概率积分

概率积分法
李磊
（中国矿业大学环境与测绘学院，江苏徐州221116）
摘要：概率积分法的得名是因为其所用的地表移动和变形预计公式中含有概率积分函数，这种方法最先由波兰学者李特威尼申（J.Litwiniszyn）于二十世纪五十年代引入岩层移动的研究，后由我国学者刘宝琛、廖国华等发展为概率积分法。

该方法在我国应用最为广泛，也受到了很多学者的研究，并提出了一系列修正模型以适应我国的地质采矿条件。

下面简要介绍概率积分法的基本原理以及其在开采沉陷预测方面的应用。

关键词：开采沉陷；概率积分法
Probability integral method
LI Lei
( School of Environment and Survey and Mapping, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221116, China)
Abstract: the probability integral method is named because it is contained in the equation of surface movement and deformation are expected probability integral function, this method first by polish scholar (J.L itwiniszyn), to the research of strata movement in the 1950s, by Chinese scholars Bao-chen Liu, Liao Guohua after development for probability integral method. This method is the most widely applied in our country, have also been many scholars research, and put forward a series of correction model to adapt to the geological and mining conditions of our country. Following a brief introduction to the basic principle of probability integral method and its application in mining subsidence prediction.
Key words: mining subsidence；probability integral method
1基本原理及公式推导
1．1随机介质理论
概率积分法的理论基础是基于非连续的随机介质理论，所以又叫随机介质理论法。

在开采沉陷的理论研究中，常用两种完全不同的介质模型模拟岩体，即连续介质模型和非连续介质模型。

由于岩体中存在大量原生的和在开采过程引起的裂隙面和其他非连续面，同时在充分采动或超充分采动情况下，岩层移动规律宏观上近似于颗粒体模型中颗粒的移动，所以用非连续随机介质模型研究开采沉陷问题是比较恰当的。

概率积分法则是非连续随机介质的代表。

为简化岩层模型，方便理论分析与计算，随机介质理论存在四个基本假设：假设1：假设岩体是各向同性（岩体的物理、化学性质不会因为方向的不同而不同）、均质的、不连续介质，即开采引起的地表移动与变形与方向无关，也叫等影响原理。

假设2：线性叠加原理。

（小开采单元的影响累加）
假设3：弯曲带内岩体只有形变，不发生体积的变化。

假设4：当开采结束，时间趋向于无穷时，地表的下沉体积等于采出矿物体积。

基于以上基本假设，我们可以认为开采引起的岩层和地表的移动规律与作为随机介质的颗粒体介质模型所描述的规律在宏观上相似。

图1-1为我们建立的理论模型。

图1-1 颗粒体随机介质模型 (a)颗粒体模型 (b)各单元移动概率
颗粒体模型模拟实际岩层，假设a1小球代表可采矿物，当a1小球被拿出（采出）后，上部的小球会由于重力的作用向下填充满下面的空格。

由于假设各小球的大小、质量相等，故他们的下沉完全随机，上图1-1给出了在第一层小球拿出的情况下各个单元下沉的概率。

当各个单元的尺寸非常小时，在任意z水平的概率曲线近似为正态分布曲线，即如上图1-1所示。

图1-2 随机介质的随机游动模型
为了进一步研究任意水平的概率曲线，取随机介质模型中任意三个相邻的格子A、B和C。

建立上述随机游动模型。

从a1格抽出小球（采出矿物）后，上述三格的移动概率满足以下等式：
()11,,,2222a a P x z b P x z P x z ⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
假设小格子的尺寸非常小，a 、b 相对于x 、z 可以认为是无穷小量，则上式中含
有概率P 的项可在点(x ，z)附近用Taylor 级数展开，并根据精度的需要取前2或3项，经过整理可得下式：
()()222,,8P x z P x z a z b x
∂∂=∂∂ 式中，(),P x z 表示中心坐标为(),x z 的假想格子出现空位的概率。

(),P x z 在岩层内的分布是不连续的。

但是在格子尺寸特别小的时候，即a, b 的值趋向与无穷小时，(),P x z 可以近似地看成连续函数。

因此，在a ,b 值趋向于0时对上两边取极限，可得
()()22200,,lim 8a b P x z P x z a z b x →→∂∂=⋅∂∂，令200
lim 8a b a A b →→=，则上式可简化为： ()()22,,P x z P x z A z x
∂∂=∂∂ 式中A 为常数，反映格子的尺寸大小。

上式为二阶偏微分方程，其解(),P x z 为一个连续函数，表示点(),x z 附近的无穷小格子出现空位的概率，求解微分方程得到下式：
(
)()()4,x Az P x z e
d ζδζζ-+∞-=⎰
令z r =()2
21,z x r z P x z e r π-=
此时(),P x z 在数值上等于单元开采引起(),x z 点的下沉值(),e W x z ：
()()2
21,,z x r e z W x z e P x z r π-==
1.2单元水平移动的确定
根据弹性力学的知识以及上述单元下沉的推导，可以得到单元开采引起的水平移动曲线，
见下式：()
2
2
3
2x
r
e Bx
U x e
r π
π-
=-
绘出随机介质理论模型的地表单元下沉盆地及单元水平移动曲线图，如图1-3所示。

图1-3地表单元下沉盆地与水平移动曲线图
1—地表单元下沉盆地；2—地表单元水平移动曲线；
3—开采单元；4—地表
2半无限开采时地标移动盆地走向主断面的移动变形预计
设在煤层倾斜方向上达到充分采动，煤层厚度为m，采深为H。

煤壁正上方地表点O 作为横轴的原点，x轴正向指向采空区中心，纵坐标W（x）为横坐标为x的地表点的下沉值，W（x）轴竖直向下。

纵坐标U（x）为横坐标为x的地表点的水平移动值，U（x）轴竖直向上。

见下图：
1- 采前顶板位置；2开采单元；W 0 -下沉值；3-采后顶板位置
图2-1半无限开采时地表的下沉和水平移动
假定煤层坐标系下坐标原点的左侧煤层全部未开采，而坐标原点右侧的煤层全部开采，这种情况我们叫做半无限开采。

以下是这种开采方式的地标移动的预计公式。

若开采单元的横坐标为s ，地表点任意点的坐标为x ，则此开采单元的引起的下沉值为：
22
)(1)(r s x e e r s x w --=-π
则整个半无限开采的单位厚度开采引起地表点下沉为：
⎰∞--=0)(221)(ds e r x W r s x π
若考虑开采厚度m ，开采引起顶板岩石垮落、碎胀，充填采空区，此时采空区顶板下沉量为m ×q ,其中q 为概率积分法中的一个参数，称为下沉系数，其值一般小于1。

在开采倾斜煤层的时候，地表的下沉量为W 0=mq cos α，其中α为煤层倾角。

对于横坐标为x 的地表任意点，其下沉值为：⎰∞
--=0)(0221)(ds e r w x W r s x π，应用概率积分函数上式可以化为下面的形式：⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+=1)(2)(0
x r erf w x W π，上式即为半无限开采地表下沉剖面方程，当x 的值为趋近于无穷时，地面下沉值最大，其值为W 0，当x=0时，即当半无限开采是煤壁正上方的下沉值为最大下沉值的一半。

由上式我们求一次导数和二次导数，这样我们就可以得到沿煤层走向的地表倾斜（i ）和地表曲率（k ）：
倾斜 i (x )=dw(x)dx =w 0r
e −πx 2r 2 曲率 k (x )=di(x)dx =−2πw 0
r 3xe −πx 2
r 2
水平移动 U (x )=Bi (x )=B dw(x)dx =B w 0r e −πx 2
r 2
水平变形 ε(x )=Bk (x )=B di(x)dx =−B 2πw 0
r 3xe −πx 2
r 2
开采沉陷研究的最重要的五个变形指标的公式给出了，只要得到某矿的地质采矿条件和概率积分法所需要的参数，下面就可以根据公式进行预计了。

以前由于计算机水平的限制，有人将预计公式做了简化，即先按各式求出最大值，再以预计点与主要影响半径的比值作为
引数查表，求的分布函数值，乘以相应的最大值就可以得到预计点的移动和变形值。

但是这种方法在计算量比较大的情况下效率会非常低。

由以上的公式推导过程可以看出，概率积分法的理论基础坚实，而且公式比较简单、所含的参数也较少。

因此此方法有易于计算机编程计算的优点，文章附录有笔者用Ｃ＃计算机语言编写的开采沉陷预计系统部分代码及界面。

3概率积分法的适用范围
由以上分析可得，概率积分法的理论基础的缺陷限制了此方法的推广及应用。

由于模型误差、参数误差以及复杂的不可知的地质采矿条件使得该方法预计时出现和现实情况不符合的现象。

概率积分法的模型是基于沙箱模型验证的，因此只有在开采区域足够大的情况下（充分采动或超充分采动），岩层移动的规律与颗粒体模型的移动规律宏观上近似，采用此方法进行开采沉陷预计具有一定的准确性。

相反在开采尺寸很小的情况下（非充分采动或极不充分采动），该理论模型并没有考虑煤层顶板以及上覆岩层对垮落的支承作用，因此会出现预计变形值大于实际值，预计范围小于实际的范围。

同时当煤层倾角大于45°时，也就是急倾斜煤层情况下，由于上覆岩层不仅有垂直于采空区的位移，同时还有沿层面的滑移，大多数情况下，煤层底板也会向下山方向滑移到采空区，在此种情况下，概率积分法失去其作用。

针对上述概率积分法在特殊情况下的局限性，无数开采沉陷研究工作者针对不同的情况对概率积分法模型进行了相应的修正。

但是目前的修正体系多是基于统计学的经验总结规律，很少有考虑到岩层内部构造和岩层的物理力学性质。

将工程力学、材料力学以及岩石力学的研究内容应用到开采沉陷领域，对概率积分法进行修正是今后很长一段时间的研究热点。

5结论
概率积分法是我国大部分煤矿应用最为广泛的开采沉陷预计方法，它有如下优点，理论模型简单并且坚实可靠、参数选取简单、计算效率高、预计函数简单便于计算机编程实现。

正是由于以上的原因，概率积分法能够在众多的预计方法中脱颖而出。

但不置可否，概率积分法由于其理论模型固有的误差、参数的选取误差从而导致预计结果与实际情况相差很大。

但是，我不能只看到他的缺点就弃之不用，我们要做的便是不断的运用所学知识，对该方法进行理论修正，使得概率积分法适合更多不同地质采矿条件下的煤层开采，从而在开采沉陷预计中得到更加广泛的应用。

参考文献
[1] 何国清，杨伦，凌赓娣，等. 开采沉陷学[M].徐州：中国矿业大学出版社，1991.
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[5] 邹友峰，邓喀中，马伟民.矿山开采沉陷工程[M].徐州：中国矿业大学出版社，2003.
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[7] 邹友峰，胡友建，郭增长.采动损害与防护[M].徐州：中国矿业大学出版社，1996. 附录：using System;
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