第四章 水文统计基础知识
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必然现象是在一定条件下，必然出现或不出现的现 象。偶然现象是在一定条件下，可能出现也可能不出现 的现象，也称随机现象。
二、确定性规律 1、周期性：年周期，多年周期。 2、地区性：气候及下垫面相似地区的水文现象规律 相似。 3、相关性：水文现象之间存在一定的因果关系。
第一节 随机变量及其概率分布
一、随机变量 随机变量系列：x1, x2,…, xn
保持幽默感
要能处乱不惊
第四章 水文统计基础知识
本章重点：
1、理解随机变量及概率分布的概念，掌握常用概率分布曲线； 2、理解总体、样本与抽样误差的概念及统计参数的估计； 3、掌握现行频率计算的方法——适线法，理解频率计算中
几个特殊问题的处理； 4、掌握二元相关分析法。
本章学习思路：
表5.1~5.3 工程设计标准
偏态系数 。Cs
1.位置特征参数
1）.均值 x
x
x1 x2 xn n
1 n
n
xi
i 1
均值反映了系列在数值上的大小（系列总体水平的高低），
可以作为系列之间数值大小（水平高低）的比较标准。
系列中各个变量与均值的比值，称为模比系数（或变率），
以K 表示。对任一变量 x，则有：
2）.中值 x
Ki
xi x
中值的大小能反映系列中间项和密度曲线的位置。
3）.众值 x
众值的大小能反映系列中最大几率项和密度曲线的位置。
4）.均值、中值、众值的位置关系
y
y
y
o xxx a)
Βιβλιοθήκη Baidux0
xxx
x0
b)
xxx x c)
a）正偏态； b）正态； 密度曲线图
c）负偏态
水文现象为不对称分布，年洪峰流量频率分布多为正偏。
F(x)=∫
∞
xp
f
(x)dx
(分布曲线)
f (x)
(密度曲线)
f (x)dx 1
P(%)
分布曲线与密度曲线的关系
三、随机变量的分布参数
一个随机变量系列的频率密度曲线和频率分布曲线的形状 和方程，都可以用几个数值特征值来反映，这些数值特征值 称为统计参数（特征参数，分布参数） 。
水文计算中常用的统计参数有均值 、x变差系数 和Cv
2、均方差 和变差系数 Cv
均方差和变差系数都是反映随机变量系列对其均值离
散程度的参数。
x 系列中各随机变量
对其均值
i
的x差称为离差，用
Di 表示，Di xi。 x
n
n
方差是离差的平方和
D2 i
(x，i 可x)以2 用来表示系列总
的离散程度。
i 1
i 1
均方差 表达各随机变量对其均值的平均离散程度。
0
f(x)
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 频率密度
2500 2000 1500 1000 500
0 0
频率直方图
概率分布曲线
F(x)
20
40
60
80
累积频率
累积频率曲线
100
120
x
P(x xP ) F(xP )
f (x)dx
xP
>
P xP x
P(A) m n
掷币试验出现正面的频率表
试验者 蒲丰
皮尔逊 皮尔逊
掷币次数 ４０４０ １２０００ ２４０００
出现正面次数 ２０４０ ６０１８
１２０１４
频率 ０.５０８０ ０.５０１６ ０.５００６
在试验次数足够大的情况下，事件的频率和概 率是十分接近的。
二、随机变量的概率分布
概率分布
例 4-1
重现期 2
5 10 20 50 100 200 1000 10000 CCvS==2C2Cs V
CCvS==2.25.C5CV s CCvS==3C3Cs V
CCvS==3.35.C5CV s CCvS==4C4Cs V
采样点
300
200
100
00.01 0.050.10.2 0.5 1 2
5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 95 98 9999.5 99.899.9 频率(%)
随机变量
离散随机变量
连续随机变量
水文统计法就是将流量、水位、降雨量等实测水文资料作 为随机变量，通过统计分析和计算，推求水文现象（随机事 件）客观规律性的方法。
1、随机变量：随机试验取值随机的变量，分为离散型、连 续型随机变量。 2、概率P：随机变量出现某取值的可能性。 3、频率P：随机变量某取值在试验中出现的比率。
对于总体 对于样本
99.99
水文特征值的选取：年最大值法
流量（m3/s） 180
潮白河流域下会站流量（m3/s）
160
140
120
100
80
60
40
20
0 1973年 1975年 1978年 1981年 1983年 1986年 1989年 1992年 1994年
水文现象的特性 一、随机性
水文现象是自然现象的一种，在其发生和演变过程 中，包含着必然性的一面，也包含着偶然性的一面。
X（日） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P(%) 2 4 6 8 10 13 15 17 13 8 4 100
例4-2 1）计算频率密度及累积频率
年降水量组距 发生在组距中 区间频率
Dx(=200mm)
的次数Dm
Dp=Dm/n(%)
频率密度 累积次 累积频率 Dp/Dx(%) 数m P=m/n(%)
• 2、设计洪水频率和重现期之间是什么关系？ • 3、理论频率曲线的形式是什么样的？ • 4、如何求理论频率曲线的三个参数？ • 5、求矩适线法中，如何选取水文资料？
经验频率曲线
理论频率曲线
QP (Cv 1)Q KP Q
10000 1000 200 100 50 20 10 5 800 700 600 500 400
2300~2101
1
2100~1901
2
1900~1701
3
…
…
700~501
1
合计
62
1.6
0.008
1
1.6
3.2
0.016
3
4.8
4.8
0.024
6
9.6
…
…
…
…
1.6
0.008
62
100
100
年降水量
年降水量
2）绘制频率直方图 3）绘制累积频率曲线
概率密度曲线
2300 2100 1900 1700 1500 1300 1100 900 700
频率曲线（ P-Ⅲ 型曲线）
工程设计标准
设计洪水频率 （洪水重现期）
设计洪水水位 设计洪水流量
频率曲线
公式4-18~公式4-20
经验频率曲线 曲线选用（P- Ⅲ曲线）
理论频率曲线
QP (Cv 1)Q KP Q
统计参数（x，Cv，Cs）（P37~40）
适线方法
求矩适线法 三点适线法
问题启发
• 1、如何由工程设计标准（设计洪水频率或重 现期）推求设计洪水流量（设计洪水水位）？
二、确定性规律 1、周期性：年周期，多年周期。 2、地区性：气候及下垫面相似地区的水文现象规律 相似。 3、相关性：水文现象之间存在一定的因果关系。
第一节 随机变量及其概率分布
一、随机变量 随机变量系列：x1, x2,…, xn
保持幽默感
要能处乱不惊
第四章 水文统计基础知识
本章重点：
1、理解随机变量及概率分布的概念，掌握常用概率分布曲线； 2、理解总体、样本与抽样误差的概念及统计参数的估计； 3、掌握现行频率计算的方法——适线法，理解频率计算中
几个特殊问题的处理； 4、掌握二元相关分析法。
本章学习思路：
表5.1~5.3 工程设计标准
偏态系数 。Cs
1.位置特征参数
1）.均值 x
x
x1 x2 xn n
1 n
n
xi
i 1
均值反映了系列在数值上的大小（系列总体水平的高低），
可以作为系列之间数值大小（水平高低）的比较标准。
系列中各个变量与均值的比值，称为模比系数（或变率），
以K 表示。对任一变量 x，则有：
2）.中值 x
Ki
xi x
中值的大小能反映系列中间项和密度曲线的位置。
3）.众值 x
众值的大小能反映系列中最大几率项和密度曲线的位置。
4）.均值、中值、众值的位置关系
y
y
y
o xxx a)
Βιβλιοθήκη Baidux0
xxx
x0
b)
xxx x c)
a）正偏态； b）正态； 密度曲线图
c）负偏态
水文现象为不对称分布，年洪峰流量频率分布多为正偏。
F(x)=∫
∞
xp
f
(x)dx
(分布曲线)
f (x)
(密度曲线)
f (x)dx 1
P(%)
分布曲线与密度曲线的关系
三、随机变量的分布参数
一个随机变量系列的频率密度曲线和频率分布曲线的形状 和方程，都可以用几个数值特征值来反映，这些数值特征值 称为统计参数（特征参数，分布参数） 。
水文计算中常用的统计参数有均值 、x变差系数 和Cv
2、均方差 和变差系数 Cv
均方差和变差系数都是反映随机变量系列对其均值离
散程度的参数。
x 系列中各随机变量
对其均值
i
的x差称为离差，用
Di 表示，Di xi。 x
n
n
方差是离差的平方和
D2 i
(x，i 可x)以2 用来表示系列总
的离散程度。
i 1
i 1
均方差 表达各随机变量对其均值的平均离散程度。
0
f(x)
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 频率密度
2500 2000 1500 1000 500
0 0
频率直方图
概率分布曲线
F(x)
20
40
60
80
累积频率
累积频率曲线
100
120
x
P(x xP ) F(xP )
f (x)dx
xP
>
P xP x
P(A) m n
掷币试验出现正面的频率表
试验者 蒲丰
皮尔逊 皮尔逊
掷币次数 ４０４０ １２０００ ２４０００
出现正面次数 ２０４０ ６０１８
１２０１４
频率 ０.５０８０ ０.５０１６ ０.５００６
在试验次数足够大的情况下，事件的频率和概 率是十分接近的。
二、随机变量的概率分布
概率分布
例 4-1
重现期 2
5 10 20 50 100 200 1000 10000 CCvS==2C2Cs V
CCvS==2.25.C5CV s CCvS==3C3Cs V
CCvS==3.35.C5CV s CCvS==4C4Cs V
采样点
300
200
100
00.01 0.050.10.2 0.5 1 2
5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 95 98 9999.5 99.899.9 频率(%)
随机变量
离散随机变量
连续随机变量
水文统计法就是将流量、水位、降雨量等实测水文资料作 为随机变量，通过统计分析和计算，推求水文现象（随机事 件）客观规律性的方法。
1、随机变量：随机试验取值随机的变量，分为离散型、连 续型随机变量。 2、概率P：随机变量出现某取值的可能性。 3、频率P：随机变量某取值在试验中出现的比率。
对于总体 对于样本
99.99
水文特征值的选取：年最大值法
流量（m3/s） 180
潮白河流域下会站流量（m3/s）
160
140
120
100
80
60
40
20
0 1973年 1975年 1978年 1981年 1983年 1986年 1989年 1992年 1994年
水文现象的特性 一、随机性
水文现象是自然现象的一种，在其发生和演变过程 中，包含着必然性的一面，也包含着偶然性的一面。
X（日） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P(%) 2 4 6 8 10 13 15 17 13 8 4 100
例4-2 1）计算频率密度及累积频率
年降水量组距 发生在组距中 区间频率
Dx(=200mm)
的次数Dm
Dp=Dm/n(%)
频率密度 累积次 累积频率 Dp/Dx(%) 数m P=m/n(%)
• 2、设计洪水频率和重现期之间是什么关系？ • 3、理论频率曲线的形式是什么样的？ • 4、如何求理论频率曲线的三个参数？ • 5、求矩适线法中，如何选取水文资料？
经验频率曲线
理论频率曲线
QP (Cv 1)Q KP Q
10000 1000 200 100 50 20 10 5 800 700 600 500 400
2300~2101
1
2100~1901
2
1900~1701
3
…
…
700~501
1
合计
62
1.6
0.008
1
1.6
3.2
0.016
3
4.8
4.8
0.024
6
9.6
…
…
…
…
1.6
0.008
62
100
100
年降水量
年降水量
2）绘制频率直方图 3）绘制累积频率曲线
概率密度曲线
2300 2100 1900 1700 1500 1300 1100 900 700
频率曲线（ P-Ⅲ 型曲线）
工程设计标准
设计洪水频率 （洪水重现期）
设计洪水水位 设计洪水流量
频率曲线
公式4-18~公式4-20
经验频率曲线 曲线选用（P- Ⅲ曲线）
理论频率曲线
QP (Cv 1)Q KP Q
统计参数（x，Cv，Cs）（P37~40）
适线方法
求矩适线法 三点适线法
问题启发
• 1、如何由工程设计标准（设计洪水频率或重 现期）推求设计洪水流量（设计洪水水位）？