求指定频率的水文特征值。
水文统计的任务
（2）概率密度曲线和分布曲线画法习惯不同
g(x)
G(x)(%)
100
g(x)
0 xP
x
(a) xp
p(x xp ) G(xp ) g(x) dx
G(xp) 0 xP
G(x)
x (b)
2. 水文统计与概率论和数理统计的主要差别
（2）概率密度曲线和分布曲线画法习惯不同
水文上通常称概 率分布曲线为累 积频率曲线
G(X) p(X x)
水文学上，习惯研究随机变量的取值等于或大于某 个值的概率，采用超过制累积概率形式：
第四章 水文统计基本原理与方法 工程水文学
lim W(A) P(A)
n
五、概率的加法定理与乘法定理
1、概率的加法定理
互不相容（互斥）：P(A1+A2+…An)= P(A1)+P(A2)+……P(Ai)
非互斥事件 ： P(A1+A2)= P(A1)+P(A2)- P(A1A2)
式中：P(A1+A2+……An)为它们中任一个出现的概率
目估外延。 2、理论累积频率曲线
四．理论累积频率曲线
1.频率密度
正态分布：
1 ( x x )2 f ( x) exp 2 2 2
P
x
x
1 ( x x )2 exp dx 0.683 2 2 2
1 ( x x )2 P exp dx 0.997 2 x 3 2 2 1 ( x x )2 P exp dx 1 2 2 2
若求百年一遇的洪水
,m=1 ，得,n=99年。即
是说，在推求百年一遇的洪水时，至少需要99年的实测资料。
2.经验累积频率曲线绘制步骤
1)将实测水文特征值如水位、流量或降雨量不论年序，按大小 排序，对于洪水资或大于某特征值 x≥xi，的
例4-1：江河中出现的最高水位或最大流量，每年的实测值 各不相同，为互斥事件。某水文站观测到一河段50年的洪 水水位资料如下表4-2，求小于258m水位出现的频率。
水位高程Hi(m) 出现的频数 fi(年) 频率w(Hi)%
250 3 6
255 7 14
258 9 18
265 16 32
268 15 30
均系数表。后经雷布京等人的修正，成为专用水文计算表。
1961年中国科学院水文研究所又对此离均系数ФP计算表进行 修正扩展，加密点据，将ФP值补充到Cs=6.4。 x K p 1 pCv；xP KP x 理论累计频率曲线的坐标值：令 K
工程水文第4章水文统计的基本知识
样本抽样误差的均方值称为均方误，是衡
量抽样误差的大小的常用指标。
皮尔逊Ⅲ型分布参数矩法估计的均方误公式：
X
n
2n 1 3 2 cs 4 3 2 CS 2C V C S 4
Cv
Cv 2n
6
2 1 2cv
Cs
n
(1
3 5 2 4 CS CS 2 16
第四章
第一节
水文统计的基本知识
水文现象
第二节
第三节 第四节 第五节 第六节
概率的基本概念
随机变量及其概率分布 水文常用频率曲线 统计参数估算 适线法估计水文分布参数
第一节
水文现象
水文现象是自然现象的一种，在其发生和
演变过程中，包含着必然性的一面，也包着偶
然性的一面。
必然现象是在一定条件下，必然出现或不
样本参数的均方误（相对误差，%）
参数
EX
100 50 25 10 100 50
CV
25 10 100 50
CS
25 10
n Cv
0．1 0．3 0．5 0．7 1．0
1 3 5 7 10
1 4 7 10 14
2 6 10 14 20
3 10 12 22 23
7 7 8 9 10
50 10 11 12 14
F（x）
概率分布函数与密度函数关系
三、随机变量的分布参数
概率分布曲线完整地刻划了随机变量的
统计规律。但在一些实际问题中，有时只要 知道概率分布某些特征数值。这种以简便的 形式显示出随机变量分布规律的某些特征数 字称为随机变量的分布参数。
均值
x
x i pi i
工程水文第4章水文统计的基本知识精品PPT课件
Ｐ（A／B）＝Ｐ（B／A）Ｐ（A）/ Ｐ（B）
＝0.3×0.1 / 0.2
＝0.15
第三节 随机变量及其概率分布
一、水文随机变量 随机变量是表示随机试验结果的数 量表示。水文随机变量一般指水文特征 值，如水位、流量、雨量等，属连续型 随机变量。
二、随机变量的概率分布
随机变量的取值x与其概率P 的对应关系，
二、概率
随机事件A在试验结果中可能出现也可 能不出现，但其出现可能性的大小的数量标 准就是概率。
古典概率表达式
P(A) m n
三、频率
水文事件不属古典概型事件，只能通过
试验来估算概率。设事件A在ｎ次试验中出 现了ｍ次，则称
W (A)
m n
为事件A的频率。
试验者 蒲丰 皮尔逊 皮尔逊
掷币试验出现正面的频率表
称为随机变量的概率分布。水文统计学研究随 机变量的取值大于某一个值的概率
F（x）＝P（X＞x）
称此为随机变量的概率分布函数或概率 分布曲线。
x
1100
某雨量站的年雨量分布曲线
1000
900
800
700
0.2
0.4
0.6
0.8
（（（1（）23）4）年）年P雨P（雨（量X量X＞超小≤x过）于9x=08）000m0=.mm1的m0的的.概1设概的率计率设值计x值x
P（P（PX（＞Xx＞X9=＞08009x）09））5=m==m01.0-2.502.1= 0.9 P（X≤x 8=007）20=m1m－0.52=0.48
1.0
P（X ＞ x）
函数f（x）＝-F ’（x）为概率密度函数，
简称为密度函数或密度曲线。
f（x）
f（x）dx
＝0.3×0.1 / 0.2
＝0.15
第三节 随机变量及其概率分布
一、水文随机变量 随机变量是表示随机试验结果的数 量表示。水文随机变量一般指水文特征 值，如水位、流量、雨量等，属连续型 随机变量。
二、随机变量的概率分布
随机变量的取值x与其概率P 的对应关系，
二、概率
随机事件A在试验结果中可能出现也可 能不出现，但其出现可能性的大小的数量标 准就是概率。
古典概率表达式
P(A) m n
三、频率
水文事件不属古典概型事件，只能通过
试验来估算概率。设事件A在ｎ次试验中出 现了ｍ次，则称
W (A)
m n
为事件A的频率。
试验者 蒲丰 皮尔逊 皮尔逊
掷币试验出现正面的频率表
称为随机变量的概率分布。水文统计学研究随 机变量的取值大于某一个值的概率
F（x）＝P（X＞x）
称此为随机变量的概率分布函数或概率 分布曲线。
x
1100
某雨量站的年雨量分布曲线
1000
900
800
700
0.2
0.4
0.6
0.8
（（（1（）23）4）年）年P雨P（雨（量X量X＞超小≤x过）于9x=08）000m0=.mm1的m0的的.概1设概的率计率设值计x值x
P（P（PX（＞Xx＞X9=＞08009x）09））5=m==m01.0-2.502.1= 0.9 P（X≤x 8=007）20=m1m－0.52=0.48
1.0
P（X ＞ x）
函数f（x）＝-F ’（x）为概率密度函数，
简称为密度函数或密度曲线。
f（x）
f（x）dx
第四章 水文统计基本知识
水文现象的统计规律
水文现象是一种自然现象，它具有必然性，也具有偶然性。 其中偶然现象(随机现象)所遵循的规律称为统计规律 水文统计及其任务 研究随机现象统计规律的学科称为概率论, 而由随机现象的 一部分试验资料去研究总体现象的数字特征和规律的学科称为 数理统计学。概率论与数理统计学应用到水文分析与计算上则 称为水文统计
对于连续型随机变量：
变量的取值充满整个数值区间，无法一一列出其 每一个可能值，只能以区间的概率分析其分布规律
连续系列按由大到小顺序排列，分成N组，组距 值△ x=xi+1 - xi，任一组内概率为△p，则区间平均概 率为f(x)= △p/△x，此值称为△x区间对应的概率密 度
区间足够小时，
x
f ( x)
2 （－ 1 10） (10 10)2 (19 10)2 乙 7.35 3
表明：乙系列的离散程度大于甲系列 均值相同时，均方差可以反映其离散程度；但均值不 同时，却无法比较。因此引入离差系数（变差系数）
2 离差系数(变差系数、离势系数)：均方差和平均数 的比值，表征随机变量分布的相对离散度
三
频率
水文事件不属古典概率事件，其试验结果可能的
总数未知，试验结果是否等可能也未知，因而不能
预先推知某事件的概率。为此引入“频率”概念来 计算随机水文事件的概率 频率：设随机事件A在重复试验n次中出现 f 次，则 f 与 n 的比值称为事件A的频率，即 W(A)＝f / n
这里的n 不是所有可能的结果总数，仅是随机试验
(3) 年重现期与次重现期
水文计算中为延长实测样本系列的容量，常在一年中 取多个样本系列，所得重现期为次重现期 排水工程的设计标准常遇T<1年，因而需一年多次取样 设平均每年所取样本为α个，n年所得样本容量 由年频率P(χ≥χi) = m／n 次频率Pˊ(χ≥χi) = m／S=P/ α S=nα，
水文统计基本原理与方法
1 T p
当考虑水库兴利调节,研究枯水问题时，设计频率P＞50％，则
1 T 1 p
·对于暴雨洪水（防洪，设计频率 P≤50%）
T
1 1 （年） P P ( x p )
三峡：P=0.01%，Q0.01%=91100m3 /s，指平均每 10000 年遇到
91100 m3 /s 的洪水 1 次洪峰流量
4-5 理论频率曲线
2、皮尔逊Ⅲ型分布
（2）皮尔逊Ⅲ型累积频率P的查算
水文计算中，一般需要求出指定频率P所相应的随机变量取 值xp，也就是通过对密度曲线进行积分：
1 x a P Px x p x a e dx 0 x
（2）连续型随机变量 若某随机变量可以取得一个有限或无限区间内的任何数值，则 成为连续型随机变量。
4-3 随机变量及其概率分布
1、随机变量
（3）总体与样本 在数理统计中，把研究对象的个体集合成为总体。 从总体中随机抽取n个个体成为总体的一个随机样本，简称样 本。
4-3 随机变量及其概率分布
4-2 概率的基本概念和定理
1、事件
在概率论中，对随机现象的测验叫做随机试验，随机试验的结 果称为事件。事件可以分为必然事件、不可能事件和随机事件 三种。
2、概率
随机事件的概率计算公式：
P ( A) k n
式中：P（A）―在一定的条件组合下，出现随机事件A的概率 ； k― 有利于随机事件A的结果数 ； n― 在试验中所有可能出现的结果。
4-3 随机变量及其概率分布
2、随机变量的概率分布
F(x)=P(X≥x) 代表随机变量X大于等于某一取值x的概率。
在数学上称此曲线为分 布曲线，水文统计中常 称分布曲线为随机变量 的累积频率曲线，简称 频率曲线。
4.水文统计的基本知识
第二节 事件、概率、随机变量
1. 事件 自然界各种现象的种种结果。（必然事件、不可 能事件、随机事件） 2. 概率 在同等可能的条件下，随机事件在试验的结果中 可能出现也可能不出现，其出现或不出现的可能性大小 称为概率。 3. 频率 随机事件A在重复n次试验中出现了m次，则称 随机事件A在重复n次试验中出现了m
第四节 水文频率曲线线型
内容提要： 正态分布，对数正态分布，皮尔逊Ⅲ型分 正态分布，对数正态分布，皮尔逊Ⅲ
布，经验频率曲线
学习要求：
1.了解正态分布、对数正态分布的形式和特点； 1.了解正态分布、对数正态分布的形式和特点； 2.掌握皮尔逊Ⅲ型分布的形式、特点及其频率曲线的绘 2.掌握皮尔逊Ⅲ 制方法； 3.掌握经验频率曲线的特点及其绘制方法。 3.掌握经验频率曲线的特点及其绘制方法。
2、皮尔逊Ⅲ型频率曲线及其绘制 皮尔逊Ⅲ 水文计算中，一般需要求出指定频率P 水文计算中，一般需要求出指定频率P所相应的随机 变量取值Xp，也就是通过对密度曲线进行积分，即: 变量取值Xp，也就是通过对密度曲线进行积分，即:
βα ∞ P = P( X ≥ xp ) = (x − a0 )α−1e−β ( x−a )dx Γ(α) ∫x
m p = × 100% n
当m=n时，p=100%，即样本的末项 xn是总体中 m=n时 p=100%， 的最小值，显然不符合实际， 的最小值，显然不符合实际，因为随着观测年数的增 总会出现更小的数值。 多，总会出现更小的数值。
对上式进行修正，有： 对上式进行修正， 数学期望公式
m p= × 100% n +1
某站年降水量频率计算表
年 份 年 水 量 m m ） ( 2 ) 5 3 8 . 3 6 2 4 . 9 6 6 3 . 2 5 1 9 . 7 5 5 7 . 2 9 9 8 . 0 6 4 1 . 5 3 4 1 . 1 9 6 4 . 2 6 8 7 . 3 5 4 6 . 7 5 0 9 . 9 7 6 9 . 2 6 1 5 . 5 4 1 7 . 1 7 8 9 . 3 7 3 2 . 0 1 0 6 4 . 5 6 0 6 . 7 5 8 6 . 7 5 6 7 . 4 5 8 7 . 7 7 0 9 . 0 8 8 3 . 5 1 5 9 9 3 . 5 降 x （ 序 号 m ( 3 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 按 大 x 小 排 列 P = m / ( n + 1 ) ( % ) ( 5 ) 4 8 1 2 1 6 2 0 2 4 2 8 3 2 3 6 4 0 4 4 4 8 5 2 5 6 6 0 6 4 6 8 7 2 7 6 8 0 8 4 8 8 9 2 9 6
第四章 水文统计基础知识
x 线纵坐标值 的计算公式，即频率曲线的方程式（分布函数）为： P
xP (Cv 1)x KP x
x 式中， P——频率为 P 的随机变量；
——离均系数，
KP 1 Cv
xP x Cv x
， x这P 是x频 率f (
PP,C和s )偏差
系数 Cs 的函数，为了便于实际应用，制成离均系数 值表，可供查
重现期 20年一遇 50年一遇 100年一遇 1000年一遇 10000年一遇
洪水流量（m3/s） 72300 79000 83700 98800 113000
第二节 统计参数的估计
一、总体与样本
总体，总体的容量 样本，样本容量
二、统计参数的估计
累积频率曲线的 三个统计参数：
1.矩法简介
均值 变差系数 偏态系数
n
Ki2 n
i 1
n 1
Cv较小时，表示系列的离散程度较小，即变量间的变化幅
度较小，频率分布比较集中；反之， 较Cv大时，系列的离散程
度较大，频率分布比较分散。
3、偏态系数 Cs
偏态系数是反映随机变量系列中各随机变量对其均值
对称性的参数。
对于总体 对于样本
n
(xi x)3
Cs
散程度的参数。
x 系列中各随机变量
对其均值
i
的x差称为离差，用
Di 表示，Di xi。 x
n
n
方差是离差的平方和
D2 i
(x，i 可x)以2 用来表示系列总
的离散程度。
i 1
i 1
均方差 表达各随机变量对其均值的平均离散程度。
对于总体 对于样本
n
xP (Cv 1)x KP x
x 式中， P——频率为 P 的随机变量；
——离均系数，
KP 1 Cv
xP x Cv x
， x这P 是x频 率f (
PP,C和s )偏差
系数 Cs 的函数，为了便于实际应用，制成离均系数 值表，可供查
重现期 20年一遇 50年一遇 100年一遇 1000年一遇 10000年一遇
洪水流量（m3/s） 72300 79000 83700 98800 113000
第二节 统计参数的估计
一、总体与样本
总体，总体的容量 样本，样本容量
二、统计参数的估计
累积频率曲线的 三个统计参数：
1.矩法简介
均值 变差系数 偏态系数
n
Ki2 n
i 1
n 1
Cv较小时，表示系列的离散程度较小，即变量间的变化幅
度较小，频率分布比较集中；反之， 较Cv大时，系列的离散程
度较大，频率分布比较分散。
3、偏态系数 Cs
偏态系数是反映随机变量系列中各随机变量对其均值
对称性的参数。
对于总体 对于样本
n
(xi x)3
Cs
散程度的参数。
x 系列中各随机变量
对其均值
i
的x差称为离差，用
Di 表示，Di xi。 x
n
n
方差是离差的平方和
D2 i
(x，i 可x)以2 用来表示系列总
的离散程度。
i 1
i 1
均方差 表达各随机变量对其均值的平均离散程度。
对于总体 对于样本
n
第四章 水文统计基本原理与方法 工程水文学
求的安全率称设计频率标准。
§4-2经验累积频率曲线与理论累积 频率曲线
§4-2经验累积频率曲线与理论累积频率曲线
一、频率密度曲线与频率分布曲线
1.频率密度函数与分布函数
水文现象中的变量为连续型随机变量，其累积频率P(x≥xi)、
P(x≤xi)可以用一连续函数F(x)来表示，即P(x≥xi)=F(x)， F(x) 称该随机变量的分布函数。
例 4-2 ：某城市在不同河流上建有独立运行的两水泵站。 A 泵 站受到洪水淹没破坏的概率为 2%，B泵站破坏的概率为 5%，求 洪水期它们同时遭到破坏的概率有多大？
1 P( AB ) P( A) P( B ) 2% 5% 10000
六、累积频率与重现期
1. 累积频率 1）定义：一定范围内，水文特征值出现的总可能性即累积频率。 （累积频率可以预测多个水文特征值未来发生的概率。）
2、安全率：建筑物保持正常运转的可能性大小（即概率）称
为安全率，其值为1-P。
3、保证率：建筑物在n年内保持安全运转的可能性大小称之为 保证率，由概率的乘法定理，保证率为(1-P)n。 4、风险率：n年内安全运转遭到破坏的可能性的大小则称之为 风险率，为1-(1-P)n。 5、设计频率标准：国家根据工程的重要性和建筑物等级制定 的建筑物允许破坏率或要求的安全率。这一允许的破坏率或要
均系数表。后经雷布京等人的修正，成为专用水文计算表。
1961年中国科学院水文研究所又对此离均系数ФP计算表进行 修正扩展，加密点据，将ФP值补充到Cs=6.4。 x K p 1 pCv；xP KP x 理论累计频率曲线的坐标值：令 K
xP x(1 P Cv )
P与 xP一一对应。以x为纵坐标，P为横坐标，可绘出一条P~
第四章 水文统计的基本知识
实例 某地区位于甲、乙二河的汇合点，当任 某地区位于甲、乙二河的汇合点， 一河流泛滥时，该地区就会被淹没。 一河流泛滥时，该地区就会被淹没。设在某个 时期内，甲河泛滥的概率P =0.1； 时期内，甲河泛滥的概率P（A）=0.1；乙河泛 滥的概率P =0.2；又知当甲河泛滥时， 滥的概率P（B）=0.2；又知当甲河泛滥时， 乙河泛滥的概率P B/A）=0.3。 乙河泛滥的概率P（B/A）=0.3。求这个时期 内该地区被淹没的概率。又当乙河泛滥时， 内该地区被淹没的概率。又当乙河泛滥时，甲 河泛滥的概率是多少？ 河泛滥的概率是多少？ 事件相容且不独立， 解：因A、B事件相容且不独立，故该地区被淹 没的概率为： 没的概率为：
非互斥事件： 互斥事件： P（A+B）= P（A）+ P（B）-P（AB） A+B） P（ P（ AB） 2、概率乘法定理 对于两个独立事件， 对于两个独立事件，该两项事件同时 发生的概率等于这两个事件概率的乘积， 发生的概率等于这两个事件概率的乘积， AB）=P（ 即： P（AB）=P（A）·P（B） 不独立事件： AB） P（ B/A） 不独立事件： P（AB）= P（A）P（B/A） P（AB）= P（B）P（A/B） AB） P（ A/B） 式中，P（B/A）——事件B在事件A已发生 式中， B/A）——事件 在事件A 事件B 情况下的概率，简称为B的条件概率。 情况下的概率，简称为B的条件概率。
( )
( )
( )
( )
本节小结
一、事件的分类 二、概率、频率及二者的区别和联系 概率、 三、概率的加法定理和乘法定理
§4—3 随机变量及其概率分布
一、随机变量 1、定义：随试验结果而发生变化的量。 定义：随试验结果而发生变化的量。 总体：某种随机变量所取数值的全体。 总体：某种随机变量所取数值的全体。 样本： 样本：从总体中不带主观成分任意抽取的 一部分。 一部分。 样本容量：样本所包含的项数。 样本容量：样本所包含的项数。 水文现象中的随机变量， 水文现象中的随机变量，一般是指某 水文特征值，如某站的年降水量等。 种水文特征值，如某站的年降水量等。 它们的总体通常是无限的， 它们的总体通常是无限的，而样本则 是指有限期间的实测水文数列。 是指有限期间的实测水文数列。
第四章 水文统计的基本知识及方法
23/60
图5-11
可以证明，三参数与均值
x
、Cv、Cs有如下关系：
4 = Cs 2 2 = xCvCs 2Cv ) a 0 = x (1 Cs
经过以往大量的研究表明，我国多数河流的水文变量近似服 从P－III分布（参见SL44-93《水利水电工程设计洪水计算 规范》）。
其概率分布满足两个条件：0≤pi≤1，且 pi＝1
连续型的——用随机变量X大于某值xp的概率p表示， 即 F(X)＝P(X≤x)＝∫x-≦f(x)dx 或 F(X)＝P(X≥xp)＝p
密度函数：分布函数导数的负值，记为f(x)，即
f(x)＝-F’(x)＝-dF(x)/dx
9/60
如p.80 所示，则有 F(X)＝P(X≥x)＝∫xp≦f(x)dx
数并比较它们的离散程度。 答案2：EX1＝10，σ1＝4.08，Cv1=0.408和EX2＝1000， σ2＝4.08，Cv2＝0.00408
问1：甲地区年降雨量的均值为1200mm，均方差为1＝360mm；乙地区年降雨 量的均值为800mm，均方差为1＝320mm。试比较甲、乙两地区降水量的分散 程度。
18/60
问2：一条河流上、下游断面的年平均流量的Cv值哪个大？为什么？
偏态系数(偏差系数)—— Cs
n
Cs =
i =1
i
3 3
或
(x
Cs = i=1
x ) 3
n
n
nC 3v
偏差系数表示分布函数的对称程度。
Cs＝0时，分布函数对称，随机变量大于均值与小于均值出现机会相等；
Cs>0时，分布函数正偏，随机变量大于均值比小于均值出现的机会小； Cs<0时，分布函数负偏，随机变量大于均值比小于均值出现的机会大；
《工程水文学》四五章复习
第四章水文统计基本知识一、概述1.随机现象：是在一定条件下，可能出现也可能不出现的现象。
水文现象2.随机现象所遵循的规律称为统计规律，研究统计规律的学科称为概率论而由随机现象的一部分试验资料去研究全体现象的数量特征和规律的学科称为数理统计学。
3.水文统计：将概率论和数理统计引入水文学，研究水文现象的统计变化规律的学科，被称为水文统计。
二、概率的基本概念1.事件2.概率：随机事件A在试验结果中可能出现也可能不出现，但其出现可能性的大小的数量标准就是概率。
m出现随机事件的结果数n试验中所有可能出现结果数古典概型P(A)=m/n3.频率：水文事件不属古典概型事件。
设事件A在ｎ次试验中出现了ｍ次，则称为事件A的频率 P(A)=m/n，当n趋于无穷大时，P(A)稳定并趋于概率。
4.概率定理加法定理：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) ，当A、B互斥时P(AB)=0乘法定理：P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B) ，当A、B独立时，P(AB)=P(A)P(B)三、随机变量及其概率分布1.随机变量：表示随机试验结果的一个变量，一般用大写变量表示，如 X，Y，Z等。
水文统计研究的是水文随机变量。
离散型随机变量、连续型随机变量总体与样本总体：随机变量所有取值的全体，样本：从总体中随机抽取的一部分，样本容量：样本包括的项数，样本大小。
2.随机变量的概率分布随机变量的取值与其概率之间的对应关系，记为F(X)。
连续型随机变量的概率分布(区间概率)对于水文变量，研究大于等于某一取值x 的概率，即分布函数F(x)—概率分布曲线 即: F(X)=P(X>Xp)=p水文上通常称概率分布曲线为频率曲线 概率分布函数导数负值，称为概率密度函数3. 随机变量的统计参数：说明随机变量统计规律某些特征的数字，称为随机变量的统计参数。
例如平均降雨量、年平均流量等， （1）均值(数学期望值)均值为分布的中心，表示对象的平均情况，即总体水平的高低（2）均方差表示分布函数的绝对离散程度。
工程水文学第四章 水文统计基本方法 共63页
第二节 概率的基本概念 一、事件 指在一定条件组合下，随机试验的结果。 分为：必然事件、不可能事件、随机事件。 水文测验可看作随机试验。
二、概率 反映随机事件出现的可能性大小的数量标准：
三、频率
P( A) k n
对于水文现象，用频率作为概率的近似值：
w( A) m n
第三节 随机变量及其概率分布
Cs
i 1
(
n
3)C
3 v
二பைடு நூலகம்权函数法
马秀峰（1984）提出。
三、抽样误差 由随机抽样引起的误差，称为抽样误差。 以均值为例；抽样误差定义为：
xixix总(i1 ,2, ,k)
样本均值是随机变量,抽样误差也为随机变量。抽 样误差近似服从正态分布。
可以证明，xi(i1,2,,k) 系列的均方差 x
样本系列统计参数计算（P.40）
(xi-x)2 (xi-x)3
Ki
Ki-1
10000 1000000 1.5
0.5
0
0
1
0
225
-3375 0.925 -0.075
1225
-42875 0.825 -0.175
2500 -125000 0.75 -0.25
2790
165750
52.8
0.264102 1.12
用有限的样本观测资料估计总体分布线型中的参 数，如P—Ⅲ型的 x 、CV、CS 。
一、矩法 用样本矩估计总体矩，并通过矩与参数之间的关 系，来估计频率曲线的参数。
⒈ 均值x 无偏估计：
⒉ CV的无偏估计量：
n
(Ki 1)2
Cv
i 1
n 1
⒊ CS 的无偏估计量：
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对于总体 对于样本
重现期 2
5 10 20 50 100 200 1000 10000 CCvS==2C2Cs V
CCvS==2.25.C5CV s CCvS==3C3Cs V
CCvS==3.35.C5CV s CCvS==4C4Cs V
采样点
300
200
100
00.01 0.050.10.2 0.5 1 2
5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 95 98 9999.5 99.899.9 频率(%)
频率曲线（ P-Ⅲ 型曲线）
工程设计标准
设计洪水频率 （洪水重现期）
设计洪水水位 设计洪水流量
频率曲线
公式4-18~公式4-20
经验频率曲线 曲线选用（P- Ⅲ曲线）
理论频率曲线
QP (Cv 1)Q KP Q
统计参数（x，Cv，Cs）（P37~40）
适线方法
求矩适线法 三点适线法
问题启发
• 1、如何由工程设计标准（设计洪水频率或重 现期）推求设计洪水流量（设计洪水水位）？
2300~2101
1
2100~1901
2
1900~1701
3
…
…
700~501
1
合计
62
1.6
0.008
1
1.6
3.2
0.016
3
4.8
4.8
0.024
6
9.6
…
…
…
…
1.6
0.008
62
100
100
年降水量
年降水量
2）绘制频率直方图 3）绘制累积频率曲线
概率密度曲线
2300 2100 1900 1700 1500 1300 1100 900 700
99.99
水文特征值的选取：年最大值法
流量（m3/s） 180
潮白河流域下会站流量（m3/s）
160
140
120
100
80
60
40
20
0 1973年 1975年 1978年 1981年 1983年 1986年 1989年 1992年 1994年
水文现象的特性 一、随机性
水文现象是自然现象的一种，在其发生和演变过程 中，包含着必然性的一面，也包含着偶然性的一面。
随机变量
离散随机变量
连续随机变量
水文统计法就是将流量、水位、降雨量等实测水文资料作 为随机变量，通过统计分析和计算，推求水文现象（随机事 件）客观规律性的方法。
1、随机变量：随机试验取值随机的变量，分为离散型、连 续型随机变量。 2、概率P：随机变量出现某取值的可能性。 3、频率P：随机变量某取值在试验中出现的比率。
X（日） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P(%) 2 4 6 8 10 13 15 17 13 8 4 100
例4-2 1）计算频率密度及累积频率
年降水量组距 发生在组距中 区间频率
Dx(=200mm)
的次数Dm
Dp=Dm/n(%)
频率密度 累积次 累积频率 Dp/Dx(%) 数m P=m/n(%)
保持幽默感
要能处乱不惊
第四章 水文统计基础知识
本章重点：
1、理解随机变量及概率分布的概念，掌握常用概率分布曲线； 2、理解总体、样本与抽样误差的概念及统计参数的估计； 3、掌握现行频率计算的方法——适线法，理解频率计算中
几个特殊问题的处理； 4、掌握二元相关分析法。
本章学习思路：
表5.1~5.3 工程设计标准
• 2、设计洪水频率和重现期之间是什么关系？ • 3、理论频率曲线的形式是什么样的？ • 4、如何求理论频率曲线的三个参数？ • 5、求矩适线法中，如何选取水文资料？
经验频率曲线
理论频率曲线
QP (Cv 1)Q KP Q
10000 1000 200 100 50 20 10 5 800 700 600 500 400
2、均方差 和变差系数 Cv
均方差和变差系数都是反映随机变量系列对其均值离
散程度的参数。
x 系列中各随机变量
对其均值
i
的x差称为离差，用
Di 表示，Di xi。 x
n
n
方差是离差的平方和
D2 i
(x，i 可x)以2 用来表示系列总
的离散程度。
i 1
i 1
均方差 表达各随机变量对其均值的平均离散程度。
0
f(x)
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 频率密度
2500 2000 1500 1000 500
0 0
频率直方图
概率分布曲线
F(x)
20
40
60
80
累积频率
累积频率曲线
100
120
x
P(x xP ) F(xP )
f (x)dx
xP
>
P xP x
Ki
xi x
中值的大小能反映系列中间项和密度曲线的位置。
3）.众值 x
众值的大小能反映系列中最大几率项和密度曲线的位置。
4）.均值、中值、众值的位置关系
y
y
y
o xxx a)
x0
xxx
x0
b)
xxx x c)
a）正偏态； b）正态； 密度曲线图
c）负偏态
水文现象为不对称分布，年洪峰流量频率分布多为正偏。
F(x)=∫
∞
xp
f
(x)dx
(分布曲线)
f (x)
(密度曲线)
f (x)dx 1
P(%)
分布曲线与密度曲线的关系
三、随机变量的分布参数
一个随机变量系列的频率密度曲线和频率分布曲线的形状 和方程，都可以用几个数值特征值来反映，这些数值特征值 称为统计参数（特征参数，分布参数） 。
水文计算中常用的统计参数有均值 、x变差系数 和Cv
偏态系数 。Cs
1.位置特征参数
1）.均值 x
x
x1 x2 xn n
1 n
n
xi
i 1
均值反映了系列在数值上的大小（系列总体水平的高低），
可以作为系列之间数值大小（水平高低）的比较标准。
系列中各个变量与均值的比值，称为模比系数（或变率），
以K 表示。对任一变量 x，则有：
2）.中值 x
必然现象是在一定条件下，必然出现或不出现的现 象。偶然现象是在一定条件下，可能出现也可能不出现 的现象，也称随机现象。
二、确定性规律 1、周期性：年周期，多年周期。 2、地区性：气候及下垫面相似地区的水文现象规律 相似。 3、相关性：水文现象之间存在一定的因果关系。
第一节 随机变量及其概率分布
一、随机变量 随机变量系列：x1, x2,…, xn
P(A) m n
掷币试验出现正面的频率表
试验者 蒲丰
皮尔逊 皮尔逊
掷币次数 ４０４０ １２０００ ２４０００
出现正面次数 ２０４０ ６０１８
１２０１４
频率 ０.５０８０ ０.５０１６ ０.５００６
在试验次数足够大的情况下，事件的频率和概 率是十分接近的。
二、随机变量的概率分布
概率分布
例 4-1