概率积分

概率积分法

李磊

（中国矿业大学环境与测绘学院，江苏徐州221116）

摘要：概率积分法的得名是因为其所用的地表移动和变形预计公式中含有概率积分函数，这种方法最先由波兰学者李特威尼申（J.Litwiniszyn）于二十世纪五十年代引入岩层移动的研究，后由我国学者刘宝琛、廖国华等发展为概率积分法。该方法在我国应用最为广泛，也受到了很多学者的研究，并提出了一系列修正模型以适应我国的地质采矿条件。下面简要介绍概率积分法的基本原理以及其在开采沉陷预测方面的应用。

关键词：开采沉陷；概率积分法

Probability integral method

LI Lei

( School of Environment and Survey and Mapping, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221116, China)

Abstract: the probability integral method is named because it is contained in the equation of surface movement and deformation are expected probability integral function, this method first by polish scholar (J.L itwiniszyn), to the research of strata movement in the 1950s, by Chinese scholars Bao-chen Liu, Liao Guohua after development for probability integral method. This method is the most widely applied in our country, have also been many scholars research, and put forward a series of correction model to adapt to the geological and mining conditions of our country. Following a brief introduction to the basic principle of probability integral method and its application in mining subsidence prediction.

Key words: mining subsidence；probability integral method

1基本原理及公式推导

1．1随机介质理论

概率积分法的理论基础是基于非连续的随机介质理论，所以又叫随机介质理论法。在开采沉陷的理论研究中，常用两种完全不同的介质模型模拟岩体，即连续介质模型和非连续介质模型。由于岩体中存在大量原生的和在开采过程引起的裂隙面和其他非连续面，同时在充分采动或超充分采动情况下，岩层移动规律宏观上近似于颗粒体模型中颗粒的移动，所以用非连续随机介质模型研究开采沉陷问题是比较恰当的。概率积分法则是非连续随机介质的代表。为简化岩层模型，方便理论分析与计算，随机介质理论存在四个基本假设：假设1：假设岩体是各向同性（岩体的物理、化学性质不会因为方向的不同而不同）、均质的、不连续介质，即开采引起的地表移动与变形与方向无关，也叫等影响原理。

假设2：线性叠加原理。（小开采单元的影响累加）

假设3：弯曲带内岩体只有形变，不发生体积的变化。

假设4：当开采结束，时间趋向于无穷时，地表的下沉体积等于采出矿物体积。

基于以上基本假设，我们可以认为开采引起的岩层和地表的移动规律与作为随机介质的颗粒体介质模型所描述的规律在宏观上相似。图1-1为我们建立的理论模型。

图1-1 颗粒体随机介质模型 (a)颗粒体模型 (b)各单元移动概率

颗粒体模型模拟实际岩层，假设a1小球代表可采矿物，当a1小球被拿出（采出）后，上部的小球会由于重力的作用向下填充满下面的空格。由于假设各小球的大小、质量相等，故他们的下沉完全随机，上图1-1给出了在第一层小球拿出的情况下各个单元下沉的概率。当各个单元的尺寸非常小时，在任意z水平的概率曲线近似为正态分布曲线，即如上图1-1所示。

图1-2 随机介质的随机游动模型

为了进一步研究任意水平的概率曲线，取随机介质模型中任意三个相邻的格子A、B和C。建立上述随机游动模型。从a1格抽出小球（采出矿物）后，上述三格的移动概率满足以下等式：

()11,,,2222a a P x z b P x z P x z ⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

假设小格子的尺寸非常小，a 、b 相对于x 、z 可以认为是无穷小量，则上式中含

有概率P 的项可在点(x ，z)附近用Taylor 级数展开，并根据精度的需要取前2或3项，经过整理可得下式：

()()222,,8P x z P x z a z b x

∂∂=∂∂ 式中，(),P x z 表示中心坐标为(),x z 的假想格子出现空位的概率。(),P x z 在岩层内的分布是不连续的。但是在格子尺寸特别小的时候，即a, b 的值趋向与无穷小时，(),P x z 可以近似地看成连续函数。因此，在a ,b 值趋向于0时对上两边取极限，可得

()()22200,,lim 8a b P x z P x z a z b x →→∂∂=⋅∂∂，令200

lim 8a b a A b →→=，则上式可简化为： ()()22,,P x z P x z A z x

∂∂=∂∂ 式中A 为常数，反映格子的尺寸大小。上式为二阶偏微分方程，其解(),P x z 为一个连续函数，表示点(),x z 附近的无穷小格子出现空位的概率，求解微分方程得到下式：

(

)()()4,x Az P x z e

d ζδζζ-+∞-=⎰

令z r =()2

21,z x r z P x z e r π-=

此时(),P x z 在数值上等于单元开采引起(),x z 点的下沉值(),e W x z ：

()()2

21,,z x r e z W x z e P x z r π-==