概率积分法

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Hale Waihona Puke Baidu
显然，上两式相等，移项后得：
1 df ( x 2 ) 1 df ( y 2 ) 2 2 2 f ( x ) dx f ( y ) dy 2
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一 、基本原理——(二)单元下沉
方程左边是 x的函数，右边是 y的函数；等式成立的 条件是左右两边均与x、y无关，令其等于K：
1 df ( x 2 ) 1 df ( y 2 ) 2 2 2 f ( x ) dx f ( y ) dy 2
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一 、基本原理
（二）单元下沉
首先认识一下几个概念： 单元开采：开采厚度和宽度均无穷小的开采被称为单元开采
单元盆地：单元开采形成的下沉盆地被称为单元盆地。
单元下沉：单元盆地中的下沉被称为单元下沉。 单元水平移动：单元盆地中的水平移动被称为单元水平移动
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一 、基本原理
（二）单元下沉
df ( x 2 ) f ( x 2 y 2 ) ( x 2 y 2 ) f ( x 2 y 2 ) f (y ) C C 2 2 2 2 dx ( x y ) ( x ) ( x 2 y 2 )
2
df ( y 2 ) f ( x 2 y 2 ) ( x 2 y 2 ) f ( x 2 y 2 ) f (x ) C C 2 2 2 2 dy ( x y ) ( y ) ( x 2 y 2 )
几个概念： 平面问题——指某一方面开采是无限的（y方向，一般指充分 采动），该方向不考虑，研究另一方向的移动。
由假设4：采空区上方破碎和变形的岩体经过长时间 的压实后，在某个高度上形成的最终的下沉盆地 的体积应等于采出体积。即：
Ve We dx


p 2 h2 x 2 e dx 1 h
p2 1 h h
p h /
2 2
We
h
r

h

e
h 2 x 2
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概率积分法
主讲：蔡来良
Tel：18739109523 Email：cailailiang@126.com
河南理工大学 测绘与国土信息工程学院
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经过我国开采沉陷工作者 20 多年的研究，概率积分法 预计已成为我国较成熟的、应用最为广泛的预计方法之一。 概率积分法是因其所用的移动和变形预计公式中含有概率 积分（或其导数）而得名。由于这种方法的基础是随机介 质理论，所以又叫随机介质理论法。 随机介质理论首先由波兰学者李特威尼申于 50 年代引 入岩层移动研究，后由我国学者刘宝琛、廖国华等发展成 为概率积分法。
在理论模型中，假设介质颗粒为一 些大小相同、质量均一的小球，并被装在 大小相同的均匀排列的方格内。若下方一 个方格中的小球被移走后，由于重力作用 ，上层的两个相邻方格中的小球滚入这个 方格的概率应均是 1/2 。由此向上类推， 就可以得到图（ b）下方的颗粒移动概率 分布图。选取如图所示的坐标系，则介质 内任意一个 水平的概率分布可以绘成图 （ b ）上方的概率分布直方图（虚线）。 若格子和颗粒无限小，则该直方图趋近于 一条光滑的曲线
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一 、基本原理
（一）研究背景和基础——颗粒体介质的理论模型 基于以上几点假定，李特维尼申应用非连续介质力学 中的颗粒体介质力学来研究岩层及地表移动问题，认为开 采引起的岩层和地表移动的规律与作为随机介质的颗粒体 介质模型所描述的规律在宏观上相似。
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颗粒体介质的理论模型
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一 、基本原理——(二)单元水平移动
所以：
We ( x, z ) U e ( x, z ) dx C ( z ) ，z为积分常数； z
x drz rz2 2 e C ( z) rz dz
又因为：
2 We ( x, z ) 2x rz 3 e x rz x2
x2
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一 、基本原理——(二)单元水平移动
所以：
rz drz We ( x, z ) U e ( x, z ) C ( z) 2 dz x
令：
rz drz B( z ) 2 dz
则上式可写成：
We ( x, z ) U e ( x, z ) B ( z ) C ( z) x
f ( x ) pe
2 Kx 2
同理：
f ( x ) pe 2 2 hy f ( y ) pe
2
hx2
单元开采引起A(x,y,z) 点附近某一微小面下沉的概率 为： 2 h( x2 y 2 ) P(dx) p e dxdy
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一 、基本原理——(二)单元下沉
U e ( x, z ) x x
，
We ( x, z ) z z
代入上式得：
U e ( x, z ) We ( x, z ) x z
而
2 rz2 We ( x, z ) 1 drz 2x 2 1 e 2 z rz dz rz x2
P(dx) f ( x )dx
2
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一 、基本原理——(二)单元下沉
由于假设岩层水平各向同性，可以认为，单元 开采在 z水平上引起某处一微小岩石的下沉的概率 ，只与该段岩石到开采中心的距离有关，而与方 向无关。即在通过原点的任何纵剖面上， z水平岩 石下沉沿水平轴向的密度函数形式上是一致的， 不随剖面方向变化。
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一 、基本原理——(二)单元水平移动
考虑边界条件：由于模型和单元开采的对称性，岩体内 z轴 上的各点均不产生x方向的水平移动。即Ue(0,z)=0，则可解得： C(z)=0 We ( x, z ) U e ( x, z ) B ( z ) 则得到： 对地表来说：z=H，令B＝B(z)＝br，则：
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一 、基本原理
（一）研究背景和基础——概率积分法几种假设 （1）假定岩体是各项同性，均质的，不连续介质， 即开采引起的地表移动与方向无关，该假定也可 被称为等影响原理。
（2）承认线性叠加原理。
（3）弯曲带内岩体只产生形变而不发生体积变化。 （4）当时间趋于无穷久时，移动稳定后的地表下沉 体积等于采出体积。
由此可见，单元开采影响下，z水平上岩石下沉的概 率分布密度为：
f ( x, y, z ) p e
2 h( x2 y 2 )
下面在此基础上来研究平面问题。即研究开采 断面为 1×1 单元而长度无限的条形体所引起的岩 石或地表的下沉。
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一 、基本原理——(二)单元下沉
取坐标系如右图所示，设开采沿y轴方向为无限远， 取一小段 d ,则体积为1×1×d 的微小分段开采 引起岩石在 点附近的微面dxdy的下沉概率为：
e x y z 0
e x z 0
二维：
（2-10）
U e ( x, z ) x x
We ( x, z ) z z
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一 、基本原理——(二)单元水平移动
式中，Ue(x,z)为岩体内 (x,z)点受单元开采影响产生的水平移 动，简称单元水平移动。负号是因为We轴与z轴的指向相反。 把
df ( x 2 ) 2 Kf ( x ) 2 dx
将x2看成是自变量，解此微分方程，得：
f ( x ) pe
2
Kx 2
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一 、基本原理——(二)单元下沉
式中p为积分常数。显然，远离采区的岩石下沉的概 率小；因此从物理意义上来说，K必为负值，另其 等于(-h) ，带入上式得：
2 2
2
2
f ( x 2 ) f ( y 2 ) f ( x 2 y 2 ) f (0) Cf ( x 2 y 2 )
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一 、基本原理——(二)单元下沉
C 为与 x 和 y 无关的参数，这个函数方程，可先微分 再积分而解出。分别对x2、y2求偏微分：
f ( x 2 ) f ( y 2 ) f ( x 2 y 2 ) f (0) Cf ( x 2 y 2 )
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一 、基本原理——(二)单元下沉
单元体采出后，使A(x,y,z)点附近某一小块面积 ds 发生下沉的事件，等于在 xoz 剖面上 x 处的一小 段岩石dx有下沉发生和在yoz剖面上y处的一小段岩 石dy有下沉发生两事件同时发生。因此发生ds下沉 事件的概率为此二事件发生概率之积:
P(ds) f ( x )dxf ( y )dy f ( x ) f ( y )ds
2
2
2
2
P (ds ) P (ds1 )
f ( x ) f ( y ) f ( x1 ) f ( y1 )
2 2 2 2
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一 、基本原理——(二)单元下沉
如果使新坐标系的ox1 经过A点，则：
x1 x y ; y1 0
2 2
2
f ( x ) f ( y ) f ( x1 ) f ( y1 )
2 2 2 2
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一 、基本原理——(二)单元下沉
若过原点取另一组直角坐标系 (x1oy1) ，则在新坐标 系中，使 ds1微小面积发生下沉的概率应为：
P(ds1 ) f ( x1 )dxf ( y1 )dy f ( x1 ) f ( y1 )ds1
如果微面的面积和位置相同，则应有： 故：
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一 、基本原理
（一）研究背景和基础
在开采沉陷理论研究中，常用两种完全不同的介质模 型来模拟岩体：即连续介质模型和非连续介质模型。连续 介质模型认为：在移动过程中，介质式中保持其连续性， 介质单元之间的联系保持不变；非连续介质模型认为：在 移动过程中，介质的连续性受到破坏，介质单元之间原有 的联系关系发生变化，单元互相分离并发生相对运动。由 于岩体存在一系列原生的和开采引起的次生裂隙面和其它 非连续面，所以用非连续介质模型研究开采沉陷问题是适 当的。概率积分法为非连续介质理论。
H
o
x
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一 、基本原理——(二)单元下沉
由此可见，在平面问题中，岩石下沉的概率密度函 数只与 x、 z有关，而与 y坐标无关。则平面问题中 单元开采引起的岩石单元下沉盆地表达式为：
p 2 h2 x 2 We e h
式中，p和h为待定参量。
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一 、基本原理——(二)单元下沉
1 x 2 / r 2 We e r
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一 、基本原理——(二)单元下沉
单元下沉的表达式
1 x 2 / r 2 We e r
r称为主要影响半径。
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一 、基本原理——(二)单元水平移动
基本假设：在单元开采影响下，岩体产生的移动和变形 很小，并且是连续分布的；岩体变形后的总体积保持不变。 根据弹性力学和上述假设，有： （2-9） 三维：
x
dWe ( x) U e ( x) B ＝B i( x)＝br i( x) dx x2
对X求导后：
2Bx r 2 Ue( x) 3 e r
即地表单元水平移动表达式。 b ，预计参数，称为水 平移动系数。
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河南理工大学 二、半无限开采时地表移动盆地走向主断面的移动 和变形的预计
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一 、基本原理
（二）单元下沉 设有如右图所示 的岩层剖面和坐标系 统，坐标原点通过开 采中心，在Z水平上位 于处的某段岩石 dx 的 下沉是随机的。岩石 各段下沉的概率分布 密度应当是坐标x的连 续函数。
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一 、基本原理——(二)单元下沉
由假设1：各岩层的岩石在水平方向是均质的，即水 平各向同性，则开采中心线两侧岩石法向下沉的 概率关于此轴对称。因此可用 f(x2) 来表示这个对 称的概率密度函数，则在该剖面上位于 x处一段 dx 的岩石发生下沉的概率为
P(ds )d p e
2 h 2 [ x 2 ( y ) 2 ]
dxdyd p e
2
h2 x 2
dxdy e


h 2 2
d
U(x) o W(x) z y
dφ
p 2 h2 x 2 e dxdy h
x
相应的概率密度函数为：
p 2 h2 x2 f ( x, z ) e h