第3章 数值积分法

式中，
第3章 数值积分法 3.2.2 辛普生求积公式 如果用二次插值多项式——抛物线 y=g(x) 所围成的曲边梯形 面积近似替代 y=f(x) 所围成的曲边梯形的面积，这时所得积分公 式称为辛普生公式
同前理，将区间 [a, b] 经 k 次等分，得 n=2k 个子区间，则 计算精度得以进一步改善的复合辛普生求积公式为
第3章 数值积分法
只有eφ方向的一个分量。式中，源点与场点间的距离 ；元长度 dl=adα，因而整个环形载流线圈 在点 P 产生的向量磁位
为将这个积分化成椭圆积分，现作如下的变量代换，即令 α=π+2θ，dα=2dθ，cosα=2sin2θ-1，则有
再令 则
式中，K、E 分别为由式（3-15）和式（3-16）定义的第一类和第二类完全椭 圆积分，其数值计算方法已在3.4节中详述。正如前已指出，式中的积分模数 k 值取决于场源的几何尺寸与场点位臵。
上式称为高斯-勒让德求积公式，或简称高斯求积公式。
第3章 数值积分法
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第3章 数值积分法 对于一般积分区间 [a,b]，可利用积分变量的变换 则变量 t∈[ -1,1]， 而积分变为
式(3-11)和式(3-12)为一维高斯求积公式, 当 f(x)为不超过 2n -1 次的 多项式时, 上述积分可得到完全精确的结果，但对次数高于 2n-1 的 多项式, 则不能得到精确结果。所以, 当已知多项式 f(x)的次数为 m 时， 宜取 n≥(m +1)/2。
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式中，不失一般性地进一步设定该长直载流导线的全长为 2L，且 场点 P 位于中截面上。这样，当满足 L>>ρ 时，上式可简化为 从而整个源区 S 在点 P 产生的向量磁位为
式中，C=μ0Jln(2L)/(2π)。于是点 P处的磁感应强度
第3章 数值积分法 它在x、y方向上的分量分别为
则按式（3-33）、式（3-34）可分别直接得出其解析解为
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（2）场图的绘制 在场域内, 应用磁场线(即 B 线)或等磁位线均可形象地描述 场分布的状况, 并由场线的疏密度可进而定性乃至定量地分析磁 场的强弱。所谓B线, 即是在该线上任一点的切线方向, 应与该点 B的方向一致。据此，在直角坐标系中，由共线条件：B×dl=0， 可导得 B 线所满足的微分方程为
第3章 数值积分法 对于二维或三维情况下的求积公式，可利用化重积分为多次 积分的方法，不难分别导得
和
式中，高斯积分点数 n1, n2, n3 可以互不相同，也可以相同。
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3.4 椭圆积分的数值计算
椭圆积分有三类，分别称为第一、第二和第三类椭圆积分； 每一类椭圆积分的表达式又有雅可比形式与勒让德形式之分；而 积分又有完全与不完全积分之区别。在电磁场的数值计算中，椭 圆积分的应用相当广泛，尤其是完全椭圆积分。在三类椭圆积分 中应用较多的是第一与第二类椭圆积分（惟当三个变量情况下才 应用到第三类椭圆积分）。 第一类完全椭圆积分
在平行平面场中，按所设定的直角坐标系，如前所述，当 给定场源 J=Jzez，则场中各点的向量磁位 A=Azez=Aez。由此即 得相应的磁感应强度的分量为
第3章 数值积分法 将以上结果代入式（3-38），便得
由此可见，在平行平面磁场中， A等于定值的轨迹即为B线。 显然，以等A线来描绘B线能 极大地简化场图的绘制。为使 B线的分布密度能定量地描绘 出磁场分布的强弱，还必须遵 循相邻两磁力线间的磁通量 ΔΦ相等的原则。以图3-5所示 长直载流导线的磁场为例，通 过单位轴向长度（Δz=1）的磁 通量ΔΦ为
第二类完全椭圆积分
式中， k 称为积分模数 (k2<1)。 由以后的例题可见， k 值可由计 算模型所决定的函数关系获得。
第3章 数值积分法 由于椭圆积分不能通过初等函数在有限形式中予以表示，故 其计算必须采用数值计算方法，常用的有以下几种方法： （1） 级数展开式
理论上， 当项数 n→∞ 时， 式 (3-17) 和式 (3-18) 将趋近于真值。 实际分析表明， 在 k 值较小时， 级数收敛较快， 故只要取不多 的前几项即有令人满意的计算精度； 但在 k 值较大时，级数收敛 很慢，此时对应于较高的计算精度要求，必须增加计算项数。
第3章 数值积分法 当 kn 值足够小, 按式 (3-21)、 式 (3-22) 计算, 足够的计算精度。 如用兰登变换递推 3 次(n = 3), 则式(3-21)、 式(3-22)将简化为
以上两式在模数 k 接近于 1 时，有足够的计算精度。一般说来， 递推次数 n 应随模数 k 值的增大而增加，例如若要求达到 10-6精 度， 一般在 0 < k < 0.7 时， 应取 n = 2 或 n = 3； 而在0.7< k <0.999 时， 可取 n =4。 当 0.999< k <1 且需有更高的精度时，则 必须增加递推项数 n。 当 k 非常接近于 1 与 k =1 时，对应于通常的计算精度，可 采用近似公式
第3章 数值积分法
第3章 数值积分法
基于电磁场数值分析的需要，本章概括地介绍了常用的几种 数值求积方法，其中高斯求积法与椭圆积分的数值计算等，还将 是构造其他数值计算方法的内容。
3.1 概述
数值积分法是数值计算方法应用中的基本内容之一，它不仅 是各种类型积分表达式数值求积的基础，而且随着数值计算方法 的日益发展，已成为多种数值方法构造中必不可少的组成部分。
第3章 数值积分法 按式（3-45）求得向量磁位AP值后，即可计算该点的磁感应强 度。注意到圆柱坐标系中B=∇×A的表达式, 现由以上分析已知， Aρ=Az=0，A=Aφe φ ，故以式（3-45）代入，便得任意场点处的磁 感应强度为
式中，B的各分量为
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显然，当场点位于圆环轴线上时，即ρ=0 处，因有模数 k=0， 由式（3-17）、式（3-18）可知，K(0)=π/2，E(0)=π/2，从而可得 沿轴线的磁感应强度分布为
使In(f)≈I(f)，并具有最大可能的代数精度。式中求积节点 xk（k=1， 2，…，n）位于区间 [a,b] 内，被称为高斯积分点。
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当给定权函数ρ(x)=1 时，不失一般性地可假定积分区间为 [1,1]，分析表明，此时利用正交多项式来确定求积节点（高斯积分 点）时，该正交多项式为勒让德多项式，而积分点 x1，x2…，xn即 为 n 次勒让德多项式的 n 个零点，并由此可求得相应的求积公式 的权系数 Ak。表3-1给出了n=1～7时所对应的七组xk与Ak值，由此 即得
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3.2 梯形与辛普生求积公式
3.2.1 梯形求积公式 定积分 如图3-1所示，其积分值 I 在几 何上可以解释为 x =a 和 x = b 之间函 数 f(x) 图形下面所围成的面积。
为提高精度，可将区间 [a,b] 分半， 即取细分次数 k=1, 得分段数 n=2k=2, 这时步长 h=(b-a)/n=0.5(b-a), 于是相 应的梯形求积公式为
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3.5 基于场量积分式的数值积分法
在无限大、均匀且各向同性媒质中，电磁场正问题的分析， 均归结为相应的积分关系式。在与工程问题相结合的大量情况 下，待求的 场分布，以 及在获得场分布解答的基础上， 进一 步计算有关电磁参数、 能量与力等积分量时， 一般均难以得 出由初等函数表达的解析解。 这时就需采用直接数值积分的 方法来获得具有足够计算精度的积分近似解。 3.5.1 平行平面磁场 （1）任意场点处的磁场分布 设截面 S内电流I均匀分布， 其电流密度为 J = Jzez = Jez。电 流微元 ΔI = JdS。该电流微元ΔI 在场点 P 产生的向量磁位可表示 为
第3章 数值积分法 （2） 算术几何平均法
式中 数列计算
式 (3-19) 和式 (3-20) 适用于 k = 0.1～ 0.9 场合，计算精度较高， 收敛速度也较快。
第3章 数值积分法 （3） 近似计算公式 由兰登变换的递推关系，第一、二类完全椭圆积分可分别记为
式中, k′为补模 由给定的模数 k 值, 计算
数值积分实质上是一种近似的求积方法，即通过构造被积函 数的某种线性组合的逼近函数来近似求其积分值，所以也称为近 似求积法。
对应于式中g(x)不同的函数构造，即可获得不同的数值求积公式。
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第3章 数值积分法 当积分区间 [a,b] 较大时，常先将积分区间分成 n 个等长的小 区间，并在每个小区间上采用相应的数值求积公式计算积分的近 似值，然后将这些近似值求和，即得所求积分的如下近似值：
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3.3 高斯求积公式
高斯积分法，就是对应于积分区间，选择某些积分点（设 为 n 个积分点），求出被积函数在这些积分点上的数值，然后 用相应的权系数乘这些函数值，并求和，即可得出具有 2n-1 次 代数精度的近似积分值的方法。 设有积 分式
式中，ρ(x)称为积分区间 [a, b] 上的权函数，它应满足一定条件， 例如，在该积分区间 [a, b] 上ρ(x)≥0 等。现需寻求以上积分式 I(f) 的一个近似式 In(f) ，即令
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即应遵循ΔA=K（某一指定值）这一原则作图。例如，在场域内， A值的最大与最小值分别为Amax与Amin，即可取ΔA=（Amax-Amin） /n，由此就可以绘出A1=Amax；A2=Amax-ΔA；…； An+1=AmaxnΔA=Amin，共n+1根等A线（即B线），形象地定量描绘出该平 行平面磁场的分布。 3.5.2 轴对称磁场 在无限大、均匀且各向同性媒质中，当场源具有轴对称分布 的特征时，其激励的空间场分布也必然具有轴对称性质，即在通 过对称轴的一系列旋转平面（子午面）上，具有完全相同的场分 布，这类场被称为轴对称场。
可以证明，复合辛普生求积公式(3-6)与复合梯形求积公式(33)、式(3-4)之间有如下关系：
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当上述变步长辛普生积分法用于计算二重积分时，数值积分的 处理方法是将二重积分
分解为两个单积分
和 求积。具体地说，首先，固定某一个变量 x 的值，设为 x，利用辛 普生求积公式（3-6），得出对应的 g(x) 值；然后依次计算，得出 一系列的 g(x) ；最终再应用式（3-6）便可得该二重积分 S 的近似 值 I。
（2）载流螺线管的磁场
设内、外半径为 r1 与 r2，管长为h的载流螺线管线圈，如图 3-8 所示，显 然，其磁场分布同样具有轴对称场特征。在圆柱坐标系下，取轴对称平面ρOz 为分析场域（见图 3-9）。将载流为I的n匝螺线管看作无限多个环形载流为 dI （=JdS）的线圈的组合，则对应于式（3-47）、式（3-49）可得载流螺线管 磁场在任意场点P处的磁感应强度BP的两个分量分别为
第3章 数值积分法 （1）环形线电流的磁场
作为轴对称磁场的基本计算模型，设一半径为 a 的环形载流线圈如图3-6 所示。如上所述，此时空间磁场分布呈轴对称形态，故如图选用圆柱坐标系， 坐标原点位于线圈中心， z 轴与线圈轴线相重合。这样，环形载流线圈中的电 流密度可表示为 J=JΦe Φ，而相应的电流元可记作 Idl=IdleΦ。结合与图3-6对 应的顶视图（见图3-7）可见，对称于所选取的轴对称平面ρOz 的成对电流元 Idl与Idl′，在任意场点 P 所产生的向量磁位 dAP 应是 dAα与 dA′α的合成，即
第3章 数值积分法
为提高数值积分的计算精度，可再继续将区间分半，即令 k=2， k=3，…，从而通过所谓复合求积方法的应用，以改善 求积精度。具体说来，复合梯形求积公式为
显然，若当积分区间 [a，b] 为 n=2k 等分时，其结果尚不 够精确，则 如上所述，可把每个子区间再对半分，得 2n=2k+1 个子区间，分别应用梯形公式计算。但注意到算 Tn 时的分点 也是算 T2n 时的分点，故编程计算 T2n 时，只需把新分点上的 函数值算出加到 Tn 中去即可，得
现以矩形截面的长直载流导线为例，如图 3-4 所示，依据式(3-31)、 式 (3-32)可得
而有
第3章 数值积分法 式中，（x，y）为源点坐标。应用变步长的辛普生积分法，直接 对式（3-33）、式（3-34）进行二重数值积分，即可算出任意场点 处磁感应强度的近似解。 值得指出，如利用以下积分关系